第五章 相似矩阵与二次型5.1 几何与代数 教学课件
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相似矩阵及二次型
3
线性代数
河南工程学院
性质
(1) [ x, y] [ y, x];
(2) [x, y] [ x, y];
(3) [ x y, z] [ x, z] [ y, z]; (4) [ x, x] 0,且当 x 0时,有[ x, x] 0.
著名的Cauchy-Schwarz不等式 [ x, y]2 [ x, x][ y, y]
从而
3
3
[1,3 [1, 1
] ]
1
[ [
2 2
, ,
3 2
] ]
2
13
线性代数
河南工程学院
施密特正交化方法 设 1,2,,r 线性无关
令 1 1
2
2
1,2 1, 1
1,
1 1 / 1
2 2 / 2
r r / r
3
3
[1 , 3 ] [1, 1]
1
[ [
2 2
, 3 ] ,2]
2
是与 1,2,,r 等价的规范正交组
] ]
1
12
线性代数
河南工程学院
我们已求得 1, 2 已正交, 再求构造 3
3 3 11 22 (1) (1)式两边与 1 内积, 注意
3 3
[1,2] [1,3] 0
得
1
[1 , 3 ] [1, 1]
11
(1)式两边再与2 内积, 类似可得 1
22 2
11 22
2
[ 2 , 3 ] [2 , 2 ]
x y x1 y1 x2 y2 x3 y3
2
线性代数
一、内积的定义及性质
河南工程学院
定义 设有 n维向量 x ( x1, x2,, xn )T , y ( y1, y2,, yn )T
大学线性代数课件相似矩阵及二次型5.1
称 f ( ) I A 0 为方阵 A 的特征方程。
特征多项式 f ( ) 是 的 n 次多项式，
f () | I A|
n b1n1 b2n2 bn1 bn
n
n ( aii )n1 b2n2 bn1 (1)n | A| .
i 1
三、特征值与特征向量的求解方法
1
(3) 当 2 3 时，由 (3I A ) x 0 有
2 2 x1 0 , 2 2 x2 0
A 1 2 2 1
求解得基础解系为 1 .
1
故A 的属于特征值的 2 3所有特征向量为
X k k 1 , (k 0).
1
显然
11
与
1 1
线性无关。
性质2 设 0 为 A 的特征值，则有
(1) 0 为 AT 的特征值；
(2) k 0 为 k A 的特征值 (k 0);
(3)
若
A
可逆，则
1 0
为
A1
的特征值。
证明
(1) 由 | 0 I A| 0 , |0I AT | 0;
(2) 由 A X 0 X , (k A)X (k0 )X ;
所以向量组 X1, X 2, , X r 线性无关.
2. 对于n 阶矩阵A,如果 0是 A 的特征方程的 k 重根， 则矩阵A对应于特征值 0的线性无关的特征向量的
个数 k .
证明 (略)
表明 对于 n 阶矩阵 A，不一定能找到 n 个线性无关的特征 向量，除非对于 A 中的任意一个特征值，其线性无关 的特征向量的个数正好等于该特征值的重数。
1 0
1 0
~
4 0
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
特征多项式 f ( ) 是 的 n 次多项式，
f () | I A|
n b1n1 b2n2 bn1 bn
n
n ( aii )n1 b2n2 bn1 (1)n | A| .
i 1
三、特征值与特征向量的求解方法
1
(3) 当 2 3 时，由 (3I A ) x 0 有
2 2 x1 0 , 2 2 x2 0
A 1 2 2 1
求解得基础解系为 1 .
1
故A 的属于特征值的 2 3所有特征向量为
X k k 1 , (k 0).
1
显然
11
与
1 1
线性无关。
性质2 设 0 为 A 的特征值，则有
(1) 0 为 AT 的特征值；
(2) k 0 为 k A 的特征值 (k 0);
(3)
若
A
可逆，则
1 0
为
A1
的特征值。
证明
(1) 由 | 0 I A| 0 , |0I AT | 0;
(2) 由 A X 0 X , (k A)X (k0 )X ;
所以向量组 X1, X 2, , X r 线性无关.
2. 对于n 阶矩阵A,如果 0是 A 的特征方程的 k 重根， 则矩阵A对应于特征值 0的线性无关的特征向量的
个数 k .
证明 (略)
表明 对于 n 阶矩阵 A，不一定能找到 n 个线性无关的特征 向量，除非对于 A 中的任意一个特征值，其线性无关 的特征向量的个数正好等于该特征值的重数。
1 0
1 0
~
4 0
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
线性代数第五章相似矩阵及二次型
1.2正交向量组与施密特正交化方法
b1 ,b2 , ,br1 ,br 是正交向量组．由
b1
,br
b1
,ar
b1 ,ar b1 ,b1
b1
b2 b2
br 1 ,ar br 1 ,br 1
br 1
,ar ,b2
b2
由归纳假设知b1 分别与 b2 ,b3 , ,br 1 正交，故
a1 b1,
a2
b2
b1, a2 b1, b1
b1
,
1.2正交向量组与施密特正交化方法
ar
br
b1 ,ar b1 ,b1
b1
b2 b2
,ar ,b2
b2
br 1 ,ar br 1 ,br 1
br 1 .
于是得 a1 ,a2 , ,ar b1 ,b2 , ,br 与等价．
若再将 b1 ,b2 , ,br 单位化，并记为
a,b a1b1 a2b2 anbn aTb
1.1向量的内积
例2 设向量 1
a
0
,
2
3
3
b
2
1
,
求a,
b
1
解 a,b 13 0 2 2(1) 31 4
3
1
练习设向量
a
1 0
,
b
1 2
,
求
a,
b
2
3
解 a,b 3111 0 (2) 2 (3) 2
1 2 3
6 3
1 1 1
1 0 1
1.2正交向量组与施密特正交化方法
b3
a3
b1, a3 b1, b1
b1
b2 , b2 ,
a3 b2
第五章 相似矩阵及二次型
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向量间的夹角 当x0 y0时
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院
arccos
[ x, y] || x |||| y ||
称为n维向量x与y的夹角 当[x y]0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x与任何向 量都正交
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正交阵 如果n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT) 那么称A为正交矩 阵 简称正交阵
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院 郑 陶 然
方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单 位向量 且两两正交 n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn 的一个规 范正交基
范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院
内积的性质 设x y z为n维向量 为实数 则 (1)[x y][y x] (2)[x y][x y] (3)[xy z][x z][y z] 郑 (4)当x0时 [x x]0 当x0时 [x x]0 陶 然 (5)[x y]2[x x][y y] ——施瓦茨不等式
范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院 郑 陶 然
说明 内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数 用 矩阵记号表示 当x与y都是列向量时 有 [x y]xTy
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向量的内积 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 [x y]x1y1x2y2 xnyn 天 津 师 [x y]称为向量x与y的内积
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 1 1 4 5 b2 a2 b1 3 2 1 1 6 1 3 1 [b1, b1] [b1, a2 ] 4 1 1 1 1 5 b3 a3 b1 b2 1 2 1 2 0 0 3 1 3 1 1 [b1, b1] [b2, b2 ] [b1, a3] [b2, a]
线性代数课件_第五章_相似矩阵及二次型——第4节共21页PPT资料
对 2 1 , 由 A E x 0 , 得
1
2
x1 x1
2 x2 2 x3
0 0
2 x2 x3 0
解之得基础解系
2
2 1
.
2
05.09.2019
课件
12
对 3 2 , 由 A 2 E x 0 , 得
1 p 1 T 1 p 1 T A 1 T p p1TA Tp1TA ,
于是 1 p 1 T p 2 p 1 T A 2 p 1 p T 2 p 2 2 p1Tp2, 1 2 p 1 T p 2 0 .
12,p1Tp20. 即p1与p2正交 .
4 0 0
(1)A2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1)第一步 求 A的特征值
2 2 0
AE 2 1 2 4 1 2 0
0 2
得 1 4 ,2 1 ,3 2 .
线性代数
05.09.2019
课件
1
第五章 相似矩阵及二次型
05.09.2019
课件
2
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵．
定理1 对称矩阵的特征值为实数.
证明 设 复 为数 对 A 的 称特 矩 ,复 征 阵 x 向 为 值 量
对应的 , 特征向量
即A x ,x 0 .
2 1 2
1 2, 2
则
P1AP04
0 1
0 0.
0 0 2
05.09.2019
1
2
x1 x1
2 x2 2 x3
0 0
2 x2 x3 0
解之得基础解系
2
2 1
.
2
05.09.2019
课件
12
对 3 2 , 由 A 2 E x 0 , 得
1 p 1 T 1 p 1 T A 1 T p p1TA Tp1TA ,
于是 1 p 1 T p 2 p 1 T A 2 p 1 p T 2 p 2 2 p1Tp2, 1 2 p 1 T p 2 0 .
12,p1Tp20. 即p1与p2正交 .
4 0 0
(1)A2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1)第一步 求 A的特征值
2 2 0
AE 2 1 2 4 1 2 0
0 2
得 1 4 ,2 1 ,3 2 .
线性代数
05.09.2019
课件
1
第五章 相似矩阵及二次型
05.09.2019
课件
2
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵．
定理1 对称矩阵的特征值为实数.
证明 设 复 为数 对 A 的 称特 矩 ,复 征 阵 x 向 为 值 量
对应的 , 特征向量
即A x ,x 0 .
2 1 2
1 2, 2
则
P1AP04
0 1
0 0.
0 0 2
05.09.2019
第五章相似矩阵及二次型 线性代数(同济六版) 课件
设n 阶矩阵 A = ( a1 , a2 , ……, an ) , 其中 a1 , a2 , ……, an 是 A的列向量组. A为正交矩阵，即是
a1T
a1Ta1 a1Ta2 a1Tan
E
AT
A
a2T
a1
anT
a2
an
a2T a1
anTa1
a2T a2
anT a2
a2Tan
求 n 阶方阵 A 的特征值与特征向量的方法：
1 求出矩阵的 A 特征多项式, 即计算行列 A式 E.
2 特征 A E 0 方 的 根 1 ,程 解 2 , ,n 就 方 A 的 是
P,P a b a,b .
这是因为
P , P a P b T P a a T P b T P a T b b a , b ,
特别的，
Pa a .
§2 方阵的特征值与特征向量
定义6 设 A 是 n 阶矩阵，如果数 0和 n 维非零列向量 p
使得
A 0 p p
1
那么 0称 数为A 方 的阵 特,征 非零值 向量 p 称为 A 的对于特征值
1 1
0
1
2
1
3 都是3维单位向 . 量
3
3
如果 [ x , y ] = 0 ，那么称向量 x 与 y 正交.
正交向量组: 一组两两正交的非零向量.
1 1
例 2 试 求 一 个 非 量 a1零 1向 ,a2量 2与 都向 正 . 交
x1
1 1
解 设 所 求 的 向x量x为 2, 那么它应满足
x3
xx112xx22xx3300
由
A 11
1 2
110
《线性代数》教学课件—第5章 二次型 第一节 相似矩阵及二次型
正交的单位向量 e1 , e2 , ···, er , 使 e1 , e2 , ···, er 与
a1 , a2 , ···, ar 等价. 这样一个问题, 称为把 a1 , a2 , ···, ar 这个基规范正交化.
三、向量的长度和夹角
1. 长度的定义 定义2 令
x [x, x] x12 x22 的长度 ( 或范数 ). 2. 长度的性质
向量的长度具有下列性质:
(1) 非负性 当 x 0 时, || x || > 0; 当 x = 0 时, || x || = 0.
1 01
,
e33
1 422
4
1 0
,
e44
1 22 210011334
是 R4 的一个规范正交基 , 试用 e1, e2 , e3 , e4 表示
a (1, 1, 1, 1)TT.
解 由公式 ki = eiT a = [a, ei] , 得
3. 规范正交基的求法
设 a1 , a2 , ···, ar 是向量空间 V 的一个基, 要 求 V 的一个规范正交基. 这也就是要找一组两两
11 00
,
试求一个非零向量 a4 , 使 a1, a2, a3, a4 两两正交.
解令
a1T 1 2 3 1
A
a
T 2
1
1
1 0 ,
a3T
5
4
1
0
五、正交基与规范正交基
1. 定义
定义 设 a1 , a2 , ···, ar 是向量空间 V
( V Rn )的一个基, 如果 a1 , a2 , ···, ar 两两正交,
(2) 齐次性 || x || = || || x || ;
a1 , a2 , ···, ar 等价. 这样一个问题, 称为把 a1 , a2 , ···, ar 这个基规范正交化.
三、向量的长度和夹角
1. 长度的定义 定义2 令
x [x, x] x12 x22 的长度 ( 或范数 ). 2. 长度的性质
向量的长度具有下列性质:
(1) 非负性 当 x 0 时, || x || > 0; 当 x = 0 时, || x || = 0.
1 01
,
e33
1 422
4
1 0
,
e44
1 22 210011334
是 R4 的一个规范正交基 , 试用 e1, e2 , e3 , e4 表示
a (1, 1, 1, 1)TT.
解 由公式 ki = eiT a = [a, ei] , 得
3. 规范正交基的求法
设 a1 , a2 , ···, ar 是向量空间 V 的一个基, 要 求 V 的一个规范正交基. 这也就是要找一组两两
11 00
,
试求一个非零向量 a4 , 使 a1, a2, a3, a4 两两正交.
解令
a1T 1 2 3 1
A
a
T 2
1
1
1 0 ,
a3T
5
4
1
0
五、正交基与规范正交基
1. 定义
定义 设 a1 , a2 , ···, ar 是向量空间 V
( V Rn )的一个基, 如果 a1 , a2 , ···, ar 两两正交,
(2) 齐次性 || x || = || || x || ;
《线性代数》教学课件—第5章 二次型 第三节 相似矩阵
= diagP(-1A1 ,P=2 ,B·P·,·-1,APn)= B , 相故似，则 故1 , 2 , ···, n 即是 A 的 n 个特征值.
定理 若定矩阵理A 与若矩矩阵阵 AB与相似矩,阵且B矩相阵似A, 且矩阵
可逆, 则矩可阵逆B, 也则可矩逆阵, B且也A可-1 逆与,B且-1A相-1似与. B-1 相似.
三、矩阵对角化的步骤
设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的 步骤如下：
步骤 1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A
有 s 个不同的特征值 1 , 2 , ···, s ，它们的重
数分别为 n1, n2 , ···, ns , 有 n1 + n2 + ···+ ns = n.
步骤 2 : 对 A 的每个特征值 i ,求(A - iE)x = 0
证毕
在矩阵的运算中, 对角矩阵的运算很简便, 如
果一个矩阵能够相似于对角矩阵, 则可能简化某
些运算. 例如, 如果令
P 11
32
,
A
7 9
86
.
不难验算,
P
1
AP
1 0
02 记为
.
如果我们要计算 A10 或 An , 直接计算, 运算 量很大也不易找出规律. 利用 A 相似于对角矩阵 的性质,可得
相似矩阵具有下列性质：下设 A，B 是同阶 矩阵.
定理 3 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则
|A - E| = |B - E| ,
因而 A 与 B 有相同的特征值、相同的行列式.
证明 只需证证明A 与只需B 证有相A 同与的B特有征相多同项的式特即征多项 可. 推由论于 A可若与. nB由阶相于方似A阵,与所AB以与相, 对必似角有, 所矩可以阵逆,矩必阵有可P,使逆得矩阵 P
定理 若定矩阵理A 与若矩矩阵阵 AB与相似矩,阵且B矩相阵似A, 且矩阵
可逆, 则矩可阵逆B, 也则可矩逆阵, B且也A可-1 逆与,B且-1A相-1似与. B-1 相似.
三、矩阵对角化的步骤
设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的 步骤如下：
步骤 1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A
有 s 个不同的特征值 1 , 2 , ···, s ，它们的重
数分别为 n1, n2 , ···, ns , 有 n1 + n2 + ···+ ns = n.
步骤 2 : 对 A 的每个特征值 i ,求(A - iE)x = 0
证毕
在矩阵的运算中, 对角矩阵的运算很简便, 如
果一个矩阵能够相似于对角矩阵, 则可能简化某
些运算. 例如, 如果令
P 11
32
,
A
7 9
86
.
不难验算,
P
1
AP
1 0
02 记为
.
如果我们要计算 A10 或 An , 直接计算, 运算 量很大也不易找出规律. 利用 A 相似于对角矩阵 的性质,可得
相似矩阵具有下列性质：下设 A，B 是同阶 矩阵.
定理 3 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则
|A - E| = |B - E| ,
因而 A 与 B 有相同的特征值、相同的行列式.
证明 只需证证明A 与只需B 证有相A 同与的B特有征相多同项的式特即征多项 可. 推由论于 A可若与. nB由阶相于方似A阵,与所AB以与相, 对必似角有, 所矩可以阵逆,矩必阵有可P,使逆得矩阵 P
相似矩阵及二次型
0
T 1
1
1
2
0,
从而有1
0.
同理可得2 r 0. 故1,2 ,,r线性无关.
４ 向量空间旳正交基
若
1
,
2
,
,
是向量空间
r
V的一个基
,
且
1
,
2
,
, r是两两正交的非零向量 组,则称1, 2 ,, r是
向量空间V的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1 1,
1
1
2 2
为A的特征方程 .
记 f A E ,它是的n次多项式, 称其
为方阵A的 特征多项式 .
4. 设 n阶方阵 A aij 的特征值为1, 2 ,,
n ,则有 (1) 1 2 n a11 a22 ann; (2) 12 n A .
例5 求A 3 1的特征值和特征向量 . 1 3
] ]
b2
[br 1 [br1 ,
,ar ] br1 ]
br
1
那么b1 ,,br两两正交,且b1 ,,br与a1 ,ar等价.
（2）单位化，取
e1
b1 b1
,
e2
b2 b2
,
,er
br br
,
那么 e1 ,e2 ,,er为V的一个规范正交基 .
上述由线性无关向量组 a1 ,,ar构造出正交 向量组b1 ,,br的过程,称为 施密特正交化过程 .
2. 齐次性 x x ;
3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时,称 x为单位向量 .
2当 x 0, y 0时, arccos x, y
高等数学第5章课件-§-5.1 二次型的矩阵表示
2 i
n
i =1
∑≤ n aij xi x j 1≤ i < j
§5.1 二次型的矩阵表示
2、二次型的矩阵表示
i<j 1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有
2 f ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) = a11 x1 + a12 x1 x2 + ⋯⋯ + a1n x1 xn 2 + a21 x2 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n x2 x n
| C 1C 2 |=| C 1 || C 2 |≠ 0, 即C1C2可逆. C .
§5.1 二次型的矩阵表示
2）合同矩阵具有相同的秩. B = C ′AC , C可逆 ⇒ 秩 ( B ) = 秩 ( A) 3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵. A′ = A, B = C ′AC , C 可逆
⇒ B′ = (C ′AC )′ = C ′A′C = C ′AC = B
. 它是非退化的.
cosθ − sinθ = 1. ∵系数行列式 sinθ cosθ
§5.1 二次型的矩阵表示
2、线性替换的矩阵表示 ⎛ c11 c12 ⎛ x1 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎜ c21 c22 ⎜ x2 ⎟ ⎜ y2 ⎟ 令 X = ⎜ ⎟ ,Y = ⎜ ⎟ , C = ⎜ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⎜x ⎟ ⎜y ⎟ ⎜c c ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n1 n 2 ... ... ⋯ ...
1 1 1
⎛ 1 52 6⎞ 2. ⎜ 5 2 4 7 ⎟ ⎜ 6 7 5⎟ ⎝ ⎠
⎛ n−1 n −1 n −1 n ... −1 n ⎞ ⎜ −1 n n−1 n −1 n ... −1 n ⎟ 4. ⎜⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⎟ ⎜ −1 −1 −1 ... n−1 ⎟ n n n⎠ ⎝ n
n
i =1
∑≤ n aij xi x j 1≤ i < j
§5.1 二次型的矩阵表示
2、二次型的矩阵表示
i<j 1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有
2 f ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) = a11 x1 + a12 x1 x2 + ⋯⋯ + a1n x1 xn 2 + a21 x2 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n x2 x n
| C 1C 2 |=| C 1 || C 2 |≠ 0, 即C1C2可逆. C .
§5.1 二次型的矩阵表示
2）合同矩阵具有相同的秩. B = C ′AC , C可逆 ⇒ 秩 ( B ) = 秩 ( A) 3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵. A′ = A, B = C ′AC , C 可逆
⇒ B′ = (C ′AC )′ = C ′A′C = C ′AC = B
. 它是非退化的.
cosθ − sinθ = 1. ∵系数行列式 sinθ cosθ
§5.1 二次型的矩阵表示
2、线性替换的矩阵表示 ⎛ c11 c12 ⎛ x1 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎜ c21 c22 ⎜ x2 ⎟ ⎜ y2 ⎟ 令 X = ⎜ ⎟ ,Y = ⎜ ⎟ , C = ⎜ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⎜x ⎟ ⎜y ⎟ ⎜c c ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n1 n 2 ... ... ⋯ ...
1 1 1
⎛ 1 52 6⎞ 2. ⎜ 5 2 4 7 ⎟ ⎜ 6 7 5⎟ ⎝ ⎠
⎛ n−1 n −1 n −1 n ... −1 n ⎞ ⎜ −1 n n−1 n −1 n ... −1 n ⎟ 4. ⎜⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⎟ ⎜ −1 −1 −1 ... n−1 ⎟ n n n⎠ ⎝ n
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命题 1
0 是实方阵 A的特征值当且仅当 0 是特征多项式EA 的实根。
2020/11/11
代数重数
在实数域内因式分解特 征多项式
E A 1 n1 2 n2
s ns 2 p1 q1 m1 2 p 2 q 2 m 2 2 p k q k m k
2 1
2 2
1 3
0 2
1 2 2 0
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例题 7：若 A33 有三个特征值
1 1, 2 2, 和 3 3 ， 且
相应的特征向量分别为
1 1 0 1T , 2 1 1 0 T , 和 3 0 1 1，令 1 1 1T ，
计算 A n 。
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0
。
0
1 的几何重数为
1。
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例题 4：
A
0 1
1 0
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特征多项式为
E A
1 2 1，
1
故 A 没有特征值。
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例题 5：若 1 k 1T
是 A 的特征向量，这里
2 A 1
1 2
1 1
，试求
k。
1 1 2
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这里 ， 2 p i q i 无实根 ， 则 称 n j 为特征值 j 的代数重数 。
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几何重数
若 0 是 A 的特征值 ，
相应的特征空间为 V0 ， 则称 dim V0 为
特征值 0 的几何重数 。
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典型例题
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例题 1：
A
1 4
2 8
2，
解 2E A x 0 ，
得 V 2 的一组基
2,1
2 1
。
2 的几何重数为
1。
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例题 2 ： 2 1 1
A 1 2 1 1 1 2
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特征多项式为
2 1 1 E A 1 2 1
1 1 2
12 4 ，
A 的特征值为 1 1 , 其代数重数为 2 ； 和 2 4 ，其代数重数为 1 。
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解答：
A1
2
3
1
2
3
1
0
0
2
0 0
0 0 3
AP P
A PP 1
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2 2 11 0 0 2 2 11
A 1 2 2 0 0 0 1 2 2
2 1 2 0 0 1 2 1 2
2 0 1 2 2 11 1 0 2
1
2
0 0
2 1 2 2
得 V 1 的一组基
1 ,1
1 i
。
1 的几何重数为
1。
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对于复特征值
2 i，
解 2E A z 0 ，
得 V 2 的一组基
2 ,1
i
1
。
2 的几何重数为
1。
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练习
A 0i
1 i
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命题
若 A是n阶复矩阵其 ，复特征值 为 μ1,μ2,, μn ， 则 (1) μ1 μ2 μn Tr(A) (2) μ1μ2 μn A
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对于特征值
1 ，
解 1E A x 0 ，
得 V 1 的一组基
1
1
1,1 1
和
1,2
0
。
0
1
1 的几何重数为
2。
2020/11/11
对于特征值
2，
解 2E A x 0 ，
得 V 2 的一组基
1
2,1
1
。
1
2 的几何重数为
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特征多项式为
1 E A
2 7，
4 8
A 的特征值为 1 7，其代数重数 为1；和 2 0 ，其代数重数为 1 。
2020/11/11
对于特征值
1 ，
解 1E A x 0 ，
得 V 1 的一组基
1,1
1 4
。
1 的几何重数为
1。
2020/11/11
对于特征值
解答：
A j j j A n j j n j
1 2
1
2
3
A n
1
1 2n
2 n 3n
2
1 3n
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例题 8 ： 给定实方阵 A ，证明 (1) 0 是 A 的特征值 当且仅当 A 不可逆 ; (2) 若 是 A 的特征值， 且 A 可逆 ， 则 0 ， 且 λ 1 是 A 1 的特征值。
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复域上的特征值问题
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例题 :
A
0 1
1 0
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特征多项式为
E A 2 1 i i
复特征值为
1 i ，其代数重数为 1；和 2 i ，其代数重数为 1。
2020/11/11
对于复特征值
1 i，
解 1E A z 0 ，
解答：
2 1
1 2
1 1
1 k
3 k 2 2k
3
k
1 k
1 1 2 1 3 k
1
2 2k 3 k k
k 1k 2 0
k 1, 或 k 2
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例题6：若 A33 有三个特征值
1 1,2 0, 和3 1，且
相应的特征向量分别为
1 2 1 2T ,2 2 2 1T , 和 3 1 2 2T ，试求A。
第五章 相似矩阵与二次型
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5.1 特征值问题
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特征向量
若 是 A的特征值，则
V 中的非零向量叫做A的
属于特征值的特征向量。
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特征多项式
若 A 是 n 阶实方阵，
则 E A 是关于 的
n 次多项式 , 叫做 A 的特征多项式。
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推论
一个复方阵可逆 当且仅当其 复特征值都不为零。
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1。
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例题 3： 0 1 0
A 0 0 1 0 0 0
2020/11/11
特征多项式为 1 0
E A 0 1 3 ， 00
A 仅有一个特征值 1 0 , 其代数重数为 3 。
2020/11/11
解 1E A x 0 ，
得 V 1 的一组基
1
1,1