材料力学刘鸿文第六版全部整合教案整编能量方法
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材料力学刘鸿文第六版最新课件第四章 弯曲内力
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第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切（薄壁圆筒扭转问题） §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形 §3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7 非圆截面扭转的概念 §3.8 薄壁杆件的自由扭转
第四章 弯曲内力
M l
e
(l
x2 )
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
FS
+
FB
B
Me lx
(3)根据方程画内力图
FS
(
x1
)
M l
e
FS (x2 )
Me l
M x
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
FS
+
M
a l
M
e
+
－
b l
M
e
FB
B
Me
lx
(3)根据方程画内力图
FS
(
x1
)
M l
e
FS (x2 )
M
(x1)
M l
Me
l e x1
a l F(lx2 )
FA a F
b
A x1
C
x2
l
FS
bF
+l
－
M
FB (3)根据方程画内力图
B
b
FS (x1) l F
FS
( x2
)
a l
F
x
a l
F
x
FA a F
b
材料力学Ⅱ第六版刘鸿文
材料力学Ⅱ第六版刘鸿文引言材料力学是材料科学的基础学科之一，是研究材料的力学性质和行为的学科。
《材料力学Ⅱ第六版刘鸿文》是一本经典的材料力学教材，是材料力学专业的重要参考书之一。
本文将对该书进行介绍和总结，包括内容概述、特点以及对读者的启发和影响等方面。
内容概述《材料力学Ⅱ第六版刘鸿文》是一本针对材料力学专业的教材，主要涵盖了材料力学的基本理论和方法。
全书分为七个章节，分别是力学基本原理、线弹性力学、力学体构理论、弹塑性力学、裂纹力学、断裂力学和疲劳力学。
每个章节都涵盖了相应的基本概念、理论模型和数学方法。
此外，书中还包括了大量的案例和习题，用于帮助读者巩固所学知识并提高解题能力。
特点《材料力学Ⅱ第六版刘鸿文》的特点主要有以下几个方面：1.系统性强：该书内容组织严谨，逻辑性强，将材料力学的各个方面有机地结合在一起，形成了一个完整的体系。
2.难度适中：该书在讲解材料力学的基本概念和理论时，采用了简明扼要的语言和清晰明了的图示，易于理解和掌握。
3.知识丰富：该书涵盖了材料力学的各个领域，包括线弹性力学、力学体构理论、弹塑性力学、裂纹力学、断裂力学和疲劳力学等，读者可以从中获得全面的知识。
4.实用性强：该书不仅讲解了理论知识，还包含了大量的案例和习题，帮助读者将所学知识应用于实际问题的解决，培养实际操作能力。
对读者的启发和影响《材料力学Ⅱ第六版刘鸿文》作为一本经典的材料力学教材，对读者的启发和影响是十分深远的。
首先，该书对读者的专业技能提高有着积极的促进作用。
通过学习该书，读者可以掌握材料力学的基本理论和方法，培养独立解决实际问题的能力。
其次，该书对读者的思维方式和学习方法有着重要的影响。
《材料力学Ⅱ第六版刘鸿文》注重理论和实践的结合，引导读者进行系统思考和综合分析，培养了读者的逻辑思维能力和创新能力。
最后，该书对读者的职业发展有着积极的推动作用。
材料力学是材料科学领域的基础学科，对从事材料科学研究和工程实践的人员来说，是必备的专业知识。
刘鸿文《材料力学》(第6版)复习笔记和课后习题及考研真题详解-第1~2章【圣才出品】
图 1-2-5 解：（1）应用截面法，叏 1-1 截面以下部分迚行叐力分枂，如图 1-2-6（a）所示。 由平衡条件可得：∑MA＝0，FN1lsinα－Fx＝0； 解得：FN1＝Fx/（lsinα）； 故当 x＝l 时，1-1 截面内力有最大值：FN1max＝F/sinα。 （2）应用截面法，叏 1-1 截面以下，2-2 截面右侧部分迚行叐力分枂，如图 1-2-6（b） 所示。 由平衡条件可得 ∑Fx＝0，FN2－FN1cosα＝0 ∑Fy＝0，FS2－FN1sinα－F＝0 ∑MO＝0，FN1（l－x）sinα－M2＝0 解得 2-2 截面内力：FN2＝Fxcotα/l，FS2＝（1－x/l）F，M2＝xF（l－x）/l。 综上可知，当 x＝l 时，FN2 有最大值，且 FN2max＝Fcotα；当 x＝0 时，FS2 有最大值， 且 FS2max＝F；当 x＝l/2 时，弯矩 M2 有最大值，且 M2max＝Fl/4。
Δx 的比值为平均正应发，用 εm 表示，即
εm＝Δs/Δx 平均正应发的枀限值即为正应发，用 ε 表示，也即
lim s
x0 x
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微体相邻棱边所夹直角改发量，称为切应发，用 γ 表示，单位为 rad，若 α 用表示发 形后微体相邻棱边的夹角，则
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由平衡条件可得
∑Fy＝0，F－FS＝0
∑MC＝0，Fb－M＝0
则 n-n 截面内力为：FS＝F，M＝Fb。
图 1-2-2 1.2 试求图 1-2-3 所示结极 m-m 和 n-n 两截面上的内力，并挃出 AB 和 BC 两杆的 发形属于何类基本发形。
6 / 161
材料力学刘鸿文第六版最新课件第六章 弯曲变形
40
内容回顾
6.1：基本概念 挠度；转角；挠曲线；挠度和转角的关系；挠度 和转角的符号定义。
6.2：挠曲线的微分方程
d2w M dx2 EI
6.3：积分法求弯曲变形
w" M(x) EI
EIw M ( x )dx C1 （转角方程） EIw M ( x )dxdx C1 x C 2 （挠度方程）
确定积分常数C1和C2
确定积分常数C1和C2
（1）在简支梁中, 左右两铰支座处的
挠度 w A 和 wB 都等于0。
A
wA 0
（2）在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A
和转角 A 都应等于0。
（3）在弯曲变形对称点，转角为0。
A
wA 0
A 0
B
wB 0
B
42
（4）若B支座改为弹簧支撑，则： （5）若B支座改为
又：
1M
EI
B
d2w M
ds
A
此式称为
dx2 EI
梁的挠曲线近似微分方15程
横力弯曲梁：
w" M(x) EI
近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项;
（3） tan w w ( x )
16
§6-3 用积分法求弯曲变形
一、微分方程的积分 w M ( x) EI
x a时，wC 左 wC 右
x L, w FBy
B
k
B kx
h F EA
A
C
a
bB
L
x 0, wA 0
x a时，C左 C右
x a时，wC左 wC右
x
L, wB
lBD
FByh EA
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F
内容回顾
6.1：基本概念 挠度；转角；挠曲线；挠度和转角的关系；挠度 和转角的符号定义。
6.2：挠曲线的微分方程
d2w M dx2 EI
6.3：积分法求弯曲变形
w" M(x) EI
EIw M ( x )dx C1 （转角方程） EIw M ( x )dxdx C1 x C 2 （挠度方程）
确定积分常数C1和C2
确定积分常数C1和C2
（1）在简支梁中, 左右两铰支座处的
挠度 w A 和 wB 都等于0。
A
wA 0
（2）在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A
和转角 A 都应等于0。
（3）在弯曲变形对称点，转角为0。
A
wA 0
A 0
B
wB 0
B
42
（4）若B支座改为弹簧支撑，则： （5）若B支座改为
又：
1M
EI
B
d2w M
ds
A
此式称为
dx2 EI
梁的挠曲线近似微分方15程
横力弯曲梁：
w" M(x) EI
近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项;
（3） tan w w ( x )
16
§6-3 用积分法求弯曲变形
一、微分方程的积分 w M ( x) EI
x a时，wC 左 wC 右
x L, w FBy
B
k
B kx
h F EA
A
C
a
bB
L
x 0, wA 0
x a时，C左 C右
x a时，wC左 wC右
x
L, wB
lBD
FByh EA
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F
刘鸿文主编-材料力学课件
各向同性假设
总结词
各向同性假设认为材料在不同方向上具有相同的性质 和行为。
详细描述
各向同性假设是材料力学中的另一个重要假设。它意味 着材料在不同方向上具有相同的性质，如弹性模量、泊 松比等。这一假设使得我们可以用统一的数学模型来描 述材料的性质和行为，简化计算过程。在实际应用中， 对于一些各向同性较好的材料，可以采用统一的标准来 近似获得其整体性质。需要注意的是，各向同性材料并 不是指所有方向上的性质都完全相同，而是在一定范围 内可以近似认为各向同性。
机械零件设计
材料力学在机械领域中应用于各 种机械零件的设计，如轴、轴承
、齿轮等。
设备强度分析
对机械设备的强度进行分析，确保 设备在各种工况下的安全运行。
疲劳寿命预测
利用材料力学知识，预测机械零件 的疲劳寿命，提高设备的使用寿命 。
航空航天领域
飞行器结构分析
材料力学在航空航天领域 中应用于飞行器的结构分 析，确保飞行器的安全性 和稳定性。
详细描述
弹性力学理论是材料力学的基本理论之一，主要研究材料在弹性范围内受力时的变形和内力关系。该 理论基于胡克定律，即材料在弹性范围内受力时发生的形变与外力成正比，并引入了应变和应力等概 念来描述材料的变形和受力情况。
塑性力学理论
总结词
描述材料在超过弹性极限后发生塑性形 变时的应力-应变关系。
VS
根据船舶的工作环境和要求，选择具 有优良力学性能的材料。
05
材料力学的未来发展
新材料的研发
高强度轻质材料
如碳纤维复合材料、钛合金等， 在航空、汽车、体育器材等领域
有广泛应用前景。
智能材料
如形状记忆合金、压电陶瓷等， 具有自适应、自修复等特性，可 用于制造智能传感器、执行器等
材料力学(刘鸿文)第十三章 能量方法
P 1 P1 Q1 Q1
若 P1 Q1 ，则有
1 Q 1 P
位移互等定理
例题：装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁， 如图，试用互等定理求解。
A
B
a
P
L
A
R a L δ δ2 X=1
P
B
第一组力： P、R
a2 1 (3l a) 6 EI
l3 2 3EI
——莫尔积分法又称单位载荷法。 M(x) ：实际载荷引起的弯矩；
M ( x ) ： 单位载荷引起的弯矩。
求转角的莫尔积分
V1 W1 W2 W12
V2 W1 W2 W21
W12 W21
P 1 P 2 P 2 P m Pm Q1 Q
功的互等定理
位移互等定理
设两组力Pi、Qj只有一个力P1、Q1作用于物体，
B
P=1
B
C：yB(a)=yC(b) D：yC(a)=θB(b)
(a) A
C
C
A
(b)
4、将千分尺安装在梁上，可以测出安置点所 在位置处的挠度。为了测出图示梁在力P作用 下的挠曲线，就必须将千分尺沿梁的长度方向 逐点安置并测定该点的挠度。用什麽办法可以 不移动千分尺就能够测出该梁的挠曲线？
P
千分尺
2 N
2
M 2 ( x )dx 2 EI
注意 1 以上计算公式仅适用于线弹性材料、 在小变形下的应变能的计算
2 应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加 原理在同种应变能计算中 不能使用。
3 只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上 不做功时，才可应用。 4 应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关； 在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。
若 P1 Q1 ，则有
1 Q 1 P
位移互等定理
例题：装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁， 如图，试用互等定理求解。
A
B
a
P
L
A
R a L δ δ2 X=1
P
B
第一组力： P、R
a2 1 (3l a) 6 EI
l3 2 3EI
——莫尔积分法又称单位载荷法。 M(x) ：实际载荷引起的弯矩；
M ( x ) ： 单位载荷引起的弯矩。
求转角的莫尔积分
V1 W1 W2 W12
V2 W1 W2 W21
W12 W21
P 1 P 2 P 2 P m Pm Q1 Q
功的互等定理
位移互等定理
设两组力Pi、Qj只有一个力P1、Q1作用于物体，
B
P=1
B
C：yB(a)=yC(b) D：yC(a)=θB(b)
(a) A
C
C
A
(b)
4、将千分尺安装在梁上，可以测出安置点所 在位置处的挠度。为了测出图示梁在力P作用 下的挠曲线，就必须将千分尺沿梁的长度方向 逐点安置并测定该点的挠度。用什麽办法可以 不移动千分尺就能够测出该梁的挠曲线？
P
千分尺
2 N
2
M 2 ( x )dx 2 EI
注意 1 以上计算公式仅适用于线弹性材料、 在小变形下的应变能的计算
2 应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加 原理在同种应变能计算中 不能使用。
3 只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上 不做功时，才可应用。 4 应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关； 在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。
材料力学(刘鸿文主编)
第1章 绪 论§1.1 材料力学的任务与研究对象·材料对人类文明产生过重大影响，历史划分为旧石器，新石器，青铜，铁器，和现在有人称为的合成材料时代，21世纪将发展成智能材料时代。
·材料的力学行为是工程材料研究的重要方面。
直至50～60年代，力学是科学技术发展的主导学科，汽车、火车、飞机、火箭、卫星，力学家功居首位，伽利略、牛顿、卡门、铁摩辛柯、钱学森、钱伟长、钱令希、周培源这些众人熟知的科学家都为力学家。
·信息时代，材料是科学技术发展的物质基础，材料力学是一门不可缺少的技术基础课。
构件：组成机械与结构的零构件。
理力：刚体假设，研究构件外力与约束反力。
材力：变形体力学，研究内力与变形1. 材料力学任务（1）构件设计基本要求能力）（保持原有平衡形式的（抵抗变形能力）（抵抗破坏能力）稳定性刚度强度经济矛盾安全合理设计⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧)( （2）任务：研究构件在外力作用下受力、变形和破坏的规律，为合理设计提供有关强度、刚度和稳定性分析的基本理论和方法。
2. 研究对象(1) 构件按几何特征分类体（三维同量级） 板（壳）（一维（厚度）很小） 杆（一维（长度）很大）(2) 构件按受力分类材料力学主要研究杆。
杆常常是决定结构强度关键部件。
（房屋承载：梁、柱；飞机：主梁，框架+蒙皮；人体：骨骼；栋梁，中流砥柱---），“一根细杆打天下，学好压弯扭就不怕”（顺口溜，工作体会）。
材料力学----------工程师知识结构的梁和柱。
§1.2 变形固体的基本假设从几何尺度，科学研究可分为宇观、宏观、微观；宇观和微观自然属前沿研究领域，从事的人不多，宇观力学研究天体和宇宙运动，发生和发展行为，它告诉我们宇宙、太阳系、地球的现在的状态、从哪来到哪去；微观力学如量子力学则研究构成物质的粒子力学行为。
但我们肉眼所观测到的宏观尺度是科技主战场。
1.连续性假设：无空隙，力学量是坐标连续函数。
材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
P1
P2
1 dV 2 M( x )d
一般情况下： 剪力对变形的影响很小，剪切 应变能远远小于弯曲应变能。
M 2( x )dx dV 2EI
w = M(x) = dθ EI dx
d M( x) dx
EI
M 2( x )dx
V l 2EI
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
1
V
W
F 2
F2
F3
采用比例加载
2 3
外力
比例
0
位移
比例
F1、F2、F3
1、 2、 3
0
V
W
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F33
n i1
1 2
Fii
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
克拉贝依隆原理
对于组合变形
M (x)
Fs(x)
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
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1 2 FN Dl
FN 2l 2EA
x dx q(x)·dx
略去高阶微量，认为dx只承受FN (x)
dV
1 2
FN
(
x
)d
Dl
FN 2( )dx 2EA
FN(x)
FN(x)＋dFN (x)
dx
V
l dV
FN 2( x )dx l 2EA
2、扭转
T=me
l
加载过程中始终有
me me
Tl
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
F 2 L2
2EI 2EI 6EI
B L
F
⑶ 当F和Me分别作用时
A Me
V 1
MeL 2EI
V 2
F 2 L3 6EI
V1 V 2 V
⑷ 求载荷所作的功
wA
(wA)F
(wA)Me
FL3 3EI
A l
F
B
C
a
解:
FRA
Me l
-
Fa l
Me
B
FRB
F(l + l
a)
-
Me l
A x1
FRA
l
AB:
M1( x1 )
(Me l
-
Fa l ) x1
-
Me
FRB
M1( x1 F
)
-
a l
x1
M1( x1 ) x1 - 1
求自由端B的挠度。
F
A
B
l
x
W
1 2
F
wB
解： M (x) -F x
V
l
M 2 (x) dx 2EI
F 2l3 6EI
由V W，得
wB
Fl 3 3EI
例题：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩 Me作用。设EI为常数，试求梁的应变能。
B L
解： ⑴ 弯矩方程
F
A
M (x) Me Fx
例：互等定理求上图悬臂梁中点C处的铅垂位
移DC 。
wC1
B2
F
解：由功的互等定理F wC1 M B2
F
l
2
得：F wC1 M
2 2EI
由此得：
wC1
Ml 2 8EI
例：互等定理求图示简支梁C截面的挠度。
F
B2
wC1
解：由功的互等定理F wC1 M B2
得：F
wC1
M
Fl 2 16E I
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
第十三章 能量方法
§13.1 概述 §13.2 杆件应变能的计算 §13.3 应变能的普通表达式 §13.4 互等定理 §13.5 卡式定理 §13.6 虚功原理 §13.5 单位载荷法 莫尔积分 §13.6 计算莫尔积分的图乘法
§13.1 概述
回顾：前面学习了哪些求变形（位移）的方法？ 拉压变形 ——作图法 弯曲变形 ——积分法、叠加法
wA
F
C A L/2 L/2
wC=？
2 :
V
2
L 2 0
( F x)2 2 2EI
dx
F 2L3 96EI
W
1 2
FwC
V
W
wC
FL3 48EI
B
卡式定理
V F
FL3 48EI
wC
说明：
（1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体
δi
Vε Fi
（2）Fi 为广义力，i为相应的位移
一个力
一个力偶
一对力
Dl AB
P2l1 EA
P1保持不变，作功为
V 2
P1
P2l1 EA
P2作功为
V 3
P22( l1 l2 2EA
)
总功为：
V
P12l1 2EA
P1
P2l1 EA
P22 (l1 l2 ) 2EA
先施加P2
V1
P22( l1 l2 2EA
)
再施加P1
AB又伸长
Dl AB
P1l1 EA
P2保持不变，作功为
它于和的弯剪数矩力值对的和变影截形响面的。形影l M状响2E2有，Ix关故 d。在x 矩计形算换这k=成类6/杆5；件l圆M的2形Ey2变Ikxy形=1d时0x/，9。l通M2常Ez2 I不xz 计dx轴力
变形能的应用
1.计算变形能
2.利用功能原理计算变形（位移）
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理
P1
P2
1 dV 2 M( x )d
一般情况下： 剪力对变形的影响很小，剪切 应变能远远小于弯曲应变能。
M 2( x )dx dV 2EI
w = M(x) = dθ EI dx
d M( x) dx
EI
M 2( x )dx
V l 2EI
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
1
V
W
F 2
M e L2 2EI
A
( A ) F
( A ) Me
FL2 2EI
MeL EI
V
W
1 2
FwA
1 2
M
e A
F 2L3 6EI
MeF2 2EI
M
2 e
L
2EI
§13-4 互等定理
功能原理求图示悬臂梁中点B处的转角θB 。
思考：求上图悬臂梁中点C处的铅垂位移 DC。
基本概念
12
F1
11
21
F2
由此得：wC1
Ml2 16E I
Fk
123
A
B
(a)
Ak
(b) k
1 2 3
F1
F2 F3
B
例 （a）中Fk=10KN时，1、2、3点的 挠度分别为 1 1mm, 2 0.8mm,
3 0.5mm, 若（b）中1、2、3点作用
荷载F1=50KN， F2=40KN，F3=20KN，
求k点的挠度？
V 2
P2
P1l1 EA
P1作功为
V 3
P12l1 2EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水) 总功仍为上述表达式。
直接利用功能原理求位移的实例 利用能量法求解时，所列
例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
a
P
b
解： 1)求反力
b
a
RA l P RB l P
A x1
RA
C l
B x2
若F1 = F2 ，则得 12 21
位移互等定理
即： F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移，等于同 样大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。
（反力互等定理， 反力位移互等定理）
说明：
(1) 互等定理只适用于线弹性结构；
(2) 互等定理中的力与位移应理解为广义力和相 应的广义位移。则位移互等定理中的相同大小的 力为数值相同，位移相同也仅代表数值相同（量 纲对应）。 （3）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下, 只是由变形引起的位移.
T (x)Fs(x)
Vε
FN2 (x) dx l 2EA(x)
T 2(x) dx
l 2GIp (x)
M 2(x) dx
l 2EI (x)
kFs2 (x) dx l 2GA(x)
对若k于是杆双用件向来及弯修杆曲正系，横的弯力变矩弯形沿曲是形时以心切弯主应曲轴力变分不形解沿为, 截主面的均，匀因分轴布力的和修剪正力系远数小，
2)
弯矩方程
AC段：M(x1
)
=
RA
x1
=
b l
Px1
RB
( 0 ≤x1 ≤ a)
3) 由功能原理
CB段： M(x2
)
=
RB x2
=
a l
Px2
1
2 PyC
M 2( x)dx l 2EI
=
1 2EI
ab 0 l
Px1
2
dx1
+
b 0
a l
Px2
2
dx2
(
0
≤x2≤
b)
只分适析用：yC于VV结P3构aEW2l上IbMl2有22(12结E一xPI果)y个dCx大6载EP于I荷2l2零，b，求2a说3载明荷a2作位b3 用移点的P6沿2方Ea载2I向bl 2荷与方力向的的方位向移一。致。
（c） 弯曲
δi
Vε Fi
Fi
M 2( x)dx 2EI
M ( x) M ( x)dx EI Fi
（4） 平面桁架
δi
Vε Fi
n FNjl j FNj j1 EA Fi
（5） 组合变形
δi
Vε Fi
[ FN2 ( x )dx T 2 ( x )dx M 2 ( x )dx ]
内力2 l 2刚度
F-广义力泛指力或力偶矩；
-广义位移为线位移或角位移；
（2）应变能的数值恒为正值；
（3）应变能为载荷的二次函数，同种类型荷载的变形能不能 简单叠加。