高一数学上学期期末模拟试题及答案
陕西省黄陵中学新部2023届高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析
∴ ，
.
【详解】∵ 为钝角，且 ，
∴ ，
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查同角的平方关系，考查和角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2、D
【解析】由圆心到直线的距离等于半径可得
【详解】由题意圆标准方程为 ，圆心坐标为 ，半径为1，
所以 ，解得
故选：D
3、C
【解析】由已知利用任意角的三角函数求得 ，再由二倍角的余弦公式求解即可
g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2a）上是减函数，在[2a，2]上是增函数，
而g（a）＝a2，g（2）＝4﹣4a，
g（a）﹣g（2）＝a2+4a﹣4＝（a﹣2 2）（a+2 2），
故当0＜a＜2 2时，
t（a）＝g（2）＝4﹣4a，
当2 2≤a＜1时，
t（a）＝g（a）＝a2，
③当1≤a＜2时，
【详解】（1）a＝1时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∵x∈[0，2]，∴﹣1≤x﹣1≤1，
∴﹣1≤（x﹣1）2﹣1≤0，
在区间 上的最大值为0；
（2）g（x）＝|f（x）|＝|x（x﹣2a）|，
①当a≤0时，g（x）＝x2﹣2ax在[0，2]上 增函数，
故t（a）＝g（2）＝4﹣4a；
②当0＜a＜1时，
【详解】当 时，恒有 ，此时无零点，则 ，
∴要使 上 有2个零点，只需 即可，
故 有2个零点有 ；
当 时，存在 ，此时有1个零点，则 ，
∴要使 上 有1个零点，只需 即可，
故 有2个零点有 ；
综上，要使 有2个零点，m的取值范围是 .
故答案为： .
15、1；
2023届江西省顶级名校高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析
20．已知函数 的图象关于原点对称.
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）若函数 在 内存在零点，求实数 的取值范围.
21．已知全集 ，集合 ，集合 ．条件① ；② 是 的充分条件；③ ，使得
（1）若 ，求 ；
（2）若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围
故选：D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】设 ，求得矩形 面积的表达式，结合基本不等式求得最大值.
【详解】设 ，
，
， ，
所以矩形 的面积 ，
当且仅当 时等号成立.
故选：
12、
【解析】展开 ，由 是偶函数得到 或 ，分别讨论 和 时的值域，确定 ， 的值，求出结果.
【详解】解： 为偶函数，
A. B.
C. D.
6． 表示不超过x的最大整数，例如， ， ， ．若 是函数 的零点，则 （）
A.1B.2
C.3D.4
7．下列关系中正确 个数是（）
① ② ③ ④
A.1B.2
C.3D.4
8．已知函数 ，则
A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数
C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数
C.a＞c＞bD.b＞c＞a
3．已知O是 所在平面内的一定点，动点P满足 ，则动点P的轨迹一定通过 的（）
A.内心B.外心
C.重心D.垂心
4．“ ， ”是“ ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C 充要条件D.既不充分也不必要条件
5．若将函数 的图象向左平移 个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）
2024北京丰台区高一(上)期末数学试题及答案
2024北京丰台高一（上）期末数 学2024.01考生须知：1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID 号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID 号、姓名。
在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2.本次练习所有答题均在答题卡上完成，选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。
在练习卷、草稿纸上答题无效。
4.本练习卷满分共150分，作答时长120分钟。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{}21A x x =−<<，{}12B x x =−≤<，则AB =（ ） A.{}22x x −<< B.{}11x x −≤< C.{}11x x −≤≤ D.{}12x x −≤< 2.下列函数在区间()0,+∞上单调递减的是（ ）A.ln y x =B.cos y x =C.e x y =D.y x =−3.若0a b >>，c d >，则下列结论一定成立的是（ ）A.0a b −<B.a c b c +>+C.ac bc >D.ac bd > 4.已知tan 24πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A.3−B.1−C.13D.15.13lg 2lg58−+−+=（ ） A.12π− B.2π− C.4π− D.32π− 6.函数()sin cos 2f x x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭，则（ ）A.()f x 是最小正周期为2π的奇函数B.()f x 是最小正周期为2π的偶函数C.()f x 是最小正周期为π的奇函数D.()f x 是最小正周期为π的偶函数7.函数()2x f x x =+，()2log g x x x =+，()h x x =+的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A.a b c >>B.b a c >>C.b c a >>D.c a b >>8.若α，β都是第一象限角，则“sin sin αβ>”是“tan tan αβ>”成立的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.若甲、乙两同学当下的知识储备量均为a ，甲同学每天的“进步”率和乙同学每天的“退步”率均为2%.n 天后，甲同学的知识储备量为()12%na +，乙同学的知识储备量为()12%n a −，则甲、乙的知识储备量之比为2时需要经过的天数约为（ ）（参考数据：lg20.3010≈，lg102 2.0086≈，lg98 1.9912≈） A.15 B.18 C.30 D.3510.记()R A 为非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()()()(),*,R A R B R A R B A B R B R A R A R B −≥⎧⎪=⎨−<⎪⎩ .若{}1,2A =，()(){}2250B x x ax x ax =+++=，且*1A B =，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则()R S 等于（ ）A.1B.2C.3D.4 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
全国百校联盟2023届高一数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析
A2 x B2 y C2 0 的交点. 13、55
【解析】用1减去销量为30,50 的概率，求得日销售量不低于 50 件的概率.
【详解】用频率估计概率知日销售量不低于 50 件的概率为 1－（0.015＋0.03）×10＝0.55.
故答案为： 0.55
【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算事件概率，属于基础题.
2 cos
x 1可判断②；
分
、
x
2k
2
,
3 2
2k
k
Z
时求出
f
(x)
可判断故③；
x, 时，由
f (x) 0 可判断④.
【详解】因为 x R ， f (x) cos x | cos x | 1 f (x) ，所以①正确；
当
时， f (x) 2cos x 1，
当
x
2k
2
, 3 2
2k
故选：D
5、A
【解析】将已知式同分之后，两边平方，再根据 sin2 cos2 1可化简得方程 3(sin cos )2 2sin cos 1 0 ，
解出 sin
cos
1 3
或
1，根据 sin
cos
1 2
sin
2
1, 2
1 2
，得出 sin cos
1 3
.
【详解】由 1 1 sin cos 3 ， sin cos sin cos
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5．若 1 1 3 ，则 sin cos （） sin cos
A. 1
1
B.
3
3
安徽省A10联盟2023-2024学年高一上学期期末检测数学试卷含答案
2023—2024学年第一学期高一年级期末检测数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案涂在答题卡上）1.已知集合{2,1,0,1,2}M =--，{(1)(3)0}N xx x =+->∣，则M N ⋂=（）A.{2,1,0,1}-- B.{2}- C.{2,1}-- D.{0,1,2}【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式，求出集合N ，然后进行交集的运算即可.【详解】由{(1)(3)0}N xx x =+->∣解得：{3N x x =>∣或1}x <-，因为{2,1,0,1,2}M =--，所以M N ⋂={2}-.故选：B 2.“π2π,6k k α=+∈Z ”是“1sin 2α=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要条件结合任意角的正弦函数分析判断.【详解】若π2π,6k k α=+∈Z ，则ππ1sin sin 2πsin ,662k k α⎛⎫=+==∈ ⎪⎝⎭Z 成立；若1sin 2α=，则π2π,6k k α=+∈Z 或5π2π,6k k α=+∈Z ，故π2π,6k k α=+∈Z 不一定成立；综上所述：“π2π,6k k α=+∈Z ”是“1sin 2α=”的充分不必要条件.故选：A.3.计算55log 42log 10-=（）A.2B.1- C.2- D.5-【答案】C 【解析】【分析】利用对数的运算公式可得答案.【详解】555552log 42log 10log 4log 1100l 5og 2-===--.故选：C.4.已知正数x ，y 满足811x y+=，则2x y +的最小值是（）A.6B.16C.20D.18【答案】D 【解析】【分析】将所求的式子乘以“1”，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为正数x ，y 满足811x y+=，则()811622101018y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当16y xx y=，即12,3x y ==时等号成立.故选：D5.计算sin 50cos10sin 40sin10︒︒︒︒+=（）A. B.32C.12-D.12【答案】B 【解析】【分析】由两角和的正弦公式求解即可.【详解】因为sin 50cos10sin 40sin10︒︒︒︒+=sin 50cos10cos50sin10︒︒︒︒+()sin 5010=sin 602︒︒︒=+=.故选：B6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =-上，则πtan 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.17-B.17C.7D.7-【答案】C 【解析】【分析】先求解tan θ的值，结合倍角公式和和角公式可得答案.【详解】由题意tan 3θ=-，所以22tan 63tan 21tan 194θθθ-===--，所以πtan 21tan 2741tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭.故选：C.7.将函数π()cos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移2π3个单位，再将所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（）A.()cos g x x =-B.()cos g x x=C.π()cos 3g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.()πcos 43g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数图象变化规律，即可判断选项.【详解】将函数π()cos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移2π3个单位，得到()2ππcos 2cos 2πcos 233y x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=-=- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，再将所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()cos y g x x ==-的图象.故选：A.8.设函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为奇函数，(2)f x +为偶函数，当[0,1]x ∈时，2(2)f x x bx c =++．若(3)(2)6f f -=，则752f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.94B.32C.74-D.52-【答案】D 【解析】【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()2286f x x x =-+，进而利用周期性结论，即可得到答案．【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()02f f c =-=，由②得：()()312f f b c ==++，因为(3)(2)6f f -=，所以26b c c +++=，即24b c +=，令0x =，由①得：()()()111020f f f b c =-⇒=⇒++=，解得：8,6b c =-=，所以()2286f x x x =-+．又因为()()()()()221111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=-+=--+=--+=-⎣⎦⎣⎦，即()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是以4为周期的函数，所以75331114911222222f f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==+=--+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭115246242f ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭．75522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】结论点睛：复合函数的奇偶性：（1）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a -+=+；（2）()f x a +是奇函数，则()()f x a f x a -+=-+.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把正确答案涂在答题卡上）9.已知a ，b 为实数，且a b <，则下列不等式恒成立的是（）A.sin sin a b <B.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.33a b <D.()()22ln 1ln 1a b +<+【答案】BC 【解析】【分析】利用函数单调性和反例可得答案.【详解】对于A ，π2π23<，而π2πsin sin 23>，故A 不正确；对于B ，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，a b <，所以1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，因为3y x =为增函数，a b <，所以33a b <，故C 正确；对于D ，21-<，而()()ln 41ln 11+>+，故D 不正确.故选：BC.10.高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数[]()f x x =称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，[3]3=.下列结论正确的是（）A.对12,x x ∀∈R ，若12x x <，则()()12f x f x ≤B.函数()f x 是R 上的奇的数C.对任意实数m ，(2)2()f m f m =D.对任意实数m ，1()(2)2f m f m f m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】【分析】利用函数定义及单调性的定义判断A ；通过举例来判断BC ；设m n r =+，其中n 为m 的整数部分，r 为m 的小数部分，01r ≤<，分102r ≤<，112r ≤<讨论计算来判断D .【详解】对于A ：对12,x x ∀∈R ，若12x x <，则[][]12x x ≤，即()()12f x f x ≤，故A 正确；对于B ：例如()[]1.5 1.51f ==，()[]1.5 1.52f -=-=-，即()()1.5 1.5f f -≠-，故函数()[]f x x =不是奇函数，故B 错误；对于C ：取12m =，()[]121112f f ⎛⎫⨯=== ⎪⎝⎭，1122022f⎛⎫⎡⎤== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，不满足(2)2()f m f m =，故C 错误；对于D ：设m n r =+，其中n 为m 的整数部分，,n m n ≤∈Z ，r 为m 的小数部分，01r ≤<，则[][]1122m m n r n r ⎡⎤⎡⎤++=++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，[][]222m n r =+，若102r ≤<，可得[]122m m n ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，[]22m n =，若112r ≤<，可得[]1212m m n ⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦，[]221m n =+，所以对任意实数m ，1()(2)2f m f m f m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：AD.11.已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A.4ab ≤B.228a b +≥ C.228a b +≥ D.22log log 2a b +≥【答案】ABC 【解析】【分析】根据基本不等式及其变形式，结合指数运算判断ABC ，举反例根据对数函数的单调性判断D.【详解】对于A ：因为4=+≥a b 4ab ≤，当且仅当2a b ==时取等号，A 正确；对于B ：因为222222228a b a b ++≥=⋅=⋅=，当且仅当2a b ==时取等号，故B 正确；对于C ：因为()2222162a b a b ab ab +=+-=-，4ab ≤，所以221621688a b ab +=-≥-=，当且仅当2a b ==时取等号，故C 正确；对于D ：当10,30a b =>=>时，满足4a b +=，但是222222log log log 1log 3log 3log 42a b +=+=<=，故D 错误；故选：ABC.12.已知函数()cos(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象关于直线7π12=-x 对称，则（）A.(0)2f =B.函数()y f x =的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()f x 在区间19π,π24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D.函数()f x 在区间5,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,2⎡-⎢⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】先根据对称轴求出函数解析式，结合选项逐个验证即可.【详解】因为()f x 的图象关于直线7π12=-x 对称，所以7ππ6k ϕ-=，即7ππ6k ϕ=+，Z k ∈；因为0πϕ<<，所以π6ϕ=，即()cos(2π6=+f x x .π(0)cos 62f ==，故A 正确；2π3π(cos 032f ==，所以函数()y f x =的图象关于点2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 正确；令π26t x =+，由19π,π24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得21π13π,126t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为21π13π2π126<<，所以函数()f x 在区间19π,π24⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调函数，故C 不正确；令π26t x =+，由5,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得11,36t ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以cos 1,2t ⎡∈-⎢⎣⎦，所以()1,2f x ⎡∈-⎢⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．把答案填在答题卡的相应位置．13.命题“()2R,ln 10x x ∀∈+>”的否定是_________．【答案】()2R,ln 10x x ∃∈+≤【解析】【分析】利用全称命题的否定方法可得答案.【详解】因为“()2R,ln 10x x ∀∈+>”的否定是“()2R,ln 10x x ∃∈+≤”故答案为：()2R,ln 10x x ∃∈+≤.14.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()4x f x =，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．【答案】2-【解析】【分析】先利用周期和奇偶性，把所求转化为已知区间内，代入可得答案.【详解】因为()f x 是周期为2的奇函数，所以511222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为当01x <<时，()4x f x =，所以1()22f =，所以522f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故答案为：2-15.已知偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，(2)0f -=，若()2log 0f m >，则实数m 的取值范围是______.【答案】1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据函数单调性和奇偶性得到22log 2m -<<，利用对数函数单调性求解即可.【详解】因为偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，(2)0f -=，所以()f x 在(),0∞-上单调递增，()20f =，所以()2log 0f m >等价于()()2log2f m f >，所以2log 2m <，所以22log 2m -<<，解得144m <<.所以实数m 的取值范围是1,44⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：1,44⎛⎫⎪⎝⎭.16.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，区间[,]a b （,a b ∈R 且a b <）满足：()y f x =在区间[,]a b 上至少含有20个零点，在所有满足此条件的区间[,]a b 中，b a -的最小值为_________．【答案】55π6##55π6【解析】【分析】通过整体代换求解函数的零点通式，求出相邻零点之间的距离，即可求出满足零点个数的最小区间长度．【详解】令π()2sin 203f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得πx k =或ππ6x k =+，k ∈Z ，即()y f x =的相邻两零点间隔为π6或5π6，故若()y f x =在[],a b 上至少含有20个零点，则b a ﹣的最小值为π5π55π109666⨯+⨯=．故答案为：55π6四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知函数2()(2)2f x x k x k =++++，设集合{}122xA x=<<∣，集合{()0}B x f x =<∣．（1）若B =∅，求实数k 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数k 的取值范围．【答案】17.[]2,2-18.5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据题意可得()()2220f x x k x k =++++≥恒成立，即0∆≤求解；（2）化简()0,1A =，由题意A B ⊆得()()0010f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩求得答案.【小问1详解】由B =∅，即()()2220f x x k x k =++++≥恒成立，()()22420k k ∴∆=+-+≤，解得22k -≤≤.所以实数k 的取值范围为[]22-,.【小问2详解】由{}()1220,1xA x =<<=，x A ∈是xB ∈的充分条件，所以A B ⊆，得()()0010f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，即20250k k +≤⎧⎨+≤⎩，解得52k ≤-.所以实数k 的取值范围为5,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.18.已知函数π()2sin 6g x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭周期为π，其中0ω>．（1）求函数()g x 的单调递增区间；（2）请运用“五点法”，通过列表、描点、连线，在所给的直角坐标系中画出函数()g x 在[0,]π上的简图．【答案】（1）πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先利用周期求出函数解析式，再利用单调性可得答案；（2）利用五点法画图可得答案.【小问1详解】由题意可得2ω=，所以π()2sin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；令πππ2π22π262k x k -≤-≤+，Z k ∈，解得ππππ63k x k -≤≤+，故函数()g x 的单调递增区间为πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】π26x -π6-π2π3π211π6x 0π12π37π125π6π()g x 1-022-1-描点，连线，其简图如下19.已知函数2()141x a f x =-+是奇函数．（1）求实数a 的值并判断函数单调性（无需证明）；（2）若不等式()()412250x x f f t ++-⋅+<在R 上恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）1a =，减函数（2）5t >-【解析】【分析】（1）先根据奇偶性求出a ，再根据复合函数单调性可判定单调性；（2）利用奇偶性和单调性进行转化，再结合换元法可求答案.【小问1详解】因为2()141x a f x =-+是奇函数，所以(0)0f =，解得1a =；当1a =时，214()14141xx x f x -=-=++，定义域为R ，又1441()41)4(1x x x x f x x f ---+-==-+=-符合题意.所以1a =，因为41x y =+为增函数，所以()f x 为减函数.【小问2详解】()()412250x x f f t ++-⋅+<等价于()()41225x x f f t +<--⋅+，即()()41225x x f f t +<-+⋅-；因为()f x 为减函数，所以41225x x t +>-+⋅-，即4226x x t ⋅+->-；令20x m =>，则上式化为226m m t ⋅+->-，即()215m t -+>-；所以5t >-.20.中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产1台，需另投入成本()C x （万元），当年产量不足70台时，21()602C x x x =+（万元）；当年产量不小于70台时，8100()1212180C x x x=+-（万元），若每台设备售价为120万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.（1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？【答案】20.2160500,070281001680,70x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩21.90台时利润最大.【解析】【分析】（1）分070x <<、70x ≥两种情况分别求出函数关系式即可；（2）利用二次函数及基本不等式计算可得.【小问1详解】由题可知当070x <<时，2211120605006050022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭，当70x ≥时，8100810012012121805001680y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2160500,070281001680,70x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；【小问2详解】当070x <<时，()22116050060130022y x x x =-+-=--+，则60x =时，y 有最大值1300（万元）；当70x ≥时，81001680y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当0x >时，8100180x x +≥=，当且仅当8100x x =，即90x =时取等号，所以8100168016801801500y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭，所以当90x =时，y 有最大值1500（万元）；综上，年产量为90台时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.21.已知函数2())2cos 1(0,0π)2x f x x ωϕωϕωϕ+⎛⎫=+-+><< ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2.（1）求()()sin cos h x f x x x =+-的最小值.（2）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，记方程2()3g x =在4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到依次为1231,,,,,n n x x x x x - 试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++ 的值.【答案】21.2-22.85π12【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简()f x ，再根据周期及奇偶数性求出()f x 的解析式，再令sin cos t x x =-，利用二次函数性质求解最小值即可；（2）根据三角函数图像变换求得()g x ，利用换元法，结合三角函数图象与性质求得n 以及1231222n n x x x x x -+++++ 的值.【小问1详解】()()22cos 12x f x x ωϕωϕ+⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()()πcos 2sin 6x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭.因为函数()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2，所以πT =，可得2ω=，又由函数()f x 为奇函数，所以ππ,6k k ϕ-=∈Z ，因为0πϕ<<，所以π6ϕ=，所以函数()2sin2f x x =.所以()()sin cos 2sin 2sin cos h x f x x x x x x =+-=+-，令πsin cos 4t x x x ⎛⎫⎡=-=-∈ ⎪⎣⎝⎭，则22sin 24sin cos 22x x x t ==-，故原函数最小值为222,y t t t ⎡=-++∈⎣的最小值，其对称轴为14t =，在14t ⎡⎤∈⎢⎣⎦单调递增，在14t ⎡∈⎢⎣单调递减，且(222222-⨯+>--，所以t =222y t t =-++有最小值2-，所以()()sin cos h x f x x x =+-的最小值为2-.【小问2详解】将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，得到ππ2sin 22sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到()π2sin 43g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()π22sin 433g x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则π1sin 433x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4,5π33x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令3π4t x =-，则π,5π3t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数sin y t =在π,5π3t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示，由图可知，sin y t =与13y =共有6个交点，所以方程2()3g x =在4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上共有6个根，即6n =，因为()()()123456162345222222t t t t t t t t t t t t +++++=+++++5π3π7π2222225π222=⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以1234562222x x x x x x +++++()1234561π222210412t t t t t t =++++++⨯85π12=.22.对于函数()()f x x D ∈，D 为函数定义域，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≤成立，我们称函数()f x 为“T 同比不增函数”.（1）若函数()sin f x kx x =+是“π2同比不增函数”，求k 的取值范围；（2）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =---++为“T 同比不增函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22,π∞⎛-- ⎝⎦（2）存在，且4T ≥【解析】【分析】（1）由()()f x T f x +≤恒成立，分离常数k ，结合三角函数的最值来求得k 的取值范围.（2）结合()f x 的图象以及图象变换的知识求得T 的取值范围.【小问1详解】因为函数()sin f x kx x =+是“π2同比不增函数”，则()π2f x f x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以ππsin sin 22k x x kx x ⎛⎫⎛⎫+++≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，所以ππsin cos 24k x x x ⎛⎫≤-=- ⎪⎝⎭，即πsin π4k x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，由于πsin 14x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，所以πk ≤-.所以k的取值范围是,π∞⎛-- ⎝⎦.【小问2详解】存在，理由如下：2,1()11,112,1x x f x x x x x x x x --≤-⎧⎪=---++=-<<⎨⎪-+≥⎩，画出()f x的图象如下图所示，()f x T +的图象是由()f x 的图象向左平移T 个单位所得，由图可知，当4T ≥时，对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≤成立，所以存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =---++为“T 同比不增函数”，且4T ≥.【点睛】关键点点睛：本题考查新定义的理解和应用，解题的关键在于利用题中的定义，将问题转化为恒成立问题，本题第（2）问利用数形结合思想求解比较直观简单.。
山东省德州市2023届高一数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析
19．计算下列各式：
（1） （式中字母均为正数）；
（2） .
20．已知 .
（1）若 ， ，求x的值；
（2）若 ，求 的最大值和最小值.
21．在 中，设角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 周长的取值范围.
22．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
故选：B
10、C
【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.
[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.
所以每平方米的平均综合费用为
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以公司应把楼层建成15层，此时，该楼房每平方米的平均综合费用最低为24000元，
故答案为：15，24000
16、①.14②.10
【解析】根据数量积的运算性质，计算 的平方即可求出最大值， 两边平方，可得 ，计算 的平方即可求解.
【详解】
，当且仅当 同向时等号成立，
【小问1详解】
依题意， ，
由 ，即 得： ，而 ，即 ，
于是得 或 ，解得 或 ，
所以x的值是 或 .
【小问2详解】
由(1)知， ，当 时， ，
则当 ，即 时， ，当 ，即 时， ，
所以 的最大值和最小值分别为： ， .
21、（1） ；（2）
2023届辽宁省五校高一数学第一学期期末经典模拟试题含解析
A.5，7
B.5，6
C.4，5
D.5，5
7．函数 f x x2 2 x 2x2 1的零点个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
8．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 为棱 CD 的中点，则
A. A1E DC1
B. A1E BD
C. A1E BC1
D. A1E AC
9．若函数 f (x) log2 (x 1) 的定义域是[0,1] ，则函数 f (x) 值域为（ ）
A. [0,1]
B. (0,1)
C. (,1]
D.[1, )
10．已知 f x 为 R 上的奇函数，g x xf x ， g x 在 ,0为减函数．若 a g log25.1 ， b g 20.8 ，
【解析】通过计算 f a f b 0 ，判断出零点所在的区间.
【详解】由于 f 2 log3 2 3 2 log3 2 1 0 ， f 3 log3 33 3 1 0 ， f 2 f 3 0 ，故零点在区间 2,3，故选 B.
【点睛】本小题主要考查零点的存在性定理的应用，考查函数的零点问题，属于基础题. 2、A
,1
；
故选 D
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性综合应用，注意将 f 2x 1 f x 转化为关于 x 不等式，属于基础题
6、A
【解析】由于除掉 2 处的数字后剩余 5 个数据的中位数为 15 10 x 10 x ，故污点1处的数字为 2
x 5 ， 8 13 24 20 y 17 ，则污点 2 处的数字为 y 7 ，故选 A. 6
浙江省杭州2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案
杭州2023学年第一学期高一年级期末考数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1.函数()1ln f x x x =-的零点所在的大致区间是（）A.()1,2 B.()2,e C.()e,3 D.()e,+∞【答案】A 【解析】【分析】由零点存在定理结合函数单调性得到结论.【详解】因为函数ln y x =在()0+∞，上为增函数，函数1y x=在()0+∞，上为减函数，所以函数1()ln f x x x=-在()0+∞，上为增函数，又(1)ln1110f =-=-<，112211(2)ln 2ln 4ln e 02212f =-=->-=，即(2)0f >，所以零点所在的大致区间(1,2).故选：A.2.设函数()()sin f x x θ=+，则“cos 0θ=”是“()f x 为偶函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的性质求出ππ,Z 2k k θ=+∈，即可判断.【详解】解：由cos 0θ=，得ππ,Z 2k k θ=+∈，由()()sin f x x θ=+为偶函数，得ππ,Z 2k k θ=+∈，则“cos 0θ=”是“()()sin f x x θ=+”为偶函数的充分必要条件.故选：C3.下列四个函数中的某个函数在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图象如图所示，则该函数是（）A.322xxx xy --=+ B.cos222xxx xy -=+ C.2122xxx y --=+ D.sin222x xx y -=+【答案】B 【解析】【分析】利用题给函数在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先正值后负值的变化情况排除选项A ；利用题给图象可知函数是奇函数排除选项C ；利用当π2x =时题给函数值为负值排除D ；而选项B 均符合以上要求.【详解】当01x <<时，30x x -<，3022x xx xy --=<+.排除A ；由偶函数定义可得2122x xx y --=+为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C ；当π2x =时，ππ222πn 22si 02y -⎛⎫⎝+ ⎭⨯==⎪.排除D ；cos222x x x x y -=+为奇函数，且当π04x <<时，cos2022x xx x y -=>+，当π2x =时，ππππ2222cos 20π2222ππ222y --⨯==⎛⎫⋅- ⎪⎭<++⎝.B 均符合题给特征.故选：B.4.《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）A.4B.5C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】设中周的半径是1R ，外周的半径是2R ，圆心角为α，根据中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，列关系式即可.【详解】设中周的半径是1R ，外周的半径是2R ，圆心角为α，1221921225R R R R αα=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得6α=.故选：C 5.已知π3cos(124θ-=，则πsin(2)3θ+=（）A.716-B.18-C.18D.716【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式，结合二倍角的余弦公式计算即得.【详解】当π3cos()124θ-=时，2πππππ1sin(2)sin(2)cos 2()2cos ()136212128θθθθ+=-+=-=--=.故选：C6.已知函数()()cos f x x ωϕ=+π0,2ωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，1x ，2x 是()f x 的两个零点，若214x x =，则下列不为定值的量是（）A.ϕB.ωC.1x ω D.1x ωϕ【答案】B 【解析】【分析】求函数()f x 的周期，估计1x 的范围，再求函数()f x 的零点，由此确定1x ，2x ，结合条件化简可得结论.【详解】函数()()cos f x x ωϕ=+()0ω>的周期为2πω，由图象可得1π02x ω<<，令()0f x =，可得：ππ,Z 2x k k ωϕ+=+∈，所以ππ2k x ϕω+-=，即2ππ22k x ϕω+-=，又π0,2ωϕ><，所以1π22x ϕω-=，23π22x ϕω-=，又因为214x x =，所以3π2π2422ϕϕωω--=⨯，所以π6ϕ=，1π2ππππ22263x ϕωωϕω-=⨯=-=-=，1π32π6xωϕ==为定值.故选：B7.已知0x >，0y >，且311x y +=，则2x x y y++的最小值为（）A.9B.10C.12D.13【答案】D 【解析】【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得.【详解】()31322261x x y x x x y x y y x y y x y y⎛⎫++=+++=++++ ⎪⎝⎭337713y x x y =++≥+，当且仅当33y xx y=，即4x y ==时，等号成立.故选：D.8.若关于x 的方程()()2221151x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，则123x x x ++的值为（）A.32B.12C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案.【详解】由题知0x ≠，由()()2221151x m x x x +-+=+，得到12301m x m x x x+-+-=+，令1t x x =+，由对勾函数的图像与性质知，2t ≤-或2t ≥，且1t x x =+图像如图，则230mt m t-+-=，即2(3)20t m t m +--=，又方程()()2221151x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，所以2(3)20t m t m +--=有两根12,t t ，且122,2t t =->，故42620m m -+-=，得到52m =，代入2(3)20t m t m +--=，得到21502t t --=，解得2t =-或52t =，由12x x +=-，得到=1x -，由152x x +=，得到22520x x -+=，所以2352x x +=，所以12353122x x x ++=-+=，故选：A.【点睛】方法点晴：对于复杂方程的根有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.设α是第一象限角，则2α为第一或第三象限角B.cos 2sin 3πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭C.在ABC 中，若点O 满足0OA OB OC ++=，则O 是ABC 的重心D.()a b c a b c⋅ ≤【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据象限角的概念可判断；对B ，根据辅助角公式化简即可；对C ，取BC 中点D ，得出2OA OD =-，根据重心的性质可判断；对D ，根据cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅，结合向量数乘运算性质即可判断.【详解】对A ，因为α是第一象限角，所以π2π2π,2k k k α<<+∈Z ，则πππ,24k k k α<<+∈Z ，其为第一或第三象限角，故A 正确；对B 1cos 2sin cos 2sin 226πααααα⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对C ，取BC 中点D ，则2OB OC OD +=，又0OA OB OC ++= ，所以2OA OD =-，所以O 在中线AD 上，且2OA OD =，所以O 为ABC 的重心，故C 正确；对D ，因为cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅ ，cos ,1a b ≤，所以a b a b ⋅≤ ，所以()a b c a b c a b c ⋅=⋅≤，故D 正确.故选：ACD .10.符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数{}[]x x x =-，那么下列命题中正确的是（）A.函数{}x 的值域为[]1,0-B.函数{}x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-C.函数{}x 是周期函数D.函数{}x 是减函数【答案】BC 【解析】【分析】结合函数性质逐项判断即可得.【详解】对A ：当x ∈Z ，则{}[]0x x x x x =-=-=，当x ∉Z ，则{}[]()1,0x x x =-∈-，故函数{}x 的值域为(]1,0-，故A 错误；对B ：当x ∈Z ，则{}[]0x x x x x =-=-=，{}0x ⎡⎤=⎣⎦，当x ∉Z ，则{}[]()1,0x x x =-∈-，{}1x ⎡⎤=-⎣⎦，即函数{}x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-，故B 正确；对C ：{}[][]{}111x x x x x x +=+--=-=，故函数{}x 是周期函数，故C 正确；对D ：由函数{}x 是周期函数，故函数{}x 不是减函数，故D 错误.故选：BC.11.已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=++π02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，满足()π23f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，都有()5π12f x f ⎛⎫≥-⎪⎝⎭，当ω取最小值时，则下列正确的是（）A.()f x 图象的对称中心为ππ,1Z 26k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭B.()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为1,3⎤+⎦C.将2sin 21y x =+的图象向左平移π6个单位长度得到()f x 的图象D.()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ACD 【解析】【分析】由题意可得()f x 的图象关于π(,1)6-对称，()f x 在5π12x =-处取得最小值，推得ϕ，ω的值，可得函数解析式()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的对称中心、值域和图象变换、单调性，可得结论.【详解】函数()()2sin 1f x x ωϕ=++π02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，满足()π23f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭,可得()f x 的图象关于π(,1)6-对称，故11ππ(Z)6k k ωϕ-+=∈，即11(Z)ππ6k k ϕω∈=+，由于对任意x ∈R ，都有()5π12f x f ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，可得()f x 在5π12x =-处取得最小值，即225ππ2π(Z)122k k ωϕ-+=-+∈，可得22π5π2π(Z)212k k ϕω=-++∈，则21π5ππ2ππ2126k k ϕωω=-++=+，化简得1224(2)πk k ω=+-12(2Z)k k -∈，因为0ω>，当ω取最小值时，1220k k -=，可得2ω=，则11ππ(Z)3k k ϕ=+∈且π2ϕ<，得π3ϕ=，所以()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，对于A ，令π2π3x k +=，Z k ∈，解得ππ62k x =-+，则()f x 图象的对称中心为ππ,1Z 26k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，当ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，ππ2π2,363x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得π1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,3，故B 不正确；对于C ，将2sin 21y x =+的图象向左平移π6个单位长度得到ππ2sin 2(12sin(21()63y x x f x =++=++=的图象，故C 正确；对于D ，当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确；故选：ACD.12.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+，则（）A.1233BD BA BC=+ B.x y +的最大值为13+C.BP BC ⋅ 最大值为9 D.1BO DO ⋅=【答案】AC 【解析】【分析】对于AD ，将,,BD BO DO 分别用,BA BC表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于BC ，以点O 为原点建立平面直角坐标系，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断.【详解】对于A ，因为23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以113OA OD DC AC ====，则()11123333BD BC CD BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，故A 正确；对于B ，()22213333BO BC CO BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，211211333333DO BO BD BA BC BA BC BA BC ⎛⎫=-=+-+=- ⎪⎝⎭，则2211212113333999DO BO BA BC BA BC BA BC BA BC⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1112133922=--⨯⨯⨯=，故D 错误；对于C ，如图，以点O 为原点建立平面直角坐标系，则()()1331,0,,,2,022A B C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，因为点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以点P 的轨迹方程为221x y +=，且在x 轴的下半部分，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，则133333333cos ,sin ,,,,222222BP BC BA αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以333327πcos 3cos 624243BP BC ααα⎛⎫⋅=--+=++ ⎪⎝⎭ ，因为[]π,2πα∈，所以π4π7π,333α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π2π3α+=时，BP BC ⋅ 取得最大值9，故C 正确；因为BP xBA yBC =+ ，所以133333333cos ,sin ,,222222x y αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()133333cos ,sin ,2222x y x y αα⎛⎫⎛⎫--=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3333sin 22x y α-=-+，所以23sin 19x y α+=-+，因为[]π,2πα∈，所以当3π2α=时，x y +取得最大值2319+，故B 错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数tan y x =的定义域为_____________．【答案】,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【详解】函数tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭故答案为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭14.若sin1a =，ln sin1b =，sin1e c =，则a ，b ，c 三数中最小数为_________.【答案】b 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合sin1的范围比较大小即得.【详解】依题意，0sin11<<，ln sin1ln10b =<=，10sin 1e e c >==，所以,,a b c 三数中最小数为b .故答案为：b15.在解析几何中，设()111,P x y ，()222,P x y 为直线l 上的两个不同的点，则我们把12PP及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量，常用n表示，此时120P P n ⋅=.若点P l ∉，则可以把PP 在法向量n上的投影向量的模叫做点P 到直线l 的距离.现已知平面直角坐标系中，()2,2P --，()12,1P ，()21,3P -，则点P 到直线l 的距离为__________.【答案】13【解析】【分析】先求出直线方程，后利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】设l 的斜率为k ，点P 到直线l 的距离为d ，则3123k -==--1-2，l 的直线方程为2370x y +-=，由点到直线的距离公式得31d ==.故答案为：1316.对于非空集合M ，定义()0,Φ1,M x M x x M ∉⎧=⎨∈⎩，若sin 2A x x ⎧⎪=≥⎨⎪⎪⎩⎭，(),2B a a =，且存在x ∈R ，()()2A B x x Φ+Φ=，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】π3π9π,,848∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭##π3π84a <<或9π8a >【解析】【分析】首先解三角不等式求出集合A ，依题意A B ⋂≠∅，则π2a ≥时一定满足，再考虑π02a <<时，求出A B ⋂≠∅时参数的取值范围，即可得解.【详解】因为sin 2A x x ⎧⎪=≥⎨⎪⎪⎩⎭，所以π3{|2}ππ2π4Z 4()A x k x k k =+∈<<+，因为(),2B a a =，B ≠∅，所以2a a >，所以0a >，因为()()2A B x x Φ+Φ=，所以1A B Φ=Φ=，所以A B ⋂≠∅，此时区间长度π2a ≥时一定满足，故下研究π02a <<时，此时02πa a <<<，因此满足题意的反面情况024πa a <<≤或92443ππa a ≤<≤，解得π02a <≤或834ππ9a ≤≤，因此满足题意a 的范围为π3π9π,,848⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .故答案为：π3π9π,,848⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题关键在于考虑π02a <<时，求出A B ⋂≠∅时参数的取值范围.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为04,5y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求cos α，sin α的值；（2）求()()πcos πcos 2πsin tan π2αααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）35-（2）13-【解析】【分析】（1）根据任意角三角函数定义和同角基本关系式可解；（2）利用诱导公式化简即可求值.【小问1详解】∵角α的终边与单位圆的交点为04,5M y ⎛⎫⎪⎝⎭，∴4cos 5α=，∵3π,2π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭∴sin 0α<，∴3sin 5α==-.【小问2详解】原式()cos sin cos sin 1cos tan sin 3ααααααα--+===-⋅-.18.如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，1e ，2e分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量()12,OP xe ye x y =+∈R ，则把有序数对(),x y 叫做向量OP在坐标系xOy 中的坐标.（1）设()0,3OM = ，()4,0ON = ，求OM ON ⋅的值；（2）若()3,4OP =，求OP 的大小.【答案】（1）6（2【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【小问1详解】∵23OM e = ，14ON e = ，∴121212cos 606OM ON e e ⋅=⋅=︒=；【小问2详解】∵()222212112234924162524cos 6037OP e e e e e e =+=+⋅+=+︒= ，∴OP =19.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且向量(),m c a b =-，()sin sin ,sin sin n B C A B =-+ ，m n ⊥ .（1）求角A 的大小；（2）若2a =，ABC 的周长为l ，面积为S ，求Sl的最大值.【答案】（1）π3A =（2）6【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示，结合正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解；（2）利用（1）中结论与三角形面积公式将Sl表示为b c +的表达式，再利用基本不等式求得b c +的最大值，从而得解.【小问1详解】因为m n ⊥，故()(),sin sin ,sin sin 0m n c a b B C A B ⋅=-⋅-+=，即()()()sin sin sin sin 0c B C a b A B -+-+=，由正弦定理得，()()()0c b c a b a b -+-+=，整理得到222a b c bc =+-，则221cos 22b c bc A bc +-==，又()0,πA ∈，故π3A =.【小问2详解】由（1）知222a b c bc =+-，则224b c bc =+-，所以()243b c bc =+-，即()2143bc b c ⎡⎤=+-⎣⎦，因为1sin 24S bc A bc ==，2l b c =++，所以()()()()243324212212b c S b c l b c b c ⎡⎤+-⎣⎦===+-++++，又()24b c bc +≤，所以()()22434b c b c bc +=+-≥，所以4b c +≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以)()33324212126S b c l =+-⨯-=≤，即S l 的最大值为36.20.如图所示，有一条“L ”，河道均足够长.现过点D 修建一条栈道AB ，开辟出直角三角形区域（图中OAB ）养殖观赏鱼，且π02OAB θθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭.点H 在线段AB 上，且OH AB ⊥.线段OH 将养殖区域分为两部分，其中OH 上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤.（1）养殖区域面积最小时，求θ值，并求出最小面积；（2）若游客可以在栈道AH 上投喂金鱼，在河岸OB 与栈道HB 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求θ的取值范围.【答案】（1）π6θ=，（2）ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出养殖观赏鱼的面积13tan tan OAB S θθ=++ ，再由基本不等式求解；（2）由题意BH OB AH +≥，则11sin 1cos tan cos tan cos sin ≥≥θθθθθθθ++⇔即可求解.【小问1详解】过D 作DM ，DN 垂直于OA ，OB ，垂足分别为M ，N ，则DM ON ==DN OM ==tan tan DM AM θθ==，tan BN DN θθ==，养殖观赏鱼的面积)1113tan 22tan tan OAB S OA OB θθθθ⎫=⋅=+=++⎪⎪⎭，由π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得tan 0θ>，则13tan tan θθ+≥，当且仅当tan 3θ=即π6θ=时取等号，故π6θ=时，OAB S 最小=.【小问2详解】由2AOB OHA π∠=∠=，可得BOH θ∠=，则tan OH AH θ=，tan BH OH θ=，cos OHOB θ=，由题意BH OB AH +≥，则()2211sin 1cos tan sin 1sin cos 1sin cos tan cos sin θθθθθθθθθθθ++≥⇔≥⇔+≥=-，则1sin 1sin sin 2θθθ-⇔≥≥，结合π02θ<<，则ππ,62θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.21.设a ∈R ，函数()2sin cos f x x x a =--，π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭.（1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，试证明：12121tan tan 31tan tan x x x x --≤.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123ππ2x x <+<，即()12cos 0x x +<，令1201tan tan x x λ=<-，则将原命题转化为证明2210λλ++≥，显然成立，进而原命题成立得证.【小问1详解】()2cos cos 1f x x x a =---+，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=-+，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，令()cos 1,0t x =∈-，所以21,04t t ⎡⎫+∈-⎪⎢⎣⎭，则()0f x =即21t t a +=-+，所以当10a -+≥或114a -+<-时，即1a ≤或54a >时，21t t a +=+无解；当114a -+=-时，即54a =时，21t t a +=+仅有一解；当1104a -<-+<即514a <<时，21t t a +=+有两解，综上，1a ≤或54a >时，()f x 无零点；54a =时，()f x 有一个零点；514a <<时，()f x 有两个零点.【小问2详解】若()f x 有两个零点1x ，2x ，令11cos t x =，22cos t x =，则1t ，2t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则1222211c cos 2c o os os c s x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得1cos 0x <，2cos 0x <，则120c 2os cos x x >，所以2212cos cos 1x x +<，所以2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得23,22πππx ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以23πcos 02x ⎛⎫-<⎪⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，所以123ππ2x x <+<，所以()12cos 0x x +<令121tan tan x x λ=-，则()1212121212cos cos cos sin sin 0cos cos cos cos x x x x x x x x x x λ+-==<要证12121tan tan 31tan tan x x x x --≤成立，即证：1132λλλ--=--≤；即证：2210λλ++≥，因为()222110λλλ++=+≥显然成立，故原式成立.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．。
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高一上学期期末模拟数学试题一、选择题：1. 集合{1，2，3}的真子集共有( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个 2. 已知角α的终边过点P (－4,3) ，则 的值是( )A ．－1B ．1C ．D ．3. 已知扇形OAB 的圆心角为，其面积是2cm 2则该扇形的周长是( )cm.A ．8B ．6C ．4D ．2 4. 已知集合，，则为( )A ．B ．C ．D ．6. 函数 是 （ ） A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数 7. 右图是函数在一个周期内的图象，此函数的解析式为可为( )A ．B ．C ．) D ．8.已知函数在区间[2，+)上是增函数，则的取值范围是( )A ．（B ．（C ．（D ．（9. 已知函数对任意都有的图象关于点对称,则2sin cos αα+52-25)252sin(π+=x y ππ2π2π（ ） A ．10 B ．C ．5D ．010. 已知函数有且只有两个不相等的实数根,则实数a 的取 值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题: 11.= __________.12. 函数的定义域是__________.13. 若，则__________.14. 函数的零点的个数是__________.15. 函数的定义域为,若存在闭区间,使得函数满足:①在内是单调函数;②在上的值域为,则称区间为的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有________①; ②;③;④三、解答题 16. 已知， （1）求：的值（2）求：的值()sin 2()f x x x R =∈31tan =αααααsin cos 5cos 2sin -+1cos sin -αα3讨论关于x 的方程解的个数。
18.已知f(x)＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1(a 为常数).(1)求f(x)的递增区间；(2)若x∈[0，π2]时，f(x)的最大值为4，求a 的值；(3)求出使f(x)取最大值时x 的集合.19. 设函数 ⑴求的定义域。
⑵判断函数的单调性并证明。
⑶解关于的不等式20.已知指数函数满足：，又定义域为的函数是m x f =)(xx x x f +-++=11lg 21)()(x f )(x f x 21)21(<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x f ()y g x =8)3(=g R ()()()2n g x f x m g x -=+奇函数.（1）确定的解析式； （2）求的值；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．21.已知函数，，其中.（1）写出的单调区间（不需要证明）；（2）如果对任意实数，总存在实数，使得不等式成立， 求实数的取 值范围.()y g x =n m ,t R ∈()()22230f t t f tk -+->k ()()2f x x a x =--()22xg x x =+-a R ∈()f x []0,1m ∈[]0,2n ∈()()f m g n ≤a高一上期末模拟训练题2013.125. 函数y =lg的大致图象为( D )6. 函数 是 （ B ） A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数 7. 右图是函数在一个周期内的图象，此函数的解析式为可为( B )A ．B ．C ．) D ．8.已知函数在区间[2，+)上是增函数，则的取值范围是( C )A ．（B ．（C ．（D ．（9. 已知函数对任意都有的图象关于点对称,则 （ D ） A ．10B ．C ．5D ．0)252sin(π+=x y ππ2π2π10. 已知函数有且只有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围为（ B ）A ．B ．C ．D ．二.填空题: 11.= __________.12. 函数的定义域是__________.13. 若，则__________.116.已知， （1）求：的值（2）求：的值【解析】：（1）（2）........... 17.设，(1)在直角坐标系中画出的图象；并指出该函数31tan =αααααsin cos 5cos 2sin -+1cos sin -αα21107-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<--≤+=)2(log )21()1(2)(212x x x xx x x f ()f x的值域。
(2)若，求值； (3)讨论关于x 的方程解的个数。
解(1)图略，值域｛x ∣x 4｝----------(2) x= ----------(3)①m>4 无解；②1<m 4或-1m<0,1解；③m=1或m<-1, 2解；④0<m<1,3解。
18.已知f(x)＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1(a 为常数). (1)求f(x)的递增区间； (2)若x∈[0，π2]时，f(x)的最大值为4，求a 的值； (3)求出使f(x)取最大值时x 的集合. 解(1)当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 即k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z 时，f(x)单调递增，∴当sin(2x ＋π6)＝1时，f(x)有最大值为2×1＋a ＋1＝4，∴a ＝1； (3)当x ∈R ，f(x)取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴x ＝π6＋k π，k ∈Z ，∴当x ∈R ，使f(x)取得最大值时x 的集合为{x|x ＝π6＋k π，k ∈Z}.19. 设函数 ⑴求的定义域。
⑵判断函数的单调性并证明。
⑶解关于的不等式3)(=x f x m x f =)(≤3≤≤xx x x f +-++=11lg 21)()(x f )(x f x 21)21(<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x f解：（I ）在定义域内为增函数.................................................... 设，且.........................................................................== 因为，所以，所以有 即有在定义域内为增函数............................................................................ （II ）因为定义域为且关于原点对称，又==所以在定义域内为奇函数................由有又在上单调递增 即...所以：.解：（1） 设 ,则，a=2, ，（2）由（1）知：，()f x 1x 2x ∈()1,1-12x x <2()f x -1()f x ()()2221221112222221121111x x x x x x x x x x x x +---=++++()()21212212()(1)11x x x x x x --++1211x x -<≤<210x x ->2110x x ->2()f x -1()f x 0>()f x ()f x []1,1-()f x -21xx-+()f x -()f x 1()()02f t f t -+<1()()()2f t f t f t -<-=-()f x ()1,1-1112t t -<-<-<11,24t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()xg x a =()0a >≠且a 138a =∴∴()2x g x =()122x x n f x m +-=+因为是奇函数，所以=0，即, ∴， 又，； （3）由（2）知，易知在R 上为减函数. 又因是奇函数，从而不等式：等价于=，因为减函数，由上式得：,……即对一切有：，从而判别式21.已知函数，，其中.（1）写出的单调区间（不需要证明）；（2）如果对任意实数，总存在实数，使得不等式 成立， 求实数的取值范围.解：（1）①当时，的递增区间是，无减区间； ②当时，的递增区间是,；的递减区间是； ③当时，的递增区间是,，的递减区间是． ()f x (0)f 1012n n m-=⇒=+()1122xx f x m+-=+()(1)1f f -=-11122=214m m m --∴-⇒=++11211()22221x x x f x +-==-+++()f x ()f x ()()22230f t t f t k -+->()()2223f t tf tk ->--()2f k t -()f x 2223t t k t -<-t R ∈2220t t k -+>()212420.2k k ∆=--⨯⨯<⇒>()()2f x x a x =--()22xg x x =+-a R ∈()f x []0,1m ∈[]0,2n ∈()()f m g n ≤a ()(2),2,()()(2), 2.x a x x f x x a x x --≥⎧=⎨---<⎩2a =()f x (,)-∞+∞()f x 2a >()f x (,2)-∞2(,)2a ++∞()f x 2(2,)2a +2a <()f x 2(,)2a +-∞(2,)+∞()f x 2(,2)2a +（2）由题意，在上的最大值小于等于在上的最大值． 当时，单调递增，∴． 当时，．①当，即时，． 由，得．∴；②当，即时，．()f x [0,1]()g x [0,2][0,2]x ∈()g x max [()](2)4g x g ==[0,1]x ∈2()()(2)(2)2f x x a x x a x a =---=-++-202a +≤2a ≤-max [()](0)2f x f a ==-24a -≤2a ≥-2a =-2012a +<≤20a -<≤2max 244[()]()24a a a f x f +-+==。