人教A版高中数学必修四第二章平面向量一复习教案
高中数学必修4第2章平面向量复习教案 人教版_必修
平面向量必修4 第2章 平面向量 §2.1向量的概念及其表示重难点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量，掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系． 考纲要求：①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念及向量相等的含义． ③理解向量的几何表示．A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行当堂练习：1.下列各量中是向量的是 ( ) A.密度 B.体积 C.重力 D.质量2下列说法中正确的是 （ ） A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度为零 D.共线向量是在一条直线上的向量 3．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量、、、是 （ ） A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等的向量 D ．模都相同的向量4.下列结论中,正确的是 ( ) A. 零向量只有大小没有方向 B. 对任一向量,||>0总是成立的 C. |=|| D. |与线段BA 的长度不相等A. 与共线B. 与相等C. 与 是相反向量D. 与模相等6．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，（1）与相等的向量有 ； （2）与长度相等的向量有 ； （3）与共线的向量有 ．8．如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中：（1）与相等的向量有 ；AO OB CO OD ||AB CD AC BD AD AB BC OB DA AO（2）写出与共线的向有 ； （3）写出与的模相等的有 ； （4）向量与是否相等？答 ． 9．O 是正六边形ABCDE 的中心，且，，，在以A ，B ，C ，D ，E ，O 为端点的向量中：（1）与相等的向量有 ； （2）与相等的向量有 ； （3）与相等的向量有10．在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1），是否存在：（1）是共线向量的有 ； （2）是相反向量的为 ； （3）相等向量的的 ； （4）模相等的向量 ．11．如图，△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AB ，CA 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段中所表示的向量中，（1）与向量共线的有 ． （2）与向量的模相等的有 ． （3）与向量相等的有 ．12．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于A 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来．若它位于图中的P 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？它能否从点A 走到与它相邻的B ？它能否从一交叉点出发，走到棋盘上的其它任何一个交叉点？必修4 第2章 平面向量 §2.2向量的线性运算 重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件．考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其意义。
新人教A版必修4高中数学2.3.1 平面向量基本定理学案
高中数学 2.3.1 平面向量基本定理学案新人教A版必修4【学习目标】1知识与技能(1)了解平面向量基本定理及其意义,会利用向量基本定理解决简单问题；(2)培养学生分析、抽象、概括的推理能力。
2过程与方法(1)通过平面向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的思维方法；(2)通过本节学习,体会用基底表示平面内任一向量的方法。
3情感.态度与价值观（1）通过本节学习,培养学生的理性思维，培养学生独立思考及勇于探求、敢于创新的精神、培养主动学习的意识；（2）通过平面向量基本定理的探求过程,培养学生观察能力、抽象概括能力、独立思考的能力，激发学生学习数学的兴趣。
【重点难点】重点：平面向量基本定理的应用难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程,数学思想的渗透。
【学习内容】一【知识链接】1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？2．怎样理解向量的数乘运算λa？ （1）模：|λa|=|λ||a|；（2）方向：λ>0时λa 与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=03. 向量共线定理 ：向量b 与非零向量a共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.二【新课导入】情景展示：在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,就会形成一个新的数学理论. 三、小组合作、自主探究 探究（一）：平面向量的基本定理探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e ，请你作出向量b =31e +22e 、c =1e -22e .探究2：由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e 来表示向量b ,c 那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示呢?【定理解读】1 、1e 、2e 必须是平面向量的基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ11e +λ22e .2、λ1，λ2是被a，1e ，2e 的数量 3、基底不唯一,关键是不共线;4、由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解;5、基底给定时,分解形式唯一.6、λ 1 =0时 ； λ2=0时 ；λ1=0、λ2=0时 。
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.2 平面向量的线性运算教案
数学学科必修4模块第二单元教学设计方案
第五学时～第六学时
2．2平面向量的线性运算
（一）学习目标
11.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;
12.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.
13.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题.
14.了解平面向量的基本定理及其意义.
22.通过探究学生体会正交分解定理的形成过程，培养学生观察,类比联想
等发现规律的一般方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力.
23.使学生逐步养成独立思考与互助学习的素养，激发学生的学习兴趣和钻
研精神.
（二）重点难点
1.重点是让学生掌握平面向量正交分解下的坐标表示及其应用
2.难点是平面向量的基本定理及其意义.。
(完整版)高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
高中数学必修 4 第二章平面向量教课设计（ 12课时 )本章内容介绍向量这一看法是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具 .向量看法引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理即可转变为向量的加（减）法、数乘向量、数目积运算，从而把图形的基天性质转变为向量的运算系统.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实质背景.在本章中，学生将认识向量丰富的实质背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数目积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.而后介绍本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的看法，并说了然向量与数目的差别，了向量的一些基本看法 . （让学生对整章有个初步的、全面的认识 .）第 1课时§2.1 平面向量的实质背景及基本看法教课目标：1.认识向量的实质背景，理解平面向量的看法和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等看法；并会划分平行向量、相等向量和共线向量 .2.经过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数目的实质差别.3.经过学生对向量与数目的鉴别能力的训练，培育学生认识客观事物的数学实质的能力.教课要点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的看法，会表示向量.教课难点：平行向量、相等向量和共线向量的差别和联系.学法：本节是本章的入门课，看法许多，但难度不大.学生可依据在原有的位移、力等物理看法来学习向量的看法，联合图形实物划分平行向量、相等向量、共线向量等看法.教具：多媒体或实物投影仪，尺规讲课种类：新讲课教课思路：一、情形设置：如图，老鼠由 A 向西北逃跑，猫在 B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）C结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.A DB 解析：老鼠逃跑的路线AC 、猫追赶的路线BD 实质上都是有方向、有长短的量 .前言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的看法：我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）1、数目与向量有何差别？2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何差别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为 1 的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向同样或相反，这组向量有什么关系？7、假如把一组平行向量的起点所有移到一点O，这是它们能否是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）研究学习1、数目与向量的差别：数目只有大小，是一个代数目，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，两重性，不可以比较大小.2.向量的表示方法：a①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂA(起点)（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；B （终点）④向量 AB 的大小――长度称为向量的模，记作| AB |.3.有向线段：拥有方向的线段就叫做有向线段，三个因素：起点、方向、长度.向量与有向线段的差别：（1）向量只有大小和方向两个因素，与起点没关，只要大小和方向同样，则这两个向量就是同样的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个因素，起点不一样，尽管大小和方向同样，也是不一样的有向线段 .4、零向量、单位向量看法：①长度为 0 的向量叫零向量，记作0. 0 的方向是任意的.注意 0 与 0 的含义与书写差别.②长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都不过限制了大小.5、平行向量定义：①方向同样或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0 与任一直量平行.说明：（ 1）综合①、②才是平行向量的完好定义；（ 2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向同样的向量叫相等向量.说明：（ 1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（ 2）零向量与零向量相等；（ 3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，而且与有．．向线段的起点没关.．．．．．．．．7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同向来线上（与有向线段的．．．．．．起点没关）．．．．． .说明：（ 1）平行向量可以在同向来线上，要差别于两平行线的地点关系；（2）共线向量可以相互平行，要差别于在同向来线上的线段的地点关系.（四）理解和牢固：例1 书籍 86页例 1.例2判断：（1）平行向量能否必定方向同样？（不必定）（2）不相等的向量能否必定不平行？（不必定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同向来线上，则这两个向量必定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向同样）（7）共线向量必定在同向来线上吗？（不必定）例 3 以下命题正确的选项是（）A. ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与 c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四极点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有同样起点的两个非零向量不平行解：因为零向量与任一直量都共线，所以 A 不正确；因为数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同向来线上，而此时就构不行四边形，根本不行能是一个平行四边形的四个极点，所以 B 不正确；向量的平行只要方向同样或相反即可，与起点能否同样没关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来下手考虑，倘若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ最少有一个是零向量，而由零向量与任一直量都共线，可有ａ与ｂ共线，不吻合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选 C.例 4如图，设O是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA 、 OB 、 OC 相等的向量 .变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11 个）变式二：能否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB, DO, FE ）课堂练习：1．判断以下命题能否正确，若不正确，请简述原由.①向量 AB 与 CD 是共线向量，则A、 B、 C、D 四点必在向来线上；②单位向量都相等；③任一直量与它的相反向量不相等；④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当AB ＝ DC⑤一个向量方向不确立当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不一样，则终点必定不一样.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向同样或相反即可，其实不要求两个向量AB 、 AC 在同向来线上.②不正确 .单位向量模均相等且为1，但方向其实不确立.③不正确 .零向量的相反向量还是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确 .⑥不正确 .如图AC与BC共线，虽起点不一样，但其终点却相同. 2．书籍 88 页练习三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书籍 88 页习题 2.1 第 3、5 题第 2课时§向量的加法运算及其几何意义教课目标：1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法规和平行四边形法规作两个向量的和向量，培育数形联合解决问题的能力；3、经过将向量运算与熟习的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，浸透类比的数学方法；教课要点：会用向量加法的三角形法规和平行四边形法规作两个向量的和向量.教课难点：理解向量加法的定义.学法：数能进行运算，向量能否也能进行运算呢？数的加法启示我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生理所应当接受向量的加法定义.联合图形掌握向量加法的三角形法规和平行四边形法规 .联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和联合律.教具：多媒体或实物投影仪，尺规讲课种类：新讲课教课思路：一、设置情形：1、复习：向量的定义以及相关看法重申：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向同样的向量相等.所以，我们研究的向量是与起点没关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移就任何地点2、情形设置：A B C（1）某人从 A 到 B ，再从 B 按原方向到C，则两次的位移和：AB BC AC（2）若上题改为从 A 到 B，再从 B 按反方向到 C， C A B 则两次的位移和：AB BC ACC （3）某车从 A 到 B ，再从 B 改变方向到 C，则两次的位移和：AB BC AC A BC （4）船速为AB，水速为BC，则两速度和：AB BC AC二、研究研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.A B２、三角形法规（“首尾相接，首尾连” ）如图，已知向量a、ｂ .在平面内任取一点 A ，作 AB ＝a，BC＝ｂ，则向量AC叫做a 与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂAB BC AC ，规定： a + 0-= 0 + aaaaC bbａa+ b ｂA a+ bｂaB研究：（ 1）两相向量的和还是一个向量；（ 2）当向量a与b不共线时， a + b 的方向不一样向，且|a + b |<|a |+| b |；（ 3）当a与b同向时，则a + b、a、b同向，O a A且| a + b |=| a |+|b |，当a与b反向时，若 | a |>|b |，bb b a则 a + b 的方向与 a 同样，且| a + b |=| a |-| b |；若a B | a |<| b |，则a + b的方向与b同样，且 | a +b|=| b |-| a |.（ 4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推行到n个向量连加３．例一、已知向量 a 、 b ，求作向量 a + b作法：在平面内取一点，作OA a AB b ，则 OB a b .４．加法的交换律和平行四边形法规问题：上题中 b + a 的结果与 a + b 能否同样？考据结果同样从而获得：１）向量加法的平行四边形法规（对于两个向量共线不适应）aa +b = b + a２）向量加法的交换律：５．向量加法的联合律：( a + b ) + c = a + ( b + c )证：如图：使AB a ，BC b ，CD c则( a + b ) + c = AC CD AD ， a + ( b + c ) =AB BD AD∴( a + b ) + c = a + ( b + c )从而，多个向量的加法运算可以依据任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例：例二（ P94— 95）略练习： P95四、小结1、向量加法的几何意义；２、交换律和联合律；３、注意： | a + b | ≤ | a | + | b |，当且仅当方向同样时取等号.五、课后作业：P103 第２、３题六、板书设计（略）七、备用习题1、一艘船从 A 点出发以23km/ h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实质航行的速度的大小为4km/ h ，求水流的速度.2、一艘船距对岸 4 3km ，以23km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实质航程为8km ，求河水的流速.3、一艘船从 A 点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v 2，船的实质航行的速度的大小为4km/ h ，方向与水流间的夹角是60，求v1和 v2.4、一艘船以5km/h的速度内行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实质航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力 F 与F1的夹角是60，|F|=10N 求 F1和 F2的大小 .６、用向量加法证明：两条对角线相互均分的四边形是平行四边形第 3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教课目标：1.认知趣反向量的看法；2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3.经过论述向量的减法运算可以转变为向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转变的辩证思想 .教课要点：向量减法的看法和向量减法的作图法.教课难点：减法运算时方向的确定.学法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上联合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.教具：多媒体或实物投影仪，尺规讲课种类：新讲课教课思路：一、复习：向量加法的法规：三角形法规与平行四边形法规向量加法的运算定律：DCB BA BA例：在四边形中，.解： CB BA BA CB BA AD CDA B二、提出课题：向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法（ 1）“相反向量”的定义：与 a 长度同样、方向相反的向量.记作a（ 2）规定：零向量的相反向量还是零向量. ( a) = a.任一直量与它的相反向量的和是零向量.a + ( a) = 0假如 a、 b 互为相反向量，则 a =b， b = a， a + b = 0（ 3）向量减法的定义：向量 a 加上的 b 相反向量，叫做 a 与 b 的差 .即： a b = a + (b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若 b + x = a，则 x 叫做 a 与 b 的差，记作 a b3．求作差向量：已知向量a、 b，求作向量∵ (a b) + b = a + ( b) + b = a + 0 = a a O作法：在平面内取一点O，bba bBCa作 OA = a，AB = b则 BA = a b即 a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量 .注意： 1AB 表示a b.重申：差向量“箭头”指向被减数2 用“相反向量”定义法作差向量， a b = a + ( b)明显，此法作图较繁，但最后作图可一致.B’a bB a+ ( b)Ob ab bAB4．研究：１）假如从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量，那么所得向量是 b a.a ab a bbO B A B’O BAa ab a bb O A b B BO A２）若 a∥b，如何作出 a b？三、例题：例一、（ P９７例三）已知向量a、b、 c、 d，求作向量 a b、 c d.解：在平面上取一点O，作OA = a，OB = b，OC = c，OD = d，作 BA ，DC ，则BA= a b，DC = c db aA BD dcCOD CA B例二、平行四边形ABCD 中，AB a，AD b ，用 a、 b 表示向量AC 、 DB .解：由平行四边形法规得：，DB= AB AD= a bAC = a + b变式一：当 a， b 满足什么条件时，a+b 与 a b 垂直？（ |a| = |b|）变式二：当 a， b 满足什么条件时，|a+b| = |a b|？（ a， b 相互垂直）变式三： a+b 与 a b 可能是相当向量吗？（不行能，∵对角线方向不一样）练习：Ｐ 98四、小结：向量减法的定义、作图法|五、作业： P103 第 4、５题六、板书设计（略）七、备用习题：1.在△ABC中，BC=a，CA=b ，则AB等于 ()A. a+bB.- a+(- b) D. b-a为平行四边形ABCD平面上的点，设OA=a，OB=b，OC=c，OD=d ，则A. a+b+c+d=0３ .如图，在四边形B.a-b+c-d=0 C.a+b -c-d=0ABCD 中，依据图示填空：D.a-b -c+d=0a+b=， b+c=，c-d=， a+b+c-d=.４、以以下图，O 是四边形ABCD内任一点，试依据图中给出的向量，确立a、b 、 c、d 的方向（用箭头表示），使a+b=AB ，c-d=DC，并画出 b -c 和a+d.第３题平面向量的基本定理及坐标表示第 4课时§ 2.3.1 平面向量基本定理教课目标：（1）认识平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实质问题的重要思想方法；（3）可以在详尽问题中合适地采用基底，使其余向量都可以用基底来表达.教课要点：平面向量基本定理.教课难点：平面向量基本定理的理解与应用.讲课种类：新讲课教具：多媒体、实物投影仪教课过程：一、复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ ||a |；（ 2）λ >0 时λa与a方向同样；λ <0 时λa与a方向相反；λ =0 时λa =02．运算定律联合律：λ ( μa )=( λ μ)；分配律： (λ +μ)=λa +μ，λ ( a +b)= λa+λba a a3. 向量共线定理向量 b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.二、讲解新课：平面向量基本定理：假如e1， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数λ1，λ 2 使a=λ 1e1+λ2e2.研究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，要点是不共线；(3)由定理可将任一直量 a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给准时，分解形式唯一 . 1λ，λ2是被a，e1，e2独一确立的数目三、讲解模范：例 1 已知向量e1，e2求作向量 2.5 e1 +3 e2 .例 2如图ABCD的两条对角线交于点M ，且AB = a，AD = b ，用a， b 表示 MA ， MB ， MC 和 MD例 3 已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E， O 是任意一点，求证： OA + OB + OC + OD =4 OE例 4（ 1）如图，OA，OB不共线，AP =t AB(t R)用OA，OB表示OP.uuur uur（ 2 ）设OA、OB不共线，点P 在 O、A、B所在的平面内，且uuur uuur uuurR) .求证：A、B、P三点共线.OP(1t )OA tOB (t例 5已知 a=2 e121212不共线，向量12-3e ， b= 2e +3e ，此中 e ， e c=2e -9e，问能否存在这样的ur r r实数、 ,使 d a b 与c共线.四、课堂练习：1.设 e 、 e 是同一平面内的两个向量，则有()12A. e1、 e2必定平行1、 e2的模相等C.同一平面内的任一直量 a 都有 a =λe1+μe2 (λ、μ∈ R )D.若 e1、 e2不共线，则同一平面内的任一直量 a 都有 a =λe1+ue2(λ、 u∈R )2.已知矢量 a = e1-2e2， b =2e1+e2，此中 e1、 e2不共线，则a+b 与 c =6 e1-2e2的关系A. 不共线B.共线C.相等D. 没法确立3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y 满足 (3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则 x-y 的值等于 ( )4.已知 a、b 不共线，且 c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈ R)，若 c 与 b 共线，则λ1=.5.已知λ1＞ 0，λ2＞ 0，e1、e2是一组基底，且 a =λ1e1+λ2e2，则 a 与 e1_____，a 与 e2_________( 填共线或不共线 ).五、小结（略）六、课后作业（略）：七、板书设计（略）八、课后记：第 5课时§—§ 2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算教课目标：（1）理解平面向量的坐标的看法；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会依据向量的坐标，判断向量能否共线.教课要点：平面向量的坐标运算教课难点：向量的坐标表示的理解及运算的正确性.讲课种类：新讲课教具：多媒体、实物投影仪教课过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：假如e1， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数λ1，λ 2 使a=λ 1 e1+λ2e2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，要点是不共线；(3)由定理可将任一直量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给准时，分解形式唯一 . λ1，λ2是被a，e1，e2独一确立的数目二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y轴方向同样的两个单位向量基底 .任作一个向量 a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y，使得i 、j 作为a xi yj ○1我们把 ( x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作a ( x, y) ○2此中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做a在 y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示 .与a相等的向量的坐标也为( x, y).．．．．．．．．．．．特别地， i(1,0) ， j(0,1)， 0 (0,0) .如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA a ，则点A的地点由 a 独一确立.设 OA xi yj ，则向量OA的坐标(x, y)就是点 A 的坐标；反过来，点 A 的坐标(x, y)也就是向量 OA 的坐标.所以，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数独一表示 .2．平面向量的坐标运算（1）若a ( x1 , y1 )，b ( x2 , y2 )，则 a b(x1x2 , y1y2 )，a b( x1x2 , y1y2 )两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为 i 、 j ，则 a b( x1i y1 j ) ( x2 i y2 j ) ( x1x2 )i ( y1y2 ) j即 a b(x1x2 , y1y2 ) ，同理可得a b(x1x2 , y1y2 )（2）若A (x1,y1)， B( x2 , y2 ) ，则AB x2x1 , y2y1一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB= OB OA=( x 2，y2)(x1， y1)= (x2x1，y2y1)（3）若a(x, y)和实数，则a(x,y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘本来向量的相应坐标.设基底为 i 、j ，则a( xi yj )xi yj ，即 a ( x, y)三、讲解模范：uuur例 1 已知 A(x 1， y1)， B(x 2， y2)，求AB的坐标 .r r r r r r r r例 2 已知a =(2 ，1)，b =(-3 ，4) ，求a + b，a - b，3 a +4 b的坐标.例 3 已知平面上三点的坐标分别为 A( 2， 1)， B( 1， 3)， C(3， 4)，求点 D 的坐标使这四点构成平行四边形四个极点 .解：当平行四边形为 ABCD 时，由 AB DC 得 D 1=(2， 2)当平行四边形为ACDB 时，得 D 2=(4 ， 6)，当平行四边形为 DACB 时，得 D 3=( 6， 0)例 4 已知三个力 F 1 (3， 4)， F 2 (2， 5)， F 3 (x ， y)的合力 F 1 + F 2 + F 3 = 0 ，求 F 3 的坐标 .解：由题设 F 1 + F 2 +F 3=0得： (3， 4)+ (2 ， 5)+(x ， y)=(0 ， 0)32 x 0x 5 ∴ F 3 ( 5，1)即：5 y∴14 y四、课堂练习 ：1．若 M(3 ， -2)N(-5 ， -1) 且 MP1MN ，求 P 点的坐标22．若 A(0 ， 1)， B(1， 2)，C(3 ， 4) ，则AB 2BC = .3．已知：四点 A(5 ， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)，D(5 ， -3)， 求证：四边形 ABCD是梯形 .五、小结 （略）六、课后作业 （略）七、板书设计 （略）八、课后记：第 6课时§ 2.3.4 平面向量共线的坐标表示教课目标：（ 1）理解平面向量的坐标的看法；（ 2）掌握平面向量的坐标运算；（ 3）会依据向量的坐标，判断向量能否共线.教课要点： 平面向量的坐标运算教课难点： 向量的坐标表示的理解及运算的正确性讲课种类： 新讲课教 具：多媒体、实物投影仪教课过程 ：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与 x 轴、 y轴方向同样的两个单位向量 i、 j.a ，由平面作为基底 任作一个向量 向量基本定理知，有且只有一对实数x 、 y ，使得 axiyj把 (x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作 a ( x, y)此中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，特别地，i (1,0) ， j (0,1) ， 0(0,0) .2．平面向量的坐标运算若 a ( x 1 , y 1 ) ， b ( x 2 , y 2 ) ，则 a b(x1x , y1y ) ，a b(x1x , yy ) ，a ( x, y).22212若 A( x 1 , y 1 ) ， B(x 2 , y 2 ) ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1二、讲解新课：a ∥b ( b 0 )的充要条件是 x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1，y )， b=(x 2，y )此中 b a.12x 1 x 2 由 a =λ b 得， (x 1， y 1) = λ (x 2， y 2)消去λ， x 1y 2-x 2y 1=0y 1y 2研究：（ 1）消去λ时不可以两式相除，∵y 1， y 2 有可能为0， ∵ b 0∴ x 2， y 2 中最少有一个不为 0（ 2）充要条件不可以写成y 1 y 2 ∵ x 1， x 2 有可能为 0x 1x 2(3) 从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥ b( b 0ab)x 1 y 2 x 2 y 1 0三、讲解模范：例 1 已知 a =(4 ，2) ， b =(6 ， y)，且 a ∥ b ，求 y.例 2 已知 A(-1 ， -1) ， B(1 ，3) ， C(2 ， 5)，试判断 A ， B ， C 三点之间的地点关系 .例 3 设点 P 是线段 P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是 (x1， y1)， (x2， y2).(1)当点 P 是线段 P1P2的中点时，求点 P 的坐标；(2) 当点 P 是线段 P1P2的一个三均分点时，求点P 的坐标 .例 4 若向量a =(-1 ，x) 与b =(-x ， 2)共线且方向同样，求x解：∵ a =(-1，x)与b=(-x，2)共线∴ (-1)×2- x?(-x)=0∴ x=±2∵ a与b方向同样∴ x=2例 5 已知A(-1 ， -1)， B(1 ， 3)， C(1， 5) ， D(2 ， 7) ，向量AB与CD平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？解：∵AB =(1-(-1)，3-(-1))=(2 ，4)，CD=(2-1 ， 7-5)=(1 ， 2)又∵ 2× 2-4× 1=0∴ AB∥ CD又∵AC =(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)， AB =(2，平行∴A ，B，C 不共线∴AB与CD不重合四、课堂练习：1.若 a=(2 ， 3)， b=(4， -1+ y) ，且 a∥ b，则 y=（）4)，2× 4-2× 6 0∴AB ∥ CD∴ AC与AB不2.若A(x， -1) ， B(1，3) ，C(2，5)三点共线，则x 的值为（）3.若AB=i+2 j ，DC=(3- x)i+(4- y)j(此中i 、j的方向分别与x、y 轴正方向同样且为单位向量). AB与 DC共线，则x、 y的值可能分别为（）A.1 ， 2， 24.已知 a=(4 ， 2)，b=(6， y)，且5.已知 a=(1 ， 2)，b=( x， 1)，若6.已知□ABCD 四个极点的坐标为， 2 D.2 ，4a∥b，则 y=.a+2b 与 2a-b 平行，则x 的值为.A(5， 7)，B(3， x)，C(2，3)， D(4， x)，则x=.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：§ 平面向量的数目积第7课时一、 平面向量的数目积的物理背景及其含义教课目标：1.掌握平面向量的数目积及其几何意义；2.掌握平面向量数目积的重要性质及运算律；3.认识用平面向量的数目积可以办理相关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件 .教课要点：平面向量的数目积定义教课难点：平面向量数目积的定义及运算律的理解和平面向量数目积的应用讲课种类：新讲课教具：多媒体、实物投影仪内容解析：本节学习的要点是启示学生理解平面向量数目积的定义，理解定义以后即可指引学生推 导数目积的运算律， 而后经过看法辨析题加深学生对于平面向量数目积的认识 .主要知识点： 平面向量数目积的定义及几何意义； 平面向量数目积的5 个重要性质； 平面向量数目积的运算律 .教课过程：一、复习引入：1． 向量共线定理向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ， 使b =λ a .2．平面向量基本定理：假如e 1 ， e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数λ 1，λ 2 使a =λ 1 e 1 +λ 2 e 23．平面向量的坐标表示分别取与 x 轴、 y 轴方向同样的两个单位向量 i 、 j.a ，由平面向作为基底 任作一个向量 量基本定理知，有且只有一对实数x 、 y ，使得 a xi yj把 (x, y)叫做向量 a 的（直角）坐标，记作 a ( x, y)4．平面向量的坐标运算若 a( x1 , y1 )， b( x2, y2 ) ，则a b(x1x2 , y1y2 ) ，a b( x1x2 , y1y2 )，a (x,y).若 A( x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则AB x2x1 , y2y15．a∥b( b0 )的充要条件是x1y2-x2y1=06．线段的定比分点及λP1，P2是直线l 上的两点，P 是l 上不一样于P1，P2的任一点，存在实数λ，使P1 P= λPP2，λ 叫做点P分P1 P2所成的比，有三种情况：λ>0( 内分 )(外分 ) λ <0 ( λ <-1)( 外分 )λ <0(-1<λ <0)7.定比分点坐标公式：若点P １ (x1， y1 ) ，Ｐ２ (x2， y2) ，λ为实数，且P1P ＝λPP2，则点P 的坐标为（x1x2 ,y1y2），我们称λ为点P分P1P2所成的比. 118.点 P 的地点与λ的范围的关系：①当λ＞０时， P1 P 与 PP2同向共线，这时称点P 为P1P2的内分点 .②当λ＜０ (1)时， P1P 与 PP2反向共线，这时称点P 为P1P2的外分点 .9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O，设OP1＝ａ，OP2＝ｂ，a b1b .可得OP=a11110．力做的功：W = |F| |s|cos ，是 F 与 s 的夹角 .二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的看法已知非零向量ａ与ｂ，作 OA ＝ａ， OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角 .说明：（ 1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（ 2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（ 3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；2（ 4）注意在两向量的夹角定义，两向量一定是同起点的.范围0 ≤ ≤180C2．平面向量数目积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数目|a||b|cos叫ａ与ｂ的数目积，记作 a b，即有 a b = |a||b|cos，（０≤θ≤π） .并规定0 与任何向量的数目积为0.研究：两个向量的数目积与向量同实数积有很大差别（1）两个向量的数目积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数目积称为内积，写成个向量的数目的积，书写时要严格划分也不可以用“×”取代.a b；今后要学到两个向量的外积a× b，而 ab 是两.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不可以省略，（3）在实数中，若b=0.因为此中cosa 0，且有可能为a b=0，则0.b=0；但是在数目积中，若 a 0，且 a b=0，不可以推出（4）已知实数a、 b、 c(b0)，则ab=bc a=c .但是 a b = b c a = c如右图： a b = |a||b|cos= |b||OA|， b c = |b||c|cos = |b||OA|a b = b c但a c(5) 在实数中，有( a b)c = a(b c)，但是 (a b)c a(b c)明显，这是因为左端是与 c 共线的向量，而右端是与 a 共线的向量，而一般 a 与c 不共线.3．“投影”的看法：作图。
高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关．．．．．．．．. 7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.A(起点) B （终点）aO A B a a a b b b §2.2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |；（3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加 ３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=.４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）aA B C a +b a +b a a b b a ｂ ｂ ａa２）向量加法的交换律：a +b =b +a５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0（3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差.即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2． 用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b 则BA = a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b -a. O ab B a b a -b２）若a ∥b ， 如何作出a - b§2.3.1 平面向量基本定理复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a方向相反；λ=0时λa =02．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e .探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量a -b A A B B B’ O a -b a a b b O A O B a -b a -b B A O -b§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=. 如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则ba +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=二、讲解新课：a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)01221=-=⇔y x y x b a λ§2.4平面向量的数量积一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比. 8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点.9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ，可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111. 10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅ca = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.C4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |二、平面向量数量积的运算律一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0C3︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a 证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ， a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ.3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2， ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 5．平面向量数量积的运算律交换律：a ⋅ b = b ⋅ a 数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅.设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=。
【数学】第二章《平面向量全章小结》教案(新人教A版必修4)
第二章 平面向量全章小结（一）学习目标1.进一步理解向量的有关概念;2.掌握向量的线性运算,掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义.3.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示以及相关应用.4.掌握平面向量的数量积,并会应用其判断两个平面向量的垂直关系。
5.能够用向量解决一些具体问题,如平面几何中的一些问题和物理中的一些问题. （二）重点难点1.重点是让学生理解向量的相关概念和向量的运算2. 难点是如何向量方法解决一些问题. （三）教学过程 教学环节 教学内容师生互动 设计意图 全章知识结构介绍让学生根据表根中的各项要,回忆相关的概念让学生从整体上对本章内容有一个宏观的了解复习例1.填空(向量的线性运算) 1.已知平行四边形ABCD,则_______,=+AD AB ._______=-AD AB2. ._______=-++BA CB AC AB3. 已知)(21OB OA OM +=,则点M 是A,B 的_______;若点A()7,1(),,5,2--B , 则 M 的坐 标为_________. 4.已知OB OA OM 31)311(+-=,则._____AB AM =5.已知)2,3(),1,2(--B A , AB AM 32=, 则点M 的坐标为_______.让学生自己先解决问题,让后同学进行回答,教师进行指导 说明:给出这组题的目的是,在复习向量的加减法,坐标运算和其相关的几何表示都要掌握,并且要会结合在一起使用.例2.(向量的数量积)说明:让学生首要注意一些数据表明平面向量、实际背景向量及其基本概念 线性运算 向量的数量积基本定理坐标表示向量的应用(1)已知)1,3(),3,1(-==b a ,求.,|,||,|,,>+<-+><a b a b a b a b a(2)已知在ABC ∆中,有A C O O OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅,问:点O 在ABC ∆的什么位置.的一些几何信息以及向量的代数式也可以告诉我们一些相关的几何信息,从而突出代数和几何关系.例3.(向量基本定理) (1)给定一个基底},{j i 且,312,3,4j i c j b j i a -==+=如果b y a xc +=,求y x ,.(2)已知E,F 分别是∆ABC 边AB,AC 上的点,其EF//BC,AE=AB 31,如果a =AE ,b =AF ,用b a ,表示 .,,,CF EC BF BC会让学生在给出基底的情况下表示其它向量.例4.(向量的应用) (1)已知ABC ∆中,引中线AD,BE,CF,求证: 0=++CF BE AD ;(2)若O 为ABC ∆的重心,求证:0=++OC OB OA .(根据此问让学生思考重心坐标公式) (3)用向量方法证明:平行四边形两条对 角线长度的平方和等于平行四边形四边 长度的平方和. (4)已知向量OCOB OA ,,满足,0=++OC OB OA 1||||||===OC OB OA ,求证:ABC ∆是等边三角形. (5)已知R t c b a ∈==-=),1,3(),1,2(),2,3(.求||b t a -的最小值和相应t 的值;教师要对学生进行适当的提示.这部分问题的对学生的要求较高,让学生会应用向量方法解决相关问题,而这包括用向量和坐标方法.若b ta 与c共线,求t的值.归纳小结本节主要复习向量的概念和相关的运算, 如何用向量来解决问题布置作业课本126页习题. 学生自主完成（四）教学资源建议教材、教参、多媒体或实物投影仪、尺规（五）教学方法与学习指导策略建议向量是沟通代数,几何,三角函数的工具,掌握向量的解题技巧,方法显得非常重要.向量的解题方法有向量法和坐标法.而要熟练应用这些方法,学生应该对相应的基本概念比较清楚,因此教师在复习时,应该在引导学生得到结果基础之上,让同学理解相关的意义和了解其实际背景.应该把几何的直观性和向量的运算有机的结合在一起.运算和运算律是向量的灵魂,是连接数与形的纽带,教师应该突出这一点.因此,教师在讲授时,（1）关注解题方法产生的思维过程引导学生探究如何将把问题转化为向量问题，揭示解题方法产生的的思维过程，让学生体会解题思路的形成过程和数学思想方法的运用，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力.（2）强化学生的应用意识一是培养学生利用所学数学知识、用数学的思维与观点去观察和分析现实生活现象的习惯和意识，强化学生的应用意识；二是为学生提供充足的动手操作的机会，一旦形成解决问题的思路，后续的解题过程则放手让学生独立完成，让学生体验问题的解决过程，并在此过程中锻炼与提高数学能力.（3）引导学生探究解题规律指导学生做好解题后的反思，总结解题规律，从而培养学生理性的、条理的思维习惯，形成对通性通法的归纳意识.。
人教A版数学必修4第二章平面向量教学建议
⑤向量的应用
《标准》表述 经历用向量方法解决某些简 单的平面几何问题、力学问 题与其他一些实际问题的过 程，体会向量是一种处理几 何问题、物理问题等的工具， 发展运算能力和解决实际问 题的能力． 《大纲》相应的要求 掌握平面两点间的距离公式、掌 握线段的定比分点和中点坐标公 式、平移公式，并能熟练运用， 会用平面向量数量积处理长度、 角度等有关问题
向量的概念是数学中重要和基本的概念之一，正 确理解向量的概念，要抓住大小和方向两个要素．向 量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量具有大 小和方向两个要素；数量可以比较大小，而向量既有 大小，又有方向，所以向量不能比较大小．但是，向 量的模是非负实数，是可以比较大小的．教学中要结 合生活中的实例，将向量与数量相比较，加深学生对 向量概念的理解。 关于实数与向量的乘积，教材中是从解决探究问 题引入的，主要体现在向量的运算中需要引入这一运 算，这样做是为了体现规定数乘向量的必要性．教学 中可列举生活中的实例，如甲车的速度是乙车速度的 2倍，让学生更多的了解数乘向量的实际背景。
运用向量方法研究物理、几何以及实际生活中的问 题，重点要放在引导学生分析题意，将实际问题转化 为数学问题，将几何图形的性质转化为向量关系，将 物理量之间的关系抽象为向量关系，然后用向量的方 法进行推理和计算．在解决实际问题的过程中，会遇 到一些复杂的推理和演算，为了帮助学生克服这一困 难，教师要注意利用几何直观，还要注意认真板书， 作好示范，做到推理正确、演算规范，鼓励学生使用 计算器计算。
根据以上的变化，新教材在本章内容上有如下变化： （1）删除了线段的定比分点和平移公式等内容 “课标”中，对平面上两点间的距离公式、线段的 定比分点公式及中点坐标公式、平移公式没有作要求， 因此教材中没有安排这些内容．考虑到定比分点公式 比较实用，因此教材中仅以探究的形式（100页）给 出了公式的证明，目的是在不加重学生负担的情况下 让学生了解这一公式，也可以让学有余力的学生熟悉 这一公式。
(完整版)高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
第1课时§2.1 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关．．．．．．．．. A(起点)B（终点）aOABaaa bb b7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.第2课时§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=，规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到A BCa +ba +baa b b aｂｂ ａan 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = aOabBa ba -b作法：在平面内取一点O ， 作= a ， = b 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒AB 表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？2.3平面向量的基本定理及坐标表示第4课时§2.3.1 平面向量基本定理复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ（1）|λa ρ|=|λ||a ρ|；（2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λO ABa B’b-b bBa + (-b )a b a -bA ABBB’Oa -b a a bbO AOBa -ba -b BA O-ba ρ=2．运算定律结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ；分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ， λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ3. 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ.平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e . 探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量第5课时§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量 二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x . 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则ba +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 二、讲解新课：a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a ρ=(x 1， y 1) ，b ρ=(x 2， y 2) 其中b ρ≠a ρ.由a ρ=λb ρ得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ρ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ρ∥b ρ (b ρ≠0)01221=-=⇔y x y x ba λ§2.4平面向量的数量积第7课时一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ.2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111.10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角. 二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. ⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两C个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |. 4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a ba ⋅5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |第8课时二、平面向量数量积的运算律一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )C证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ， a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ.3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2， ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | C5．平面向量数量积的运算律交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅. 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+= 又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x += 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=。
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第二章 平面向量复习课（一）
一、教学目标
1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.
3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：||a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a |2+|b |2)=|a －b |2+|a +b |2
.
5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：
6. 向量的坐标概念和坐标表示法
7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）
8. 数量积（点乘或内积）的概念，a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”
二、知识与方法
向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直
三、教学过程
（一）重点知识：
1. 实数与向量的积的运算律： b a b a a a a a a λλλμλμλλμμλ+=++=+=)( (3) )( (2) )()( (1)
2. 平面向量数量积的运算律:
)1(a b b a ⋅=⋅ )()()( )2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅ c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ )( )3(
3. 向量运算及平行与垂直的判定:
).0(),,(),,(2211≠==b y x b y x a 设 则),(2121y y x x b a ++=+ ),(2121y y x x b a --=- 2121y y x x b a +=⋅ .0//1221=-⇔y x y x b a .02121=+⇔⊥y y x x b a
4. 两点间的距离:
2
21221)()(||y y x x AB -+-=
5. 夹角公式
: 222221212121
cos y x y x y y x x +⋅++θ
6. 求模：
22y x + 221221)()(y y x x -+-
（二）习题讲解：《习案》P167 面2题，P168面6题，P169面1题，P170面5、6题， P171面1、2、3题，P172面5题，P173面6题。
（三）典型例题
例1． 已知O 为△ABC 内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA =a ，OB =b ，OC =c ， 且|a |=2，|b |=1，| c |=3，用a 与b 表示c
解：如图建立平面直角坐标系xoy ，其中i , j 是单位正交基底向量, 则B （0，1），C （-3，0）， 设A （x ，y ），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A （1，-3），也就是a =i －3j , b =j ， c =-3i 所以-3a =33b +c |即c =3a －33b
（四）基础练习：
《习案》P178面6题、P180面3题。
（五）、小结：掌握向量的相关知识。