材料力学 能量法
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材料力学第十三章 能量法
1 vε = = τγ 2G 2
τ2
三、扭转
由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系： 由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系：
M e l M e 2l 1 1 Vε = W = M e ⋅ ∆φ = M e = 2 2 G I p 2G I p
T 2 ( x) Vε = ∫ dx 2G I p ( x) l
截面的挠度。 例：求图示简支梁C截面的挠度。 求图示简支梁 截面的挠度
F
θ B2
wC1
解：由功的互等定理 F ⋅ wC1 = M ⋅ θ B 2
得：F ⋅ wC1
Fl =M⋅ 16 E I Ml = 16 E I
2
2
由此得：wC1
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移∆ C 。 求图示悬臂梁中点 处的铅垂位移
故：
M ( x) M ( x) ∆=∫ dx EI l
M ( x) M ( x) 莫尔定理 ∆=∫ dx 莫尔积分） （莫尔积分） EI l
对于组合变形： FN ( x) FN ( x) T ( x) T ( x) M ( x) M ( x) ∆=∫ dx + ∫ dx + ∫ dx EA GI p EI l l l
积分得： 积分得：
FN (x)dx M (x)dx T (x)dx Vε = ∫ +∫ +∫ 2EA 2EI 2GIP L L L
2
2
2
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 求自由端B的挠度 能原理求自由端 的挠度。 能原理求自由端 的挠度。
F
解：
B
A
l
x
M ( x) = − F ⋅ x
材料力学-能量法
U
l
N 2( x)dx 2EA
l
M
2 n
(
x
)dx
2GI P
l
M 2( x)dx 2EI
（9-8）
注意：叠加法不能用于计算外力功和变形能。
例1 试分别计算图示各梁的变形能 例1图
解：求各梁的变形能 a b
c
Ua
0l
M 2( x)dx 2EI
0l
(
Px)2 2EI
dx
P 2l3 6EI
Ub
0l
M 2( x)dx 2EI
W 1 P
2
(9-2)
式中： P —— 广义力（力、力偶）
——广义位移（线位移、角位移）
广义力与广义位移相对应。如广义力是力，相应的广义
位移就是线位移（沿力方向的线位移）；如广义力是力偶， 相应的广义位移就是角位移（在力偶作用处的角位移）。
（二）变形能和比能
1. 轴向拉伸与压缩时的变形能
a. 轴力为常量： ( N P,l Nl )
材料力学
能量法
一、外力功与变形能
本章考虑杆件在线弹性范围内的能量法计算问题。
能量法——利用功和能的概念来解决变形体的位移、变 形和内力等计算的方法。
在线弹性范围内，外力功 W 全部转变为变形能 U，不 考虑能量的损耗。因此有
W=U
（一）外力功
1. 常力作功（P 为恒力）
W P
(9-1)
2. 变力作功（P 从0逐渐增加到最终值）
EA
U W 1 Pl N 2l
2
2EA
（9-3）
u
U V
N2 2EA2
2
2E
1
2
u 为比能，即单位体积的变形能。
008-材料力学_能量法
U i Fi
U i Fi
Fj Fj
M M M2 M M ( dx) dx L EI F L EI F Fi L 2EI i i Fj Fj Fj Fj
dx T T L GI p Fi Fj Fj
8.1 杆件的应变能
二、杆件的应变能 FN dx
dx d
克拉贝隆原理
U
L 2 FN 1 dx FN d L 2 2 EA
克拉贝隆原理
FN 拉压杆的应变能
d
FN dx EA
2 FN l U 2 EA
圆轴扭转的应变能
d
T
T2 1 U dx T d L 2GI L2 p T2l U 2GI p
拉压杆的应变能 F F
U dUV udV
V V
or U dU l
L
l l +Δ l FN dx
dx d
FN ( x) F ( x) N A( x) E EA( x)
1 u 2
2 FN ( x) 1 U udV dA dx dA dx V L A2 L 2 EA2 ( x) A
A F
Ay
2U 2 2 Fl1 ( ) () F E1 A1 2E2 A2
例：图示悬臂梁 AB 的 EI 是常数，在自由端作用一横力 F 和一力偶矩 m ，求梁的 应变能。
F m
解：由外力功计算应变能 横力的相应位移为自由端的挠度，力偶矩的相 应位移为自由端的转角，分别为：
B x l
例：图示悬臂梁 AB 的 EI 是常数，在跨中作用一横力 F ，求 yC 、 θA 。 解：F 是与 yC 相应的广义力，与 θA 相应的 F 广义力为作用在自由端的力偶矩，可虚设一 个“附加力” m ，最后在位移表达式中令其 m 为零即可。( 附加力法 ) C A B 2 l/2 l M dx 梁的应变能 U 0 2 EI l 由卡氏第二定理
材料力学第十三章 能 量 法
Vε Vε (D1 , D 2 ,, D i ,, D n )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi 其它位移均保持不变 梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量
d W Fi d D i
Ve d Ve d Di D i
d Ve d W
Ve Fi D i
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Vε
l
0
F ( x) T ( x) dx dx 0 2GI 2 EA p
l
2 N
2
F ( x) M ( x) d x s dx 0 2 EI 0 2GA
l l
2
2 S
应变能恒为正 ，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1 s e
外力作功：
de e 1
DAB 方向水平向外
§3-4 用能量法解超静定系统
解超静定问题要综合考虑三方面 几何方面 —— 建立变形几何相容条件 物理方面 —— 建立补充方程 静力学方面 —— 建立平衡方程
等直杆，发生基本变形，材料为线性弹性体 非等直杆或杆系结构，受较复杂荷载作用， 材料为非线性弹性体 易 难
能量法
例1：求图示超静定梁支座处的约束力。
③ 先加M，后加F
A
M AM
F
B
AF DCF
AM
Ml 3EI
D CF
Fl 48 EI
3
AF
Fl 16 EI
2
1 1 应变能： V M ε AM ( FD CF M AF ) 2 2 2 3 2 2 1 F l M l MFl ( ) EI 96 6 16
Ve Fi D i
材料力学第十三章 能 量 法
单元体上外力作功： W s e1 d e 0
应变能密度：
ve
e1 s d e
0
边长为dx、dy、dz的单元体： dVe ve d x d y d z
杆： Ve dVe V ve dV
线性弹性体：
ve
s e1
0
de
1 2
s
1e1
1 2
Ee12
1 2E
s
2 1
ve
1 d
0
1 2
1
AF
Fl 2 16 EI
应变能：
Vε
1 2
M AM
(1 2
FDCF
M AF )
1
F 2l3 (
M
2l
MFl 2
)
EI 96 6 16
④ M、F 分别单独作用
F
A
DCF
B
A M AM
B
DCF
Fl 3 48 EI
AM
Ml 3EI
应变能之和： VεF VεM
1 2
FDCF
1 2
M AM
1 EI
VεS
l
s
FS2 (x) d x 2GA
s — 剪切形状因数
S
S
通常，梁的剪切应变能远小于弯曲应变能。
杆件发生组合变形
在线弹性、小变形的条件下，每一基本变形的内力仅 在其相应的基本变形上作功，在其他基本变形上不作功。
Vε
l FN2 (x) d x 0 2EA
l T 2 (x) dx
0 2GIp
材料是线弹性的，但变形 D 与力F 不是线性的
几何非线性弹性问题
材料是非线性弹性的
物理非线性弹性问题
材料力学能量法
B
2m C
F
30° A
能量法/克拉贝隆原理
•解: 由节点A的平衡条件求得AB杆的内力：
F N1
FN2
A
F
F N 12F115.2kN
AC杆的内力为：
F N 2F N 1c o s3 0 o 9 9 .8k N
杆系的应变能： UFN21LAB FN22LAC 172J 2EA1 2EA2
设节点A的竖直位移 A为
mF
代入应变能的内力表达式：
L
UM 2(x)dxL(F xm )2dx L 2E I 0 2E I
F2L3 FmL2 m2L 6EI 2EI 2EI
能量法/克拉贝隆原理
UF2L3FmL2 m2L 6EI 2EI 2EI
mF L
•从结果中可以看到：第一、三项分别为F和m单独作用时 的 应变能，故F、m同时作用在杆内所引起的应变能不等于各 载荷单独作用时所引起的应变能之和。其原因是这两个载 荷都使梁产生了同一种弯曲变形，彼此都在对方引起的位 移上做了功（结果中的第二项即代表F和m共同作用时在相 互影响下所做的功）。
2、能量法
利用应变能的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的 方法。
在求解组合变形、曲杆或杆系以及超静定问题时，能量 法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。
能量法/基本概念
能量法有关的几个基本概念 1、外力功:线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力
在与它相对应的位移上所作的功 W。
2、应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个
Ub 125 30
US 3(1)
能量法/克拉贝隆原理
二、应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)
基本变形下应变能的一般表达式：
材料力学第8章-能量法
能量原理的应用
能量原理可以应用于弯曲、拉伸、压缩等各种不同的力学问题。通过计算系统的势能和应变能，可以分 析材料的应力分布、变形情况和稳定性。
弹性势能和弹性材料的能量原 理
弹性势能是指弹性材料在外力作用下产生的能量。通过应变能和弹性势能之 间的关系，可以推导出弹性材料的力学性质和变形方程。
弹塑性材料的能量原理
材料力学第8章-能量法
材料力学的能量法是研究材料变形和力学行为的重要方法，它具有广泛的应 用。本章将介绍能量法的基本概念和应用，以及弹性和弹塑性材料的能量原 理。
能量法的基本概念
能量法是一种力学分析方法，通过考虑系统的能量变化，推导出材料的力学 性质和变形行为。能量法的基本概念包括势能和应变能的概念，以及能量守 恒定律。
通过能量法，我们可以分析臂梁在外力作用下的弯曲行为。通过计算和优化梁的几何参数和材料性质， 可以设计出更加稳定和高效的悬臂梁结构。
总结和要点
能量法是一种重要的材料力学分析方法，它通过考虑材料的能量变化，分析 材料的力学性质和变形行为。
对于弹塑性材料，除了考虑弹性势能外，还需要考虑应变能和塑性势能的贡献。能量原理可以用来分析 弹塑性材料的强度和变形行为。
能量法在材料力学中的重要性
能量法是材料力学中的一种基本方法，它可以用来分析各种不同类型的力学问题，包括材料的变形、破 坏和失稳行为。掌握能量法对于研究和设计材料结构至关重要。
应用实例：悬臂梁弯曲问题的分析
材料力学第12篇能量方法
(
2 x
2 xy
2 xz
)dV
V 2E 2G 2G
M T(x) M (x)
FN (x)
MT(x) M (x) F N (x)
dx 图12.9
组合变形时的应变能
M T(x) M (x)
FN (x)
MT(x) M (x) FN (x)
dx
图12.9
dV
dW
1 2
FN (x)d(l)
1 2
M T (x)d
dF1l EA
F 2l 2EA
1 2
Fl
V
1 2
F l
FN2l 2EA
F
(a)
如果杆件的轴力 FN 分段为常量时
V
n FN2i li i 1 2Ei Ai
△l
l
F
F1
dF1
F A
B △l
O
△ l1 d(△ l1)
△l
(b)
图12.1
杆件轴线的轴力为变量 FN (x) 时
V
l
FN2 (x) 2 EA( x)
V
V
v
dV
l
A
1 2G
FbSISzz*图122.d6 A
dx
(d)
γdx
dx
(c) 图12.6
FS( x)
梁的应变能
V
V v dV
{
l
A
[
M 2(x)y
2EI
2 z
2
FS
2
(
x)
S
*2 z
2GI z2b 2
]dA}dx
令
k
A
I
2 z
A
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3
13 Pa 12 EI
3
M
能量法
例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及
集中力X作用。用图乘法求： (1)集中力作用端挠度为零时的X值； (2)集中力作用端转角为零时的X值。
能量法
解：(1)
ql / 8
2
1 wC EI
Xal 2a Xa 2 2a ql 3 a 2 3 2 3 12 2
l P 2 得：P wC1 m 2E I 2 ml 由此得： C wC1 8E I
2
能量法
例：长为 l 、直径为 d 的圆杆受一对横向压力 P 作用，
求此杆长度的伸长量。已知E和m。
能量法
解：由位移互等定理知，①杆的伸长量等于 ②杆直径的减小量
l
①
d
②
e d e d
4 P P d d E AE
能量法
例：已知简支梁在均布载荷 q 作用下，梁的中点挠
度
5ql w 384E I
4
。求梁在中点集中力P作用下(见
图)，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积A。
A
能量法
A
5ql q A P 384E I
能量法
4
可用于线弹性材料，也可用于非线弹性材料。
能量法
§12-7 单位载荷法 莫尔积分
P1
P2
C
用虚功原理可以导出计算结构一点位移的单位载荷法
能量法
P1
P2
C
Fs ( x)
C
M ( x)
1 M ( x)d
M ( x) d dx EI
P0 1 Fs ( x)
M ( x)
n
2l l
6 3 1
6
A
A
5
(3 2 2 ) Fl F 2 FNi FNi li EA
B B 1
4
能量法
§13-8 计算莫尔积分的图形互乘法 在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：
M ( x)M ( x) dx E I l
对于等直杆，EI=const，故只需计算积分
M ( x ) M ( x ) d x
FN ( x) T ( x) M ( x) Vε dx dx dx 2 E A( x) 2GI p ( x) 2 E I ( x) l l l
2
2
2
能量法
例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端的集
中力P垂直于轴线所在的平面。试求A点的垂直位移。
已知GIp、EI为常量。
能量法
M
Fs
Fs
d
d(l )
dW FNd(l ) Md Fs d
内
W
能量法
内
FN d(l ) Md Fs d
W
内
FN d(l ) Md Fs d
W外 ＝ Pi i
i 1
n
Pl / 4
Pl 48 E I
3
M
l/4
能量法
Pl / 4
max
1 1 Pl 1 l EI 2 4 2
Pl 16 E I
2
M
能量法
例：试用图乘法求所示简支梁C截面的挠度和A、B截
面的转角。
能量法
解：
ml wC 16 E I
2
M
能量法
R
S
AV
能量法
3 PR 3 PR 3 2GI p 2 EI
例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功
能原理求B截面的垂直位移。已知EI 为常量。
能量法
解： M ( ) PR sin
2
2 2
( PR sin ) M ( ) Rd Ve Rd 2E I 2EI 0 l P2 R3 8 EI 1 W P BV 2 R 由V e W , 得：
1 W P wB 2
2 3 ( Px) M ( x) P l dx Vε dx 2E I 2EI 6 EI 0 l
2
l
2
由 Vε W，得
Pl wB 3EI
3
()
能量法
例：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C
截面的挠度。
能量法
Pb Pa x x 2 a b 1 2 M ( x) dx l dx Ve dx l 1 2 2 E I 2EI 2E I l 0 0
第十二章 能量法
§12-1 功能原理
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而 在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称应变能。 物体在外力作用下发生变形，物体的应变能在数 值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，
即
Ve=W
能量法
§12-2 杆件应变能计算
一、轴向拉伸和压缩
1 Pl 1 Vε W P l P 2 EA 2
l
能量法
M ( x) x tg
y
M ( x)
M ( x)M ( x)dx
l
tg x M ( x)dx
l
x
y
M ( x)
tg xC
MC
MC
能量法
M ( x)
C
M ( x)M ( x) dx EI l
M C
EI
M ( x)
MC
能量法
2
2
三、弯曲
纯弯曲：
2 2 1 m l 1 m l M l Ve W m m 2 EI 2E I 2E I 2
横力弯曲：
能量法
M ( x) Ve dx 2 E I ( x) l
2
例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求
自由端B的挠度。
能量法
解：
M ( x) P x
5Pl A 384E I
4
§12-6 虚功原理
P1 P1
P2 P2
P3 P3
i
n
W ＝ Pi i
i 1
能量法
1.在虚位移中，杆件原有外力、内力保持不变，且 始终是平衡的；
2.虚位移满足边界条件和连续性条件；
3.符合小变形要求； 4.是实际发生的位移。
能量法
d
M
FN FN
l/4
A
1 ml 1 E I 2 3
ml 6E I
顺时针
M
能量法
B
1 ml 2 E I 2 3
ml 3E I
逆时针
M
能量法
例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。
能量法
解：
2 1 l ql 3l wB EI 3 2 4
解：T ( ) PR(1 cos ) , M ( ) PR sin
T ( ) M ( ) Ve Rd Rd 2GI p 2E I l l
2 2
3 P 2 R 3 P 2 R 3 4GI p 4E I 1 W P AV 2 由Ve W，得：
注意：上式中 δ应看成广义位移， 把单位力看成与广义位 移对应的广义力
能量法
例：试用莫尔定理计
算图(a)所示悬臂梁 自由端B的挠度和转 角。
P
A
x
l
B
1
A
x
B
1
A
能量法
B
x
解： (1)在B截面作用一单位力, 如图(b)所示 M ( x) Px, M ( x) x
Px M ( x)M ( x) Pl dx wB dx EI EI 3EI l 0
6 3
1
A
2
FN FN dx EA l
5 4
F
B
1 FNi FNi li EA
B 1
能量法
A
杆编号 1 2
杆长 l
i
FNi
F 2F F F 2F 2F
FNi
0 0 1 0
2 1
FNi FNi li
0 0 Fl 0 2 2 Fl 2Fl
3
4 5
l 2l l l
B
2 1 Pl 1 EI 2
Pl 2 EI
2
顺时针
M
能量法
例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。
能量法
解：
wmax
2 2 l ql 5l EI 3 2 8 32
2
ql / 8
2
5ql 384 E I
l 2
3
1
(2)在B截面作用一单位力偶, 如图(c)所示 M ( x) Px, M ( x) 1
Px Pl M ( x)M ( x) dx B dx E I 2 EI E I 0 l
2
能量法
l
1
例：计算图（a）所示开口圆环在 P力作用下切
口的张开量 ΔAB 。EI=常数。
ql 8E I
4
ql 2 2
M
能量法
B
2 1 l ql 1 EI 3 2
ql 6E I
3
顺时针
ql 2
2
M
能量法
例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移。