湖北省天门仙桃潜江市联考高一数学下学期期末试卷

2015-2016学年湖北省天门、仙桃、潜江市联考高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，则M∩N=（）A．{0} B．{1} C．{0，1，2} D．{0，1}2．函数f（x）=cos2x的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．3．已知函数y=f（x）+sin x为偶函数，若f（）=，则f（）=（）A． B．C．D．4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3 B．2 C．2 D．5．阅读如图所示的程序框图，输出A的值为（）A．B．C．D．6．若，是两个单位向量，且（2+）•（﹣2+3）=2﹣1，则，的夹角为（）A．B．C． D．7．登山族为了了解某山高y（km）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：气温x（°C）18 13 10 ﹣1山高y（km）24 34 38 64由表中数据，得到线性回归方程，由此请估计出山高为72（km）处气温的度数为（）A．﹣10 B．﹣8 C．﹣4 D．﹣68．若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2 D．49．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，，则=（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣3，﹣5）C．（3，5）D．（2，4）10．已知等比数列{a n}满足，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．11．在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤log（x+）≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．若函数f（x）=4x﹣m•2x+m+3有两个不同的零点x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则实数m 的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．（6，+∞）C．（2，6）D．（2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上对应题号后的横线上）13．计算：cos（α+30°）cos（α﹣30°）+sin（α+30°）sin（α﹣30°）= ．14．假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到小明家，小明爸爸离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是．15．已知定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（﹣1）=2，则不等式f（x﹣1）+2≤0在（0，+∞）的解集为．16．已知函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx+（其中ω为常数，且ω＞0），函数g（x）=f（x）﹣的部分图象如图所示．则当x∈[﹣]时，函数f（x）的取值范围是．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知α，β都是锐角，tanα=，sinβ=，求tan（α+2β）的值．18．现从某校高三年级随机抽50名考生2015年高考英语听力考试的成绩，发现全部介于[6，30]之间，将成绩按如下方式分成6组：第1组[6，10），第2组[10，14），…，第6组[26，30]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）估算该校50名考生成绩的众数和中位数；（Ⅱ）求这50名考生成绩在[22，30]内的人数．19．下面有两个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，分别计算甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的？游戏1 游戏22个红球和2个白球3个红球和1个白球取1个球，再取1个球取1个球，再取1个球取出的两个球同色→甲胜取出的两个球同色→甲胜取出的两个球不同色→乙胜取出的两个球不同色→乙胜20．设S n表示数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）若{a n}是等差数列，试证明：S n=；（Ⅱ）若a1=1，q≠0，且对所有的正整数n，有S n=，判断{a n}是否为等比数列．21．锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量=（2，c），=（cosC﹣sinA，cosB），已知b=，且⊥．（1）求角B；（2）求△ABC面积的最大值及此时另外两个边a，c的长．22．已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x﹣3，如果函数y=f（x）在区间（﹣1，1）有零点，求a的取值范围．2015-2016学年湖北省天门、仙桃、潜江市联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，则M∩N=（）A．{0} B．{1} C．{0，1，2} D．{0，1}【考点】交集及其运算．【分析】直接利用交集及其运算得答案．【解答】解：由M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，得M∩N={x|﹣2≤x＜2}∩{0，1，2}={0，1}．故选：D．2．函数f（x）=cos2x的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，再根据函数y=Acos（ωx+φ）+b的周期为，得出结论．【解答】解：函数f（x）=cos2x=的最小正周期为=π，故选：C．3．已知函数y=f（x）+sin x为偶函数，若f（）=，则f（）=（）A． B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意可得 f（x）﹣f（﹣x）=﹣2sin x，结合 f（）=f（2）=，f （）=f（﹣2），求得 f（﹣2）的值．【解答】解：∵函数y=f（x）+sin x为偶函数，∴f（﹣x）﹣sin x=f（x）+sin x，∴f（x）﹣f（﹣x）=﹣2sin x．∵f（）=f（2）=，f（）=f（﹣2），∴﹣f（﹣2）=﹣2•=﹣，∴f（﹣2）=2，故选：A．4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3 B．2 C．2 D．【考点】正弦定理．【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，即有4=b2+12﹣4×b，解得b=2或4，由b＜c，可得b=2．故选：C．5．阅读如图所示的程序框图，输出A的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的A，i的值，当i=11时，不满足条件i≤10，退出循环，输出A的值为．【解答】解：模拟执行程序框图，可得A=1，i=1A=，i=2满足条件i≤10，A=，i=3满足条件i≤10，A=，i=4满足条件i≤10，A=，i=5满足条件i≤10，A=，i=6满足条件i≤10，A=，i=7满足条件i≤10，A=，i=8满足条件i≤10，A=，i=9满足条件i≤10，A=，i=10满足条件i≤10，A=，i=11不满足条件i≤10，退出循环，输出A的值为，故选：C．6．若，是两个单位向量，且（2+）•（﹣2+3）=2﹣1，则，的夹角为（）A．B．C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件求出，代入向量的夹角公式计算．【解答】解：∵（2+）•（﹣2+3）=2﹣1，∴﹣4+3+4=2﹣1．∵==1，∴=．∴cos＜，＞==．∴＜，＞=．故选：A．7．登山族为了了解某山高y（km）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：气温x（°C）18 13 10 ﹣1山高y（km）24 34 38 64由表中数据，得到线性回归方程，由此请估计出山高为72（km）处气温的度数为（）A．﹣10 B．﹣8 C．﹣4 D．﹣6【考点】线性回归方程．【分析】求出，，代入回归方程，求出a，代入，将y=72代入可求得x的估计值．【解答】解：由题意，，，代入到线性回归方程，可得a=60，∴y=﹣2x+60，由﹣2x+60=72，可得x=﹣6．故选：D．8．若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2 D．4【考点】基本不等式．【分析】由+=，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值【解答】解：∵+=，∴a＞0，b＞0，∵（当且仅当b=2a时取等号），∴，解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C．9．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，，则=（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣3，﹣5）C．（3，5）D．（2，4）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平行四边形法则，可以求出，再根据平行四边形法则可以求出结果，在运算过程中要先看清各向量的关系，理清思路以后再用坐标表示出结果．【解答】解：∵，故选B．10．已知等比数列{a n}满足，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．11．在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤log（x+）≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】先解已知不等式，再利用解得的区间长度与区间[0，2]的长度求比值即得．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．∵﹣1≤log（x+）≤1∴解得0≤x≤，∵0≤x≤2∴0≤x≤∴所求的概率为：P=故选：A12．若函数f（x）=4x﹣m•2x+m+3有两个不同的零点x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则实数m 的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．（6，+∞）C．（2，6）D．（2，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用换元法，问题转化为函数f（t）=t2﹣mt+m+3有两个不同的零点，且大于1，建立不等式，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：设t=2x，∵x1+x2＞0，x1x2＞0，∴t＞1，∴函数f（t）=t2﹣mt+m+3有两个不同的零点，且大于1，∴，∴m＞6，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上对应题号后的横线上）13．计算：cos（α+30°）cos（α﹣30°）+sin（α+30°）sin（α﹣30°）= ．【考点】两角和与差的余弦函数；三角函数的化简求值．【分析】运用两角和与差的余弦函数化简求解即可．【解答】解：cos（α+30°）cos（α﹣30°）+sin（α+30°）sin（α﹣30°）=cos（α+30°﹣α+30°）=cos60°=；故答案为：．14．假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到小明家，小明爸爸离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是．【考点】几何概型．【分析】设送报人到达的时间为x，小明爸爸离家去工作的时间为y，则（x，y）可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件A所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案．【解答】解：设送报人到达的时间为x，小明爸爸离家去工作的时间为y，记小明爸爸离家前能看到报纸为事件A；以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示小明爸爸离家时间，建立平面直角坐标系，小明爸爸离家前能得到报纸的事件构成区域如图示：由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示小明爸爸在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以P（A）==，故答案为：．15．已知定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（﹣1）=2，则不等式f（x﹣1）+2≤0在（0，+∞）的解集为（1，2] ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意和奇函数的性质得f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2，由函数的单调性化简不等式，求出不等式的解集．【解答】解：因为f（x）是在R上的奇函数，f（﹣1）=2，所以f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2，因为f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（x﹣1）+2≤0为：f（x﹣1）≤﹣2=f（1），所以0＜x﹣1≤1，解得1＜x≤2，所以不等式f（x﹣1）+2≤0在（0，+∞）的解集为（1，2]，故答案为：（1，2]．16．已知函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx+（其中ω为常数，且ω＞0），函数g（x）=f（x）﹣的部分图象如图所示．则当x∈[﹣]时，函数f（x）的取值范围是[﹣， +1] ．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】利用两角差的正弦公式化简f（x）的解析式，利用正弦函数的周期性求得ω，再根据正弦函数的定义域和值域求得 f（x）的取值范围．【解答】解：函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx+=2sin（2ωx﹣）+（其中ω为常数，且ω＞0），根据函数g（x）=f（x）﹣的部分图象，可得=•=﹣，∴ω=1，f（x）=2sin（2x﹣）+，则当x∈[﹣]时，2x﹣∈[﹣，]，sin（x﹣）∈[﹣1，]，∴f（x）的取值范围是[﹣， +1]，故答案为：．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知α，β都是锐角，tanα=，sinβ=，求tan（α+2β）的值．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由同角三角函数关系式先求出tanβ，再由倍角公式求出tan2β，由此利用正切函数加法定理能求出tan（α+2β）的值．【解答】解：∵α，β都是锐角，tanα=，sinβ=，∴cosβ====，tanβ==，tan2β===，∴tan（α+2β）===1．18．现从某校高三年级随机抽50名考生2015年高考英语听力考试的成绩，发现全部介于[6，30]之间，将成绩按如下方式分成6组：第1组[6，10），第2组[10，14），…，第6组[26，30]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）估算该校50名考生成绩的众数和中位数；（Ⅱ）求这50名考生成绩在[22，30]内的人数．【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图，能求出该校50名考生听力成绩的众数和中位数．（Ⅱ）由频率分布直方图求出后两组频率及人数，由此能求出该校这50名考生听力成绩在[22，30]的人数．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，该校这50名考生听力成绩的众数为…中位数为…（Ⅱ）由频率分布直方图知，后两组频率为（0.03+0.02）×4=0.2人数为0.2×50=10，即该校这50名考生听力成绩在[22，30]的人数为10人．…19．下面有两个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，分别计算甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的？游戏1 游戏22个红球和2个白球3个红球和1个白球取1个球，再取1个球取1个球，再取1个球取出的两个球同色→甲胜取出的两个球同色→甲胜取出的两个球不同色→乙胜取出的两个球不同色→乙胜【考点】概率的意义．【分析】在游戏1中，分别求出取两球同色的概率和取两球异色的概率；游戏2中，分别求出取两球同色的概率和取两球异色的概率，由此能求出结果．【解答】解：在游戏1中，取两球同色的概率为： =，取两球异色的概率为： =，因此游戏1中规则不公平．游戏2中，取两球同色的概率为： =，取两球异色的概率为： =，因此游戏2中规则是公平的．20．设S n表示数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）若{a n}是等差数列，试证明：S n=；（Ⅱ）若a1=1，q≠0，且对所有的正整数n，有S n=，判断{a n}是否为等比数列．【考点】等比关系的确定；等差数列的性质．【分析】（I）利用等差数列的通项公式及其求和公式、倒序相加法即可得出．（II）利用等比数列的通项公式定义、递推关系即可得出．【解答】（Ⅰ）证明：设{a n}的公差为d，则S n=a1+a2+…+a n=a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+[a1+（n﹣1）d]，又S n=a n+（a n﹣d）+（a n﹣2d）+…+[a n﹣（n﹣1）d]，∴2S n=n（a1+a n）∴．（Ⅱ）解：{a n}是等比数列．证明如下：∵∴，∵a1=1，q≠0，∴当n≥1时，有．因此，{a n}是以1为首项，且公比为q的等比数列．21．锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量=（2，c），=（cosC﹣sinA，cosB），已知b=，且⊥．（1）求角B；（2）求△ABC面积的最大值及此时另外两个边a，c的长．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（1）应用正弦定理求B角；（2）注意题中三角形为锐角三角形，应用化一公式求得面积最大值．【解答】解：（1）∵∴即bcosC+ccosB=2sinA2RsinBcosC+2RsinCcosB=2sinA2Rsin（B+C）=2sinA2RsinA=2sinA∴2R=2∵∴∵∴（2）S=═====∵三角形为锐角三角形∴即∴；此时∴．22．已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x﹣3，如果函数y=f（x）在区间（﹣1，1）有零点，求a的取值范围．【考点】二次函数的性质．【分析】通过讨论a的范围，结合二次函数以及一次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）若a=0，则f（x）=2x﹣3，令f（x）=0得，不符合题意，故a≠0…（2）当a＞0时，由于f（0）=﹣3＜0，∴y=f（x）在（﹣1，1）上可有两个不同零点或一个零点，依题意需满足或即或解之得…（3）当a＜0时，f（x）在（﹣1，1）有零点需满足或无解，故a＜0时，不符合题意由（1）（2）（3）可知f（x）在（﹣1，1）上有零点，a的取值范围是…。