非Lipschitz条件下Levy过程驱动的混合种群方程的近似解

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非 Lipschitz 条件下带 Poisson 测度随机微分方程Euler 方法的依概率收敛性

．
ｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｓｗｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄｔｏｓｕｃｈｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｃｕｒｒｅｎｔｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ．ＰｒｏｖｅｄｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆｔｈｅＥｕｌｅｒ
ＴｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆｔｈｅＥｕｌｅｒｍｅｔｈｏｄｉｎｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｔｏｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈＰｏｉｓｓｏｎｍｅａｓｕｒｅｕｎｄｅｒｔｈｅｎｏｎ — — Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ
摘要：针对满足非Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件的带Ｐｏｉｓｓｏｎ测度的随机微分方程（ＳＤＥｓ），给出了Ｅｕｌｅｒ方法．非
Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件比经典条件包容了更多的ＳＤＥｓ，现有文献对该类方程的数值方法研究成果较少．针对带Ｐｏｉｓｓｏｎ测度的随机微分方程，在非Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件下证明了Ｅｕｌｅｒ方法的依概率收敛性，并给出相应的数值算例支持主要结论．
Ｎｏｎ — ＬｉｐｓｃｈｉｔｚｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｗｈｉｃｈｃｏｖｅｒｍｏｒｅｃｌａｓｓｅｓｏｆｓｕｃｈｅｑｕａｔｉｏｎｓｔｈａｎｃｌａｓｓｉｃａｌｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓＦｅｗｒｅｓｕｌｔｓａｂｏｕｔ

lipschitz条件α次数 -回复

lipschitz条件α次数-回复Lipschitz条件α次数Lipschitz条件是数学分析中的重要概念，广泛应用于微积分和函数分析等领域。

Lipschitz条件描述了函数的变化速度与其自变量之间的关系，是研究函数连续性和可微性的有力工具之一。

本文将逐步介绍Lipschitz条件的概念及其α次数的含义，并探讨其在实际问题中的使用。

首先，我们来了解一下Lipschitz条件的概念。

对于一个函数f(x)，若存在一个正实数K，使得任意两个自变量的取值x1 和x2 对应的函数值f(x1) 和f(x2) 的差的绝对值不超过这个正实数乘以x1 和x2 之间的差的绝对值，即：f(x1) - f(x2) ≤K x1 - x2那么我们就说函数f(x) 满足Lipschitz条件。

这个正实数K 就被称为Lipschitz常数。

接下来，我们来介绍Lipschitz条件的α次数。

对于一个函数f(x)，如果存在一个常数α≥0，使得函数f(x) 任意两个点的导数的差的绝对值不超过一个常数乘以这两个点之间的距离的α次方，即：f'(x1) - f'(x2) ≤K x1 - x2 ^α那么我们可以称这个函数f(x) 满足Lipschitz条件下的α次数。

α次数反映了函数导数变化速度的程度，也可以理解为函数曲线的光滑程度。

当α= 0 时，说明函数f(x) 的导数变化速度有界，函数曲线是平滑的。

当α> 0 时，函数f(x) 的导数变化速度不仅有界，还具有一定的分布特性，函数曲线可能会出现角点或者尖点。

Lipschitz条件的α次数在实际问题中有着广泛的应用。

首先，它是研究函数可微性的重要工具。

根据Lipschitz条件的α次数，我们可以推导出函数f(x) 在其定义域内的可微性条件。

如果α> 1，则函数f(x) 是Hölder 连续，具有较强的可微性。

如果0 < α≤1，则函数f(x) 是Lipschitz 连续，具有一定的可微性。

非Lipschitz条件下随机中性技术进步与投资系统解的存在唯一性

ＹＡＮｎＹａ，ＨＡＮａＸｉｏ
（．ＤｐｒｅｔｆＭａｈｍｔｓａｄＩｏｍｔｎＳｉｃ，ｅａｎｖｒｔＥｏｏａｄＬｗ，ｈｎｚｏ５０６ｈｎ；１ｅａｔｎｍｏｔｅａｉｎｆｒａｉｃｎｅＨｎｎＵｉｓｙｏｃｎｍｉｎａＺｅｇｈｕ４０４，Ｃｉａｃｎｏｅｅｉｆｓ２ｏｅｅｏＭａｅａｉ，ｉＵｗ￣ｔ，Ｃａｇｈｎ１０１，Ｃｉａ．Ｃｌｇｌｆｔｍｔｓｈｃｎｎｅｉｙｈｎｃｕ３０２ｈ）ｎ
ａｐｏｉｔｎｆｏｕｉｎｉａｅｅａｆｎｔｏａｓｔｉｇ，ｔｅｘｓｅｃａｄｎｉｕｅｅｓｆｏｕｉｎｏｐｒｘｍａｉｓｏｓｌｔｏｓｎｇｎｒｌｕｃｉｎｌｅｔｎｏｈｅｉｔｎｅｎｕｑｎｓｏｓｌｔｆｒｏｓｏｈｓｉａｅｄｅｅｄｎｐｐｕａｉｎｙａｃｙｔｍｗｅｅｒｖｄｙｔｃａｔｃｇ — ｐｎｅｔｏｌｔｏｄｎｍｉｓｓｅｒｐｏｅｂｍｅｎｏｈＢｉｒｉｅｕｌｙ，ｔａｓｆｔｅｈａｉｎｑａｉｔｈｅＢｕｋｌｅ — ｖｓＧｕｎｙ’ＳｎｑｌｔａｄｈＧｒｎｌｉｅｕｌｙｎｄｒｏ — ｉｃｉｚｏｄｔｏｒｈｏｄｒＤａｉ－ｄｉｅｕａｉｙｎｔｅｏｗａｌｎｑａｉｕｅｎｎＬｐｓｈｔｃｎｉｉｎ，ｗｈｉｈｔｃｄｐｎｓｏｉ．ｅｅｄｎｔｍｅ

非Lipschitz条件下的倒向重随机微分方程

ａ８ｗ
（）１
这里关于｛）的积分是倒向Ｉ６积分，关于｛玩ｔｗｄ的积分是标准正向Ｉ６积分，这两类积分ｔ都是Ｉ一ｋｒｈｄ积分的特殊类型．们将此类倒向随机微分方程称为倒向重随机微分方程ｔＳｏｏｏ６我（简称ＢＳＥ．ａｄｕＤＤ）Ｐｒｏｘ和彭【证明此类方程的解与随机偏微分方程（】简称ＳＤ）ＰＥ的解有密切的联系．即研究此类方程能应用于随机的Ｆｙｍａ－ｃ公式的研究．为了研究更一般ｅｎｎＫａ情形的ＳＤＥ，近，ＰｎＰｓ最ｅｇ和Ｓｉ】Ｌｐｃｉ条件和单调条件下介绍了一类正一向重ｈ［在ｉｓｈｔｚ倒
许多专家致力于这一领域的研究，逐步建立并完善了倒向随机微分方程的理论体系（例如文献［，］２［Байду номын сангаас ］３．１９９４年，Ｐｒｏｘ和彭【又提出一类新型的倒向随机微分方程ａｄｕ）
Ｔ
号七
ｓＹ，ｓ＋，ｓｚ
ｓＹ，ｓｓ，ｓｚ一
理．
ＭＲ（００２０）主题分类：０１中图分类号：２１３文献标识码：６Ｈ０Ｏ１．６Ａ文章编号：０３３９（０）５７－８１０—９８２８０— ７０９０
１引言
１９，Ｐｒｏｘ和彭［提出非线性的倒向随机微分方程（称ＢＤ）从那时起，９０年ａｄｕ］简ＳＥ，
２非Ｌｐｃｉｉｓｈｔｚ条件下解的存在唯一性定理
首先给出本文的基本概念：对任意的Ｘ∈Ｒ，其欧几里德范数为；任意的Ａ ∈ 记对记其欧几里德范数为ｆ』、，里是的转置．Ｉ＝／ＡＩ／ｒ这

非Lipschitz条件下双重倒向随机微分方程的适应解和比较定理

非Lipschitz条件下双重倒向随机微分方程的适应解和比较定理段鹏举;张祖峰【摘要】在非Lipschitz条件下,通过构造Picard逼近序列,研究了一类由Kunita-Ito积分驱动的双重倒向随机微分方程解的存在唯一性,从而弱化了方程解的存在唯一性条件,并且在此非Lipschitz条件下,进一步讨论了方程解的性质,也就是方程解的比较定理.【期刊名称】《宿州学院学报》【年(卷),期】2011(026)005【总页数】6页(P5-9,52)【关键词】双重倒向随机微分方程;Gronwall不等式;存在唯一性【作者】段鹏举;张祖峰【作者单位】宿州学院数学系,安徽宿州,234000;宿州学院智能信息处理实验室,安徽宿州,234000;宿州学院数学系,安徽宿州,234000【正文语种】中文【中图分类】O211.6引言经典的非线性倒向随机微分方程(简称为BSDEs)Yt=ξ+f(s,Ys,Zs)ds-zsdWs,0≤t≤T(1)是由Pardoux和Peng在文献[1]中提出,在Lipschitz条件下他们证明了方程解的存在唯一性,并给出了Feynman-Kac公式。

由于倒向随机微分方程在数学金融[2-3]、随机控制[4]、偏微分方程[5-6]等许多领域有着广泛的运用，受到了国内外广大学者的关注。

但是，方程解的存在唯一性是在经典的Lipschitz条件下所取得的,这样使得方程的应用受到了很大的限制,基于此,许多学者进一步弱化Lipschitz条件，详情见文末参考文献[7-11]。

在倒向随机微分方程的研究中,方程解的比较定理有着重要的作用,尤其是在金融数学中的应用都与这方面的内容有关。

Pardoux和Peng[12]研究了倒向随机微分方程的解的性质,即比较定理。

曹志刚和严加安[13]讨论了连续条件下倒向随机微分方程的比较定理。

1994年,Pardoux和Peng在文献[5]中研究了双重倒向随机微分方程(简称为BDSDEs)：Yt=ξ+f(s,Ys,Zs)ds+g(s,Ys,Zs)dBs-ZsdWs,0≤t≤T(2)在f(s,Y,Z),g(s,Y,Z)关于Y,Z满足Lipschitz条件时解的存在唯一性。

由Levy过程驱动的倒向随机微分方程在局部Bihari条件下解的存在唯一性

，
ｒ
＝
ＥＩｔ ∞ 上＇＜。ｄ
・
（，；）由取值于Ｚ的Ｆ一可测随机过程所构成的空间，ＯＴＩ满足
Ｅ ’ｄ＜，中２）Ｒ ∑ ＜｝上Ｉｔ ∞其ｌ＝：且＝ ∞。ｉｌ
・
Ｐ（，ｚ是由（，；）中的可料过程生成的子空间。２０；）０Ｔｌ
局部Ｂｈｒ条件下解的存在唯一性ｉａｉ
林爱红夏宁茂
（东理工大学数学系，华上海，０３）２２７０
摘要本文利用推广的Ｂｈｒ不等式和截断函数，明了由ｖｉａｉ证ｙ过程驱动的倒向随机微分方程在局部Ｂ－ｉ
ｈｒ条件下解的存在唯一性。我们先给出在某种较弱的条件下，ａｉ方程在局部区间［，上解的存在唯一性，
此外，注意到Ｌｐｃｉ条件是个要求较高的条件，ｉｓｈｔｚ在实际中往往不易得到满足，必要对有
此进行放松，例如放松为局部Ｌｐｃｉ条件，ｉｒ条件，ｉｈｚｓｔＢｈｉａ单调条件等，有兴趣的读者可参考［８
一
ｌ］的文章。为引入本文即将给出的条件，们着重考虑以下学者的研究成果。龚光鲁在０等我
１引言
１９９０年，ａｏｘ和Ｐｎ［］Ｐｒｕｄｅｇ１利用鞅表示定理证明了由Ｂｏｎ运动驱动的倒向随机微分ｒｗ方程（简称ＢＤｓＳＥ）
．
１
＾ｌ
—
Ｊ（ｙｚ）＋Ｊ，＝，５ＩＩ，，ｄＺ
ｔ０１ ∈［，］
（．）１１

由分数布朗运动和跳过程驱动的非李普希茨中立性随机泛函微分方程

由分数布朗运动和跳过程驱动的非李普希茨中立性随机泛函微分方程袁明霞;王丙均【摘要】In this paper we consider a class of neutral stochastic functional differential equations with infinite delay driven by fractional Brownian motion and jumps with non-lipschitz coeffi-cients in a Hilbert space.We prove the existence and uniqueness of its result.%在希尔伯特空间中考虑一类由分数布朗运动和跳过程驱动的带有无穷延迟的随机泛函微分方程，其参数满足非李普希茨条件，得到了温和解的存在性和唯一性。

【期刊名称】《金陵科技学院学报》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】6页(P50-55)【关键词】中立性;非李普希茨;分数布朗运动;延迟【作者】袁明霞;王丙均【作者单位】南京大学金陵学院基础部，江苏南京 210089;金陵科技学院公共基础课部，江苏南京 211169【正文语种】中文【中图分类】O175;O177.1近年来,由分数布朗运动驱动的随机泛函微分方程得到了很多学者的关注。

文献[1-2]利用Riemann-Stieltijes积分,证明了温和解的存在唯一性,并且在有限维和无穷维空间中研究了解对初值的依赖性。

文献[3]利用Wiener积分的方法研究了温和解的存在性、唯一性和指数渐进行为。

对于由泊松跳过程驱动的随机泛函微分方程,也有一些相应的结论。

文献[4]通过迭代的方法研究了带跳的随机发展方程的解的存在性、唯一性及大偏差准则。

文献[5]研究了由Levy过程驱动的中立性随机偏微分方程的指数稳定性。

但是,由分数布朗运动和跳过程同时驱动的随机泛函微分方程到目前为止只有文献[6]做了些工作,其中的非线性项满足全局的李普希茨条件和线性增长条件。

局部Lipschiz条件下的布朗运动和泊松过程混合驱动的正倒向随机微分方程

概率方法，在某些单调假设下，得到不同维数正倒向随机微分方程解的存在唯一性，并应用于
相关的哈密顿系统．汤善健和李经［］Ｉ５首先讨论了布朗运动过程混合驱动的倒向随机微分方Ｉ
程，程的解为带有随同跳跃的不连续的随机过程．ａｌｓＢｃｄｈ方Ｂｒｅ，ｕｋａｎ和Ｐｒｏｘ６￣将这样ａｄｕ［］ＪＪ的倒向随机微分方程与抛物型的积分一偏微分方程系统联系起来，出这一偏微分方程系统解给
ｒ
一
～
ｄｆｔ，）ｒ：ｌｐ＝（，，ｄ —ｑＢ一ｄ
ＪＺ
（）ｄｄ）户一ｚＮ（ｚｔ，Ｔ，
令∽，
一
），）为一个带信息流的概率空间．中Ｐ其包含的所有零概集，乎
ｎ乎＝， ≥ ０我们假设信息流｛）由下列两个相互独立的随机过程产生；ｉ个ｔ．（）一
维标准布朗运动ｆ；ｉＢ｝（）＆ ×Ｚ上的一个泊橙随机测度 Ⅳ，中ｚｃＲ为一个非空开ｉ其集，ＢｒｌＢ（．的补偿子为（ｚｔ（ｚｄ，其０ｅ域ｚ）Ｎｄｄ）一ｄ）ｔ使得Ｎ（Ａ× Ｅ，）＝（）Ａ× ｏ￡］Ｎ一（［￡）对所有满足（＜。Ａ ∈ Ｂ（）０，脚］Ａ）。的ｚ为一个鞅，ｄ）为（Ｂ（）（ｚ，ｚ）上的一个有限
的概率表示．本文首先在局部Ｌｐｃｉ条件下得到布朗运动和泊松过程混合驱动的倒向随机分方程ｉｓｈｔｚ解的存在唯一性；后证明了以布朗运动和泊松过程为干扰源的完全藕合的正倒向随机微分然方程在局部Ｌｉｓｈｔ条件下解的存在唯一性．ｐｃｉｚ我们首先给出下列倒向方程在全局Ｌｐｃｉ条件下解的存在唯一性结果：ｉｓｈｔｚ

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和Ｍａｒｋｏｖ状态转换的随机种群方程
些有意义的结果，其中包括这类模型解的存在唯一性 ¨，解的数值逼近ｃ嘲和稳定性等．注意到上述文献关于解的存在唯一性和数值逼近分析都是围绕Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件展开讨论．而事实上，有些随机种群系统并非满足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件，比如：ｄｆＰ一一，＋）Ｐ］ ¨
摘要：研究Ｌｅｖｙ过程扰动的混合种群方程的Ｅｕｌｅｒ近似解，在非Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件下证明Ｅｕｌｅｒ近似解Ｌ２意义下收
敛于解析解，从而推广已有的某些结果．
关键词：混合种群方程；Ｌｅｖｙ跳；Ｅｕｌｅｒ近似解；非ＬｉｐｓｃｈｉｔＺ条件中图分类号：０２４１．５文献标识码；Ａ
ＭＡＯＷｅｉ
（Ｓｃｈｏｏｌｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＪｉａｎｇｓｕＳｅｃｏｎｄＮｏｒｍａＩＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｍｉｎｇ，２１０（＿）１３Ｃｈｉｎａ）
ｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅｗｅｒｅｓｔｕｄｉｅｄａｎｄｉｔｗａｓｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｔｈｅＥｕｌｅｒａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｗｏｕｌｄｃｏｎｖｅｒｇｅｔｏｔｈｅａｎ —
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈｙｂｒｉｄａｇｅ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｌｅｖｙｊｕｍｐ；Ｅｕｌｅｒａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｎｏｎ－Ｉｉｐ —
Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｈｙｂｒｉｄａｇｅ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｄｒｉｖｅｎ
ｂｙＬｅｖｙｐｒｏｃｅｓｓｕｎｄｅｒｎｏｎ－Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚｃｏｎｄｉｔｉｏｎ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｅｕｌｅｒａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｈｙｂｒｉｄａｇｅ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈＩ．ｅｖｙｐｒｏｃｅｓｓ
ａｌｙｔｉｅａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｉｎＬ。ｓｅｎｓｅｕｎｄｅｒｎｏｎ — Ｉｉｐｓｃｈｉｔｚｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ＳＯｔｈａｔｓｏｍｅｋｎｏｗｎｒｅｓｕｌｔｓｗｅｒｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ．
文章编号：ｌ６７３ — ５１９６（２Ｏ１３）０４ — ０１４３ — ０７
非Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件下Ｌｅｖｙ过程驱动的混合种群方程的近似解
毛伟
（Байду номын сангаас江苏第二师范学院，数学与信息技术学院，江苏南京２１００１３）
ｄ，Ｐ－－－－［一ａＰ一 “ （￡， Ⅱ ）＋（ｒ（），Ｐ）］出＋
ｇ（ｒ（￡），Ｐ）ｄＷ＋ｌｈ（ｆ，Ｐ，ｅ）Ｎ（ｄｔ，山
Ｑ一（Ｏ，丁）ｘ（Ｏ，Ａ）（２）
６（）ｌＰ｝ｓｄＷ（１）式中：Ｊ９ ∈［１／２，１１．显然，方程（１）的系数不满足Ｉｉｐ —
ｓｃｈｉｔｚｃｏｎｄｉｔｉｏｎ
近些年，作为重要的数学模型，一类与年龄相关
的随机种群模型引起了学者的广泛关注，并得到一
突发脉冲或极端事件的干扰，那么借助连续白噪声
或Ｐｏｉｓｓｏｎ跳过程扰动的随机模型并不能反映这一变化．因此需要Ｌｅｖｙ噪声扰动的随机种群模型来模拟上述现象．本文考虑如下形式的带有Ｌｅｖｙ跳
第３９卷第４期
２０１３年８月
兰
州
理
工
大
学
学
报
Ｖｏ１．３９Ｎｏ．４
Ａｕｇ．２０１３
ＪｏｕｎａｒｌｏｆＬａｎｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
Ｐ（Ｏ，ｎ）一Ｐ０（ｎ），ｒ（Ｏ）一