两条直线的位置关系(一)
两条直线的位置关系(1)
父亲上学时，按照当时来讲，是有钱家的孩子才能上得了学的，大冬天的能提着暖手的火炉子上学，相当得气派，穿着得自然要好点。父亲的婆婆赵氏很支持我父亲的学业，因此，父亲能顺利地从 陕西泾干中学高中毕业。听父亲讲过，家里人把一头毛驴卖掉了供我父亲上学。父亲的勤奋也证明了这头毛驴卖掉是正确的。在我爷爷的八个孩子当中，父亲排行老二，也就只有父亲一个人跳出了农门， 到了外面做事，当了国家干部。也有人说，父亲是赵氏一手养大看大的娃娃，性格和脾气很像赵氏，而赵氏出自泾阳县里的一个大家族。在历史上，从赵氏的娘家大户焦家的确走出了几位泾阳名人， 《泾阳县志》2001年版上都有记载。
父亲的家境是一个殷实的家庭，有着好地百亩，有着好多长工，比如叫什么王相、什么张相。回想当年定成分时，我们家被什么的小组划定成为了富农。而事实上，有人也说了是我爷爷得罪了村里 的人，我们家顶多是一个中农。父亲的父亲，也就是我爷爷是过继给了同村的另一户杨家。因此，我爷爷的名字从原本的德理改成了长德，在家排行老四。我祖爷，按照血统上讲的是应该是杨居耀，过 继给了另一户杨家，我祖爷名字改叫成了杨天佑，有着一大家子的人，还有要经营的生意，听我父亲讲是在甘肃张掖一带。杨天佑有三个女儿，没有儿子，我爷爷到了杨天佑家，延续了香火。而杨天佑 家里的生意都是由我父亲的婆婆赵氏，也就是杨天佑的内人来经营着的。电游网 Leabharlann
人教版高中数学必修一 两条直线的位置关系(1)-课件
x
2
y
5
0，
可得 x 3, y 1.
因此 l1与 l2相交,而且交点的坐标为(-3,-1).
例题2.已知直线 l 过点(1，-4)且与直线2x+3y+5=0平行， 求直线 l 的方程. 解：设直线 l 的方程为2x+3y+C=0.由于 l 过点(1,-4),
因此 2 1+3（-4）+C=0
解得C=10. 因此直线 l 的方程为2x+3y+10=0.
北京市中小学空中课堂
两条直线的位置关系（1）
高二年级 数学
主讲人 李娜 北京市第八中学
判断两条直线的位置关系
若两条直线 l1 : y=k1x b1,l2 : y k2 x b2
y l2
y l2
b2
l1 b2
O
x
x
O
b1
b1
l1
k1 k2
bk11
=k2 b2
y l2 (l1)
b2(b1 )
（1）l1 : x y 1 0,l2 : 2x 2 y 1 0
1
另解：两条直线的一般式方程满足：2
=
1 2
1 1
所以两直线平行.
例题1.判断下列各对直线的位置关系，如果相交， 求出交点坐标：
（2）l1 : x 2 y 1 0,l2 : x 2 y 5 0
解方程组 x 2 y 1 0，
课堂小结
1.通过斜截式方程判断两条直线的位置关系； 2.通过一般式方程判断两条直线的位置关系； 3.求两条直线的交点坐标.
人教社作B版业课本
P91练习A第1、2、3题；
谢谢
在 v1 与 v2 共线时，存在实常数 ，使得 v1 v2 因为 v1 与 v2 都不是零向量，所以 0，且
第讲两直线的位置关系
从而得两条直线的交点为(9，－4)， 又当 x＝9，y＝－4 时，有 9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5， 即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 上， 故直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 都通过定点(9，－4)．
证法二：∵(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5， ∴m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0. 则直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 都通过直线 x＋2y－1＝0 与 x＋y－5＝0 的交点． 由方程组xx＋ ＋2y－y－51＝＝00. ， 解得 x＝9，y＝－4，即过点(9，－4)． 所以直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 经过定点(9，－4)．
(1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1，l2重合． 解题思路：根据两直线的位置关系列式再求解．
解析：(1)由已知1×3≠m(m－2)， 即m2－2m－3≠0，解得m≠－1且m≠3. 故当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交． (2)当 1·(m－2)＋m·3＝0，即 m＝12时，l1⊥l2. (3)当m－1 2＝m3 且26m≠m3 ，即 m＝－1 时，l1∥l2.
等于( D )
A．2
B．1
C．0
D．－1
4．(2010年上海)圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线 3x＋4y＋4＝0 的距离 d＝__3__.
5．原点在直线l上的射影是P(－2,1)，则l的斜率为__2_. 解析：kOP＝－12＝－12，则 kl＝2.
考点1 两直线的平行与垂直关系
例1：已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0， 求m的值，使得：
证法三：∵(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5， ∴m(x＋2y－1)＝x＋y－5. 由 m 为任意实数，知关于 m 的一元一次方程 m(x＋2y－1)＝ x＋y－5 的解集为 R， ∴xx＋ ＋2y－y－51＝＝00. ， 解得 x＝9，y＝－4. 所以直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 都通过定点(9，－4)．
2.1两条直线的位置关系(1)
4、填空： ∵∠A+∠B=90º，∠B+∠C=90º ∴∠A ∠C( ) ∵∠1+∠3=90º，∠2+∠4=90º且∠1=∠2 ∴∠3 ∠4( ) 5、一个角的补角与这个角的余角的和比平角少 10°，求这个角．
课后反思：
七年级数学导学案第 17 课时 主备人：曹晓磊
审核人：
施晓海
审批人： 王文锦
课题：2.1 两条直线的位置关系(1) 学习目标： 在具体情景中了解对顶角、 补角、 余角， 知道对顶角相等、 等角的余角相等、等角的补角相等，并能解决一些实际问题。
一、自主预习：预习书 38-39 页
在同一平面内，两条直线的位置关系有 只有一个公共点的两条直线叫做 做 ， 在同一平面内， 平行线。 和 ， ，这个公共点叫 叫做
1
三、当堂检测：1、判断题：对的打“√”, 错的打“×” 。
① 一个角的余角一定是锐角。 （ ② 一个角的补角一定是钝角。 （ ） ） 互为余角。 （ ）
③ 若∠1+∠2+∠3=90°， 那么∠1、 ∠2、 ∠3 2、下列说法正确的是（ ）
A. 相 等 的 角 是 对 顶 角 C.两条直线相交所成的角是对顶角 角是对顶角
，
一个角 30
45
60
25
83
∠
O
O
O
∠
这个角 的余角 这个角 的补角 （2）性质 如图，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2 问题 1：哪些角互为补角？哪些角互为余角有什么关系？为什么？ 3 4 ∵∠1+∠3=90º，∠2+∠4=90º ∴∠3=90º-∠1，∠4=90º-∠2 A B N ∵∠1=∠2 ∴∠3=∠4 问题 3：∠AOC 与∠BOD 有什么关系？为什么？你能仿照问题 2 写出
两条直线的位置关系
命题点 2 点关于直线对称 例 3 如图，已知 A(4,0)，B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射
到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是( )
A．3 3
B．6
C．2 10
D．2 5
解析：直线 AB 的方程为 x＋y＝4，点 P(2,0)关于直线 AB 的对称点为 D(4,2)，关 于 y 轴的对称点为 C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝ 62＋22＝2 10.
6．点(x，y)关于直线 y＝x 的对称点为(y，x)，关于直线 y＝－x 的对称点为(－y， －x)．
7．点(x，y)关于直线 x＝a 的对称点为(2a－x，y)，关于直线 y＝b 的对称点为(x,2b －y)． 8．点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)． 9．点(x，y)关于直线 x＋y＝k 的对称点为(k－y，k－x)，关于直线 x－y＝k 的对称 点为(k＋y，x－k)．
答案：－2 2
题组三 易错排查 5．直线 2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 mx＋3y－2＝0 平行，则 m 等于( )
A．2
B．－3
C．2 或－3
D．－2 或－3
解析：直线 2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 mx＋3y－2＝0 平行，则有m2 ＝m＋3 1≠－42，
故 m＝2 或－3.故选 C.
【思维升华】 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般 情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意 x，y 的系数不能同时为 零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
两条直线的位置关系(1)
a2 1 a
a a
2 1
;
k2
a 1 2a 3
1 a 2a 3
又两直线垂直k1 k2 1
即 a 2 1 a 1a 1 a 1 2a 3
(2)当a 1时, (a 2)x (1 a) y 3 0的斜率不存在
而(a 1)x (2a 3) y 2 0的斜率为0
§7. 3. 2两条直线的位置关系（二）
复习回顾： 上节课，我们研究学习了两直线平行或垂直
的充要条件及其应用: 平行问题
1.当直线L1和直线L2的斜率都存在时
得到: l1 // l2 k1 k2且b1 b2
2.当直线L1和直线L2的斜率都不存在时
得到: l1 // l2 或两直线重合
3.当直线L1和直线L2的斜率有一条存在, 有一 条不存在时
两直线仍然垂直a 1也符合题意
综上所述, a 1.
解法二: A1 a 2, A2 a 1; B1 1 a, B2 2a 3 又 两直线垂直 (a 2) (a 1) (1 a) (2a 3) 0 整理得(a 1) (a 1) 0 a 1
令y 0, 得x轴上的截距为a m 3
由题意得( m) ( m) 7
4
33
解得m 4
所求直线的方程为3x 4 y 4 0
三、课堂练习： 1.已知两点 A（7， 4），B（ 5，6），求线段 AB的 垂直平分线的方程。
2.求经过点 A（2，1）且与直线 2x y 10 0垂直 的直线 l的方程。
一、先分析两直线平行的情况
分析：（1）当B1 0，B2 0时，把直线l1和l2化成
立体几何——两条直线之间的位置关系（一）
立体几何——两条直线之间的位置关系（一）一、知识导学1.平面的基本性质. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.2.空间两条直线的位置关系，包括：相交、平行、异面.3.公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.定理4：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.4.异面直线. 异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念；异面直线的公垂线及距离.5.反证法.会用反证法证明一些简单的问题.二、疑难知识导析1．异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点.强调任何一个平面.2．异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围.3．异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交，4．异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度.求两条异面直线的距离关键是找到它们的公垂线.5．异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法：如图，如果b,A且A,a,则a与b异面.三、经典例题导讲[例1]在正方体AB CD-ABCD中,O是底面AB CD的中心，M、N分别是棱D D、DC的中点，则直线OM( ).A .是AC和MN的公垂线.B .垂直于AC但不垂直于M N.C .垂直于MN，但不垂直于A C.D .与AC、MN都不垂直.错解:B.错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.正解：A.[例2]如图，已知在空间四边形ABC D中,E,F分别是AB,AD的中点，G,H分别是BC,CD上的点,且,求证:直线EG,FH,AC相交于一点.错解：证明：、F分别是AB,AD的中点,∥BD,EF=BD,又, GH∥BD,GH=BD,四边形EFG H是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,,F分别是AD.AC与FH交于一点.直线EG,FH,AC相交于一点正解：证明：、F分别是AB,AD的中点,∥BD,EF=BD, 又,GH∥BD,GH=BD,四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,平面ABC,FH平面ACD,T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,,直线EG,FH,AC相交于一点T.[例3]判断：若a,b是两条异面直线，P为空间任意一点，则过P点有且仅有一个平面与a,b 都平行.错解：认为正确.错因：空间想像力不够.忽略P在其中一条线上，或a与P确定平面恰好与b平行，此时就不能过P作平面与a平行.正解：假命题．[例4]如图，在四边形AB CD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线（在同一条直线上）．分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线．证明∵ AB//CD， AB，CD确定一个平面β．又∵AB ∩α＝E，ABβ， Eα，Eβ，即 E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴ E，F，G，H四点必定共线．点评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．[例5]如图，已知平面α，β，且α∩β＝．设梯形ABC D中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，共点（相交于一点）．分析：AB，CD是梯形A BCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在上，而是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形A B CD的两条腰．∴ AB，CD必定相交于一点，设 AB ∩CD＝M．又∵ ABα，CDβ，∴ M∈α，且M∈β．∴ M∈α∩β．又∵α∩β＝，∴ M∈，即 AB，CD，共点．点评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．[例6]已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交．在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内．证明 1?若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A ∴直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则 A，E，F，G∈α．∵ A，E∈α，A，E∈a，∴ aα．同理可证 bα，cα．∴ a，b，c，d在同一平面α内．2?当四条直线中任何三条都不共点时，如图．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．设直线c与a，b分别交于点H，K，则 H，K∈α．又∵ H，K∈c，∴ cα．同理可证 dα．∴ a，b，c，d四条直线在同一平面α内．点评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．[例7]在立方体AB CD－A1B1C1D1中，（1）找出平面AC的斜线BD1在平面A C内的射影；（2）直线BD1和直线AC的位置关系如何？（3）直线BD1和直线AC所成的角是多少度？解：(1)连结BD, 交AC于点O.(2)BD1和AC是异面直线.交DD1于点M，连结MA、MC，则∠MOA或其补角即为异面直线AC和BD1所(3)过O作BD1的平行线成的角.不难得到MA＝MC，而O为AC的中点，因此MO⊥AC，即∠MOA＝90°，∴异面直线BD1与AC所成的角为90°.[例8] 已知：在直角三角形ABC中，A为直角，PA⊥平面ABC，BD⊥PC，垂足为D，求证：AD⊥PC证明：∵PA ⊥平面ABC∴PA⊥BA又∵BA⊥AC ∴BA⊥平面PAC∴AD是BD在平面PAC内的射影又∵BD⊥PC∴AD⊥PC.（三垂线定理的逆定理）四、典型习题导练1．如图, P 是△ABC 所在平面外一点，连结PA 、PB 、PC 后，在包括AB 、BC 、CA 的六条棱所在的直线中，异面直线的对数为( )A.2对B.3对C.4对D.6对2. 两个正方形A B CD 、ABEF 所在的平面互相垂直，则异面直线A C 和BF 所成角的大小为 ．3. 在棱长为a 的正方体A B CD －A1B1C 1D 1中，体对角线D B 1与面对角线BC1所成的角是 ，它们的距离是 .4.长方体中，则所成角的大小为_ ___. 5.关于直角A O B 在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角. 其中正确判断的序号是_____.（注：把你认为正确的序号都填上）.6．在空间四边形A BCD中，AB⊥CD，AH⊥平面BCD，求证：BH⊥CD7．如图正四面体中，D、E是棱PC上不重合的两点；F、H分别是棱P A、PB上的点，且与P 点不重合．求证：EF和DH是异面直线．。
两条直线的位置关系
两条直线的位置关系 Ting Bao was revised on January 6, 20021两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.选择题：设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 充分性：当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行； 必要性：当直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行时有a ＝－2或1； 所以“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) B ．2－ 2 －1 ＋1解析 依题意得|a －2＋3|1＋1＝1，解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2，∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．－1或－7解析 l 1的斜率为－3＋m 4，在y 轴上的截距为5－3m 4，l 2的斜率为－25＋m ，在y 轴上的截距为85＋m .又∵l 1∥l 2，由－3＋m 4＝－25＋m得，m 2＋8m ＋7＝0，得m ＝－1或－7.m ＝－1时，5－3m 4＝85＋m ＝2，l 1与l 2重合，故不符合题意；m ＝－7时，5－3m 4＝132≠85＋m ＝－4，符合题意已知两条直线l 1：(a －1)·x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( ) A ．－1 B ．2 C ．0或－2 D ．－1或2解析 若a ＝0，两直线方程为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0.当a ≠0时，若两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或a ＝2，选D.已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a 3 B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0解析 若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0，若∠B ＝π2，根据垂直关系可知a 2·a 3－b a ＝－1，所以a (a 3－b )＝－1，即b －a 3－1a ＝0，以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件．已知过点A (m ＋1，0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4，3)，D (0，5)的直线平行，则m 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．1 解析 由题意得：k AB ＝m －0－5－m ＋1＝m －6－m ，k CD ＝5－30－－4＝12.由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以m－6－m ＝12，所以m ＝－2当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 解方程组⎩⎨⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0＜k ＜12，所以k k －1＜0，2k －1k －1＞0，故交点在第二象限．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2经过定点( )A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)解析 直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0 解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．填空题：已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为_____解析 由于直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，所以a (b －3)＝2b ，即2a ＋3b＝1(a ，b 均为正数)，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ·a b ＝25(当且仅当ba＝ab ，即a ＝b ＝5时取等号)若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________ 解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________. 解析 ∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即a2＝－1，解得a ＝－2.已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________解析由方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1， 又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k 2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为______ 解析 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________解析 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________解析 l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________解析由题意得⎩⎨⎧a ＋ba －1＝0，4a 2＋－b 2＝|b |a －12＋1.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝2经检验，两种情况均符合题意，∴a ＋b 的值为0或83已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝______；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为_______ 解析 若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan45°＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－－3|1＋1＝2 2.已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________解析 设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎪⎫－3313，413.解答题：已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，求α的值，使得： (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解 (1)当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2. 当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α，要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22. 所以α＝k π±π4，k ∈Z ，此时两直线的斜率相等．故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件，所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程．解 与l 1、l 2平行且距离相等的直线方程为x ＋2y －2＝0.设所求直线方程为(x ＋2y －2)＋λ(x －y －1)＝0，即(1＋λ)x ＋(2－λ)y －2－λ＝0.又直线过(－1,1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0，解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x ＋7y －5＝0.正方形的中心为点C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程 解 点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)，则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程 解 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)．∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l 的方程． 解 依题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0 (c ≠1)， 又因为直线过点(1，2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解 解方程组⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0，2)．因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解 依题意知：k AC ＝－2，A (5，1)，∴l AC 为2x ＋y －11＝0， 联立l AC 、l CM 得⎩⎨⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4，3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎨⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．解 (1)易知l 不可能为l 2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，∵点A (5,0)到l 的距离为3，∴|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝12，∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤PA (当l ⊥PA 时等号成立)．∴d max ＝PA ＝5－22＋0－12＝10.专项能力提升若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是 ( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．23 解析 因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0.欲求m 2＋n 2的最小值可先求m －02＋n －02的最小值，而m －02＋n －02表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小为2.所以m 2＋n 2的最小值为4.已知直线l ：y ＝12x －1，(1)求点P (3,4)关于l 对称的点Q ； (2)求l 关于点(2,3)对称的直线方程．解 (1)设Q (x 0，y 0)，由于PQ ⊥l ，且PQ 中点在l上，有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－4x 0－3＝－2，y 0＋42＝12·x 0＋32－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝295，y 0＝－85，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫295，－85.(2)在l 上任取一点，如M (0，－1)，则M 关于点(2,3)对称的点为N (4,7)．∵当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，∴所求直线过点N 且与l 平行， ∴所求方程为y －7＝12(x －4)，即为x －2y ＋10＝0.。
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k1= k2
b1≠b2
平行
例题分析 巩固新知 例1、判断下列各对直线是否平行，并说明理由： （1）l1：y=3x+2; l2:y=3x+5; （2）l1：y=2x+1; l2:y=3x; （3）l1：x=5; l2:x=8; 解(1)设两条直线的斜率分别是k1,k2,在y轴上的 截距分别是b1,b2，则k1=3, b1=2, k2=3，b2=5， ∵ k1=k2且b1≠b2，∴ l1∥l2． (2)设两条直线的斜率分别是k1,k2,在y轴上的 截距分别是b1,b2，则k1=2,k2=3,b1=1, b2=0， ∵ k1≠k2 ∴ l1与l2不平行． (3)由方程可知,l1⊥x轴,l2 ⊥x轴,且两直线在x轴上 截距不相等,所以l1∥l2．
l : Ax By C 0 平行的直线方程可 与直线 设为： l : Ax By C1 0
与直线 设为
l : y kx b 平行的直线方程可
y kx b1
y
yyΒιβλιοθήκη l2l1 2O
l2 1
x
l1
l1 1
x
O
l2 2
1
O
2
甲
乙
x
斜率存在时两直线垂直． 特殊情况下的两直线 垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：
归纳提升
判断两条不重合的直线垂直步骤
两 条 直 线 方 程
两条直线中一条斜率不 存在，另一条斜率为0 两条直线 斜率都存 在化为斜 截式方程 求两 条直 线斜 率 垂直
k1k2=-1
垂直
例3：已知三角形的顶点 A(2,4), B(1,2), C (2,3)
求BC边上的高AD所在直线的方程。
1，设直线a: x+my+6=0和
答:倾斜角相等, 纵截距不等,斜率若存在,则相 等.
建构数学： 直线方程为斜截式
l1 : y k1 x b1 l2 : y k 2 x b2
.
l1 // l2 k1 k2 , b1 b2
这里 l1 与 l2 不重合，且斜率均存在
问题:上面所说的是两条直线的斜率存在的情
3.与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为----------------------------.
思考下列问题:
两条不重合的直线 1与 2 的倾斜角相等,这两条直
l
l
线的位置关系如何?根据倾斜角大小不同在坐标系 中画出直线，并指出它们的位置关系。
l1
l2 l2
1
2
l1
l1
1
2
l2
l2
l1
问题:两条直线 l1与 l2平行,这两条直线的倾斜角
大小关系如何?这两条直线的纵截距相等吗?斜率 相等吗?
两条直线的位置关系
复习回顾：
1、直线方程的几种基本形式：
2、已知直线方程为Ax+By+C=0，则直线的斜率 为：
问题：
平面内不重合的两条直线有哪些位置关系?
平行 两条直线的位置关系 垂直 相交
初中怎样判断两条直线平行?
斜交
如果两条平行直线与x轴相交，那么它们的倾
斜角关系如何？
丙
当另一条直线的斜率为0时， 则一条直线的倾斜角为900,另一条直线的倾斜角为0° 两直线互相垂直
2.两直线垂直的条件
(1)两直线斜率存在
当直线l1和l2有斜截式方程 l1：y＝kx＋b1， l2：y＝k2x＋b2时，
l1⊥l2 垂直
k 1×k2 ＝-1.
（2）两条直线中一条斜率不存在，另一条斜率为0
b: (m-2)x+3y+2m=0,
-1 当m=____,a//b; 1 当m=____,a b; 2 当m=___时a与b重合. 3
2，求点P(-3,4)关于直线4x-y-1=0的 对称点的坐标
作业布置
课本P77 习题2.1 5题 (1)、 (2) 、(3) 补充: 1.当a为何值时,两直线x+ay=2a+2和ax+y=a+1 垂直. 2.求经过点M(2,-3)且平行于A(1,2),B(-1,-5)两点 连线的直线方程.
况下,如果两条直线斜率有不存在的情况,那么 这两条直线的位置关系又如何呢?
如果l1,l2的斜率都不存在,那么它们的倾斜角都 是900，从而它们互相平行。
归纳提升
判断两条不重合的直线平行步骤
两 条 直 线 方 程
两条直线斜率都不存在 且在x轴上的截距不相等 两条直线 斜率都存 在化为斜 截式方程 求两 条直 线斜 率 平行
练习
求过点A(1,-4)，且与直线2x+3y+5=0 平行的直线方程。 解：
由已知直线方程知已知直线的斜率为-2/3，故所 求直线的斜率也是-2/3，据点斜式，得到所求的 直线方程为：
即：
y+4=-2/3(x-1) 2x+3y+10=0
观察直线2x+3y+5=0与2x+3y+10=0有何特征？