三升四年级数学奥数几何专题2、长方形与正方形解析
第十七讲 长方形和正方形2--四年级数学思维拓展 教师版
第17讲长方形和正方形2方形和正方形，从而用相关的公式进行计算。
这一讲将继续讨论一些更为复杂的图形的解题技巧。
例1 有一块长方形的土地，长是宽的2倍，中间有一座雕塑，雕塑的底面是一个正方形，周围是草坪(如右图),草坪的面积是多少平方米(单位：米)? 解 20×(20÷2)-1×1=20×10-1×1=200-1=199(平方米)答：草坪的面积是199平方米。
【思路点拨】草坪的面积就是长方形土地的面积减去正方形雕塑的底面积。
求长方形的面积要知道长和宽，现在已知长是20米，是宽的2倍，可以先求出宽，再求出长方形土地的面积。
像这样的图形的面积可以用减法，它们的面积差就是我们要求的空白部分的面积。
例2 如右图，是由6个相同的等腰直角三角形拼成的图形，求这个图形的面积(单位：分米)。
解 4×4÷4×6=16÷4×6=4×6=24(平方分米)答：这个图形的面积是24平方分米。
【思路点拨】 这个图形既不是长方形，也不是正方形，像这样不规则的图形，一般是把它分解成我们学过的图形来思考和计算。
中间的正方形是由4个相同的三角形组成的，所以每个三角形的面积就只要用正方形的面积除以4即可。
中间的正方形的面积是4×4=16(平方分米);那 么一个三角形的面积就是16÷4=4(平方分米)。
由于图形是由6个相同的三角形拼成的，所以可以用一个三角形的面积乘6求出来。
例3 如右图，已知大正方形的边长比小正方形多4厘米，大正方形的面积比小正方形多96平方厘米。
求：大正方形和小正方形的面积各是多少?解 (1)小正方形的边长：(96-4×4)÷2÷4=8O÷2÷4=10(厘米)(2)小正方形的面积是：10×10=100(平方厘米)(3)大正方形的面积是：(10+4)×(10+4)=14×14=196(平方厘米)或100+96=196(平方厘米)答：小正方形的面积是100平方厘米，大正方形的面积是196平方厘米。
小学奥数：长方体与正方体(二).专项练习及答案解析
对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．cba HGFEDCBA①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．长方体与正方体的体积立体图形示例体积公式相关要素长方体V abh = V Sh =三要素：a 、b 、h 二要素：S 、h正方体3V a =V Sh =一要素：a 二要素：S 、h不规则形体的体积常用方法： ①化虚为实法 ②切片转化法例题精讲长方体与正方体（二）③先补后去法④实际操作法⑤画图建模法【例 1】一个长方体的棱长之和是28厘米，而长方体的长宽高的长度各不相同，并且都是整厘米数，则长方体的体积等于立方厘米。
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯， 6年级，第16题，6分【解析】由题意知长、宽、高的和为2847÷=，又根据题意长、宽、高各不相同，且是整数，所以只能是1、2、4，所以体积为8立方厘米【答案】8【例 2】将几个大小相同的正方体木块放成一堆，从正面看到的视图是图（a），从左向右看到的视图是图（b），从上向下看到的视图是图（c），则这堆木块最多共有___________块。
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，8题【解析】对于图c来说，每个小方块都摞了2层，最多有6块。
【答案】6【例 3】一根长方体木料，体积是0.078立方米．已知这根木料长1.3米．宽为3分米，高该是多少分米?孙健同学把高错算为3分米．这样，这根木料的体积要比0.078立方米多多少?【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【关键词】小数报，决赛【解析】0.078(1.30.3)0.2÷⨯=(米)．0.2米=2分米．⨯⨯-=(立方米)．1.30.30.30.0780.039所以这根木料的高是2分米；算错后，这根木料的体积比0.078立方米多0.039立方米．【答案】0.039【例 4】如图，两个同样的铁环连在一起长28厘米，每个铁环长16厘米。
学而思奥数三年级讲义-《长方形与正方形》
排列. （2）你能分别求出五个长方形的面积吗？
【分析】（1）③<④<①<②<⑤ （2） 9cm2；12cm2；6cm2；8cm2；15cm2
例4
算一算： （1）一个长方形长 12 米，宽 8 米，如果它的长增加 2 米， 宽不变，这个长方形的面积增加多少平方米？ （2）一个长方形如果宽不变，长增加 8 米，面积增加 72
平方米；如果长不变，宽减少 4 米，面积减少 48 平方米，
这个长方形原来的面积是多少？
【分析】（1）增加部分的面积： 2 ×8 =16 （平方米）（2）
（2）5m²=（ ）dm²
3dm²=（ ）cm²
（3）7 平方米=（ ）平方分米=（ ）平方厘米
（4）（ ）m²=800dm²=（ ）cm²
（5）10 公顷=（ ）m²
（6） 6 平方千米=（ ）公顷=（ ）平方米
【分析】（1）200 厘米=20 分米=2 米
（2）5 m²=500 dm²
3dm²=300 cm²
（3）7 平方米=700 平方分米=70000 平方厘米 （4）8 m²=800 dm²=80000 cm ² （5）10 公顷=100000 m² （6）6 平方千米=600 公顷=6000000 平方米
练习
选用合适的度量单位填入空白处.
黑板面的面积约 3（
） 一间教室长约 8（
）
一幢楼高约 50（
6
根 据 公 式 可 知 ， 空 白 处 面 积 黄 绿 红
小学奥数讲义：长方体与正方体
小学奥数讲义：长方体与正方体长方体和正方体是几何学中常见的基本图形。
其中，正方体的棱长和等于棱长的12倍，长方体的棱长和等于长、宽、高三个边长的和的4倍。
此外，长方体和正方体的表面积都是其6个面积的总和，计算方法不同。
长方体的表面积等于长乘以宽加上长乘以高再加上宽乘以高的2倍，而正方体的表面积等于棱长的平方乘以6.在特殊情况下，如计算游泳池粉刷面积、饮料包装纸面积等，可以只计算部分面积或单个面积。
正方体的体积等于棱长的立方，而长方体的体积等于长、宽、高三个边长的乘积。
通用体积公式为底面积乘以高。
例题1：一个长方体的长、宽、高分别为12厘米、8厘米、6厘米。
如果从中切下一个最大的正方体，其体积应为64立方厘米。
如果将长方体切成若干个大小一样的正方体，最少能切成6块。
如果用若干个这样相同的长方体拼成一个更大的正方体，至少需要8个长方体。
例题2：一个长方体的长、宽、高分别为16厘米、6厘米、8厘米。
将其切成两个小长方体，这两个小长方体的表面积和的最大值为272平方厘米，最小值为208平方厘米。
例题3：一个长方体，如果长减少2厘米，就成为一个正方体，此时正方体的表面积为96平方厘米。
原来长方体的体积为320立方厘米。
例题4：一个长方体纸盒的长为8厘米，宽为长的一半，其棱长总和为20厘米，因此其高为4厘米。
例题5：一个底面长为25厘米、宽为20厘米、体积为160立方厘米的长方体，其两个侧面的面积分别为20厘米和32厘米。
求其底面的面积，即阴影部分的面积。
答案为128平方厘米。
例题6：一个长方体，底面长为25厘米，宽为20厘米，盛有水。
当一个正方体木块放入水中时，水面升高了1厘米。
因此正方体木块的棱长为5厘米。
例题7：一个底面边长为8厘米、高为16厘米的长方体中，装有水和一个球形铁块。
放入铁块后，水面上升了2厘米，取出铁块后水面下降了5厘米。
求球形铁块的体积。
答案为约33.51立方厘米。
例题8：一个棱长为5的正方体，将其表面涂成红色，切成棱长为1的小正方体后，其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体分别有16、24、20块。
小学奥数 几何计数(二) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．教学目标知识要点7-8-2.几何计数（二）例题精讲模块二、复杂的几何计数【例1】如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形．【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第4题【解析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到94114++=个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到4个正方形，如下图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到144220++=个正方形．⑴⑵⑶<考点> 图形计数【答案】20个【巩固】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．⨯的正方形：1个；⨯的正方形：4个；33⨯的正方形：9个；2211以11⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．故可以组成9414220++++=(个)正方形．【巩固】下图是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。
人教版小学四年级数学课件长方形和正方形的认识
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使用直尺和铅笔绘制直线
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检查是否符合要求，如有需要， 进行修改
线条要直：使用直尺或三角板等工具确保线条的平直 比例要准确：按照长方形和正方形的比例进行绘制 颜色要分明：使用不同颜色或线型区分长方形和正方形 细节要突出：注意画出长方形和正方形的角和边，突出其特征
建筑学：长方形和正方形是建筑 设计中最基本的形状之一，用于 构建房屋、桥梁等建筑物
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长方形和正方形都有直边
长方形和正方形都有四个直角
直角都是90度
正方形所有角相等，都是直角
长方形相对两个角相等，都是 直角
长方形有两条对称轴，分别是经过对边中点的垂直线和经过对角顶点的对角线。 正方形有四条对称轴，分别是两条经过对边中点的垂直线和两条经过对角顶点的对角线。 长方形和正方形都是中心对称图形，它们的中心点是两条对称轴的交点。 长方形和正方形都是轴对称图形，它们的对称轴是图形的中垂线。
家居用品：家具、 门窗等家居用品 也常常采用长方 形和正方形的形 状
包装设计：商品 包装盒、礼盒等 常常采用长方形 和正方形的形状， 便于携带和展示
电子设备：手机、 电视、电脑等电 子设备的屏幕和 外壳也常常采用 长方形和正方形 的形状
长方形对边相等
长方形和正方形都有四条边
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正方形四边相等
思考长方形和正方 形在实际生活中的 应用，如门窗、桌 子等物品的设计。
探讨长方形和正方 形在建筑、装修等 领域的应用，如何 利用它们的特性来 设计美观实用的空 间。
思考长方形和正方 形在计算机图形学 中的应用，如屏幕 分辨率、图像处理 等。
探讨长方形和正方 形在数学中的重要 地位，如何利用它 们的性质解决复杂 的数学问题。
小学奥数教程：几何计数(二)全国通用(含答案)
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块二、复杂的几何计数教学目标例题精讲知识要点7-8-2.几何计数（二）【例1】如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形．【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第4题【解析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到94114++=个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到4个正方形，如下图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到144220++=个正方形．⑴⑵⑶<考点> 图形计数【答案】20个【巩固】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．⨯的正方形：1个；⨯的正方形：4个；33⨯的正方形：9个；2211以11⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．故可以组成9414220++++=(个)正方形．【巩固】下图是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。
长方形正方形总结
长方形正方形总结长方形和正方形是两种常见的平面图形，它们在几何学中有着重要的地位。
本文将对长方形和正方形的定义、性质、计算方法、应用以及其他相关知识进行总结，总结长度为1000字。
首先，长方形是一种有四个直角的四边形，它的四条边的长度可以分为两对相等的边。
长方形是一种特殊的平行四边形，两对对边分别平行。
另外，长方形的对角线长度相等。
长方形的特殊情况是正方形，也是一种长方形，它的四条边的长度相等，每个角都是直角。
正方形也可以看作是一种特殊的长方形，具有更多的对称性。
长方形和正方形有许多相似的性质。
首先，长方形和正方形的面积可以通过边长计算得出。
长方形的面积是宽度乘以长度，正方形的面积是边长的平方。
其次，长方形和正方形的周长也可以通过边长计算得出。
长方形的周长是宽度乘以2加上长度乘以2，正方形的周长是边长乘以4。
另外，长方形和正方形的对角线长度也可以用边长求得。
长方形的对角线长度可以通过宽度和长度的平方和开平方得出，正方形的对角线长度是边长的平方根乘以根号2。
此外，长方形和正方形还有其他特殊的性质，比如相邻边是垂直的，对角线相互垂直等等。
长方形和正方形在几何学中有着广泛的应用。
首先，它们是建筑设计中常见的平面形状，在房屋和建筑物的设计和规划中得到广泛应用。
其次，长方形和正方形在地理学中也有重要的应用，比如地图的绘制和测量中，将地球表面划分为方形网格可以简化计算和测量。
此外，长方形和正方形还有许多其他应用，比如画框设计、布局规划、图形设计等等。
除了上述的基本定义和应用，长方形和正方形还有一些有趣的特征和定理。
例如，正方形具有最大的面积和最小的周长，这是由于正方形的边长相等。
另外，长方形的对角线还满足勾股定理，即对角线的平方等于宽度的平方加上长度的平方。
这些特征和定理都是几何学中的重要知识，对于解决实际问题和理解几何形状的属性都具有重要意义。
综上所述，长方形和正方形是几何学中常见的平面图形，它们具有许多重要的性质和应用。