材料力学第13章(能量方法)
合集下载
材料力学第十三章 能量法
1 vε = = τγ 2G 2
τ2
三、扭转
由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系： 由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系：
M e l M e 2l 1 1 Vε = W = M e ⋅ ∆φ = M e = 2 2 G I p 2G I p
T 2 ( x) Vε = ∫ dx 2G I p ( x) l
截面的挠度。 例：求图示简支梁C截面的挠度。 求图示简支梁 截面的挠度
F
θ B2
wC1
解：由功的互等定理 F ⋅ wC1 = M ⋅ θ B 2
得：F ⋅ wC1
Fl =M⋅ 16 E I Ml = 16 E I
2
2
由此得：wC1
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移∆ C 。 求图示悬臂梁中点 处的铅垂位移
故：
M ( x) M ( x) ∆=∫ dx EI l
M ( x) M ( x) 莫尔定理 ∆=∫ dx 莫尔积分） （莫尔积分） EI l
对于组合变形： FN ( x) FN ( x) T ( x) T ( x) M ( x) M ( x) ∆=∫ dx + ∫ dx + ∫ dx EA GI p EI l l l
积分得： 积分得：
FN (x)dx M (x)dx T (x)dx Vε = ∫ +∫ +∫ 2EA 2EI 2GIP L L L
2
2
2
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 求自由端B的挠度 能原理求自由端 的挠度。 能原理求自由端 的挠度。
F
解：
B
A
l
x
M ( x) = − F ⋅ x
材料力学 能量法
FN1 = F sinα ( 拉) , FN2 = F tanα ( 压 )
1
2 l
方法一
∆=
F l F l ∆l1 = N1 1 , ∆l2 = N2 EA EA
α
A′
A
1 ∆l1 ∆l2 Fl cos2 α + + = sinα tanα EAsin2 α cosα
F 12l1 F 22l F2l 1 V = N cos2 α + + N = ε 2EA 2EA 2EAsin2 α cosα F∆ W= 2 Fl 1 ∆= cos2 α + EAsin2 α cosα
A
外力功： 外力功： 载荷在其相应位移 上所作之功。 上所作之功。
F
∆ A
A′
广义力： 力偶， 广义力： 力，力偶，一对大小 相等、 相等、方向相反的力 或转向相反的力偶等。 或转向相反的力偶等。
∆
A′
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。 广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
δ dδ δ ∆ f df F
线弹性体： 线弹性体：
f = kδ
∆
F = k∆
f
1 2 1 W = ∫0 kδ dδ = k∆ = F∆ 2 2
Page 6 δ
第十三章
能量法
二、克拉比隆定理： 克拉比隆定理： 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,.. 及其相应广 义位移, 义位移, 求外力功
第十三章
能量法
第 13 章 能量法
§13-1 1313§13-2 13§13-3 13§13-4 13§13-5 外力功与应变能的一般表达式 互等定理 卡氏定理 变形体虚功原理 单位载荷法
1
2 l
方法一
∆=
F l F l ∆l1 = N1 1 , ∆l2 = N2 EA EA
α
A′
A
1 ∆l1 ∆l2 Fl cos2 α + + = sinα tanα EAsin2 α cosα
F 12l1 F 22l F2l 1 V = N cos2 α + + N = ε 2EA 2EA 2EAsin2 α cosα F∆ W= 2 Fl 1 ∆= cos2 α + EAsin2 α cosα
A
外力功： 外力功： 载荷在其相应位移 上所作之功。 上所作之功。
F
∆ A
A′
广义力： 力偶， 广义力： 力，力偶，一对大小 相等、 相等、方向相反的力 或转向相反的力偶等。 或转向相反的力偶等。
∆
A′
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。 广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
δ dδ δ ∆ f df F
线弹性体： 线弹性体：
f = kδ
∆
F = k∆
f
1 2 1 W = ∫0 kδ dδ = k∆ = F∆ 2 2
Page 6 δ
第十三章
能量法
二、克拉比隆定理： 克拉比隆定理： 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,.. 及其相应广 义位移, 义位移, 求外力功
第十三章
能量法
第 13 章 能量法
§13-1 1313§13-2 13§13-3 13§13-4 13§13-5 外力功与应变能的一般表达式 互等定理 卡氏定理 变形体虚功原理 单位载荷法
材料力学(单辉祖)第十三章 能量法
第十三章能量法主讲人：张能辉1引言2-研究变形体方法：微体法，能量法引言微体法几何关系i ij u ~ε微体法静力学关系物理关系ijij εσ~平衡ij σd v ⇓V控制方程数学手段ij σ边界条件初值条件ijε3-引言能量法1P P 1P 外力作用线弹性体恢复22P 变形效应外力卸除原形i P →ij ij εσ~Hooke’s Law Lineariij u ~ε线弹性体f广义载荷δ广义位移δ∝f 引进比例常数δk f =下面看能量如何写?与外力有何关系?4由能量守恒WV =ε(外力功全部转化成应变能)P26488主平面微体应变能(P264 8-8)1ii εσυε2=应变能密度i =1,2,3)(,,)6外力功与应变能杆件应变能微段d x 储存应变能∫∫⋅==dVAdAdx dV dV εεευυdAxx体积分化为面积分d x dV整个梁存储应变能积分思想: 微段的叠加==dAdx dV V εεευ变∫∫∫AlV822 EA21 2NFdx EAd ml2ρ2p外力功与应变能弯曲(忽略切应力)21zM 21zM 2zEI ευ=2z lV dxEI ε=∫Conclusion外力功与应变能应变能特点C1: 与载荷终值有关，而与加载次序无关M(a) M 、F 同时作用(b)ABF (b)先F 后M (c) 先M 后F 三种加载历史等效?FM F M M FM M M M M =+=+19互等定理23互等定理讨论2F 独立加第I 组力系F 123411121:0;0;Δ→Δ→Δ先加第II 组力系，再加第I 组力系3F 2F 21110;0:Δ′→Δ′→Δ12344F ????;21211111Δ′=ΔΔ′=Δ问1F F =k Δ保证相等27互等定理线弹性体变形能特点：大小取决于加载终值而与加载次序无关21V V =414313222121Δ+Δ=Δ+Δ⇒F F F F 21F F I 组力系12I 组力系作用点43F F II 组力系，3，4力点II 组力系作用点2212,ΔΔII 组力系在I 组力系作用点引起的沿I 组力系方向的位移4131,ΔΔI 组力系在II 组力系作用点引起的沿II 组力系方向的位移28互等定理等定功的互等定理第I 组力系在第II 组力系引起位移上所做功等于第II 组力系在第I 组力系引起位移上所做功简化：If F 1---I; F 2---IIthen F =F FF =2then F 1Δ12= F 2Δ2112FF =1If F 1= F 2, then Δ12=Δ21位移互等定理弹在对于线弹性体，若在1，2处分别作用两个大小相等的载荷，则点1处由于点2处载荷引起的位移Δ12等于处由点点2处由于点1处载荷引起的位移Δ2129Example-1实测w 1 ,w 2 ,w 3方案：1F3211.三点装位移计浪费2.一个位移计逐点测费工1新方案(位移互等定理)F323.自由端加位移计逐点加载不影响原有力系30单位载荷法32Example-1E ample1qABlx已知：梁EI=const已知梁求：w=?θA=?A38Example-2M aCB B1x x FAa 2已知：刚架M B =F a 求：Δcy =?40E l3 Example-3BA1αβ2CF已知：桁架EA, l1l2? Δ?求: Δcx=? Δcy=?43Example-4 (P20 12-5)F FR已知：小曲率曲梁AB已知：小曲率曲梁，轴线曲率半径为R求：截面A和B的相对转角46E l5(P56)Example-5 (P56)F OA BϕCA B已知：小曲率曲梁，轴线曲率半径为R求求：A的铅垂位移48余能与卡氏第二定理50。
材料力学第十三章 能 量 法
Vε Vε (D1 , D 2 ,, D i ,, D n )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi 其它位移均保持不变 梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量
d W Fi d D i
Ve d Ve d Di D i
d Ve d W
Ve Fi D i
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Vε
l
0
F ( x) T ( x) dx dx 0 2GI 2 EA p
l
2 N
2
F ( x) M ( x) d x s dx 0 2 EI 0 2GA
l l
2
2 S
应变能恒为正 ，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1 s e
外力作功：
de e 1
DAB 方向水平向外
§3-4 用能量法解超静定系统
解超静定问题要综合考虑三方面 几何方面 —— 建立变形几何相容条件 物理方面 —— 建立补充方程 静力学方面 —— 建立平衡方程
等直杆，发生基本变形，材料为线性弹性体 非等直杆或杆系结构，受较复杂荷载作用， 材料为非线性弹性体 易 难
能量法
例1：求图示超静定梁支座处的约束力。
③ 先加M，后加F
A
M AM
F
B
AF DCF
AM
Ml 3EI
D CF
Fl 48 EI
3
AF
Fl 16 EI
2
1 1 应变能： V M ε AM ( FD CF M AF ) 2 2 2 3 2 2 1 F l M l MFl ( ) EI 96 6 16
Ve Fi D i
材料力学第十三章 能 量 法
单元体上外力作功： W s e1 d e 0
应变能密度：
ve
e1 s d e
0
边长为dx、dy、dz的单元体： dVe ve d x d y d z
杆： Ve dVe V ve dV
线性弹性体：
ve
s e1
0
de
1 2
s
1e1
1 2
Ee12
1 2E
s
2 1
ve
1 d
0
1 2
1
AF
Fl 2 16 EI
应变能：
Vε
1 2
M AM
(1 2
FDCF
M AF )
1
F 2l3 (
M
2l
MFl 2
)
EI 96 6 16
④ M、F 分别单独作用
F
A
DCF
B
A M AM
B
DCF
Fl 3 48 EI
AM
Ml 3EI
应变能之和： VεF VεM
1 2
FDCF
1 2
M AM
1 EI
VεS
l
s
FS2 (x) d x 2GA
s — 剪切形状因数
S
S
通常，梁的剪切应变能远小于弯曲应变能。
杆件发生组合变形
在线弹性、小变形的条件下，每一基本变形的内力仅 在其相应的基本变形上作功，在其他基本变形上不作功。
Vε
l FN2 (x) d x 0 2EA
l T 2 (x) dx
0 2GIp
材料是线弹性的，但变形 D 与力F 不是线性的
几何非线性弹性问题
材料是非线性弹性的
物理非线性弹性问题
材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
P1
P2
1 dV 2 M( x )d
一般情况下： 剪力对变形的影响很小，剪切 应变能远远小于弯曲应变能。
M 2( x )dx dV 2EI
w = M(x) = dθ EI dx
d M( x) dx
EI
M 2( x )dx
V l 2EI
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
1
V
W
F 2
F2
F3
采用比例加载
2 3
外力
比例
0
位移
比例
F1、F2、F3
1、 2、 3
0
V
W
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F33
n i1
1 2
Fii
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
克拉贝依隆原理
对于组合变形
M (x)
Fs(x)
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
材料力学第十三章 能量法2013
§13-7 计算莫尔积分的图乘法 ★重点
(Energy methods)
§13-1 概述（Introduction)
能量方法 (Energy methods )
利用功能原理 U = W 来求解可变形固体的位移、变形和内 力等的方法.
功能原理（Work-energy principle) 外力功等于变形能
2
Me ( x) U dx l 2 EI ( x )
2
(Energy （ Strain energy density for pure shearing state of stresses )
1 u ηγ 2
将 = G 代如上式得
G 2 2 u γ 2 2G
F1a
F2
M图
a B x A
F1a+F2l
特点：在刚节点处，弯矩值连续 ;
(Chapter Thirteen)
(Energy Method)
(Energy methods)
第十三章 能量法 (Energy Methods)
§13-1 概述（Introduction) §13-2 杆件变形能的计算及普遍表达式 §13-3 互等定理（Reciprocal theorems) §13-4 卡氏定理(Castigliano’s Theorem) §13-5 虚功原理（了解） §13-6 单位荷载法 莫尔定理 ★重点
2、利用功能原理计算变形 （Work-energy principle for calculating deflection)
2 FN ( x) T 2 ( x) M 2 ( x) U dx dx dx l 2 EA( x ) l 2GI ( x ) l 2 EI ( x ) p
材料力学第13章能量法
2
T
扭转变形：
T
L
T
一般情形：
T 1 T L T 2 L W T 2GI P 2 2 GI P
L
V
L
0
T ( x) 2 dx 2GI P
弯曲变形：
2 1 ML M L M M W 2 2 EI z 2 EI z
一般情形： 2 L M ( x ) dx V 0 2 EI z
FP1 FP2 FPm
…
P
1
FP：第一组力
P
m
P
2
FS2 FS1
FSn
…
S 2 S
n
S 1
FS：第二组力
第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于 第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。
2.位移互等定理：
F1 12 F 2 21 如果： F1 F 2 则： 12 21
F
1
(a)
W dW F d
0 0
1
1
F F
F W 2
当载荷与相应的位移保持正 比关系，并且载荷由零逐渐 增加时，载荷所作之功为载 荷最大值与位移最大值乘积 的一半。 式中力F是广义力（力， 力矩）、Δ为广义位移（ 线位移，角位移）。
O
d
F F
(a)
o
d
(b)
F
F
例如： 拉压变形： N
2112对于线弹性体当两个力对于线弹性体当两个力广义的广义的数值相等数值相等时则第一个力在第二个力作用处引起的位移数值时则第一个力在第二个力作用处引起的位移数值上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移称为上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移称为位移互等定理
T
扭转变形：
T
L
T
一般情形：
T 1 T L T 2 L W T 2GI P 2 2 GI P
L
V
L
0
T ( x) 2 dx 2GI P
弯曲变形：
2 1 ML M L M M W 2 2 EI z 2 EI z
一般情形： 2 L M ( x ) dx V 0 2 EI z
FP1 FP2 FPm
…
P
1
FP：第一组力
P
m
P
2
FS2 FS1
FSn
…
S 2 S
n
S 1
FS：第二组力
第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于 第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。
2.位移互等定理：
F1 12 F 2 21 如果： F1 F 2 则： 12 21
F
1
(a)
W dW F d
0 0
1
1
F F
F W 2
当载荷与相应的位移保持正 比关系，并且载荷由零逐渐 增加时，载荷所作之功为载 荷最大值与位移最大值乘积 的一半。 式中力F是广义力（力， 力矩）、Δ为广义位移（ 线位移，角位移）。
O
d
F F
(a)
o
d
(b)
F
F
例如： 拉压变形： N
2112对于线弹性体当两个力对于线弹性体当两个力广义的广义的数值相等数值相等时则第一个力在第二个力作用处引起的位移数值时则第一个力在第二个力作用处引起的位移数值上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移称为上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移称为位移互等定理
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a
a
Pa3 6 EI
(
)
④ B点转角：（加单位力偶）
A x1 C 1 x2 B
x1 M ( x1 ) 2a
a
a
a
x2 M ( x2 ) 1 2a
a M ( x1 ) M ( x1 ) M ( x2 ) M ( x 2 ) C dx1 dx2 EI EI 0 0
1 EI
a
a
5qa4 24EI
a
(
)
M ( x1 ) M ( x1 ) 或：d C 2 dx1 EI 0
④ C点转角: （加单位力偶） A x1 C 1 x2
B
a
a
a
x1 M ( x1 ) 2a x2 M ( x2 ) 2a
a M ( x1 ) M ( x1 ) M ( x2 ) M ( x 2 ) C dx1 dx2 EI EI 0 0
M 2 ( x) dx 1 f A L 2 EI
[ M ( x) M ( x)]2 dx 2 EI L
M ( x) M ( x) 1 f A dx EI L
M ( x) M ( x) fA dx EI L
莫尔定理或莫尔积分 (单位载荷法)
二、莫尔定理的普遍形式
T ( x )T ( x ) FN ( x) FN ( x) dx L dx L GI P EA
M ( x1 ) F x1 ;(0 x1 a) 2 M ( x2 ) F x2 ;(0 x2 a) 2
x1 a
a
a
x2
Vε
0
1 ( F x ) 2 dx a 1 ( F x ) 2 dx 2 2 1 0 2EI 2 2EI 2 1
a 0
W Vε
3 Fa fC 6 EI
M ( x) M ( x) dB dx L EI
[例3] 已知：梁的抗弯刚度EI，用能量法求B点的垂直位移
和转角。 q
A
1
x l
B
A
l
x
B
解： （1)垂直位移 qx2 M ( x) 2
M ( x) x
M ( x) M ( x) dB dx L EI 1 l qx2 ql 4 ( )( x)dx EI 0 2 8 EI
2 FN l T 2 ( x) M 2 ( x) Vε dx dx L 2 EA L 2GI P 2 EI
[例13.1](P31)
图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点
受铅垂力F的作用，求A点的垂直位移。
解：用能量法（外力功等于应变能）
F ①求内力
R A
R
弯矩 : M ( ) F AC F R sin
M ( x) F
M ( x)
N(x)
T(x) T(x)
N(x)
A dx
2 FN ( x ) dx T 2 ( x ) dx M 2 ( x ) dx dVε 2 EA 2GI P 2 EI
FN 2 ( x ) T 2 ( x) M 2 ( x) Vε L dxL dxL dx 2 EA 2GI P 2 EI
能量原理：
弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功，
即
Vε W
利用这种功能关系分析计算变形固体的位移、变形和
内力的方法称为能量方法。
§13–2 杆件应变能的计算
1.轴向拉压杆的变形能计算： 已知:F、A、l、E
l
1 W Fl , 2
Fl l EA
Δl
F
F
2 F l 1 Vε W F l 2 2 EA
3
3
§13–4 互等定理
P1
A
P2
B
A
B
δ11
δ22
d 21
P1 A P2 B
d 12
d11 d12
d 22 d 21
P1 A
P2
B A
P1
P2 B
d11 d12
d 22 d 21
d 12 d 11 d 22
1 1 Vε 1 P 2 (d 22 d 21) 1 (d 11 d 12 ) P 2 2 1 1 Vε 2 P d P d P 1 d12 2 1 11 2 2 22 Vε 1 Vε 2
P1
δ
1
P2
δ
式中P可以是力偶，则 对应的δ 应为角位移
2
dn P n
应变能是否可以应用叠加法？ P1 A P2 B
P1 A δ11 B A δ22
P2
B
d 21
d 12
P1
A
P2
B
δ11
A
B
d 21
P1 A
d 12
P2
B
δ22
d11 d12
d 22 d 21
1 1 P2 (d 22 d 21) Vε 1 P 1 (d 11 d 12 ) 2 2 1 1 Vε 2 P d P d 2 1 11 2 2 22
3F 2 R 3 F 2 R 3 4GI P 4 EI
③外力功等于应变能
FN 2 ( x ) T 2 ( x) M 2 ( x) Vε L dxL dxL dx 2 EA 2GI P 2 EI
1 W F f A Vε 2
FR 3FR fA 2 EI 2GI P
Fl l EA l
即：Vε
2 FN l
2 EA
B
1
C
2
30°
A
Vε
n
2 FNi li
i 1 2 Ei Ai
F
1
4F a
2
F
a
2.扭转杆的变形能计算：
Me
W 1 M e 2
l
Tl Me l G Ip G Ip
2 2 T l M l 1 e W M e 2 2G Ip 2G Ip
2 1 qx2 x2 1 qx12 x1 (qax2 )( )dx2 (qax )( )dx1 1 EI 0 2 2a EI 0 2 2a a a
0
[例5] 用能量法求C点挠度和B点转角。梁的抗弯刚度EI。
A x1
C
P x2
1 B
A
B
x1
C
x2
a
a
a
a
解：①画单位载荷图 ②求内力
(d 21) (d 12 )
在1力作用下2力方向上的位移等于在2力作用下1力方向上的位移
§13–7 单位载荷法 q(x) A fA
莫尔积分 求任意点A的位移f A 。
图a A 图b
W Vε
L
P0 =1
M 2 ( x) dx 2 EI
M 2 ( x) dx 2 EI
在A点加单位力：
W Vε
第十三章
§13–1 概述 §13–2 杆件应变能的计算
能量方法
§13–3 应变能的普遍表达式
§13–4 互等定理 §13–7 单位载荷法 莫尔积分 §13–8 计算莫尔积分的图乘法
§13–1
应变能
概述
杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存在杆内，这 种能称为应变能（Strain Energy），用“V”表示。
M ( x1 ) RA x1
P x1 2 P M ( x2 ) RB x2 x2 2
M ( x1 ) RA x1 x1 2 x M ( x2 ) RB x2 2 2
③ C点的挠度
M ( x1 ) M ( x1 ) d C 2 dx1 EI 0 2 P x1 x1 dx1 EI 0 2 2
a P x1 1 P x2 x d x x ( 1 2 1 2a 1 EI 2 2 2a )dx2 0 0
F
A
C B
扭矩 : T ( ) F BC FR(1 cos )
②变形能：
Vε
L
T 2 ( x) M 2 ( x) dx dx L 2GI P 2 EI
(dx Rd )
2 2 2 2 2 2 F R ( 1 cos ) F R (sin ) 0 Rd 0 Rd 2GI P 2 EI
③ C点的挠度
M ( x1 ) M ( x1 ) M ( x2 ) M ( x2 ) dC dx1 dx2 EI EI 0 0
2 2 1 qx2 x2 1 qx1 x1 (qax2 ) dx 2 (qax ) dx1 1 EI 0 2 2 EI 0 2 2 a a
M ( x) M ( x) L EI dx
FNi FNi li M ( x) M ( x) T ( x )T ( x ) L dx dx L Ei Ai GI P EI
三、使用莫尔定理的注意事项：
① M(x)：结构在原载荷下的内力。 ② M ( x) ——去掉主动力，在所求 广义位移 点，沿所求 广义位移 的方向加广义单位力 时，结构产生的内力。
P 1 d12 P 2 d 21
当 P1=P2 时
功的互等定理
d12 d 21
当 P1=P2 时
d12 d 21
P1 A δ11 B
位移互等定理
P2 A δ22
B
d 21
d 12
在1力作用下2力方向上的位移等于在2力作用下1力方向上的位移
F
A
F
A
图1
图2
已知：图1中A点的水平位移为3mm， 求：图2中A点的铅垂直位移？
a
Pa3 6 EI
(
)
④ B点转角：（加单位力偶）
A x1 C 1 x2 B
x1 M ( x1 ) 2a
a
a
a
x2 M ( x2 ) 1 2a
a M ( x1 ) M ( x1 ) M ( x2 ) M ( x 2 ) C dx1 dx2 EI EI 0 0
1 EI
a
a
5qa4 24EI
a
(
)
M ( x1 ) M ( x1 ) 或：d C 2 dx1 EI 0
④ C点转角: （加单位力偶） A x1 C 1 x2
B
a
a
a
x1 M ( x1 ) 2a x2 M ( x2 ) 2a
a M ( x1 ) M ( x1 ) M ( x2 ) M ( x 2 ) C dx1 dx2 EI EI 0 0
M 2 ( x) dx 1 f A L 2 EI
[ M ( x) M ( x)]2 dx 2 EI L
M ( x) M ( x) 1 f A dx EI L
M ( x) M ( x) fA dx EI L
莫尔定理或莫尔积分 (单位载荷法)
二、莫尔定理的普遍形式
T ( x )T ( x ) FN ( x) FN ( x) dx L dx L GI P EA
M ( x1 ) F x1 ;(0 x1 a) 2 M ( x2 ) F x2 ;(0 x2 a) 2
x1 a
a
a
x2
Vε
0
1 ( F x ) 2 dx a 1 ( F x ) 2 dx 2 2 1 0 2EI 2 2EI 2 1
a 0
W Vε
3 Fa fC 6 EI
M ( x) M ( x) dB dx L EI
[例3] 已知：梁的抗弯刚度EI，用能量法求B点的垂直位移
和转角。 q
A
1
x l
B
A
l
x
B
解： （1)垂直位移 qx2 M ( x) 2
M ( x) x
M ( x) M ( x) dB dx L EI 1 l qx2 ql 4 ( )( x)dx EI 0 2 8 EI
2 FN l T 2 ( x) M 2 ( x) Vε dx dx L 2 EA L 2GI P 2 EI
[例13.1](P31)
图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点
受铅垂力F的作用，求A点的垂直位移。
解：用能量法（外力功等于应变能）
F ①求内力
R A
R
弯矩 : M ( ) F AC F R sin
M ( x) F
M ( x)
N(x)
T(x) T(x)
N(x)
A dx
2 FN ( x ) dx T 2 ( x ) dx M 2 ( x ) dx dVε 2 EA 2GI P 2 EI
FN 2 ( x ) T 2 ( x) M 2 ( x) Vε L dxL dxL dx 2 EA 2GI P 2 EI
能量原理：
弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功，
即
Vε W
利用这种功能关系分析计算变形固体的位移、变形和
内力的方法称为能量方法。
§13–2 杆件应变能的计算
1.轴向拉压杆的变形能计算： 已知:F、A、l、E
l
1 W Fl , 2
Fl l EA
Δl
F
F
2 F l 1 Vε W F l 2 2 EA
3
3
§13–4 互等定理
P1
A
P2
B
A
B
δ11
δ22
d 21
P1 A P2 B
d 12
d11 d12
d 22 d 21
P1 A
P2
B A
P1
P2 B
d11 d12
d 22 d 21
d 12 d 11 d 22
1 1 Vε 1 P 2 (d 22 d 21) 1 (d 11 d 12 ) P 2 2 1 1 Vε 2 P d P d P 1 d12 2 1 11 2 2 22 Vε 1 Vε 2
P1
δ
1
P2
δ
式中P可以是力偶，则 对应的δ 应为角位移
2
dn P n
应变能是否可以应用叠加法？ P1 A P2 B
P1 A δ11 B A δ22
P2
B
d 21
d 12
P1
A
P2
B
δ11
A
B
d 21
P1 A
d 12
P2
B
δ22
d11 d12
d 22 d 21
1 1 P2 (d 22 d 21) Vε 1 P 1 (d 11 d 12 ) 2 2 1 1 Vε 2 P d P d 2 1 11 2 2 22
3F 2 R 3 F 2 R 3 4GI P 4 EI
③外力功等于应变能
FN 2 ( x ) T 2 ( x) M 2 ( x) Vε L dxL dxL dx 2 EA 2GI P 2 EI
1 W F f A Vε 2
FR 3FR fA 2 EI 2GI P
Fl l EA l
即：Vε
2 FN l
2 EA
B
1
C
2
30°
A
Vε
n
2 FNi li
i 1 2 Ei Ai
F
1
4F a
2
F
a
2.扭转杆的变形能计算：
Me
W 1 M e 2
l
Tl Me l G Ip G Ip
2 2 T l M l 1 e W M e 2 2G Ip 2G Ip
2 1 qx2 x2 1 qx12 x1 (qax2 )( )dx2 (qax )( )dx1 1 EI 0 2 2a EI 0 2 2a a a
0
[例5] 用能量法求C点挠度和B点转角。梁的抗弯刚度EI。
A x1
C
P x2
1 B
A
B
x1
C
x2
a
a
a
a
解：①画单位载荷图 ②求内力
(d 21) (d 12 )
在1力作用下2力方向上的位移等于在2力作用下1力方向上的位移
§13–7 单位载荷法 q(x) A fA
莫尔积分 求任意点A的位移f A 。
图a A 图b
W Vε
L
P0 =1
M 2 ( x) dx 2 EI
M 2 ( x) dx 2 EI
在A点加单位力：
W Vε
第十三章
§13–1 概述 §13–2 杆件应变能的计算
能量方法
§13–3 应变能的普遍表达式
§13–4 互等定理 §13–7 单位载荷法 莫尔积分 §13–8 计算莫尔积分的图乘法
§13–1
应变能
概述
杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存在杆内，这 种能称为应变能（Strain Energy），用“V”表示。
M ( x1 ) RA x1
P x1 2 P M ( x2 ) RB x2 x2 2
M ( x1 ) RA x1 x1 2 x M ( x2 ) RB x2 2 2
③ C点的挠度
M ( x1 ) M ( x1 ) d C 2 dx1 EI 0 2 P x1 x1 dx1 EI 0 2 2
a P x1 1 P x2 x d x x ( 1 2 1 2a 1 EI 2 2 2a )dx2 0 0
F
A
C B
扭矩 : T ( ) F BC FR(1 cos )
②变形能：
Vε
L
T 2 ( x) M 2 ( x) dx dx L 2GI P 2 EI
(dx Rd )
2 2 2 2 2 2 F R ( 1 cos ) F R (sin ) 0 Rd 0 Rd 2GI P 2 EI
③ C点的挠度
M ( x1 ) M ( x1 ) M ( x2 ) M ( x2 ) dC dx1 dx2 EI EI 0 0
2 2 1 qx2 x2 1 qx1 x1 (qax2 ) dx 2 (qax ) dx1 1 EI 0 2 2 EI 0 2 2 a a
M ( x) M ( x) L EI dx
FNi FNi li M ( x) M ( x) T ( x )T ( x ) L dx dx L Ei Ai GI P EI
三、使用莫尔定理的注意事项：
① M(x)：结构在原载荷下的内力。 ② M ( x) ——去掉主动力，在所求 广义位移 点，沿所求 广义位移 的方向加广义单位力 时，结构产生的内力。
P 1 d12 P 2 d 21
当 P1=P2 时
功的互等定理
d12 d 21
当 P1=P2 时
d12 d 21
P1 A δ11 B
位移互等定理
P2 A δ22
B
d 21
d 12
在1力作用下2力方向上的位移等于在2力作用下1力方向上的位移
F
A
F
A
图1
图2
已知：图1中A点的水平位移为3mm， 求：图2中A点的铅垂直位移？