材料力学刘鸿文第六版最新课件第四章 弯曲内力
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《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
材料力学课件第四章 弯曲内力1-3节
FS
FS
剪力为正
FS
FS
剪力为负
②弯矩—绕截面转动的内力偶矩，符号：M，正负号规 定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压 下拉的弯矩为正)。
M
M
弯矩为正
M
M
弯矩为负
例一 求下图所示简支梁11与22截面的剪力和弯矩。 弯曲内力
F=8kN
q=12kN/m
A
1
2m
1
2
B
2
1.5m
FA 1.5m
2、
√
• 3、两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后，轴表面上母 线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面 上的最大切应力分别为 τ1max和τ2max，切变模量分别为G1 和G2。试判断下列结论的正确性。
• （A） τ1max ＞ τ2max ； • （B） τ1max ＜ τ2max ； • （C）若G1＞G2，则有τ1max ＞ τ2max ； • （D）若G1＞G2，则有τ1max ＜ τ2max 。 • 正确答案是 C 。
d
d2x
物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
→
G
d
dx
静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式。
T
Ip
d
dx
T GIp
——圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。
2、圆轴中τmax的确定
等直杆：
max
Tm a x WT
3、公式的使用条件：
（1）、等直的圆轴， （2）、弹性范围内工作。
q=12kN/m
FS2 q 1.5 FB 11kN
3、计算2-2 截面的内力
M2
M2
材料力学(刘鸿文)第04章01、弯曲内力
①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 ②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁
3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁 变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
q F
纵向对称面
FA
FB
4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力 并不作用在纵向对称面内的弯曲。
第4第 章弯曲内力 四 章
弯 曲 内 力 王明禄
2015年3月18日星期三
本节重点—你准备好了吗？
1、剪力与弯矩计算与正负判断;
2、弯矩方程的求解；
第一节 弯曲的概念和实例
1、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成 为曲线的变形形式。
2、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件
第二节 受弯杆的简化
研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。
1.梁的支座简化(平面力系)： a)滑动铰支座 b)固定铰支座 c)固定端
FRx
MR
FR
FRx
FRy
FRy
2.作用在梁上的荷载可分为: (a)集中荷载
F1
集中力
M
集中力偶
C
FS
F
y
0 : FS FB F 0 FS F FB FA
M
C
0 : M FB x F l x 0 M FB x F l x FA x
二、平面弯曲梁横截面上的内力： ①剪力—平行于横截面的内力，符号：，正负号规定： 使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负 (左上右下为正：截面以左上为正，截面以右下为正)； FS
3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁 变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
q F
纵向对称面
FA
FB
4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力 并不作用在纵向对称面内的弯曲。
第4第 章弯曲内力 四 章
弯 曲 内 力 王明禄
2015年3月18日星期三
本节重点—你准备好了吗？
1、剪力与弯矩计算与正负判断;
2、弯矩方程的求解；
第一节 弯曲的概念和实例
1、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成 为曲线的变形形式。
2、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件
第二节 受弯杆的简化
研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。
1.梁的支座简化(平面力系)： a)滑动铰支座 b)固定铰支座 c)固定端
FRx
MR
FR
FRx
FRy
FRy
2.作用在梁上的荷载可分为: (a)集中荷载
F1
集中力
M
集中力偶
C
FS
F
y
0 : FS FB F 0 FS F FB FA
M
C
0 : M FB x F l x 0 M FB x F l x FA x
二、平面弯曲梁横截面上的内力： ①剪力—平行于横截面的内力，符号：，正负号规定： 使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负 (左上右下为正：截面以左上为正，截面以右下为正)； FS
材料力学-第四章 弯曲内力
7 . 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
《材料力学》第4章弯曲内力 课后答案
0 ； FS−C
= b F， a+b
M
− C
=
ba a+b
F
FS+C
=
−a a+b
F
，
M
+ C
=
ba a+b
F ； FSB
=
−A a+b
F
,MB
=
0
d解
图（d1）， ∑ Fy
=
0，F
=
1 2
ql
，
∑
M
A
= 0，M A
=
− 3 ql 2 8
仿题 a 截面法得
FSA
=
1 2
ql
，MA
=
−
3 8
ql
2
；
FS−C
FS (x) = −F
⎜⎛ 0 < x < l ⎟⎞
⎝
2⎠
M (x) = −Fx ⎜⎛0 ≤ x ≤ l ⎟⎞
⎝
2⎠
FS (x) = F
⎜⎛ l < x < l ⎟⎞
⎝2
⎠
45
M (x) =
FA x +
FB
⎜⎛ ⎝
x
−
l 2
⎟⎞ ⎠
，
FB
= 2F
M (x) = Fx − Fl ⎜⎛ l ≤ x ≤ l ⎟⎞
( ) 解
∑MB
=
0 ， FA
⋅l
+
ql 2
×
3l 4
− ql 2
=
0
， FA
=
5 ql 8
↑
( ) ∑ Fy
= 0 ， FB
刘鸿文材料力学 I 第6版_4_弯取内力
43
(3) 在剪力Q为零处, 弯矩M取极值。
注意: 以上结论只在该 段梁上无集中力 或集中力偶作用 时才成立。
44
(4) 在集中力作用点： 剪力图有突变，突变值 即为集中力的数值，突 变的方向沿着集中力的 方向(从左向右观察)； 弯矩图在该处为折点。
(5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值 即为集中力偶的数值。
2
AC段: N 1 qa Q qa qy 2
M qa y 1 qy2
2
(3) 轴力图
(4) 剪力图
35
(4) 剪力图
(5) 弯矩图
BC段:
M 1 qa x
2
qa
AC段:
M qa y 1 qy2
特点： 2
在刚节点处，弯矩值连续 ;
Q
1 qa 2
36
特点： 在刚节点处，弯矩值连续; 可以利用刚节点的平衡， 对内力图进行校核。
(2) 求剪力方程和弯矩方程
需分段求解。
分为两段：AC和CB段。 AC段 取x截面，左段受力如图。
由平衡方程，可得:
Q(x) Pb l
(0 x a)
M (x) Pb x
(0 x a)
l
CB段 取x截面，
x
Q
M
17
CB段 取x截面， 左段受力如图。 由平衡方程，可得:
外侧均可，但需标出正 负号； (3) 弯矩画在受压侧。
32
例 5 刚架
已知：q，a。
求：内力图。
解：(1) 求支反力 结果如图。
(2) 求内力 BC段:
X 0
MQ
N Dx
N 0
(3) 在剪力Q为零处, 弯矩M取极值。
注意: 以上结论只在该 段梁上无集中力 或集中力偶作用 时才成立。
44
(4) 在集中力作用点： 剪力图有突变，突变值 即为集中力的数值，突 变的方向沿着集中力的 方向(从左向右观察)； 弯矩图在该处为折点。
(5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值 即为集中力偶的数值。
2
AC段: N 1 qa Q qa qy 2
M qa y 1 qy2
2
(3) 轴力图
(4) 剪力图
35
(4) 剪力图
(5) 弯矩图
BC段:
M 1 qa x
2
qa
AC段:
M qa y 1 qy2
特点： 2
在刚节点处，弯矩值连续 ;
Q
1 qa 2
36
特点： 在刚节点处，弯矩值连续; 可以利用刚节点的平衡， 对内力图进行校核。
(2) 求剪力方程和弯矩方程
需分段求解。
分为两段：AC和CB段。 AC段 取x截面，左段受力如图。
由平衡方程，可得:
Q(x) Pb l
(0 x a)
M (x) Pb x
(0 x a)
l
CB段 取x截面，
x
Q
M
17
CB段 取x截面， 左段受力如图。 由平衡方程，可得:
外侧均可，但需标出正 负号； (3) 弯矩画在受压侧。
32
例 5 刚架
已知：q，a。
求：内力图。
解：(1) 求支反力 结果如图。
(2) 求内力 BC段:
X 0
MQ
N Dx
N 0
材料力学第四章知识点总结(刘鸿文主编)
跨长——梁在两支座间的长度。
材料力学
a A l FAX A FAY
§4-3
剪力和弯矩
[例] 已知：如图，F，a，l。
一、弯曲内力的确定（截面法）：
F B 求：距A端 x 处截面上内力。 解：①求外力（支座反力）
F
B FBY
∑ X = 0, ∴ F = 0 ∑ M = 0 , F l − Fa = 0 ∑Y = 0 , F − F + F = 0
¾ 利用特殊点的内力值（截面法）来定值； ¾ 利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系定值。 积分关系：
dFs ( x ) Q = q (x ) dx ∴ ∫ dFs ( x ) = ∫ q ( x ) dx
Q1 x1 Q2 x2
dM ( x ) Q = Fs ( x ) dx ∴∫
M2 M1
dM ( x ) = ∫ Fs ( x ) dx
特点：铰链传力不传力偶矩，与铰 相连的两横截面上，M = 0 , FS 不 一定为零。
A FA C
qa 2
a a
MB
B FB
a
a
FS 0.5qa
O
0.5qa
2 M qa /8 O
x 1.5qa qa2 x 2qa 2 2.5qa 2
0.5qa 2
材料力学
1、刚架
§4-6 平面刚架和曲杆的内力图
用刚性接头连接的杆系结构。 刚性接头的特点： z 约束－限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移。 z 受力－既可传力，也可传递力偶矩。 平面刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。 特点：刚架各杆横截面上的内力有：Fs、M、FN 。
M(x)+d M(x)
dM ( x ) = Fs ( x) dx
刘鸿文版材料力学课件4-5章.(1)
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
M (kN.m)
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
建立 FS－x 和 M－x
FBY
坐标系
＝1.11 kN
4．应用截面法确定控
x 制面上的剪力和弯矩
值，并将其标在
FS－ x和 M－x 坐标
系中。
O (-)
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab/ l
M
例题4-3
图示简支梁C点受集中力作用。
B
试写出剪力和弯矩方程，并画 出剪力图和弯矩图。
解：1．确定约束力
FBY
MA＝0， MB＝0
FAy＝Fb/l FBy＝Fa/l
2．写出剪力和弯矩方程
x AC FS x1＝Fb / l 0 x1 a
ql
ql 2 2
M y 0 M y qy y / 2 qly 0
M y qly qy2 / 2 0 y l
目录
平面刚架的内力
B
y
x
ql 2 2
ql
ql 2 2
M(x)
B FN(x)
x ql 2 2
FS(x)
横杆CB：C点向左为x
Fx 0
FN x 0 0 x l
Fy 0 FS x ql / 2 0
1/2×9qa/4×9a/4 =81qa2/32
B点的弯矩为
-1/2×7qa/4×7a/4 +81qa2/32=qa2
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第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切（薄壁圆筒扭转问题） §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形 §3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7 非圆截面扭转的概念 §3.8 薄壁杆件的自由扭转
第四章 弯曲内力
M l
e
(l
x2 )
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
FS
+
FB
B
Me lx
(3)根据方程画内力图
FS
(
x1
)
M l
e
FS (x2 )
Me l
M x
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
FS
+
M
a l
M
e
+
－
b l
M
e
FB
B
Me
lx
(3)根据方程画内力图
FS
(
x1
)
M l
e
FS (x2 )
M
(x1)
M l
Me
l e x1
a l F(lx2 )
FA a F
b
A x1
C
x2
l
FS
bF
+l
－
M
FB (3)根据方程画内力图
B
b
FS (x1) l F
FS
( x2
)
a l
F
x
a l
F
x
FA a F
b
A x1 C x2
l
FS
+
b l
F
－
Fab
M
l
+
FB (3)根据方程画内力图
B
FS
(
x1
)
b l
F a
FS(x2 ) l F
Fy 0 ,
MD
a
MO 0 ,
Fy 0 , FA qa FS 0 ,
FA
FS FA qa
a
2 qa qa 3
1 qa 3
MO
0,
FA
2a
1 2
qa2
M
0,
q
FS
MD a
M
FA
2a
1 2
qa2
2 qa 2a 1 qa2 5 qa2
3
2
6
剪力=截面左侧所有外力在y轴上投影代数之和，向上为正。
x
a l
F
M
(x1)
b l
Fx1
M
(x2 )
a l
F (l
x2 )
x10 , M 0
x1a
,
M
Fab l
x
x2 a
,
M
Fab l
x2 l , M 0
FA a F
b
A x1 C x2
l
+
b l
F
FS图
－
Fab l
M图
+
FBБайду номын сангаас
B
(4)内力图特征
在集中力作用的
地方，剪力图有突变，
外力F向下，剪力图
向下变，变化值=F 值；
a l
F
弯矩图有折角。
[例] 求梁的内力方程并画出内力图。（集中力偶）
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
(2)写出内力方程
AC段：
FS
(x1)
FA
Me l
M (x1)
FAx1
Me l
x1
FB 解：(1)求支座反力
B
FA
Me l
FB
Me l
CB段：
FS (x2 ) FB
Me l
M (x2) FB (l x2)
2F a 2
3 2
Fa
叠加原理 几个载荷共同作用下的内力=各载 荷单独作用的内力之和。
[例2] 求D截面上的内力。
FA
q
FB
A
B
C
D
a
a
a
解：MB 0
,
3FA a 2qa2 0
,
FA
2 3
qa
Fy 0
,
FA FB 2qa 0
,
FB
4 qa 3
,
截面法求D截面内力：
取左段：
FA a
q
FS
M
(x2
)
M l
e
(l
x2
)
x10 , M 0
x
x1a
,
M
a l
M
e
x2 a
,
M
b l
Me
x2 l , M 0
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
FS
+
M
a l
M
e
+
－
b l
M
e
FB
B
(4)内力图特征
Me
l
在集中力偶作用
x
的地方，剪力图无突
变；弯矩图有突变，
Me逆时针转，弯矩 图向下变，变化值
=Me值。 x
（2）弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。
左顺右逆为正
可以装水为正
M
M
M
MM
M
(+)
(+)
M
M
M
(–)
MM
(–)
M
§4-3 剪力和弯矩
FAy FAy
FSE ME
例1
解： 1. 确定支反力
Fy 0
FAy FBy 2F
MA 0
FBy 3a Fa 2F a
FBy
FBy
F 3
5F FAy 3
x
试求任意截面上的弯矩和剪力。
l
解：任选一截面x
q
M x
x
FS x＝qx
0 x l
M x＝qx2 / 2 0 x l
FS
FS x
ql 剪力方程和弯矩方程。
根据方程画出剪力图和弯矩图
x
M
ql 2 / 2
ql 2 / 8
由剪力图、弯矩图可见,最大剪力 和弯矩分别为
FS max＝ql M max＝ql 2 / 2
• §4-1 • §4-2 • §4-3 • §4-4 • §4-5 • §4-6
弯曲的概念和实例 受弯杆件的简化 剪力和弯矩 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 平面曲杆的弯曲内力
§4-1 弯曲的概念和实例
一、弯曲的概念 受力特点：杆件受垂直于轴线的外力（包括外力偶）的作用。 变形特点：轴线变成了曲线。
FS
(
x1
)
qa 2
FS
(
x2
)
qa 2
q(
x2
a)
x
x2 a
,
FS
qa 2
－
3qa
x2 3a
,
FS
3 qa 2
2
x
A x1 B x2
a
F
qa 2
FS
qa
2+
M
qa 2
2
q
C 2a
M
(
x1
)
1 2
qax1
M
(x2
)
1 2
qax2
1 2
q(x2
a)2
x －
3qa 2
x
qa 2 2
x1 0 , M 0
[例] 求梁的内力方程并画出内力图。（均布载荷）
FA
q
FB
A
B
x
a
解：(1)求支座反力
qa FA FB 2
(2)写出内力方程
FS
(
x)
FA
qx
qa 2
qx
M (x)
FAx
1 2
qx2
1qax 1qx2 22
FA
q
A
x a
FS
qa
2+
M
FB （3）根据方程画内力图
B
x －
qa
FS (x)
qa 2
轴线
F1
F2
C
纵向对称面
非对称弯曲
若梁不具有纵向对称面，或者，梁虽具有纵向对称面但 外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。
C
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
§4-2 受弯杆件的简化
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于 分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
FSE FBy 3
Mo 0
ME
FBy
3a 2
Fa
3Fa ME 2
§4-3 剪力和弯矩
F
5F
FBy 3 FAy 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
FSE
5F 3
2F
F 3
FSE
§4-3 剪力和弯矩
FAy FAy
O ME 2F
O ME
FBy
F 3
FAy
5F 3
FBy
ME
5F 3a 32
x
【例】 求梁的内力方程并画出内力图。（集中力）
FA a F