导数与不定积分习题课
第四章不定积分习题课-带解答
. 1 .第四章 不定积分 习题课1．原函数 若，则称为的一个原函数．)()(x f x F =')(x F )(x f 若是的一个原函数，则的所有原函数都可表示为)(x F )(x f )(x f ．C x F +)(2．不定积分 的带有任意常数项的原函数叫做的不定积)(x f )(x f 分，记作．⎰dx x f )(若是的一个原函数，则，)(x F )(x f C x F dx x f +=⎰)()(3．基本性质1），或；)(])([x f dx x f ='⎰dx x f dx x f d )(])([=⎰2），或；C x F x dF +=⎰)()(C x F dx x F +='⎰)()(3）；⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([4），（，常数）．⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(0≠k 4．基本积分公式（20个）原函数与不定积分是本章的两个基本概念，也是积分学中的两个重要概念。
不定积分的运算是积分学中最重要、最基本的运算之一．5. 例题例1 已知的一个原函数是，求．)(x f x 2ln )(x f '解 ， ．x x x x f 1ln 2)(ln )(2⋅='=)ln 1(2ln 2)(2x x x x x f -='⎪⎭⎫ ⎝⎛='. 2 .例2 设，求．C x dx x f +=⎰2sin 2)()(x f 解 积分运算与微分运算互为逆运算，所以．2cos ]2sin2[])([)(x C x dx x f x f ='+='=⎰例3 若的一个原函数是，求．)(x f x 2⎰'dx x f )(解 因为是的原函数，故，所以x 2)(x f 2ln 2)2()(x x x f ='=．C C x f dx x f x +=+='⎰2ln 2)()(例4 求不定积分．⎰-dx e x x 3解 被积函数为两个指数函数的乘积，用指数函数的性质，将其统一化为一个指数函数，然后积分．即．⎰⎰--=dx e dx e xxx)3(31C e e x+=--)3()3ln(111C e x x +-=-3ln 13例5 求不定积分．⎰'⎪⎭⎫⎝⎛dx x x 2sin 解 利用求导运算与积分运算的互逆性，得．C x x dx x x +='⎪⎭⎫⎝⎛⎰22sin sin 例6 求不定积分．⎰⋅dx xxx 533解 先用幂函数的性质化简被积函数，然后积分．．C x dx x dx x dx xxx +===⋅⎰⎰⎰-+15261511533115332615. 3 .例7 求不定积分．⎰++++dx xx x x x 32313解 分子分母都是三次多项式函数，被积函数为假分式，先分解为多项式与真分式的和，再积分，也即⎰⎰+++++=++++dx xx xx x x dx x x x x x 3233232113．⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=dx x x 12112C x x x +++=arctan 2||ln 例8 求不定积分．⎰-dx x2cos 11解 用三角恒等式将被积函数变形，然后积分．x x 2sin 212cos -=．⎰⎰=-dx xdx x 2sin 212cos 11⎰=xdx 2csc 21C x +-=cot 21例9 求不定积分．⎰+dx x x )sec (tan 22解 用三角恒等式将被积函数统一化为的函数，1sec tan 22-=x x x 2sec 再积分．⎰⎰+-=+dxx x dx x x )sec 1(sec )sec (tan2222．⎰-=dx x )1sec 2(2C x x +-=tan 2例10 求不定积分．⎰++dx x x x )1(21222解 ．⎰⎰+++=++dx x x x x dx x x x )1(1)1(212222222⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++=dx x x 22111C x x +-=1arctan. 4 .例11 求不定积分．⎰+dx x x )1(124解 类似于例10，拆项后再积分⎰⎰++--+=+dxx x x x x x dx x x )1(1)1(124442224．⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=dx x x x 2241111C x x x +++-=arctan 1313例12 一连续曲线过点，且在任一点处的切线斜率等于，)3,(2e x2求该曲线的方程．解 设曲线方程为，则，积分得)(x f y =xx f 2)(='． （曲线连续，过点，故C x dx xx f +==⎰ln 22)()3,(2e ）0>x 将代入，得，解出．所以，曲线方程为3)(2=e f C e +=2ln 231-=C ．1ln 2-=x y 例13 判断下列计算结果是否正确1）； 2）．C x dx xx +=+⎰322)(arctan 311)(arctan ()C e dx ex x++=+⎰1ln 11解 1），所以计算结果正确．2231)(arctan )(arctan 31x x C x +='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2）， 计算结果不正确，即[]xx x xe e e C e +≠+='++111)1ln(．()C e dx ex x++≠+⎰1ln 11. 5 .以下积分都要用到“凑微分”．请仿照示例完成其余等式1）时，．0≠a ⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f 2）．⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin 3）=⎰xdx x f sin )(cos 4）⎰=dx xx f 1)(ln 5），时，0>a 1≠a =⎰dx a a f x x )(6）时，0≠μ1()f x x dx μμ-=⎰7）=⎰xdx x f 2sec )(tan 8）=⎰xdx x f 2csc )(cot 9）=-⎰dx xx f 211)(arcsin 10）=+⎰dx xx f 211)(arctan 11）='⎰dx x f x f )()(例14 求．⎰dx xx xcos sin tan ln 解 ⎰⎰⋅=xdx x x dx x x x 2sec tan tan ln cos sin tan ln ⎰=xd xxtan tan tan ln ．⎰=)tan (ln tan ln x d x ()C x +=2tan ln 21. 6 .注由于被积函数中含有，表明，故x tan ln 0tan >x ．x d x d xtan ln tan tan 1=例15 求下列不定积分1）； 2）．⎰+dx xx xln 1ln ⎰+dx x x 100)1(解 1） (请注意加1、减1的技巧)⎰⎰⋅+-+=+dx xx x dx xx x1ln 111ln ln 1ln⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=)ln 1(ln 11ln 1x d x x ．C x x ++-+=2123)ln 1(2)ln 1(322）dxx x dx x x 100100)1()11()1(+-+=+⎰⎰)1()1()1()1(100101++-++=⎰⎰x d x x d x．C x x ++-+=101102)1(1011)1(1021例16 设，不求出，试计算不定积分C x dx x f +=⎰2)()(x f ．⎰-dx xxf )1(2解 （将看作变量）2221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=---⎰⎰21x -u ．C x +--=22)1(21例17 设，求．x e x f -=)(⎰'dx xx f )(ln 解 先凑微分，然后利用写出计算结果．即C u f u d u f +='⎰)()(. 7 .．⎰⎰'='x d x f dx x x f ln )(ln )(ln C x f +=)(ln C e x +=-ln C x+=1例18 计算不定积分．⎰+dx x x )1(124 【提示】 分母中有时，考虑用“倒代换”．k x tx 1=解 设，则，t x 1=dt tdx 21-=4224211111(1)1dx dt x x t t t ⎛⎫=- ⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰+-=dt t t 241⎰++--=dt t t 24111⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=dt t t 221113arctan 3t t t C =-+-+．3111arctan 3C x x x=-+-+例19 求不定积分．⎰+dx x x )4(16解 ⎰⎰+=+dx x x x dx x x )4()4(16656⎰+=)()4(161666x d x x()⎰+=dt t t tx41616⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dt t t 411241 ． 1ln 244t C t =++661ln 244x C x =++分部积分．⎰⎰⎰⎰'-=-'vdx u uv vduuv udvdxv u vu 、交换凑微分目的，使公式右边的积分要比左边的积分容易计算，u vdx '⎰⎰'dx v u 关键在于正确地选取和凑出．u. 8 .例 20 求不定积分．⎰dx xxarcsin 解一 这是一道综合题，先作变量代换，再分部积分．令，x t =则，，2t x =tdt dx 2= ⎰⎰=tdt t tdx xx2arcsin arcsin ⎰=v ut d t arcsin 2()⎰-=td t t t arcsin arcsin 2⎰--=dtttt t 212arcsin 222arcsin (1)t t t =+- Ct t t +-+=212arcsin 2．C x x x +-+=12arcsin 2解二 先凑微分，再代换，最后分部积分，即⎰⎰=xd x dx xxarcsin 2arcsin ⎰=dt t tx arcsin 2 ⎰--=dt tt t t 212arcsin 2．C t t t +-+=212arcsin 2C x x x +-+=12arcsin 2例 21 已知的一个原函数是，求．)(x f 2x e-⎰'dx x f x )(【提 示】 不必求出，直接运用分部积分公式．)(x f '解 由已知条件，，且，故)(x f ()'=-2x e ⎰dx x f )(C e x +=-2⎰⎰=')()(x xdf dx x f x ⎰-=dxx f x xf )()(()Ceex x x +-'=--22. 9 .．C e e x x x +--=--2222例 22 设，求．x x x f ln )1()(ln +=')(x f 解 先求出的表达式．设，则，)(x f 't x =ln t e x =)1()(+='t e t t f ⎰+=dt e t t f t )1()(⎰⎰+=tdttde t,22t dt e te tt +-=⎰C t e te tt ++-=22所以．C x e xe x f x x++-=2)(2例23 求不定积分．5432x x dx x x+--⎰解 将分子凑成，23332()()2x x x x x x x x x x -+-+-++-把分式化为多项式与真分式的和；542233221x x x x x x x x x x+-+-=+++--再将真分式化为最简分式的和，232x x x x+--，232(2)(1)22(1)21(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-++-====--+-+++于是5423221(1)1x x dx x x dx x x x x +-=+++--+⎰⎰．322ln ln 132x x x x x C =+++-++. 10 .例24 求不定积分．⎰+-dx x x x )1(188解=+-⎰dx x x x )1(188⎰+-dx x x x x 7888)1(1⎰+-=)()1(1818888x d x x x （换元，令）⎰+-=du u u u )1(1818x u =⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=du u u 12181 C u u ++-=)1ln(41ln 81()C x x ++-=881ln 41ln 81．()C x x ++-=81ln 41||ln 例25 求不定积分．⎰+dx xsin 11解 ⎰⎰--=+dx xx dx x 2sin 1sin 1sin 11⎰-=dx x x2cos sin 1．⎰-=dx x x x )sec tan (sec 2C x x +-=sec tan 例26 求不定积分．⎰+++++dx x x x)11()1(11365解 为同时去掉三个根式，设，则，，t x =+6116-=t x dt t dx 56= dt t t t t dx x x x52533656)1(1)11()1(11++=+++++⎰⎰32161t t t dt t +-+=+⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=dt t t t t 221116()C t t t +++-=arctan 61ln 3322．()3311ln 313x x ++-+=C x +++61arctan 6。
不定积分习题课64353
u vd xu vu vdx
udv u vvdu
分部积分公式
8.选择u的有效方法:LIATE选择法
L----对数函数； A----代数函数； E----指数函数；
I----反三角函数； T----三角函数； 哪个在前哪个选作u.
9、几种特殊类型函数的积分
（1）有理函数的积分
定义 两个多项式的商表示的函数称之.
(2)2 a 2 1x 2 d x 2 1 a ln a a x x C
(1)7 cx o d tls n xix n C
(2)3
1 d xarcx sC in
a2x2
a
( 1 )8 sx e c d ln x x (ts a x )e C n c
(24)
ddxf(x)dxf(x)
d[f(x)d]x f(x)dx
F (x)d x F (x)C d(F x)F (x)C
(3) 不定积分的性质
1 0 [f(x )g (x )d ] x f(x)d xg(x)dx 20 k(fx)dx k f(x)dx（ k是 常 数 ， k0)
2
2
d(3)x 2
令(3)x t 2
1
(3)2x 1 2
ln 3 2
dt t2 1
2l1n3(t
1 1 t
1 )dt 1 lnt1C 1 2(ln 3ln2) t1
2
1
3x2x
2(l3 nln2)ln3x2x C.
例2 求ex1(1csoixsnx)dx.
例6 求 x arx c ln t 1 a x (2 )n d.x
解 xln1 ( x2)dx1ln1 (x2)d(1x2) 2
不定积分经典习题
=
td
cot
t
tdt
t
cot
t
cot
tdt
t2 2
= t cot t ln | sin t | t2 C 2
= arctgx ln | x | (arctgx)2 C
x
1 x2
2
[解二]
arctan x dx x2 (1 x2 )
=
令 x tant ，则
原式=
1 x2 1 x
1 x
dx
＝
1
cos t sin
t
1 sin
t
d
sin
t
=
cos2 t 1 sin t
1 sin t
dt
= ln csc t cot t t C = csc tdt t C = csc tdt t C = ln csc t cot t t C
一、知识网络图
原函数
1.基本概念不定积分
不定积分的几何意义
不 2.性质与公式不基定本积积分分的公性式质
定 积 分
3.计算方法查换分直表元部接法积积积分分分法法法第第一二换换元元积积分分法法(凑微分法)
4.特殊函数的积分某三有些角理无函函理数数函有积数理分积式分积分
( 1 1 ) arctan xdx x2 1 x2
arctan xdx =
arctan x2
xdx
(arctan 2
x)2
arctan xd 1 (arctan x)2
不定积分,习题
联立并令 C1 = C ,
1 可得 C 2 = ＋C , C 3 = 1 + C . 2
1 2 − 2 x + C , x < −1 1 故 ∫ max{1, x }dx = x + + C , − 1 ≤ x ≤ 1. 2 1 2 2 x + 1 + C, x > 1
= x2 − 1 1 − arcsin + C . x x
例4
求 ∫ xarctan xln(1 + x2 )dx.
2
解 ∵ ∫ x ln(1 + x 2 )dx = 1 ∫ ln(1 + x 2 )d (1 + x 2 )
1 1 2 2 2 = (1 + x ) ln(1 + x ) − x + C . 2 2 1 1 2 2 2 原式 = ∫ arctan xd [ (`1 + x ) ln(1 + x ) − x ] 2 2 1 = [(`1 + x 2 ) ln(1 + x 2 ) − x 2 ] arctan x 2 1 x2 ]dx − ∫ [ln(1 + x 2 ) − 2 2 1+ x
5、函数 f ( x) = ( x + x )2 的一个原函数F (x) = ( ) 4 3 4 （A） x ; （B） x x 2 ; 3 3 2 2 2 2 2 （C) x( x + x ) ; （D） x ( x + x ) . 3 3 6 、 已 知 一 个 函 数 的 导 数 为 y′ = 2 x ， 且 x = 1 时 y = 2,这个函数是（ ） 这个函数是（ y = x2 + C ; （A） 2 （B） y = x + 1 ; x2 （C） y = + C ; 2 （D） y = x + 1 .
高等数学不定积分课后习题详解
《高等数学》不定积分课后习题详解(总58页)不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)思路: 被积函数 52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22x x dx +⎰（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（） ★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x+⎰ 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
高等数学(同济第6版习题课4-1)
（３） xd x ＝ d（ x２ ） ；
（４） xd x ＝ d（５ x２ ） ；
（５） xd x ＝ d（１ － x２ ） ；
（６） x３ d x ＝ d（３ x４ － ２） ；
（７） e２ x d x ＝ d（e２ x ） ；
（８）
e－
x ２
dx
＝
d（１
＋
e－
x ２
）
；
（９）
１
x －
x都是
１的 x － x２
原函数 畅
证 ［arcsin（２ x － １）］′ ＝
１
·２＝
１ － （２ x － １）２
１， x － x２
［arccos（１ － ２ x）］′ ＝ －
１
· （ － ２） ＝
１ － （１ － ２ x）２
１， x － x２
２arctan
x １－ x
′
＝
２
１
＋
１ １
x －
dx ＝３
dx １ ＋ x２
－２
dx １ － x２
＝ ３arctan x － ２arcsin x ＋ C ．
∫ ∫ ∫ （１５）
ex
１ － e－ x x
dx＝
exd x －
x－
１ ２
d
x
＝
ex
１
－ ２x２
＋
C．
∫ ∫ （１６） ３x ex d x ＝
（３e） x d x
＝
（３e） x ln（３e）
＋
t＝ ０
（２）
求使
d d
s t
＝
０的
t值
；
（３） 求使 s ＝ ５０ 的 k 值 畅
第五章不定积分习题课
(15) cot xdx lnsin x C
(22)
(16) sec xdx ln(sec x tan x) C
x2
1
a 2 dx
1 2a
ln
x x
a a
C
a2
1
x 2 dx
1 2a
ln
a a
x x
C
(17)
csc xdx ln(csc x cot x) C (23)
第五章 不定积分
第15页
（2） 三角函数有理式的积分
定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)
令u tan x 2
sin
x
1
2u u2
x 2arctan u
cos
x
1 1
u2 u2
2 dx 1 u2 du
R(sin
第五章 不定积分
第1页
第五章 不定积分 习题课
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第五章 不定积分
第2页
一、主要内容
原函数
不定积分
选
择 u
分部 积分法
积分法
直接 积分法
基 本
有
积
效 方 法
第一换元法 第二换元法
几种特殊类型 函数的积分
分 表
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第五章 不定积分
第3页
1、原函数
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第五章 不定积分
不定积分习题课市公开课一等奖市赛课金奖课件
解
x 1 x(1 xex
)
dx
令
=
dt t(1
t
)
=
dt t
t
dt 1
= ln t ln t 1 C
= ln xex ln xex 1 C
例6
思索题：P97 6、（2）
解
原式 =
x9dx = 1 x10 (2 x10 ) 10
d ( x10 ) x10 (2 x10 )
= 1 ( 1 1 )d (x10 ) 20 x10 2 x10
dt ,
t2 4 3
t2 t2 22
9
dx
=3
dt ,
x2 9x2 4
t2 t2 22
上式右端积分旳被积函数中有 t 2 22 , 在积分表 (六)类中，查到公式 41，当 a = 2(x 相当于 t)时，
得 教材第185页
t2
dt t2 Βιβλιοθήκη 2=t2 4 C = 4t
9x2 4 C. 12 x
代入原积分中，得
dx
=3
dt = 9x2 4 C.
x2 9x2 4
t2 t2 22
4x
3.用递推公式
例4
查表求
dx sin4
x
.
解 被积函数中含三角函数，在积分表(十一)类
中查到公式 97，递推公式为 教材第187页
dx
sinn x
=
1 n
1
cos x sinn1 x
n n
2 1
f
( x)dx=
f
(x)
d[ f ( x)dx] = f ( x)dx
F ( x)dx = F ( x) C
dF ( x) = F ( x) C
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a2 f (1) 2
即
a b 1 1 (a b 1) 2
2 , x 1 f ( x) 2 x , x 1
判别: 是否为连续函数 ?
11
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例9. 设
处的连续性及可导性. 解: 要使 在
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4、利用函数的可导性确定参数
例8. 设
试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求 解: f (x)
ax b , 1 ( a b 1) , 2
x2 ,
x 1 x 1 x 1
x 1时, f ( x) 2 x.
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2、求分段函数在分段点处的导数
求分段函数在分段点处的导数必须根据定义及
可导的充要条件求解,带绝对值记号的函数则变成
分段函数后再求导数.
1 x ln(1 x) arctan , x 0, 例4. 设 f ( x) x 求 f (0) 0, x 0.
x 1
注:对具体的初等函数求导可以用求导法则,但有时 用定义求导反而简单.
4
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例2. 设 f (x)在 x =0处可导, 且 f (0) 1 , 又对任意 3 的 x 有 f (x+3) =3 f (x), 求 f (3). 解:
一、导数的概念
1、根据导数的定义求导数 例1. 设f ( x) ( x 1)( x 2) ( x n) ,求 f (1)
( x 1)( x 2) ( x n)
解: f (1) lim f ( x) f (1) x 1
( x 2) ( x n) (1) n1 lim x 1 ( x 1)( x 2) ( x n) n(n 1)
10
x 1 时, f ( x) a ;
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利用 f (x) 在 x =1处可导, 得
f (1 ) f (1 ) f (1)
f (1) f (1)
a 2 , b 1,
证:
f ( x + h) f ( x ) f ( x ) = lim h0 h f ( x ) g (h) + f (h) g ( x ) f ( x ) = lim h0 h = f ( x ) g(0) + f (0) g ( x ) g ( x )
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主要内容
关 dy y dy y dx y dy o( x ) 系 dx
y lim x 0 x
导
数
基本公式
微 分
高阶导数 高阶微分
dy y x
求 导 法 则
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e x 1 , x 1, 例5. 设 f ( x) 1 ln x, x 1.
求 f (1)
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3、利用导数的定义求极限 例6. 设 f ( x0 ) 存在,求
f ( x0 x ( x) 2 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
f (sin 2 x cos x) . 例7. 若 f (1) 0 且 f (1) 存在 , 求 lim x x 0 (e 1) tan x f (sin 2 x cos x) 解: 原式 = lim x 0 x2
且
联想到凑导数的定义式
f (1 sin 2 x cos x 1) f (1) sin 2 x cos x 1 lim 2 x 0 sin x cos x 1 x2 (1) (1 1 ) 1 f (1) f 9 2 2
例3. 设 f (x)和 g (x)在整个实数轴上有定义, 且满足 (1) f (x+h) = f (x) g(h)+ f (h)g (x) (2) f (x)和 g (x) 在x =0处均可导,且
f (0) = 0, g (0) = 1, f (0) = 1, g (0) = 0, 证明 f (x)对所有的 x 都可导, 且有 f ( x ) = g ( x ).
解:
f ( x0 x ( x) 2 ) f ( x0 ) x ( x) 2 原式= lim 2 x 0 x x ( x)
f ( x0 )
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第四章
导数与不定积分
●§4.1 导数的概念 ●§4.2 导数的计算 ●§4.3 局部线性化与微分 ●§4.4 变化率与相关变化率 ★§4.5 不定积分
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导数与微分
习题课
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f (3 h) f (3) f (3) lim h 0 h
3 f (h) 3 f (0) lim 3 f (0) 1 h 0 h
注:由于没给出函数的具体表达式, 也未知函数在所 求点是否可导,所以只能用定义求导.
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,讨论 f (x) 在 x =0
所以当 > 0时
又
处连续.
即当0<≤1时 当1时 在