最新高一下学期期中考试数学试题
江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期期中学业水平质量监测数学试题
江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期期中学业水平质量监测数学试题一、单选题1．cos14cos16cos76sin16︒︒-︒︒=（ ）A ．12B C ．12- D ．2．已知(1,2),5a a b =⋅=rr r ，若(2)b a b ⊥-r r r ，则向量a r 与向量b r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π43．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量(),p a c b =+r ，(),q b a c a =--r.若//p q r r，则角C 的大小为（ ）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π34．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =u u u r（ ）A ．3144AB AD +u u ur u u u rB ．1344AB AD +u u ur u u u rC ．12AB AD +u u ur u u u rD ．3142AB AD +u u ur u u u r5．函数1()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,2π)内的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知π1cos 63α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79- B ．79 C ．23-D ．237．在ABC V 中，若1cos21cos2cos cos C Bc B b C--=⋅⋅，则ABC V 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，若动点P 在以AB 为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则PC PD ⋅u u u r u u u r的取值范围为（ ）A ．()0,4B ．[]0,4C ．()0,2D ．[]0,2二、多选题9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．O 为点A ，B ，C 所在直线外一点，且0.4OC xOA OB =+u u u r u u u r u u u r，则0.6x =B ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==r r，且a r 与a b λ+r r 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．已知向量(1,AB AC ==-u u u r u u u r ，则AB u u u r在AC u u u r 上的投影向量的坐标为D ．若点G 为ABC V 中线的交点，则0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r10．已知tan 2tan αβ=，则（ ）A ．π,0,2αβ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得2αβ=B ．若2sin cos 5αβ=，则()1sin 5αβ-=C ．若2sin cos 5αβ=，则()7cos 2225αβ+=-D ．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()tan αβ-11．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC V 的面积，且2,a AB AC =⋅=u u u r u u u r，下列选项正确的是（ ）A ．π6A =B．若b =ABC V 只有一解C ．若ABC V 为锐角三角形，则b的取值范围是 D ．若D 为BC 边上的中点，则AD的最大值为2三、填空题12．已知πsin 2sin(π)2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭．13．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为36m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得建筑物顶A 、教堂顶C 的仰角分别是45︒和60︒，在建筑物顶A 处测得教堂顶C 的仰角为15︒，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD 约为.14．ABC V 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，点P 是ABC V 所在平面内的动点，满足(0)||||λλ⎛⎫=++> ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r BC BA OP OB BC BA ．射线BP 与边AC 交于点D ．若sin sin sin sin a A c C b B a C +-=，2BD =，则角B 的值为 ，ABC V 面积的最小值为 ．四、解答题15．如图所示，在ABCD Y 中，已知=3AB ，=2AD ,=120BAD ∠︒. （1）求AC u u u v的模；（2）若13AE AB =u u u v u u u v ，12BF BC =u u u v u u u v ，求AF DE ⋅u u u v u u u v的值.16．已知向量2sin cos sin ,cos ,sin cos 222222x x x x x x m n ⎛⎫⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭r r ，且函数()f x m n =⋅r r ．(1)若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2()3f x =，求sin x 的值；(2)若将函数()f x 的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得图像向左平移π4个单位，得到()g x 的图像，求函数()g x 单调增区间．17．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos b A B =. (1)求A ； (2)求2b ca+的最大值. 18．在直角梯形ABCD 中，已知AB DC P ，AD AB ⊥，1CD =，2AD =，3AB =，动点E 、F 分别在线段BC 和DC 上，AE 和BD 交于点M ，且B E B Cλ=u u u r u u ur ，()1DF DC λ=-u u u r u u u r ，R λ∈．(1)当0AE BC ⋅=u u u r u u u r时，求λ的值； (2)当23λ=时，求DM MB 的值； (3)求12AF AE +u u u r u u u r 的取值范围．19．定义函数()sin cos f x m x n x =+的“源向量”为(),OM m n =u u u u r ，非零向量(),OM m n =u u u u r的“伴随函数”为()sin cos f x m x n x =+，其中O 为坐标原点．(1)若向量(OM =u u u u r的“伴随函数”为()f x ，求()f x 在[]0,πx ∈的值域；(2)若函数()()g x x α=+的“源向量”为OM u u u u r，且以O 为圆心，OM u u u u r 为半径的圆内切于正ABC V （顶点C 恰好在y 轴的正半轴上），求证：222MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r 为定值；(3)在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()h x 的“源向量”为()0,1OM =u u u u r，且已知()38,5a h A ==，求AB AC AB AC +-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的取值范围．。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
2023-2024学年湖北省高一下学期期中月考数学试题1(含答案)
2023-2024学年湖北省高一下册期中联考数学试题一、单选题1．若复数45i z =+，则23z -=（）A ．1015i --B ．1015i -+C ．1415i +D ．1415i-【正确答案】B【分析】先求出45i z =-，进而求出23z -.【详解】因为45i z =+，所以45i z =-，所以()232345i 1015i z -=--=-+故选：B2．如图，在ABC 中，D 是BC 上的点，则AB BC AD +-等于（）A ．ADB ．DBC ．DCD ．AB【正确答案】C【分析】由向量的加法和减法原则求解即可.【详解】AB BC AD AC AD DC +-=-=.故选：C.3．设角α的终边经过点(34)P -，，那么()()sin 2cos παα-+-等于（）A ．15B ．-15C ．25D ．-25【正确答案】D【分析】利用任意角三角函数的定义，分别计算sin α和cos α，再根据诱导公式对()()sin 2cos παα-+-化简，代入sin α和cos α的值，即可求出结果．【详解】∵角α的终边经过点(34)P -，，r PO =，∴4sin r α==45，33cos 5r α-==-，∴()()462sin 2cos sin 2cos 555παααα-+-=+=-=-.故选:D ．4．已知向量3(,sin )2a α= ，1(sin ,)6b α= ，若//a b ，则锐角α为（）A ．30°B ．60°C ．45°D ．75°【正确答案】A【分析】利用向量平行列方程，即可求出锐角α.【详解】因为//a b ，所以sin 2α311264=⨯=，∴sin α＝±12．又α为锐角，所以α＝30°．故选：A5．为了得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos y x =的图像上（）A ．每个点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再向左平移π8个单位B ．每个点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π8个单位C ．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π8个单位D ．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π8个单位【正确答案】B【分析】由函数图像的伸缩变换和平移变化规律求解.【详解】由πcos 228πcos 4y x x ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎛⎫= ⎝⎭-=⎪⎝⎭⎣⎦可知，函数cos y x =的图像每个点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得函数cos 2y x =的图像，再向右平移π8个单位，得函数πcos 24πcos 28y x x ⎛⎫==- ⎪⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎝⎭⎝⎣⎦⎭⎥的图像.故选：B6．在复平面内，点(cos ,sin ),(sin(),cos())A B θθθθ--分别对应复数12,z z ，则21z z =（）A ．1-B ．1C ．i-D ．i【正确答案】D【分析】根据复数几何意义，求得12,z z ，再结合复数的除法的运算法则，即可求解.【详解】由点(cos ,sin )A θθ和(sin(),cos())B θθ--分别对应复数12,z z ，可得1cos isin z θθ=+，2sin()i cos()sin i cos z θθθθ=-+-=-+，所以222221sin i cos (sin i cos )(cos isin )(sin cos )ii cos isin (cos isin )(cos isin )cos sin z z θθθθθθθθθθθθθθθθ-+-+-+====++-+.故选：D.7．八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =给出下列结论，其中正确的结论为（）A ．OA 与OH 的夹角为π3B ．OD OF OE+= C．OA OC -=D ．OA 在OD上的投影向量为2e （其中e 为与OD 同向的单位向量）【正确答案】C【分析】结合正八边形的性质以及向量的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】2ππ84=，所以,OA OH 的夹角为π4，A 选项错误.由于四边形ODEF 不是平行四边形，所以OD OF OE +≠，AOC是等腰直角三角形，所以CA == ，2DH =，所以OA OC CA -==，C 选项正确.结合图像可知OA 在OD 上的投影向量与OD的方向相反，所以D 选项错误.故选：C8．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos a bA B=，222c a b ab =+-，则ABC ∆是（）A ．钝角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】B【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.【详解】在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a bA B =，而cos cos a b A B=，∴sin sin cos cos A BA B=，即tan tan A B =，又∵A 、B 为ABC ∆的内角，∴A B =，又∵222c a b ab =+-，∴222ab a b c =+-，∴由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==，∴3C π=，∴ABC ∆为等边三角形.故选：B.二、多选题9．下列命题中，不正确的是（）A ．1()i a a -∈R 是一个复数B ．形如()i a b b +∈R 的数一定是虚数C ．两个复数一定不能比较大小D ．若a b >，则i ia b +>+【正确答案】BCD【分析】根据复数的概念逐项分析即得.【详解】由复数的定义可知A 命题正确；形如()i a b b +∈R 的数，当0b =时，它不是虚数，故B 命题错误；若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C 命题错误；两个虚数不能比较大小，故D 命题错误．故选：BCD ．10．已知向量()2,1a =r ，2b a = ，且a b ⊥，则b = （）A ．()2,4-B ．()2,4--C ．()2,4-D ．()2,4【正确答案】AC【分析】设b的坐标，利用向量模的坐标公式及a b ⊥ 关系，建立方程组解出来即可.【详解】设(),b x y =，因为2b a = ，a b ⊥ ，所以2222420200b ax y x y a b ⎧=⎧+=⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩ ，解得24x y =⎧⎨=-⎩或24x y =-⎧⎨=⎩，故()2,4b =- 或()2,4b =-r．故选：AC.11．函数()()()cos 02f x x ωϕϕπ=+≤<的部分图像如图所示，则（）A ．3ω=B ．65ϕπ=C ．函数()f x 在314,55ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 图像的对称轴方程为()315k x k ππ=-∈Z 【正确答案】AD【分析】利用图像判断周期，求出ω，即可判断选项A ；利用特殊点求出ϕ，即可判断选项B ；得到函数的解析式()cos 35f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，分别求出单调区间和对称轴方程，判断选项C 、D.【详解】由图像知函数的周期1322230103T ππππω⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，解得：3ω=，所以A 对；由五点对应法得()32102k k ππϕπ⋅+=+∈Z ，因为02ϕπ≤<，所以5πϕ=，所以B 错误，所以()cos 35f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当()2325k x k k ππππ≤+≤+∈Z 时，函数()f x 单调递减.取1k =，得()f x 的一个单调递减区间为314,515ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以C 错，函数()f x 图像的对称轴方程为()35x k k ππ+=∈Z ，即()315k x k ππ=-∈Z ，所以D 对．故选：AD12．下列命题正确的是（）A ．若//,//a b b c ，则//a cB ．若,a b b c ==，则a c= C ．若//a b．则存在唯一实数λ，使得a bλ= D ．若点P 为ABC 所在平面上一点，若20PA PC PB ++=，则APB △面积与ABC 面积之比为1：4【正确答案】BD【分析】A 、C 注意零向量的情况；B 由相等向量传递性判断；D 由()PA PB PC PB +=-+确定P 的位置，进而判断面积关系.【详解】A ：当b 为零向量时//a c不一定成立，错误；B ：由条件知：a b c ==，正确；C ：,a b 为零向量时a b λ=中实数λ不唯一，错误；D ：由()PA PB PC PB +=-+，易知：P 为ABC 平行于AC 的中位线中点，则2ABC APC S S = 且APB BPC S S = ，故APB △面积与ABC 面积之比为1：4，正确.故选：BD 三、填空题13．已知弧长为πcm 3的弧所对圆周角为6π，则这条弧所在圆的半径为____________cm ．【正确答案】1【分析】由弧度制公式lrα=求解即可得出答案.【详解】已知弧长为πcm 3的弧所对圆周角为6π，则所对的圆心角为π3，lrα=，313l r ππα∴===，故1.14．已知tan 2,tan 3,,αβαβ==均为锐角，则αβ+=____________．【正确答案】34π/34π【分析】根据正切函数的和角公式，可得tan tan 23tan()11tan tan 123αβαβαβ+++===---⨯，由角的取值范围，可得答案.【详解】因为tan tan 23tan()11tan tan 123αβαβαβ+++===---⨯，,αβ锐角，0αβ<+<π，所以34αβπ+=．故答案为.34π15．兰州黄河楼，位于黄河兰州段大拐弯处，是一座讲述黄河故事的人文地标，是传承和记录兰州文化的精神产物，展现了甘肃浓厚的历史文化底蕴及黄河文化的独特魅力．某同学为了估算该楼的高度，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距90米的C 、D 两观测点，且C 、D 与黄河楼底部B 在同一水平面上，在C 、D 两观测点处测得黄河楼顶部A 的仰角分别为45,30︒︒，并测得120BCD ∠=︒，则黄河楼AB 的估计高度为_____________米．【正确答案】90【分析】根据仰角分别得出BC AB =,BD =，在BCD △中由余弦定理求解即可.【详解】在Rt ABC △中，45ACB ∠=︒，所以BC AB =，在Rt △ABD ，30ADB ∠=︒，所以tan 30ABBD=︒，即BD ，在BCD △中，120BCD ∠=︒，90CD =，由余弦定理，2222cos120BD BC CD BC CD =+-⋅︒，即2221390290()2AB AB AB =+-⨯⋅-，解得90AB =或45AB =-（舍去），即黄河楼AB 的估计高度为90米.故9016．如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点N 为AC 的中点，点M 是边CB （包括端点）上的一个动点，则AM NM ⋅的最大值为___________.【正确答案】3【分析】以AB 中点为原点，AB 边所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可得到答案.【详解】以AB 中点为原点，AB 边所在的直线为x 轴，AB 边的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，(C ，AC 中点122N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设(,)M x y ，则(1,)AM x y =+，1,22NM x y ⎛=+- ⎝⎭1(1)2AM NM x x y y ⎛⎛⎫⋅=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.∵(,)M x y在直线10:BC x y +-=上，∴1x =-，∴2342323AM NM y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⋅=--+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵0y ≤≤0y =时，·AM NM的最大值为3.故3.四、解答题17．已知复数22(1)i()z m m m m =+-+-∈R ，其中i 为虚数单位．(1)若z 是纯虚数，求实数m 的值；(2)若m ＝2，设ii(,)iz a b a b z +=+∈-R ，试求a ＋b 的值．【正确答案】(1)2-(2)75【分析】（1）由实部等于0得到实数m 的值；（2）把复数iiz z +-整理成i a b +的形式，根据复数相等的条件得到a b 、的值进而求出a b +．【详解】（1）由题意可得：220m m +-=，且10m -≠，2m ∴=-；（2）若m ＝2，则4i z =+，所以2i 42i 2i (2i)34ii i 42i 2i (2i)(2i)5z a b z +++++=====+----+，35a ∴=，45b =，75a b ∴+=.18．已知||6a = ，||4= b ，(2)(3)72a b a b -⋅+=-.（1）求向量a ，b的夹角θ；（2）求|3|a b +.【正确答案】（1）23πθ=（2）()1利用平面向量数量积的分配律求出a b ⋅,然后代入夹角公式求解即可;()2结合()1中a b ⋅的值,利用平面向量数量积的性质：()22222a ba ba ab b +=+=+⋅+ 进行运算，求出23a b + 的值,然后再开方即可.【详解】∵(2)(3)72a b a b -⋅+=-,∴22672a a b b +⋅-=- ，∵6a = ，4b = ,∴3661672a b +⋅-⨯=- ,解得12a b ⋅=-,由平面向量数量积的夹角公式得,∴121cos 642a b a b θ⋅-===-⨯,∵0θπ≤≤∴23πθ=.（2）因为222369a b a a b b +=+⋅+ ，所以()2336612916a b +=+⨯-+⨯ 108=∴3a b += 本题考查平面向量数量积的性质及其夹角公式;考查运算求解能力;属于中档题、常考题型.19．已知α，β为锐角，sin 7α=，11sin()14αβ-=-.(1)求3πsin()sin(π)2πcos()2ααα++-的值；(2)求sin β的值.【正确答案】(1)17(2)7198【分析】（1）已知sin α和sin()αβ-的值，可求cos α和cos()αβ-的值，诱导公式化简后求值；（2）()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦，展开后代入已知数据即可求值.【详解】（1）α，β为锐角，sin 7α=，∴1cos 7α==，11sin()14αβ-=-，∴π02αβ-<-<，则cos()14αβ-==，则()3πsin()sin(π)cos sin 12cos πsin 7cos()2ααααααα++-⋅-===-（2）()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ⎡⎤=--=---⎣⎦111174⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=7198=20．如图，在菱形ABCD 中，1,22CF CD CE EB ==.(1)若EF xAB y AD =+ ，求23x y +的值；(2)若6,60AB BAD ∠== ，求AC EF ⋅ .【正确答案】(1)1(2)9【分析】（1）利用向量的线性运算求EF ，结合平面向量的基本定理求得,x y ，进而求得23x y +.（2）先求得AB AD ⋅ ，然后利用转化法求得AC EF ⋅ .【详解】（1）因为1122CF CD AB ==- ，2CE EB= 所以2233EC BC AD == ，所以21213232EF EC CF BC CD AD AB =+=+=- ，所以12,23x y =-=，故231x y +=.（2）AC AB AD =+ ，()221211223263AC EF AB AD AD AB AB AD AD ⎛⎫∴⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭，ABCD 为菱形，||||6,60AD AB BAD ∠∴=== ，所以66cos6018AB AD ⋅=⨯⨯= ，2211261869263AC EF ∴⋅=-⨯+⨯+⨯= .21．如图，某地计划在一海滩处建造一个养殖场，射线,OA OB 为海岸线，23AOB π∠=，现用长度为1千米的网依托海岸线围成一个POQ的养殖场(1)已知4PQO π∠=，求OP 的长度(2)问如何选取点,P Q ，才能使得养殖场POQ 的面积最大，并求其最大面积【正确答案】(2)OP OQ ==OPQ S平方千米.【分析】（1）运用正弦定理可求出OP 的长度；（2）根据面积公式和余弦定理可求.【详解】（1）在OPQ 中，由正弦定理可得：sin sin PQ OPPOQ PQO =∠∠，代入数据得12ππsin sin 34OP =解之：OP =（2）在OPQ 中，由余弦定理可得2222πcos 32OP OQ PQ OP OQ+-=⋅令,OP a OQ b ==可得2213a b ab ab ab =++≥=，所以1.3ab ≤当且仅当3a b ==时取得又()21sin 2412OPQ S ab POQ ab km =∠=≤OP OQ ∴==OPQ S.22．已知向量33sin ,2ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭ m x，ω⎫=⎪⎪⎝⎭n x ，0ω>，函数()f x m n =⋅ ．(1)若13ω=，求()f x 在[]0,3π上的单调递减区间；(2)若关于x 的方程()32=-f x 在[]0,1上有3个解，求ω的取值范围．【正确答案】(1)[]2,3ππ(2)10π2π,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【分析】(1)化简得()1π3sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由正弦函数的性质可得函数()f x 的单调递减区间为()[2π6π,5π6π]Z k k k ++∈，进而可得在[]0,3π上的单调递减区间；(2)由题意可得π1sin 62x ω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而可得4π2π10π4π,0,,,,,33x ωωωω=L L ，结合题意可得10π132π1ωω⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，求解即可.【详解】（1）解：依题意，()33sin ,2ωω⎫⎛⎫=⋅=-⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭f x m n xx 13cos 2ωω⎫=-⎪⎪⎝⎭x x π3sin 6x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当13ω=时，()1π3sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令()π1π3π2π2πZ 2362k x k k +≤-≤+∈，得()2π6π5π6πZ k x k k +≤≤+∈，当0k =时，2π5πx ≤≤，故()f x 在[]0,3π上的单调递减区间为[]2,3ππ；（2）解：依题意，π1sin 62x ω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()π7π2πZ 66x k k ω-=+∈或()π11π2πZ 66x k k ω-=+∈，则()4π2πZ 3k x k ωω=+∈或()2π2πZ k x k ω+=∈．则4π2π10π4π,0,,,,33x ωωωω=L L ，则10π132π1ωω⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得10π2π3ω≤<，即ω的取值范围为10π2π,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭．。
高一数学第二学期期中考试试卷含答案(共5套)
高一下学期期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．某质检人员从编号为1～100这100件产品中，依次抽出号码为3,13,23，…，93的产品进行检验，则这样的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．分层抽样D ．以上都不对 2．将八进制数135(8)化为二进制数为( ) A ．1 110 101(2) B ．1 010 101(2) C ．1 111 001(2)D ．1 011 101(2)3．某产品在某零售摊位上的零售价x (元)与每天的销售量y (个)统计如下表：据上表可得回归直线方程a ˆx b ˆy ˆ+=中的b ˆ＝－4，据此模型预计零售价定为16元时，销售量为( )A ．48B ．45C ．50D ．514．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．55.2,3.6B ．55.2,56.4C ．64.8,63.6D ．64.8,3.65．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A ．8B ．11C ．16D ．106.如图是一算法的程序框图，若输出结果为S ＝720，则在判断框中应填入的条件是( )A ．k ≤6B ．k ≤7C ．k ≤8D ．k ≤97.两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲、乙两人的各科平均分相同B ．甲的中位数是83，乙的中位数是85C ．甲各科成绩比乙各科成绩稳定D ．甲的众数是89，乙的众数为878.sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( ) A ．1 B ．2sin 2α C ．0 D ．29.利用秦九韶算法求f (x )＝x 5＋x 3＋x 2＋x ＋1当x ＝3时的值为( ) A ．121 B ．283 C ．321 D ．23910．如图，矩形长为8，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( ) A ．7.68 B ．8.68 C ．16.32D ．17.3211.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b ∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )A. 91B. 92C. 187D.9412.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=21（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为32π，弦长为m 340的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3≈π，73.13≈） A ． 15 B ． 16 C ． 17 D ． 18第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归方程：y ∧＝0.234x ＋0.521.由回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元． 14．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为________． 15.在抛掷一颗骰子的试验中，事件A 表示“不大于4的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件B A Y 发生的概率为________．(B 表示B 的对立事件)16．设函数y ＝f (x )在区间[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y ＝f (x )及直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成部分的面积S .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得到S 的近似值为________． 二、解答题（17题10分，其余均12分）17.(10分) 已知|x|≤2，|y|≤2，点P 的坐标为(x ，y)，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．18．(12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程a ˆx b ˆyˆ+= (3)试预测加工10个零件需要多少小时？(注：b ∧＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑n i ＝1x i 2－n x －2，a ∧＝y －－b ∧ x －)零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时) 2.5 3 4 4.519．(12分)已知α是第三象限角，f (α)＝()()()α-π-•α-π-α-•α-π•α-πsin tan tan )2cos()sin((1)化简f (α)；(2)若⎪⎭⎫ ⎝⎛π-α23cos ＝15，求f (α)的值；20．(12分)某校为了解高三年级学生的数学学习情况，在一次数学考试后随机抽取n 名学生的数学成绩，制成如下所示的频率分布表.(1)求a ，b ，n 的值；(2)若从第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与老师面谈，求第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率．21．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m,将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求n≥m+2的概率.22．（12分）在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？(3)求这两个班参赛学生的成绩的中位数.高一下期期中考试数学试题答案一、选择题B D B D A B D D BCD B二、填空题13. 0.234 14.3215.32 16.N1N三、解答题（17题10分，其余均12分）17.解：如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤9的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P1＝14π×224×4＝π16.18.解：(1)散点图如图．(2)由表中数据得∑4i＝1x i y i＝52.5，x －＝3.5，y －＝3.5，∑4i ＝1x i 2＝54. ∴b ∧＝0.7，∴a ∧＝1.05. ∴y ∧＝0.7x ＋1.05.(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ∧＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．19．解：(1)f (α)＝＝－sin α·cos α·tan α－tan α·sin α＝cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－sin α，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－32π＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－265.20.解：(1)由表中数据，得5n ＝0.05，a n ＝0.35，20n＝b ，解得n ＝100，a ＝35，b＝0.20.(2)由题意，得第三、四、五组分别抽取的学生人数为3060×6＝3，2060×6＝2，1060×6＝1.第三组的3名学生记为a 1，a 2，a 3，第四组的2名学生记为b 1，b 2，第五组的1名学生记为c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同情况，分别为{a 1，a 2}，{a 1，a 3}，{a 1，b 1}，{a 1，b 2}，{a 1，c }，{a 2，a 3}，{a 2，b 1}，{a 2，b 2}，{a 2，c }，{a 3，b 1}，{a 3，b 2}，{a 3，c }，{b 1，b 2}，{b 1，c }，{b 2，c }．其中第三组的3名学生均未被抽到的情况共有3种，分别为{b 1，b 2}，{b 1，c }，{b 2，c }． 故第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率为1－315＝45.21解：（1）p=3162(2)先从袋中随机取一个球，记下编号m,放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号n,可能的结果为（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）共16个，满足条件的事件为（1,3）（1,4）（2,4）共3个所以n ≥m+2的概率为p=16322．解：(1)各小组的频率之和为 1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05.∴第二小组的频率为：1．00－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40. ∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高＝频率组距＝0.4010＝0.04.则补全的直方图如图所示．(2)设九年级两个班参赛的学生人数为x 人．∵第二小组的频数为40人，频率为0.40，∴40x＝0.40，解得x＝100(人)．所以九年级两个班参赛的学生人数为100人．(3)∵（0.03+0.04）×10>0.5所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．设中位数为x则0.03×10+（x-59.5）×0.04=0.5得x=64.5高一下学期期中数学考试试卷(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合，，则( )A． B． C． D．2．( )A．0 B．1 C．2 D.43．若，则下列结论正确的是( )A． B．C． D．4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A．B．C．D．5．函数的定义域是( )A． B． C． D．6．函数过定点( )A． B． C． D．7．已知，，，则＝( )A． B． C． D．8．已知函数为幂函数，则实数的值为( )A．或 B．或 C． D．9．已知函数，若，则实数等于( )A ．2 B. 45 C ．12 D ．910．若，则函数与的图象可能是下列四个选项中的( )11．已知是定义在上的奇函数，当时，,则当时，( )AB ．C ．D ．12．若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是( ) A ．B ． C. D ．第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．设集合，集合，若，则实数14．若，则＝15．如果函数，的增减性相同，则的取值范围是.16．已知是方程的两个根，则的值是.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算下列各式的值（式中字母都是正数）： （1）；（2）已知，求的值.18．(本小题满分12分)已知集合，．（1）若，求；（2）⊆，求的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数+2.（1）求在区间上的最大值和最小值；（2）若在上是单调函数，求的取值范围.20．(本小题满分12分)已知函数是R上的奇函数，(1)求的值；(2)先判断的单调性，再证明．21．(本小题满分12分)已知函数，．(1)求函数的定义域；(2)讨论不等式中的取值范围．22．(本小题满分12分)若二次函数满足且. （1）求的解析式；（2）若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围.高一下学期期中考试试卷数学时量：120分钟 总分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．3x cos y =是( )A ．周期为π6的奇函数B ．周期为3π的奇函数C ．周期为π6的偶函数D ．周期为3π的偶函数2.已知sin α＝41，则cos 2α的值为( )A ．21B ．87- C.21- D.873．已知平面向量()()3,2,4,1==→→b a ，则向量=+→→b a 5251（ ）A ．()1,2B ．()5,3 C.()3,5 D.()2,14.已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－4，m )，且a ⊥b ，则m ＝( )A ．4B ．2C ．－4D ．－25．为得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33sin πx y 的图象，只需将函数y ＝sin 3x 的图象( )A ．向左平移9π个长度单位B ．向右平移9π个长度单位C ．向左平移3π个长度单位D ．向右平移3π个长度单位6.设a ＝(8，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(2,3)，则(a ＋2b )·c 等于( )A ．(4,18)B ．22C ．－6 D.(18,4)7.已知a ·b ＝122，|a |＝4，a 与b 的夹角为45°，则|b |为( )A ．12 A ．3 C ．6 D ．98.若－π2＜α＜0，则点P (sin α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9.已知α∠的终边经过点()31P ，，则=αsin ( )A ．21 B ．10103C ．31D ．3310．若=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,32032sin ππππx x f x x ，，求)32(πf =（ ） A.0 B.23C.21 D.1 11．已知2tan -=α，则αααα22cos sin cos sin 3-的值是( ) A ．2- B ． 3 C ．2 D ．3- 12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，则AB →·AC→等于( )A ．－3B ．－6C ．9D ．6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知AB →＝(2，7)，AC →＝(－5,8)，则BC →＝__________________.14．函数()()()R x x x x f ∈-=cos sin 2的最小正周期为________，最大值为________． 15．设a ＝(5,-2)，b ＝(6,2)，则2|a |2－12a ·b ＝______________.16．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝5，则tan β的值为________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）已知()ππθθ2,,53cos ∈=，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin πθ以及⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πθ的值．18.（10分）设函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin 2πωx x f ，0>ω，最小正周期为2π. (1)求()0f .(2)求()x f 的解析式.(3)求()x f 的单调递增区间．19.（12分）已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,3)，c ＝(5,2)．(1)求6a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)若(a ＋k c )//(2b －a )，求实数k . 20. （12分）已知23παπ<<，211-tan tan -=αα.(1)求αtan 的值。
河南省焦作市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
河南省焦作市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．设21i (i i i z +=+为虚数单位)，则z =（ ） A ．i B ．i - C ．1i + D ．1i -- 2．下列命题正确的是（ ）A ．若直线//a b ，则a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a ，b 和平面α，β，满足a αβ⋂=，//b α，//b β，则//a bC ．若直线a ，b 和平面α满足//a α，//b α，则//a bD ．若直线a 和平面α满足//a α，则a 与α内任何直线平行3．如图，四边形ABCD 的斜二测画法直观图为等腰梯形A B C D ''''．已知4A B ''=，2C D ''=，则下列说法正确的是（ ）A ．2AB = B ．A D ''=C．四边形ABCD 的周长为4+D ．四边形ABCD 的面积为4．已知直角ABC V 斜边BC 的中点为O ，且OA AB =u u u r u u u r ，则向量CA u u u r 在向量CB u u u r 上的投影向量为（ ）A ．14CB u u u r B ．34CB u u u rC ．14CB -u u u rD ．34CB -u u u r 5．已知e r 为单位向量，向量a r 满足2a e ⋅=r r ，1a e λ-=r r ，则a r 的最大值为（ ）A ．4B ．2CD ．56．ABC V 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，若222ABC a b c =+-V ，且()0||||AB AC BC AB AC +⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC V 的形状是（ ） A ．等腰非直角三角形 B ．三边均不相等的直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形7．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的表面上，若11,4AB AC AA ===，2π3BAC ∠=，则球O 的表面积为（ ） A ．16πB ．20πC ．28πD ．32π 8．在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos a b B =，且b c ≠，则下列命题正确的有（ ）个①2A B = ②角B 的取值范围是0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭③cos A 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭④a b 的取值范围是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、多选题9．已知复数z 满足11z z =-=，且复数z 对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（ ）A ．复数z 的虚部为32B ．11z 2=C ．21z z =-D ．复数z 的共轭复数为12- 10．下列说法中正确的有（ ）A ．与()2,1a =-r 垂直的单位向量为⎝⎭B ．已知a r 在b r 上的投影向量为12b r 且5b =r ，则252a b ⋅=r r C ．若非零向量a r ，b r 满足a b a b ==-r r r r ，则a r 与a b +r r 的夹角是30︒D ．已知()1,2a =r ，()1,1b =r ，且a r 与a b λ+r r 夹角为锐角，则λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N ，P 分别是棱11C D ，1AA ，BC 的中点，点Q 满足1CQ CC λ=u u u r u u u u r ，[]0,1λ∈，下列说法正确的是（ ）A ．//PQ 平面11ADD AB ．若Q ，M ，N ，P 四点共面，则14λ=C ．若13λ=，点F 在侧面11BB C C 内，且1//A F 平面APQ ，则点FD ．若12λ=，由平面MNQ 分割该正方体所成的两个空间几何体为1Ω和2Ω，某球能够被整体放入1Ω或2Ω，则该球的表面积最大值为(12π-三、填空题12．如图，在平面五边形ABCDE 中， 1,2,AB DE BC CD AE =====90ABC BCD CDE ∠=∠=∠=︒，则五边形ABCDE 绕直线AB 旋转一周所成的几何体的体积为13．在ABC V 中，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，2π,43ABC BD ∠==，则ABC V 周长的最小值为． 14．已知非零向量a b r r ､，满足π2,1,,3a b a b ===r r r r ，且()()0c a c b -⋅-=r r r r ，则c r 的最大值为.四、解答题15．已知,,a b c r r r 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =r .(1)若c =r //c a r r ，求c r 向量；(2)若b =r 2a b +r r 与2a b -r r 垂直，求a r 与b r 的夹角的余弦值. 16．记ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin 2sin cos 2sin c A B A a A+=． (1)求B 的大小；(2)若b =ABC V 的面积为ABC V 的周长．17．如图，在几何体ABCDFE 中，四边形ABCD 为直角梯形，2,2DC AB GC FG ==，平面ABEF ⋂平面CDEF EF =(1)证明：AF //平面BDG(2)证明：//AB EF18．在ABC V 中，已知4AB =，10AC =，60BAC ∠=︒，BC 、AC 边上的两条中线AM 、BN 相交于点G.(1)求BN u u u r 、AM u u u u r ；(2)求CN u u u r 与GM u u u u r 夹角的余弦值.19．“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB 分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为2π3，动点P 在扇形的弧上，点Q 在OB 上，且//PQ OA ．(1)求扇形空地AOB 的周长和面积；(2)当50OQ =米时，求PQ 的长；(3)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区OPQ △的面积尽可能的大．设AOP θ∠=，求OPQ △面积的最大值．。
2023-2024学年广东省惠州中学高一(下)期中数学试卷(含答案)
2023-2024学年广东省惠州中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={−2,−1,0,1,2}，B ={x|lnx >0}，则A ∩B =( )A. {1}B. {2}C. {−2,2}D. {−1,0,1}2.已知α，β是平行四边形的两个内角，则“α=β”是“sinα=sinβ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m//α，n ⊥β，则( )A. m//lB. m//nC. n ⊥lD. m ⊥n 4.如图，在△ABC 中，AN =12NC ，P 是BN 上的一点，若AP =(m +13)AB +19AC ，则实数m 的值为( )A. 19B. 29C. 23D. 135.若函数f(x)={x 2−2ax +1,x >1ax,x ≤1在其定义域内是一个单调递增函数，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1]B. (0,23]C. [0,1]D. [0,23]6.已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为( )A. 6πB. 6 3πC. 9 3πD. 12π7.心理学家有时用函数L(t)=A(1−e −kt )测定在时间t(单位：min)内能够记忆的量L ，其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L 表示在时间t 内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min 内能够记忆20个单词，则k 的值约为( )(ln0.9≈−0.105,ln0.1≈−2.303)A. 0.021B. 0.221C. 0.461D. 0.6618.如图，O 是锐角三角形ABC 的外心，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A =π3，若cosB sinCAB +cosCsinB AC =2m AO ，则m =( )A. 12 B. 22C. 32D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 函数f(x) = x^2 - 2x + 1的零点是：A. 1B. -1C. 0D. 23. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3, 4}4. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n = 2n + 1，那么a_5等于：A. 11B. 9C. 13D. 155. 若函数f(x) = 3x - 5，则f(2)等于：A. 1B. -1C. 7D. 36. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是：A. (0, 3)B. (1, 5)C. (-3/2, 0)D. (3/2, 0)7. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 = 0，其圆心坐标是：A. (-1, 2)B. (1, -2)C. (-1, -2)D. (1, 2)8. 函数y = x^2 - 4x + 3的最小值是：A. -1B. 0C. 1D. 39. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定10. 函数y = √(x - 2)的定义域是：A. x ≥ 2B. x > 2C. x < 2D. x ≠ 2二、填空题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的最大值为2，则x的值为______。
2. 已知数列{a_n}满足a_1 = 1，a_n = 2a_{n-1} + 1，那么a_3等于______。
3. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的对称轴方程是______。
4. 集合A = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则A的元素个数为______。
浙南名校联盟2024年高一下学期4月期中联考数学试卷
2023学年第二学期浙南名校联盟期中联考高一年级数学学科 试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足()34i 43i z +=+，则z 的虚部为（ ） A ．4−B ．45−C ．4i −D ．4i 5−2．如图，直角梯形O A B C ′′′′满足O A O C ⊥′′′′，2O A A B ′′′′==，3O C ′′=，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是（ ）A ．7B ．5+C ．11+D ．3．已知函数()()ln ,01,31,1,x x f x f x x <≤ =−> 则103f等于（ ） A ．9ln3−B ．9ln3C ．27ln3−D ．27ln34．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（ ）A ．2πBCD 5．在ABC △中，D 是AB 边上的一点，且CD 平分ACB ∠，若CA a = ，CB b = ，2b = ，1a =，则AD =（ ） A ．1324a b−+B ．1233a b+C ．1133a b−+D ．2133a b +6．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1a c =−，1b c =+，若ABC △为钝角三角形，则c 的取值范围为（ ） A ．()2,4B ．()1,3C ．()0,3D ．()3,47．已知四边形ABCD 内接于圆O ，且满足1AB =，3AD =，2BC CD ==，则圆O 的半径为（ ） ABCD8．用一个内底面直径为3，高为20的圆柱体塑料桶去装直径为2的小球，最多能装下小球个数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
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一、填空题：本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1.已知是等差数列的前项和，若，则__________.【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质，再利用等差数列的前项和公式即可得出．【详解】由等差数列的性质，，则故答案为21．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.若的圆心角所对的弧长为，则扇形半径长为_________．【答案】【解析】【分析】根据弧长公式代入求解即可．【详解】∵，∴故答案为4．【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式，属基础题.。
3.方程的解集是__________．【答案】【解析】【分析】把，等价转化为，由此能求．【详解】∵，∴，∴．故答案为：【点睛】本题考查三角函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．4.设，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式即可求得结论.【详解】利用二倍角公式.即答案为.【点睛】本题考查二倍角公式的应用，属基础题.5.函数的值域为___________．【答案】【解析】【分析】根据正弦函数的单调区间，函数在上是增函数，在上是减函数，利用函数的单调性求函数的值域．【详解】由正弦函数的单调区间知，函数在上是增函数，在[上是减函数，故时，y 有最大值是1，时，，时，，故函数的值域是【点睛】本题考查正弦函数的单调区间及单调性、正弦函数的值域，利用函数的单调性求函数的值域是一种常用的方法．6.设函数是R上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为_______________.【答案】【解析】【分析】当0时，由已知求出，利用奇函数定义得到与的关系式，从而求出．【详解】当0时，，由已知得，因为是R上的奇函数，所以．故答案为：．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，解决本题的关键在于：当0时，求出，再寻求与的关系．7.若等比数列的前项和，则___________．【答案】【解析】【分析】根据求得数列的通项公式，进而求得，根据求得．【详解】∴，又，由通项得：，公比为3，∴，∴．故答案为-2．【点睛】本题主要考查等比数列的性质，以及等比数列的前n项和公式．解题的关键是求出数列的通项公式．8.如图所示，在直角坐标系中，角的顶角是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且.将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点.若点的横坐标为，则点的横坐标为________.【答案】【解析】【分析】设．由三角函数定义，得，由此利用同角三角函数的基本关系求得的值，再根据利用两角和的余弦公式求得结果．【详解】设．由三角函数定义，得，．因为，，所以．所以即答案为.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．9.已知函数，若将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则实数的取值集合是__________________．【答案】【解析】【分析】根据函数图象平移法则得出平移后的函数解析式，再根据函数图象关于y轴对称求出的取值集合．【详解】函数的图象向左平移a个单位，得 |的图象，且函数的图象关于轴对称，又，或；∴实数的取值集合为．故答案为：．【点睛】本题考查了函数图象平移和化简的应用问题，是中档题．10.已知数列满足，为数列的前项和，则____________．【答案】【解析】【分析】由，令，求得的值，，得，两式相比，即得，从而求得数列的前项和．【详解】∵，令，求得，当时∴∴数列的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列；则【点睛】考查由递推公式求数列中的性质，，解决方法，体现了分类讨论的思想方法，属基础题.11.已知数列满足，若对任意都有，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】由题若对于任意的都有，可得解出即可得出．【详解】∵，若对任意都有，∴．∴，解得．故答案为．【点睛】本题考查了数列与函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知函数的图像与直线的三个交点的横坐标分别为，那么的值是__________.【答案】【解析】【分析】通过正弦函数的对称轴方程，求出函数的对称轴方程分别为和，由题意可得，从而求出的值．【详解】函数的图象取得最值有2个x值，分别为和，由正弦函数图象的对称性可得．故，故答案为．【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，考查计算能力．二、选择题：本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.已知为数列的前项和，且满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据数列前前项和的性质可得由此可得结果.【详解】由题数列的前项和满足，则故选C.【点睛】本题考查数列前前项和的性质，属基础题.14.在中，角所对的边分别为，则“”是“”的 ( ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据“，得出，根据充分必要条件的定义可判断．【详解】∵中，角所对的边分别为，，或∴根据充分必要条件的定义可判断：“”是“”的充分不必要条件．故选A【点睛】本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题．15.有下列四个命题：①只有在区间上，正弦函数才有反函数；②与是同一函数；③若函数的最小正周期为，则；④函数的最小正周期为.其中正确的命题个数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】①②可根据反正弦函数的概念判断，③若函数的最小正周期为，则或，④函数的最小正周期为..【详解】①只有在区间上，正弦函数才有反函数；错误，在每一个单调区间上正弦函数都有反函数；②与是同一函数；，只有在区间上是同一函数；③若函数的最小正周期为，则或，错误；，④由图像可知函数的最小正周期为..【点睛】本题考查命题真假判断，属中档题.16.对于实数，表示不超过的最大整数. 已知正数数列满足，，其中为数列的前项和，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列{S n2}是首项为1，公差为1的等差数列，求得．由此可求【详解】由，令得，∵，得．当时，即．因此，数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴，即．则.故选B.【点睛】本题考查等差关系的确定，考查数列求和，属难题．三、解答题：本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.设，求的值.【答案】【解析】【分析】根据两角和的正切公式可得.进而求出，则可求.【详解】，.【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简求值，属中档题.18.已知等比数列满足：公比，且.求数列的通项公式；（2）设点在函数的图像上，求数列的前项和的最大值，并求出此时的.【答案】（1）；（2） .【解析】【分析】（1）由题列出方程组，求得，根据进行取舍，可得列的通项公式；（2）由题意，，则，由此可求数列的前项和的最大值. 【详解】（1）由又，.（2）由题意，是等差数列，且.【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，考查等差数列的前和公式，属中档题.19.已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为.求的值；（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先用两角和公式对函数的表达式化简得，利用偶函数的性质即求得，由函数图象的两相邻对称轴间的距离为求得，进而求出的表达式，把代入即可．（Ⅱ）根据三角函数图象的变化可得函数的解析式，再根据余弦函数的单调性求得函数的单调区间．【详解】（1）化简得：为偶函数，又，又函数图象的两相邻对称轴间的距离为，，因此.（2）由题意得令，即的单调递减区间为.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换和三角函数图象的应用．属基础题．20.如图，公路围成的是一块角形耕地，其中顶角满足.在该土地中有一点，经测量它到公路的距离分别为.现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业区．（1）用来表示；（2）为尽量减少耕地占用，问等于多少时，使该工业区面积最小？并求出最小面积.【答案】（1）；（2）当时，面积最小值为..【解析】【分析】（1）由题，则由可得答案；（2）由正弦定理得故，由基本不等式可求面积最小值.【详解】（1），.（2）由正弦定理，得当且仅当，即时等号成立. 解得.答：当时，该工业区的面积最小值为.【点睛】本题考查解三角形在实际生活中的应用，考查正弦定理，基本不等式等，属中档题21.用部分自然数构造如图的数表：用表示第行第个数，使得，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第行中的各数之和为.已知，求的值；令，证明：是等比数列，并求出的通项公式；数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）数列中不存在不同的三项恰好成等差数列.【解析】【分析】（1）利用数表，可求b1，b2，b3，b4，并且b n+1=a（n+1）1+a（n+1）2+…+a（n+1）（n+1）=2（a n1+a n2+…+a nn）+2=2b n+2．（2）由b n+1=2b n+2，可得b n+1+2=2（b n+2），从而{b n+2}是以b1+2=3为首项，2为公比的等比数列，即可求出{b n}的通项公式；（3）设p＞q＞r，{b n}是递增数列，2b q=b p+b r，由此能导出数列{b n}中不存在不同的三项b p，b q，b r恰好成等差数列．【详解】（1）.（2）证明：（常数）又是以为首项，为公比的等比数列. 故.（3）不妨设数列中存在不同的三项恰好成等差数列.即化简得：显然上式左边为偶数，右边为奇数，方程不成立.故数列中不存在不同的三项恰好成等差数列.【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．。