备战中考数学初中数学 旋转-经典压轴题附详细答案

备战中考数学初中数学旋转-经典压轴题附详细答案

一、旋转

1．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝

∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE．

(1)在图1中证明小胖的发现；

借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：

(2)如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD；

(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =1

2 m°.

【解析】

分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC，只要证明△DAB≌△EAC即可；

（2）如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．首先证明△BDE是等边三角形，再证明

△ABD≌△CBE即可解决问题；

（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到

M，使得DM=DE，连接FM、CM．想办法证明△AFE≌△AFG，可得∠EAF=∠FAG=1

2 m°.

详（1）证明：如图1中，

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠DAB=∠EAC，

在△DAB和△EAC中，

AD AE DAB EAC AB AC ⎧⎪

∠∠⎨⎪⎩

＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC ， ∴BD=EC ．

（2）证明：如图2中，延长DC 到E ，使得DB=DE ．

∵DB=DE ，∠BDC=60°， ∴△BDE 是等边三角形， ∴∠BD=BE ，∠DBE=∠ABC=60°， ∴∠ABD=∠CBE ， ∵AB=BC ， ∴△ABD ≌△CBE ， ∴AD=EC ，

∴BD=DE=DC+CE=DC+AD ． ∴AD+CD=BD ．

（3）如图3中，将AE 绕点E 逆时针旋转m°得到AG ，连接CG 、EG 、EF 、FG ，延长ED 到M ，使得DM=DE ，连接FM 、CM ．

由（1）可知△EAB ≌△GAC ， ∴∠1=∠2，BE=CG ，

∵BD=DC ，∠BDE=∠CDM ，DE=DM ， ∴△EDB ≌△MDC ，

∴EM=CM=CG ，∠EBC=∠MCD ，

∵∠EBC=∠ACF，

∴∠MCD=∠ACF，

∴∠FCM=∠ACB=∠ABC，∴∠1=3=∠2，

∴∠FCG=∠ACB=∠MCF，∵CF=CF，CG=CM，

∴△CFG≌△CFM，

∴FG=FM，

∵ED=DM，DF⊥EM，

∴FE=FM=FG，

∵AE=AG，AF=AF，

∴△AFE≌△AFG，

∴∠EAF=∠FAG=1

2 m°．

点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题．

2．如图，矩形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，点B的坐标为

（4，m）（5≤m≤7），反比例函数y＝16

x

（x＞0）的图象交边AB于点D．

（1）用m的代数式表示BD的长；

（2）设点P在该函数图象上，且它的横坐标为m，连结PB，PD

①记矩形OABC面积与△PBD面积之差为S，求当m为何值时，S取到最大值；

②将点D绕点P逆时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在x轴上时，求m的值．

【答案】（1）BD＝m﹣4（2）①m＝7时，S取到最大值②m＝5

【解析】

【分析】

（1）先确定出点D横坐标为4，代入反比例函数解析式中求出点D横坐标，即可得出结论；

（2）①先求出矩形OABC的面积和三角形PBD的面积得出S＝﹣1

2

（m﹣8）2+24，即可

得出结论；②利用一线三直角判断出DG＝PF，进而求出点P的坐标，即可得出结论．【详解】

解：（1）∵四边形OABC是矩形，

∴AB⊥x轴上，

∵点B（4，m），

∴点D的横坐标为4，

∵点D在反比例函数y＝16

x

上，

∴D（4，4），

∴BD＝m﹣4；

（2）①如图1，∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，m），

∴S矩形OABC＝4m，

由（1）知，D（4，4），

∴S△PBD＝1

2（m﹣4）（m﹣4）＝

1

2

（m﹣4）2，

∴S＝S矩形OABC﹣S△PBD＝4m﹣1

2（m﹣4）2＝﹣

1

2

（m﹣8）2+24，

∴抛物线的对称轴为m＝8，

∵a＜0，5≤m≤7，

∴m＝7时，S取到最大值；

②如图2，过点P作PF⊥x轴于F，过点D作DG⊥FP交FP的延长线于G，∴∠DGP＝∠PFE＝90°，

∴∠DPG+∠PDG＝90°，

由旋转知，PD＝PE，∠DPE＝90°，

∴∠DPG+∠EPF＝90°，

∴∠PDG＝∠EPF，

∴△PDG≌△EPF（AAS），

∴DG＝PF，

∵DG＝AF＝m﹣4，

∴P（m，m﹣4），

∵点P在反比例函数y＝16

x

，

∴m（m﹣4）＝16，

∴m＝m＝2﹣