材料力学——第13章(能量法)
合集下载
材料力学第十三章 能量法
1 vε = = τγ 2G 2
τ2
三、扭转
由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系： 由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系：
M e l M e 2l 1 1 Vε = W = M e ⋅ ∆φ = M e = 2 2 G I p 2G I p
T 2 ( x) Vε = ∫ dx 2G I p ( x) l
截面的挠度。 例：求图示简支梁C截面的挠度。 求图示简支梁 截面的挠度
F
θ B2
wC1
解：由功的互等定理 F ⋅ wC1 = M ⋅ θ B 2
得：F ⋅ wC1
Fl =M⋅ 16 E I Ml = 16 E I
2
2
由此得：wC1
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移∆ C 。 求图示悬臂梁中点 处的铅垂位移
故：
M ( x) M ( x) ∆=∫ dx EI l
M ( x) M ( x) 莫尔定理 ∆=∫ dx 莫尔积分） （莫尔积分） EI l
对于组合变形： FN ( x) FN ( x) T ( x) T ( x) M ( x) M ( x) ∆=∫ dx + ∫ dx + ∫ dx EA GI p EI l l l
积分得： 积分得：
FN (x)dx M (x)dx T (x)dx Vε = ∫ +∫ +∫ 2EA 2EI 2GIP L L L
2
2
2
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 求自由端B的挠度 能原理求自由端 的挠度。 能原理求自由端 的挠度。
F
解：
B
A
l
x
M ( x) = − F ⋅ x
材料力学 能量法
FN1 = F sinα ( 拉) , FN2 = F tanα ( 压 )
1
2 l
方法一
∆=
F l F l ∆l1 = N1 1 , ∆l2 = N2 EA EA
α
A′
A
1 ∆l1 ∆l2 Fl cos2 α + + = sinα tanα EAsin2 α cosα
F 12l1 F 22l F2l 1 V = N cos2 α + + N = ε 2EA 2EA 2EAsin2 α cosα F∆ W= 2 Fl 1 ∆= cos2 α + EAsin2 α cosα
A
外力功： 外力功： 载荷在其相应位移 上所作之功。 上所作之功。
F
∆ A
A′
广义力： 力偶， 广义力： 力，力偶，一对大小 相等、 相等、方向相反的力 或转向相反的力偶等。 或转向相反的力偶等。
∆
A′
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。 广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
δ dδ δ ∆ f df F
线弹性体： 线弹性体：
f = kδ
∆
F = k∆
f
1 2 1 W = ∫0 kδ dδ = k∆ = F∆ 2 2
Page 6 δ
第十三章
能量法
二、克拉比隆定理： 克拉比隆定理： 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,.. 及其相应广 义位移, 义位移, 求外力功
第十三章
能量法
第 13 章 能量法
§13-1 1313§13-2 13§13-3 13§13-4 13§13-5 外力功与应变能的一般表达式 互等定理 卡氏定理 变形体虚功原理 单位载荷法
1
2 l
方法一
∆=
F l F l ∆l1 = N1 1 , ∆l2 = N2 EA EA
α
A′
A
1 ∆l1 ∆l2 Fl cos2 α + + = sinα tanα EAsin2 α cosα
F 12l1 F 22l F2l 1 V = N cos2 α + + N = ε 2EA 2EA 2EAsin2 α cosα F∆ W= 2 Fl 1 ∆= cos2 α + EAsin2 α cosα
A
外力功： 外力功： 载荷在其相应位移 上所作之功。 上所作之功。
F
∆ A
A′
广义力： 力偶， 广义力： 力，力偶，一对大小 相等、 相等、方向相反的力 或转向相反的力偶等。 或转向相反的力偶等。
∆
A′
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。 广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
δ dδ δ ∆ f df F
线弹性体： 线弹性体：
f = kδ
∆
F = k∆
f
1 2 1 W = ∫0 kδ dδ = k∆ = F∆ 2 2
Page 6 δ
第十三章
能量法
二、克拉比隆定理： 克拉比隆定理： 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,.. 及其相应广 义位移, 义位移, 求外力功
第十三章
能量法
第 13 章 能量法
§13-1 1313§13-2 13§13-3 13§13-4 13§13-5 外力功与应变能的一般表达式 互等定理 卡氏定理 变形体虚功原理 单位载荷法
材料力学(单辉祖)第十三章 能量法
第十三章能量法主讲人：张能辉1引言2-研究变形体方法：微体法，能量法引言微体法几何关系i ij u ~ε微体法静力学关系物理关系ijij εσ~平衡ij σd v ⇓V控制方程数学手段ij σ边界条件初值条件ijε3-引言能量法1P P 1P 外力作用线弹性体恢复22P 变形效应外力卸除原形i P →ij ij εσ~Hooke’s Law Lineariij u ~ε线弹性体f广义载荷δ广义位移δ∝f 引进比例常数δk f =下面看能量如何写?与外力有何关系?4由能量守恒WV =ε(外力功全部转化成应变能)P26488主平面微体应变能(P264 8-8)1ii εσυε2=应变能密度i =1,2,3)(,,)6外力功与应变能杆件应变能微段d x 储存应变能∫∫⋅==dVAdAdx dV dV εεευυdAxx体积分化为面积分d x dV整个梁存储应变能积分思想: 微段的叠加==dAdx dV V εεευ变∫∫∫AlV822 EA21 2NFdx EAd ml2ρ2p外力功与应变能弯曲(忽略切应力)21zM 21zM 2zEI ευ=2z lV dxEI ε=∫Conclusion外力功与应变能应变能特点C1: 与载荷终值有关，而与加载次序无关M(a) M 、F 同时作用(b)ABF (b)先F 后M (c) 先M 后F 三种加载历史等效?FM F M M FM M M M M =+=+19互等定理23互等定理讨论2F 独立加第I 组力系F 123411121:0;0;Δ→Δ→Δ先加第II 组力系，再加第I 组力系3F 2F 21110;0:Δ′→Δ′→Δ12344F ????;21211111Δ′=ΔΔ′=Δ问1F F =k Δ保证相等27互等定理线弹性体变形能特点：大小取决于加载终值而与加载次序无关21V V =414313222121Δ+Δ=Δ+Δ⇒F F F F 21F F I 组力系12I 组力系作用点43F F II 组力系，3，4力点II 组力系作用点2212,ΔΔII 组力系在I 组力系作用点引起的沿I 组力系方向的位移4131,ΔΔI 组力系在II 组力系作用点引起的沿II 组力系方向的位移28互等定理等定功的互等定理第I 组力系在第II 组力系引起位移上所做功等于第II 组力系在第I 组力系引起位移上所做功简化：If F 1---I; F 2---IIthen F =F FF =2then F 1Δ12= F 2Δ2112FF =1If F 1= F 2, then Δ12=Δ21位移互等定理弹在对于线弹性体，若在1，2处分别作用两个大小相等的载荷，则点1处由于点2处载荷引起的位移Δ12等于处由点点2处由于点1处载荷引起的位移Δ2129Example-1实测w 1 ,w 2 ,w 3方案：1F3211.三点装位移计浪费2.一个位移计逐点测费工1新方案(位移互等定理)F323.自由端加位移计逐点加载不影响原有力系30单位载荷法32Example-1E ample1qABlx已知：梁EI=const已知梁求：w=?θA=?A38Example-2M aCB B1x x FAa 2已知：刚架M B =F a 求：Δcy =?40E l3 Example-3BA1αβ2CF已知：桁架EA, l1l2? Δ?求: Δcx=? Δcy=?43Example-4 (P20 12-5)F FR已知：小曲率曲梁AB已知：小曲率曲梁，轴线曲率半径为R求：截面A和B的相对转角46E l5(P56)Example-5 (P56)F OA BϕCA B已知：小曲率曲梁，轴线曲率半径为R求求：A的铅垂位移48余能与卡氏第二定理50。
材料力学第十三章 能 量 法
Vε Vε (D1 , D 2 ,, D i ,, D n )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi 其它位移均保持不变 梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量
d W Fi d D i
Ve d Ve d Di D i
d Ve d W
Ve Fi D i
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Vε
l
0
F ( x) T ( x) dx dx 0 2GI 2 EA p
l
2 N
2
F ( x) M ( x) d x s dx 0 2 EI 0 2GA
l l
2
2 S
应变能恒为正 ，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1 s e
外力作功：
de e 1
DAB 方向水平向外
§3-4 用能量法解超静定系统
解超静定问题要综合考虑三方面 几何方面 —— 建立变形几何相容条件 物理方面 —— 建立补充方程 静力学方面 —— 建立平衡方程
等直杆，发生基本变形，材料为线性弹性体 非等直杆或杆系结构，受较复杂荷载作用， 材料为非线性弹性体 易 难
能量法
例1：求图示超静定梁支座处的约束力。
③ 先加M，后加F
A
M AM
F
B
AF DCF
AM
Ml 3EI
D CF
Fl 48 EI
3
AF
Fl 16 EI
2
1 1 应变能： V M ε AM ( FD CF M AF ) 2 2 2 3 2 2 1 F l M l MFl ( ) EI 96 6 16
Ve Fi D i
材料力学第十三章 能 量 法
单元体上外力作功： W s e1 d e 0
应变能密度：
ve
e1 s d e
0
边长为dx、dy、dz的单元体： dVe ve d x d y d z
杆： Ve dVe V ve dV
线性弹性体：
ve
s e1
0
de
1 2
s
1e1
1 2
Ee12
1 2E
s
2 1
ve
1 d
0
1 2
1
AF
Fl 2 16 EI
应变能：
Vε
1 2
M AM
(1 2
FDCF
M AF )
1
F 2l3 (
M
2l
MFl 2
)
EI 96 6 16
④ M、F 分别单独作用
F
A
DCF
B
A M AM
B
DCF
Fl 3 48 EI
AM
Ml 3EI
应变能之和： VεF VεM
1 2
FDCF
1 2
M AM
1 EI
VεS
l
s
FS2 (x) d x 2GA
s — 剪切形状因数
S
S
通常，梁的剪切应变能远小于弯曲应变能。
杆件发生组合变形
在线弹性、小变形的条件下，每一基本变形的内力仅 在其相应的基本变形上作功，在其他基本变形上不作功。
Vε
l FN2 (x) d x 0 2EA
l T 2 (x) dx
0 2GIp
材料是线弹性的，但变形 D 与力F 不是线性的
几何非线性弹性问题
材料是非线性弹性的
物理非线性弹性问题
材料力学-13能量方法
一、单位载荷法
通过建立单位力系统，以真实的位移（欲求）作为 单位力系统的虚位移。应用虚位移原理，可以得到杆件 在弹性变形内任意点沿任意方向的位移。
求任意点A的位移
F1
5
4、组合变形的应变能
截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互 独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做 功.
V
FN2 (x) dx l 2EA
T 2 (x) dx l 2GIp
M 2(x) dx
l 2EI
或
V
FN2l T 2l 2EA 2GIp
M 2 (x)dx l 2EI
6
五、应变能的应用 1、计算应变能 2、利用功能原理计算变形
7
例1 拉杆在线弹性范围内工作. 受到F1和F2 两个力作用.
(1) 若先在 B 截面加 F1 ， 然后在 C 截面加 F2 ；
(2) 若先在 C 截面加 F2 ， 然后在 B 截面加 F1.
A
a
B
F1 b
分别计算两种加力方法拉杆的应变能. C F2
令P M ， BA AB
C
18
思考：仅用一个挠度计，且只能安装一次，如
何测得图示悬臂梁1、2、3、4各点的挠度？
P
123 4
5
15
P
123 4
5
51 15
19
§13-3 虚功原理
杆件在外力Fi（F1,F2,…,Fn）（广义力）作用下作用 点会有（真实的）位移。
如果再有另外的外力（如温度变化，人为假象施加 等）施加在杆件上，则沿着原有力系各力作用线方向将
V W
外力功的统一表达式 W 1 F
2
F：广义力， ：广义变形 2
材料力学-第十三章能量方法
fc
U P
M (x) M (x) dx
l EI P
1
EI
l 2 0
[(
P 2
Me l
) x1
M
e
]
x1 2
dx1
1 EI
l 2
(
P
02
Me l
) x2
x2 2
dx2
M el 2 Pl3 16EI 48EI
(
)
31
• 例13-6 求刚架B的水平位移和C点的转角。
解:
AB段： M (x1) (Pa Pf x1)
P
2
29
A截面的转角:
A
U M e
M (x) M (x) dx l EI M e
1
EI
l
2 [(
0
P 2
Me l
) x1
M e ](1
x1 l
)dx1
1
EI
l 2 0
(P 2
Me l
) x2
x2 l
dx2
M el 3EI
Pl 2 16EI
(
)
30
Me
p
A
C
X1
L/2 L/2
B
X2
C截面的挠度为:
A ②将内力对MA求偏导后，令M A=0
L xO
③求变形（ 注意：M A=0）
M (x)
1
M A M 0
A
A
L
M (x) M (x) dx EI M A
L Px dx 0 EI
PL2
2 EI
A
PL2 ( 2 EI
)
“负号”说明 A与所加广义力MA反向。
材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
P1
P2
1 dV 2 M( x )d
一般情况下： 剪力对变形的影响很小，剪切 应变能远远小于弯曲应变能。
M 2( x )dx dV 2EI
w = M(x) = dθ EI dx
d M( x) dx
EI
M 2( x )dx
V l 2EI
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
1
V
W
F 2
F2
F3
采用比例加载
2 3
外力
比例
0
位移
比例
F1、F2、F3
1、 2、 3
0
V
W
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F33
n i1
1 2
Fii
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
克拉贝依隆原理
对于组合变形
M (x)
Fs(x)
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在 体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称变形能(应变 能）。 物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上 等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即 F
P
1 V W FP 2
FP
单位： J，N.m l
FP
l l
FP
一、基本变形情况下杆件的应变能
FP 1 , FP 2 , FP 3 , FPi ,
1 ，功为 F Pi i 2
，弹性体应变能为
1 F Pi i V F Pi i 2
两次加载的应变能相等
V 1 V F Pi F Pi i V F Pi i F Pi 2 V 略去高阶微量后 i 卡式第 二定理 F Pi
§13-3 卡式第二定理 一、卡式定理的概念及证明
如图所示
FP l 3 M e l 2 A 3 EI 2 EI
2 P 3
FP l 2 M e l A 2 EI EI
2 2 2 F M l F l M el P e V 6 EI 2 EI 2 EI
V Mel FP l FP 3 EI 2 EI
m V FNi l i FNi i FPi i 1 EAi FPi
2、直梁 V
l
M 2( x ) dx EI
V M ( x ) M ( x ) i dx FPi l EI FPi
3、平面曲杆
V
S
M 2( s ) ds 2E I
V M ( s ) M ( s ) i ds FPi l EI FPi
二、克拉比隆定理
线弹性体 没有刚性位移 时刻保持平衡
线弹性体的应变能等于各广义 力与其相应的广义位移乘积之半 的总和。
V
i
1 1 1 F P i F p1 1 F p 2 2 2 2 2
三、组合变形 截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位 移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其 相应的位移做功。
2
★应变能和外力功是外力或者位移的二次函数，上
式不能视为叠加原理。
V
l
l
M 2( x ) dx 2E I
2
l
[ M 1 ( x ) M 2 ( x )] 2 dx 2E I
2
M1 ( x ) M2 ( x ) M 1 ( x )M 2 ( x ) dx dx dx 2E I 2E I EI l l
功的互等定理
i j
载荷作用点 位移发生点
先作用P1，后作用 P2，外力所作的功：
1 1 V P111 P2 22 P112 2 2
先作用 P2，后作用 P1，外力所作的功：
1 1 V P2 22 P111 P2 21 2 2
功的互等定理:
P1 12 P2 21
致
【例13-3 】试求图示梁的变形能，并利用功能原理 求C截面的挠度。 （EI为常数）
FP
解：
V
l
FP b FP a x1 x2 M (x) a b dx l l d x dx 2 2E I 1 2E I 2E I 0 0
2
★一般情况下，同一种力引起的应变能不能简单叠
加。组合变形应变能叠加是由于横截面内力仅在自身 产生的变形上做功，其应变能与其他内力引起的变形 无关。
【例13-1 】如图所示求梁的应变能
解：方法一：按外力功计算 根据变形表可查，
FP l 3 M e l 2 A 3 EI 2 EI
FP l 2 M e l A 2 EI EI
[例13-1] 如图所示的三根圆截面拉杆，其支承、材料、 荷载、长度均相同，但直径的变化不同，试求三杆的 应变能比值。
解：对于1杆，有
F l 2F l V 1 2 2 EA1 Ed
2 N 2 P
对于2杆，有
2 P
对于3杆，有
2 P
3 2 1 F l FP l 2 7 F 4 4 P l V 2 2 2 ( 2d ) (d ) 8Ed 2 2 E 2 E 4 4
2
FP2 l 3 FP M e l 2 M 2 e l 6 EI 2 EI 2 EI
★用内力功来计算应变能。
两种计算结果完全一致
【例13-2 】试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理 求自由端B的挠度。（EI为常数）
FP
解：
FP
M ( x ) FP x
2 3 l 2 M 2( x ) V dx ( FP x ) dx FP l 2E I l 6 EI 2E I 0 1 W FP B 2 与查挠度表或积分 FP l 3 由V W，得 B 法计算结果完全一 3 EI
3
2
A
V FP l 2 M e l A M e 2 EI EI
线弹性杆件或结构的应变能对于作用在杆件或 结构上的任一独立广义外力的偏导数等于该力相 应的广义位移。即
V i F Pi
证明如下： 第一种加载顺序
卡式第 二定理
设第一组荷载 F , F , F ,F , ， 作用在受支座约束无任何刚性位 移的线弹性结构上，这些荷载相 应的位移分别为 , , , ,
则
ij ji
位移互等定理
注意：式中力和位移为广义力和广义位移
【例13-6 】图示简支梁，力Fp作用在梁的中点C处， B截面的转角 F l ， 求在B截面作用 力偶矩Me时， 16 EI C点的挠度 C。
2 P B
解：根据功的互等定理，有
FP c M e B
M e FP l 2 M e l 2 C 16 EIFP 16 EI
4、组合变形杆
V FN ( x ) FN ( x ) M ( x ) M ( x ) T ( x ) T ( x ) i dx dx dx FPi l EA FPi EI FPi FPi l l GI P
FP
解：
M 2 (s ) M ( s ) F R sin P V ds 2E I l 2 2 M ( ) ( FP R sin )2 Rd Rd 2E I 2E I 0 l 2 FP R 3 1 8 EI W FP BV 2
由V W，得：
注意事项： ①V—整体结构在外荷载作用下的弹性应变能 ②Fpi—看成为变量，应变能表示为Fpi的函数 ③△i—为Fpi作用点方向的位移 ④当没有与△i对应的Fpi时，先加一沿△i方向的 Fpi，求偏导后，再令其为零
二、桁架、直梁、平面曲杆和组合变形杆件 的卡式第二定理表达式 2 m FNi l i 1、桁架 V i 1 2 EA i
第13章 能量法及其应用
§13-1 应变能的计算 §13-2 互等定理 §13-3 卡式第二定理
§13-4 求解位移的单位荷载法（莫尔积分法）
§13-5 计算莫尔积分的图形互乘法 §13-6 能量法求解超静定问题简介
利用功能原理解决工程结构位移或杆件 变形等有关问题的方法,称为能量法
§13-1 应变能的计算
1 1 V W FP A M e A 2 2
FP2 l 3 FP M e l 2 M 2 e l 6 EI 2 EI 2 EI
方法二：按内力功计算
M ( x ) ( M e FP x )
V
l
[ ( M e F P x )] dx 2E I
若P1 P2 ，则得
位移互等定理:
12 21
考虑两种加载顺序： 一种是先加力系FPi ,后加力系FQi ，即P 一种是先加力系FQi ,后加力系FPi ，即Q Q； P；
( V )P Q ( V )Q P
n m 1 1 ( V )P Q FPi ii FQj jj FPi ij i 1 2 j 1 2 i 1 n m n 1 ( V )Q P FQj jj FPi ii FQj ji j 1 2 i 1 2 j 1 m
FP
BV
FP R 3
4 EI
R
【例13-5 】试求图示正方形杆系结构的应变能，并求 A、C两点的相对位移。已知各杆的拉压刚度EA相同。 解： ⑴求各杆轴力
FNAB FNBC FNCD FNAD 2 FP 2
FNBD FP
⑵求整个结构应变能
2 F 2 Ni l i 2l F 2 NAB l FNAD V 4 2 EA 2 EA i 1 2 EA 5
P1 P2 P3 Pi 1 2 3 i
V f ( F P 1 , F P 2 , F P 3 , F P i , )
设上述诸力中任一力Fpi有增量Fpi(第二组力）， 其余各力增量为零，则应变能为
V V V V F Pi F Pi
第二种加载顺序 先作用 F Pi ， 位移 i 再作用
V
l
FN ( x ) T (x) M (x) dx dx dx 2E A 2E I l 2G I p l
2 2
2
★对于以弯曲变形为主的杆件，因轴力和剪力远小
于弯矩的影响，所以计算时，通常不计轴力和剪力的 影响。
V
l
FN ( x ) T 2( x ) M 2( x ) dx dx dx 2E A 2E I l 2G I p l
FP2 2 1 EA 2
⑶计算A、C两点的相对位移
AC
V W
FP2 1 2 1 FP AC 2 EA 2
P
1 V W FP 2
FP
单位： J，N.m l
FP
l l
FP
一、基本变形情况下杆件的应变能
FP 1 , FP 2 , FP 3 , FPi ,
1 ，功为 F Pi i 2
，弹性体应变能为
1 F Pi i V F Pi i 2
两次加载的应变能相等
V 1 V F Pi F Pi i V F Pi i F Pi 2 V 略去高阶微量后 i 卡式第 二定理 F Pi
§13-3 卡式第二定理 一、卡式定理的概念及证明
如图所示
FP l 3 M e l 2 A 3 EI 2 EI
2 P 3
FP l 2 M e l A 2 EI EI
2 2 2 F M l F l M el P e V 6 EI 2 EI 2 EI
V Mel FP l FP 3 EI 2 EI
m V FNi l i FNi i FPi i 1 EAi FPi
2、直梁 V
l
M 2( x ) dx EI
V M ( x ) M ( x ) i dx FPi l EI FPi
3、平面曲杆
V
S
M 2( s ) ds 2E I
V M ( s ) M ( s ) i ds FPi l EI FPi
二、克拉比隆定理
线弹性体 没有刚性位移 时刻保持平衡
线弹性体的应变能等于各广义 力与其相应的广义位移乘积之半 的总和。
V
i
1 1 1 F P i F p1 1 F p 2 2 2 2 2
三、组合变形 截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位 移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其 相应的位移做功。
2
★应变能和外力功是外力或者位移的二次函数，上
式不能视为叠加原理。
V
l
l
M 2( x ) dx 2E I
2
l
[ M 1 ( x ) M 2 ( x )] 2 dx 2E I
2
M1 ( x ) M2 ( x ) M 1 ( x )M 2 ( x ) dx dx dx 2E I 2E I EI l l
功的互等定理
i j
载荷作用点 位移发生点
先作用P1，后作用 P2，外力所作的功：
1 1 V P111 P2 22 P112 2 2
先作用 P2，后作用 P1，外力所作的功：
1 1 V P2 22 P111 P2 21 2 2
功的互等定理:
P1 12 P2 21
致
【例13-3 】试求图示梁的变形能，并利用功能原理 求C截面的挠度。 （EI为常数）
FP
解：
V
l
FP b FP a x1 x2 M (x) a b dx l l d x dx 2 2E I 1 2E I 2E I 0 0
2
★一般情况下，同一种力引起的应变能不能简单叠
加。组合变形应变能叠加是由于横截面内力仅在自身 产生的变形上做功，其应变能与其他内力引起的变形 无关。
【例13-1 】如图所示求梁的应变能
解：方法一：按外力功计算 根据变形表可查，
FP l 3 M e l 2 A 3 EI 2 EI
FP l 2 M e l A 2 EI EI
[例13-1] 如图所示的三根圆截面拉杆，其支承、材料、 荷载、长度均相同，但直径的变化不同，试求三杆的 应变能比值。
解：对于1杆，有
F l 2F l V 1 2 2 EA1 Ed
2 N 2 P
对于2杆，有
2 P
对于3杆，有
2 P
3 2 1 F l FP l 2 7 F 4 4 P l V 2 2 2 ( 2d ) (d ) 8Ed 2 2 E 2 E 4 4
2
FP2 l 3 FP M e l 2 M 2 e l 6 EI 2 EI 2 EI
★用内力功来计算应变能。
两种计算结果完全一致
【例13-2 】试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理 求自由端B的挠度。（EI为常数）
FP
解：
FP
M ( x ) FP x
2 3 l 2 M 2( x ) V dx ( FP x ) dx FP l 2E I l 6 EI 2E I 0 1 W FP B 2 与查挠度表或积分 FP l 3 由V W，得 B 法计算结果完全一 3 EI
3
2
A
V FP l 2 M e l A M e 2 EI EI
线弹性杆件或结构的应变能对于作用在杆件或 结构上的任一独立广义外力的偏导数等于该力相 应的广义位移。即
V i F Pi
证明如下： 第一种加载顺序
卡式第 二定理
设第一组荷载 F , F , F ,F , ， 作用在受支座约束无任何刚性位 移的线弹性结构上，这些荷载相 应的位移分别为 , , , ,
则
ij ji
位移互等定理
注意：式中力和位移为广义力和广义位移
【例13-6 】图示简支梁，力Fp作用在梁的中点C处， B截面的转角 F l ， 求在B截面作用 力偶矩Me时， 16 EI C点的挠度 C。
2 P B
解：根据功的互等定理，有
FP c M e B
M e FP l 2 M e l 2 C 16 EIFP 16 EI
4、组合变形杆
V FN ( x ) FN ( x ) M ( x ) M ( x ) T ( x ) T ( x ) i dx dx dx FPi l EA FPi EI FPi FPi l l GI P
FP
解：
M 2 (s ) M ( s ) F R sin P V ds 2E I l 2 2 M ( ) ( FP R sin )2 Rd Rd 2E I 2E I 0 l 2 FP R 3 1 8 EI W FP BV 2
由V W，得：
注意事项： ①V—整体结构在外荷载作用下的弹性应变能 ②Fpi—看成为变量，应变能表示为Fpi的函数 ③△i—为Fpi作用点方向的位移 ④当没有与△i对应的Fpi时，先加一沿△i方向的 Fpi，求偏导后，再令其为零
二、桁架、直梁、平面曲杆和组合变形杆件 的卡式第二定理表达式 2 m FNi l i 1、桁架 V i 1 2 EA i
第13章 能量法及其应用
§13-1 应变能的计算 §13-2 互等定理 §13-3 卡式第二定理
§13-4 求解位移的单位荷载法（莫尔积分法）
§13-5 计算莫尔积分的图形互乘法 §13-6 能量法求解超静定问题简介
利用功能原理解决工程结构位移或杆件 变形等有关问题的方法,称为能量法
§13-1 应变能的计算
1 1 V W FP A M e A 2 2
FP2 l 3 FP M e l 2 M 2 e l 6 EI 2 EI 2 EI
方法二：按内力功计算
M ( x ) ( M e FP x )
V
l
[ ( M e F P x )] dx 2E I
若P1 P2 ，则得
位移互等定理:
12 21
考虑两种加载顺序： 一种是先加力系FPi ,后加力系FQi ，即P 一种是先加力系FQi ,后加力系FPi ，即Q Q； P；
( V )P Q ( V )Q P
n m 1 1 ( V )P Q FPi ii FQj jj FPi ij i 1 2 j 1 2 i 1 n m n 1 ( V )Q P FQj jj FPi ii FQj ji j 1 2 i 1 2 j 1 m
FP
BV
FP R 3
4 EI
R
【例13-5 】试求图示正方形杆系结构的应变能，并求 A、C两点的相对位移。已知各杆的拉压刚度EA相同。 解： ⑴求各杆轴力
FNAB FNBC FNCD FNAD 2 FP 2
FNBD FP
⑵求整个结构应变能
2 F 2 Ni l i 2l F 2 NAB l FNAD V 4 2 EA 2 EA i 1 2 EA 5
P1 P2 P3 Pi 1 2 3 i
V f ( F P 1 , F P 2 , F P 3 , F P i , )
设上述诸力中任一力Fpi有增量Fpi(第二组力）， 其余各力增量为零，则应变能为
V V V V F Pi F Pi
第二种加载顺序 先作用 F Pi ， 位移 i 再作用
V
l
FN ( x ) T (x) M (x) dx dx dx 2E A 2E I l 2G I p l
2 2
2
★对于以弯曲变形为主的杆件，因轴力和剪力远小
于弯矩的影响，所以计算时，通常不计轴力和剪力的 影响。
V
l
FN ( x ) T 2( x ) M 2( x ) dx dx dx 2E A 2E I l 2G I p l
FP2 2 1 EA 2
⑶计算A、C两点的相对位移
AC
V W
FP2 1 2 1 FP AC 2 EA 2