材料力学第十三章 能 量 法
单元体上外力作功： W s e1 d e 0
应变能密度：
ve
e1 s d e
0
边长为dx、dy、dz的单元体： dVe ve d x d y d z
杆： Ve dVe V ve dV
线性弹性体：
ve
s e1
0
de
1 2
s
1e1
1 2
Ee12
1 2E
s
2 1
ve
1 d
0
1 2
1
AF
Fl 2 16 EI
应变能：
Vε
1 2
M AM
(1 2
FDCF
M AF )
1
F 2l3 (
M
2l
MFl 2
)
EI 96 6 16
④ M、F 分别单独作用
F
A
DCF
B
A M AM
B
DCF
Fl 3 48 EI
AM
Ml 3EI
应变能之和： VεF VεM
1 2
FDCF
1 2
M AM
1 EI
VεS
l
s
FS2 (x) d x 2GA
s — 剪切形状因数
S
S
通常，梁的剪切应变能远小于弯曲应变能。
杆件发生组合变形
在线弹性、小变形的条件下，每一基本变形的内力仅 在其相应的基本变形上作功，在其他基本变形上不作功。
Vε
l FN2 (x) d x 0 2EA
l T 2 (x) dx
0 2GIp
材料是线弹性的，但变形 D 与力F 不是线性的
几何非线性弹性问题
材料是非线性弹性的
物理非线性弹性问题
应变能：
Ve
D
FdD
0
D EA D 3 d D 0 l
1 4
EA
D4 l3
1 FD 4
二、余能
非线性弹性体
外力做功：
W D1 F d D 0
余功： Wc
F1 D d F
0
余能：
Vc Wc
l M 2(x) d x 0 2EI
l
0 s
FS2 (x) d x 2GA
应变能恒为正 ，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1
s e
e de e1
外力作功： W
D1 F d D
0
应变能：
Ve
W
D1 F d D
0
取单位长单元体 F s (11) D e 1
② 在线弹性范围内，应变能是广义力或广 义位移的二次函数，应变能的计算不能用叠加 原理。
验证
M
F
A
A DC
0.5 l
l
① F、M 同
B 时按比例由零逐 渐增加到最终值
DC
Fl 3 48 EI
Ml 2 16 EI
A
Fl 2 16 EI
Ml 3EI
应变能：
Vε
1 2
FDC
1 2
M A
1 ( F 2l3 M 2l MFl 2 ) EI 96 6 16
Fi
Ve Di
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Fi
Ve Di
Fi ：广义力
对应
Di ：广义位移
卡氏第一定理的适用范围： 一切受力状态下的弹性体
线性弹性体 非线性弹性体
广义位移 线位移 角位移
相对线位移
相对角位移
广义力 集中力 集中力偶 一对集中力
(等量、反向)
一对集中力偶
(等量、反向)
广义力的量纲与广义位移的量纲的乘积 为功的量纲
若广义力为分布力，则广义位移为 ？
例1：图示悬臂梁，长为 l，弯曲刚度为 EI，
在自由端作用一力偶矩 Me，若已知自由端的转角
，梁材料为线弹性，试求力偶矩 Me。
EI l
Me
P62 例3-7
EI l
Me
纯弯曲
x
横截面上只有弯矩 M
M＝Me
di
i 1
加载过程中力 和位移的瞬时值
Vε (D1, D2 , , Di , , Dn )
Vε Vε (D1, D2 , , Di , , Dn )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi
其它位移均保持不变
梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量 dW Fi d Di
dVe
Ve Di
d Di
dVe dW
第十三章 能 量 法
◆ 概述 ◆ 应变能·余能 ◆ 卡氏定理 ◆ 用能量法解超静定系统 ◆ 虚位移原理及单位力法
§3-1 概 述
利用功和能的概念求解可变形固体的位移、
变形和内力等的方法
能量法
能量法是固体力学的重要原理，它不仅可用 于分析构件或结构的位移与应力，还可用于分析 与变形有关的其它问题。
本章主要介绍用能量法计算杆或简单杆系的 位移或变形。
§3-2 应变能·余能
一、应变能
弹性体
F
F1
W
1 2
F1 Δ1
O D1 D
线性弹性体 (线弹性体)
A F
F1
B
D1
F1
W
D1 0
F1
d
D
O D1 D
非线性弹性体
在线弹性范围内
杆轴向 拉压
Vε
1 2
F
Δl
FN2l 2EA
Me
圆轴扭转
Vε
1 2
M
e
T 2l 2GIp
梁平面弯曲
VεM
l
M 2(x) d x 2EI
( F 2l3 96
M 2l ) 6
Vε
例1：完全相同的两根杆原位于水平位置，杆 长均为l，截面面积均为A，弹性模量均为E，且均 为线弹性的。在结点 B承受铅垂荷载 F，试求力 F 与结点B铅垂位移 D 间的关系及杆系的应变能。
l
l
D B
F
P57 例3-3
l
l
B
FN B
FN
C
D
D
F
B
2FN sin F 0
1
1 2
G
2 1
1 2G
12
线弹性体的应变能一般算式
各外力按同一比例
由零逐渐增加至最终值
Di 为外力Fi 作用点
沿Fi 作用方向的位移
1
1
1
Vε W 2 F1D1 2 F2D2 2 FnDn
1 2
n i 1
Fi D i
克拉贝依隆原理
Fi ：广义力 Di ：广义位移
注意
① 应变能的大小由各力的最终值决定，与 外力作用的先后次序无关。
F1 D d F
0
W Wc F1D1
线弹性体
Vc
Vε
Vc V vc dV
余能密度：
vc
s1 e ds
0
§3-3 卡氏定理
一、卡氏第一定理
梁：非线性弹性材料
外力：F1、F2 … Fn
设外力按比例同 时由零增加到最终值
位移：D1、D2 … Dn
梁的应变能： Ve W n
Di 0
fi
② 先加F，后加M
M
F
A
DCF
B
AM DCM
DCF
Fl 3 48 EI
DCM
Ml 2 16 EI
AM
Ml 3EI
应变能：
Vε
1 2
FDCF
(FDCM
1 2
M
AM
)
1
F 2l3 (
M
2l
MFl
2
)
EI 96 6 16
③ 先加M，后加F
A M AM F
B
AM
Ml 3EI
AF DCF
DCF
Fl 3 48 EI
FN
F
2 sin
F
变形后杆长为： l Dl (1 FN )l EA
在三角形BCD中：
Dl FNl EA
D (l Dl)2 l2 2lDl Dl2 2lDl l 2FN EA
小变形 sin tan D
l
F
EA
D
3
l
F
EA
D
3
C
l
力F 与变形 D 不是线性关系
l
l
D
DBLeabharlann F
合集下载
材料力学第十三章 能量法
1 vε = = τγ 2G 2
τ2
三、扭转
由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系： 由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系：
M e l M e 2l 1 1 Vε = W = M e ⋅ ∆φ = M e = 2 2 G I p 2G I p
T 2 ( x) Vε = ∫ dx 2G I p ( x) l
截面的挠度。 例：求图示简支梁C截面的挠度。 求图示简支梁 截面的挠度
F
θ B2
wC1
解：由功的互等定理 F ⋅ wC1 = M ⋅ θ B 2
得：F ⋅ wC1
Fl =M⋅ 16 E I Ml = 16 E I
2
2
由此得：wC1
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移∆ C 。 求图示悬臂梁中点 处的铅垂位移
故：
M ( x) M ( x) ∆=∫ dx EI l
M ( x) M ( x) 莫尔定理 ∆=∫ dx 莫尔积分） （莫尔积分） EI l
对于组合变形： FN ( x) FN ( x) T ( x) T ( x) M ( x) M ( x) ∆=∫ dx + ∫ dx + ∫ dx EA GI p EI l l l
积分得： 积分得：
FN (x)dx M (x)dx T (x)dx Vε = ∫ +∫ +∫ 2EA 2EI 2GIP L L L
2
2
2
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 求自由端B的挠度 能原理求自由端 的挠度。 能原理求自由端 的挠度。
F
解：
B
A
l
x
M ( x) = − F ⋅ x
材料力学 能量法
FN1 = F sinα ( 拉) , FN2 = F tanα ( 压 )
1
2 l
方法一
∆=
F l F l ∆l1 = N1 1 , ∆l2 = N2 EA EA
α
A′
A
1 ∆l1 ∆l2 Fl cos2 α + + = sinα tanα EAsin2 α cosα
F 12l1 F 22l F2l 1 V = N cos2 α + + N = ε 2EA 2EA 2EAsin2 α cosα F∆ W= 2 Fl 1 ∆= cos2 α + EAsin2 α cosα
A
外力功： 外力功： 载荷在其相应位移 上所作之功。 上所作之功。
F
∆ A
A′
广义力： 力偶， 广义力： 力，力偶，一对大小 相等、 相等、方向相反的力 或转向相反的力偶等。 或转向相反的力偶等。
∆
A′
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。 广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
δ dδ δ ∆ f df F
线弹性体： 线弹性体：
f = kδ
∆
F = k∆
f
1 2 1 W = ∫0 kδ dδ = k∆ = F∆ 2 2
Page 6 δ
第十三章
能量法
二、克拉比隆定理： 克拉比隆定理： 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,.. 及其相应广 义位移, 义位移, 求外力功
第十三章
能量法
第 13 章 能量法
§13-1 1313§13-2 13§13-3 13§13-4 13§13-5 外力功与应变能的一般表达式 互等定理 卡氏定理 变形体虚功原理 单位载荷法
1
2 l
方法一
∆=
F l F l ∆l1 = N1 1 , ∆l2 = N2 EA EA
α
A′
A
1 ∆l1 ∆l2 Fl cos2 α + + = sinα tanα EAsin2 α cosα
F 12l1 F 22l F2l 1 V = N cos2 α + + N = ε 2EA 2EA 2EAsin2 α cosα F∆ W= 2 Fl 1 ∆= cos2 α + EAsin2 α cosα
A
外力功： 外力功： 载荷在其相应位移 上所作之功。 上所作之功。
F
∆ A
A′
广义力： 力偶， 广义力： 力，力偶，一对大小 相等、 相等、方向相反的力 或转向相反的力偶等。 或转向相反的力偶等。
∆
A′
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。 广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
δ dδ δ ∆ f df F
线弹性体： 线弹性体：
f = kδ
∆
F = k∆
f
1 2 1 W = ∫0 kδ dδ = k∆ = F∆ 2 2
Page 6 δ
第十三章
能量法
二、克拉比隆定理： 克拉比隆定理： 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,.. 及其相应广 义位移, 义位移, 求外力功
第十三章
能量法
第 13 章 能量法
§13-1 1313§13-2 13§13-3 13§13-4 13§13-5 外力功与应变能的一般表达式 互等定理 卡氏定理 变形体虚功原理 单位载荷法
材料力学第十三章 能 量 法
Vε Vε (D1 , D 2 ,, D i ,, D n )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi 其它位移均保持不变 梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量
d W Fi d D i
Ve d Ve d Di D i
d Ve d W
Ve Fi D i
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Vε
l
0
F ( x) T ( x) dx dx 0 2GI 2 EA p
l
2 N
2
F ( x) M ( x) d x s dx 0 2 EI 0 2GA
l l
2
2 S
应变能恒为正 ，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1 s e
外力作功：
de e 1
DAB 方向水平向外
§3-4 用能量法解超静定系统
解超静定问题要综合考虑三方面 几何方面 —— 建立变形几何相容条件 物理方面 —— 建立补充方程 静力学方面 —— 建立平衡方程
等直杆，发生基本变形，材料为线性弹性体 非等直杆或杆系结构，受较复杂荷载作用， 材料为非线性弹性体 易 难
能量法
例1：求图示超静定梁支座处的约束力。
③ 先加M，后加F
A
M AM
F
B
AF DCF
AM
Ml 3EI
D CF
Fl 48 EI
3
AF
Fl 16 EI
2
1 1 应变能： V M ε AM ( FD CF M AF ) 2 2 2 3 2 2 1 F l M l MFl ( ) EI 96 6 16
Ve Fi D i
材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
P1
P2
1 dV 2 M( x )d
一般情况下： 剪力对变形的影响很小，剪切 应变能远远小于弯曲应变能。
M 2( x )dx dV 2EI
w = M(x) = dθ EI dx
d M( x) dx
EI
M 2( x )dx
V l 2EI
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
1
V
W
F 2
F2
F3
采用比例加载
2 3
外力
比例
0
位移
比例
F1、F2、F3
1、 2、 3
0
V
W
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F33
n i1
1 2
Fii
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
克拉贝依隆原理
对于组合变形
M (x)
Fs(x)
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
材料力学之能量法
A
l/2
F C 1
l/2
B
l/2 1 1 Fl 3 W Fδ1 F F 2 2 48 EI C A 2) 力偶由零增至最后值 Me Mel B 截面的转角为 θ 3 EI 1 1 Mel 力偶 Me 所作的功为 W2 M eθ M e 2 2 3 EI
l/2 Me B
由 V =W 得
( FRsin ) 2 πF 2 R3 Rd 2 EI 8EI
Δ BV
πFR 4 EI
3
A
O
例: 简支梁, 两种载荷按同样比例加载, 计算其变形能。 梁中点的挠度为 梁右端的转角为
Fl 3 M el 2 δ1 48EI 16 EI Fl 2 M el δ2 θ 16 EI 3EI
Fb 2 Fa 2 ( x1 ) ( x2 ) a b l dx1 l dx2 0 0 2 EI 2 EI
2
B
x1 a l C x2
b
F 2b2 a3 F 2a 2 b3 F 2a 2b 2 2 2 2 EIl 3 2 EIl 3 6 EIl
1 W F vC 2
由 V =W 得
(( ))
1
q A
RA
F=qa B
C
x
A x 1/2a
B
C x
x
2a
a
2a
a
(2) 求 C 截面的转角 ( 在 C 处加一单位力偶 ） 2 qa qx x AB: M ( x) x (0 x 2a) M ( x) 2 2 2a BC: M ( x) qa x (0 x a) M ( x) 1 a 1 2 a qa qx 2 x 5qa3 c [ ( x )( )dx (qax)(1)d x] 0 EI 0 2 2 2a 6 EI （
l/2
F C 1
l/2
B
l/2 1 1 Fl 3 W Fδ1 F F 2 2 48 EI C A 2) 力偶由零增至最后值 Me Mel B 截面的转角为 θ 3 EI 1 1 Mel 力偶 Me 所作的功为 W2 M eθ M e 2 2 3 EI
l/2 Me B
由 V =W 得
( FRsin ) 2 πF 2 R3 Rd 2 EI 8EI
Δ BV
πFR 4 EI
3
A
O
例: 简支梁, 两种载荷按同样比例加载, 计算其变形能。 梁中点的挠度为 梁右端的转角为
Fl 3 M el 2 δ1 48EI 16 EI Fl 2 M el δ2 θ 16 EI 3EI
Fb 2 Fa 2 ( x1 ) ( x2 ) a b l dx1 l dx2 0 0 2 EI 2 EI
2
B
x1 a l C x2
b
F 2b2 a3 F 2a 2 b3 F 2a 2b 2 2 2 2 EIl 3 2 EIl 3 6 EIl
1 W F vC 2
由 V =W 得
(( ))
1
q A
RA
F=qa B
C
x
A x 1/2a
B
C x
x
2a
a
2a
a
(2) 求 C 截面的转角 ( 在 C 处加一单位力偶 ） 2 qa qx x AB: M ( x) x (0 x 2a) M ( x) 2 2 2a BC: M ( x) qa x (0 x a) M ( x) 1 a 1 2 a qa qx 2 x 5qa3 c [ ( x )( )dx (qax)(1)d x] 0 EI 0 2 2 2a 6 EI （
材料力学 第十三章能量方法
杆件的应变能在数值上等于变形过程中外力所做的功。 在线弹性范围内，外力由零开始缓慢增加到某一值，将外 力做的功统一写成
V
W
1 2
F
式中 F——广义力；
δ——与广义力对应的位移，即为广义力作用 点且与广义力方向一致的位移。称为广义位移。
6
§13-1 杆件应变能的计算
例题13-1
求图示悬臂梁的应变能V 和自由端的挠度yA。已知梁的抗弯刚度为EI。
拉压
dV
FN2 x 2EAx
dx
V l 2FEN2Axxdx
扭转
T 2x dV 2GIP x dx
弯曲
M 2x dV 2EIx dx
T 2x
V l 2GIP xdx
M 2x
V l 2EIxdx
5
§13-1 杆件应变能的计算
10
应变能不能叠加:
简单说明
A：F1单独作用 B：F2单独作用
1 V1 2 F1l1
V 2
1 2
F2l2
F2
F1
F2
F1
E：同时加F1、 F2
C：先加F1，再加F2
常力F1在 Δl2上作功
V
1 2
F1l1
1 2
F2l2
F1l2
F1
F12l 2EA
F2 2l 2EA
15
F112 F2 21
上式表明第一组力F1在第二组力引起的位移δ12上所做的 功，等于第二组力F2在第一组力引起的位移δ21上所做的功。 这就是功的互等定理 在F1=F2的情况下，由功的互等定理可得
1 2
Fy
材料力学 第十三章能量方法
l
l
l
25
例13-4 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。 P A 解：求挠度，建坐标系 ①求内力
M ( x ) xP
EI
L
x
O
②将内力对PA求偏导
M ( x) PA x
③变形
fA
U PA
L
2
M ( x ) M ( x ) EI PA
dx
L
0
Px EI
U U ( P1 , P2 ,..., Pn )
给Pn 以增量 dPn ，则：应变能增量：
结构的应变能： U1 U U dPn
P n
U Pn
d Pn
n
Pn
2.先给物体加力 dPn ，则应变能
1 2 ( d Pn ) ( d n )
再给物体加P1、 P2、•••、Pn 个力，则：
F l
2 3
6 EI
由于应变能V 等于外载荷所做的功W。即V =W
F l
2 3
1 2
6 EI
Fy A
由该式得自由端的挠度
yA
Fl
3
3EI
由该例题可以看出，只有当弹性体上仅作用一个广义力，且所求 位移为相应的广义位移时，才可直接利用功能原理计算。
7
例13-2 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P 的作用，求A点的垂直位移。
12
二、组合变形杆件应变能的普遍表达式:
在组合变形时，杆件横截面上同时有几种内力分 量作用，为计算杆件的应变能，可取dx微段来研究。
M x
FN x
dx
M x
T x
材料力学第13章 能 量 法
基本变形下的外力功及杆件的变形能的计算 变形 类型 外力功 应变能(内力 为常力） 应变能(内力 为变力） 拉压 扭转 弯曲
1 Pl 2
1 T 2
1 M e 2
F l 2 EA FN ( x) l 2 EA dx
2
2 N
T 2l 2GI P T 2 ( x) l 2GI P dx
2
M l 2 EI
?
解：
Fi i W 2 i 1
n
PwA M A 2 2 P 2l 3 M 2l FMl 2 6 EI 2 EI 2 EI
3 Pl P wA 3EI
2 Ml M wA 2 EI
P A
Pl 2 EI
2
M A
Ml EI
例2: 弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作 q 用，如图所示。试求梁内的应变能 。
W dW F d
0 0
F F1
1
1
O
d
F
1
(a)
W dW F d
0 0
1
1
F F
F W 2
当载荷与相应的位移保持正 比关系，并且载荷由零逐渐 增加时，载荷所作之功为载 荷最大值与位移最大值乘积 的一半。 式中力F是广义力（力， 力矩）、Δ为广义位移（ 线位移，角位移）。
P a2 RB (3l a ) 2 2 l
§13－3
1.卡氏定理
卡氏定理
设图中材料为线性弹性体，求与广义力Fi对应 的广义位移Δi 。
1 2 3 n
B
1 2 3 n
根据克拉贝隆定理，由于应变能只与最后荷 载有关，而与加载顺序无关。外力功与应变 能为：
Fi i V W 2 i 1
材料力学(能量法)
弹性变形阶段
01
外力作用下，材料发生弹性变形，此时外力所做的功全部转化
为应变能储存于材料内部。
塑性变形阶段
02
当外力继续增加，材料进入塑性变形阶段，部分应变能转化为
热能散失到环境中。
断裂破坏阶段
03
当材料达到强度极限时发生断裂破坏，此时储存的应变能迅速
释放并转化为断裂表面的新表面能和其他形式的能量。
非圆截面扭转时的能量可以通过实验或数值模拟等方法进 行计算，以获得准确的能量值。
扭转变形过程中能量转化
弹性变形能
在扭转变形过程中，部分能量以弹性变形能的形式储存在材料中。 当外力去除后，这部分能量可以释放并使材料恢复原状。
塑性变形能
当扭转变形超过材料的弹性极限时，部分能量会以塑性变形能的形 式消耗在材料中。这部分能量不可逆转，导致材料产生永久变形。
压缩过程中能量变化
外力做功
在压缩过程中，外力对杆件做 功，使其产生压缩变形和位移 。外力做功的大小与外力的大 小和杆件的位移成正比。
内力耗能
杆件在压缩过程中，材料内部 会产生应力和应变，从而消耗 能量。内力耗能的大小与材料 的应力-应变关系有关。
弹性势能
杆件在压缩过程中，由于材料 的弹性变形，会储存一定的弹 性势能。弹性势能的大小与材 料的弹性模量和变形量有关。
结构稳定性分析方法
能量准则
通过比较结构失稳前后的能量变 化，判断结构的稳定性。若失稳 后能量降低，则结构不稳定。
平衡路径跟踪法
通过逐步增加荷载或位移，跟踪 结构的平衡路径，观察结构从稳 定到不稳定的转变过程。
特征值分析法
基于结构刚度矩阵和质量矩阵， 求解特征值和特征向量，分析结 构的振动特性和稳定性。
材料力学第13章1-能量法-变形能计算
DB EA sin 2
16
13-3 应变能的普遍表达式
❖基础知识
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性齐 次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方向的 位移与该点的广义力成正比。
应变能只取决于受力变形的最终状态，因此可采用便于计算 的方式计算应变能。
对于双向弯曲弯矩沿形心主轴分解dxeidxeidxei换成若杆件及杆系的变形是以弯曲变形为主的因轴力和剪力远小于弯矩对变形的影响故在计算这类杆件的变形时通常不计轴力和剪力的影响
1
本节重点—你准备好了吗？
• 1、简单变形的变形能计算； • 2、功能原理解决简单题目； • 3、互等定理的理解及应用。
第十三章 能量法
解： M( x) F x
F
Vε
M 2 (x) dx
l 2EI
A
l (Fx)2 dx F 2l3
0 2EI
6EI
W
1F 2
wB
由Vε=W 得
wB
Fl 3 3EI
B x l
11
例题2 试求图示梁的变形能,并利用功能原理求C截面
的挠度.
解：
A
Vε
M 2( x)dx l 2EI
a 0
(
工程结构形状复杂，受力复杂。利用能量法可以求结 构任一指定点的任意方向的位移，且求解过程简单。
能量法的特点
1．解题简单、适用性广； 2．不受材料和形状限制，适用于线弹性、非线性和塑性
问题；（只讨论线弹性问题） 3．可求解静定与超静定问题；
3、线弹性体（线弹性结构）
（1）材料服从胡克定律。 （2）变形微小，各力的作用互不影响。