《弧.弦.圆心角关系》教学案---应用版
弧、弦、圆心角》教学设计
弧、弦、圆心角》教学设计本节课的教学目标是让学生理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，利用这些知识发现圆中弧、弦、圆心角之间的关系，并能正确推理和应用。
通过观察、比较、推理、归纳等活动，培养学生的推理能力和概括问题的能力，同时培养学生探索数学问题的积极态度和科学的方法。
在情景引入阶段，我们通过课件演示让学生发现圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心，并且把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得图形都与原图形重合。
接着我们引入圆心角的概念，并让学生认识到圆心角所对的弧是唯一的。
在探究新知阶段，我们通过课件演示让学生画一个圆心角并把它切下，然后把它绕圆心旋转一个角度到另一个位置，同时在该圆形纸上记下。
通过观察，学生可以发现在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
接着我们提出一个命题，并让学生想一想如何证明这个命题。
通过观察，学生可以发现△AOB≌△A′OB′，从而得到AB＝A′B′，于是与重合，则=。
形成结论后，我们进一步提出变式训练，让学生掌握同圆或等圆中两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等的规律。
在巩固新知阶段，我们通过例题解析让学生进一步理解同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系，并掌握如何通过这些关系来解决问题。
通过例题，学生可以发现在同圆或等圆中，要说明两条弧相等可以寻找它们所对的弦或圆心角的关系来解决，同样的方法也可以来说明弦相等或圆心角相等。
课堂练：1.如图3，AB、CD是⊙O的两条弦。
1) 如果AB=CD，那么____，____。
2) 如果____，那么____，____。
3) 如果∠AOB=∠COD，那么____，____。
4) 如果AB=CD，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，那么OE与OF相等吗？为什么？2.如图4，AB是⊙O的直径，ED∥OB，∠COD=35°，求∠XXX的度数。
教学说明：让学生自主探索问题解决的途径，并通过交流，形成技能。
《圆心角、弧、弦之间的关系》教学案例
一、教案背景
1、面向学生： □中学
2、学科：数学
2、课时：1
3、学生课前准备：
①自学课本Ｐ110， ②圆形半透明胶片、刻度尺、圆规、练习本。
一、教学课题
掌握圆心角的概念，掌握在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦中有一个量的两个相等就可以推出其它
两个量的相对应的两个量就相等，及其它们在解题中的应用。
1.合书做例 2.
如图，AB 与 DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AC∥DE。求证：
︵︵
（1）AD =CE
（2）BE=EC
2．如图，在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 EF． （1）如果∠AOB=∠COD，那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？
D．不能确定
︵︵
3．如图 1，⊙O 中，如果AB =2AC ，那么
（
）
A．AB=2AC B．AB=AC C．AB<2AC D．AB>2AC
（
）
A
C O B
C E
A
O
B
D
(1)
(2)
4．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．
5．如图 2，AB 和 DE 是⊙O 的直径，弦 AC∥DE，若弦 BE=3，则弦 CE=____者关系定理的视频，学生通
过现场观看和自己动手制作，印象深刻，使重点得以突出，难点得到了突破。
一、教学方法
1、通过叠合的数学方法，探究圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；
2、通过化归思想、数形结合思想运用关系定理证明线段相等、弧相等、角相等；
2、教材Ｐ111 实验与探究中，通过旋转∠AOB，试写出你发现的哪些等量关系？为什么？
圆心角、弧与弦心距之间的关系教案
圆心角、弧与弦心距之间的关系教案圆心角、弧与弦心距之间的关系教案教学目标：(1)理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用;(2)培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力;(3)通过教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆的内在美(圆心角、弧、弦、弦心距之间关系)，激发学生的求知欲.教学重点、难点：重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论.难点：从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养.教学内容设计(一)圆的对称性和旋转不变性学生动手画圆，对折、观察得出：圆是轴对称图形和中心对称图形;圆的旋转不变性.引出圆心角和弦心距的概念：圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角.弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距.(二)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系应用电脑动画(实验)观察，在同圆等圆中，圆心角变化时，圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系，得出定理的内容.这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力，又可以充分调动学生的学习的积极性.定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等.(三)剖析定理得出推论问题1：定理中去掉在同圆或等圆中这个前提，否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论.(学生分小组讨论、交流)举出反例：如图，AOB=COD，但AB CD， .(强化对定理的理解，培养学生的思维批判性.)问题2、在同圆等圆中，若圆心角所对的弧相等，将又怎样呢?(学生分小组讨论、交流，老师与学生交流对话)，归纳出推论.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.(推论包含了定理，它是定理的拓展)(四)应用、巩固和反思例1、如图，点O是EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的.两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，求证：AB=CD.解(略，教材87页)例题拓展：当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢?(让学生自主思考，并使图形运动起来，让学生在运动中学习和研究几何问题)练习：(教材88页练习)1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD 的弦心距，根据本节定理及推论填空： .(1)如果AB=CD，那么______，______，______;(2)如果OE=OG，那么______，______，______;(3)如果 = ，那么______，______，______;(4)如果AOB=COD，那么______，______，______.(目的：巩固基础知识)2、(教材88页练习3题，略.定理的简单应用)(五)小结：学生自己归纳，老师指导.知识：①圆的对称性和旋转不变性;②圆心角、弧、弦、弦心距之间关系，它反映出在圆中相等量的灵活转换.能力和方法：①增加了证明角相等、线段相等以及弧相等的新方法;②实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力.(六)作业：教材P99中1(1)、2、3.【圆心角、弧与弦心距之间的关系教案】。
弧、弦、圆心角教案
弧、弦、圆心角教案教学目标：1. 理解弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。
2. 学会使用圆规和量角器画弧、弦和圆心角。
3. 能够运用弧、弦、圆心角解决实际问题。
教学重点：1. 弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。
2. 画弧、弦和圆心角的方法。
教学难点：1. 弧、弦、圆心角在实际问题中的应用。
教学准备：1. 圆规、量角器、直尺、铅笔。
2. 教学PPT。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生观察圆，提问：圆上有什么特殊的部分？2. 学生回答：弧、弦。
3. 教师讲解弧、弦的定义，并展示PPT中的图片和实例。
二、探究弧、弦、圆心角的关系（10分钟）三、画弧、弦和圆心角（10分钟）1. 教师示范如何使用圆规和量角器画弧、弦和圆心角。
2. 学生动手实践，画出给定半径的圆的弧、弦和圆心角。
3. 学生互相检查，教师巡回指导。
四、解决问题（10分钟）1. 出示实际问题，如：在一个半径为5cm的圆中，求弧长为10πcm的弧对应的圆心角大小。
2. 学生独立思考，解答问题。
3. 学生分享解题过程和答案，教师点评。
2. 出示拓展问题，如：在同一个圆中，如果两个圆心角的度数相等，它们对应的弧和弦是否相等？3. 学生思考拓展问题，下节课讨论。
教学反思：六、深化理解：圆心角、弧、弦的定量关系教学目标：1. 掌握圆心角、弧、弦的定量关系。
2. 能够运用定量关系解决相关问题。
教学重点：1. 圆心角、弧、弦的定量关系。
教学难点：1. 定量关系在实际问题中的应用。
教学准备：1. 圆规、量角器、直尺、铅笔。
2. 教学PPT。
教学过程：1. 复习上节课所学的弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。
2. 引导学生探究圆心角、弧、弦的定量关系。
七、实际应用：解决圆相关问题教学目标：1. 能够运用圆心角、弧、弦的定量关系解决实际问题。
2. 提高解决实际问题的能力。
教学重点：1. 运用圆心角、弧、弦的定量关系解决实际问题。
教学难点：1. 实际问题中的数据处理和运用。
《弧、弦、圆心角》参考教案
24.1.3 弧、弦、圆心角教学目标：1、理解圆的旋转不变性．2、掌握圆心角的概念和圆心角定理．3、通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力；4、学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，转化的数学思想解决问题．教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．教学难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．教学过程：一、情境创设：1、按下面的步骤做一做：(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．图1(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．二、新课讲授1．定点在圆心的角叫做圆心角。
如：∠AOB2．如图1，由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；由旋转法可知弧AB=弧A’B’.定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．注意：（1）“同圆或等圆”的条件不能少；若去掉这个前提，如图所示的是两个同心圆，弦AB与弦CD相等吗?弧AB与弧CD相等吗? (显然不相等)（2）定理的作用：在同圆或等圆中证：圆心角、弧、弦相等；（3）“等弧对等弦”是假命题；※（4）在同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等；（记住结论，但解答题不可直接使用）※（5）弧的度数等于它所对的圆心角的度数。
弧、弦、圆心角教案
给出弧、弦、圆心角之间的关系定理。
追问：你进一步还能发现什么？
教师给出弧、弦、圆°,
求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。证明：∵AB=AC∴AB=AC，△ABC是等腰三角形
又∠ACB=60°∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA
教学难点：从感性到理性的认识，发现、归纳、推理能力的培养．
活动一：观察，实验。
问题一：
1.观察手表及钟表，看看指针旋转情况。你能说出8点整时时针和分针的夹角是多少度吗？
2..观察这个角，它的顶点在什么位置。
教师给出圆心角的定义，并完成学案练习第一题。
由问题一引入新课。
活动二：
问：你觉得3点整和9点整时，时针的端点与分针的端点距离相等吗？
思考：在同圆或等圆中，如果一条弧是另一条的两倍，那么它们所对的圆心角，所对的弦也由两倍的关系吗？
问：你发现什么？
问：是不是在任意一个圆中，任意相等的圆心角所对的弦都相等呢？
[引出实验]
教师实验演示：
观察：将一个圆中的任意圆心角旋转一定的角度，它所对应的弦和旋转前对应的弦的大小关系。
换一个不同的圆心角试试。
换一个不同的圆试试。
给出圆心角和弦之间的关系定理。
强调：同圆或等圆中的条件
以此类推：你还能发现除了圆心角和弦有这样的关系外，还有哪些也与圆心角有这样的关系？
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
归纳：弧、弦、圆心角中，要证明其中的一个量相等，我们可以根据等对等定理，将要证明的量进行迁移，转化成其他的量相等来证明。
完成学案练习第2,3小题。
课时小结：今天你又几个发现？和以前相比，你对圆的兴趣是不是浓厚很多？希望你能继续发现更多的圆的知识！
弧、弦、圆心角教案
弧、弦、圆心角教学目标知识与技能：1.了解圆心角的概念2.掌握弧、弦、圆心角关系定理及结论3.能灵活应用关系定理及结论解决问题。
过程与方法：经历探索弧、弦、圆心角关系定理及结论的过程，发展学生的数学思考能力。
情感态度与价值观：通过积极引导、帮助学生有意识地积累活动经验和获得成功的体验，增强学生学习的自主性。
教学重点和难点重点：弧、弦、圆心角关系定理及其结论的应用难点：定理及其结论的探索与应用教学过程设计一、创设情景，引入新课圆是轴对称图形.圆的这一性质，帮助我们解决了圆的许多问题.今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性.1.动态演示，发现规律投影出示图7-47，并动态显示：平行四边形绕对角线交点O旋转180°后.问：(1)结果怎样?学生答：和原来的平行四边形重合.(2)这样的图形叫做什么图形?学生答：中心对称图形.投影出示图7-48，并动态显示：⊙O绕圆心O旋转180°.由学生观察后，归纳出：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.投影继续演示如图7-49，让直径AB两个端点A，B绕圆心旋转30°，45°，90°，让学生观察发现什么结论?得出：不论绕圆心旋转多度，都能够和原来的图形重合.进一步演示，让圆绕着圆心旋转任意角度α，你发现什么?学生答：仍然与原来的图表重合.于是由学生归纳总结，得出圆所特有的性质：圆的旋转不变性.即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合.2.圆心角，弦心距的概念我们在研究圆的旋转不变性时，⊙O绕圆心O旋转任意角度α后，出现一个角∠AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点?如图7-50.(如有条件可电脑闪动显示图形.)在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上.在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书.顶点在圆心的角叫做圆心角.再进一步观察，是∠AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角∠AOB也是AB所对的弦.请同学们回忆，在学习垂径定理时，常作的一条辅助线是什么?学生答：过圆心O作弦AB的垂线.在学生回答的基础上，教师指出：点O到AB的垂直线段OM的长度，即圆心到弦的距离叫弦心距.如图7-51.(教师板书定义)最后指出：这节课我们就来研究圆心角之间，以及它们所对的弧、弦、弦的弦心距之间的关系.(引出课题)二、大胆猜想，发现定理在图7-52中，再画一圆心角∠A′OB′，如果∠AOB＝∠A′OB′，(变化显示两角相等)再作出它们所对的弦AB，A′B′和弦的弦心距OM，OM′，请大家大胆猜想，其余三组量与，弦AB与A′B′，弦心距OM 与OM′的大小关系如何?学生很容易猜出：＝，AB＝A′B′，OM＝OM′.教师进一步提问：同学们刚才的发现仅仅是感性认识，猜想是否正确，必须进行证明，怎样证明呢?学生最容易想到的是证全等的方法，但得不到＝，怎样证明弧相等呢?让学生思考并启发学生回忆等弧的定义是什么?学生：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧.请同学们想一想，你用什么方法让和重合呢?学生：旋转.下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明＝.把∠AOB连同旋转，使OA与OA′重合，电脑开始显示旋转过程，教师边演示边提问.我们发现射线OB与射线OB′也会重合，为什么?学生：因为∠AOB＝∠A′OB′，所以射线OB与射线OB′重合.要证明与重合，关键在于点A与点A′，点B与点B′是否分别重合.这两对点分别重合吗?学生：重合.你能说明理由吗?学生：因为OA＝OA′，OB＝OB′，所以点A与点A′重合，点B与点B′重合.当两段弧的两个端点重合后，我们可以得到哪些量重合呢?学生：与重合，弦AB与A′B′重合，OM与OM′重合.为什么OM也与OM′重合呢?学生：根据垂线的唯一性.于是有结论：＝，AB＝A′B′，OM＝OM′.以上证明运用了圆的旋转不变性.得到结论后，教师板书证明过程，并引导学生用简洁的文字叙述这个真命题.教师板书定理.定理：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.教师引导学生补全定理内容.投影显示如图7-53，⊙O与⊙O′为等圆，∠AOB＝∠A′O′B′，OM与O′M′分别为AB与A′B的弦心距，请学生回答与，AB与A′B′，OM与O′M′还相等吗?为什么?在学生回答的基础上，教师指出：以上三组量仍然相等，因为两个等圆可以叠合成同圆.(投影显示叠合过程)这样通过叠合，把等圆转化成了同圆，教师把定理补充完整.然后，请同学们思考定理的条件和结论分别是什么?并回答：.条件结论圆心角所对弧相等；在同圆或等圆中圆心角所对弦相等；圆心角相等圆心角所对弦的弦心距相等.思考，在这个大前提下，把圆心角相等与三个结论中的任何一个交换位置，可以得到三个新命题，这三个命题是真命题吗?如何证明?在学生讨论的基础上，简单地说明证明方法.最后，教师把这四个真命题概括起来，得到定理的推论.请学生归纳，教师板书.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.三、例题讲解：例3：如图24.1-10，在圆O中，弧AB=弧AC，∠ACB=60°。
圆心角、弧与弦心距之间的关系教案
圆心角、弧与弦心距之间的关系教案一、教学目标1. 让学生理解圆心角、弧和弦心距的概念。
2. 让学生掌握圆心角、弧和弦心距之间的关系。
3. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 圆心角的概念：圆心角是指以圆心为顶点的角，它的两条边分别落在圆上。
2. 弧的概念：弧是指圆上两点间的部分。
3. 弦心距的概念：弦心距是指从圆心到弦的垂直线段。
4. 圆心角、弧和弦心距之间的关系：在等圆或同圆中，圆心角等于它所对的弧的一半，弦心距垂直平分弦，并且弦心距等于它所对的圆心角的一半。
三、教学重点与难点1. 教学重点：让学生掌握圆心角、弧和弦心距之间的关系。
2. 教学难点：圆心角、弧和弦心距之间的转换和应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究圆心角、弧和弦心距之间的关系。
2. 利用几何画板或实物模型，直观展示圆心角、弧和弦心距的特点。
3. 运用小组合作学习，让学生在探究中互相交流、互相学习。
五、教学过程1. 导入：通过展示一些生活中的圆形物体，引导学生关注圆心角、弧和弦心距的概念。
2. 新课导入：介绍圆心角、弧和弦心距的定义，让学生理解它们之间的关系。
3. 实例讲解：利用几何画板或实物模型，展示圆心角、弧和弦心距的特点，引导学生发现它们之间的关系。
4. 课堂练习：设计一些练习题，让学生运用圆心角、弧和弦心距的关系解决问题。
5. 总结提升：对本节课的内容进行总结，强调圆心角、弧和弦心距之间的关系。
6. 课后作业：布置一些有关圆心角、弧和弦心距的练习题，巩固所学知识。
六、教学策略1. 采用问题驱动法，引导学生探究圆心角、弧和弦心距之间的关系。
2. 利用几何画板或实物模型，直观展示圆心角、弧和弦心距的特点。
3. 运用小组合作学习，让学生在探究中互相交流、互相学习。
4. 创设生活情境，让学生运用圆心角、弧和弦心距的关系解决实际问题。
七、教学评价1. 课堂练习：设计一些练习题，检查学生对圆心角、弧和弦心距之间关系的掌握程度。
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A． =2 B． > C． <2 D．不能确定
*3、如图1，⊙O中，如果 =2 ，那么（）
A．AB=2ACB．AB=AC C．AB<2ACD．AB>2AC
(1) (2)
4、一条弦长恰好为半径长，求此弦所对圆心角的度数．
5、如图2，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，求弦CE的长度。
（二）自学课本Ｐ82---P83思考下列问题：
举例说明什么是圆心角？
2、教材Ｐ82探究中，通过旋转∠AOB，试写出你发现的哪些等量关系？为什么？
在圆心角的性质中定理中，为什么要说“同圆或等圆”？能不能去掉？
4、由探究得到的定理及结论是什么？
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，所对的也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的相等，所对的也相等．
“同圆或等圆中，两个、两条、两条中有一组量相等，
它们所对应的其余各组量。”
三、自学检测：
1、教材P83练习1.（直接填写在教材上）
2、教材P83练习2.
解：
【新知应用】
（见课件）
2．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．
主备人
张红军
年级主任签字
位六峰
使用人
修改
补充
（2）如果OE=OF，那么？∠AOB与∠COD呢？
【畅谈收获】
【达标检测】（带*为选做）
1、如果两个圆心角相等，那么（）
A、这两个圆心角所对的弦相等; B、这两个圆心角所对的弧相等
C、这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D、以上说法都不对
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
修改
补充
课题
《弧、弦、圆心角》教学案
学习目标
掌握圆心角的概念，
2、掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个量就相等，及其它们在解题中的应用
学习过程
【自主探究】
（一）复习引入
1、圆上任意两点之间的线段叫，圆上叫圆弧。
2、能够的两个圆是等圆。在同圆或等圆中，能够弧叫等弧。