北师大数学九下课件第2课时圆周角定理推论及圆内接四边形
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圆周角定理的推论及圆内接四边形
1、圆周角定理的推论（1）同圆或等圆中,相 等的圆周角所对弧相等.（2）半圆或直径所对 的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直 径。 2、圆内接四边形的有关概念: 如果一个多边 形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫 做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外 接圆． 3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对 角互补.
1.圆周角 顶点在 圆上 ,并且两边都与圆 相交 的角. 2.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆 周角相等, 都等于这条弧所对的圆心角的 一半
小练习
图1
图2
图3
1、如图1，点A、B、C、D在⊙O上，若∠BAC=40°，则∠BOC= ____ ,理由是____； 2、如图2，点A、B、C、D在⊙O上，若∠C=60°， 则∠D=____，∠AOB=_ ___． 3、如图3，等边△ABC的顶点都在⊙O上，点D是⊙O上一点，则∠BDC=____．
∴∠BCD=180°-∠A=111°， ∴∠DCE=180°-∠BCD=69°．故选A．
3.已知如图，在圆内接四边形ABCD中， ∠B=30°，则∠D=__1_5_0_°．
解析:∵圆内接四边形ABCD中，∠B=30°， ∴∠D=180°-30°=150°．故填150°．
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，
已知：四边形ABCD内接于⊙O. 求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.
证明：如图所示，连接OB，OD. ∵∠A所对的弧 BCD
为,
∠C所对的弧为 BAD ,
又∵ BCD 和 BAD 所对的圆心角的和是周角，
∴∠A+∠C= 3600 =180°.
2
同理∠B+∠D=180°.
北师大版九年级下册数学：圆的内接四边形 (共18张PPT)
如图，两个四边形ABCD有什么共同的特点？
D A
D A
C
O
O
B
C
B
四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样
的四边形叫做圆内接四边形； 这个圆叫做四边形的外接圆。
如图，我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
圆内接四边形的对角互补。
D A
O
D A
C
O
B
C
B
几何语句：
∵四边形ABCD为圆内接四边形 ∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）
想一想
D
如图，∠DCE是圆内接 A
四边形ABCD的一个外角，
∠A与∠DCE的大小有什
么关系？
O
B
C
E
随堂练习
在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度 数之比为4:5，求∠C的度数。
知识技能
1.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和 ∠C的度数。
D
A
O
C
B
知识技能
2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求
பைடு நூலகம்
X= 60°
E A
F
X= 50°
定理 同弧或等弧所对的圆周角相等
新课学习
观察图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有
什么特点？你能证明吗？
A
B
O
C
想一想 注意：此处不能直接连接BC，思路是先
保证过点O，再证三点共线。
观察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？
为什么？
A
解：弦BC是直径。
连接OC、OB
（2017 锦州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F ，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（ ）
3.4圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角定理推论2及圆的内接四边形课件北师大版数学九年级下册
推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
几何语言∵AC为直径， ∴∠ABC = 90°
几何语言∵∠BAC = 90°，∴ BC为直径 .
1.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( )A．75° B．60° C. 45° D．30°
二 圆内接四边形及其性质
（2）如图，点C 的位置发生了变化，∠BAD 与 ∠BCD 之间关系还成立吗？为什么？
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立连接OB，OD，则∵∠1+∠2=360°,∴∠BAD+∠BCD=180°.∴∠BAD与∠BCD互补.
1
2
四边形 ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
同弧或等弧所对的圆周角相等.
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
一 直径所对应的圆周角是直角
如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的一个动点 (除点A、B外)，你能求出∠ACB 的大小吗？
解：∵AB是直径，点O是圆心，∴∠AOB=180°.∵∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB= ∠AOB=90°.
根据前面的探究，圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
推论 圆内接四边形的对角互补.
几何语句：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD =180°（圆内接四边形的对角互补）.
如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？
解：∠A=∠DCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°（圆内角四边形的对角互补）.∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠A=∠DCE.
几何语言∵AC为直径， ∴∠ABC = 90°
几何语言∵∠BAC = 90°，∴ BC为直径 .
1.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( )A．75° B．60° C. 45° D．30°
二 圆内接四边形及其性质
（2）如图，点C 的位置发生了变化，∠BAD 与 ∠BCD 之间关系还成立吗？为什么？
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立连接OB，OD，则∵∠1+∠2=360°,∴∠BAD+∠BCD=180°.∴∠BAD与∠BCD互补.
1
2
四边形 ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
同弧或等弧所对的圆周角相等.
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
一 直径所对应的圆周角是直角
如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的一个动点 (除点A、B外)，你能求出∠ACB 的大小吗？
解：∵AB是直径，点O是圆心，∴∠AOB=180°.∵∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB= ∠AOB=90°.
根据前面的探究，圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
推论 圆内接四边形的对角互补.
几何语句：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD =180°（圆内接四边形的对角互补）.
如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？
解：∠A=∠DCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°（圆内角四边形的对角互补）.∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠A=∠DCE.
北师大版数学九年级下册第2课时 圆周角定理的推论2、3课件
⊙O的弦AD交⊙O1于C，则 (1)OC与AD的位置关系是__O_C_垂__直__平__分__A__D;
(2)OC与BD的位置关系是__平__行_；
D
(3)若OC = 2cm，则BD =___4_cm。
C
A O1 O
B
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们 ：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来 。对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜 春风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
►雨水打在窗户上，发出嘀嗒，嘀嗒的声响。这天空好似一个大筛子， 正永不疲倦地把银币似的雨点洒向大地。远处，被笼罩在雨山之中的 大楼，如海市蜃楼般忽隐忽现，让人捉摸不透，还不时亮起一丝红灯， 给人片丝暖意。 ►七月盛夏，夏婆婆又开始炫耀她的手下——太阳公公的厉害。太阳 公公接到夏婆婆的命令，以最高的温度炙烤着大地，天热得发了狂， 地烤得发烫、直冒烟，像着了火似的，马上要和巧克力一样融化掉。 公路上的人寥寥无几，只有汽车在来回穿梭奔跑着。瓦蓝瓦蓝的天空 没有一丝云彩，一些似云非云、似雾非雾的灰气，低低地浮在空中， 使人觉得憋气不舒服。外面的花草树木被热得打不起精神来，耷拉着 脑袋。
∴∠BAD =∠BCD = 90°.
O
∴∠BAD +∠BCD =180°.
B
C
（2）如图，点C 的位置发生了变化，∠BAD 与 BCD 之间关系还成立吗？为什么？
∠BAD +∠BCD =180°还成立. A
(2)OC与BD的位置关系是__平__行_；
D
(3)若OC = 2cm，则BD =___4_cm。
C
A O1 O
B
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们 ：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来 。对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜 春风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
►雨水打在窗户上，发出嘀嗒，嘀嗒的声响。这天空好似一个大筛子， 正永不疲倦地把银币似的雨点洒向大地。远处，被笼罩在雨山之中的 大楼，如海市蜃楼般忽隐忽现，让人捉摸不透，还不时亮起一丝红灯， 给人片丝暖意。 ►七月盛夏，夏婆婆又开始炫耀她的手下——太阳公公的厉害。太阳 公公接到夏婆婆的命令，以最高的温度炙烤着大地，天热得发了狂， 地烤得发烫、直冒烟，像着了火似的，马上要和巧克力一样融化掉。 公路上的人寥寥无几，只有汽车在来回穿梭奔跑着。瓦蓝瓦蓝的天空 没有一丝云彩，一些似云非云、似雾非雾的灰气，低低地浮在空中， 使人觉得憋气不舒服。外面的花草树木被热得打不起精神来，耷拉着 脑袋。
∴∠BAD =∠BCD = 90°.
O
∴∠BAD +∠BCD =180°.
B
C
（2）如图，点C 的位置发生了变化，∠BAD 与 BCD 之间关系还成立吗？为什么？
∠BAD +∠BCD =180°还成立. A
北师大版九年级数学下册课件：3.4第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形
例 问3题如你图能，确AB定为圆⊙形O笑的脸直的径圆，心C吗F⊥？AB于E， ∴∠A∠BADB=C4=09°,0则°.∠BCD=＿＿＿_. 知∴∠识A点DB一＝：9圆0°，周角即定AD理⊥的B推C论. 2
解：(1)AB＝AC. 如∴∠图A，DC四＝边∠形ACADB，CD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于( )
例题讲解
例1 如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长； （2）若∠ADC的平分线交⊙O于B,
求AB、BC的长．
解：(1)∵AC是直径， ∴ ∠ADC=90°. 在Rt△ADC中，
DC AC2 AD2 102 62 8;
(2)∵ AC是直径, ∴ ∠ABC=90°. ∵BD平分∠ADC,
∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-40°=90°,
7.如图，点A，B，D，E在⊙O上，弦AE，BD的延长线
相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．
(1)试判断AB，AC之间的大小关系，并给出证明. 圆如上图一 是条一弧个所圆对形的笑圆脸周，角给等你于一它个所三对角的板圆，心你角有的办一法半确定. 这个圆形笑脸的圆心吗？
课堂小结
推论2
圆周角 定理
直径所所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径
推 论 3 圆内接四边形的对角互补.
获取新知
知识点二：圆周角定理的推论3 四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么，像这样的
四边形叫作圆内接四边形，这个圆叫作四边形的外接圆.
(1)如图1，A，B，C，D是⊙O上的四点， AC为⊙O的直径， ∠BAD与∠BCD之间 有什么关系？为什么？
图1
圆周角定理的推论2和四边形的内角和就 可说明：∠BAD与∠BCD互补
解：(1)AB＝AC. 如∴∠图A，DC四＝边∠形ACADB，CD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于( )
例题讲解
例1 如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长； （2）若∠ADC的平分线交⊙O于B,
求AB、BC的长．
解：(1)∵AC是直径， ∴ ∠ADC=90°. 在Rt△ADC中，
DC AC2 AD2 102 62 8;
(2)∵ AC是直径, ∴ ∠ABC=90°. ∵BD平分∠ADC,
∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-40°=90°,
7.如图，点A，B，D，E在⊙O上，弦AE，BD的延长线
相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．
(1)试判断AB，AC之间的大小关系，并给出证明. 圆如上图一 是条一弧个所圆对形的笑圆脸周，角给等你于一它个所三对角的板圆，心你角有的办一法半确定. 这个圆形笑脸的圆心吗？
课堂小结
推论2
圆周角 定理
直径所所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径
推 论 3 圆内接四边形的对角互补.
获取新知
知识点二：圆周角定理的推论3 四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么，像这样的
四边形叫作圆内接四边形，这个圆叫作四边形的外接圆.
(1)如图1，A，B，C，D是⊙O上的四点， AC为⊙O的直径， ∠BAD与∠BCD之间 有什么关系？为什么？
图1
圆周角定理的推论2和四边形的内角和就 可说明：∠BAD与∠BCD互补
北师大数学九下课件第二课时圆周角定理的推论
灿若寒星
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3.4第2课时圆周角定理的推论2及圆内接四边形(教案)2023春九年级下册数学(北师大版)安徽
接着，在新课讲授环节，我尝试用生动的语言和直观的图形来解释抽象的几何概念。从学生的反馈来看，这种方法是有效的。不过，我也注意到在解释难点时，需要更加耐心和细致，尤其是对于几何证明的逻辑步骤，需要多次重复和强调。
实践活动环节，分小组讨论和实验操作让学生们动手动脑，积极参与。但我发现，在小组活动中，个别学生参与度不高，可能是因为他们对问题不够理解或者缺乏自信。在未来的教学中，我需要更多地关注这些学生，鼓励他们积极参与，提供更多的支持和指导。
3.证明圆内接四边形的对角互补。
4.运用圆内接四边形的性质解决实际问题。
本节课将结合教材内容，通过实例分析和几何证明，让学生深入理解圆周角定理推论2及圆内接四边形的性质，提高学生的几何逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、核心素养目标
1.让学生通过探究圆周角定理推论2及圆内接四边形的性质，培养几何直观和空间想象能力。
-掌握圆内接四边形的性质：对角线互相垂直且平分。
-学会运用以上知识解决实际问题。
举例解释：
-通过直观的图形展示，强调圆内接四边形对角互补这一核心性质，使学生能够直观感受到这一几何关系。
-通过具体例题，讲解如何应用圆内接四边形的性质来求解四边形的相关问题，如求对角线长度、角度等。
2.教学难点
-理解并证明圆内接四边形对角互补的几何逻辑。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆内接四边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
实践活动环节，分小组讨论和实验操作让学生们动手动脑，积极参与。但我发现，在小组活动中，个别学生参与度不高，可能是因为他们对问题不够理解或者缺乏自信。在未来的教学中，我需要更多地关注这些学生，鼓励他们积极参与，提供更多的支持和指导。
3.证明圆内接四边形的对角互补。
4.运用圆内接四边形的性质解决实际问题。
本节课将结合教材内容，通过实例分析和几何证明，让学生深入理解圆周角定理推论2及圆内接四边形的性质，提高学生的几何逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、核心素养目标
1.让学生通过探究圆周角定理推论2及圆内接四边形的性质，培养几何直观和空间想象能力。
-掌握圆内接四边形的性质：对角线互相垂直且平分。
-学会运用以上知识解决实际问题。
举例解释：
-通过直观的图形展示，强调圆内接四边形对角互补这一核心性质，使学生能够直观感受到这一几何关系。
-通过具体例题，讲解如何应用圆内接四边形的性质来求解四边形的相关问题，如求对角线长度、角度等。
2.教学难点
-理解并证明圆内接四边形对角互补的几何逻辑。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆内接四边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
北师大版九年级下册数学《圆周角和圆心角的关系》圆PPT课件教学课件(第2课时)
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
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课时小结：
1．本节课我们探索了圆的对称性． 2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理． 3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决弦长、半径、 弦心距等计算问题．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
课后作业：
(一)课本习题3．2，1、2．试一试１. (二) 预习课本：P94～97内容
新课讲解
知识点2 直角所对的弦是直径
在如图中，圆周角∠A＝90°，弦BC是直径吗？为什么？
新课讲解
90°的圆周角所对的弦是直径.
新课讲解
典例分析
例 如图，已知经过原点的⊙P与x轴、y轴分别交于A，B 两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB等于( B ) A．80° B．90° C．100° D．无法确定
拓展与延伸
已知在半径为4的⊙O中，弦AB＝4 3 ，点P在圆上，则 ∠APB＝_6_0_°__或__1_2_0_°_．
第3单元 · 圆
圆的对称性
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问题： 前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义?
我们是用什么方法研究轴对称图形的?
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交点，即垂足． 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.
问题：（1）右图是轴对称图形吗？ 如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？ 说一说你的理由。
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 弧。 推理格式：如图所示 ∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径 ∴AM=BM，AD BD, AC BC .