材料力学(单辉祖)第十三章 能量法
材料力学第十三章 能量法
1 vε = = τγ 2G 2
τ2
三、扭转
由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系： 由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系：
M e l M e 2l 1 1 Vε = W = M e ⋅ ∆φ = M e = 2 2 G I p 2G I p
T 2 ( x) Vε = ∫ dx 2G I p ( x) l
截面的挠度。 例：求图示简支梁C截面的挠度。 求图示简支梁 截面的挠度
F
θ B2
wC1
解：由功的互等定理 F ⋅ wC1 = M ⋅ θ B 2
得：F ⋅ wC1
Fl =M⋅ 16 E I Ml = 16 E I
2
2
由此得：wC1
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移∆ C 。 求图示悬臂梁中点 处的铅垂位移
故：
M ( x) M ( x) ∆=∫ dx EI l
M ( x) M ( x) 莫尔定理 ∆=∫ dx 莫尔积分） （莫尔积分） EI l
对于组合变形： FN ( x) FN ( x) T ( x) T ( x) M ( x) M ( x) ∆=∫ dx + ∫ dx + ∫ dx EA GI p EI l l l
积分得： 积分得：
FN (x)dx M (x)dx T (x)dx Vε = ∫ +∫ +∫ 2EA 2EI 2GIP L L L
2
2
2
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 求自由端B的挠度 能原理求自由端 的挠度。 能原理求自由端 的挠度。
F
解：
B
A
l
x
M ( x) = − F ⋅ x
材料力学 能量法
1
2 l
方法一
∆=
F l F l ∆l1 = N1 1 , ∆l2 = N2 EA EA
α
A′
A
1 ∆l1 ∆l2 Fl cos2 α + + = sinα tanα EAsin2 α cosα
F 12l1 F 22l F2l 1 V = N cos2 α + + N = ε 2EA 2EA 2EAsin2 α cosα F∆ W= 2 Fl 1 ∆= cos2 α + EAsin2 α cosα
A
外力功： 外力功： 载荷在其相应位移 上所作之功。 上所作之功。
F
∆ A
A′
广义力： 力偶， 广义力： 力，力偶，一对大小 相等、 相等、方向相反的力 或转向相反的力偶等。 或转向相反的力偶等。
∆
A′
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。 广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
δ dδ δ ∆ f df F
线弹性体： 线弹性体：
f = kδ
∆
F = k∆
f
1 2 1 W = ∫0 kδ dδ = k∆ = F∆ 2 2
Page 6 δ
第十三章
能量法
二、克拉比隆定理： 克拉比隆定理： 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,.. 及其相应广 义位移, 义位移, 求外力功
第十三章
能量法
第 13 章 能量法
§13-1 1313§13-2 13§13-3 13§13-4 13§13-5 外力功与应变能的一般表达式 互等定理 卡氏定理 变形体虚功原理 单位载荷法
材料力学第13章 能量法
第十三章
能量法
l
F1 O F l
l1 dl1lΒιβλιοθήκη l积分得:P6
W dW
F
F
0
l F l F F1 dF1 Δl EA 2 EA 2
安徽工业大学机械工程学院
2
材料力学
根据功能原理 Vε= W , 可得以下变形能表达式
第十三章
能量法
1 1 Vε W FΔl FN Δl 2 2
P3
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材料力学
第十三章
能量法
四、功能原理
可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内力均将作功. 对 于弹性体,不考虑其他能量的损失,外力在相应位移上作的功,在数 值上就等于积蓄在物体内的应变能.
Vε = W
（Work-Energy Principle）
P4
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Me l 2 W3 F 3 F 16 EI
A
l/2 C
l/2
Me
B
1 Fl 3 Mel 2 Vε F F 2 48 EI 16 EI 1 Mel Me 2 3 EI
能量法
Me
Me
l
2
1 1 M el M e l T 2l Vε W M e Δ M e 2 2 GI p 2GI p 2GI p 2 2 n T ( x) T Vε dx 或 Vε i li l 2GI ( x ) p i 1 2Gi I pi
P9
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第十三章
能量法
A B
a
F22 (a b) 2 EA
（b） 在B截面加F1后,F1作功
材料力学第十三章 能 量 法
Vε Vε (D1 , D 2 ,, D i ,, D n )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi 其它位移均保持不变 梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量
d W Fi d D i
Ve d Ve d Di D i
d Ve d W
Ve Fi D i
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Vε
l
0
F ( x) T ( x) dx dx 0 2GI 2 EA p
l
2 N
2
F ( x) M ( x) d x s dx 0 2 EI 0 2GA
l l
2
2 S
应变能恒为正 ，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1 s e
外力作功：
de e 1
DAB 方向水平向外
§3-4 用能量法解超静定系统
解超静定问题要综合考虑三方面 几何方面 —— 建立变形几何相容条件 物理方面 —— 建立补充方程 静力学方面 —— 建立平衡方程
等直杆，发生基本变形，材料为线性弹性体 非等直杆或杆系结构，受较复杂荷载作用， 材料为非线性弹性体 易 难
能量法
例1：求图示超静定梁支座处的约束力。
③ 先加M，后加F
A
M AM
F
B
AF DCF
AM
Ml 3EI
D CF
Fl 48 EI
3
AF
Fl 16 EI
2
1 1 应变能： V M ε AM ( FD CF M AF ) 2 2 2 3 2 2 1 F l M l MFl ( ) EI 96 6 16
Ve Fi D i
第十三章 - 能量法.ppt-结构力学
三 利用功能原理计算位移
第十三章 能量法/三 利用功能原理计算位移
利用
U W
1 P 2
可以计算荷载作用点的位移,但是
只限于单一荷载作用,而且所求位移只是荷载作用点 (或作用面)沿着荷载作用方向与荷载相对应的位移。
第十三章 能量法/三 利用功能原理计算位移
例题 图示变截面受拉杆，E、A 为已知，求加力点C的水平位
第十三章 能量法/二 变形能
4 关于变形能计算的讨论
1 2 以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的变形能的计算。 变形能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功
等于微段的变形能，然后积分求得整个杆件上的变形能。
3 变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在变形能计算
中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功
P
CP
Pl 3 48 EI
BP
mo
Pl 2 16 EI
A
B
Bm
o
C
Cm
o
mol 2 16 EI
mol 3EI
L/2
L/2
B
Pl 2 16 EI
Pl 3 mo l 2 C 48EI 16 EI
mo l 3EI
第十三章 能量法 /一 外力功
解: (2)外力功的计算
FN L U W 2 EA
式中
2
FN
——轴力，
A ——截面面积
第十三章 能量法/二 变形能
由拉压杆件组成的杆系的变形能： 2 1 5 4 受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的变形能
x
P 3
2 n Pi 2 Li FNi Li U i 1 2 Ei Ai i 1 2 Ei Ai n
材料力学第十三章 能 量 法
单元体上外力作功： W s e1 d e 0
应变能密度：
ve
e1 s d e
0
边长为dx、dy、dz的单元体： dVe ve d x d y d z
杆： Ve dVe V ve dV
线性弹性体：
ve
s e1
0
de
1 2
s
1e1
1 2
Ee12
1 2E
s
2 1
ve
1 d
0
1 2
1
AF
Fl 2 16 EI
应变能：
Vε
1 2
M AM
(1 2
FDCF
M AF )
1
F 2l3 (
M
2l
MFl 2
)
EI 96 6 16
④ M、F 分别单独作用
F
A
DCF
B
A M AM
B
DCF
Fl 3 48 EI
AM
Ml 3EI
应变能之和： VεF VεM
1 2
FDCF
1 2
M AM
1 EI
VεS
l
s
FS2 (x) d x 2GA
s — 剪切形状因数
S
S
通常，梁的剪切应变能远小于弯曲应变能。
杆件发生组合变形
在线弹性、小变形的条件下，每一基本变形的内力仅 在其相应的基本变形上作功，在其他基本变形上不作功。
Vε
l FN2 (x) d x 0 2EA
l T 2 (x) dx
0 2GIp
材料是线弹性的，但变形 D 与力F 不是线性的
几何非线性弹性问题
材料是非线性弹性的
物理非线性弹性问题
材料力学第十三章 能量法2013
§13-7 计算莫尔积分的图乘法 ★重点
(Energy methods)
§13-1 概述（Introduction)
能量方法 (Energy methods )
利用功能原理 U = W 来求解可变形固体的位移、变形和内 力等的方法.
功能原理（Work-energy principle) 外力功等于变形能
2
Me ( x) U dx l 2 EI ( x )
2
(Energy （ Strain energy density for pure shearing state of stresses )
1 u ηγ 2
将 = G 代如上式得
G 2 2 u γ 2 2G
F1a
F2
M图
a B x A
F1a+F2l
特点：在刚节点处，弯矩值连续 ;
(Chapter Thirteen)
(Energy Method)
(Energy methods)
第十三章 能量法 (Energy Methods)
§13-1 概述（Introduction) §13-2 杆件变形能的计算及普遍表达式 §13-3 互等定理（Reciprocal theorems) §13-4 卡氏定理(Castigliano’s Theorem) §13-5 虚功原理（了解） §13-6 单位荷载法 莫尔定理 ★重点
2、利用功能原理计算变形 （Work-energy principle for calculating deflection)
2 FN ( x) T 2 ( x) M 2 ( x) U dx dx dx l 2 EA( x ) l 2GI ( x ) l 2 EI ( x ) p
材料力学之能量法
l/2
F C 1
l/2
B
l/2 1 1 Fl 3 W Fδ1 F F 2 2 48 EI C A 2) 力偶由零增至最后值 Me Mel B 截面的转角为 θ 3 EI 1 1 Mel 力偶 Me 所作的功为 W2 M eθ M e 2 2 3 EI
l/2 Me B
由 V =W 得
( FRsin ) 2 πF 2 R3 Rd 2 EI 8EI
Δ BV
πFR 4 EI
3
A
O
例: 简支梁, 两种载荷按同样比例加载, 计算其变形能。 梁中点的挠度为 梁右端的转角为
Fl 3 M el 2 δ1 48EI 16 EI Fl 2 M el δ2 θ 16 EI 3EI
Fb 2 Fa 2 ( x1 ) ( x2 ) a b l dx1 l dx2 0 0 2 EI 2 EI
2
B
x1 a l C x2
b
F 2b2 a3 F 2a 2 b3 F 2a 2b 2 2 2 2 EIl 3 2 EIl 3 6 EIl
1 W F vC 2
由 V =W 得
(( ))
1
q A
RA
F=qa B
C
x
A x 1/2a
B
C x
x
2a
a
2a
a
(2) 求 C 截面的转角 ( 在 C 处加一单位力偶 ） 2 qa qx x AB: M ( x) x (0 x 2a) M ( x) 2 2 2a BC: M ( x) qa x (0 x a) M ( x) 1 a 1 2 a qa qx 2 x 5qa3 c [ ( x )( )dx (qax)(1)d x] 0 EI 0 2 2 2a 6 EI （
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第十三章能量法
主讲人：张能辉
1
引言
2
-研究变形体方法：微体法，能量法引言微体法
几何关系i ij u ~ε微体法
静力学关系物理关系
ij
ij εσ~平衡ij σd v ⇓
V
控制方程数学手段ij σ边界条件初值条件
ij
ε3
-引言能量法
1
P P 1
P 外力作用
线弹性体
恢复
2
2
P 变形效应
外力卸除
原形i P →ij ij εσ~Hooke’s Law Linear
i
ij u ~ε线弹性体f
广义载荷δ广义位移
δ∝f 引进比例常数
δ
k f =下面看能量如何写?与外力有何关系?
4
由能量守恒
W
V =ε(外力功全部转化成应变能)
P26488主平面微体应变能(P264 8-8)
1i
i εσυε2=应变能密度i =1,2,3)(,,)
6
外力功与应变能
杆件应变能
微段d x 储存应变能
∫∫⋅==dV
A
dA
dx dV dV εεευυdA
x
x
体积分化为面积分d x dV
整个梁存储应变能积分思想: 微段的叠加
==dA
dx dV V εεευ变
∫∫∫A
l
V
8
2
2 EA
2
1 2
N
F
dx EA
d m
l
2
ρ
2
p
外力功与应变能
弯曲(忽略切应力)
2
1z
M 2
1z
M 2z
EI ευ=
2z l
V dx
EI ε=∫Conclusion
外力功与应变能
应变能特点
C1: 与载荷终值有关，而与加载次序无关
M
(a) M 、F 同时作用(b)A
B
F (b)
先F 后M (c) 先M 后F 三种加载历史等效?
FM F M M F
M M M M M =+=+19
互等定理
23
互等定理
讨论
2
F 独立加第I 组力系
F 1
23
4
1
1121:0;0;
Δ→Δ→Δ先加第II 组力系，再加第I 组力系
3
F 2
F 2111
0;0:Δ′→Δ′→Δ1
2
3
4
4
F ????;212111
11Δ′=ΔΔ′=Δ问1
F F =k Δ保证相等
27
互等定理
线弹性体变形能特点：
大小取决于加载终值而与加载次序无关
2
1V V =41
4313222121Δ+Δ=Δ+Δ⇒F F F F 21F F I 组力系12I 组力系作用点4
3F F II 组力系
，3，4
力点II 组力系作用点
22
12,ΔΔII 组力系在I 组力系作用点引起的沿I 组力系方向的位移
41
31,ΔΔI 组力系在II 组力系作用点引起的沿II 组力系方向的位移
28
互等定理等定
功的互等定理
第I 组力系在第II 组力系引起位移上所做功等于第II 组力系在第I 组力系引起位移上所做功简化：If F 1---I; F 2---II
then F =F F
F =2then F 1Δ12= F 2Δ211
2
F
F =1If F 1= F 2, then Δ12=Δ21
位移互等定理
弹在对于线弹性体，若在1，2处分别作用两个大小相等
的载荷，则点1处由于点2处载荷引起的位移Δ12等于处由点点2处由于点1处载荷引起的位移Δ21
29
Example-1
实测w 1 ,w 2 ,w 3
方案：
1F
3
2
1
1.三点装位移计浪费
2.一个位移计逐点测费工
1
新方案(位移互等定理)F
3
2
3.自由端加位移计逐点加载
不影响原有力系
30
单位载荷法
32
Example-1
E ample1
q
A
B
l
x
已知：梁EI=const
已知梁
求：w
=?θA=?
A
38
Example-2
M a
C
B B
1x x F
A
a 2
已知：刚架M B =F a 求：Δcy =?
40
E l3 Example-3
B
A
1αβ
2
C
F
已知：桁架EA, l
1l2
? Δ?
求: Δ
cx
=? Δcy=?
43
Example-4 (P20 12-5)
F F
R
已知：小曲率曲梁A
B
已知：小曲率曲梁，轴线曲率半径为R
求：截面A和B的相对转角
46
E l5(P56)
Example-5 (P56)
F O
A B
ϕ
C
A B
已知：小曲率曲梁，轴线曲率半径为R
求
求：A的铅垂位移
48
余能与卡氏第二定理
50。