材料力学第10章-材料力学中的能量法
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材料力学能量法
限制条件：不适 用于求解动力学 问题如振动、冲 击等
适用范围：适用 于求解线性问题 如弹性、塑性等
限制条件：不适 用于求解非线性 问题如塑性、蠕 变等
材料力学能量法的发展趋势和未来 展望
材料力学能量法的发展趋势
计算方法：发展高效、准确 的数值计算方法
应用领域：拓展应用领域如 航空航天、生物医学等
柱的压缩问题
问题描述：柱在轴向 压力作用下的压缩问 题
应用实例：桥梁、建 筑等结构中的柱在受 压时的变形和破坏
能量法分析：利用能 量法分析柱的受压变 形和破坏过程
结论：能量法在柱的 压缩问题中的应用可 以有效地预测柱的变 形和破坏情况为工程 设计提供依据。
弹性体的振动问题
添加 标题
弹性体振动问题的背景：在工程中弹性体的振动问题非常常见如桥梁、建筑物、机械设备等。
定义和原理
材料力学能量法： 一种研究材料力学 问题的方法通过分 析能量变化来求解 问题。
基本概念：能量、 应力、应变、位移 等。
原理：根据能量守 恒定律材料的变形 和破坏过程中能量 会发生变化通过分 析这些变化可以求 解问题。
应用：广泛应用于 结构分析、优化设 计等领域。
能量法的应用范围
结构力学：分析结构受力、变形和稳定性 材料力学：分析材料应力、应变和断裂 流体力学：分析流体流动、压力和速度 热力学：分析热传导、对流和辐射 电磁学：分析电磁场、电磁波和电磁感应 声学：分析声波传播、反射和吸收
能量法的基本假设
材料是连续、均匀、各向同性的
材料是线弹性的应力与应变成正 比
添加标题
添加标题
材料是弹性的满足胡克定律
添加标题
添加标题
材料是各向同性的应力与应变的 关系与方向无关
材料力学第十章杆件计算的能量法
T
T
A
T
l
o
B
3.梁弯曲时的应变能
3.1 纯弯曲梁
l Ml
M
EI
W
1 2
M e
Vε
W
1 2
M
e
M 2l 2EI
M
l
3.2 剪切弯曲梁
弯矩M：
dVε M
M (x)2 dx 2EI
M (x)2 dx
Vε M l 2EI
剪力FQ：
6FQ
h2 (
y2)
0 2EI
l
2EI
FA
4
F2 A
l
3
F
l2 3
5FA Fl3
3EI 6EI 6EI
3.位移
Δ A
Vε FA
0
FA
5 16
F
例 求如图所示简支梁截面A的转角，设梁EI的为常数。
Mo A
M B
l
解：为了求A截面的转角A，可在A端加一虚力偶M0，如
图所示。则按卡氏第二定理，A截面的转角:
§10-2 杆件的弹性应变能
一、杆在基本变形下的应变能
1.杆在轴向拉伸（压缩）时的应变能
F
F
A
l l1
Vε
1 2
FN l
FN2l 2EA
dF F1 F
o
d(△l) △l1
B △l
2.圆杆扭转时的应变能
W 1 T
2
Mx T
M xl
GIP
材料力学能量法
材料力学能量法材料力学能量法是材料力学中的一种重要分析方法，它通过能量原理来研究材料的力学性能和行为。
能量法在工程应用中具有广泛的意义，可以用于解决各种复杂的材料力学问题。
本文将对材料力学能量法进行详细介绍，包括其基本原理、应用范围和计算方法等内容。
首先，我们来看一下材料力学能量法的基本原理。
能量法是以能量守恒原理为基础的一种力学分析方法，它认为在任何力学系统中，系统的总能量始终保持不变。
在材料力学中，通过能量方法可以方便地求解结构的变形、应力分布和稳定性等问题。
能量法的基本原理为系统的总能量等于外力对系统做功的总和，即系统的内能和外力对系统做功的总和保持恒定。
其次，材料力学能量法的应用范围非常广泛。
它可以用于分析材料的弹性、塑性、断裂等力学性能，也可以用于研究材料的疲劳、蠕变、冷却等行为。
在工程实践中，能量法可以应用于各种材料的设计、优化和性能评估，如金属材料、复合材料、土木工程材料等。
通过能量法分析，可以更好地理解材料的力学行为，为工程设计和材料选型提供科学依据。
最后，我们来介绍一下材料力学能量法的计算方法。
能量法的计算方法主要包括弹性能量法、弹塑性能量法和断裂能量法等。
在应用中，需要根据具体问题选择合适的能量方法，并结合数值计算和实验验证进行分析。
在计算过程中，需要考虑材料的本构关系、加载条件和边界约束等因素，以确保计算结果的准确性和可靠性。
综上所述，材料力学能量法是一种重要的力学分析方法，具有广泛的应用前景和深远的理论意义。
通过能量法分析，可以更好地理解材料的力学性能和行为，为工程实践提供科学依据。
在今后的研究和应用中，我们需要进一步深入理解能量法的基本原理和计算方法，推动其在材料力学领域的发展和应用。
材料力学(能量法)
弹性变形阶段
01
外力作用下，材料发生弹性变形，此时外力所做的功全部转化
为应变能储存于材料内部。
塑性变形阶段
02
当外力继续增加，材料进入塑性变形阶段，部分应变能转化为
热能散失到环境中。
断裂破坏阶段
03
当材料达到强度极限时发生断裂破坏，此时储存的应变能迅速
释放并转化为断裂表面的新表面能和其他形式的能量。
非圆截面扭转时的能量可以通过实验或数值模拟等方法进 行计算，以获得准确的能量值。
扭转变形过程中能量转化
弹性变形能
在扭转变形过程中，部分能量以弹性变形能的形式储存在材料中。 当外力去除后，这部分能量可以释放并使材料恢复原状。
塑性变形能
当扭转变形超过材料的弹性极限时，部分能量会以塑性变形能的形 式消耗在材料中。这部分能量不可逆转，导致材料产生永久变形。
压缩过程中能量变化
外力做功
在压缩过程中，外力对杆件做 功，使其产生压缩变形和位移 。外力做功的大小与外力的大 小和杆件的位移成正比。
内力耗能
杆件在压缩过程中，材料内部 会产生应力和应变，从而消耗 能量。内力耗能的大小与材料 的应力-应变关系有关。
弹性势能
杆件在压缩过程中，由于材料 的弹性变形，会储存一定的弹 性势能。弹性势能的大小与材 料的弹性模量和变形量有关。
结构稳定性分析方法
能量准则
通过比较结构失稳前后的能量变 化，判断结构的稳定性。若失稳 后能量降低，则结构不稳定。
平衡路径跟踪法
通过逐步增加荷载或位移，跟踪 结构的平衡路径，观察结构从稳 定到不稳定的转变过程。
特征值分析法
基于结构刚度矩阵和质量矩阵， 求解特征值和特征向量，分析结 构的振动特性和稳定性。
材料力学第10章-能量法
10-4 卡氏定理
（2）先加载dFi ，则力 dFi 在其相应的位移 di上做的功为
1
W1 dFi di
2
F1
再加载F1, F2 ,, Fn ，在相应
的位移 i 上所做的功为
1
n1
W2 i1 2 Fi i V
F2
2
dFi Fi
di
i
n
Fn
原来载荷 dFi 对位移i 上所做的功为
W3 dFi i
F A
F
在位移坐标轴上取了一个微段d ，
该微段对应的外力可视为常力。则常力作
功为
dW Fd k d
B
当外载荷和相应的位移由零缓慢增加 O
d
至F 和 时，在这个过程中外力作功
k 2 F
W kd 0
2
2
SOAB
线弹性范围内，外载荷所做的功等于力与位移乘积的一半。
10-2 外载荷做的功
二、多个力作用下的外力功
量的损失），弹性体内部所贮存的应变能，在数
值上等于外力所作的功，即满足：
V W
l
P
利用功和能的概念来求解可变形固体的位移、变形和内力
等的方法，通称为能量方法。
10-2 外载荷做的功
一、单个力作用下的外力功
材料服从胡克定律，即在线弹性范围内，弹性体在外力
作用下位移 与外载荷F 成正比，即
F k
横力弯曲时，弯矩为x的函数，则横力弯曲时的应变能为
M (x)2 dx dV
2EI
M (x)2 dx
V l 2EI
四、用广义力和广义位移表示的应变能
轴向压力
扭转
弯曲
F l V 2
V M e
材料力学：第十章
能量方法
一、概 述
几何法：
物理方程
应力
应变
平衡方程
几何方程 （变形协调方程）
外力
变形
能量法出发点：能量守恒与转换原理。
弹性体承载时，加力点发生位移——荷载做功，W
弹性体变形——储存变形能（应变能）， U
略去在该过程中的微量能量损耗，则由能量守恒
与转换原理，得：
外力功 = 变形能
W=U
由能量的观点出发建立荷载与变形间关系的方法
f11
f12 )
1 2
F2 (
f21
f 22 )
第二种加载方案：先加 F1，然后再加 F2
F1 1
f11
2 F2
f12
f22
先加 F1，F1做功为：
1 2 F1 f11
再加 F2，F2 做功为：
1 2
F2
f22
在加F2的过程中 F1做功为： F1 f12
U2
W2
1 2
F1 f11
1 2
F2
如图，无刚性位移的线弹性结构体，
承受荷载P1、P2、P3…… 设想采用比例加载：P1、
P2、P3……缓慢的按相同 的比例增加，弹性体始终 δ1
δ2
P2
P3
δ3
保持平衡，而且各外力作 P1 用点的位移δ1、δ2、δ3也 将按与外力相同的比例增
加。
于是得到用“外力功”表示的变形 能的普遍表达式：
U
W
（即每个荷载是独立变化的。）
dU C
U C Pi
dPi
另一方面，因为 dPi，余功的增量为：
dWC idPi dUC
idPi
U C Pi
dPi
一、概 述
几何法：
物理方程
应力
应变
平衡方程
几何方程 （变形协调方程）
外力
变形
能量法出发点：能量守恒与转换原理。
弹性体承载时，加力点发生位移——荷载做功，W
弹性体变形——储存变形能（应变能）， U
略去在该过程中的微量能量损耗，则由能量守恒
与转换原理，得：
外力功 = 变形能
W=U
由能量的观点出发建立荷载与变形间关系的方法
f11
f12 )
1 2
F2 (
f21
f 22 )
第二种加载方案：先加 F1，然后再加 F2
F1 1
f11
2 F2
f12
f22
先加 F1，F1做功为：
1 2 F1 f11
再加 F2，F2 做功为：
1 2
F2
f22
在加F2的过程中 F1做功为： F1 f12
U2
W2
1 2
F1 f11
1 2
F2
如图，无刚性位移的线弹性结构体，
承受荷载P1、P2、P3…… 设想采用比例加载：P1、
P2、P3……缓慢的按相同 的比例增加，弹性体始终 δ1
δ2
P2
P3
δ3
保持平衡，而且各外力作 P1 用点的位移δ1、δ2、δ3也 将按与外力相同的比例增
加。
于是得到用“外力功”表示的变形 能的普遍表达式：
U
W
（即每个荷载是独立变化的。）
dU C
U C Pi
dPi
另一方面，因为 dPi，余功的增量为：
dWC idPi dUC
idPi
U C Pi
dPi
材料力学第十章
fC
1 EI
AC
M
(
x1
)
Fs
0
M ( x1 Fs
)
dx
)
f ( x) 1 EI
x 0
F
(l
x1
)(
x
x1
)dx1
Fx 2 6EI
(3l
x)
§10-4 卡氏第二定理
例10-5 图示悬臂梁AB，B端作用铅垂力F，梁的EI已知，
1)求梁的挠曲线方程；2)若在梁中截面再作用力F，求自
x2
F=F0
A
1)dx段应变能：
dU 1(A)( d
x
)
2
d
xA
FQ2dx
2
2G
2GA
dx dx
2)l段应变能：
U
l
0dU
0l
FQ2 dx 2GA
FQ—横截面剪力； A—横截面面积；
—截面系数
矩形：=6/5；实心圆：=10/9；薄圆环：=2；
3)注意：在一般细长梁中，远小于弯矩应变能的 剪力应变能，通常忽略不计。
若=0.3，h/l=0.1，比值为0.0312。长梁忽略剪切应变能。
3)求C点挠度：W
1 2
FfC
U弯
F 2l3 96EI
fC
Fl 3 48EI
§10-2 弹性应变能的计算
四、非线性固体的应变能
1．应变能
F 非线性
与比能：
U*
线性
非线性
u*
线性
2．余能与
F1
余比能：
U
d1
1 d
u
1
应变能：线弹性
F
由端挠度fB。
材料力学( 最新 )能量法
U W
• 10-2
杆件变形能的计算
P P
•轴向拉压 •轴力P与轴向变形成正比 •当轴力N沿轴向为变量时
N 2 ( x)dx dU udV dV Pl 2 2 EA N 2 ( x)dx dU 2 EA N 2 ( x)dx U dU l l 2 EA
' 4
1 1 U b P 3 P4 4 3 2 2
P3
P 4
A
B
1'
' 2
3
4
• 10-4
P 1
互等定理
P 2
A
P3
P 4
B
' 4 4
1
' 1
2
' 2
3
' 3
1 1 1 1 ' U1 P 1 P2 2 P 3 P4 4 P 1' P2 2 1 3 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ' ' U 2 P 1 P2 2 P 3 P4 4 P 3 P4 4 1 3 3 2 2 2 2
U1 U 2
P 1' P2 2' P3 3' P4 4' 1
•功的互等定理
P P P P
' 1 1 ' 2 2 ' 3 3 ' 4 4
•第一组力在第二组力引起的位移上做的功，等 于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功
' 当P2和P4等于零时 P 1' P3 3 1
V wA ε FP
FP2l 3 x 2dx 0 6 EI
l
FP l 3 wA () 3EI
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Vε2
Δ
V V 1 V 2
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
线弹性,位移可以叠加,但应变能不能叠加
FP FP
FP
FP1+FP2
FP1 O Δ 1 Vε1 Δ FP2
Vε2
O Δ2
Vε Δ Vε1 O Δ2 Δ
V2 Δ1 ε Δ
V V 1 V 2
第10章 材料力学中的能量方法
M
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
A
FP FP B
V 1
A B
V 2
A
V 3 V 1 V 2
FP FP
M
V 3
BM
M
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
F A
C
B
l
A
l C l
F B
M
V 3 V 1 V 2 ?
l
A
M l
C l
B
第10章 材料力学中的能量方法
FS1 ΔPS1 FS2 ΔPS2 FSn ΔPSn
功的互等定理：一个力系的力在另一个力系引起 的相应的位移上所作之功等于另一个力系的力在这一 个力系引起的相应的位移上所作之功。
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理的证明
FP1 FS1
P1 SP1 S1
FP2
互等定理
功的互等定理
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理(reciprocal theorem of work)
FP2 FP1 FPm
…
P1 P2
FS2 FS1
Pm
FSn
FP 系统
…
S2
Sn
S1
FS 系统
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理(reciprocal theorem of work)
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
对于拉伸和压缩杆件
dx 对于拉伸和压缩杆件，微段 的应变能为
FN
FN
dVε
1 FN dx 2
dx + dx
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
对于拉伸和压缩杆件
dx 对于拉伸和压缩杆件，微段 的应变能为 FN
Vε＝
dx+dx
…
P S1 P S2
P Sn
FP 系统
FS2 FS1
FSn
…
FS 系统
FS1 ΔPS1 FS2 ΔPS2 FSm ΔPS m
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理(reciprocal theorem of work)
FP1ΔSP1 FP 2ΔSP2 FPmΔSP m
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
弹性体在平衡力系的作用下，在一定的变形状态保持平衡， 这时，如果某种外界因素使这一变形状态发生改变，作用在弹性 体上的力，由于加力点的位移，也作功，但不是变力功，而是常 力功:
FP FP
W＝FPΔ
Δ´
需要指出的是，上述功的表达式中，力和位移都是广义的。 FP 可以是一个力，也可以是一个力偶；当 FP是一个力时，对应 的位移 Δ和 Δˊ都是线位移，当 FP是一个力偶时，对应的位移 Δ和 Δˊ都是角位移。
能量守恒原理的应用及其局限性
A B
2 3
1
FP1 FP2
C
FP3
承载的构件或结构发生变形时，加力点的位置都要发生 变化，因而外力作功。
如果不考虑加载过程中其他形式的能量损耗，根据机 械能守恒定理，外力所作的功，全部转变为应变能储存于构 件或结构内。
第10章 材料力学中的能量方法
能量守恒原理的应用及其局限性
非线性弹性，位移也不可以叠加
FP FP
FP
FP1+FP2 FP2
1
Δ Δ2 O Δ2 Δ Δ
FP1
O Δ1
Δ
O
1+2
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
FP A B
A
B
V 3 V 1 V 2 ?
M
FP A B
V 3 V 1 V 2
FP1 FP2 FPm
… FP 系统
FS2 FSn
FS1
…
SP2
SPm
SP1
FS 系统
FP1ΔSP1 FP 2ΔSP2 FPmΔSP m
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理(reciprocal theorem of work)
FP1 FP2 FPm
互等定理
一个有意义的结果
FP
FP
FP1 O Δ1
Δ2
Δ
FP2 O Δ2
Δ1
Δ
FP1 Δ2 FP 2 Δ1
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
应用能量守恒原理和叠加原理，可以导出功的 互等定理与位移互等定理。
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理
位移互等定理
第10章 材料力学中的能量方法
FS2
P2
FPm
Pm
FSn
FP 系统
S2
SP2
SP m
Sn
FS 系统
1 1 1 Vε ＝ FP1Δ P1＋ FP 2Δ P 2＋ ＋ FP mΔ Pm 2 2 2 1 1 1 FS1ΔS1 FS2ΔS2 FSnΔSn 2 2 2
FP1ΔSP1 FP 2ΔSP 2 FPmΔSPm
FP1ΔSP1 FP 2ΔSP 2 FPmΔSPm
1 1 1 Vε ＝ FP1Δ P1＋ FP 2Δ P2＋ ＋ FP mΔ Pm 2 2 2 1 1 1 FS1ΔS1 FS2ΔS2 FSnΔSn 2 2 2
第10章 材料力学中的能量方法
本章将介绍：
☆ 功和能的基本概念； ☆ 虚位移原理； ☆ 莫尔积分； ☆ 计算莫尔积分的图乘法;
重点是基本概念和图乘法。
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念 互等定理 应用于弹性杆件的虚位移原理 计算位移的莫尔积分 直杆莫尔积分的图乘法 结论与讨论
A B
3
C
FP3
通过计算构件或结构的应变能，可以确定构件或结构 在加力点处沿加力方向的位移。 但是，根据机械能守恒定律，难以确定构件或结构上任 意点沿任意方向的位移，也不能确定构件或结构上各点的位 移函数。
第10章 材料力学中的能量方法
应用更广泛的能量方法，可以确定:
构件或结构上加力点沿加力方向的位移; 构件或结构上任意点沿任意方向的位移; 不仅可以确定特定点的位移，而且可以 确定梁的位移函数。
FP1ΔSP1 FP 2ΔSP 2 FPmΔSPm
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理的证明
FP1 FS1
P1 SP1 S1
FP2
FS2
P2
FPm
Pm
FSn
S2
SP2
SP m
FP1 F S1
P1 S1
FP2
FS2
S2 P2
…
PS2
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
上述应变能表达式必须在小变形条件下，并且 在弹性范围内加载时才适用。
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
叠加原理的应用限制
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
线弹性，位移可以叠加
FP FP
FP
FP1+FP2
FP2 FP1 O Δ 1 Δ O Δ Δ2 O Δ2 Δ
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
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第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
作用在弹性杆件上的力所作的 常力功和变力功 杆件的弹性应变能
叠加原理的应用限制
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
作用在弹性杆件上的力所作的
常力功和变力功
第10章 材料力学中的能量方法
Δ1
Δ
Δ=Δ1+ Δ2
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
线弹性,位移可以叠加,但应变能不能叠加
FP FP
FP
FP1+FP2
FP1 O Δ 1 Vε1 Δ FP2
Vε1
Δ1
Vε2
O Δ Δ2
Vε O Δ2 Δ
Vε2
Δ
V V 1 V 2
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
…
FPm FSn
S n PSn
Pm
PS1
小变形、弹性范围加载的情形下，最后的变形状态与加载 顺序无关。而应变能只与最后的变形状态有关。
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理的证明
1 1 1 Vε ＝ FP1Δ P1＋ FP 2Δ P 2＋ ＋ FP mΔ Pm 2 2 2 1 1 1 FS1ΔS1 FS2ΔS2 FSnΔSn 2 2 2
不同的内力分量引起的应变 能，在什么条件下才能叠加？
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
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第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
线弹性,位移可以叠加,但应变能不能叠加
FP FP
FP
FP1+FP2