材料力学第十三章 能 量 法
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材料力学第十三章 能量法
1 vε = = τγ 2G 2
τ2
三、扭转
由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系： 由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系：
M e l M e 2l 1 1 Vε = W = M e ⋅ ∆φ = M e = 2 2 G I p 2G I p
T 2 ( x) Vε = ∫ dx 2G I p ( x) l
截面的挠度。 例：求图示简支梁C截面的挠度。 求图示简支梁 截面的挠度
F
θ B2
wC1
解：由功的互等定理 F ⋅ wC1 = M ⋅ θ B 2
得：F ⋅ wC1
Fl =M⋅ 16 E I Ml = 16 E I
2
2
由此得：wC1
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移∆ C 。 求图示悬臂梁中点 处的铅垂位移
故：
M ( x) M ( x) ∆=∫ dx EI l
M ( x) M ( x) 莫尔定理 ∆=∫ dx 莫尔积分） （莫尔积分） EI l
对于组合变形： FN ( x) FN ( x) T ( x) T ( x) M ( x) M ( x) ∆=∫ dx + ∫ dx + ∫ dx EA GI p EI l l l
积分得： 积分得：
FN (x)dx M (x)dx T (x)dx Vε = ∫ +∫ +∫ 2EA 2EI 2GIP L L L
2
2
2
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 求自由端B的挠度 能原理求自由端 的挠度。 能原理求自由端 的挠度。
F
解：
B
A
l
x
M ( x) = − F ⋅ x
材料力学 能量法
FN1 = F sinα ( 拉) , FN2 = F tanα ( 压 )
1
2 l
方法一
∆=
F l F l ∆l1 = N1 1 , ∆l2 = N2 EA EA
α
A′
A
1 ∆l1 ∆l2 Fl cos2 α + + = sinα tanα EAsin2 α cosα
F 12l1 F 22l F2l 1 V = N cos2 α + + N = ε 2EA 2EA 2EAsin2 α cosα F∆ W= 2 Fl 1 ∆= cos2 α + EAsin2 α cosα
A
外力功： 外力功： 载荷在其相应位移 上所作之功。 上所作之功。
F
∆ A
A′
广义力： 力偶， 广义力： 力，力偶，一对大小 相等、 相等、方向相反的力 或转向相反的力偶等。 或转向相反的力偶等。
∆
A′
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。 广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
δ dδ δ ∆ f df F
线弹性体： 线弹性体：
f = kδ
∆
F = k∆
f
1 2 1 W = ∫0 kδ dδ = k∆ = F∆ 2 2
Page 6 δ
第十三章
能量法
二、克拉比隆定理： 克拉比隆定理： 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,.. 及其相应广 义位移, 义位移, 求外力功
第十三章
能量法
第 13 章 能量法
§13-1 1313§13-2 13§13-3 13§13-4 13§13-5 外力功与应变能的一般表达式 互等定理 卡氏定理 变形体虚功原理 单位载荷法
1
2 l
方法一
∆=
F l F l ∆l1 = N1 1 , ∆l2 = N2 EA EA
α
A′
A
1 ∆l1 ∆l2 Fl cos2 α + + = sinα tanα EAsin2 α cosα
F 12l1 F 22l F2l 1 V = N cos2 α + + N = ε 2EA 2EA 2EAsin2 α cosα F∆ W= 2 Fl 1 ∆= cos2 α + EAsin2 α cosα
A
外力功： 外力功： 载荷在其相应位移 上所作之功。 上所作之功。
F
∆ A
A′
广义力： 力偶， 广义力： 力，力偶，一对大小 相等、 相等、方向相反的力 或转向相反的力偶等。 或转向相反的力偶等。
∆
A′
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。 广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
δ dδ δ ∆ f df F
线弹性体： 线弹性体：
f = kδ
∆
F = k∆
f
1 2 1 W = ∫0 kδ dδ = k∆ = F∆ 2 2
Page 6 δ
第十三章
能量法
二、克拉比隆定理： 克拉比隆定理： 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,.. 及其相应广 义位移, 义位移, 求外力功
第十三章
能量法
第 13 章 能量法
§13-1 1313§13-2 13§13-3 13§13-4 13§13-5 外力功与应变能的一般表达式 互等定理 卡氏定理 变形体虚功原理 单位载荷法
材料力学第十三章 能 量 法
Vε Vε (D1 , D 2 ,, D i ,, D n )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi 其它位移均保持不变 梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量
d W Fi d D i
Ve d Ve d Di D i
d Ve d W
Ve Fi D i
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Vε
l
0
F ( x) T ( x) dx dx 0 2GI 2 EA p
l
2 N
2
F ( x) M ( x) d x s dx 0 2 EI 0 2GA
l l
2
2 S
应变能恒为正 ，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1 s e
外力作功：
de e 1
DAB 方向水平向外
§3-4 用能量法解超静定系统
解超静定问题要综合考虑三方面 几何方面 —— 建立变形几何相容条件 物理方面 —— 建立补充方程 静力学方面 —— 建立平衡方程
等直杆，发生基本变形，材料为线性弹性体 非等直杆或杆系结构，受较复杂荷载作用， 材料为非线性弹性体 易 难
能量法
例1：求图示超静定梁支座处的约束力。
③ 先加M，后加F
A
M AM
F
B
AF DCF
AM
Ml 3EI
D CF
Fl 48 EI
3
AF
Fl 16 EI
2
1 1 应变能： V M ε AM ( FD CF M AF ) 2 2 2 3 2 2 1 F l M l MFl ( ) EI 96 6 16
Ve Fi D i
材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
P1
P2
1 dV 2 M( x )d
一般情况下： 剪力对变形的影响很小，剪切 应变能远远小于弯曲应变能。
M 2( x )dx dV 2EI
w = M(x) = dθ EI dx
d M( x) dx
EI
M 2( x )dx
V l 2EI
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
1
V
W
F 2
F2
F3
采用比例加载
2 3
外力
比例
0
位移
比例
F1、F2、F3
1、 2、 3
0
V
W
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F33
n i1
1 2
Fii
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
克拉贝依隆原理
对于组合变形
M (x)
Fs(x)
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
材料力学之能量法
A
l/2
F C 1
l/2
B
l/2 1 1 Fl 3 W Fδ1 F F 2 2 48 EI C A 2) 力偶由零增至最后值 Me Mel B 截面的转角为 θ 3 EI 1 1 Mel 力偶 Me 所作的功为 W2 M eθ M e 2 2 3 EI
l/2 Me B
由 V =W 得
( FRsin ) 2 πF 2 R3 Rd 2 EI 8EI
Δ BV
πFR 4 EI
3
A
O
例: 简支梁, 两种载荷按同样比例加载, 计算其变形能。 梁中点的挠度为 梁右端的转角为
Fl 3 M el 2 δ1 48EI 16 EI Fl 2 M el δ2 θ 16 EI 3EI
Fb 2 Fa 2 ( x1 ) ( x2 ) a b l dx1 l dx2 0 0 2 EI 2 EI
2
B
x1 a l C x2
b
F 2b2 a3 F 2a 2 b3 F 2a 2b 2 2 2 2 EIl 3 2 EIl 3 6 EIl
1 W F vC 2
由 V =W 得
(( ))
1
q A
RA
F=qa B
C
x
A x 1/2a
B
C x
x
2a
a
2a
a
(2) 求 C 截面的转角 ( 在 C 处加一单位力偶 ） 2 qa qx x AB: M ( x) x (0 x 2a) M ( x) 2 2 2a BC: M ( x) qa x (0 x a) M ( x) 1 a 1 2 a qa qx 2 x 5qa3 c [ ( x )( )dx (qax)(1)d x] 0 EI 0 2 2 2a 6 EI （
l/2
F C 1
l/2
B
l/2 1 1 Fl 3 W Fδ1 F F 2 2 48 EI C A 2) 力偶由零增至最后值 Me Mel B 截面的转角为 θ 3 EI 1 1 Mel 力偶 Me 所作的功为 W2 M eθ M e 2 2 3 EI
l/2 Me B
由 V =W 得
( FRsin ) 2 πF 2 R3 Rd 2 EI 8EI
Δ BV
πFR 4 EI
3
A
O
例: 简支梁, 两种载荷按同样比例加载, 计算其变形能。 梁中点的挠度为 梁右端的转角为
Fl 3 M el 2 δ1 48EI 16 EI Fl 2 M el δ2 θ 16 EI 3EI
Fb 2 Fa 2 ( x1 ) ( x2 ) a b l dx1 l dx2 0 0 2 EI 2 EI
2
B
x1 a l C x2
b
F 2b2 a3 F 2a 2 b3 F 2a 2b 2 2 2 2 EIl 3 2 EIl 3 6 EIl
1 W F vC 2
由 V =W 得
(( ))
1
q A
RA
F=qa B
C
x
A x 1/2a
B
C x
x
2a
a
2a
a
(2) 求 C 截面的转角 ( 在 C 处加一单位力偶 ） 2 qa qx x AB: M ( x) x (0 x 2a) M ( x) 2 2 2a BC: M ( x) qa x (0 x a) M ( x) 1 a 1 2 a qa qx 2 x 5qa3 c [ ( x )( )dx (qax)(1)d x] 0 EI 0 2 2 2a 6 EI （
材料力学 第十三章能量方法
杆件的应变能在数值上等于变形过程中外力所做的功。 在线弹性范围内，外力由零开始缓慢增加到某一值，将外 力做的功统一写成
V
W
1 2
F
式中 F——广义力；
δ——与广义力对应的位移，即为广义力作用 点且与广义力方向一致的位移。称为广义位移。
6
§13-1 杆件应变能的计算
例题13-1
求图示悬臂梁的应变能V 和自由端的挠度yA。已知梁的抗弯刚度为EI。
拉压
dV
FN2 x 2EAx
dx
V l 2FEN2Axxdx
扭转
T 2x dV 2GIP x dx
弯曲
M 2x dV 2EIx dx
T 2x
V l 2GIP xdx
M 2x
V l 2EIxdx
5
§13-1 杆件应变能的计算
10
应变能不能叠加:
简单说明
A：F1单独作用 B：F2单独作用
1 V1 2 F1l1
V 2
1 2
F2l2
F2
F1
F2
F1
E：同时加F1、 F2
C：先加F1，再加F2
常力F1在 Δl2上作功
V
1 2
F1l1
1 2
F2l2
F1l2
F1
F12l 2EA
F2 2l 2EA
15
F112 F2 21
上式表明第一组力F1在第二组力引起的位移δ12上所做的 功，等于第二组力F2在第一组力引起的位移δ21上所做的功。 这就是功的互等定理 在F1=F2的情况下，由功的互等定理可得
1 2
Fy
材料力学 第十三章能量方法
l
l
l
25
例13-4 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。 P A 解：求挠度，建坐标系 ①求内力
M ( x ) xP
EI
L
x
O
②将内力对PA求偏导
M ( x) PA x
③变形
fA
U PA
L
2
M ( x ) M ( x ) EI PA
dx
L
0
Px EI
U U ( P1 , P2 ,..., Pn )
给Pn 以增量 dPn ，则：应变能增量：
结构的应变能： U1 U U dPn
P n
U Pn
d Pn
n
Pn
2.先给物体加力 dPn ，则应变能
1 2 ( d Pn ) ( d n )
再给物体加P1、 P2、•••、Pn 个力，则：
F l
2 3
6 EI
由于应变能V 等于外载荷所做的功W。即V =W
F l
2 3
1 2
6 EI
Fy A
由该式得自由端的挠度
yA
Fl
3
3EI
由该例题可以看出，只有当弹性体上仅作用一个广义力，且所求 位移为相应的广义位移时，才可直接利用功能原理计算。
7
例13-2 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P 的作用，求A点的垂直位移。
12
二、组合变形杆件应变能的普遍表达式:
在组合变形时，杆件横截面上同时有几种内力分 量作用，为计算杆件的应变能，可取dx微段来研究。
M x
FN x
dx
M x
T x
材料力学第13章 能 量 法
基本变形下的外力功及杆件的变形能的计算 变形 类型 外力功 应变能(内力 为常力） 应变能(内力 为变力） 拉压 扭转 弯曲
1 Pl 2
1 T 2
1 M e 2
F l 2 EA FN ( x) l 2 EA dx
2
2 N
T 2l 2GI P T 2 ( x) l 2GI P dx
2
M l 2 EI
?
解：
Fi i W 2 i 1
n
PwA M A 2 2 P 2l 3 M 2l FMl 2 6 EI 2 EI 2 EI
3 Pl P wA 3EI
2 Ml M wA 2 EI
P A
Pl 2 EI
2
M A
Ml EI
例2: 弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作 q 用，如图所示。试求梁内的应变能 。
W dW F d
0 0
F F1
1
1
O
d
F
1
(a)
W dW F d
0 0
1
1
F F
F W 2
当载荷与相应的位移保持正 比关系，并且载荷由零逐渐 增加时，载荷所作之功为载 荷最大值与位移最大值乘积 的一半。 式中力F是广义力（力， 力矩）、Δ为广义位移（ 线位移，角位移）。
P a2 RB (3l a ) 2 2 l
§13－3
1.卡氏定理
卡氏定理
设图中材料为线性弹性体，求与广义力Fi对应 的广义位移Δi 。
1 2 3 n
B
1 2 3 n
根据克拉贝隆定理，由于应变能只与最后荷 载有关，而与加载顺序无关。外力功与应变 能为：
Fi i V W 2 i 1
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单元体上外力作功： W s e1 d e 0
应变能密度：
ve
e1 s d e
0
边长为dx、dy、dz的单元体： dVe ve d x d y d z
杆： Ve dVe V ve dV
线性弹性体：
ve
s e1
0
de
1 2
s
1e1
1 2
Ee12
1 2E
s
2 1
ve
1 d
0
1 2
1
AF
Fl 2 16 EI
应变能：
Vε
1 2
M AM
(1 2
FDCF
M AF )
1
F 2l3 (
M
2l
MFl 2
)
EI 96 6 16
④ M、F 分别单独作用
F
A
DCF
B
A M AM
B
DCF
Fl 3 48 EI
AM
Ml 3EI
应变能之和： VεF VεM
1 2
FDCF
1 2
M AM
1 EI
VεS
l
s
FS2 (x) d x 2GA
s — 剪切形状因数
S
S
通常，梁的剪切应变能远小于弯曲应变能。
杆件发生组合变形
在线弹性、小变形的条件下，每一基本变形的内力仅 在其相应的基本变形上作功，在其他基本变形上不作功。
Vε
l FN2 (x) d x 0 2EA
l T 2 (x) dx
0 2GIp
材料是线弹性的，但变形 D 与力F 不是线性的
几何非线性弹性问题
材料是非线性弹性的
物理非线性弹性问题
应变能：
Ve
D
FdD
0
D EA D 3 d D 0 l
1 4
EA
D4 l3
1 FD 4
二、余能
非线性弹性体
外力做功：
W D1 F d D 0
余功： Wc
F1 D d F
0
余能：
Vc Wc
l M 2(x) d x 0 2EI
l
0 s
FS2 (x) d x 2GA
应变能恒为正 ，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1
s e
e de e1
外力作功： W
D1 F d D
0
应变能：
Ve
W
D1 F d D
0
取单位长单元体 F s (11) D e 1
② 在线弹性范围内，应变能是广义力或广 义位移的二次函数，应变能的计算不能用叠加 原理。
验证
M
F
A
A DC
0.5 l
l
① F、M 同
B 时按比例由零逐 渐增加到最终值
DC
Fl 3 48 EI
Ml 2 16 EI
A
Fl 2 16 EI
Ml 3EI
应变能：
Vε
1 2
FDC
1 2
M A
1 ( F 2l3 M 2l MFl 2 ) EI 96 6 16
Fi
Ve Di
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Fi
Ve Di
Fi ：广义力
对应
Di ：广义位移
卡氏第一定理的适用范围： 一切受力状态下的弹性体
线性弹性体 非线性弹性体
广义位移 线位移 角位移
相对线位移
相对角位移
广义力 集中力 集中力偶 一对集中力
(等量、反向)
一对集中力偶
(等量、反向)
广义力的量纲与广义位移的量纲的乘积 为功的量纲
若广义力为分布力，则广义位移为 ？
例1：图示悬臂梁，长为 l，弯曲刚度为 EI，
在自由端作用一力偶矩 Me，若已知自由端的转角
，梁材料为线弹性，试求力偶矩 Me。
EI l
Me
P62 例3-7
EI l
Me
纯弯曲
x
横截面上只有弯矩 M
M＝Me
di
i 1
加载过程中力 和位移的瞬时值
Vε (D1, D2 , , Di , , Dn )
Vε Vε (D1, D2 , , Di , , Dn )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi
其它位移均保持不变
梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量 dW Fi d Di
dVe
Ve Di
d Di
dVe dW
第十三章 能 量 法
◆ 概述 ◆ 应变能·余能 ◆ 卡氏定理 ◆ 用能量法解超静定系统 ◆ 虚位移原理及单位力法
§3-1 概 述
利用功和能的概念求解可变形固体的位移、
变形和内力等的方法
能量法
能量法是固体力学的重要原理，它不仅可用 于分析构件或结构的位移与应力，还可用于分析 与变形有关的其它问题。
本章主要介绍用能量法计算杆或简单杆系的 位移或变形。
§3-2 应变能·余能
一、应变能
弹性体
F
F1
W
1 2
F1 Δ1
O D1 D
线性弹性体 (线弹性体)
A F
F1
B
D1
F1
W
D1 0
F1
d
D
O D1 D
非线性弹性体
在线弹性范围内
杆轴向 拉压
Vε
1 2
F
Δl
FN2l 2EA
Me
圆轴扭转
Vε
1 2
M
e
T 2l 2GIp
梁平面弯曲
VεM
l
M 2(x) d x 2EI
( F 2l3 96
M 2l ) 6
Vε
例1：完全相同的两根杆原位于水平位置，杆 长均为l，截面面积均为A，弹性模量均为E，且均 为线弹性的。在结点 B承受铅垂荷载 F，试求力 F 与结点B铅垂位移 D 间的关系及杆系的应变能。
l
l
D B
F
P57 例3-3
l
l
B
FN B
FN
C
D
D
F
B
2FN sin F 0
1
1 2
G
2 1
1 2G
12
线弹性体的应变能一般算式
各外力按同一比例
由零逐渐增加至最终值
Di 为外力Fi 作用点
沿Fi 作用方向的位移
1
1
1
Vε W 2 F1D1 2 F2D2 2 FnDn
1 2
n i 1
Fi D i
克拉贝依隆原理
Fi ：广义力 Di ：广义位移
注意
① 应变能的大小由各力的最终值决定，与 外力作用的先后次序无关。
F1 D d F
0
W Wc F1D1
线弹性体
Vc
Vε
Vc V vc dV
余能密度：
vc
s1 e ds
0
§3-3 卡氏定理
一、卡氏第一定理
梁：非线性弹性材料
外力：F1、F2 … Fn
设外力按比例同 时由零增加到最终值
位移：D1、D2 … Dn
梁的应变能： Ve W n
Di 0
fi
② 先加F，后加M
M
F
A
DCF
B
AM DCM
DCF
Fl 3 48 EI
DCM
Ml 2 16 EI
AM
Ml 3EI
应变能：
Vε
1 2
FDCF
(FDCM
1 2
M
AM
)
1
F 2l3 (
M
2l
MFl
2
)
EI 96 6 16
③ 先加M，后加F
A M AM F
B
AM
Ml 3EI
AF DCF
DCF
Fl 3 48 EI
FN
F
2 sin
F
变形后杆长为： l Dl (1 FN )l EA
在三角形BCD中：
Dl FNl EA
D (l Dl)2 l2 2lDl Dl2 2lDl l 2FN EA
小变形 sin tan D
l
F
EA
D
3
l
F
EA
D
3
C
l
力F 与变形 D 不是线性关系
l
l
D
DBLeabharlann F