新人教版九年级下册数学[《相似》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](提高)

新人教版九年级下册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《相似》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．要点诠释：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）（2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）．要点二、相似三角形1.相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

3.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点三、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点 为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.要点四、黄金分割1.定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即AB AP AP PB =（此时线段AP 叫作线段PB 、AB 的比例中项），则P 点就是线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．要点五、射影定理在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D ，∴△ABC∽△ACD∽△CBD（“角角”）∴BD AD CD ⋅=2；AB AD AC ⋅=2；AB BD BC ⋅=2（射影定理）；CD AB BC AC ⋅=⋅（等积）．【典型例题】类型一、相似三角形【:相似专题复习 394502：例1-2】1. 已知：如图，∠ABC =∠CDB =90°，AC =a ，BC =b ，当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【答案与解析】∵AC =a ，BC =b ，∴AB=22a b -，①当△ABC ∽△BDC 时，BD BC AB AC=, 即22b a b BD a -=. ②当△ABC ∽△CDB 时，BD BC CB AC=， 即2b BD a=. 【总结升华】相似三角形中未明确对应点和对应边时，要注意分类讨论.举一反三 【变式】如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8,沿直线MN 对折，使A 、C 重合，直线MN 交AC 于O.（1）求证：△COM∽△CBA； （2）求线段OM 的长度.【答案】（1）证明： A 与C 关于直线MN 对称，∴AC ⊥MN ，∴∠COM=90°，在矩形ABCD 中，∠B=90°，∴∠COM=∠B ，又∠ACB=∠ACB ，∴△COM ∽△CBA ，（2）在Rt △CBA 中，AB=6，BC=8，∴AC=10 ，∴OC=5，△COM ∽△CBA ，∴OC OM=BC AB ，∴OM=154. 2. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN∥AB，MC ＝6，NC ＝23，则四边形MABN 的面积是（ ）A ．63B ．123C ．183D ．243【答案】C ； 【解析】由MC ＝6，NC ＝23，∠C＝90°得S △CMN =63，再由翻折前后△CMN ≌△DMN 得对应高相等；由MN∥AB 得△CMN ∽△CAB 且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得S △CMN ：S 四边形MABN =1:3，故选C.【总结升华】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.类型二、相似三角形的综合应用3.（2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OE=OB ，连接DE ．（1）求证：DE ⊥BE ；（2）如果OE ⊥CD ，求证：BD •CE=CD •DE ．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO=BD ，∵OE=OB ，∴OE=BD ，NM D A CB∴∠BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD•CE=CD•DE．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．4.（2016•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．【思路点拨】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可．（2）利用相似三角形的性质得到=，由此即可证明．【答案与解析】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵=，∴△ADF∽△ACG．（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴=，又∵=，∴=，∴=1．【总结升华】本题考查相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题中考常考题型．举一反三：【变式】（2015•湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．【答案与解析】证明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，∴∠C=∠AED=90°，∴∠DEB=∠C=90°，∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC；（2）由勾股定理得，AB=10．由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE2+BE2=BD2，即CD2+42=（8﹣CD）2，解得：CD=3，在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，即32+62=AD2，解得：AD=．【: 相似专题复习 394502：例7】5. 如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式．【答案与解析】（1）∵MBC △是等边三角形∴60MB MC MBC MCB ===︒，∠∠∵M 是AD 中点，∴AM MD =，∵AD BC ∥，∴60AMB MBC ==︒∠∠，60DMC MCB ==︒∠∠，∴AMB DMC △≌△，∴AB DC =，∴梯形ABCD 是等腰梯形．（2）在等边MBC △中，4MB MC BC ===，60MBC MCB ==︒∠∠， 又∵60MPQ =︒∠，∴120BMP BPM BPM QPC +=+=︒∠∠∠∠，∴BMP QPC =∠∠，∴BMP CQP △∽△， ∴PC CQ BM BP=， ∵PC x MQ y ==， ∴44BP x QC y =-=-， ， ∴444x y x-=- ， ∴2144y x x =-+. 【总结升华】利用相似三角形得到的比例式，构建线段关系求得函数关系，关键是能够灵活运用所学知识来解题.举一反三【变式】如图所示，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y ．(1)求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当x 为何值时，△BDE 的面积S 有最大值，最大值为多少?【答案】(1)因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以.又因为AB=8，AC=6，，， 所以，即，自变量x 的取值范围为.(2). 所以当时，S 有最大值，且最大值为6.类型三、黄金分割 6.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落到线段EA 上，折出点B 的新位置B ′，因而EB ′=EB ．类似地，在AB 上折出点B ″使AB ″=AB ′．这是B ″就是AB 的黄金分割点．请你证明这个结论．【答案与解析】设正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，∴BE=1∴AE=225AB BE +=，又B ′E=BE=1，∴AB ′=AE-B ′E=5-1，∵AB″=AB′=5-1∴AB″：AB=(5-1):2∴点B″是线段AB的黄金分割点．【总结升华】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键．举一反三【变式】如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．【答案】（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=72°，∠ADB=108°，∴∠ABD=36°，∴△ADB、△BDC是等腰三角形，∴AD=BD=BC．（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC=CD：BC，∴BC2=AC•DC，∵BC=AD，∴AD2=AC•DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．。