材料力学能量法
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材料力学能量法
限制条件：不适 用于求解动力学 问题如振动、冲 击等
适用范围：适用 于求解线性问题 如弹性、塑性等
限制条件：不适 用于求解非线性 问题如塑性、蠕 变等
材料力学能量法的发展趋势和未来 展望
材料力学能量法的发展趋势
计算方法：发展高效、准确 的数值计算方法
应用领域：拓展应用领域如 航空航天、生物医学等
柱的压缩问题
问题描述：柱在轴向 压力作用下的压缩问 题
应用实例：桥梁、建 筑等结构中的柱在受 压时的变形和破坏
能量法分析：利用能 量法分析柱的受压变 形和破坏过程
结论：能量法在柱的 压缩问题中的应用可 以有效地预测柱的变 形和破坏情况为工程 设计提供依据。
弹性体的振动问题
添加 标题
弹性体振动问题的背景：在工程中弹性体的振动问题非常常见如桥梁、建筑物、机械设备等。
定义和原理
材料力学能量法： 一种研究材料力学 问题的方法通过分 析能量变化来求解 问题。
基本概念：能量、 应力、应变、位移 等。
原理：根据能量守 恒定律材料的变形 和破坏过程中能量 会发生变化通过分 析这些变化可以求 解问题。
应用：广泛应用于 结构分析、优化设 计等领域。
能量法的应用范围
结构力学：分析结构受力、变形和稳定性 材料力学：分析材料应力、应变和断裂 流体力学：分析流体流动、压力和速度 热力学：分析热传导、对流和辐射 电磁学：分析电磁场、电磁波和电磁感应 声学：分析声波传播、反射和吸收
能量法的基本假设
材料是连续、均匀、各向同性的
材料是线弹性的应力与应变成正 比
添加标题
添加标题
材料是弹性的满足胡克定律
添加标题
添加标题
材料是各向同性的应力与应变的 关系与方向无关
材料力学 能量法
3
13 Pa 12 EI
3
M
能量法
例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及
集中力X作用。用图乘法求： (1)集中力作用端挠度为零时的X值； (2)集中力作用端转角为零时的X值。
能量法
解：(1)
ql / 8
2
1 wC EI
Xal 2a Xa 2 2a ql 3 a 2 3 2 3 12 2
l P 2 得：P wC1 m 2E I 2 ml 由此得： C wC1 8E I
2
能量法
例：长为 l 、直径为 d 的圆杆受一对横向压力 P 作用，
求此杆长度的伸长量。已知E和m。
能量法
解：由位移互等定理知，①杆的伸长量等于 ②杆直径的减小量
l
①
d
②
e d e d
4 P P d d E AE
能量法
例：已知简支梁在均布载荷 q 作用下，梁的中点挠
度
5ql w 384E I
4
。求梁在中点集中力P作用下(见
图)，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积A。
A
能量法
A
5ql q A P 384E I
能量法
4
可用于线弹性材料，也可用于非线弹性材料。
能量法
§12-7 单位载荷法 莫尔积分
P1
P2
C
用虚功原理可以导出计算结构一点位移的单位载荷法
能量法
P1
P2
C
Fs ( x)
C
M ( x)
1 M ( x)d
M ( x) d dx EI
P0 1 Fs ( x)
材料力学第十三章 能 量 法
Vε Vε (D1 , D 2 ,, D i ,, D n )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi 其它位移均保持不变 梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量
d W Fi d D i
Ve d Ve d Di D i
d Ve d W
Ve Fi D i
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Vε
l
0
F ( x) T ( x) dx dx 0 2GI 2 EA p
l
2 N
2
F ( x) M ( x) d x s dx 0 2 EI 0 2GA
l l
2
2 S
应变能恒为正 ，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1 s e
外力作功：
de e 1
DAB 方向水平向外
§3-4 用能量法解超静定系统
解超静定问题要综合考虑三方面 几何方面 —— 建立变形几何相容条件 物理方面 —— 建立补充方程 静力学方面 —— 建立平衡方程
等直杆，发生基本变形，材料为线性弹性体 非等直杆或杆系结构，受较复杂荷载作用， 材料为非线性弹性体 易 难
能量法
例1：求图示超静定梁支座处的约束力。
③ 先加M，后加F
A
M AM
F
B
AF DCF
AM
Ml 3EI
D CF
Fl 48 EI
3
AF
Fl 16 EI
2
1 1 应变能： V M ε AM ( FD CF M AF ) 2 2 2 3 2 2 1 F l M l MFl ( ) EI 96 6 16
Ve Fi D i
材料力学13能量法
1 1 V F2 22 F111 F2 21 2 2
功的互等定理:
F1 12 F2 21
即：F1 力在由F2力引起的位移上所作的功，等于F2 力在由F1力引起的位移上所作的功。
若F1 = F2 ，则得
位移互等定理:
12 21
即： F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移，等于同 样大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。
( F1 F2 ) L F1 L F2 L F1F2 L V 2 EA 2 EA 2 EA EA
2
2
2
L
2） F1 单独作用下：
F1 F2
F1 L V 1 2 EA
3）F2 单独作用下：
F22 L V 2 2 EA
2
L F1 F2
L
V1 V 2 V
证毕。
b Px1 l ( 0 ≤x1 ≤ a) a CB段： M(x2 ) = RB x2 = Px2 l ( 0 ≤x2≤ b) 2
AC段：M(x1 ) = RA x1 =
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。 比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
P12 l1 P1作功为 V 3 2 EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水)
总功仍为上述表达式。
直接利用功能原理求位移的实例
利用能量法求解时，所列 例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
解：
A x1 RA l a
P
功的互等定理:
F1 12 F2 21
即：F1 力在由F2力引起的位移上所作的功，等于F2 力在由F1力引起的位移上所作的功。
若F1 = F2 ，则得
位移互等定理:
12 21
即： F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移，等于同 样大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。
( F1 F2 ) L F1 L F2 L F1F2 L V 2 EA 2 EA 2 EA EA
2
2
2
L
2） F1 单独作用下：
F1 F2
F1 L V 1 2 EA
3）F2 单独作用下：
F22 L V 2 2 EA
2
L F1 F2
L
V1 V 2 V
证毕。
b Px1 l ( 0 ≤x1 ≤ a) a CB段： M(x2 ) = RB x2 = Px2 l ( 0 ≤x2≤ b) 2
AC段：M(x1 ) = RA x1 =
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。 比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
P12 l1 P1作功为 V 3 2 EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水)
总功仍为上述表达式。
直接利用功能原理求位移的实例
利用能量法求解时，所列 例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
解：
A x1 RA l a
P
材料力学(能量方法)
代入莫尔积分公式
δy = ∫
0
x2
M ( x1 ) = − Px1 , M ( x2 ) = − Pa
B
x1 1
A
C
AB段 BC段
M ( x1 ) = − Px1 , M ( x2 ) = − Pa
a
M ( x1 ) = − x1 , M ( x2 ) = − a
代入莫尔积分公式
l M ( x )M ( x ) M ( x1 ) M ( x1 ) 2 2 δy = ∫ d x1 + ∫ d x2 0 0 EI1 EI 2 1 a 1 l = ∫0 (− x1 )(−Px1 ) d x1 + EI2 ∫0 (−a)(−Pa) d x2 EI1 2 3 Pa l Pa + = 3EI1 EI 2
a
=0
例2：用单位力法求C点的水平位移。（EI、EA 已知） x2 x2 b 解：1 加单位载荷 A B A B 2 求内力方程 a 3 积分 x1 x1 C F C F=1
BC :
BA :
M ( x1 ) = − Fx1 ;
M ( x1 ) = − x1
M ( x2 ) = − Fa; FN ( x2 ) = − F ;
F1
δ2
F3 F2
δ3
δiβ
Fi β
广义外力的中间值 相应的广义位移中间值 广义力（位移）的相应增量
Fi (δ i )dβ
b 外力在位移增量上作的功为
d W = ∑ ( Fi β + Fi dβ ) • (δ i dβ ) ≈ (
外力总功
∑ F δ )βdβ
i i
W = ∫ d W = (∑
1 Fiδ i ) β dβ = ∑ ( Fiδ i ) 0 2
材料力学第8章-能量法
能量原理的应用
能量原理可以应用于弯曲、拉伸、压缩等各种不同的力学问题。通过计算系统的势能和应变能，可以分 析材料的应力分布、变形情况和稳定性。
弹性势能和弹性材料的能量原 理
弹性势能是指弹性材料在外力作用下产生的能量。通过应变能和弹性势能之 间的关系，可以推导出弹性材料的力学性质和变形方程。
弹塑性材料的能量原理
材料力学第8章-能量法
材料力学的能量法是研究材料变形和力学行为的重要方法，它具有广泛的应 用。本章将介绍能量法的基本概念和应用，以及弹性和弹塑性材料的能量原 理。
能量法的基本概念
能量法是一种力学分析方法，通过考虑系统的能量变化，推导出材料的力学 性质和变形行为。能量法的基本概念包括势能和应变能的概念，以及能量守 恒定律。
通过能量法，我们可以分析臂梁在外力作用下的弯曲行为。通过计算和优化梁的几何参数和材料性质， 可以设计出更加稳定和高效的悬臂梁结构。
总结和要点
能量法是一种重要的材料力学分析方法，它通过考虑材料的能量变化，分析 材料的力学性质和变形行为。
对于弹塑性材料，除了考虑弹性势能外，还需要考虑应变能和塑性势能的贡献。能量原理可以用来分析 弹塑性材料的强度和变形行为。
能量法在材料力学中的重要性
能量法是材料力学中的一种基本方法，它可以用来分析各种不同类型的力学问题，包括材料的变形、破 坏和失稳行为。掌握能量法对于研究和设计材料结构至关重要。
应用实例：悬臂梁弯曲问题的分析
材料力学能量法
材料力学能量法材料力学能量法是材料力学中的一种重要分析方法，它通过能量原理来研究材料的力学性能和行为。
能量法在工程应用中具有广泛的意义，可以用于解决各种复杂的材料力学问题。
本文将对材料力学能量法进行详细介绍，包括其基本原理、应用范围和计算方法等内容。
首先，我们来看一下材料力学能量法的基本原理。
能量法是以能量守恒原理为基础的一种力学分析方法，它认为在任何力学系统中，系统的总能量始终保持不变。
在材料力学中，通过能量方法可以方便地求解结构的变形、应力分布和稳定性等问题。
能量法的基本原理为系统的总能量等于外力对系统做功的总和，即系统的内能和外力对系统做功的总和保持恒定。
其次，材料力学能量法的应用范围非常广泛。
它可以用于分析材料的弹性、塑性、断裂等力学性能，也可以用于研究材料的疲劳、蠕变、冷却等行为。
在工程实践中，能量法可以应用于各种材料的设计、优化和性能评估，如金属材料、复合材料、土木工程材料等。
通过能量法分析，可以更好地理解材料的力学行为，为工程设计和材料选型提供科学依据。
最后，我们来介绍一下材料力学能量法的计算方法。
能量法的计算方法主要包括弹性能量法、弹塑性能量法和断裂能量法等。
在应用中，需要根据具体问题选择合适的能量方法，并结合数值计算和实验验证进行分析。
在计算过程中，需要考虑材料的本构关系、加载条件和边界约束等因素，以确保计算结果的准确性和可靠性。
综上所述，材料力学能量法是一种重要的力学分析方法，具有广泛的应用前景和深远的理论意义。
通过能量法分析，可以更好地理解材料的力学性能和行为，为工程实践提供科学依据。
在今后的研究和应用中，我们需要进一步深入理解能量法的基本原理和计算方法，推动其在材料力学领域的发展和应用。
材料力学 能 量 方 法
例4.4 已知: F, R, EI
求: BV
解: 1. 写 M (x) 并对F 求偏导
F B R F1
A : M ( ) = - FRsin M/F = - Rsin 2. 求 BV M ( ) M 1 /2 BV = EI F Rd = EI 0 (-FRsin )(-Rsin ) Rd
上式适用于线性和非线性弹性或非弹性杆件或杆系。 对于线弹性杆或杆系:
FN(x)dx d = EA T(x)dx d = GI t My(x)dx dy = E I y Mz(x)dx dz = E I z
0 FN(x)FN(x) T 0(x)T(x) My0(x)My(x) Mz0(x)Mz(x) dx + G I dx + dx + dx = EA E Iy E Iz l t
l
M 2(x) dx 2 EI
非圆截面杆:
2 FN(x) dx T 2(x) dx M 2(x) dx M 2(x) dx y z V = + + + l 2 EA l 2 GIt l 2 EI y l 2 EI z
功能原理：
W = V
例4.1 知: F , Me , EI , l
求: 外力做的总功 W 解: wB =
P B
B + P
R
1
B
16PR2 + 32PR2 ( 1 – 1 ) = Ed 4 Gd 4 4
例4.9 知:P , l , EI
(省竞赛试题)
y A
P B x l
求: 反向弯曲的挠曲线方程 解: 由图乘法求力作用点挠度: y = – {[a(Pab/l )/2](2ab/3l ) + + [b(Pab/l )/2](2ab/3l ) }/EI Pa2b2 = – 3EIl 令 a = x , b = l – x , 并反号, 得 y = Px2(l – 3EIl x)2
材料力学 能量法
能量法一、变形能（应变能）：变形固体在外力作用下由变形而储存的能量“”。
弹性变形能：变形固体在外力作用下产生的弹性变形而储存的能量1、性变形能具有可逆性。
2、塑性变形能不具有可逆性。
二、变形能的计算：利用能量守恒原理能量守恒原理：变形固体在外力作用下产生的变形而储存的能量，在数值上等于外力所作的外力功。
三、能量法：利用功能原理和功、能的概念进行计算的方法。
常见的能量法——功能原理、单位力（莫尔积分）、卡氏定理等。
在卡氏第二定理中应该注意的问题①、Vε——整体结构在外载作用下的线弹性变形能。
②、F i视为变量，结构反力和变形能等都必须表示为F i的函数②、Δi为F i作用点的、沿F i方向的变形③、Δi处要有相应的荷载，当无与Δi对应的F i时，可采用附加力法进行计算。
既先加一沿Δi方向的F i（在所求位移处沿所求位移的方向加上相对应的附加力），求偏导后，在令其为零，结果即为实际荷载作用的位移⑤、结果为正时，说明Δi与F i的方向相同；结果为负时，说明Δi与的F i方向相反。
单位力载荷法注意问题1、此种方法存在两个力系：一个为实际的力系；另一个为单位力系。
2、单位力必须与所求位移相对应：若求线位移——则单位力必须作用在所求点沿所求位移方向加单位的集中力；若求角位移——则单位力必须作用在所求点沿所求位移方向加单位的集中力偶。
2、内力的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。
莫尔积分必须遍及整个结构。
4、结果为“+”只说明所加的单位力的方向与实际的位移方向相同；“-”只说明所加的单位力的方向与实际的位移方向相反。
材料力学(能量法)
弹性变形阶段
01
外力作用下，材料发生弹性变形，此时外力所做的功全部转化
为应变能储存于材料内部。
塑性变形阶段
02
当外力继续增加，材料进入塑性变形阶段，部分应变能转化为
热能散失到环境中。
断裂破坏阶段
03
当材料达到强度极限时发生断裂破坏，此时储存的应变能迅速
释放并转化为断裂表面的新表面能和其他形式的能量。
非圆截面扭转时的能量可以通过实验或数值模拟等方法进 行计算，以获得准确的能量值。
扭转变形过程中能量转化
弹性变形能
在扭转变形过程中，部分能量以弹性变形能的形式储存在材料中。 当外力去除后，这部分能量可以释放并使材料恢复原状。
塑性变形能
当扭转变形超过材料的弹性极限时，部分能量会以塑性变形能的形 式消耗在材料中。这部分能量不可逆转，导致材料产生永久变形。
压缩过程中能量变化
外力做功
在压缩过程中，外力对杆件做 功，使其产生压缩变形和位移 。外力做功的大小与外力的大 小和杆件的位移成正比。
内力耗能
杆件在压缩过程中，材料内部 会产生应力和应变，从而消耗 能量。内力耗能的大小与材料 的应力-应变关系有关。
弹性势能
杆件在压缩过程中，由于材料 的弹性变形，会储存一定的弹 性势能。弹性势能的大小与材 料的弹性模量和变形量有关。
结构稳定性分析方法
能量准则
通过比较结构失稳前后的能量变 化，判断结构的稳定性。若失稳 后能量降低，则结构不稳定。
平衡路径跟踪法
通过逐步增加荷载或位移，跟踪 结构的平衡路径，观察结构从稳 定到不稳定的转变过程。
特征值分析法
基于结构刚度矩阵和质量矩阵， 求解特征值和特征向量，分析结 构的振动特性和稳定性。
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wA
F
A
B
x
l
②列弯矩方程 M =－Fx （ 0 ≤ x ＜ l ） ③求外力功W 和应变能Ve
1 W FwA 2
1 F 2l 3 FwA 2 6 EI
2 l ( Fx ) dx M 2 dx F 2l 3 Ve 0 2 EI 0 2 EI 6 EI l
Fl 3 wA 3EI
l
由功能原理有
由平衡方程和对称条件有 F1 F2 ，Dl1 Dl2
2 F1 cos + F3 F
1 1 F Dl3 ( F1Dl1 + F2 Dl2 + F3Dl3 ) 2 2
（1） Dl3
（2） （3）
F
Dl1
（2）、（3）代入（1）得 Dl3 cos Dl1
变形几何方程
即 D1= d11F1+d12F2+ … +d1iFi + … +d1nFn …… Di= di1F1+di2F2+ … +diiFi + … +dinFn …… 其中dij 是与载荷无关的常数。 注意：各载荷和位移都是指最终值，所以是常数。
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16
设各外载荷有一增量，于是位移亦有一增量。载荷 在位移增量上所作的元功为：
( )
仅仅只能求力作用点与力相对应的位移， 其它位移的求解有待进一步研究功能原理。
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10
图示对称结构，各杆抗拉刚度EA均相等。 ①由平衡方程，通过功能原理导出变形几 何方程；②由平衡方程结合功能原理求出 各杆内力。
解：A点的位移等于③杆的变形Dl3。
B
C
D
A
Dii和 Dij第一个下标i表示i点的位移，第二个下标i和j分别表示
是由i点和j点的力引起的位移， Dji和 Djj亦可以类推得到。
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22
先加Fi i
Fi
Dii Dij
后加Fj Fj
Dji Djj
Fi
Fi
j
O
Dii
Dij
Di
外力功为
Fj
Fj
1 1 W Fi D ii+ Fj D jj + Fi D ij 2 2
Me Me
j
j
M e2 l 1 T 2l Ve W M ej 2 2GI P 2GI P
T为变量时
T ( x) Ve dx l 2GI P
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5
2
材料力学
3、平面弯曲
dq
纯弯曲
dq M d x EI 1
M dq dx EI
1 M2dx Ve W M d q 2 2 EI
1 1 1 1 Fi Dii + Fj D jj + Fi Dij + F j D ji 2 2 2 2
1 1 Fi (Dii + Dij ) + Fj (D jj + D ji ) 2 2 1 1 Fi Di + Fj D j Clapeyron原理 2 2
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wC l 3EI
W F dD
0
D
F
F F F dD
F—D 图下方面积 对于线弹性体 1 W FD 2
F为广义力，D为广义位移。
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D
D
D
D
13
二、外力功与变形能的特点
外力功的数值与加载顺序无关， 只与载荷与位移的最终数值有关。 加载顺序： F1, F2, …Fi，… 不同时加载，加载顺 F2, F1, … Fj，… 序不同，外力功不变。 …………… 如果外力功和变形能与加载顺序有关，会出现 什么结果？ 按一种顺序加载，按另一种顺序卸载，能量还 能守恒么？——反证法！
M
T
FN
dx
整个杆件的应变能为
Ve
2 FN ( x )
l
2 EA
dx +
M 2 ( x)
l
T 2 ( x) dx + dx l 2GI 2 EI P
21
材料力学
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四、功的互等定理(线弹性体)
Fi i j Dii i Dij 位移 命名 Dji Fj
j Djj
位移D的第一个下标表示某点处的位移， 第二个下标表示由那点的力引起的位移。
3
材料力学
二、线弹性体的应变能
1、轴向拉压
F F
l
F F Dl
Fl Dl EA
2 FN l 1 F 2l Ve W F Dl 2 2 EA 2 EA
Dl
FN为变量时
F ( x) Ve dx l 2 EA
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4
2 N
材料力学
2、扭 转
Me
M el j GI P
Fj
Fj
O
Dj
Djj
Dji
Fi Dij Fj D ji
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24
1 1 W Fi Dii + Fj D jj Ư Fi Dii + Fj D jj + Fi Dij + Fi D ij 2 2 2 2
Fi Dij Fj D ji
dW=F1*dD1*+…+Fi*dDi*+…+Fn*dDn* =lF1d(lD1)+…+lFid(lDi)+…+lFnd(lDn) =(F1D1+…+FiDi+…+FnDn)ldl 外力作的总功为：
W ( F1D1 + +Fi D i + + Fn D n )
1
0
l dl
1 1 1 F1D1 + + Fi D i + + Fn D n 2 2 2 n 1 Fi D i i 1 2
F3l F32l F12l F22l + + （1）考虑物理方程得 F EA EA cos EA cos EA
（2）、（3）代入上式并化简得得
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F3 cos F1
2
几何方程 和物理方 程的联立
11
§10.2
一、外力功的计算
互等定理
Fi —— 广义力（集中力，力偶）
1
n
D1
D2
Di
图示挠曲线为所有力共同作用下的挠曲线，各点 位移都不是单个力引起的，是所有力共同作用下 的位移。D1既有F1的作用，也有F2 ， Fi 的作用。 所以Clapeyron原理不符合叠加原理。
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19
注 意
1、Clapeyron原理只适用于线弹性，小变形体； 2、Di 尽管是Fi 作用点的位移，但它不只是Fi 一 个力引起的，而是所有力共同作用的结果，即 它是 i 点实际的总位移；
FwC [qdx w( x )] qAw
l
FwC 5Fl 4 Aw q 384 EI
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27
装有尾顶针的工件可简化为静不定梁。试利用互等定理 求C处的约束力。 F 解：解除C处约束的工件可 简化为悬臂梁，F、FC作为 第一组力。悬臂梁在C处加 单位力1作为第二组力。 2 a 3 (l a)a 2 ( 3l a ) a wB + 3EI 2 EI 6 EI
F
F—D图下方面积
dD
D
D
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2
对于线弹性体 1 W FD 2
F为广义力，D为与力对应的广义位移。
F F
2、应变能Ve
D
D
弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。 由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能Ve 在数值上等于外力所作的功W。（忽略能量损失）
即
Ve =W
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17
设各外载荷按相同的比例，从零开始缓慢增加到最 终值。即任一时刻各载荷的大小为： F1*=lF1, F2*=lF2 ,… Fi*=lFi ,…Fn*=lFn
其中 l从0缓慢增加到1，说明加载完毕。 加载过程中 ，任一时刻的位移为： D1*= d11F1* +d12 F2 * + … +d1iFi * … +d1nFn *=lD1
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先加F1后加F2
F1
F2
先加F2后加F1
F2
F1
不同加载次序外力功均相同，若按比例同时加载， 外力同时达到最终值，即比例加载，外力功不变。
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三、克拉贝依隆（Clapeyron)原理
线弹性体上，作用有载荷F1,F2 , … Fi, … Fn 与外力方向相应的位移为D1, D2, … Di, … Dn 由线弹性体的叠加原理，各位移是载荷的线性函数
……
Di*= di1F1 * +di2 F2 * + … +diiFi * … +dinFn *= lDi
……
注意：带星号上标的载荷和位移都是中间值，所 以是变数，随着l的变化而变化。
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1 Ve W Fi D i i 1 2
线弹性体的外力功或变形能等于每一外力与其 对应位移乘积之半的总和。 Fi F2 F
F
A
B
x
l
②列弯矩方程 M =－Fx （ 0 ≤ x ＜ l ） ③求外力功W 和应变能Ve
1 W FwA 2
1 F 2l 3 FwA 2 6 EI
2 l ( Fx ) dx M 2 dx F 2l 3 Ve 0 2 EI 0 2 EI 6 EI l
Fl 3 wA 3EI
l
由功能原理有
由平衡方程和对称条件有 F1 F2 ，Dl1 Dl2
2 F1 cos + F3 F
1 1 F Dl3 ( F1Dl1 + F2 Dl2 + F3Dl3 ) 2 2
（1） Dl3
（2） （3）
F
Dl1
（2）、（3）代入（1）得 Dl3 cos Dl1
变形几何方程
即 D1= d11F1+d12F2+ … +d1iFi + … +d1nFn …… Di= di1F1+di2F2+ … +diiFi + … +dinFn …… 其中dij 是与载荷无关的常数。 注意：各载荷和位移都是指最终值，所以是常数。
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设各外载荷有一增量，于是位移亦有一增量。载荷 在位移增量上所作的元功为：
( )
仅仅只能求力作用点与力相对应的位移， 其它位移的求解有待进一步研究功能原理。
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图示对称结构，各杆抗拉刚度EA均相等。 ①由平衡方程，通过功能原理导出变形几 何方程；②由平衡方程结合功能原理求出 各杆内力。
解：A点的位移等于③杆的变形Dl3。
B
C
D
A
Dii和 Dij第一个下标i表示i点的位移，第二个下标i和j分别表示
是由i点和j点的力引起的位移， Dji和 Djj亦可以类推得到。
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先加Fi i
Fi
Dii Dij
后加Fj Fj
Dji Djj
Fi
Fi
j
O
Dii
Dij
Di
外力功为
Fj
Fj
1 1 W Fi D ii+ Fj D jj + Fi D ij 2 2
Me Me
j
j
M e2 l 1 T 2l Ve W M ej 2 2GI P 2GI P
T为变量时
T ( x) Ve dx l 2GI P
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5
2
材料力学
3、平面弯曲
dq
纯弯曲
dq M d x EI 1
M dq dx EI
1 M2dx Ve W M d q 2 2 EI
1 1 1 1 Fi Dii + Fj D jj + Fi Dij + F j D ji 2 2 2 2
1 1 Fi (Dii + Dij ) + Fj (D jj + D ji ) 2 2 1 1 Fi Di + Fj D j Clapeyron原理 2 2
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wC l 3EI
W F dD
0
D
F
F F F dD
F—D 图下方面积 对于线弹性体 1 W FD 2
F为广义力，D为广义位移。
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D
D
D
D
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二、外力功与变形能的特点
外力功的数值与加载顺序无关， 只与载荷与位移的最终数值有关。 加载顺序： F1, F2, …Fi，… 不同时加载，加载顺 F2, F1, … Fj，… 序不同，外力功不变。 …………… 如果外力功和变形能与加载顺序有关，会出现 什么结果？ 按一种顺序加载，按另一种顺序卸载，能量还 能守恒么？——反证法！
M
T
FN
dx
整个杆件的应变能为
Ve
2 FN ( x )
l
2 EA
dx +
M 2 ( x)
l
T 2 ( x) dx + dx l 2GI 2 EI P
21
材料力学
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四、功的互等定理(线弹性体)
Fi i j Dii i Dij 位移 命名 Dji Fj
j Djj
位移D的第一个下标表示某点处的位移， 第二个下标表示由那点的力引起的位移。
3
材料力学
二、线弹性体的应变能
1、轴向拉压
F F
l
F F Dl
Fl Dl EA
2 FN l 1 F 2l Ve W F Dl 2 2 EA 2 EA
Dl
FN为变量时
F ( x) Ve dx l 2 EA
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4
2 N
材料力学
2、扭 转
Me
M el j GI P
Fj
Fj
O
Dj
Djj
Dji
Fi Dij Fj D ji
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1 1 W Fi Dii + Fj D jj Ư Fi Dii + Fj D jj + Fi Dij + Fi D ij 2 2 2 2
Fi Dij Fj D ji
dW=F1*dD1*+…+Fi*dDi*+…+Fn*dDn* =lF1d(lD1)+…+lFid(lDi)+…+lFnd(lDn) =(F1D1+…+FiDi+…+FnDn)ldl 外力作的总功为：
W ( F1D1 + +Fi D i + + Fn D n )
1
0
l dl
1 1 1 F1D1 + + Fi D i + + Fn D n 2 2 2 n 1 Fi D i i 1 2
F3l F32l F12l F22l + + （1）考虑物理方程得 F EA EA cos EA cos EA
（2）、（3）代入上式并化简得得
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F3 cos F1
2
几何方程 和物理方 程的联立
11
§10.2
一、外力功的计算
互等定理
Fi —— 广义力（集中力，力偶）
1
n
D1
D2
Di
图示挠曲线为所有力共同作用下的挠曲线，各点 位移都不是单个力引起的，是所有力共同作用下 的位移。D1既有F1的作用，也有F2 ， Fi 的作用。 所以Clapeyron原理不符合叠加原理。
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注 意
1、Clapeyron原理只适用于线弹性，小变形体； 2、Di 尽管是Fi 作用点的位移，但它不只是Fi 一 个力引起的，而是所有力共同作用的结果，即 它是 i 点实际的总位移；
FwC [qdx w( x )] qAw
l
FwC 5Fl 4 Aw q 384 EI
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装有尾顶针的工件可简化为静不定梁。试利用互等定理 求C处的约束力。 F 解：解除C处约束的工件可 简化为悬臂梁，F、FC作为 第一组力。悬臂梁在C处加 单位力1作为第二组力。 2 a 3 (l a)a 2 ( 3l a ) a wB + 3EI 2 EI 6 EI
F
F—D图下方面积
dD
D
D
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2
对于线弹性体 1 W FD 2
F为广义力，D为与力对应的广义位移。
F F
2、应变能Ve
D
D
弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。 由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能Ve 在数值上等于外力所作的功W。（忽略能量损失）
即
Ve =W
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设各外载荷按相同的比例，从零开始缓慢增加到最 终值。即任一时刻各载荷的大小为： F1*=lF1, F2*=lF2 ,… Fi*=lFi ,…Fn*=lFn
其中 l从0缓慢增加到1，说明加载完毕。 加载过程中 ，任一时刻的位移为： D1*= d11F1* +d12 F2 * + … +d1iFi * … +d1nFn *=lD1
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先加F1后加F2
F1
F2
先加F2后加F1
F2
F1
不同加载次序外力功均相同，若按比例同时加载， 外力同时达到最终值，即比例加载，外力功不变。
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三、克拉贝依隆（Clapeyron)原理
线弹性体上，作用有载荷F1,F2 , … Fi, … Fn 与外力方向相应的位移为D1, D2, … Di, … Dn 由线弹性体的叠加原理，各位移是载荷的线性函数
……
Di*= di1F1 * +di2 F2 * + … +diiFi * … +dinFn *= lDi
……
注意：带星号上标的载荷和位移都是中间值，所 以是变数，随着l的变化而变化。
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1 Ve W Fi D i i 1 2
线弹性体的外力功或变形能等于每一外力与其 对应位移乘积之半的总和。 Fi F2 F