2014中考第一轮复习课件第14课 二次函数及其图象

图 14－4
【解析】
由二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可得：抛物
线开口向上，即 a>0，抛物线与 y 轴的交点在 y 轴负半轴， 即 c<0，∴ac<0，选项 A 错误； 由函数图象可得： 当 x <1 时， y 随 x 的增大而减小； 当 x >1 时，y 随 x 的增大而增大，选项 B 错误； b ∵对称轴为直线 x ＝1，∴－ ＝1，即 2a＋b＝0，选项 C 2a 错误； 由图象可得：抛物线与 x 轴的一个交点为(－1，0)， 又∵对称轴为直线 x ＝1，∴抛物线与 x 轴的另一个交 点为(3，0)，∴x ＝3 是方程 ax 2＋bx ＋c＝0 的一个根， 选项 D 正确． 【答案】 D
【典例 2】
(2013·宁波)如图 14－3，二次函数 y ＝ax 2＋ ( )
bx ＋c 的图象开口向上，对称轴为直线 x ＝1，图象经 过(3，0)，下列结论中，正确的一项是 A. abc<0 C. a－b＋c<0 B. 2a＋b<0 D. 4ac－b2<0
图 14－3
【解析】
由图可知，抛物线开口方向向上，∴a>0. b 抛物线的对称轴为直线 x ＝－ ＝1>0，∴b<0. 2a 抛物线与 y 轴交于负半轴，∴c<0，∴abc>0，∴A 错． b ∵－ ＝1，∴b＝－2a，∴ 2a＋b＝0，∴B 错． 2a 当 x ＝－ 1 时，y ＝a－b＋c，由对称性知抛物线与 x 轴的交点为(3， 0)，(－1，0)． ∴a－b＋c＝0，∴C 错． ∵抛物线与 x 轴有两个交点，∴Δ＝b2－4ac>0， ∴4ac－b2<0，∴D 正确．
1．二次函数的定义： 形如 y ＝ax 2＋bx ＋c(其中 a，b，c 是常数，且 a≠0)的 函数叫做二次函数． 2．通过配方，可以将二次函数的一般形式 y ＝ax 2＋bc＋ b x ＋ 2 4ac－b2 c(a≠0)转化成 y ＝a 2a ＋ (a≠0)． 4a
3．二次函数的图象与性质： 二次函数的图象是一条抛物线，当 a>0 时，抛物线的开口向上 ，这时 b b 当 x ≤－ 时，y 的值随 x 的增大而 减小；当 x ≥－ 时， y 的值随 x 2a 2a 4ac－b2 b 的增大而 增大 ；当 x ＝－ 时，y 有最 小 值 .当 a<0 时，抛物线 2a 4a b b 开口 向下 ，这时当 x ≤－ 时，y 的值随 x 的增大而增大 ；当 x ≥－ 2a 2a 4ac－ b2 b 时，y 的值随 x 的增大而 减小；当 x ＝ － 时， y 有最大值 ． 2a 4a b 4ac－ b2 － ， b 抛物线的对称轴是直线 x ＝－ ，抛物线的顶点是 2a 4a ． 2a
4．二次函数的图象的平移：
图 14－1 5．二次函数的三种解析式：
(1)一般式：y＝ax 2＋bx ＋c(a，b，c 是常数，a≠0)；
(2)交点式： y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a， x 1， x 2 是常数， a≠0)；
(3)顶点式：y＝a(x ＋h )2＋k (a，h ，k 是常数，a≠0)．
题型三
二次函数与方程、不等式组的联系
利用数形结合，从特殊到一般，化繁为简，若已知二 次函数 y ＝ax 2＋bx ＋ c 的函数值为 s，求自变量 x 的值， 就是解一元二次方程 ax 2＋bx ＋c＝s 的解，反之亦然，涉 及一元二次不等式的，可以用函数图象求解．
【典例３】 (2013· 白银 )如图 14－ 5 ，在直角 坐标系 xOy 中， 二次函数 y ＝x 2＋ (2k －1)x ＋k ＋1 的图象与 x 轴相交于 O， A 两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有 一点 B ，使△A OB 的面积等于 6，求点 B 的坐标； (3)对于(2)中的点 B ，在此抛物线上是否存 在点 P，使∠POB ＝ 90°？若存在，求出 点 P 的坐标，并求出△POB 的面积；若 不存在，请说明理由．
【类题演练 3】
(2013·杭州)给出下列命题及函数 y ＝x ，
1 y ＝x 2 和 y ＝ . x 1 ①如果 >a>a2，那么 0<a<1； a 1 ②如果 a2>a> ，那么 a>1； a 1 ③如果 >a2>a，那么－1<a<0； a 1 ④如果 a2> >a 时，那么 a<－1.则 a
【答案】
C
4． (2013·雅安)二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的 图象如图 14－2 所示，则一次函数 y ＝ c ax ＋b 与反比例函数 y ＝ 在同一平面直 x 角坐标系中的大致图象为 ( )
【答案】 C
5．(2012·扬州)将抛物线 y ＝x 2＋1 先向左平移 2 个单位， 再向下平移 3 个单位，那么所得抛物线的函数关系式 是__________．
【类题演练 1】 已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)中的 变量 x 和函数值 y 的部分对应值见下表： 3 1 „ － －1 － 2 2 1 2 3 2 7 4
x y
0
1 0
„ „
5 9 5 „ － －2 － －2 － 4 4 4
则该二次函数的解析式为______．
【解析】
由表中数据可知抛物线的对称轴为直线 x ＝
【答案】
A
题型四
二次函数图象的平移
图象的平移变换，主要对顶点式进行变形探究，平移 规律简单记为“上加下减，左加右减”，具体解题时应画 图，数形结合，直观形象．
【典例 4 】 (2013· 湖州 ) 如图 14－ 6 ，在 10×10 的网格中，每个小方格都是边 长为 1 的小正方形， 每个小正方形的顶 点称为格点． 若抛物线经过图中的三个 格点， 则以这三个格点为顶点的三角形 称为抛物线的“内接格点三角形”， 以 O 为坐标原点建立如图所示的平面直 角坐标系，若抛物线与网格对角线 OB 的两个交点之间的距离为 3 2， 且这两个交点与抛物线的顶点是 抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称 轴平行于 y 轴的抛物线条数是 ( ) A. 16 B. 15 C. 14 D. 13
【答案】 B
( 1 9 － ， B. 4 8 1 9 ，－ D. 4 8
)
3．(2013·四川)若抛物线 y ＝x 2－2x ＋c 与 y 轴的交点为(0， －3)，则下列说法不正确的是 A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 x ＝1 C. 当 x ＝1 时，y 的最大值为－4 D. 抛物线与 x 轴的交点为(－1，0)，(3，0) ( )
【答案】
D
【类题演练２】 (2013·巴中)已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋ c(a≠0)的图象如图 14－4 所示，则下列结论中正确的 是 A. ac>0 B. 当 x >1 时，y 随 x 的增大而减小 C. b－2a＝0 D. x ＝3 是关于 x 的方程 ax 2＋bx ＋c＝0(a≠0)的一个根 ( )
(3)存在．∵点 B 的坐标为(4，4)， ∴∠BOD＝45°，BO＝ 42＋42＝4 2， ∵∠POB ＝90°，∴∠POD＝45°. 设点 P 的横坐标为 x ，则纵坐标为 x 2－3x ， ∴－x ＝x 2－3x ，解得 x ＝2 或 x ＝0， ∴抛物线上存在一点 P(2，－2)， ∴OP＝ 22＋22＝2 2. 1 ∴△POB 的面积＝ PO·BO＝8. 2
【答案】 y＝(x ＋2)2－2
题型一
用待定系数法求二次函数解析式
二次函数的解析式有三种形式：
(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)． 若已知图象上三个点的坐标(即任意三对 x ，y 的取 值)，通常列出方程组，解方程组求出三个待定系数 的值． (2)顶点式：y ＝a(x －m )2＋k (a≠0)，顶点坐标为(m ，k )． 若已知图象的顶点或对称轴或最值，通常选取顶点式． (3)交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)． 若已知图象与 x 轴的两交点(x 1，0)，(x 2，0)，通常选 取交点式，交点式也叫两根式．
(
)
A. 正确的命题是①④ B. 错误的命题是②③④ C. 正确的命题是①② D. 错误的命题是③
【解析】 三个函数的图象如解图所示，易得三个函数图象的交点 1 坐标为(1，1)．根据对称性，y ＝x 和 y ＝ 在第 x 三象限的交点坐标为(－1，－1)， 1 如果 >a>a2，那么 0<a<1，故①正确； a 1 如果 a2>a> ，那么 a>1 或－1<a<0， 故②错误； a 1 如果 >a2>a，那么 a 值不存在，故 ③错误； a 1 如果 a2> >a，那么 a<－1，故④正确． a
1 9 － ，－ －1＋0 1 9 ＝－ ，此时 y ＝－ ，∴ 2 4 即为抛物线的顶 2 4 2 点坐标． 1 x＋ 2 9 设二次函数的解析式为 y ＝a 2 － ， 4 把(0，－2)代入，得 a＝1. ∴y ＝x 2＋x －2.
【答案】Байду номын сангаасy＝x 2＋x －2
题型二
二次函数的图象和性质
要对二次函数的性质有比较深刻的了解，可以画函数 图象，由抛物线的开口方向、对称轴可确定 a，b 的符号， 由抛物线与 y 轴的交点位置可确定 c 的符号，由抛物线与 x 轴的交点个数可确定 b2－4ac 的符号．反之，抛物线的 所有性质由 a，b，c 决定．
1． (2013·益阳)抛物线 y ＝2(x －3)2＋1 的顶点坐标是( A. (3，1) C. (－3，1) B. (3，－1) D. (－3，－1)
)
【答案】
A
2． (2013·济宁)二次函数 y 1＝ax 2－x ＋1 的图象与 y 2＝－2x 2 图象的形状、开口方向相同，只是位置不同，则二次 函数 y 1 的顶点坐标是 1 9 － ，－ A. 4 8 1 9 ， C. 4 8