第三章 聚类分析 多元统计分析课件
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《多元统计分析》课件
采用L1正则化，通过惩罚项来选择最重要 的自变量，实现特征选择和模型简化。
比较
应用场景
岭回归适用于所有自变量都对因变量有影 响的情况，而套索回归更适用于特征选择 和模型压缩。
适用于数据集较大、自变量之间存在多重 共线性的情况，如生物信息学数据分析、 市场细分等。
主成分回归与偏最小二乘回归
主成分回归
适用于自变量之间存在多重 共线性的情况，同时要求高 预测精度，如金融市场预测 、化学计量学等。
06 多元数据的典型相关分析
典型相关分析的基本思想
01
典型相关分析是一种研究多个 随机变量之间相关性的多元统 计分析方法。
02
它通过寻找一对或多个线性组 合，使得这些线性组合之间的 相关性达到最大或最小，从而 揭示多个变量之间的关系。
原理
基于最小二乘法原理，通过最小化预 测值与实际值之间的平方误差来估计 回归系数。
应用场景
适用于因变量与自变量之间存在线性 关系的情况，如预测房价、股票价格 等。
注意事项
需对自变量进行筛选和多重共线性诊 断，以避免模型的不稳定性和误差。
岭回归与套索回归
岭回归
套索回归
是一种用于解决多重共线性的回归方法， 通过引入一个小的正则化项来稳定系数估 计。
层次聚类
01
步骤
02
1. 将每个数据点视为一个独立的集群。
2. 计算任意两个集群之间的距离或相似度。
03
层次聚类
01 3. 将最相近的两个集群合并为一个新的集群。 02 4. 重复步骤2和3，直到满足终止条件（如达到预
设的集群数量或最大距离阈值）。
03 应用：适用于探索性数据分析，帮助研究者了解 数据的分布和结构。
多元06：聚类分析
两类间样品的平均距离
1 D( p, q) dij LK iGp jGq
•
•
•
• • •
4、组内平均连接法（Within-group Linkage)
两类所有样品之间的距离的平均数
1 x11• D( p, q) dij m i , jGp ,Gq x12•
x21• x22•
PG R 1 T
2
T： 总离差平方和 PG：组内离差平方和 伪F统计量 用于评价聚为G类的效果 伪t2统计量
(T PG ) (G 1) F PG (n G )
2
BKL t (WK WL ) ( N K N L 2)
数学建模课件
碎石图
主讲人：孙云龙
合并类的距离
例：小康指数
数学建模课件
主讲人：孙云龙
数学建模课件
主讲人：孙云龙
END
SUN
i
Rj
R j max( xij ) min( xij )
i i
数学建模课件
主讲人：孙云龙
至此
构成样本点间的距离表
Gq
Gp
G1
0
G2
d12
0 ┇
…
…
Gn
d1n
d2n
┇
G1 G2
┇
d 21
┇
Gn
d n1
dn2
…
0
数学建模课件
主讲人：孙云龙
§3.3 类和类的特征
一、类定义
G
：
dij T
阈值
k 1
k 1 p
(x
p
ik
x jk )
2
2
多元统计分析第三章课件
( X 0 ) t n S
2 n ( X ) 2 1 t2 n ( X ) ( S ) ( X ) 2 S 对于多元变量而言，可以将 t 分布推广为下面将要介绍的 2 Hotelling T 分布。
定义
设 X ~ N p (μ , Σ ， ) S ~ Wp ( n, Σ 且 ) X 与S
2 -1
相互独立，n p ， 则称统计量 T nX S X 的分布 为非中心 HotellingT2 分布，记为 T 2 ~ T 2 ( p, n, μ) 。 当 μ 0 时，称 T 服从（中心） Hotelling T 分布。
2 2
记为 T 2 ( p, n) 。 由于这一统计量的分布首先由 Harold Hotelling 提出 来的，故称为 Hotelling T 分布，值得指出的是，我 国著名统计学家许宝禄先生在 1938 年用不同方法也
n ai μ ai X T aiSai
n 1
当k很小时，联合T2置信区间 aix T aiSai n ai μ ai X T aiSai
n , i 1, 2,, k
的置信度一般会明显地大于1−α，因而上述区间会显得过宽， 即精确度明显偏低。这时，考虑采用庞弗伦尼（Bonferroni） 联合置信区间（p177）：
第三章 多元正态总体的统计推断
§3.1 引言 §3.2 单个总体均值的推断
§3.3 单个总体均值分量间结构关系的检验
§3.4 两个总体均值的比较推断 §3.5 两个总体均值分量间结构关系的检验 §3.6 多个总体均值的比较检验（多元方差分析） §3.7 协方差阵的检验
§3.1 引言
在单一变量的统计分析中，已经给出了正态总体N （ ， 2） 的均值和方差2的各种检验。对于多变量
多元统计分析-聚类分析
多元统计分析-聚类分析聚类分析是⼀个迭代的过程对于n个p维数据，我们最开始将他们分为n组每次迭代将距离最近的两组合并成⼀组若给出需要聚成k类，则迭代到k类是，停⽌计算初始情况的距离矩阵⼀般⽤马⽒距离或欧式距离个⼈认为考试只考 1,2⽐较有⽤的⽅法是3,4,5,8最喜欢第8种距离的计算 欧式距离 距离的⼆范数 马⽒距离 对于X1, X2均属于N(u, Σ) X1,X2的距离为 (X1 - X2) / sqrt(Σ)那么不同的聚类⽅法其实也就是不同的计算类间距离的⽅法1.最短距离法 计算两组间距离时，将两组间距离最短的元素作为两组间的距离2.最长距离法 将两组间最长的距离作为两组间的距离3.中间距离法 将G p,G q合并成为G r 计算G r与G k的距离时使⽤如下公式 D2kr = 1/2 * D2kp + 1/2 * D2kq + β * D2pq β是提前给定的超参数-0.25<=β<=04.重⼼法 每⼀组都可以看成⼀组多为空间中点的集合，计算组间距离时，可使⽤这两组点的重⼼之间的距离作为类间距离 若使⽤的是欧⽒距离 那么有如下计算公式 D2kr = n p/n r * D2kp + n q/n r * D2kq - (n p*n q / n r*n r ) * D2pq5.类平均法 两组之间的距离 = 组间每两个样本距离平⽅的平均值开根号 表达式为D2kr = n p/n r * D2kp + n q/n r * D2kq6.可变类平均法 可以反映合并的两类的距离的影响 表达式为D2kr = n p/n r *(1- β) * D2kp + n q/n r *(1- β) * D2kq + β*D2pq 0<=β<17.可变法 D2kr = (1- β)/2 * (D2kp + D2kq) + β*D2pq8.离差平⽅和法 这个⽅法⽐较实⽤ 就是计算两类距离的话，就计算，如果将他们两类合在⼀起之后的离差平⽅和 因为若两类本⾝就是⼀类，和本⾝不是⼀类，他们的离差平⽅和相差较⼤ 离差平⽅和:类中每个元素与这⼀类中的均值距离的平⽅之和 若统⼀成之前的公式就是 D2kr = (n k + n p)/(n r + n k) * D2kp + (n k + n q)/(n r + n k) -(n k)/(n r + n k) * * D2pq⼀些性质 除了中间距离法之外，其他的所有聚类⽅法都具有单调性 单调性就是指每次聚类搞掉的距离递增 空间的浓缩和扩张 D(A)>=D(B) 表⽰A矩阵中的每个元素都不⼩于B D(短) <= D(平) <= D(长) D(短，平) <= 0 D(长，平) >= 0 中间距离法⽆法判断。
应用多元统计分析 聚类分析 PPT
p
X p X p )
nq nr
( X k X k
2 X k X q
X q X q )
n p nq nr
(X
p X
p
2 X p X q
X q X q )
np nr
Dk2p
nq nr
Dk2q
n p nq nr2
Dp2q
（5.19）
【例5、2】针对例5、1的数据,试用重心法将它们聚类。 (1)样品采纳欧氏距离,计算样品间的平方距离阵D2(0),见表5、4
dij }
min{Dkp , Dkq}
(5、12)
最短距离法进行聚类分析的步骤如下:
(1)定义样品之间距离,计算样品的两两距离,得一距离
阵记为D(0) ,开始每个样品自成一类,显然这时Dij = dij。 (2)找出距离最小元素,设为Dpq,则将Gp和Gq合并成一个 新类,记为Gr,即Gr = ｛Gp,Gq｝。 (3)按(5、12)计算新类与其它类的距离。
1、明考夫斯基距离
p
dij (q) (
X ik X jk )q 1/ q
k 1
(5、1)
明考夫斯基距离简称明氏距离,按的取值不同又可分成:
欧氏距离是常用的距离,大伙儿都比较熟悉,然而前面差不多 提到,在解决多元数据的分析问题时,欧氏距离就显示出了它
的不足之处。一是它没有考虑到总体的变异对“距离”远近 的影响,显然一个变异程度大的总体估计与更多样品近些,既 使它们的欧氏距离不一定最近;另外,欧氏距离受变量的量纲 影响,这对多元数据的处理是不利的。为了克服这方面的不 足,可用“马氏距离”的概念。
G1
G2
G3
G4
G1
0
G2
聚类分析部分 PPT课件
距离
设xij 为第i个样品的第j个指标，数据矩阵表如下：
在上表中，每个样品有p个变量，故 p 每个样品都可以看成是 R 中的一个点，n p 个样品就是 R 中的n个点。在 R p中需定义 某种距离，将第i个样品与第j个样品之间 的距离记为dij ,在聚类过程冲，相距较近的 点倾向于归为一类，相距较远的点应归属 不同的类。
聚类时，比较相似的变量倾向于 归为一类，不太相似的变量归属不同 的类。
相似系数性质
变量 xi 与 x j 的相似系数用 cij 来表示，它一般应满 足如下三个条件： （1）cij 1 ，当且仅当 xi ax j b, a( 0)和b为常 数； （2） cij 1，对一切i，j； （3） cij c ji ，对一切i，j。
正因为如此，判别分析和聚类 分析往往联合起来使用，例如判别 分析是要求先知道各类总体情况才 能判断新样品的归类，当总体分类 不清楚时，可先用聚类分析对原来 的一批样品进行分类，然后再用判 别分析建立判别式以对新样品进行 判别。
聚类分析与判别分析、主成分 分析、回归分析等方法联合起来使 用，往往效果更好。
x1 y1
s11
2
x2 y2 s22
2
x
p
yp
2
1 1 所加的权是 k1 , k2 , s11 s22
1 , k p ，即用样本方差 s pp
s pp
除相应坐标。当取 y1 y2 y p 0 时，就是点P 到原点O的距离。若 s11 s22 s pp 时，为欧氏距 离。
距离的性质
距离dij 一般应满足如下四个条件： （1） dij 0，对一切i，j； dij 0，当且仅当第i个样品与第j个样品的 （2） 各变量值都相同； dij d ji ，对一切i，j； （3） dij dik dkj ，对一切i，j，k。 （4）
多元统计分析第三章聚类分析
2.起源
起源于分类学，考古分类学中，人们主 要依靠专业知识和经验来实现分类，但 随着科学的发展，分工的细化，人类认 识的不断加深，就需要定性和定量分析 结合，于是数学工具逐渐被引进到分类 学当中，形成了数值分类学。再后来随 着多元分析析的引进，聚类分析又逐渐 从数值分析中分离出来从而形成一个相 对独立的分支。
变量聚类在统计学中又称为R型聚类。反映事 物特征的变量有很多，我们往往根据所研究的 问题选择部分变量对事物的某一方面进行研究
4.聚类分析内容：
系统聚类法， 序样品聚类法， 动态聚类法， 模糊聚类法， 凸轮聚类法， 聚类预报法等。
本章主要介绍常用的系统聚类法
§3.2相似性度量
一组复杂数据产生一个相当简单的类结构，必 然要求进行“相关性”或“相似性”度量。
1 至均值 1
解： 由假设可算得
1 1 1 0.9
0.9 0.9 1
从而有
dA2u (M )
(1,1)
11 1
0.2 0.19
dB2u (M )
(1, 1)
11 1
3.8 0.19
如果用欧氏距离，则有两者相等，而按马氏距离 两者相差19倍之多。由前面讨论，我们知道本例 的分布密度是
f(y 1 ,y 2 ) 21 0 .1 9 e x p0 .1 3 8 y 1 2 1 .8 y 1 y 2 y 2 2
第三章 聚类分析
§3.1聚类思想 §3.2 相似性度量 §3.3类和类的特征 §3.4系统聚类法
内容和要求：
熟练掌握聚类分析的基本分析原理 熟练掌握分析手段和技能 系统聚类法为本章重要内容
§3.1聚类分析的思想
聚类分析是应用多元统计分析原理研究分类问 题的一种统计方法，尽管它理论上还不是很完 善，但发展很快，已广泛运用到作物品种分类， 土壤分类，经济分析，地质勘测，天气预报等 各个领域。 一、定义 聚类分析定义：又称群分析，是研究分类问题 的一种方法。类指的是相似元素的集合。
多元统计分析第三章聚类分析
类平均法
类平均法的特点是定义两类之间的距 离平方为这两类元素两两之间距离的 平方的平均。其聚类方法和过程与前 两种方法相同。
离差平方和法
该方法的基本思想来自方差分析。即如 果分类正确，则同类样品的离差平方和 应当较小，而类间的离差平方和应当较 大。具体做法是：先令每个样品各自成 一类，然后每次缩小一类，计算所有可 能合并结果带来的离差平方和S，选择使 S增加最小的两类首先合并，依次类推。
设空间中的两点
P (x 1 ,x 2 , ,x p )',Q (y 1 ,y 2 , ,y p )'
s11,s22, ,spp
表示ｐ个变量ｎ次观测的样本方差，则定义 Ｐ到Ｑ 的统计距离为：
d (P ,Q ) (x 1y 1 )2 s 1 1
(x 2y 2 )2 s2 2
(x py p )2 sp p
所有样品之间的样品相关系数矩阵记为：
Cij (2) ，定义为：
r11 r12
r1 p
Cij (2) (rij )
r21 r22
r2 p
rn1 rn2
rnp
Q型聚类 R型聚类
计算公式p ：
xi x j
cosij
1 p
p
xi2
x
2 j
1 1 n
x i x j
cosij
1 n
n
j 个指标
1 ,2 , p )为第
i
一、相似系数：
这是大家最熟悉的统计量，它是将数据标准化后的夹
角的余弦。
常用 rij 表示。
p
(xik X i )(x jk X j )
rij
k1 p
p
1
( (xik X i )2 (x jk X j )2 ) 2
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• 当对样品进行聚类时，“靠近”往往由某种距离来 刻画。另一方面，当对指标聚类时，根据相关系数 或某种关联性度量来聚类。
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§3.2 相似性度量
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§3.1 聚类分析的思想
• 例3.1中的8个指标，前6个是定量的，后2个是定性 的。如果分得更细一些，指标的类型有三种尺度
• 间隔尺度。变量用连续的量来表示。 • 有序尺度。指标用有序的等级来表示，有次序关系
，但没有数量表示。 • 名义尺度。指标用一些类来表示，这些类之间没有
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§3.2 相似性度量
• 从一组复杂数据产生一个相当简单的类结构，必然 要求进行“相关性”或“相似性“度量。在相似性 度量的选择中，常常包含许多主观上的考虑，但是 最重要的考虑是指标（包括离散的、连续的和二态 的）性质或观测的尺度（名义的、次序的、间隔的 和比率的）以及有关的知识。
• 在一些社会、经济问题中，我们面临的往往是比较 复杂的研究对象，如果能把相似的样品（或指标） 归成类，处理起来就大为方便，聚类分析的目的就 是把相似的研究对象归成类。
• 【例3.1】若我们需要将下列11户城镇居民按户主
个人的收入进行分类，对每户作了如下的统计，结
果列于表3.1。在表中，“标准工资收入” 、“职
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§3.1 聚类分析的思想
• 为了克服定性分类时存在的不足，数学这个有用 的工具逐渐被引进到分类学中，形成数值分类学。 后来随着多元分析的引进，聚类分析可以用来对 案例进行分类，也可以用来对变量进行分类。
• 对样品的分类常称为Q型聚类分析，对变量的分类 常称为R型聚类分析。
• 第一位重要的问题是“什么是类”？粗糙地讲 ，相似样品（或指标）的集合称作类。由于经 济问题的复杂性，欲给类下一个严格的定义是 困难的，在§3.2中，我们将给类一些待探讨的 定义。
• 聚类分析给人们提供了丰富多采的方法进行分 类，这些方法大致可归纳为：(1) 系统聚类法 。(2)模糊聚类法。(3) K-均值法。(4) 有序样 品的聚类。(5) 分解法。(6) 加入法。
工奖金” 、“职工津贴” 、“性别” 、“就业
身份”等称为指标，每户称为样品。若对户主进行
分类，还可以采用其他指标，如“子女个数” 、
“政治面貌” 等，指标如何选择取决于聚类的目
的。 2020/10/10
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§3.1 聚类分析的思想
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等级关系也没有数量关系。 • 不同类型的指标，在聚类分析中，处理的方式是大
不一样的。总的来说，提供给间隔尺度的指标的方 法较多，对另两种尺度的变量处理的方法不多。
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§3.1 聚类分析的思想
• 聚类分析根据实际的需要可能有两个方向，一 是对样品（如例3.1中的户主），一是对指标聚 类。
• §3.8 社会经济案例研究
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第三章 聚类分析
• 人们往往会碰到通过划分同种属性的对象很好地解决 问题的情形，而不论这些对象是个体、公司、产品甚 至行为。如果没有一种客观的方法，基于在总体内区 分群体的战略选择，比如市场细分将不可能，其他领 域也会遇到类似的问题，研究者都在基于一个多维剖 面的观测中寻找某种“自然”结构。
• 与多元分析的其他方法相比，聚类分析的方法是 很粗糙的，理论上还不完善，但由于它能解决许 多实际问题，很受人们的重视，和回归分析、判 别分析一起被称为多元分析的三大方法。
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§3.1 聚类分析的思想
• 3.1.2 聚类的目的
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§3.1 聚类分析的思想
• 在经济、社会、人口研究中，存在着大量 分类研究、构造分类模式的问题。过去人 们主要靠经验和专业知识，作定性分类处 理，致使许多分类带有主观性和任意性， 不能很好的提示客观事物内在的本质差别 和联系，特别是对于多因素、多指标的分 类问题，定性分类更难以实现准确分类。
§3.2 相似性度量
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§3.2 相似性度量
（1）当各指标的测量值相差悬殊时，先对 数据标准化，然后用标准化后的数据计 算距离，即兰氏距离。
多元统计分析
何晓群
中国人民大学出版社
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第三章 聚类分析
• §3.1 聚类分析的思想
• §3.2 相似性度量
• §3.3 类和类的特征
• §3.4 系统聚类法
• §3.5 模糊聚类分析
• §3.6 K-均值聚类和有序样本聚类
• §3.7 计算步骤与上机实现
• 为此最常用的技巧是聚类分析，聚类分析将个体或对 象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他 类的对象的相似性更强。目的在于使类间对象的同质 性最大化和类与类间对象的异质性最大化。本章将介 绍聚类分析的性质和目的，并且引导研究者使用各种 聚类分析方法。
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（2）一种改进的距离就是在前面曾讨论过 的马氏距离，它对一切线性变换是不变 的，不受指标量纲的影响。它对指标的 相关性也作了考虑，我们仅用一个例子 来说明。
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• 例3.1中的8个指标，前6个是定量的，后2个是定性 的。如果分得更细一些，指标的类型有三种尺度
• 间隔尺度。变量用连续的量来表示。 • 有序尺度。指标用有序的等级来表示，有次序关系
，但没有数量表示。 • 名义尺度。指标用一些类来表示，这些类之间没有
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• 从一组复杂数据产生一个相当简单的类结构，必然 要求进行“相关性”或“相似性“度量。在相似性 度量的选择中，常常包含许多主观上的考虑，但是 最重要的考虑是指标（包括离散的、连续的和二态 的）性质或观测的尺度（名义的、次序的、间隔的 和比率的）以及有关的知识。
• 在一些社会、经济问题中，我们面临的往往是比较 复杂的研究对象，如果能把相似的样品（或指标） 归成类，处理起来就大为方便，聚类分析的目的就 是把相似的研究对象归成类。
• 【例3.1】若我们需要将下列11户城镇居民按户主
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果列于表3.1。在表中，“标准工资收入” 、“职
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• 为了克服定性分类时存在的不足，数学这个有用 的工具逐渐被引进到分类学中，形成数值分类学。 后来随着多元分析的引进，聚类分析可以用来对 案例进行分类，也可以用来对变量进行分类。
• 对样品的分类常称为Q型聚类分析，对变量的分类 常称为R型聚类分析。
• 第一位重要的问题是“什么是类”？粗糙地讲 ，相似样品（或指标）的集合称作类。由于经 济问题的复杂性，欲给类下一个严格的定义是 困难的，在§3.2中，我们将给类一些待探讨的 定义。
• 聚类分析给人们提供了丰富多采的方法进行分 类，这些方法大致可归纳为：(1) 系统聚类法 。(2)模糊聚类法。(3) K-均值法。(4) 有序样 品的聚类。(5) 分解法。(6) 加入法。
工奖金” 、“职工津贴” 、“性别” 、“就业
身份”等称为指标，每户称为样品。若对户主进行
分类，还可以采用其他指标，如“子女个数” 、
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• 人们往往会碰到通过划分同种属性的对象很好地解决 问题的情形，而不论这些对象是个体、公司、产品甚 至行为。如果没有一种客观的方法，基于在总体内区 分群体的战略选择，比如市场细分将不可能，其他领 域也会遇到类似的问题，研究者都在基于一个多维剖 面的观测中寻找某种“自然”结构。
• 与多元分析的其他方法相比，聚类分析的方法是 很粗糙的，理论上还不完善，但由于它能解决许 多实际问题，很受人们的重视，和回归分析、判 别分析一起被称为多元分析的三大方法。
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• 3.1.2 聚类的目的
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• 在经济、社会、人口研究中，存在着大量 分类研究、构造分类模式的问题。过去人 们主要靠经验和专业知识，作定性分类处 理，致使许多分类带有主观性和任意性， 不能很好的提示客观事物内在的本质差别 和联系，特别是对于多因素、多指标的分 类问题，定性分类更难以实现准确分类。
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§3.2 相似性度量
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§3.2 相似性度量
（1）当各指标的测量值相差悬殊时，先对 数据标准化，然后用标准化后的数据计 算距离，即兰氏距离。
多元统计分析
何晓群
中国人民大学出版社
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第三章 聚类分析
• §3.1 聚类分析的思想
• §3.2 相似性度量
• §3.3 类和类的特征
• §3.4 系统聚类法
• §3.5 模糊聚类分析
• §3.6 K-均值聚类和有序样本聚类
• §3.7 计算步骤与上机实现
• 为此最常用的技巧是聚类分析，聚类分析将个体或对 象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他 类的对象的相似性更强。目的在于使类间对象的同质 性最大化和类与类间对象的异质性最大化。本章将介 绍聚类分析的性质和目的，并且引导研究者使用各种 聚类分析方法。
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（2）一种改进的距离就是在前面曾讨论过 的马氏距离，它对一切线性变换是不变 的，不受指标量纲的影响。它对指标的 相关性也作了考虑，我们仅用一个例子 来说明。
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