数学材料力学能量法新
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材料力学第十三章 能量法
1 vε = = τγ 2G 2
τ2
三、扭转
由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系： 由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系：
M e l M e 2l 1 1 Vε = W = M e ⋅ ∆φ = M e = 2 2 G I p 2G I p
T 2 ( x) Vε = ∫ dx 2G I p ( x) l
截面的挠度。 例：求图示简支梁C截面的挠度。 求图示简支梁 截面的挠度
F
θ B2
wC1
解：由功的互等定理 F ⋅ wC1 = M ⋅ θ B 2
得：F ⋅ wC1
Fl =M⋅ 16 E I Ml = 16 E I
2
2
由此得：wC1
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移∆ C 。 求图示悬臂梁中点 处的铅垂位移
故：
M ( x) M ( x) ∆=∫ dx EI l
M ( x) M ( x) 莫尔定理 ∆=∫ dx 莫尔积分） （莫尔积分） EI l
对于组合变形： FN ( x) FN ( x) T ( x) T ( x) M ( x) M ( x) ∆=∫ dx + ∫ dx + ∫ dx EA GI p EI l l l
积分得： 积分得：
FN (x)dx M (x)dx T (x)dx Vε = ∫ +∫ +∫ 2EA 2EI 2GIP L L L
2
2
2
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 求自由端B的挠度 能原理求自由端 的挠度。 能原理求自由端 的挠度。
F
解：
B
A
l
x
M ( x) = − F ⋅ x
材料力学第三章 能量法
三、卡氏第二定理（线弹性体）
Di
Vc Fi
在线弹性范围内
余能定理 Vc V
Di
V Fi
卡氏第二定理： 线弹性杆件或杆系的应变能对于 作用在该杆件或杆系上的某一荷 载的变化率，就等于与该荷载相 应的位移。
卡氏第二定理适用于一切受力状态下的线弹性体。
卡氏第二定理公式D及i 含义VF：i
若结构的应变能 V 表示为F1、F2 …Fi …的函数，则应变 能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。
C
与需求位移相应的虚设外力
F。求偏导后令其为零。
（2）列弯矩方程
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
（3）求梁的应变能
M 2 l/2
x
1
V 2 0
dx
2EI
EI
l/2
0
F 2
ql 2
x
qx 2 2
2 dx
1 EI 1 EI
V W
一、杆件基本变形的应变能
(一)轴向拉伸(压缩)
1、杆的应变能
轴力沿轴线不变的情况:
dW Fd(Dl) W Dl1 Fd(Dl) 0
线弹性范围内 W 1 FDl
1
2
V
F
W
FN
2
F Dl Dl
FNl EA
应变能
V
FN2l 2EA
F
l
Dl
F
Dl d (Dl)
Dl1
Dl
(一)轴向拉伸(压缩)
材料力学 能量法
FN1 = F sinα ( 拉) , FN2 = F tanα ( 压 )
1
2 l
方法一
∆=
F l F l ∆l1 = N1 1 , ∆l2 = N2 EA EA
α
A′
A
1 ∆l1 ∆l2 Fl cos2 α + + = sinα tanα EAsin2 α cosα
F 12l1 F 22l F2l 1 V = N cos2 α + + N = ε 2EA 2EA 2EAsin2 α cosα F∆ W= 2 Fl 1 ∆= cos2 α + EAsin2 α cosα
A
外力功： 外力功： 载荷在其相应位移 上所作之功。 上所作之功。
F
∆ A
A′
广义力： 力偶， 广义力： 力，力偶，一对大小 相等、 相等、方向相反的力 或转向相反的力偶等。 或转向相反的力偶等。
∆
A′
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。 广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
δ dδ δ ∆ f df F
线弹性体： 线弹性体：
f = kδ
∆
F = k∆
f
1 2 1 W = ∫0 kδ dδ = k∆ = F∆ 2 2
Page 6 δ
第十三章
能量法
二、克拉比隆定理： 克拉比隆定理： 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,.. 及其相应广 义位移, 义位移, 求外力功
第十三章
能量法
第 13 章 能量法
§13-1 1313§13-2 13§13-3 13§13-4 13§13-5 外力功与应变能的一般表达式 互等定理 卡氏定理 变形体虚功原理 单位载荷法
1
2 l
方法一
∆=
F l F l ∆l1 = N1 1 , ∆l2 = N2 EA EA
α
A′
A
1 ∆l1 ∆l2 Fl cos2 α + + = sinα tanα EAsin2 α cosα
F 12l1 F 22l F2l 1 V = N cos2 α + + N = ε 2EA 2EA 2EAsin2 α cosα F∆ W= 2 Fl 1 ∆= cos2 α + EAsin2 α cosα
A
外力功： 外力功： 载荷在其相应位移 上所作之功。 上所作之功。
F
∆ A
A′
广义力： 力偶， 广义力： 力，力偶，一对大小 相等、 相等、方向相反的力 或转向相反的力偶等。 或转向相反的力偶等。
∆
A′
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。 广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
δ dδ δ ∆ f df F
线弹性体： 线弹性体：
f = kδ
∆
F = k∆
f
1 2 1 W = ∫0 kδ dδ = k∆ = F∆ 2 2
Page 6 δ
第十三章
能量法
二、克拉比隆定理： 克拉比隆定理： 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,.. 及其相应广 义位移, 义位移, 求外力功
第十三章
能量法
第 13 章 能量法
§13-1 1313§13-2 13§13-3 13§13-4 13§13-5 外力功与应变能的一般表达式 互等定理 卡氏定理 变形体虚功原理 单位载荷法
材料力学 能量法
3
13 Pa 12 EI
3
M
能量法
例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及
集中力X作用。用图乘法求： (1)集中力作用端挠度为零时的X值； (2)集中力作用端转角为零时的X值。
能量法
解：(1)
ql / 8
2
1 wC EI
Xal 2a Xa 2 2a ql 3 a 2 3 2 3 12 2
l P 2 得：P wC1 m 2E I 2 ml 由此得： C wC1 8E I
2
能量法
例：长为 l 、直径为 d 的圆杆受一对横向压力 P 作用，
求此杆长度的伸长量。已知E和m。
能量法
解：由位移互等定理知，①杆的伸长量等于 ②杆直径的减小量
l
①
d
②
e d e d
4 P P d d E AE
能量法
例：已知简支梁在均布载荷 q 作用下，梁的中点挠
度
5ql w 384E I
4
。求梁在中点集中力P作用下(见
图)，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积A。
A
能量法
A
5ql q A P 384E I
能量法
4
可用于线弹性材料，也可用于非线弹性材料。
能量法
§12-7 单位载荷法 莫尔积分
P1
P2
C
用虚功原理可以导出计算结构一点位移的单位载荷法
能量法
P1
P2
C
Fs ( x)
C
M ( x)
1 M ( x)d
M ( x) d dx EI
P0 1 Fs ( x)
材料力学第十三章 能 量 法
Vε Vε (D1 , D 2 ,, D i ,, D n )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi 其它位移均保持不变 梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量
d W Fi d D i
Ve d Ve d Di D i
d Ve d W
Ve Fi D i
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Vε
l
0
F ( x) T ( x) dx dx 0 2GI 2 EA p
l
2 N
2
F ( x) M ( x) d x s dx 0 2 EI 0 2GA
l l
2
2 S
应变能恒为正 ，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1 s e
外力作功：
de e 1
DAB 方向水平向外
§3-4 用能量法解超静定系统
解超静定问题要综合考虑三方面 几何方面 —— 建立变形几何相容条件 物理方面 —— 建立补充方程 静力学方面 —— 建立平衡方程
等直杆，发生基本变形，材料为线性弹性体 非等直杆或杆系结构，受较复杂荷载作用， 材料为非线性弹性体 易 难
能量法
例1：求图示超静定梁支座处的约束力。
③ 先加M，后加F
A
M AM
F
B
AF DCF
AM
Ml 3EI
D CF
Fl 48 EI
3
AF
Fl 16 EI
2
1 1 应变能： V M ε AM ( FD CF M AF ) 2 2 2 3 2 2 1 F l M l MFl ( ) EI 96 6 16
Ve Fi D i
材料力学能量法
B
2m C
F
30° A
能量法/克拉贝隆原理
•解: 由节点A的平衡条件求得AB杆的内力：
F N1
FN2
A
F
F N 12F115.2kN
AC杆的内力为：
F N 2F N 1c o s3 0 o 9 9 .8k N
杆系的应变能： UFN21LAB FN22LAC 172J 2EA1 2EA2
设节点A的竖直位移 A为
mF
代入应变能的内力表达式：
L
UM 2(x)dxL(F xm )2dx L 2E I 0 2E I
F2L3 FmL2 m2L 6EI 2EI 2EI
能量法/克拉贝隆原理
UF2L3FmL2 m2L 6EI 2EI 2EI
mF L
•从结果中可以看到：第一、三项分别为F和m单独作用时 的 应变能，故F、m同时作用在杆内所引起的应变能不等于各 载荷单独作用时所引起的应变能之和。其原因是这两个载 荷都使梁产生了同一种弯曲变形，彼此都在对方引起的位 移上做了功（结果中的第二项即代表F和m共同作用时在相 互影响下所做的功）。
2、能量法
利用应变能的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的 方法。
在求解组合变形、曲杆或杆系以及超静定问题时，能量 法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。
能量法/基本概念
能量法有关的几个基本概念 1、外力功:线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力
在与它相对应的位移上所作的功 W。
2、应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个
Ub 125 30
US 3(1)
能量法/克拉贝隆原理
二、应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)
基本变形下应变能的一般表达式：
材料力学第8章-能量法
能量原理的应用
能量原理可以应用于弯曲、拉伸、压缩等各种不同的力学问题。通过计算系统的势能和应变能，可以分 析材料的应力分布、变形情况和稳定性。
弹性势能和弹性材料的能量原 理
弹性势能是指弹性材料在外力作用下产生的能量。通过应变能和弹性势能之 间的关系，可以推导出弹性材料的力学性质和变形方程。
弹塑性材料的能量原理
材料力学第8章-能量法
材料力学的能量法是研究材料变形和力学行为的重要方法，它具有广泛的应 用。本章将介绍能量法的基本概念和应用，以及弹性和弹塑性材料的能量原 理。
能量法的基本概念
能量法是一种力学分析方法，通过考虑系统的能量变化，推导出材料的力学 性质和变形行为。能量法的基本概念包括势能和应变能的概念，以及能量守 恒定律。
通过能量法，我们可以分析臂梁在外力作用下的弯曲行为。通过计算和优化梁的几何参数和材料性质， 可以设计出更加稳定和高效的悬臂梁结构。
总结和要点
能量法是一种重要的材料力学分析方法，它通过考虑材料的能量变化，分析 材料的力学性质和变形行为。
对于弹塑性材料，除了考虑弹性势能外，还需要考虑应变能和塑性势能的贡献。能量原理可以用来分析 弹塑性材料的强度和变形行为。
能量法在材料力学中的重要性
能量法是材料力学中的一种基本方法，它可以用来分析各种不同类型的力学问题，包括材料的变形、破 坏和失稳行为。掌握能量法对于研究和设计材料结构至关重要。
应用实例：悬臂梁弯曲问题的分析
[数学]材料力学能量法新02
![[数学]材料力学能量法新02](https://img.taocdn.com/s3/m/2c9a47374b73f242326c5f03.png)
当T=T(x)或截面变化 A=A(x)时，可取微段：
T ( x) U dx 2G I p ( x ) l
2
三、弯曲
2 2 ml 1 1 m l M l 纯弯曲： U W m m 2 EI 2 2E I 2E I
横力弯曲：U
M ( x) 2 E I ( x ) dx l
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四: 作用在弹性体上力的功的计算 (在线弹性范围内)
使用广义力、广义位移的概念，则
一个力 P 在其产生的位移 d 上做的功： W 1 Pd
2
这里 P是广义力， d 是对应的广义位移 (1) P 是一个力， d 是力的作用点的P方向的线位移； (2) P 是一个力偶， d 是在力偶作用面内的转角； (3) P 是一对力， d 是一对力的作用点的相对线位移； (4) P 是一对力偶， d 是力偶作用面内的相对转角。
i=1
n
将P1, P2, ……, Pn看作第一组力, Pi看 作第二组力,由功的互等定理,有
di Pi =S Pi di
i=1
n
所以有 因此
U = di Pi
U di = —— Pi
取极限得
常见情况的卡氏定理
U di = —— Pi
M M di dx l EI x
V d i 注意到上式与下式在数值上相等 d V i V 从而有： F i （卡氏第一定理 ） i
注意： •卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线 性弹性体。 •式中Fi及i分别为广义力、广义位移。
dW F i d i
•必须将V 写成给定位移的函数，才可求其变化率。
• 由于通常不知道位移函数， 因而卡氏第一定理不很有用
T ( x) U dx 2G I p ( x ) l
2
三、弯曲
2 2 ml 1 1 m l M l 纯弯曲： U W m m 2 EI 2 2E I 2E I
横力弯曲：U
M ( x) 2 E I ( x ) dx l
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四: 作用在弹性体上力的功的计算 (在线弹性范围内)
使用广义力、广义位移的概念，则
一个力 P 在其产生的位移 d 上做的功： W 1 Pd
2
这里 P是广义力， d 是对应的广义位移 (1) P 是一个力， d 是力的作用点的P方向的线位移； (2) P 是一个力偶， d 是在力偶作用面内的转角； (3) P 是一对力， d 是一对力的作用点的相对线位移； (4) P 是一对力偶， d 是力偶作用面内的相对转角。
i=1
n
将P1, P2, ……, Pn看作第一组力, Pi看 作第二组力,由功的互等定理,有
di Pi =S Pi di
i=1
n
所以有 因此
U = di Pi
U di = —— Pi
取极限得
常见情况的卡氏定理
U di = —— Pi
M M di dx l EI x
V d i 注意到上式与下式在数值上相等 d V i V 从而有： F i （卡氏第一定理 ） i
注意： •卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线 性弹性体。 •式中Fi及i分别为广义力、广义位移。
dW F i d i
•必须将V 写成给定位移的函数，才可求其变化率。
• 由于通常不知道位移函数， 因而卡氏第一定理不很有用
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dx1
b
0
Pa l x2 2E I
2
dx2
P2b2 2EI l 2
a3 3
P2a2 2EI l 2
b3 3
P2a2b2 6EI l
W
1 2
P vC
由U W，得：
vC
Pa 2b2 3EI l
例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能， 并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI 为常量。
解： M() PR sin
U T 2 (x) dx l 2G I p (x)
三、弯曲
纯弯曲：U
W
1 2
m
1 2
m
ml EI
m2l M 2l 2EI 2EI
横力弯曲：U
M 2 (x) 2E I(x)
dx
l
四: 作用在弹性体上力的功的计算 (在线弹性范围内) 使用广义力、广义位移的概念，则
一个力 P 在其产生的位移 d 上做的功：W 1 Pd 2
1.一个力 P 在其产生的位移 d 上做的功： W 1 Pd 2
这里 P是广义力， d 是对应的广义位移
(1) P 是一个力， d 是力的作用点的P方向的线位移；
(2) P 是一个力偶， d 是在力偶作用面内的转角；
(3) P 是一对力， d 是一对力的作用点的相对线位移；
(4) P 是一对力偶， d 是力偶作用面内的相对转角。
解：
M(x) P x
U M 2 (x) dx l ( Px)2 dx P2l 3
l 2EI
0 2EI
6EI
W
1 2
P
vB
由 U W，得
vB
Pl 3 3EI
例：试求图示梁的变形能，并利用功能原 理求C截面的挠度。
解：
U
l
M 2 (x) dx
2E I
a
Pb l
x1
2
0 2EI
二.位移互等定理
若 Pi = Pj (仅指数值相等) ，则由功的互等定理可得：
dij = dji (仅数值相等)
两组力Pi,Qi
单独作用Pi组力,该组力所作的功为 后作用Qi组力,该组力所作的功为 作用Qi组力时, Pi作用点产生新的位
移，所作的功为
总变形能为
改变加力次序，先作用Qi组力,该组力 所作的功为
U M 2 () Rd 2 ( PR sin )2 Rd P2 R3
l 2EI
0 2EI
8EI
W
1 2
P BV
R
由U W，得：
PR3
BV 4EI
例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端 的集中力P垂直于轴线所在的平面。试求A点的 垂直位移。已知GIp、EI为常量。
解：T() PR(1 cos) , M() PR sin
（1）线弹性体；非线性弹性体
（2）静定问题；超静定问题 （3）是有限单元法的重要基础
三.功能原理在弹性变形中的应用 在缓慢加载(静载)的条件下，外力所做的功W全部转
化为弹性体的变形能U，即：W = U； 在弹性范围内，外力逐渐解除时，变形能又全部转变
为功。 四.作用在弹性体上的功的计算 (在线弹性范围内)
后作用Pi组力,该组力所作的功为 作用Pi组力时, Qi作用点产生新的位
移，所作的功为
总变形能为
显然，U1=U2 ，得
功的互等定理:
第一组力在第二组力施加时所产生的位 移上所作的功等于第二组力在第一组力 施加时所产生的位移上所作的功
位移互等定理 P2
当仅作用两个力P1和P2 时,若P1作用时P2作用点
外力所作的总功为 根据功能原理，应有
对组合变形而言，应变能为 其中
积分可得总变形能
§13.4 互等定理 —— 力在其它力引起的位移上所 做的功之间的关系
一.功的互等定理
1.力 Pi 在力 Pj 的作用点引起的位移是 dji 。
2.功的互等定理：
Pidij = Pjdji
推广：第一组力在第二组力引起的位移上所做的功等于 第二组力在第一组力引起的位移上所做的功。
定理求解
解
• 第一组力P、RB • 第二组力X=1
在X=1作用下，P及RB作用点的位移 为
这里 P是广义力， d 是对应的广义位移 (1) P 是一个力， d 是力的作用点的P方向的线位移； (2) P 是一个力偶， d 是在力偶作用面内的转角； (3) P 是一对力， d 是一对力的作用点的相对线位移； (4) P 是一对力偶， d 是力偶作用面内的相对转角。
例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功 能原理求自由端B的挠度。
§13-2 杆件应变能计算
一、轴向拉伸和压缩
U
W
1 2
P l
1 2
P
Pl EA
P
P2l N 2l
2EA 2EA
P
U N 2 (x) dx l 2EA(x)
l l
二、扭转
m
m
U
W
1 m
2
1 ml m
2 GIp
m2l 2G I p
T 2l 2G I p
当T=T(x)或截面变化
A=A(x)时，可取微段：
P1
A
B
沿P2作用方向产生的位
移为d21,而P2作用时P1作
用点沿P1作用方向产生
的位移为d12 ,则
P1 d12= P2 d21
若P1 = P2,则
P2
d12= d21
P1 A
B
此即位移互等定理
也即:载荷P作用于A点时在B点产生的位移 等于载荷P作用于B点时在A点产生的位移
例
• 装有尾部顶针的车削工件可 简化为静不定梁。利用互等
第十三章 能量方法
大纲要求
一.掌握弹性体的外力功和杆件基本变形能的计算方法。 二.了解两个互等定理。 三.能应用功能原理计算位移。 四. 熟练运用卡氏第二定理计算位移。 五.熟练运用单位ห้องสมุดไป่ตู้荷法与图乘法计算位移。
§13－1 概 述
一.能量法： 利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形
固体的位移、变形和内力等的方法。 二.能量法的应用范围：
随意叠加。 二.克拉贝依隆原理
若弹性体上作用着n 个广义力Pi，则Pi对应的广义位移di
不仅与Pi有关，与n个力可能都有关系，因此算功困难。 而由力的独立作用原理，多个外力的总功与加载次序无
关，所以可以设想一个便于计算变形能的加载次序“比例 加
载”，即：各力从零开始同时按比例增加，最后同时到达 终
各力按比例b增长,则当b有一增量db时
U T 2 () Rd M 2 () Rd
l 2G I p
l 2EI
3 P2 R3 P2 R3
4GI p
4E I
1 W 2 P AV
由U W，得：
3 PR3 PR3
AV 2GI p 2EI
R
§13.3 变形能的普遍表达式
一.一般情况下变形能不符合叠加原理 变形能是广义力(或广义位移)的二次函数，所以不能