高一上册数学上学期期末练习题真题11
高一上学期期末数学试卷第11套真题
高一上学期期末数学试卷一、选择题1. 已知集合A={1，2，3，4}，B={x|﹣2≤3x﹣2≤10，x∈R}，则A∩B=（）A . {1}B . {1，2，3，4}C . {1，3}D . {1，4}2. 函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）的图象恒过点（）A . （0，0）B . （0，1）C . （1，0）D . （a，0）3. 圆心为（1，2）且过原点的圆的方程是（）A . （x﹣1）2+（y﹣2）2=2B . （x+1）2+（y+2）2=2C . （x﹣1）2+（y ﹣2）2=5D . （x+1）2+（y+2）2=54. 直线mx﹣y﹣m+2=0恒过定点A，若直线l过点A且与2x+y﹣2=0平行，则直线l的方程为（）A . 2x+y﹣4=0B . 2x+y+4=0C . x﹣2y+3=0D . x﹣2y﹣3=05. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（）A . 8+4B . 8+4C . 8+16D . 8+86. 若直线2x+y﹣4=0，x+ky﹣3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则此四边形的面积为（）A .B .C .D . 57. 函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 48. 函数f（x）= 的图象大致是（）A .B .C .D .9. 已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下面四个命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n②若m，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β③若m，n是两条异面直线，若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β④如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n上面命题中，正确的序号为（）A . ①②B . ①③C . ③④D . ②③④10. 在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长为3的正三角形，侧棱SA⊥底面ABC，若三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的体积为（）A .B .C .D .11. 集合M={（x，y）|y= }，N={（x，y）|x﹣y+m=0}，若M∩N 的子集恰有4个，则m的取值范围是（）A . （﹣2 ，2 ）B . [﹣2，2 ）C . （﹣2 ，﹣2]D . [2，2 ）12. 已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=8﹣f（4+x），函数g（x）= ，若函数f（x）与g（x）的图象共有168个交点，记作Pi（xi，yi）（i=1，2，…，168），则（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x168+y168）的值为（）A . 2018B . 2017C . 2016D . 1008二、填空题：13. 函数y=ln（2x﹣1）的定义域是________．14. 已知圆C1：x2+y2﹣6x﹣7=0与圆C2：x2+y2﹣6y﹣27=0相交于A、B两点，则线段AB的中垂线方程为________．15. 若函数f（x）=e|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（﹣x），且f（x）在区间[m，m+1]上是单调函数，则实数m的取值范围是________．16. 点B在y轴上运动，点C在直线l：x﹣y﹣2=0上运动，若A（2，3），则△ABC 的周长的最小值为________．三、解答题：17. 已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}（1）若B=∅，求m的取值范围；（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．18. 如图，已知正四棱锥P﹣ABCD的底边长为6、侧棱长为5．求正四棱锥P﹣ABCD的体积和侧面积．19. 已知直线l经过直线2x+y+5=0与x﹣2y=0的交点，圆C1：x2+y2﹣2x﹣2y﹣4=0与圆C2：x2+y2+6x+2y﹣6=0相较于A、B两点．（1）若点P（5，0）到直线l的距离为4，求l的直线方程；（2）若直线l与直线AB垂直，求直线l方程．20. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求点M到平面PBC的距离．21. 已知圆C过两点M（﹣3，3），N（1，﹣5），且圆心在直线2x﹣y﹣2=0上（1）求圆的方程；（2）直线l过点（﹣2，5）且与圆C有两个不同的交点A、B，若直线l的斜率k 大于0，求k的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在直线l使得弦AB的垂直平分线过点P（3，﹣1），若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．22. 已知幂函数在（0，+∞）上为增函数，g（x）=f（x）+2（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）对于任意x∈[1，2]，都存在x1，x2∈[1，2]，使得f（x）≤f（x1），g（x）≤g（x2），若f（x1）=g（x2），求实数t的值；（3）若2xh（2x）+λh（x）≥0对于一切x∈[1，2]成成立，求实数λ的取值范围．。
高一数学上学期期末考试试卷含答案
高一第一学期数学期末考试试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设全集U =R ，集合}41|{<<=x x A ，集合}52|{<≤=x x B ，则=)(B C A U （ ） A ．{}|12x x ≤< B ．}2|{<x x C ．}5|{≥x x D ．{}|12x x <<2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．1)(-=x x f ， 2()=1x g x x- B ． x x f =)(， ()2=g xC ．x x f =)(， ()g x D ． x x f 2)(=， ()g x 3．下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)内单调递减的函数是（ ） A ．12log y x = B ．xy 1-= C ．3y x =- D ．x y tan = 4．三个数 3.3320.99,log ,log 0.8π的大小关系为（ ） A ． 3.323log 0.80.99log π<< B ． 3.323log 0.8log 0.99π<<C ．π323.3log 8.0log 99.0<< D ． 3.332log 0.99log 0.8π<<5．函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭6．将函数sin()4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来2的倍，再向左平移2π个单位，所得图象的函数解析式是（ ） A.sin(2)4y x π=-+B. cos 2xy = C. 3sin(2)4y x π=+D.3sin()24x y π=+7．已知()f x 在R 上是奇函数,且满足()()4f x f x +=,当()0,2x ∈时,()22f x x =,则()7f =（ ）A ．2-B ．2 C.98- D ．988．函数2lg ()=xf x x 的大致图像为（ ）9.定义在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的函数x y cos 2=的图像与函数x y tan 3=图像的交点为M ，则点M 到x 轴的距离为（ ） A.23 B.3 C.1 D.21 10.已知函数2|log |,02()sin(),2104x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则3412(2)(2)x x x x -⋅-⋅的取值范围是（ ）A.(4,16) B.(0,12)C.(9,21)D.(15,25)二．填空题（本大题共7小题，单空每小题4分,多空每小题6分，共36分，将答案填在答题卷的相应位置．）11.lg42lg5+= ______________; 若51cos sin =+x x ，则=x 2sin ___________ 12已知,2tan =α则)cos()2cos(2)23sin()sin(ααππααπ-++---= _______，=+⋅ααα2sin 2cos sin ______.13.函数)10(32≠>+=-a a ay x 且的图像恒过点P ,则P 的坐标为__________，若幂函数)(x f 过点P ，则=)(x f ________.14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-+=1),1lg(1,32)(2x x x x x x f ,则=-))3((f f _________，)(x f 的最小值为_______.15.函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图像如图所示，则)(x f 的解析式为_____________16.函数m x mx x f +-=2)(2在）（2,0上恰有一个零点，则m 的取值范围是_____________ 17.已知()312x f x =-+，若关于x 的方程[]2()(2)()20f x a f x a -++=有三个实根，则实数a 的取值范围是___________三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）18.已知集合{|A x y ==，集合}{1)1(log 2<-=x x B ，集合}{121-≤≤+=m x m x C ， （1）求AB ；()()BC A C U U ⋃.（2）若C C A =⋂，求m 的取值范围；19.已知函数1cos 2)62sin()(2-+-=x x x f π（1）求函数)(x f 的最值及相应x 的取值集合. （2）若,54)(24=<<απαπf 且求α2cos 的值.20.已知定义域为R 的函数21()21x x a f x ⋅-=+是奇函数.（1）求a 的值；（2）试判断()f x 的单调性，并用定义证明；（3）若对任意的[]2,2t ∈-，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围．21.已知函数32)(-+-=x a x x x f . （1）当0=a 时，求函数)(x f 的零点.（2）若4=a 时，求函数)(x f 在区间[]52，上的最值. （3）当[]2,1∈x 时，不等式22)(-≤x x f 恒成立，求a 的取值范围.第一学期高一数学期末复习卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
高一数学上学期期末考试试题含解析11
卜人入州八九几市潮王学校镇海2021第一学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.在第二象限，那么角的终边所在的象限为〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意利用角在各个象限的符号，即可得出结论.【详解】由题意，点在第二象限，那么角的终边所在的象限位于第四象限，应选D.【点睛】此题主要考察了三角函数的定义，以及三角函数在各个象限的符号，其中熟记三角函数在各个象限的符号是解答此题的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题.，，和实数〕A.假设，那么或者B.假设，那么或者C.假设，那么或者D.假设，那么【答案】B【解析】【分析】由向量的垂直条件，数量积为0，可断定A；由向量的数乘的定义可判断B；由向量的平方即为向量的模的平方，可判断C；向量的数量积不是满足消去律，可判断D，即可得到答案.【详解】对于A中，假设，那么或者或者，所以不正确；对于B中，假设，那么或者是正确的；对于C中，假设，那么，不能得到或者，所以不正确；对于D中，假设，那么，不一定得到，可能是，所以不正确，综上可知，应选B.【点睛】此题主要考察了向量的数量积的定义，向量的数乘和向量的运算律等知识点，其中解答中熟记向量的数量积的定义和向量的运算是解答此题的关键，着重考察了判断才能和推理才能，属于根底题.，，假设，那么实数为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据，即可得出，进展数量积的运算即可得出，在由向量的坐标运算，即可求解.【详解】由题意，因为，所以，整理得，又由，所以，解得，应选C.【点睛】此题主要考察了向量的模的运算，以及向量的数量积的坐标运算，其中解答中根据向量的运算，求得，再根据向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.的图象关于直线对称，那么实数的值是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，又由函数的图象关于对称，得到，即可求解.【详解】由题意，函数，又由函数的图象关于对称，所以，即，解得，应选D.【点睛】此题主要考察了三角函数的辅助角公式的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考察了推理与计算才能，属于根底题.的图象上各点横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，然后将图象向右平移个单位，所得图象恰与重合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用逆向思维，对函数的关系式进展平移变换和伸缩变换的应用，求出函数的关系式，即可得到答案.【详解】由题意，可采用逆向思维，首先对函数向左平移个单位，得到的图象，进一步把图象上所有的点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到，应选A.【点睛】此题主要考察了三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换是解答此题的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题.，，那么是〔〕A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数为，由此可得处函数的奇偶性和最小正周期，得到答案.【详解】由函数，所以函数为偶函数，且最小正周期为，应选B.【点睛】此题主要考察了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质，其中解答中纯熟应用三角恒等变换的公式化简，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.，，且，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，，求得，在根据向量的数量积的运算公式和三角函数的根本关系式，化简为齐次式，即可求解.【详解】由题意，，所以，解得，又由向量，，那么，应选B.【点睛】此题主要考察了平面向量的数量积的运算性质，以及利用三角函数的根本关系式化简求值，其中解答中熟记三角函数的根本关系，化简向量的数量积为齐次式是解答的关键，属于根底题，着重考察了推理与运算才能.8.，是方程的两个实数根，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用对数函数的变换，进一步利用一元二次方程的根和系数关系和三角函数关系式的恒等变换，即可求出结果.【详解】由题意，，是方程的两个实数根，即，是方程的两个实数根，所以，那么，应选C.【点睛】此题主要考察了一元二次方程的根和系数的应用，以及三角函数关系式的恒等变换的应用，其中解答中熟记两角和的正切函数的公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.的夹角为，假设向量满足，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，设，由，化简得，表示圆心为，半径为1的圆，结合图形可知，即可求解的最大值.【详解】由题意，设单位向量，且，那么，由，所以，化简得，表示圆心为，半径为1的圆，如下列图，由图形可知，的最大值为，应选A.【点睛】此题主要考察了平面向量的模的计算，以及向量的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的坐标公式，得出向量表示的图形，结合图象求解是解答的关键，着重考察了数形结合思想，以及推理与计算才能，属于根底题.10.有以下表达，①函数的对称中心是；②假设函数〔，〕对于任意都有成立，那么；③函数在上有且只有一个零点；④定义在上的函数，当且仅当〔〕时，成立.那么其中正确的表达有〔〕A.个B.个C.个D.个【解析】【分析】由正切函数的对称性可判断①；由正弦函数的对称性可判断②；由的导数判断单调性，结合零点存在定理可判断③；由正弦函数与余弦函数的图象和性质，可判断④，即可得到答案.【详解】由题意，①中，函数的对称中心是，所以不正确；②中，假设函数对于任意都有成立，可得函数关于对称，那么，所以不正确；③中，函数的导数为，可得函数在上为单调递增函数，又由，即在有且只有一个零点，所以是正确的；④中，定义在上的函数，当时，即时，；当时，即时，；当和，时，成立，即当时，成立，所以是正确的，应选B.【点睛】此题主要考察了三角函数的图象与性质，以及函数与方程的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及函数的零点的存在定理的应用是解答的关键，着重考察了推理与计算才能，以及分析问题和解答问题的才能，属于中档试.第二卷〔非选择题〕二、填空题。
高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分）1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}，则A∩B为（）A．{1，2，3}B．{2，3}C．{1，2}D．（0，3））2．（5分）已知角α在第三象限，且sinα=﹣，则tanα=（）A．B．C．D．3．（5分）的值为（）A．B．C．1 D．﹣14．（5分）已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2=c2+ab，则△ABC的内角C为（）A．150°B．120°C．60°D．30°5．（5分）设函数f（x）=，则f（2）+f（﹣log23）的值为（）A．4 B．C．5 D．66．（5分）若sin（）=，sin（2）的值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知f（x）=sin2x+2cosx，则f（x）的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（5分）已知函数f（x）=cos2x﹣，则下列说法正确的是（）A．f（x）是周期为的奇函数B．f（x）是周期为的偶函数C．f（x）是周期为π的奇函数D．f（x）是周期为π的偶函数9．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+6）=f（x），当x∈（0，3）时，f（x）=x2，则f（64）=（）A．﹣4 B．4 C．﹣98 D．9810．（5分）函数的图象如图所示，为了得到g（x）=sin（3x+）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移π个单位长度B．向左平移π个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度11．（5分）奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[f （x）﹣f（﹣x）]＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）12．（5分）将函数f（x）=2sin（x+2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，所得图象关于直线x=对称，且f（0）＞0，则φ=（）A．B． C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分）13．（5分）已知f（x）=x+log a x的图象过点（2，3），则实数a=．14．（5分）已知sin，且α∈（0，），则tan的值为．15．（5分）已知f（x）=x2﹣ax+2a，且在（1，+∞）内有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，sinB=sinC，则边c=．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=2x﹣sin2x﹣．（I）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（II）求函数f（x）的单调区间．18．（12分）若0，0，sin（）=，cos（）=．（I）求sinα的值；（II）求cos（）的值．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC．（I）求角B的大小；（II）若b=2，求△ABC周长的最大值．20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，函数的图象关于点（）中心对称，且过点（）．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若方程2f（x）﹣a+1=0在x∈[0，]上有解，求实数a的取值范围．21．（12分）在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a＞c，若△ABC的面积为2，sin（A﹣B）+sinC=sinA，b=3．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求边a，c的值．22．（12分）设函数f（x）=a2x+ma﹣2x（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=f（x）﹣2kf（）+2a﹣2x在[0，1]上的最小值为2，求实数k的取值范围．高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分）1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}，则A∩B为（）A．{1，2，3}B．{2，3}C．{1，2}D．（0，3））【解答】解：∵集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，∴A∩B={1，2}．故选：C．2．（5分）已知角α在第三象限，且sinα=﹣，则tanα=（）A．B．C．D．【解答】解：∵角α在第三象限，且sinα=﹣，∴cosα=﹣．∴．故选：C．3．（5分）的值为（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：==．故选：B．4．（5分）已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2=c2+ab，则△ABC的内角C为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【解答】解：△ABC中，a2+b2=c2+ab，∴a2+b2﹣c2=ab，∴cosC===，C∈（0°，180°），∴C=60°．故选：C．5．（5分）设函数f（x）=，则f（2）+f（﹣log23）的值为（）A．4 B．C．5 D．6【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（2）=log22=1，f（﹣log23）==3，∴f（2）+f（﹣log23）=1+3=4．故选：A．6．（5分）若sin（）=，sin（2）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin（）=，∴sin（2）=cos[﹣（2）]=cos（）=cos2（）=．故选：A．7．（5分）已知f（x）=sin2x+2cosx，则f（x）的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：f（x）=sin2x+2cosx，=1﹣cos2x+2cosx，=﹣（cosx﹣1）2+2，当cosx=1时，f（x）max=2，故选：D8．（5分）已知函数f（x）=cos2x﹣，则下列说法正确的是（）A．f（x）是周期为的奇函数B．f（x）是周期为的偶函数C．f（x）是周期为π的奇函数D．f（x）是周期为π的偶函数【解答】解：函数f（x）=cos2x﹣=（2cos2x﹣1）=cos2x，∴f（x）是最小正周期为T==π的偶函数．故选：D．9．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+6）=f（x），当x∈（0，3）时，f（x）=x2，则f（64）=（）A．﹣4 B．4 C．﹣98 D．98【解答】解：由（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的周期函数，又∵又当x∈（0，3）时，f（x）=x2，∴f（64）=f（6×11﹣2）=f（﹣2）=f（2）=22=4．故选：B．10．（5分）函数的图象如图所示，为了得到g（x）=sin（3x+）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移π个单位长度B．向左平移π个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：根据函数的图象，可得A=1，=﹣，∴ω=3，再根据五点法作图可得3×+φ=π，∴φ=，f（x）=sin（3x+）．为了得到g（x）=sin（3x+）的图象，只需将f（x）的图象向左平移个单位长度，故选：D．11．（5分）奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[f （x）﹣f（﹣x）]＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）【解答】解：若奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，又∵f（1）=0，∴f（﹣1）=0，则当x∈（﹣∞，﹣1）∪（0，1）上时，f（x）＜0，f（x）﹣f（﹣x）＜0；当x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）上时，f（x）＞0，f（x）﹣f（﹣x）＞0，则不等式x[（f（x）﹣f（﹣x）]＞0的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），故选：C．12．（5分）将函数f（x）=2sin（x+2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，所得图象关于直线x=对称，且f（0）＞0，则φ=（）A．B． C．D．【解答】解：将函数f（x）=2sin（x+2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，可得y=2sin（x++2φ）的图象，根据所得图象关于直线x=对称，可得++2φ=kπ+，即φ=﹣，k ∈Z．根据且f（0）=2sin2φ＞0，则φ=，故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分）13．（5分）已知f（x）=x+log a x的图象过点（2，3），则实数a=2．【解答】解：∵已知f（x）=x+log a x的图象过点（2，3），故有2+log a2=3，求得a=2，故答案为：2．14．（5分）已知sin，且α∈（0，），则tan的值为2．【解答】解：由sin，得，∴sin（）=1，∵α∈（0，），∴∈（），则=，即，∴tanα=tan．∴tan=1+1=2．故答案为：2．15．（5分）已知f（x）=x2﹣ax+2a，且在（1，+∞）内有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（8，+∞）．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2﹣ax+2a在（1，+∞）内有两个零点，∴，即，解得8＜a．故答案为：（8，+∞）．16．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，sinB=sinC，则边c=3．【解答】解：△ABC中，a=2，cosC=﹣，sinB=sinC，∴b=c，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=22+c2﹣2×2×c×（﹣），化简得5c2﹣3c﹣36=0，解得c=3或c=﹣（不合题意，舍去），∴c=3．故选：3．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=2x﹣sin2x﹣．（I）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（II）求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2x﹣sin2x﹣=（1+cos2x）﹣sin2x﹣=﹣sin2x+cos2x=﹣2sin（2x﹣）；﹣﹣﹣﹣（3分）∴f（x）的最小正周期为π，﹣﹣﹣﹣（4分）对称轴方程为x=+，k∈Z；﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z）；﹣﹣﹣﹣（8分）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）．﹣﹣﹣﹣（10分）18．（12分）若0，0，sin（）=，cos（）=．（I）求sinα的值；（II）求cos（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵0，∴，又sin（）=，∴cos（）=，∴sinα=sin[﹣（）]=sin cos（）﹣cos sin（）=；（Ⅱ）∵0，∴，又cos（）=，∴sin（）=．∴cos（）=cos[（）+（）]=cos（）cos（）﹣sin（）sin（）=．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC．（I）求角B的大小；（II）若b=2，求△ABC周长的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵由（2a﹣c）cosB=bcosC，可得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC，可得：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵A∈（0，π），sinA＞0，∴可得：cosB=，∴由B=，B∈（0，π），B=．﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）∵2R==，a=sinA，c=sinC，﹣﹣﹣﹣（6分）∴可得三角形周长：a+b+c=sinA+sinC+2=sinA+sin（﹣A）+2=4sin（A+）+2，﹣﹣﹣﹣（9分）∵0＜A＜，＜A+＜，可得：sin（A+）∈（，1]．﹣﹣﹣﹣（11分）∴周长的最大值为6．﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，函数的图象关于点（）中心对称，且过点（）．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若方程2f（x）﹣a+1=0在x∈[0，]上有解，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期为T==π，由ω＞0，得ω=2；由函数f（x）的图象关于点（）中心对称，∴2×+φ=kπ，φ=﹣+kπ，k∈Z；又|φ|＜，∴φ=﹣；又f（x）过点（），∴Asin（2×﹣）=1，解得A=2，∴函数f（x）=2sin（2x﹣）；（II）方程2f（x）﹣a+1=0，∴a=4sin（2x﹣）+1；又x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴4sin（2x﹣）+1∈[﹣1，5]，∴实数a的取值范围是[﹣1，5]．21．（12分）在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a＞c，若△ABC的面积为2，sin（A﹣B）+sinC=sinA，b=3．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求边a，c的值．【解答】解：（Ⅰ）由sin（A﹣B）+sinC=sinA，得sinAcosB﹣cosAsinB+sin（A+B）=sinA即2sinAcosB=sinA，∵sinA≠0，∴cosB=．sinB=（Ⅱ）由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣ac⇒a2+c2﹣ac=9…①又∵s=ac•sinB=2，∴ac=6…②△ABC由①②解得，∵a＞c，∴a=3，c=2．22．（12分）设函数f（x）=a2x+ma﹣2x（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=f（x）﹣2kf（）+2a﹣2x在[0，1]上的最小值为2，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得f（0）=0，1+m=0，解得m=﹣1，则f（x）=a2x﹣a﹣2x，f（﹣x）=a﹣2x﹣a2x=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，则m=﹣1成立；（Ⅱ）由f（x）=a2x﹣a﹣2x，f（1）=，可得a2﹣a﹣2=，解得a=2，则f（x）=22x﹣2﹣2x，设y=g（x）=22x+2﹣2x﹣2k（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2k（2x﹣2﹣x）+2，设t=2x﹣2﹣x，y=t2﹣2kt+2x∈[0，1]，可得t∈[0，]，当k＜0时，y min=2成立；当0≤k≤时，y min=2﹣k2=2，解得k=0成立；当k≥时，ymin=﹣3k+=2，解得k=不成立，舍去．综上所述，实数k的取值范围是（﹣∞，0]．。
山东省高一上学期期末数学试题(解析版)
第一学期数学科期末考试说明：本试卷满分150分，分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若，，则（ ）{}|24x A x =<{}|13B x x =∈-<<N A B = A.B. C. D. {}|12x x -<<{}01，{}1{}|13x x -<<【答案】B【解析】 【分析】解不等式求出集合，列举法写出集合，由交集的定义求即可.A B A B ⋂【详解】由，得，所以,又24x <2x <{}|2A x x =<{}0,1,2B =所以 {}01A B ，⋂=故选B ．2. 化简的值是（ ）sin 600︒A. B. C. D. 1212-【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式和常见三角函数值得出结论即可.【详解】 ()()sin 600sin 720120sin 120sin120︒=-︒=-︒=-︒=故选：D3. 命题“”的否定是（ ）20,0x x x ∀>-≤A. B.20,0x x x ∃>-≤20,0x x x ∃>->C.D. 20,0x x x ∀>->20,0x x x ∀≤->【解析】【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“”的否定为：“”. 20,0x x x ∀>-≤20,0x x x ∃>->故选：B.4. 函数（）的零点所在的区间为（ ） ()3e 2x f x x =+-e 2.7183≈A. B. C.D. ()1,0-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2【答案】B【解析】【分析】利用零点存在定理进行逐一验证.【详解】因为，()3e 2xf x x =+-所以， ()131551=10e 2e 221f =--<---<，()031e 0=0220f =+--<，1311102212f ⎛⎫=-->-= ⎪⎝⎭，()31e+1=e 0212f =-->()223e +2=e 02221f =-+>则，()10(02f f ⋅<即函数的零点所在的区间为.()3e 2xf x x =+-10,2⎛⎫⎪⎝⎭故选：B.5. 已知，则（ ）2.112ln2,,ln e 3a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭A. B.a cb >>a bc >>C. D.c b a >>b a c>>【答案】D【分析】由对数函数与指数函数的单调性求解即可【详解】因为， 2.10112ln1<ln2ln e,,ln ln1e e 3-⎛⎫⎛⎫<>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以 () 2.112ln20,1,1,ln 0e 3a b c -⎛⎫=∈=>=< ⎪⎝⎭所以.b ac >>故选：D6. 已知，且，则的值为（ ） π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1sin 3θ=πsin 22θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A. B. C. D. 7979-【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式及二倍角公式即得.【详解】，， π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 1sin 3θ=. 2π27sin 2cos212sin 1299θθθ⎛⎫∴+==-=-= ⎪⎝⎭故选：A.7. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） ()22,1,23,1x x f x x ax a x -+<⎧=⎨-+-⎩…R a A.B. C. D.[]2,1-()2,1-[)2,-+∞(),2-∞-【答案】A【解析】【分析】由已知可得关于a 的不等式组，求解得答案．【详解】当时，单调递减，且1x <()2f x x =-+()()1,f x ∈+∞当时，单调递减，则， 1x …()223f x x ax a =-+-1a …因为函数在上单调递减， ()22,1,23,1x x f x x ax a x -+<⎧=⎨-+-⎩…R所以，解得，故的取值范围为． 11123a a a⎧⎨-+-⎩……21a -……a []2,1-故选：A ．8. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则()045αα︒<<︒1:4（ ）tan α=A. B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为，根据已知可得()cos sin a αα-，由同角三角函数关系化简得，结合角的范围求. ()222cos sin 14a a αα-=23tan 8tan 30αα-+=tan α【详解】设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为，()cos sin a αα-故，故，即()222cos sin 14a a αα-=112sin c 4os αα-=，解得2223sin cos 3tan 3sin cos 8sin cos 8tan 18αααααααα=⇒=⇒=++23tan8tan 30αα⇒-+=tan α=tan α=因为，则，故045α︒<<︒0tan 1α<<tan α=故选：A二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 如果幂函数的图象不过原点，则实数的取值为（ ）()22233m m y m m x --=-+mA.B. C. D. 无解021【答案】BC【解析】 【分析】利用已知条件可得出关于实数的等式与不等式，由此可解得实数的值.m m 【详解】由已知可得，解得或. 2233120m m m m ⎧-+=⎨--≤⎩1m =2故选：BC.10. 若，，则下列不等式恒成立的是0a >0b >A. B. 21a a +>114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C. D.()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭296a a +>【答案】ABC【解析】【分析】根据基本不等式分别判断选项. 【详解】A.根据基本不等式可知时，，即，所以A 正确；0a >212a a a +≥>212a a +>B.当时，，当时等号成立， 0,0a b >>12a a +≥=1a =，当时等号成立，所以当，当时等号成立，故B 12b b +≥=1b =114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1,1a b ==正确；C.，当时等号成立，故C 正确； ()1111224b a a b a b a b ⎛⎫++=++=++≥+= ⎪⎝⎭a b =D.，当时等号成立，又因为，所以等号成立，即，故296a a +≥=29a =0a >3a =296a a +≥D 不正确.故选：ABC【点睛】本题考查基本不等式，重点考查公式的理解和简单应用，属于基础题型.11. 已知函数则以下判断正确的是（ ） ()221,0,2,0,x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩A. 若函数有3个零点，则实数的取值范围是()()g x f x m =-m ()0,1B. 函数在上单调递增()f x (),0∞-C. 直线与函数的图象有两个公共点1y =()y f x =D. 函数的图象与直线有且只有一个公共点()f x 2y x =+【答案】AC【解析】【分析】作出的图像如图所示，B 可直接由图像或二次函数单调性判断；AC 零点及交点问题均可以()f x 通过与交点个数判断；D 通过图像或者联立方程求解即可判断.()y f x =y m =【详解】当， 0,x ≤()22211y x x x =--=++-故的图像如图所示，()221,02,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩对AC ，函数有3个零点，相当于与有3个交点，()()g x f x m =-()y f x =y m =故的取值范围是，直线与函数的图象有两个公共点，AC 对；m ()0,11y =()y f x =对B ，函数在上先增后减，B 错；()f x (),0∞-对D ，如图所示，联立可得解得或，由图右侧一定有一个交点，故函数222y x y x x =+⎧⎨=--⎩20x y =-⎧⎨=⎩11x y =-⎧⎨=⎩的图象与直线不止一个公共点，D 错.()f x 2y x =+故选：AC12. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） ()()ππsin 222f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭π3x =A. 函数在上为减函数 ()f x ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 函数为偶函数 π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. 由可得是的整数倍 ()()1212f x f x ==12x x -πD. 函数在区间上有19个零点()f x ()0,10π【答案】AB【解析】【分析】由函数的对称性求出的值，从而可得的解析式．对于A ，由三角函数的性质即可判断；ϕ()f x 对于B ，化简即可判断；对于C ，当，时，即可得出判断；对于D ，令co 2πs 3f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭1π6x =2π2x =，则，由题意解得，由此即可判断． ()0f x =π2π,Z 6x k k -=∈112066k -<<-【详解】因为函数的图象关于直线对称， ()f x π3x =所以，，可得， 232ππk πϕ⨯+=+Z k ∈,Z 6k k ϕπ=π-∈又，所以， ππ22ϕ-<<π6ϕ=-所以． π()sin(2)6f x x =-对于A ，当时，，由正弦函数性质知是减函数，故A 正确； ππ,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2ππ5π,626x -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 对于B ，是偶函数，故B 正确； πsin 2sin 6ππ2cos232π3f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于C ，当，时，，但不是的整数倍，故C 错误； 1π6x =2π2x =121()()2f x f x ==12π3x x -=-π对于D ，令，则，即， π()sin(2)06f x x =-=π2π,Z 6x k k -=∈ππ,Z 122k x k =+∈由，解得， ππ010π122k <+<112066k -<<-因为，所以，因此在区间上有20个零点，故D 错误， Z k ∈0,1,2,,18,19k =L ()f x ()0,10π故选：AB ．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 当且时，函数的图象一定经过定点___________0a >1a ≠24x y a -=+【答案】()2,5【解析】【分析】令可求出定点.20x -=【详解】令，可得当时，，所以图象一定经过定点.20x -=2x =5y =()2,5故答案为：.()2,514.______. tan 70tan 5050tan 70+=【答案】【解析】【分析】根据，化简整理，即可得出结果. tan 70tan 50tan1201tan 50tan 70+=-⋅【详解】因为， tan 70tan 50tan1201tan 50tan 70+=-⋅所以，()tan 70tan 50tan1201tan 50tan 70tan 50tan 70+=-⋅=+⋅∴原式50tan 7050tan 70=+⋅-⋅=故答案为【点睛】本题主要考查三角恒等变换，熟记两角和与差的正切公式即可，属于常考题型. 15. 已知扇形的半径为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数为_______. 243π【答案】23π【解析】 【分析】根据扇形的面积公式，即可求解.【详解】设扇形的圆心角的弧度数为α,解得 212234S απ=⋅=扇形23απ=故答案为 23π【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题.16. 若函数在区间上递减，则a 的取值范围是______． ()()2lg 21f x x ax a =-++(],1-∞【答案】[)1,2【解析】【分析】令，则，结合及复合函数单调性得解． 221u x ax a =-++lg f u u =（）2210x ax a -++>【详解】令，则， 221u x ax a =-++lg f u u =（）函数的对称轴为，如图所示：221u x ax a =-++x a =若函数在区间上递减，只需在区间上单调()()2lg 21f x x ax a =-++(],1-∞221u x ax a =-++]1∞（-，递减，由图象可知，当对称轴时，在区间上单调递减， 1a ≥221u x ax a =-++]1∞（-，又真数，且在上单调递减， 2210x ax a -++>221u x ax a =-++]1∞（-，故只需当时， ，1x =2210x ax a -++>代入解得，所以a 的取值范围是[1，2）1x =2a <故答案为：.[)1,2四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. （1）计算：； 1213lg15lg 42-⎛⎫++- ⎪⎝⎭（2）已知，求的值． 4cos sin 13sin 2cos 4αααα-=+tan α【答案】（1）1（2）2【解析】【分析】（1）利用指数、对数的运算及其运算性质计算求解.（2）分子分母同时除以，把弦化切进行求解. 4cos sin 13sin 2cos 4αααα-=+cos α【详解】（1）原式= ()121233122lg 1523-⨯⨯⎛⎫⎛⎫+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ()1112lg102-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=221-+=1（2）因为，且， 4cos sin 13sin 2cos 4αααα-=+cos 0α≠所以分子分母同除以有： cos α， 4cos sin 4tan 13sin 2cos 3tan 24αααααα--==++即，3tan 2164tan αα+=- 7tan 14α=解得 .tan 2α=18. 已知，且. 0,022ππαβ<<<<3cos ,cos()5ααβ=+=（1）求的值； sin 24πα⎛⎫+⎪⎝⎭（2）求的值. β【答案】（1； （2）.4πβ=【解析】 【分析】（1）由同角平方关系可得，再由二倍角正余弦公式有、，4sin 5α=7cos 225α=-24sin 225α=最后利用和角正弦公式求值.（2）由题设可得，结合差角余弦公式求出对应三角函数sin()αβ+=()βαβα=+-β值，由角的范围确定角的大小.【小问1详解】 由，，则， 02πα<<3cos 5α=4sin 5α=所以，， 27cos 22cos 125αα=-=-24sin 22sin cos 25ααα==而. 17sin 22cos 2)425αααπ⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭【小问2详解】由题设，而 0αβ<+<πcos()αβ+=sin()αβ+=而. cos cos[()]cos()cos 3sin (45)si 5n βαβααβααβα=+-=+++==又，则. 02βπ<<4πβ=19. 已知关于的不等式的解集为.x ()233log 2log 30x x --≤M （1）求集合；M（2）若，求函数的最值． x M ∈()()33log 3log 81x f x x ⎛⎫=⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭【答案】（1）；（2），. 1,273⎡⎤⎢⎥⎣⎦()min 254f x =-()max 0f x =【解析】 【分析】（1）由得，可解出实数的范围，即可得出集合； ()233log 2log 30x x --≤31log 3x -≤≤x M （2）换元，可得出，则，问题转化为求二次函数3log t x =13t -≤≤()()()14f x t t =+-在上的最值问题，然后利用二次函数的性质求解即可.()()14y t t =+-[]1,3t ∈-【详解】（1）由，得，解的， ()233log 2log 30x x --≤31log 3x -≤≤1273x ≤≤因此，； 1,273M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）， ()()()()()23333log log 3log log 811434f x x x t t t t =+-=+-=--Q ，则，二次函数， 1,273x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q []3log 1,3t x =∈-223253424y t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭当时，， 32t =()min min 254f x y ==-又当时，，当时，，.1t =-0y =3t =4y =-()max 0f x ∴=因此，函数在区间上的最大值为，最小值为. ()y f x =M 0254-【点睛】本题考查对数不等式的求解，同时也考查了对数型函数的最值问题，解题的关键就是利用换元法将对数型函数的最值问题转化为二次函数的最值问题来求解，考查化归与转化思想，属于中等题.20. 已知函数. ()9π3π19πsin 2sin 246f x x x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1），求函数的单调区间；()0,πx ∈()f x（2）求函数的解集. ()f x ≤【答案】（1）单增区间是，单减区间是； 3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π7π0,,,π88⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）. π17ππ,π,Z 2424k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用诱导公式及三角函数恒等变换可得，然后根据三角函数的性质()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即得；（2）根据余弦函数的图象和性质即得.【小问1详解】因为 ()9π3π19πsin 2sin 246f x x x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122x x x ⎛⎫⎛⎫=++⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos 2cos 1x x x =-+-cos2sin 2x x =-， π24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，得， π2ππ22π2π,Z 4k x k k +≤+≤+∈37,Z 88k x k k πππ+≤≤π+∈令，得， π2π22ππ,Z 4k x k k ≤+≤+∈3,Z 88k x k k πππ-≤≤π+∈故函数的递调递增区间为，单调递减区间为， ()f x 37,,Z 88k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦3,,Z 88k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦又，()0,πx ∈所以函数的单增区间是，单减区间是； ()f x 3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π7π0,,,π88⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【小问2详解】由， ()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π1cos 242x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭所以， ππ5π2π22π,Z 343k x k k +≤+≤+∈即， π17πππ,Z 2424k x k k +≤≤+∈所以不等式的解集是. π17ππ,π,Z 2424k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦21. 某创业团队拟生产A 、B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比（如图1），B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2），（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A 、B 两种产品的利润、表示为投资额x 的函数；()f x ()g x （2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A 、B 两种产品的生产，问：当B 产品的投资额为多少万元时，生产A 、B 两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？【答案】（1）， 1()(0)4f x x x =≥()0)g x x =≥（2）6.25万元，4.0625万元【解析】【分析】（1）设，，代入点的坐标，求出解析式；()()0f x kx x =≥()0)g x x =≥（2）设B 产品的投资额为x 万元，创业团队获得的利润为y 万元，列出，换元后，配方得到时，y 取得最大值4.0625. 1(10)(010)4y x x =-≤≤ 6.25x =【小问1详解】因为A 产品的利润与投资额成正比，故设，()()0f x kx x =≥将代入，解得：， ()1,0.2514k =故， 1()(0)4f x x x =≥因为B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比，故设，()0)g x x =≥将，解得：， ()4,2.5 2.5=54m =故； ()0)g x x =≥【小问2详解】设B 产品的投资额为x 万元，则A 产品的投资额为万元，创业团队获得的利润为y 万元，()10x -则. 1()(10)(10)(010)4y g x f x x x =+-=+-≤≤，可得， (0t t =≤≤2155(0442y t t t =-++≤≤即. 21565(04216y t t ⎛⎫=--+≤≤ ⎪⎝⎭当，即时，y 取得最大值4.0625. 52t = 6.25x =答：当B 产品的投资额为6.25万元时，生产A ，B 两种产品能获得最大利润.获得的最大利润为4.0625万元.22. 已知函数是定义在上的奇函数且 ()()2,R x b f x a b x a +=∈+[]1,1-()112f =（1）求函数的解析式；()f x （2）判断函数的单调性；并利用单调性定义证明你的结论；()f x （3）设，当，使得成立，试求()()12g x f x =-+121,,12x x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦()()()21112100g mx x g x f x -+->实数的所有可能取值.m 【答案】（1） ()21x f x x =+（2）函数在上增函数，证明见解析()f x []1,1-（3）.25<≤m 【解析】【分析】（1）利用题给条件列出关于a 、b 的方程，解之即可求得a 、b 的值，进而得到函数的解析()f x 式；（2）利用函数单调性定义去证明函数在上为增函数；()f x []1,1-（3）利用函数在上为增函数，构造关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围. ()f x 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦m m 【小问1详解】由在上的奇函数， ()f x []1,1-所以，则，则 ()00b f a ==0b =()2x f x x a=+由，得，所以.经检验符合题意； ()11112f a ==+1a =()21x f x x =+【小问2详解】函数在上增函数，证明如下： ()f x []1,1-设，且， []12,1,1x x ∀∈∈-12x x <则， ()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++又，所以，因为，所以， 12x x <120x x -<[]12,1,1x x ∈-1210x x ->所以，则， ()()()()121222121011x x x x x x --<++()()12f x f x <故函数在上增函数；()f x []1,1-【小问3详解】，使得成立， 121,,12x x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦()()()21112100g mx x g x f x -+->即，使得成立， 121,,12x x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦()()()21112111040f mx x f x f x --+--+>即， ()()()2111211104f mx x f x f x --+->-∵，即， ()2min 1225f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得成立， ()()211121110405f mx x f x --+->⨯-=，使得， 11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦()()211111f mx x f x -->-即，且， 11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦211111mx x x -->-1111mx x -≤--≤1即且， 11min 21m x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭1max 211m x ⎛⎫≤≤+ ⎪⎝⎭当时，， 11,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11min 212x x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭1max 215x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即且，解得：.m>215m ≤≤25<≤m。
高一上学期期末数学试题带答案
高一上学期期末数学试题带答案一、选择题1．已知全集U =R ，{|lg 0}A x x =<，则UA（ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|0x x ≤或1}x ≥C ．{|0 x x <或1}x >D ．{|0}x x ≤ 2．函数()lg 2f x x x =+-的定义域为（ ） A ．[0,2]B ．(]0,2C ．[0,)+∞D ．(,2]-∞3．“角θ是第一或第三象限角”是“sin cos 0>θθ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4，则cos 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．45-B ．35C ．35D ．455．函数()lg(2)1f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个几何图形(圆)，筒车的半径为4m ，筒车转轮的中心O 到水面的距离为2m ，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现(即0P 时的位置)时开始计算时间，且以水轮的圆心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ．设盛水筒M 从点0P 运动到点P 时所经过的时间为(t 单位：s)，则点P 第一次到达最高点需要的时间为（ ）A ．7sB ．132s C ．6s D ．5s7．若奇函数()f x 在(],0-∞内递减，则不等式()()1lg f f x <的解集是（ ） A ．10,10,10B ．1,10⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()0,10D ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭8．在必修第一册教材“8.2.1几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当02x <<或4x >时，22x x >；当24x <<时，22x x <，请比较4log 3a =，sin3b π=，cos32c π-=的大小关系A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>二、填空题9．已知函数()12ax a f x x -+=+，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的定义域为()(),22,-∞--+∞B ．当函数()f x 的图象关于点()2,3-成中心对称时，32a = C ．当13a <时，()f x 在()2,+∞上单调递减D ．设定义域为R 的函数()g x 满足()()44g x g x -+-=，若2a =，且()f x 与()g x 的图象共有2020个交点，记为(),i i i A x y (1i =，2，…，2020)，则()()()112220202020x y x y x y ++++++的值为010．下列命题为真命题的是（ ）A ．若a b >，则11a b< B ．若0a b <<，则22a ab b >>C 5D ．lg 0x <是1x <的充分不必要条件11．已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，且0ac <，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．ab ac >B ．()0c b a ->C ．()0ac a c -<D ．22cb ab <12．已知函数()π2sin 216f x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为π2B ．若函数()f x 的最大值为6，则3m =C ．直线π6x =是函数()f x 的图象的一条对称轴D ．函数()f x 的图象可由函数()π2sin 213g x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度得到三、多选题13．已知命题“x R ∀∈，240x x a -+>”的否定是______. 14．对数式lg 25﹣lg 22+2lg 6﹣2lg 3＝_____． 15．已知0a >，且1a ≠．若函数223()xx f x a -+=有最大值，则关于x 的不等式()2log 570a x x -+>的解集为_________．16．函数2,0()2cos 2,03x x f x x x ππ⎧≥⎪=⎨⎛⎫--≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，若方程()f x a =恰有三个不同的解，记为1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围是________．四、解答题17．已知集合()(){}10A x x a x a =-++≤，{3B x x =≤或}6x ≥. （1）当4a =时，求A B ；（2）当0a >时，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求a 的取值范围. 18．已知点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 是函数()()2sin f x x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点(1,P ，当12()()4f x f x -=时，12x x -的最小值为3π. （1）求函数()f x 的单调减区间; （2）求函数()f x 在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的值域; （3）若方程()23()0f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不相等的实数解，求实数m 的取值范围.19．已知函数22()log x f x x+=. （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 在()0,∞+内的单调性，并证明你的结论；（3）是否存在实数m ，使得()()g x f x m =-为奇函数？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.20．已知函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠），且()31f =. （1）求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；（2）设函数()()()11g x f x f x =+--，试判断()g x 的奇偶性，并说明理由；（3）若不等式()()42x xf t f t ⋅≥-对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.21．已知函数()212sin sin 2cos 32f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()()()221216g x f x mf x m =-+-有四个零点，求实数m 的取值范围.22．已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()()a g x f x f x =+是定义在R 上的奇函数. （1）求实数a 的值；（2）用单调性的定义证明：()g x 是减函数； （3）若函数()()()()1222h x f x mg x f x =+-在()0,∞+上有两个不同的零点1x ，2x ， （ⅰ）求实数m 的取值范围；（ⅱ）求证：(122log 2x x +>.【参考答案】一、选择题 1．B 【解析】 【分析】首先利用对数函数的性质求出集合A ，然后再利用集合的补集运算即可求解. 【详解】R U =.{|lg 0}{|01}A x x x x =<=<<， {|0UA x x ∴=≤或1}x ≥故选：B. 【点睛】本题考查了集合的补集运算以及对数函数的性质，属于基础题. 2．B 【分析】根据函数的解析式，直接列出使得解析式有意义的不等式，即可求函数的定义域. 【详解】函数()lg f x x =020x x >⎧⎨-≥⎩，解得02x <≤．故选：B ． 3．C 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合象限角的正弦、余弦的正负情况进行判断即可. 【详解】角θ是第一象限角时，sin 0,cos 0θθ，则sin cos 0>θθ；若角θ是第三象限角，sin 0,cos 0θθ<<，则sin cos 0>θθ.故“角θ是第一或第三象限角”是“sin cos 0>θθ”的充分条件.若sin cos 0>θθ，即sin 0,cos 0θθ或sin 0,cos 0θθ<<，所以角θ是第一或第三象限角.故“角θ是第一或第三象限角”是“sin cos 0>θθ”的必要条件. 综上，“角θ是第一或第三象限角”是“sin cos 0>θθ”的充要条件. 故选:C. 4．D 【分析】求出OP r =，由三角函数定义求得sin α，再由诱导公式得结论． 【详解】依题有5r =，∴4sin 5α，∴4cos sin 25παα⎛⎫-== ⎪⎝⎭.故选：D ． 5．B 【分析】函数()f x 在()0,∞+单调递增，利用零点存在定理即可判断零点所在的区间. 【详解】()lg(2)1f x x x =+-在()0,∞+单调递增，111lg110222f ⎛⎫=+-=-< ⎪⎝⎭，()1lg211lg20f =+-=>，因为()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭由零点存在定理可知函数()lg(2)1f x x x =+-的零点所在区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭， 故选：B 6．D 【分析】设点P 离水面的高度为()sin()f t A t ωϕ=+，根据题意求出,,A ωϕ，再令()4f t =可求出结果. 【详解】设点P 离水面的高度为()sin()f t A t ωϕ=+， 依题意可得4A =，826015ππω==，6πϕ=-， 所以2()4sin()156f t t ππ=-， 令2()4sin()4156f t t ππ=-=，得2sin()1156t ππ-=，得221562t k ππππ-=+，k Z ∈，得155t k =+，k Z ∈，因为点P 第一次到达最高点，所以2015215t ππ<<=， 所以0,5s k t ==. 故选：D 7．C 【分析】根据题意可得出()f x 在R 上单调递减，从而由不等式f （1）(lg )f x <可得出lg 1x <，然后解出x 的范围即可． 【详解】奇函数()f x 在(-∞，0]内递减， ()f x ∴在(0,)+∞内递减， ()f x ∴在R 上递减，∴由f （1）(lg )f x <得，lg 1x <，解得010x <<， ∴不等式f （1）(lg )f x <的解集是(0,10)．故选：C ． 8．B 【分析】根据题意化简得b =c =b c >，4log 3a =化为指数2log 3t =根据当02x <<或4x >时，22x x >判定a b <，将,a c 两边同时取底数为4的指数，通过放缩比较的c a<进而得出答案. 【详解】解：因为sin 3b π==cos 31222c π--===b c >， 对于421log 3log 32a ==，令2log 3t =，则23t =故(1,2)t ∈当02x <<或4x >时，22x x >，所以22t t >，即23,1t t >∴<<所以2t a b =<=，将,a c 两边同时取底数为4的指数得4log 3443,4a c ==== 因为3223,c a <=∴<所以b a c >> 故选：B. 【点睛】方法点睛：指、对、幂大小比较的常用方法：（1）底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性； （2）指数相同，底数不同，如1ax 和2ax 利用幂函数a y x =单调性比较大小；（3）底数相同，真数不同，如1log a x 和2log a x 利用指数函数log a x 单调性比较大小； （4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.二、填空题9．ACD 【分析】结合选项逐个验证即可，定义域结合分母不为零易求，变形解析式可得B,C 选项的正误，结合(),()f x g x 的对称性可得选项D 的正误. 【详解】()f x 的定义域为()(),22,-∞--+∞，A 正确；()132ax a x f -=++，故()f x 的图象关于点()2,a -成中心对称，故当()f x 的图象关于点()2,3-成中心对称时，3a =，B 错误；当13a <时，130a ->，则()132a x a x f -=++在()2,+∞上单调递减，C 正确；若()()44g x g x -+-=，则()g x 的图象关于()2,2-对称，若2a =，则()f x 的图象也关于()2,2-对称，则()f x 与()g x 图象的交点成对出现，且每一对均关于()2,2-对称，所以122020x x x +++=220204040-⨯=-，122020*********y y y +++=⨯=，则()()()112220202020x y x y x y ++++++0=，故D 正确，故选：ACD. 10．BCD 【分析】利用作差法比较大小判断AB 的正误，利用基本不等式判断C 的正误，利用充分条件和必要条件的定义判断D 的正误即可. 【详解】选项A 中，若a b >，则11b a a b ab --=，其中分子0b a -<，分母ab 不确定符号，故11,a b大小不确定，A 错误；选项B 中，若0a b <<，则由()20a ab a a b -=->，得2a ab >；由()20ab b b a b -=->，得2ab b >；故22a ab b >>，B 正确；选项C 中，由根式有意义可知，(10)0x x -≥，即010x ≤≤，当0x =或10时，(10)0x x -=，当010x <<(10)52x x +-≤=成立，当且仅当10x x =-即5x =5成立，C 正确；选项D 中，若lg 0x <，则lg 0lg1x <=，则01x <<，可推出1x <；反过来，1x <推不出01x <<，故lg x 可能没意义，推不出lg 0x <，故lg 0x <是1x <的充分不必要条件，D 正确. 故选：BCD. 【点睛】 方法点睛：不等式比较大小的方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）利用基本不等式进行比较；（4）构造函数，利用函数单调性进行比较. 11．ABC根据c b a <<，且0ac <，得到0,0a c ><，然后利用不等式的基本性质，逐项判断. 【详解】因为实数a ，b ，c 满足c b a <<，且0ac <， 所以0,0a c ><，由,0b c a >>，得ab ac >，故A 正确； 由,0b a c <<，得()0c b a ->，故B 正确； 由,0a c ac ><，得()0ac a c -<，故C 正确；由2,0a c b >≥，得22cb ab ≤，当0b =时，等号成立，故D 错误； 故选：ABC 12．BC 【分析】对于A 可以根据正弦函数最小正周期公式直接求得；对于B 根据题意得出等式计算即可；对于C 利用代入法判断即可；对于D 得出函数()π2sin 213g x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度的解析式与函数()f x 的解析式对比即可. 【详解】对于A ，函数()π2sin 216f x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的最小正周期2T ππω==,故A 错误； 对于B ，函数()π2sin 216f x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭最大值为2113m m ⨯++=+，若函数()f x 的最大值为6，则3m =，故B 正确； 对于C ，代入π6x =可知πsin 2=sin 162x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，函数取得最大值，所以直线π6x =是函数()f x 的图象的一条对称轴，故C 正确；对于D ，函数()π2sin 213g x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度得到π2sin 212sin 2163y x m x m π⎛⎫⎛⎫-+++⎪==++ ⎪⎝⎭⎝⎭，与()f x 图像不同，故D 错误.故选:BC三、多选题13．x R ∃∈，240x x a -+≤ 【分析】由全称命题的否定即可得解.因为命题“x R ∀∈，240x x a -+>”为全称命题， 所以该命题的否定为“x R ∃∈，240x x a -+≤”. 故答案为：x R ∃∈，240x x a -+≤. 14．1 【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案. 【详解】()()22522lg62lg3lg5lg2lg5lg2lg36lg9lg5lg2lg41lg -+=+-+-=-+=lg ﹣故答案为：1 【点睛】本题考查了对数式的计算，意在考查学生的计算能力.15．()2,3【分析】由复合函数单调性可确定223u x x =-+在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增；由函数有最大值可知()uf u a =单调递减，得到01a <<；根据对数函数单调性可将不等式化为20571x x <-+<，解不等式求得结果.【详解】223()xx f x a -+=，()f x ∴定义域为R223u x x =-+在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增()f x 有最大值，()u f u a ∴=需在R 上单调递减，01a ∴<<由()2log 570a x x -+>，得20571x x <-+<，解得：23x <<∴不等式的解集为()2,3故答案为：()2,3 【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数单调性求解函数不等式，涉及到复合函数单调性的求解、根据函数有最值求解参数范围等知识，解题的关键是通过复合函数的单调性确定函数有最值时，对数的底数所处的范围，再利用对数函数的单调性解不等，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于中档题.16．55,133ππ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ 【分析】作出函数的图像，由()f x a =恰有三个不同的解，得()f x 的范围，得到12,x x 的对称性，再判断3x 的范围，利用数形结合求解. 【详解】作出函数的图像如图所示，根据图像可知()f x a =恰有三个不同的解时[)()1,2f x ∈，设123x x x <<，令22,3x k k Z ππ-=∈，可得,6x k k Z ππ=+∈，根据对称性可知12,x x 关于65x π=-对称，所以1253x x π+=-，又因为[)30,1x ∈，所以()12355,133x x x ππ⎡⎫++∈--⎪⎢⎣⎭. 故答案为：55,133ππ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点睛：本题利用数形结合的方法求解函数零点问题，解答本题的关键在于作出函数的图像，利用三角函数的对称性得到12x x +，再结合图像判断3x 的范围.四、解答题17．（1）{4A B x x ⋃=≤或}6x ≥；（2）(]0,3. 【分析】（1）当4a =时，解出集合A ，计算A B ；（2）由集合法判断充要条件，转化为A B ⊆，进行计算. 【详解】解：（1）当4a =时，由不等式()()450-+≤x x ， 得54x -≤≤，故{}54A x x =-≤≤， 又{3B x x =≤或}6x ≥，所以{4A B x x ⋃=≤或}6x ≥.（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，等价于A B ⊆，因为0a >，由不等式()()10x a x a -++≤，得{}1A x a x a =--≤≤， 又{3B x x =≤或}6x ≥， 要使A B ⊆，则3a ≤或16a --≥， 综合可得a 的取值范围为(]0,3. 【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断： (1)若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； (2)若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； (3)若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对应集合与p 对应集合互不包含． 18．（1）()52112,183183k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）(]0,2；（3）112⎧⎫⎨⎬⎩⎭或(]10,0- 【分析】（1）利用三角函数的定义求出ϕ的值，由题意知223T ππω==可得ω的值，进而可得()f x 的解析式，利用整体代入法以及正弦函数的单调性即可求解； （2）由x 的范围求出33x π-的范围，利用正弦函数的性质即可求解；（3）设()(]0,2f x t =∈，将问题转化为y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象只有一个交点，数形结合可得112m -=-或010m ≤-<，即可求解. 【详解】（1）因为角ϕ的终边经过点(1,P ，所以tan ϕ= 因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-，因为当12()()4f x f x -=时，12x x -的最小值为3π， 所以223T ππω==，可得：3ω=，所以()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()3232232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈解得：()52112183183k k x k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调减区间为()52112,183183k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ （2）当4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，033x ππ<-<，所以0sin 313x π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，所以()02sin 323f x x π⎛⎫<=-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的值域为(]0,2， （3）设()(]0,2f x t =∈，因为方程()23()0f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不相等的实数解， 则230t t m -+=在(]0,2t ∈内有一根或两个相等的实根，因为23m t t -=-，所以y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象只有一个交点，作出y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象，由图知：当16t =时211136612y ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭；当0t =时，0y = ；当2t =时，232210y =⨯-=， 所以112m -=-或010m ≤-≤直线y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象只有一个交点， 当10m -=时，2t =，此时方程()2sin 323f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭只有一解，不符合题意，所以112m -=-或010m ≤-<， 即方程()23()0f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不相等的实数解， 所以：112m =或100m -<≤ 所以实数m 的取值范围为：112⎧⎫⎨⎬⎩⎭或(]10,0-19．（1）{|2x x <-或0}x >；（2）()f x 在()0,∞+内单调递减，证明见解析；（3）存在，1m =.（1）根据对数的真数为正数列式，解不等式可得结果；（2）()f x 在()0,∞+内单调递减，利用减函数的定义可证明结论正确；（3）假设存在实数m ，使得()()g x f x m =-为奇函数，利用()()0g x g x +-=求出1m =即可得解. 【详解】（1）要使函数有意义，则20x x+>，则()20x x +>，得2x <-或0x >. ∴函数的定义域为{|2x x <-或0}x >. （2）()f x 在()0,∞+内单调递减， 证明：任取()12,0,x x ∈+∞且12x x <， ()()()()2112122221212222log log log 2x x x x f x f x x x x x +++-=-=+， ∵120x x <<，∴122121220x x x x x x +>+>， ∴()()2112212x x x x +>+，∴()()212122log 02x x x x +>+，∴()()12f x f x >，()f x 在()0,∞+内单调递减.（3）假设存在实数m ，使得()()g x f x m =-为奇函数， 因为22()()log x m g x f x m x m -+=-=-，2222()log log x m x m g x x m x m--+-+-==----，所以()()0g x g x +-=，即2222log log 0x m x m x m x m+--++=+-， 所以(2)(2)1()()x m x m x m x m +--+=+-，所以2222(2)x m x m --=-，即22(2)m m -=，解得1m =. 故存在实数m 1=，使得()()g x f x m =-为奇函数. 【点睛】关键点点睛：掌握函数单调性的定义和奇偶性的定义是本题解题关键. 20．（1）3a =；0,；（2）奇函数；答案见解析；（3）2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）解方程()3log 31a f ==即得函数的解析式和定义域；（2）先求出函数()g x 的定义域，再利用奇函数的定义判断函数的奇偶性；（3）等价于2114122x x x xt ≥=++，令122xx y =+，利用函数的单调性求函数的最小值即得解.（1）()3log 31a f ==，3a =；()()3log 0f x x x =>（2）()()()11g x f x f x =+--∴1010x x +>⎧⎨->⎩∴11x -<< ()()()()11g x f x f x g x -=--+=-∴()g x 为奇函数；（3）()3log f x x =∴()f x 是单调递增函数()()42x x f t f t ⋅≥-∴420x x t t ⋅≥->∴()412x xt +≥∴2114122x x x xt ≥=++令122xx y =+，[]1,2x ∈时该函数为增函数， ∴min15222y =+=∴12552t ≥=又∵20x t ->∴()min22xt <=.综上2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，考查函数的奇偶性的判定，考查不等式的恒成立问题和函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21．（1）5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈（2m << 【分析】（1）化简()f x 的解析式，根据正弦函数的增区间可得结果；（2）转化为221()216h t t mt m =-+-在内有两个零点，根据二次函数列式可得结果. 【详解】（1）()212sin sin 2cos 32f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭12sin sin cos cos sin 1cos 2332x x x x ππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭21cos sin 1cos 22x x x x =-++-212cos cos 22x x x =++-1cos 212cos 222x x x +=++-32cos 22x x =+)3x π=+，由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈. （2）当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，52(0,)36x ππ+∈，())3f x x π+∈，因为函数()()()221216g x f x mf x m =-+-有四个零点，令()t f x =，则(t ∈且221()216h t t mt m =-+-在内有两个零点，所以2214401600m m m h h ⎧⎛⎫∆=--> ⎪⎪⎝⎭<⎨⎪>⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，即22316043160m m m <<⎪⎪+->⎨⎪⎪-+->⎪⎩，解得m <<⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩m <<， 所以实数mm <<. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.22．（1）1a =-；（2）证明过程见解析；（3）（ⅰ）m <ⅱ）证明过程见解析.（1）根据奇函数的性质和定义进行求解即可；（2）利用单调性的定义，结合指数函数的单调性进行证明即可；（3）（ⅰ）利用换元法，结合（2）的性质，把问题转化为方程有两个负实数根问题进行求解即可；（ⅱ）结合（ⅰ），利用换元法，结合基本不等式进行证明即可. 【详解】（1）因为()()()ag x f x f x =+是定义在R 上的奇函数， 所以()()()00001010ag f a a f =⇒+=⇒+=⇒=-， 所以()()()122x x g x f x f x -=-=-， 因为()22(22)()x x x xg x g x ---=-=--=-，所以函数()g x 定义在R 上的奇函数，因此1a =-符合题意；（2）设34x x ，是任意两个不相等的实数，且34x x <，()()33334444341122(22)[()()](22)22x x x x x x x x g x g x ---=---=-+-，因为34x x <，所以334411()(),2222x xx x >>，因此()()340g x g x ->，可得()()34g x g x >， 所以()g x 是R 上的减函数； （3）（ⅰ）()()()()22122222(22)2x x x x h x f x mg x m f x --=+-=+--， 令22x x t -=-，由（2）可知：当()0,x ∈+∞时，函数22x x t -=-是单调递减函数， 因此当0x >时，有0t <，因此有()222h t t mt =+-，所以函数()()()()1222h x f x mg x f x =+-在()0,∞+上有两个不同的零点1x ，2x ，就转化为方程()2220h t t mt =+-=有两个不相等的负实数根，设为12,t t ，于是有：2(2)420m ∆=--⨯>且1220t t m +=<且1220t t =>，解得m <（ⅱ）由（ⅰ）可知：11122x x t -=-，22222x x t -=-，因为122t t =，所以有12211212()()2(22)22x x x x x x x x -+--+-++=，又因为12x x ≠，所以2112222x x x x --+>=，于是有：1212()()2222x x x x -+++->，令12()2x x n +=，显然1n >，因此有24102n n n -+>⇒>2n <1n >，所以2n >即12()12222log (2x x x x +>+>.关键点睛：把函数的零点个数转化为方程解的个数问题是解决本题的关键，根据数学表达式的特征进行换元也是解决本题的关键.。
高一数学上学期期末试卷含答案
高一数学上学期期末试卷含答案一、选择题1．设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{21}A x U x =∈-≥‖∣则UA（ ）A ．{13}xx <<∣ B ．{13}xx ≤≤∣ C ．{2}D ．{}1,2,3-2．若函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，则(lg )f x 的定义域为（ ） A ．[10 100]，B ．[1 2]，C ．[0 1]，D ．[0 lg2]，3．若角β满足条件sin cos 0ββ<，且cos sin 0ββ-<，则β是第（ ）象限角 A ．一B ．二C ．三D ．四4．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()1,2P --，则2sin sin 2αα+=（ ）A ．58B ．85C D5．已知函数()ln 3f x x x =+-，则()f x 的零点所在的大致区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,46．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它0.618≈，这一比值也可以表示为2sin18m =︒，若228m n +==（ ）A ．2B ．4C ．D ．7．若()f x 是奇函数，且在区间(0,)+∞上是增函数，(2)0f =，则2()0xf x ->的解集是（ ）A ．(2,0)(0,2)-B ．(,2)(0,2)-∞-⋃C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(2,0)(2,)-+∞8．已知函数3cos 2y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭既有最小值也有最大值，则实数t 的取值范围是（ ）A ．31326t <≤ B ．32t >C ．31326t <≤或52t > D ．52t >二、填空题9．已知函数()f x 满足(3)()f x f x +=，且(1)2f =，则下列结论正确的是（ ） A ．()11f -= B ．(0)0f = C ．(4)2f = D ．(10)2f = 10．21x ≤的一个充分不必要条件是（ ）A ．10x -≤<B ．1≥xC ．01x <≤D ．11x -≤≤11．若0a b >>，则下列不等式中一定不成立的是（ ） A ．11b b a a +>+ B ．11a b a b+>+ C ．11a b b a+>+ D ．22a b aa b b+>+ 12．记函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为曲线F ，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．曲线F 关于直线12x π=-对称D ．将函数sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度，得到曲线F 三、多选题13．设集合{}260,M xx mx x R =-+=∈∣，且{2,3}M M =，则实数m 的取值范围是____.14．已知实数x 、y ，正数a 、b 满足2x y a b ==，且213x y +=-，则1a b-的最小值为_________．15．已知函数f （x ）=2x ，1()()()g x f x f x =-，若1()(2)()(2)h x f x tg x f x =++（t 为实数）在（0，+∞）上有两个不同的零点x 1、x 2，则x 1+x 2的取值范围为_______16．如图，直线l 是函数y x =的图象，曲线C 是函数12log y x =图象，1P 为曲线C 上纵坐标为1的点．过1P 作y 轴的平行线交l 于2,Q 过2Q 作y 轴的垂线交曲线C 于2P ；再过2P 作y 轴的平行线交l 于点Q 3，过Q 3作y 轴的垂线交曲线C 于3P ；…设点123,,,,P P P n P 的横坐标分别为123,,,,.n x x x x 若201812log ,x a =则2020x =_____(用a 表示)四、解答题17．在“①A B =∅，②A B ⋂≠∅”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题：已知集合{|231}A x a x a =-<<+，{|01}B x x =<≤． （Ⅰ）若0a =，求A B ；（Ⅱ）若________（在①，②这两个条件中任选一个），求实数a 的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．18．设函数()y f x =的表达式为()()2cos cos 3244f x x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中常数0>ω．（1）求函数()y f x =的值域； （2）设实数1x ，2x 满足122x x ππω-=<，若对任意x ∈R ，不等式()()()12f x f x f x ≤≤都成立，求ω的值以及方程1f x 在闭区间[]0,π上的解．19．已知函数3()1f x x =-. （1）画出函数的草图，并用定义证明函数的单调性； （2）若[]2,7x ∈，求函数的最大值和最小值. 20．如图，现有一块半径为2m ，圆心角为3π的扇形木板，按如下方式切割一平行四边形：在弧AB 上任取一点P (异于A ､B )，过点P 分别作PC ､PD 平行于OB ､OA ，交OA ､OB 分别于C ､D 两点，记AOP α∠=.（1）当点P 位于何处时，使得平行四边形OCPD 的周长最大？求出最大值；（2）试问平行四边形OCPD 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值以及相应的α的值；若不存在，请说明理由.21．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）.（1）证明：()()()1212222f x f x f x x +≥+；（2）若()12f x =，()23f x =，()128f x x =，求a 的值； （3）x ∀∈R ，()212xx f x -+≤恒成立，求a 的取值范围.22．已知{0M x R x =∈≠且}1x ≠，()(1,2)n f x n =是定义在M 上的一系列函数，满足：1()f x x =，()11()i i x f x f i N x ++-⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.（1）求()3f x ，()4f x 的解析式；（2）若()g x 为定义在M 上的函数，且1()1x g x g x x -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.①求()g x 的解析式；②若方程()22(21)2(1)()318420x m x x g x x x x x ---++++++=有且仅有一个实根，求实数m 的取值范围.【参考答案】一、选择题 1．C 【分析】先求出集合A ，再根据补集定义即可求出. 【详解】{0,1,2,3,4}U =，{}21={1A x U x x U x ∴=∈-≥∈≤或}{}30,1,3,4x ≥=，{}2U A ∴=.故选：C. 2．A 【分析】先根据函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，求出112x ≤+≤，再令1lg 2x ≤≤即可求求解. 【详解】因为函数(1)f x +的定义域为[0 1]，， 所以112x ≤+≤， 所以1lg 2x ≤≤， 解得：10100x ≤≤，所以(lg )f x 的定义域为[10 100]，， 故选：A. 3．B 【分析】由sin cos 0ββ<可知sin ,cos ββ的值异号，再由cos sin 0ββ-<可知sin 0,cos 0ββ><，从而可判断其所在的象限 【详解】解：因为sin cos 0ββ<，所以sin ,cos ββ异号， 因为cos sin 0ββ-<，即cos sin ββ<， 所以sin 0,cos 0ββ><， 所以β是第二象限的角， 故选：B 4．B 【分析】先由正弦、余弦函数的定义得到sinαα==，再求值即可. 【详解】由正弦、余弦函数的定义有sin α==，cos α==， 所以2248sin sin 2sin 2sin cos 2((55ααααα+=+=+⨯⨯=. 故选：B.5．C 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断. 【详解】ln y x =和3y x =-都是增函数，所以()ln 3f x x x =+-是增函数，()120f =-<，()2ln 2230f =+-<，()3ln3330f =+->，()()230f f <，所以函数()f x 的零点在区间()2,3内. 故选：C 6．C 【分析】由题知28cos 18n =,再根据二倍角公式化简整理即可得答案. 【详解】解:因为2sin18m =︒，228m n +=, 所以2228288sin 188cos 18n m =-=-=,2sin1822cos1822sin 3622cos54cos54⨯===故选:C 7．A 【分析】由题意，可知2()0xf x ->等价于2()0xf x <，然后结合函数的单调性与奇偶性分别讨论0x >与0x <的两种情况.【详解】由题意，()f x 是奇函数，所以2()0xf x ->等价于2()0xf x <，当0x >时，()0f x <，此时()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，所以解得02x <<；当0x <时，()0f x >，因为()f x 是奇函数，所以解得20x -<<，所以2()0xf x ->的解集为(2,0)(0,2)-.故选：A 8．C 【分析】根据题意得到31326t πππ<≤或52t ππ<，计算得到答案. 【详解】3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭则55,66x t t πππ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭函数有最小值也有最大值 则3133132626t t πππ<≤∴<≤或5522t t ππ<∴< 故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的最值问题，漏解是容易发生的错误.二、填空题9．CD 【分析】根据函数的周期，计算求值. 【详解】由条件()()3f x f x +=，可知函数的周期3T =， 因为()12f =，则()()4102f f ==. 故选：CD 10．AC 【分析】由不等式21x ≤，求得11x -≤≤，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式21x ≤，可得11x -≤≤，结合选项可得： 选项A 为21x ≤的一个充分不必要条件； 选项B 为21x ≤的一个既不充分也不必要条件； 选项C 为21x ≤的一个充分不必要条件； 选项D 为21x ≤的一个充要条件, 故选：AC. 11．AD 【分析】根据不等式的性质及作差法判断即可． 【详解】解：对于A ，()()()()111111b a a b b b b aa a a a a a +-++--==+++0a b >>，所以0a b ->，所以()01b aa a -<+，所以11b b a a +<+，故选项A 一定不成立；对于B ，不妨取2a =，1b =，则11a b a b +>+，故选项B 可能成立； 对于C ，不妨取2a =，1b =，则11a b b a+>+，故选项C 可能成立； 对于D ，222(2)(2)02(2)(2)a b a a b b a a b b a a b b b a b b a b ++-+--==<+++，故22a b aa b b+<+，故选项D 一定不成立； 故选：AD ． 12．ABC 【分析】求出周期即可判断A ；由222232k x k πππππ-+≤-≤+求出单调性可判断B ；求出12f π⎛⎫- ⎪⎝⎭即可判断C ；求出sin 2y x =平移后的解析式即可判断D. 【详解】函数()f x 的最小正周期为22ππ=，故A 选项正确； 由222232k x k πππππ-+≤-≤+，解得()51212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，所以函数()f x 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 选项正确； 由于sin 2sin 1121232f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以直线12x π=-是曲线F 的一条对称轴，故C 选项正确：sin 2y x =向右平移3π个单位长度得到2sin 2sin 233y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 选项错误. 故选：ABC.三、多选题13．({}5m ∈-【分析】 由题意{}2,3MM =，可得M 是集合{}2,3的子集，按集合M 中元素的个数，结合根与系数之间的关系，分类讨论即可求解. 【详解】由题意{}2,3MM =，可得M 是集合{}2,3的子集，又{}260,M x x mx x R =-+=∈，当M 是空集时，即方程260x mx -+=无解，则满足()2460m ∆=--⨯<，解得m -<<(m ∈-，此时显然符合题意；当M 中只有一个元素时，即方程260x mx -+=只有一个实数根，此时()2460m ∆=--⨯=，解得m =±x =x ={}2,3的子集中的元素，不符合题意，舍去； 当M 中有两个元素时，则2,3M，此时方程260x mx -+=的解为12x =，23x =，由根与系数之间的关系，可得两根之和为5，故235m =+=；当5m =时，可解得2,3M ，符合题意.综上m 的取值范围为({}5m ∈-.故答案为：({}5m ∈-【点睛】方法点睛：根据集合的运算求参数问题的方法：1、要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解；2、若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；3、若集合表示的不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需要注意端点值是否取到.14．132-【分析】利用指数与对数的互化，换底公式以及对数的运算得出218a b =，可得出218a a a b-=-，利用二次函数的基本性质可求得1a b-的最小值.【详解】已知实数x 、y ，正数a 、b 满足2x y a b ==，则log 2a x =，log 2b y =，由换底公式可得()2222212log log log 3a b a b x y +=+==-，可得218a b =，则218a b=，因为0a >，则22111188163232a a a a b ⎛⎫-=-=--≥- ⎪⎝⎭，当且仅当116a =时，等号成立，因此，1a b -的最小值为132-.故答案为：132-. 【点睛】关键点点睛：本题考查代数式最值的求解，解题的关键就是利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算得出a 、b 所满足的关系式，再结合函数的基本性质来求解.15．(()2log 2,+∞【分析】通过换元将方程转化为一元二次方程的问题，利用韦达定理建立两根的等量关系，再利用基本不等式建立不等式关系求范围. 【详解】令()0h x =，则221122022xx x xt ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，即211222022x x x x t ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令122x x m =-，则220m tm ++=，因为函数122x x y =-在()0,∞+单调递增，所以m 与x 一一对应，所以220m tm ++=有两个不相等的实数根12,m m ，由韦达定理知122m m =，所以12121122222x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得1212122112222222x x x x x x x x ++⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，因为12x x ≠，所以122122222x x x x +>，所以121212222x x x x +++->，令1220x x n +=>，则2410n n -+>，解得2n >1222x x +>(122log 2x x +>.故答案为：(()2log 2,+∞. 【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 16．12a⎛⎫⎪⎝⎭【分析】设()n n n P x y ，，过n P 作y 轴的平行线交l 于1,n Q +则()1n n n x Q x +，，过1n Q +作y 轴的垂线交曲线C 于1n P +，则()11n n n x P x ++，，所以12+1log n n x x =，即+112nx n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由201812log ,x a =则21log 201912ax a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而可得答案.【详解】1P 为曲线C 上纵坐标为1的点，则11,12P ⎛⎫⎪⎝⎭ 过1P 作y 轴的平行线交l 于2,Q 则21122Q ⎛⎫⎪⎝⎭，过2Q 作y 轴的垂线交曲线C 于2P ，设2212P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则1221log 2x =，则12212x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1221122P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 过2P 作y 轴的平行线交l 于3,Q 则112231122Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 过3Q 作y 轴的垂线交曲线C 于3P ，设123312P x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则121321log 2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即1212312x ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设()n n n P x y ，，过n P 作y 轴的平行线交l 于1,n Q +则()1n n n x Q x +，过1n Q +作y 轴的垂线交曲线C 于1n P +，则()11n n n x P x ++，， 所以12+1log n n x x =，即+112nx n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭由201812log ,x a =则21log 201912ax a ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以201920201122a ax ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：12a⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查数列的递推公式的推导，解答本题的关键是先计算出点123,,,P P P 的坐标得出一般的处理方法，再设()n n n P x y ，，过n P 作y 轴的平行线交l 于1,n Q +则()1n n n x Q x +，过1n Q +作y 轴的垂线交曲线C 于1n P +，则()11n n n x P x ++，，所以12+1log n n x x =，即+112nx n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，属于中档题.四、解答题17．（1）{|31}x x -<≤；（2）若选①，(,1][2,)-∞-+∞；若选②，()1,2- 【分析】（1）由0a =得到{|31}A x x =-<<，然后利用并集运算求解.（2）若选A B =∅，分A =∅和A ≠∅两种情况讨论求解； 若选A B ⋂≠∅，则由23123110a a a a -<+⎧⎪-<⎨⎪+>⎩求解. 【详解】（1）当0a =时，{|31}A x x =-<<，{|01}B x x =<≤； 所以{|31}A B x x =-<≤ （2）若选①，A B =∅，当A =∅时，231a a -≥+，解得4a ≥， 当A ≠∅时，4231a a <⎧⎨-≥⎩或410a a <⎧⎨+≤⎩，解得：24a ≤<或1a ≤-，综上：实数a 的取值范围(,1][2,)-∞-+∞． 若选②，A B ⋂≠∅，则23123110a a a a -<+⎧⎪-<⎨⎪+>⎩，即421a a a <⎧⎪<⎨⎪>-⎩，解得：1a 2-<<， 所以实数a 的取值范围()1,2-． 【点睛】易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：∅是任何集合的子集，所以要分集合B =∅和集合B ≠∅两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.18．（1）[]2,2-；（2）1ω=，0x =或 3x π=或x π=.【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简得()2sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而可求出函数的值域；（2）对任意x ∈R ，不等式()()()12f x f x f x ≤≤都成立，可得()12f x =-，()22f x =，从而可得112262x k ππωπ+=-，222262x k ππωπ+=+，12,k k Z ∈，再由122x x ππω-=<可求出1ω=，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后由1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭解方程使其解在区间[]0,π上即可【详解】 （1）()()()()2sin cos 22cos 22sin 2446f x x x x x x x πππωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()[]2sin 22,26f x x πω⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的值域[]2,2-；（2）对任意x ∈R ，不等式()()()12f x f x f x ≤≤都成立，()12f x =-，()22f x = 所以112262x k ππωπ+=-，222262x k ππωπ+=+，12,k k Z ∈ 所以()1212122222222k k k k x x πππππππωωω-----===<，可得12222k k -=，1ω=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为[]0,x π∈，所以132,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()2sin 216f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以266x ππ+=或 5266x ππ+=或 13266x ππ+=，即0x =或 3x π=或x π=所以方程1f x在闭区间[]0,π上的解为0x =或 3x π=或x π=19．（1）图象见解析，证明见解析；（2）最大值为3，最小值为12. 【分析】（1）画出()f x 图象，利用定义法，证明()()120f x f x ->，结合()f x 的定义域，证得()f x 的单调区间.（2）结合()f x 的单调性来求得()f x 在区间[]2,7上的最大值和最小值. 【详解】（1）()f x 的图象如下图所示：()f x 的定义域为{}|1x x ≠，当1x <时，任取121x x <<，()()()()211212123331111x x f x f x x x x x --=-=⨯----，其中21120,10,10x x x x ->-<-<，所以()()120f x f x ->，所以()f x 在区间(),1-∞上递减. 同理可证得()f x 在区间()1,+∞上递减. （2）由（1）得()f x 在区间[]2,7上递减， 所以2x =时，()f x 取得最大值为3321=-， 当7x =时，()f x 取得最小值为31712=-. 20．（1）点P 位于弧AB 的中点时，使得平行四边形OCPD 83；（223【分析】过P 点作OC 的垂线，垂足为H ，从而可得PH =2sin α，OH =2cos α，43sin PC α=23sin CH α=，得出23sin 2cos OC OH CH αα=-=（1）平行四边形OCPD 的周长为f (α) 83sin 33πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可求解. （2）4323()sin 2363S OC PH παα⎛⎫=⋅=+- ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可求解. 【详解】过P 点作OC 的垂线，垂足为H ，因为OP =2，∠AOP =α，则PH =2sin α，OH =2cos α，2sin 43sin sin3PC ααπ=，123sin 2CH PC α== 所以23sin 2cos OC OH CH αα=-= （1）设平行四边形OCPD 的周长为f (α)， 则43sin 83sin 43sin ()2()4cos 4cos f OC PC αααααα=+=833πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为点P 异于A ､B 两点，所以03πα<<，所以当6πα=，即点P 位于弧AB 的中点时，使得平行四边形OCPD 83. （2）设平行四边形OCPD 的面积为S (α)，则23sin ()2cos 2sin S OC PH αααα⎛=⋅=⋅ ⎝⎭243sin 4sin cos ααα=23(1cos 2)2sin 2αα-=432326πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 由（1）得，03πα<<，所以52666πππα<+<， 所以当262ππα+=，即6πα=，也就是点P 位于弧AB 的中点时，使得平行四边形OCPD21．（1）见详解；（23）(]1,11,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据函数解析式，直接作差比较()()1222f x f x +与()122f x x +的大小，即可证明结论成立；（2）根据题中条件，由指数幂运算性质，直接计算，即可得出结果； （3）先由不等式恒成立，得到x ∀∈R ，212x xx a -+≤恒成立；不等式两边同时取对数，得到x ∀∈R ，22log 1x a x x ≤-+恒成立，讨论0x =，0x >，0x <三种情况，分别求出对应的a 的范围，再求交集，即可得出结果.【详解】（1）因为()xf x a =，所以()()()()111222222121222220x x x x x x f x f x f x x a a a a a ++-+=+-=-≥显然恒成立， 所以()()()1212222f x f x f x x +≥+；（2）由()12f x =，()23f x =得1223x x a a ⎧=⎨=⎩，所以()212122x x x x x a a ==，又()1221228x x xf x x a ===，所以23x =，则233x a a ==，因此a =（3）若x ∀∈R ，()212xx f x -+≤恒成立，即x ∀∈R ，212x xx a -+≤恒成立；则x ∀∈R ，2122log log 2x xx a -+≤恒成立，即x ∀∈R ，22log 1x a x x ≤-+恒成立，当0x =时，不等式可化为01<，显然恒成立；所以0a >，且1a ≠；当0x >时，不等式可化为21log 1a x x ≤+-，而1111y x x =+-≥=在0x >上恒成立，当且仅当1x =时，取等号；所以只需2log 1a ≤，解得12a <≤或01a <<； 当0x <时，不等式可化为21log 1a x x≥+-，而()111113y x x x x ⎡⎤⎛⎫=+-=--+--≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在0x <上恒成立，当且仅当1x =-时，取等号；所以只需2log 3a ≥-，解得118a ≤<或1a >，综上，118a ≤<或12a <≤，即a 的取值范围是(]1,11,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】关键点点睛：求解本题第三问的关键在于将不等式两边同时取对数，化为22log 1x a x x ≤-+恒成立，再对x 分段讨论，求解a 的范围，即可得解.22．（1）23411),1()(()f x f x x xx x f -=-==。
高一上学期期末数学试题卷及答案
第 1 页 共4 页 第2页 共4 页职业教育中心高一上学期期末考试数学试卷一、选择题.（每小题 3分，共30分）1.下列关系中正确的是 ( )A.{}a a ∈B.{}{}b a a ,∈C.{}a a =D.{}{}b a ,∈φ2.已知集合}{}{(,)2,(,)4,M x y x y N x y x y M N =+==-==那么 ( )A.(){}3,1- B.{}3,1- C.{}(1,3)- D.3，-13.已知{}{}{}5,1,2,2,1,2-=⋃-=⋂-=B A B A A ，则B = （ ） A.{}1,2- B.{}5,1,2-. C.{}5,1 D.{}5,2-4.满足{}{}5,4,3,2,12,1≠⊂⊆P 的集合P 的个数为（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个5.下列各选项中正确的是 （ ）A. c a bc ab >⇒>B. 22bc ac b a >⇒> C. 22bc ac b a >⇐> D. bd ac d c b a >⇔>>, 6. 不等式21≤-x 的解集是（ ）A. {}3≤x xB.{}1-≥x xC. {}31-≤≥x x x 或D. {}31-≤≤x x 7. 不等式()x x -1＞0的解集是 （ ）A.()()+∞⋃-∞-,01,B.()0,1-C.()1,0D.()()+∞⋃∞-,10,8．函数()21f x x =-+的单调增区间是 （ ）A.[)0,+∞B.(],0-∞C.(),1-∞D.()()+∞⋃∞-,00, 9．下列函数中与x y =有相同图像的是（ ）A. 2x y = B.xx y 2= C. 33x y = D. x y =10． 设)(x f y =是R 上的偶函数，并且在[)+∞,0上是单调递增，则)5(-f .)3(-f .)4(f 的大小顺序是（ ）A.)5()3()4(-<-<f f fB.)3()4()5(-<<-f f fC.)5()4()3(-<<-f f fD.)4()3()5(f f f <-<-二、填空题（每空3分，共24分）11. 已知集合{{}0,1},1,,A B y y x x A B ===+∈=若则集合 . 12. 集合{}{}{}1,,1,,2,02=⋂==B A a B aA ，则=a13.集合{}012=-=x A 中元素的个数为 .14.一元二次方程式042=+-mx x 有实数解，则m 的范围是________15. 函数2)1(2+-+=x a x y 在区间[)+∞-,1上是增函数，则a 的取值范围是 .16.已知(1)12f x x +=-，则(0)f =17．已知2,0(),0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩,则[(3)]f f -= _____________________18. 已知函数bx ax x f -=3)(，且5)2(=f ，则=-)2(f .第 3 页 共4 页 第4页 共4 页三、计算题（每小题8分,共24分）19.解不等式(1)()()122312＞++x x （2）8-|x+7|<220.已知22{80},{60}A x x x p B x x x =-+==--=,且{3}A B =，求A B21. 求函数()21032-++-=x x x x f 的定义域四、证明题（每小题6分，共12分）22.用定义证明：函数()12)(2+--=x x f 在[)+∞,2上是减函数.23．已知不等式20xpx q ++<的解集是{}32x x -<<，求证：5p q +=-五、综合题（10分）24．设2(1)2f x x x -=-．(1) 求函数()f x 的表达式；(2) 判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由．第 5 页 共4 页 第6页 共4 页职业教育中心高一上学期期末考试数学答题卷一 选择题（每题3分，共30分）二 填空题（每题3分，共24分）11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 三 解答题（每题8分，共24分） 19.（1） (2)20.21.四证明题（每题6分，共12分）22.23. 五综合题（10分） 24.第7 页共4 页第8页共4 页第 9 页 共4 页 第10页 共4 页职业中专高一上学期期末考试数学参考答案(2) 选择题 AADDC DCBCC (3) 填空题(4) ｛1，2｝ 12. 1- 13.1 14.,4][4,)∞-+∞（-(5) {}3≥a a （写成[)+∞,3也可以 ） 16. 3 17. 9 18. 5- (6) 解答题解：(1)原不等式化为 10762-+x x ＞0 …………………………2分因为 010762=-+x x 的两个实数根为65;221=-=x x ………3分所以 原不等式的解集为()⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃-∞-，，652…………………4分 (2) 由原不等式可得： |x+7|>6,…………………………5分于是 x+7>6或x+7<-6,即 x>-1或x<-13…………………………6分 所以原不等式的解集为()()+∞-⋃-∞-,113,…………………………8分 20. 解 2{60}{2,3}B x x x =--==- …………………………2分由 {3}AB = 得 3A ∈ …………………………3分得 924+0p -= 即 15p = …………………………5分 所以 2{8150}{3,5}A x x x =-+== ……………………7分所以 {2,3,5}AB =- ………………………8分21. 解 要使函数有意义，有 2203100x x x -≠⎧⎨-++≥⎩ (2)分得 225x x ≠⎧⎨-≤≤⎩ ………………………6分所以 22x -≤< 或 25x <≤ ………………………7分即函数的定义域为[)(]2,22,5- ………………………8分四、证明题22. .证明：设[)+∞∈,2,21x x 且21x x <,所以12x x -＞0且421-+x x ＞0，……………2分则()[]()[]()()2122222121221212)()(---=+---+--=-x x x x x f x f()()[]()()[]()()1212121242222x x x x x x x x --+=----+-=0> (4)分即)()(21x f x f >,所以函数()12)(2+--=x x f 在[)+∞,2上是减函数.……………………6分23.证明 ： 由已知可得，-3，2是方程20xpx q ++= 的两根……2分所以 3232pq -+=-⎧⎨-⨯=⎩……………………4分第 11 页 共4 页 第12页 共4 页得 =1=6p q ⎧⎨-⎩……………………5分所以 5p q +=- ……………………6分五、综合题24．解：（1） 令1-=x t ， 则1+=t x 代入2(1)2f x x x -=- ……………2分得()()12212121)(222-=--++=+-+=t t t t t t t f ，所以1)(2-=x x f ……………4分(7) 函数()f x 是偶函数.理由如下：……………………6分由(1)得，函数的定义域为R ，当R x ∈时，R x ∈-， (8)分且())(11)(22x f x x x f =-=--=-∴函数()f x 是偶函数.………………10分。
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2012—2013学年度第一学期期末考试高 一 级 数 学 试 题本试卷满分150分．考试用 时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 1. 若{}9,6,3,1=P {}8,6,4,2,1=Q ，那么=⋂Q P A.{1} B.{6} C. {1，6} D. 1，6 2.与函数y x =有相同的图像的函数是（ ）A．y =．2x y x=C ．log a xy a=01)a a >≠（且 D ．log xa y a = 3. 直线053=+-y x 的倾斜角是( )（A ）30° （B ）120° （C ）60° （D ）150°4.如图⑴、⑵、⑶、⑷是四个几何体的三视图，这四个几何体依次分别是（ ）A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 5.点(,2,1)P x 到点(1,1,2),(2,1,1)Q R 的距离相等，则x 的值为（ ）.A ．12B ．1C ．32D ．26. 设()338x f x x =+-, 用二分法求方程3380(1,2)xx x +-=∈在内近似解的过程中, 计算得到(1)0,(1.5)0,(1.25)0,f f f <>< 则方程的根落在区间（ ）. A.（1,1.25） B.（1.25,1.5） C.（1.5,2） D.不能确定 7.在空间中，下列说法正确的是 （ ） A ．若两直线b a ,与直线l 所成的角相等，那么b a // B ．若两直线b a ,与平面α所成的角相等，那么b a //侧视图正视图 （2）俯视图（3）俯视图侧视图正视图 （4） 俯视图侧视图正视图（1）俯视图侧视图 正视图C ．如果直线l 与两平面α，β所成的角都是直角，那么βα//D ．若平面γ与两平面βα, 所成的二面角都是直二面角，那么βα//8.已知点错误！未找到引用源。
是圆错误！未找到引用源。
的弦错误！未找到引用源。
的中点，则直线错误！未找到引用源。
的方程是（ ）A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
9. 函数的定义域是( )A. )23,(-∞B. )23,0(C. )23,1()1,0(⋃ D. )1,0(10．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O ，空间一点P 到三条交线的距离分别为2、5、7，则OP 长为( )A.33B.22 C.23 D.32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 11．圆01222=--+y y x 的半径为 .12. 24,02(),(2)2,2x x f x f x x ⎧-≤≤==⎨>⎩已知函数则 ；若00()8,f x x ==则 .13．如图，在正方体111ABCD A B C D -中，异面 直线1A D 与1D C 所成的角为_______度；直线1A D 与平面11AB C D 所成的角为_______度.14. 直线06:1=++my x l 与直线()0232:2=++-m y x m l 互相平行，则m 的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分12分）设全集U 为R,已知A={x |1<x <7},B={x |x <3或x >5},求（1）A B (2)A B (3)(C U A) (C U B)16.（本小题满分12分）如图，四面体ABCD 中，BCD AD 平面⊥，E 、F 分别为AD 、AC 的中点，CD BC ⊥．求证：（1）BCD EF 平面// （2）平面BDC ⊥平面ACD17.（本小题满分14分）A 1_ D_ C_B_ A_ P（1）已知三角形的顶点为(2,4)A ，(0,2)B -，(2,3)C -，线段AB 的中点为M ， 求：AB 边上的中线CM 所在直线的方程；（2）已知圆心为C 的圆经过点A （0，6-），B （1，5-），且圆心在直线l ：10x y -+=上，求圆心为C 的圆的标准方程.18. （本小题满分14P ABCD -的底面是边长为1的正方形，,1,PA CD PA PD ⊥=（Ⅰ）求证:PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积.（Ⅲ）求直线PB 与底面ABCD 所成角的大小.19.（本小题满分14分）A 、B 两城相距100km ，在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A 、B 两城供电，为保证城市安全.核电站距市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数25.0=λ.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月.（1）把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域； （2）核电站建在距A 城多远，才能使供电费用最小。
20.（本小题满分14分）已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 过定点A(1，0)． （1）若1l 与圆相切，求1l 的方程；（2）若1l 与圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2:220l x y ++=的交点为N ，求证:AM AN ⋅为定值。
2011—2012学年度第一学期期末考试高一级数学试题参考答案说明：1．参考答案与评分参考给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分． 11.2； 12. 0, 4 ; 13. 060，030； 14. -1三、解答题本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分12分）解（1）R ; (2){x |1<x <3或5<x <7}; (3){x |x 753,1≥≤≤≤x x 或}.15.（本小题满分12分） 解：证明：BCD EF BCD DC BCD EF DC EF FC AF ED AE 平面平面平面）（////1⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊂⊄⇒⎭⎬⎫== …………6分ACD BC D CD AD CD BC AD BC BCD BC BCD 平面平面平面）（⊥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⋂⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥AD 2 ∴平面BDC ⊥平面ACD ………6分16.（本小题满分14分）解：（1） AB 中点M 的坐标是(1,1)M ， ………………………………………2分中线CM 所在直线的方程是113121y x --=---， ……………………………5分 即 2350x y +-= …………………………………………6分（2）解：因为A （0，6-），B （1，5-），所以线段AB 的中点D 的坐标为111,22⎛⎫-⎪⎝⎭， 直线AB 的斜率 ()56110AB k ---==-，因此线段AB 的垂直平分线'l 的方程是 11122y x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， 即 50x y ++=圆心C 的坐标是方程组 5010x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，的解.解此方程组，得 32x y =-⎧⎨=-⎩，所以圆心C 的坐标是（3-，2-）. 圆心为C 的圆的半径长5r AC ===所以，圆心为C 的圆的标准方程是()()223225x y +++= 14分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，2,1==PD PA所以222AD PA PD +=，所以AD PA ⊥ 又CD PA ⊥，D CD AD =所以PA ⊥平面ABCD 5分 （Ⅱ）四棱锥P ABCD -的底面积为1=ABCD S ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以四棱锥P ABCD -的高h 为1， 所以四棱锥P ABCD -的体积为13ABCD V S h =⋅=. 10分(III)450 14分19．解（1）到A 城的供电费用： 222525.02020x x x =⨯=⋅λ …………3分 到B 城的供电费用： 22)100(25)100(10x x -=-⋅λ ………………5分 y =5x 2+25(100—x )2（10≤x ≤90）； ………………………………8分 （2）由y ＝5x 2+25(100—x )2＝152x 2－500x +25000 ………………9分＝15221003x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋500003 ………………12分 则 当x ＝1003米时，y 最小. …………………13分 答：当核电站建在距A 城1003米时，才能使供电费用最小. …………14分19.（本小题满分14分）解：（1） ①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意． ……………2分②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即0kx y k --=． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l 的距离等于半径2， 即：2= ………………………………………………4分解之得 34k =． 所求直线方程是1x =，3430x y --=． ………………………… 6分（2）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为0kx y k --=由2200x y kx y k ++=⎧⎨--=⎩ 得223(,)2121k kN k k --++． ………………………8分又直线CM 与1l 垂直，由14(3)y kx ky x k =-⎧⎪⎨-=--⎪⎩得22224342(,)11k k k k M k k +++++．……………10分 ∴221|0|||M N M Nk A M A N y y yy k+⋅=-⋅=⋅ 22224231|()|6121k k k k k k k++=⋅-=++，为定值．…………14分 解法二：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为0kx y k --=由220x y kx y k ++=⎧⎨--=⎩ 得223(,)2121k k N k k --++． ……………………8分再由22(3)(4)4y kx kx y =-⎧⎨-+-=⎩ 得2222(1)(286)8210k x k k x k k +-+++++=．∴ 12222861k k x x k +++=+ 得22224342(,)11k k k kM k k +++++． …10分 ∴AM AN ⋅=6|21|k ==+为定值． …………………14分 当324-=x 时，14)8(=-x x ，即)()(22x f x g = 当4324<<-x 时，14)8(>-x x ，即)()(22x f x g > ……………13分综合上述当3240-<<x 时，14)8(<-x x ，即)()(x f x g < 当324-=x 时，14)8(=-x x ，即)()(x f x g =当4324<<-x 时，14)8(>-x x ，即)()(x f x g > …………14分。