偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义及其计算法
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27)
连续.
12
4、偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z = f ( x , y ) 上一点,
如图
2010年4月19日10时44 分
偏导数(27)
13
几何意义:
( y ≠ 0)
x 1 =− 2 sgn 2 x +y y
∂z 不存在． ≠0 ∂y x = 0 y
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27)
9
例 4
已知理想气体的状态方程 pV = RT
∂ p ∂V ∂ T ⋅ ⋅ = −1. （ R 为常数） ，求证： ∂V ∂T ∂ p
RT ∂p RT ⇒ =− 2; 证 p= V ∂V V RT ∂V R ∂T V pV V= ⇒ = ; = ; T= ⇒ p ∂T p ∂p R R ∂p ∂V ∂T RT R V RT = − 1. ⋅ ⋅ =− 2 ⋅ ⋅ =− ∂V ∂T ∂p V p R pV
f ( x + ∆x , y , z ) − f ( x , y , z ) , f x ( x , y , z ) = lim ∆x → 0 ∆x f ( x , y + ∆y , z ) − f ( x , y , z ) , f y ( x , y , z ) = lim ∆y → 0 ∆y
f ( x , y , z + ∆z ) − f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) = lim . ∆z → 0 ∆z
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27) 5
(完整版)偏导数的定义及其计算法(精)
存在，则称
此极限为函数 z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对 x的
偏导数，记为
z x
， f xx0 x
y y0
xx0 ， zx
y y0
xx0 或
y y0
f x ( x0 , y0 ).
f x
lim
xx0 x0
f ( x0 x, y0 ) x
f ( x0 , y0 ) .
y y0
导数
z x
、
z y
必存在，且函数
z
f (x, y)
在点(x, y)的全微分为
dz
z x
x
z y
y.
dz
( x, y) 可微分， Ax By 称为函数 z f ( x, y) 在点( x, y)的全微分，记为dz ，即
dz Ax By.
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这函数 在 D 内可微分.
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分, 则函数在该 点连续.
事实上 z Ax By o( ), lim z 0,
之外的其他自变量暂时看成
常量，对 x 求导数即可。
求
f y
时， 只要把 y
之外的其他自变量暂时看成
常量，对 y 求导数即可。
其它情况类似。
例 求 z x2 3xy y2在点(1, 2)处的偏导数．
解
z x
2x 3 y;
z y
3x2y.
把 y 看成常量 把 x 看成常量
z x
x1 21 32 8,
偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x、 y的函数，
它就称为函数z f (x, y)对自变量 x的偏导数，记作
偏导数
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
连续.
二、高阶偏导数
函 数 z f ( x, y)的 二 阶 偏 导 数 为
z z z z f xx ( x , y ), f yy ( x , y ) 2 2 x x x y y y
x x0 y y0
，z y
x x0 y y0
或 f y ( x0 , y0 ).
如果函数 z f ( x , y ) 在区域 D 内任一点 ( x , y ) 处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x 、 y 的函数，它就称为函数 z f ( x , y ) 对 自变量 x 的偏导数， 记作
2 2
,
2u yy x y2 2,2 2
u x
2 2
(x y ) x 2x
2
(x y )
2 2 2 2
2
y x
2 2
(x y )
2
,
u y u
2 2
(x y ) y 2y (x y )
2 2 2 2
x y
2 2
2 2
(x y )
y )
2
2
,
y (x
2
2
x
2
2 2
y )
；
5、 ( 二 、 1、 z x
x y
) (
z
1 y
x y
).
y ( 1 xy )
2
y1
xy , ( 1 xy ) ln( 1 xy ) y 1 xy
y
z
高中数学中的偏导数定义及其求解法则
高中数学中的偏导数定义及其求解法则数学中有很多重要的概念和方法，学习数学需要认真掌握这些概念和方法。
其中，在数学的实际应用中，偏导数是非常重要的一个概念，它在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
本文将介绍高中数学中的偏导数定义及其求解法则，希望对读者有所帮助。
一、偏导数的定义首先，我们来看偏导数的定义。
偏导数是多元函数在某一点处对某一个自变量求导的结果。
具体来说，如果函数f(x1,x2,...,xn)在点(x1,x2,...,xn)处对第i个自变量求导，那么它的偏导数就是：∂f/∂xi其中，∂表示“偏导数”的符号。
需要注意的是，偏导数只是对函数在某一点处对一个自变量求导，其他自变量视为常数处理。
因此，如果要对多个自变量同时求导，就需要分别对每个自变量进行求导，得到一组偏导数。
二、偏导数的求解方法接下来，我们来看一下偏导数的求解方法。
对于二元函数f(x,y)，可以通过以下两种方法求解偏导数：1.用限制条件法求偏导数这种方法是指在偏导数的定义中代入限制条件，然后求导。
具体来说，如果要求偏导数∂f/∂x，在导数中代入y=g(x)，得到：∂f/∂x=f(x,g(x))'，其中f(x,g(x))'表示仅以x求导，y视为常数的结果。
同理，可以得到偏导数∂f/∂y:∂f/∂y=f(x,g(x))'2.用差商表示法求偏导数这种方法是指对偏导数的定义进行差商展开，并将所有的高阶微小量忽略，只保留一阶部分。
具体来说，如果要求偏导数∂f/∂x，可以将x看作一个微小量δx，同时将y视为常数，得到：∂f/∂x=[f(x+δx,y)-f(x,y)]/δx同理，可以得到偏导数∂f/∂y:∂f/∂y=[f(x,y+δy)-f(x,y)]/δy在实际应用中，常常会将两种方法进行结合，以求得更精确的偏导数。
三、偏导数的应用最后，我们来看一下偏导数在实际应用中的例子。
偏导数经常出现在物理、工程、经济等领域的模型中。
偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数在其中一点上的变化率的一种度量，它描述了函数在其中一方向上的变化速率。
偏导数的定义非常简单，它是将函数的其他自变量视为常数，而对其中一自变量求导得到的导数。
对于一个多元函数 f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以用∂f/∂xi 或者 fxi 来表示，其中∂表示偏导数的符号，xi 表示自变量 xi 的偏导数。
偏导数的计算方法基本与一元函数的导数计算类似，但在计算过程中需要将其他的自变量视为常数。
举个例子来说明偏导数的计算：假设有一个二元函数f(x1,x2)=x1^2+x2^2，我们要计算该函数关于自变量x1的偏导数∂f/∂x1在计算过程中，我们将x2视为常数，即f(x1,x2)=x1^2+C^2，其中C 表示x2的常数值。
然后我们对f(x1,x2)关于x1求导数，得到f'(x1,x2)=2x1、最后得到∂f/∂x1=f'x1=2x1，即关于x1的偏导数。
在实际应用中，偏导数常常用于优化算法、极值问题的求解等方面。
在多元函数中，偏导数的大小和符号可以用于判断函数的变化趋势和极值点的位置。
除了一阶偏导数，我们还可以计算高阶偏导数。
高阶偏导数描述的是函数对自变量一次、二次、三次...的变化率。
例如，二元函数的二阶偏导数就是对一阶偏导数再次求导，即∂^2f/∂x1^2，表示f(x1,x2)对x1的变化率的变化率。
对于多元函数而言，偏导数的计算可以推广到n阶偏导数，并且可以使用偏导数的混合形式。
例如，对于三元函数f(x1,x2,x3)，我们可以计算∂^2f/∂x1∂x2，表示对x1求偏导后再对x2求偏导。
总结来说，偏导数是多元函数关于其中一自变量的变化率的度量。
计算偏导数的方法与一元函数的导数计算类似，但需要将其他自变量视为常数。
偏导数在实际应用中具有广泛的用途，如优化算法、极值问题的求解等。
除了一阶偏导数，我们还可以计算高阶偏导数和混合偏导数。
一偏导数定义及其计算法二高阶偏导数三小结
不能. 例如, f ( x, y) x2 y2 , 在(0, 0)处连续, 但 f x (0, 0) f y (0, 0) 不存在.
，
f y
，
z
y
或
f y(x, y).
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
例如，u f ( x, y,z), 在 ( x, y,z) 处，
f
x
(
x
,
y,
z
)
lim
x0
f
( x x, y,z) x
f
(x, y,z) ,
f
y
(
x,
y,z
)
lim
y0
f
( x, yy,z) y
f
(x, y,z)
,
f
z
(
x,
y,z)
y( y2 x2) ( x2 y2 )2
,
考虑点 (0, 0) 对 x 的偏导数，
lim
x0
f (0 x, 0) x
f (0, 0)
lim
x0
00 x
0.
于是，
f
x
(
x
,
y
)
y( (x
y
2
2 x2) y2 )2
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0.
(2) 求 f y ( x, y). 当 x2 y2 0 时， 即 x 0 且 y 0时，
如图
z f ( x0, y)
M0 Tx
z f ( x, y0 )
Ty
几何意义:
偏导数 f x ( x0, y0 )就是曲面被平面 y y0 所截得的 曲线在点 M0处的切线 M0Tx对 x轴的斜率.
偏导数概念及其计算
偏导数概念及其计算
偏导数是求解多元函数的过程，它将多元函数的变化量分解出来，表
示与其中一个变量有关的导数，而忽略其他变量的影响。
比如，给定函数
f（x，y），对于其中一个变量x，我们可以定义偏导数f'x（x，y）表示
对于x变量而言，f的变化量，而忽略另一个变量y。
偏导数在求解函数的最值时很常用，是求解多元函数的最值、极值、
微分的重要方法，可以根据偏导数的值来判断该点是极值点还是普通点，
而无需关心其他变量的取值。
偏导数的计算：
（1）多元函数的偏导数
多元函数的偏导数定义为在所有的其他变量保持不变的情况，仅针对
一个变量的导数。
一般表示为：
f'_x(x,y)=∂f/∂x
（2）多元函数的偏导数的计算方法
1）首先，根据函数求出所有变量的偏导数：
f'_x(x,y)=∂f/∂x
f'_y(x,y)=∂f/∂y
2）若函数f(x,y)为非限制类型的多元函数，只需要求出变量x，y
的偏导数即可，求取其中其中一项变量的偏导数时，把其他变量看做常数，然后用一般微分法计算即可。
3）若函数f(x,y)为限制类型的多元函数，即该函数中存在不可加以变动的约束条件，此时，可以先求出该函数的全部变量的偏导数，然后根据拉格朗日乘数法求出未知偏导数。
偏导数的定义与计算方法
偏导数的定义与计算方法偏导数是数学中的一个重要概念。
它可以在多变量函数中反映出每个变量对函数的影响程度。
偏导数的计算方法和一元函数的导数有所不同，下面将详细介绍偏导数的定义、性质以及计算方法。
一、偏导数的定义在多元函数中，每个自变量的取值都会影响函数值的大小。
因此，在计算偏导数时，需要将其他自变量看作常数，只考虑某一个自变量对函数的影响。
对于一个函数f(x1,x2,...xn)，对于自变量xi的偏导数定义为：∂f/∂xi=lim (Δxi→0) (f(x1,x2,...,xi+Δxi,...xn)-f(x1,x2,...,xi,...xn))/Δxi其中，Δxi表示自变量xi的增量，是一个很小的数。
当Δxi趋近于0时，称之为f对xi的偏导数。
二、偏导数的性质1. 偏导数存在性对于连续的多元函数，偏导数一定存在。
但对于非连续的函数，偏导数可能不存在。
2. 二阶偏导数如果一个函数的一阶偏导数存在，则可以进行二次偏导数的计算。
二次偏导数的计算方法和一次偏导数类似，只需要在一次偏导数的式子中再次取偏导数即可。
3. 高阶偏导数类似于二次偏导数，多元函数的任意阶偏导数也可以进行计算。
高阶偏导数的符号和计算方法与一阶偏导数相同。
4. 取偏导数的顺序不同的偏导数的计算顺序有可能会影响计算结果。
例如，f(x,y)=x^2y^2，如果先对x求偏导数，再对y求偏导数，得到的结果为：∂f/∂x=2xy^2，∂f/∂y=2x^2y如果先对y求偏导数，再对x求偏导数，得到的结果为：∂f/∂y=2xy^2，∂f/∂x=2x^2y由于偏导数的计算顺序不同，导致结果也不同。
因此，在取偏导数时，需要注意顺序。
三、偏导数的计算方法1. 公式法偏导数的计算可以使用公式法。
首先需要将待求的函数f(x1,x2,...xn)展开为多项式形式，然后按照偏导数的定义进行计算。
例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，需要求∂f/∂x和∂f/∂y。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∴
RT R V p V T RT = = = 1 2 p R V T p pV V
例6
求下列各函数在指定点的偏导数：
xy x2 + y2 0
2
( x 2 + y 2 ≠ 0)
(1)f(x,y)=
在点O(0,0)处；
( x 2 + y 2 = 0)
π (2) z = sin( xy ) cos ( xy )在点P0 (0, )处; 2
= 2 x( x 2 + 2 y ) x 1
例4 求 r = x + y + z 的偏导数. 解：把y和z都看作常量，对x求导, 得
r 1 = 2x = x 2 x 2 + y 2 + z 2 x x2 + y2 + z 2
x = r
2
2
2
由于所给函数关于自变量是对称的，所以
r = y
r = z
= [ f ( x0 , y )]'| y = y
L
M
0
固定 x = x0 得交线 :
L： z = f ( x, y) x = x0 z = f ( x0 , y ) 即 x = x0
由一元函数导数的几何意义：
z y
x= x 0 x= y 0
= [ f ( x 0 , y )]' = tan β
z = x y ln x. y
∴
x y 1 1 y = yx + x ln x y ln x
= xy + xy = 2x y
= 2z
例3 解
z = ( x 2 + 2 y ) x , ( y > 0) z = ( x + 2 y)
2 x
z z 求 ， x y
=e
ln( x 2 + 2 y ) x
=e
Δx 0
(Δx + 0) + 0 = lim Δx Δx → 0
2
2
0
0 = lim = lim 0 = 0 Δx → 0 Δx → 0 Δx
f (x,y)=
xy x2 + y2 0
( x 2 + y 2 ≠ 0)
在点O(0,0)处；
( x 2 + y 2 = 0)
f (0,0 + Δy ) f (0,0) f y (0,0) = lim Δy Δy → 0
(3) z = e
1 1 ( + ) x y
在点P0 (1,1)处.
(1) f(x,y)=
xy x2 + y2 0
( x 2 + y 2 ≠ 0)
在点O(0,0)处；
( x 2 + y 2 = 0)
解
根据偏导数的定义，有
f (0 + Δx,0) f (0,0) f x (0,0) = lim Δx Δx → 0
2
y=
2
=0
π (2) z = sin( xy ) cos ( xy )在点P0 (0, )处; 2
2
π π ' z 2 另解： x | x = 0 = [sin( x 2 ) cos ( x 2 )] |x =0 π
y= 2
= [cos = 1
πx π
2 2
2
2cos
πx
2
( sin
f ( x0 , y0 + Δy ) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) = lim Δy Δy → 0
(2)
注
f ( x0 + Δx, y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) = lim Δx Δx → 0
[ f ( x, y0 )] |' x = x =
0
由一元函数导数的几何意义：
z x
x= x 0 x= y 0
= [ f ( x , y 0 )]'
= tan α
x
( x0 , y0 )
y
α
. .
z 同理， y
x= x 0 y= y 0
=?
偏导数的几何意义
z = f ( x, y)
z y
x= x0 y= y 0
z Ty
0
Tx
曲面z = f (x,y)
x ln( x 2 + 2 y )
∴
z x ln( x 2 + 2 y ) 2 =e [ x ln( x + 2 y )]' x x
2 x] [1 ln( x + 2 y ) + x 2 x + 2y 2 + 2 y) 2x2 = e x ln( x [ln( x 2 + 2 y ) + ] x2 + 2 y
偏导数的几何意义
z = f ( x, y)
z x
x= x 0 y= y 0
复习一元函数导数
z
Tx
L
= [ f ( x , y0 )]'| x = x
曲面z = f (x,y)
0
M
平面 y =y0
固定 y =y0 得交线
z = f ( x , y０) z = f ( x, y) 即 L： y = y0 y = y0
0
f ( x0 , y0 + Δy ) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) = lim Δy Δy → 0
[ f ( x0 , y )] |' y = y =
0
如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点都有对x的偏 导数，那么这个偏导数仍是x、y的函数，称为z=f(x,y) 对x的偏导函数，记为
πx π
) ] 2 2 |x =0
π
0 =
π
2
' z 2 | x = 0 = [sin(0 y ) cos (0 y )] | π y= y π
y=
2
2
=
(1) ' |
y=
π
2
= 0
(3) z = e
解
1 1 ( + ) x y
在点P0 (1,1)处.
]' x = e
1 1 ( + ) x y
z = [e x
1 1 ( + ) x y
=e
1 1 ( + ) x y
1 1 [( + )]' x x y
1
x2
1 1 ( + ) x y
z = [e y
1 1 ( + ) x y
]' y = e
1 1 [( + )]' y x y
=e
1 1 ( + ) x y
1
y2
z ∴ | x = 1 = [e x y =1
1 1 ( + ) x y
1
x
] | x = 1 2
y =1
=1
z ∴ | x = 1 = [e y y =1
1 1 ( + ) x y
1
y2
] | x = 1
y =1
=1
需要注意的是：“一元函数在其可导点上一定连 续”这个结论，对于多元函数是不成立的.这是因为各 偏导数存在只能保证当P(x,y)沿着平行坐标轴的方向 趋近P0 (x0,y0)时,函数值f(x,y)趋近于f (x0 ,y0)，但不能 保证当P(x,y)以任意方式趋近P0(x0 ,y0)时，f(x,y)都趋 近于f (x0 ,y0). 反例 ： 例6 (1)
(1)
同样，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为
f ( x0 , y0 + Δy ) f ( x0 , y0 ) lim Δy Δy → 0
记作 即
z f |x = x , |x = x , z y|x = x 或 f y ( x0 ,y0 ) 0 0 0 y y
y= y0 y= y0 y= y0
x
y
( x0 , y0 )
α
.
平面 x=x0
.
β
二、高阶偏导数
一般说来，函数f(x,y)的偏导数 f ( x, y ) f ( x, y ) , zy = zx = x y 还是x、y的二元函数.如果这两个函数对自变量x和y 的偏导数也存在，则称这些偏导数为f(x ，z yy
存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的 偏导数，记作 f z |x = x ， |x = x ， z x| 或 f x ( x0 ,y0 ) x = x0 x y = y0 x y = y0
0 0 y = y0
即
f ( x0 + Δx, y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) = lim Δx Δx → 0
z z = ( ) 2 x x x 2 z z ( ) = yx x y
第二节
偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,
f ( x 0 + Δx , y 0 ) f ( x 0 , y 0 )
当y固定在y0而x在x0处有增量△x时，相应地函数有增量
如果极限
f ( x0 + Δx, y0 ) f ( x0 , y0 ) lim Δx Δx → 0
y y2 + x2 + z 2
z z 2 + y2 + x2
y = r z = r
例5 已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常量)， 求证： p V T = 1. V T p 证: