投影与视图 复习辅导讲义
人教版九年级下册数学《投影》投影与视图说课教学复习课件
无意之中，他发现这四个时刻广场的旗杆在地面上
的影子的长度各不相同，那么影子最长的时
为 上午8时.
巩
固
练
习
练习4 如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的
小明从距路灯的底部（O点）20米的A点沿OA所在的
直线行走14米到B点时，影子的长度是变长了还是变
01
正投影的概念
一般地，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。
投影的分类
A
C
B
A
C
B
01
探索与思考（线的正投影）
如图，把一根直的细铁丝 (记为线段AB) 放在三个不同位置.
(1) 铁丝平行于投影面；线段A’B’
AB=A’B’
(2) 铁丝倾斜于投影面；线段A’’B’’ AB>A’’B’’
(3) 铁丝垂直于投影面 (铁丝不一定要与投影面有交点). 点A’’’
则AB≥CD，
故答案选：D.
C．AB＝CD
）
D．AB≥CD
02
练一练
3．（2018·南通市启秀中学初三期中）木棒长为1.5m，则它的正投影的长一定（
A．大于1.5m
B．小于1.5m
C．等于1.5m
D．小于或等于1.5m
）
【答案】D
【详解】
正投影的长度与木棒的摆放角度有关系，但无论
怎样摆都不会超过1.5 m．
索
新
知
由平行光线形成的
投影叫做平行投影。
探
索
新
知
知识点2 中心投影
皮影戏中的影像是如何形成的？
皮影戏是利用灯
光的照射，把影子的
影态反映在银幕（投
专题27 投影与视图的核心知识点精讲(讲义)(全国通用)
专题27 投影与视图的核心知识点精讲1.掌握平行投影和中心投影的区别和性质；2.根据简单几何体或简单组合几何体判断其三视图；3.掌握立体图形的展开与折叠。
考点1：投影1．投影：在光线的照射下，空间中的物体落在平面内的影子能够反映出该物体的形状和大小，这种现象叫做投影现象．影子所在的平面称为投影面．2．平行投影、中心投影、正投影（1）中心投影：在点光源下形成的物体的投影叫做中心投影，点光源叫做投影中心．【注意】灯光下的影子为中心投影，影子在物体背对光的一侧．等高的物体垂直于地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长．（2）平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影．【注意】阳光下的影子为平行投影，在平行投影下，同一时刻两物体的影子在同一方向上，并且物高与影长成正比．考点2:视图1．视图：由于可以用视线代替投影线，所以物体的正投影通常也称为物体的视图．2．三视图：1）主视图：从正面看得到的视图叫做主视图．2）左视图：从左面看得到的视图叫做左视图．3）俯视图：从上面看得到的视图叫做俯视图．【注意】在三种视图中，主视图反映物体的长和高，左视图反映了物体的宽和高，俯视图反映了物体的长和宽．3．三视图的画法1）画三视图要注意三要素：主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”．2）注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线．【题型1：平行投影与中心投影】【典例1】（2021•绍兴）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是（）A．2m B．3m C．m D．m【变式1-1】（2021•南京）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板．在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2020•贵阳）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（）A．B．C．D．【题型2：三视图】【典例2】（2023•德州）如图所示几何体的俯视图为（）A．B．C．D．【变式2-1】（2023•沈阳）如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．【变式2-2】（2023•枣庄）榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（）A．B．C．D．【变式2-3】（2023•青岛）一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．【变式2-4】（2023•金华）某物体如图所示，其俯视图是（）A．B．C．D．【题型3：由三视图还原几何体】【典例3】（2023•淮安）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（）A．12πB．15πC．18πD．24π【典例3-1】（2023•河北）如图1，一个2×2的平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2，平台上至少还需再放这样的正方体（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式3-2】（2023•呼和浩特）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．B．C．D．【变式3-3】（2023•湖北）如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（）A．三棱柱B．圆柱C．三棱锥D．圆锥一．选择题（共8小题）1．用3个同样的小正方体摆出的几何体，从正面看到的形状图如图所示，则这个几何体可能是（）A．B．C．D．2．下列四个几何体中，从正面看和从上面看都是圆的是（）A．B．C．D．3．从正面、左面、上面观察某个立体图形，得到如图所示的平面图形，那么这个立体图形是（）A．B．C．D．4．日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．则晷针在晷面上形成的投影是（）A．中心投影B．平行投影C．既是平行投影又是中心投影D．不能确定5．下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（）A．B．C．D．6．如图，在一间黑屋子的地面A处有一盏探照灯，当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是（）A．变大B．变小C．不变D．不能确定7．如图是小红在一天中四个时刻看到的一棵树的影子的图，请你将它们按时间先后顺序进行排列（）A．①②③④B．①③④②C．②①④③D．④②①③8．如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE＝1.8m，窗户下檐到地面的距离BC ＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（）A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m二．填空题（共1小题）9．一天下午，小红先参加了校运动会女子200m比赛，然后又参加了女子400m比赛，摄影师在同位置拍摄了她参加这两场比赛的照片，如图所示，则小红参加200m比赛的照片是．（填“图1”或“图2”）三．解答题（共1小题）10．如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体．从正面、左面、上面观察该几何体，在方格图中画出你所看到的几何体的形状图．（用阴影表示）一．选择题（共7小题）1．如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中a的值为（）A．B．4C．2D．2．如图所示的是由两个长方体组成的几何体，这两个长方体的底面都是正方形，则该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．如图所示是一个由若干个相同的正方体组成的几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少是（）A．5个B．6个C．11个D．13个4．如图，是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.6m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（）A．0.64πm2B．2.56πm2C．1.44πm2D．5.76πm25．如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为（）A．320cm B．395.2cm C．297.9cm D．480cm6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A．B．C．D．7．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）A．9πB．6πC．3πD．（3+）π二．填空题（共3小题）8．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（4，4）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，2），（6，2）．则木杆AB在x轴上的影长CD为．9．如图，在直角坐标系中，点P（3，2）是一个点光源．木杆AB两端的坐标分别为（2，1），（5，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为．10．航拍器拍出的照片会给我们视觉上带来震撼的体验，越来越受追捧．如图，航拍器在空中拍摄地面的区域是一个圆，且拍摄视角α固定：（1）现某型号航拍器飞行高度为36m，测得可拍摄区域半径为48m．若要使拍摄区域面积为现在的2倍，则该航拍器还要升高m；（2）航拍器由遥控器控制，与（1）中同型号的航拍器最远飞行距离为距遥控器2000m，则该航拍器可拍摄区域的最大半径为m．（忽略遥控器所在高度）三．解答题（共1小题）11．李明在参观某工厂车床工作间时发现了一个工件，通过观察并画出了此工件的三视图，借助直尺测量了部分长度．如图所示，该工件的体积是多少？1．（2023•大庆）一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（）A．B．C．D．2．（2023•广州）一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（）A．B．C．D．3．（2023•陕西）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是⊙O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，则⊙O的半径OA为（）A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm4．（2023•牡丹江）由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（）A．6B．7C．8D．95．（2023•贵州）如图所示的几何体，从正面看，得到的平面图形是（）A．B．C．D．6．（2023•自贡）如图中六棱柱的左视图是（）A．B．C．D．7．（2021•毕节市）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7m 的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为m．8．（2022•杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，则AB＝m．9．（2022•徐州）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN＝30°．在阳光下，小明观察到AB在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为180cm．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．。
视图与投影专题复习
视图与展开图专题复习基础知识思维导图第一节投影与视图核心考点1 投影1.中心投影：由同一点（点光源）发出的光线所形成的投影.2.平行投影：平行光线所形成的投影.正投影：与投影面垂直的投影光线所形成的投影.核心考点2 三视图视图：从某一个角度观察一个物体时，所看到的图像叫做物体的一个视图. 主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图.左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图.俯视图：在水平面内得到的由上到下观察物体的视图.常见几何体的三视图：核心母题1 投影1. 如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC﹙假定AC＞AB﹚，影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC；②m=AC；③n=AB；④影子的长度先增大后减小．其中，正确结论的序号是．2. 下列四幅图形中，表示两颗小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（）思路方法1.根据中心投影的特点确定投影光线，正确理解中心投影的变换规律，抓住点B的运动轨迹，以A为圆心，AB为半径的圆上的一段弧，影长就是光源与弧上点连线与地面交点到点A的距离，明白这些，解答就顺利了.2.抓住平行投影的特点，投影光线是平行的，动手画一画即可.母题解析1.木杆绕点A按逆时针方向旋转时，影长逐渐变长，当AB与光线BC垂直时，影长最大，因为m最大，所以m＞AC，所以①成立，②不成立；当影长取到最大值后，继续运动，影长开始变短，当AB与地面重合时，影长最短，此时影长为AB，所以n=AB，所以③成立；由上可知，影子的长度先增大后减小，所以④成立．故正确的结论是①③④.2.同一时刻，平行投影形成的影子在物体的同侧，所以B,C错误；同一时刻，平行投影的影子满足物高与影长成正比，所以D错误.故选A.知识链接1.（1）过影子末端和物体顶端作射线；（2）影长就是物体底端与顶端投影点的距离.2.平行投影有如下特点：（1）同一时刻，影子在物体的同侧；（2）同一时刻，影子与物高成正比；（3）投影光线一定是平行的.核心练习11.如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量学校旗杆CD的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14m，则旗杆CD高度是 ( )A． 9m B．10.5m C．12m D．16m2.在某一时刻，测得一根高为1.2m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为45m，那么这栋楼的高度为 m．3.如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙角距离CE=5米，窗口高AB=2米，那么窗口底边离地面的高BC=__________米.核心母题2 三视图类型1 根据几何体确定视图1.下列四个几何体中，主视图为圆的是（）2.如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是( )思路方法1.根据常见几何体的三视图可以直接判断.2.对于几何体视图的判断要严格按照视图的定义去故ui饭画出，后对照选择.母题解析1.解：球的主视图是圆，所以选B..2. 解：几何体有两列，所以俯视图的基础是水平的两个正方形，又左边列前面有一个几何体，所以在左边列正方形前面再画一个正方形，所以选A.规律总结熟记常见几何体的三视图是提高判断准确率和解题效率的关键.对于有正方形构成几何体的俯视图画法有如下技巧：（1）从前面看，按照自左到右顺序标出列数的序号：1.2.3等；（2）画基础图有几列就按照自左到右顺序依次画几何小正方形，这表示基础；（3）完善画仔细观察几何体的各列特点，是前伸还是后展，前伸的，在对应小正方形的前面接着画正方形，后展的，在对应小正方形的后面接着画正方形；（4）这列上有几个几何体，该列就有几个正方形.类型2 根据视图确定几何体1.右图是某几何体的三视图，那么这个几何体是（）A．三菱锥 B．圆柱 C．球D．圆锥2.右图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱D．圆锥思路方法1.根据常见几何体的三视图可以直接判断.2.熟记不同几何体的三视图是提高判断准确率的关键.母题解析1.解：主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是圆，所以这个几何体是圆锥，所以选D.2. 解：主视图是两个长方形，左视图是长方形一定是棱柱，俯视图是三角形，所以这个几何体是三棱柱，所以选A.规律总结几何体是棱柱，判定方法：主视图、左视图都是长方形，确定是棱柱；俯视图的边数确定棱柱的棱数；几何体是棱锥，判定方法：主视图、左视图都是三角形，确定是棱锥；俯视图的边数确定棱锥的棱数.核心练习21.若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是（）A.球B.圆柱C. 圆锥D. 三棱柱2. 如图是几何体的三视图，该几何体是（）A．正三棱柱B．正三棱锥C．圆柱D．圆锥3. 下列几何体中，俯视．．图．为三角形的是( )4.如图,两个等直径圆柱构成的T形管道，则其俯视图正确的是（）5.如图,左图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（）族手鼓的轮廓图，其俯视图是（）7. 下列四个几何体中，主视图为圆的是（）第二节展开图核心考点展开图展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开可以展成平面图形，这个平面图形就叫做这个立体图形的展开图.核心母题展开图1.右图是某个几何题的展开图，该几何体是（）A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱2.如图是一个正方体的表面展开图，那么原正方体中与“祝”字所在的面相对的面上标的字是（）A．考 B．试 C．顺D．利3.把图1所示的正方体的展开图围成正方体（文字露在外面），再将这个正方体按照图2，依次翻滚．．到第1格，第2格，第 3格，第4格，此时正方体朝上一面的文字为（）A．富 B．强 C．文 D．民4.）如图，是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图为（）5. 下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（）思路方法1.展开图的侧面都是长方形，意味着该几何体是一个柱体，且为棱柱；上下两底面的展开图是三角形，意味着棱柱的底面是三角形，综上所述，该几何体是三棱柱.2. 根据识记的展开图确定对面，也可以逆向思维，把该处的展开图折叠成几何体，后确定对面，时间允许的话，可以动手一试，确保不丢分.3. 理解滚动过程中，立方体的变化，从而确定答案，此题也可以动手制作一个模型演示.4. 先根据三视图确定几何体，再根据几何体确定展开图.5. 看准展开图的形状，看准展开图中对应形状的个数，只有形状相符，个数相同才正确.母题解析1.∵三个侧面都是长方形，且底面展开时三角形，∴该几何体是三棱柱.故选A.2. 以考为底，将展开图折叠成几何体，不难发现，左右相对的是“你”，“试”，上下相对的“考”，“顺”，前后相对的“祝”，“利”，∴选D.3. 根据展开图知道：富与文相对，民与明相对，强与主相对，第一次翻滚，“民”沉底，上为“明”，前面为“富”；第二次翻滚，“富”沉底，上为“文”，，此时前面是“强”；第三次翻滚，“强”沉底，前面是“文”，第四次翻滚，“文”沉底，所以上面是“富”，故选A.4. 根据题意知，这个几何体是圆柱，圆柱的展开图侧面是长方形，两个底面是圆，所以选A.5. 因为四棱锥的侧面是四个三角形，底面是正方形，所以它的展开图有四个三角形和一个正方形组成，A项错误；圆锥由侧面和底面两部分组成，侧面展开图是扇形，底面是一个圆，故D项错误；正方体的平面展开图中没有“7”字形，故C项错误，故选B.规律总结1.解答此类问题，把握两个方向，看侧面展开图的形状，判断几何体是锥体，柱体还是球；看底面展开图的形状，判断几何体是圆锥，圆柱，球，几棱柱，几棱锥.2.解答这类问题，不需要死记硬背，动手制作模型几何体是最好解决方法，特殊展开图也有一定的规律，如本题，它的规律有两条：异侧相对；同线时，隔一相对.自己归纳其它展开图的规律.3. 抓住翻滚的特点，确定谁是底面，谁是前面，问题解答就比较顺利，也可以动手制作一个模型，实际操作，得到答案.4. 看准展开图的形状，看准展开图中对应形状的个数，只有形状相符，个数相同才正确. 核心练习1.下图可以折叠成的几何体是（）A．三棱柱B．圆柱C．四棱柱D．圆锥2. 右图是某个几何体的展开图，该几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．圆台D．四棱柱3.如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（）4.在与国际友好学校交流活动中，小敏打算制做一个正方体礼盒送给外国朋友，每个面上分别书写一种中华传统美德，一共有“仁义礼智信孝”六个字．如图是她设计的礼盒平面展开图，那么“礼”字对面的字是 ( )A．义B．仁 C．智D．信5.右图是一个正方体的平面展开图，那么这个正方体“美”字的对面所标的字是 ( ) A．让B．更 C．活 D．生6. (如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，“你”字一面相对的面上的字是 ( )A．梦 B．我 C．中 D．国7. 若正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，则把每个小格的顶点叫做格点．现有一个表面积为12的正方体，沿着一些棱将它剪开，展成以格点为顶点的平面图形，下列四个图形中，能满足题意的是（）参考答案核心练习11. 答案：C解析：标杆的物高为1.5米，影长为2米，旗杆的物高为CD，影长为16米，利用同一时刻，物高与影长成正比，可得1.5216CD=,所以1.5(214)2BE ACCDAB⋅⨯+===12.所以选C.2.答案：18.解析：利用同一时刻物高与影长成正比，1.2345=楼高，解得，楼高=18.3. 答案：52.解析:BC的物高为x米，影长为5米，物高AC为（x+2）米，其影长为DC=9米，利用同一时刻物高与影长成正比，x x+2=54+5,解得x=52.核心练习21.答案：C解析：圆锥的俯视图是圆，从上面向下看，能看到圆锥的顶点，所以俯视图的圆是带圆心的圆锥的主视图和左视图都是三角形，故选C.2.答案：A解析：圆柱、圆锥的三视图中有圆，故排除C、D项，正三棱锥的侧面是三角形，所以排除B项，故选A项.3.答案：D解析：用排除法，圆柱的俯视图是圆，长方体的俯视图是长方形，圆锥的俯视图是圆，三棱柱的俯视图是三角形．故选D.4.答案：B解析：横向圆柱的俯视图是长方形；竖向圆柱的俯视图是圆，且圆在长方形内部，故选B.5.答案：A解析：左视图的画法：（1）.由里到外，按照1,,2,3，…顺序标出几何体的列数；（2）.将上述列数转90度水平抒写即按照自左到右的顺序依次写1,,2,3，…（3）.数出该列中最高的正方形数，（4）.在(2)中相应列上方依次添加小正方形，个数等于（3）中的数目.（5）.知道结束。
《投影与视图》复习课
第4章复习 ┃ 知识归纳
(3)阳光下同一时刻不同物体及影长与光线构成的三角形相 似．
2．视图 三视图是 主视图 、 俯视图 、 左视图 的统称． 三视图位置有规定，主视图要在 左上方 ，它的下方应 是 俯视图 ， 左视图 坐落在右边．
三视图的对应规律 主视图和俯视图 长对正 ；主视图和左视图 高平齐 ；左视 图和俯视图 宽相等 .
第4章复习 ┃ 考点攻略
► 考点四 考查平行投影的应用
例4 某校墙边有两根木杆． (1)某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图29－6所示，你能画 出乙木杆的影子吗？(用线段表示影子) (2)在图29－6中，当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好 不落在墙上？ (3)在你所画的图中有相似三角形吗？为什么？第4章复习 ┃ 考点攻略
第4章复习 ┃ 考点攻略
第4章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 由三视图判断组成原几何体的小正方体的块数的一般解法 是：(1)数出主视图各列(竖为列)上正方形的个数，将数字分别填 在俯视图所对应的列中；(2)再数出左视图各列上正方形的个数， 将数字分别填在俯视图所对应的行(横为行)中；(3)在俯视图中的 同一个小正方形中，前后两次数字相同的只取一个数，前后两次 数字不同的取较小的数，最后将俯视图中各小正方形上的数字相 加所得结果就是组成原几何体的小正方体的总块数．
第4章复习 ┃ 考点攻略
第4章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 所要画出的乙木杆的影子与甲木杆形成的影子是同一 时刻，根据同一时刻两物体的高度比等于其影长的比，同时，在 同一时刻太阳光线是互相平行的，平行移动乙杆，使乙杆顶端的 影长恰好抵达墙角．
第4章复习 ┃ 考点攻略
► 考点五 考查中心投影的应用
例5 如图29－8所示，路灯(P点)距地面8米，身高1.6米的 小明从距路灯的底部(O点)20米的A点，沿OA所在的直线行走14 米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多 少米？
(北师大版数学九上)第五章 投影与视图讲义
第五章投影与视图第4讲投影与视图一.知识梳理(一)投影【一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面】1.中心投影(1)定义：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，如物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影.【在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化；固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化】(2)中心投影具有以下特点：①中心投影的投影线交于一点；②一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影；③平面为投影面，各射线为投影线；④空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了可以相交的直线；⑤中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致；⑥如果一个平面图形所在的平面与投射面平行，那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的，并且中心投影后得到的图形与原图形相似.名师点金：中心投影的三个特点：(1)等高物体垂直地面放置：①离点光源越近，影子越短；②离点光源越远，影子越长.(2)等长物体平行地面放置：①离点光源越近，影子越长；②离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度.(3)点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一条直线上.2.平行投影(1)定义：在一束平行光线(如阳光)照射下形成的投影叫做平行投影。
【在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化】(2)分类平行投影法又分为斜投影法和正投影法。
①斜投影法：投射线倾斜于(＜90°)投影面，所得投影称为斜投影，如图所示.②正投影法：投射线垂直于投影面，所得投影称为正投影，如图所示.(3)性质①不垂直于投影面的直线或线段的正投影仍是直线或线段；②垂直于投影面的直线或线段的正投影是点；倾斜于投影面的线段，其正投影仍为线段，但比实际长度要短.③垂直于投影面的平面图形的正投影是直线或线段的一部分.(4)特点①平行直线的投影仍是平行或重合直线.②平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且相等.③与投影面平行的图形，它的投影与这个图形全等；倾斜于投影面的平面图形，其投影仍为一平面图形.④在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.名师点金：平行投影的特征及画法：(1)特征：①平行投影中，形成影子的光线是平行的，平行物体在地面上形成的影子平行或在同一直线上；②同一时刻，太阳光下，物高与影长成正比例；(2)画法：连接物体顶端与影子顶端得到形成影子的光线，过物体顶端作已知光线的平行线得到物体的影子.补充：在北半球，太阳一天中的朝向变化：东→东南→南→西南→西；在北半球，影子一天中的朝向变化和长短变化：朝向变化：西→西北→北→东北→东；长短变化：长→较长→短→较长→长.(二)三视图【能够正确反映物体长、宽、高尺寸的正投影工程图(主视图，俯视图，左视图三个基本视图)为三视图】•主视图—从正面看到的图左视图—从左面看到的图俯视图—从上面看到的图•画物体的三视图时,要符合如下原则:大小：长对正,高平齐,宽相等.•虚实:在画图时,看的见部分的轮廓通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线.二．实战演练考点一中心投影与平行投影（一）中心投影例1：(1)小刚走路时发现自己的影子越走越长，这是因为（）A.从路灯下走开，离路灯越来越远B.走到路灯下，离路灯越来越近C.人与路灯的距离与影子长短无关D.路灯的灯光越来越亮(2)如图，一球吊在空中，当发光的手电筒由远及近时，落在竖直木板上的影子会逐渐______.例2：某公司的外墙壁贴的是反光玻璃，晚上两根木棒的影子如图（短木棒的影子是玻璃反光形成的），请确定图中路灯灯泡所在的位置.例3：如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米,继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米．求路灯A的高度AB.典例分析（二）平行投影例1：如图：（A）（B）（C）（D）是一天中四个不同时刻的木杆在地面上的影子，将它们按时间先后顺序进行排列，为______．例2：已知两个电线杆在太阳光下形成两条不同的线段，那么这两条线段可能______，也可能______．例3：春分这一天，小彬上午9:00出去，测量了自己的影长，出去一段时间后回来时，发现这时的影长和上午出去时的影长一样长，则小明出去的时间大约为______小时．例4：某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为21米，留在墙上的影高为2米（如图），求旗杆的高度．例5：如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），有一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上影长为10米，留在斜坡上的影长为2米，∠DCE为45°，则旗杆的高度约为多少米？（参考数据：2≈1.4，3≈1.7）例6：如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12m，塔影长DE＝18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为____m.考点二视图例1：(1)如图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图是（）(2)如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱，现将图1切割成图2的几何体，则下列选项图是图2的俯视图是（）例2：画出如图所示几何体的三视图.例3：根据如图所示的三种视图，画出相应的几何体.例4：如图,给出的是一个由若干相同的小正体搭成的立体图形的主视图和左视图，则图中最少有___个小正方体，最多有___个小正方体.1.晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是（）A.变长B.变短C.先变长后变短D.先变短后变长2.某一同学在上午上学路上和下午放学路上都看不到自己的影子，则该同学的家在学校的（） A.东边 B.南边 C.西边 D.北边3.正方形纸片在阳光下的投影不可能是下列那些？①正方形②矩形③菱形④梯形⑤线段⑥平行四边形4.下列图中是在太阳光下形成的影子的是（）5.如图，是由三个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的俯视图是（）课后作业6.由若干个小正方体构成的几何体的主视图和左视图都是如图所示，则该几何体最多有_____个小正方体，最少有_____个小正方体．7.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（）A．11.5米 B．11.75米C．11.8米D．12.25米8.画出如图所示几何体的三视图.9.根据如图所示的三种视图，你能想象出相应几何体的形状吗？(画出几何体的草图)10.晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞，小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高，于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长，已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ，请你根据以上信息，求出小军身高BE的长（结果精确到0.01米）11.“未爱广场”旗杆AB旁边有一个半圆的时钟模型，如图，时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合，半圆的半径2米，旗杆的底端A到钟面9点刻度C的距离为5米，一天小明观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到时钟的11点的刻度上，同时测得一米长的标杆的影长1.6米，求旗杆AB的高度？1.在同一时刻，两根长度不等的竿子置于阳光之下，但看到它们的影长相等，那么这两根竿子的相对位置是（）A．两竿都垂直于地面 B．两竿平行斜插在地上C．两根竿子不平行D．一根竿倒在地上2.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（）A.小明的影子比小强的影子长B.小明的影子比小强的影子短C.小明的影子和小强的影子一样长D.无法判断谁的影子长3.(1)如图，是一个由相同小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（）(2)如图，正四棱锥的俯视图是选项中的（）直击中考4.一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形，，该几何体的侧面积是____cm².5.画出下列几何体的三视图6.已知某立体图形的三视图如下，请你画出这个立体图形.7.一天晚上，李明和张龙利用灯光下影子的长来测量一路灯D高度，如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子是线段AB，并测得AB=1.25m,已知李明直立时的身高为1.75m.求路灯的高CD的长.（结果精确到0.1m）。
第五章 投影与视图 复习课课件 北师大版九年级上册数学(19张PPT)
预习导学
激趣导入
在这个信息技术发达的时代，多媒体教室已成为必不可少 的教学工具，而构成多媒体教室最主要的设备就是投影仪.多媒 体液晶投影仪是整个多媒体演示教室中最重要的也是最昂贵的 设备，它连接着计算机系统、所有视频输出系统及数字视频展 示台，把视频、数字信号输出显现在大屏幕上.
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3.由两个物体及其投影确定光源的方法:过每一物体的顶端 与其投影的顶端作直线，若这两条直线 平行 ，则光源是太 阳光源(平行光线)；若这两条直线 相交 ，则光源是点光源， 交点 即为点光源所在的位置.
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4.视图 (1)视图的概念:从正面看到的视图叫 主 视图，反映了 物体的 长 和 高 ；从上面看到的视图叫 俯 视图，反 映了物体的 长 和 宽 ；从左边看到的视图叫 左 视图， 反映了物体的 高 和 宽 . (2)画视图应注意的问题:主视图与俯视图要 长 对正， 主视图与左视图要 高 平齐，左视图与俯视图要 宽 相等.
合作探究
中心投影 2.圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后， 在地面上形成了阴影(如图).已知桌面的直径1.2米，桌面距离地 面1米.若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为( B ) A.0.36π平方米 B.0.81π平方米 C.究
方法归纳交流 在灯光下，离点光源近的物体它的影子短， 离点光源远的物体它的影子长，当白炽灯向上移时，阴影会逐 渐变小；常用图形相似构建比例关系求解相关问题.
核心梳理 1.平行投影. (1)平行投影的概念:物体在光线照射下，会在地面或墙壁 上留下它的影子，这就是 投影 ；太阳光线可看作平行的， 像这样的光线照射到物体上，所形成的投影即为 平行 投影.
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(2)平行投影的性质:在太阳光下，不同物体在同一时刻， 物体、太阳光与其影子组成的三角形是 相似 的，即物体的 物高与影长成 正 比例，物体与影子上的对应点的连线互相 平行 ；在不同时刻，同一物体的影长的方向和大小均 在改 变 ，一天中物体在阳光下的影子的变化方向是西→ 西北 → 北 → 东北 →东，其长度是上午越来越 短 ，正午 最短，下午越来越 长 .
投影与视图复习(超经典)
投影分析：分析组合体的投影 理解其结构
识图：根据投影图识别组合体 的结构
组合体的识图方法与步骤
观察组合体的 整体形状和结
构
分析组合体的 各个组成部分 及其相互关系
识别组合体的 投影图包括主 视图、俯视图、
侧视图等
根据投影图想 象组合体的立 体形状和结构
结合实际理解 组合体的功能
和用途
总结组合体的 识图方法和步 骤提高识图能
确定轴测投影的比例：根据实际需要选择合适的比例如 1:1或1:2
绘制轴测投影的轮廓：根据物体的形状和尺寸绘制出轴测 投影的轮廓线
绘制轴测投影的细节：根据物体的细节和特征绘制出轴测 投影的细节线
标注轴测投影的尺寸：根据物体的尺寸和比例标注出轴测 投影的尺寸线
检查轴测投影的准确性：检查轴测投影的准确性确保与实 际物体相符合
正等轴测图的画法
确定轴测投影的方向：正面、侧面、 顶面
确定轴测投影的比例：1:1、1:2、 1:3等
确定轴测投影的尺寸：长、宽、高
确定轴测投影的视角：正视、侧视、 俯视等
确定轴测投影的线条：直线、曲线、 折线等
确定轴测投影的阴影：明暗、深浅、 虚实等
斜二轴测图的画法
确定轴测投影的方向：选择合适的角度如45度或60度
的交点 ● 画出物体在视平面上的透视线与物体的交点与视平面的交点与视平面的交点与视平面的交点与视平面的交点与视平面的交点与视平面的交点与视平面的交点与视平面
透视图的辅助线与辅助点
辅助线：用于确定透视图中物体的位置和形状
辅助点：用于确定透视图中物体的透视关系
辅助线与辅助点的关系：辅助线与辅助点共同构成了透视图的基本框架 辅助线与辅助点的应用：在绘制透视图时需要根据辅助线与辅助点的位置 和关系确定物体的位置和透视关系。
第三十二章投影与视图复习课课件冀教版九年级数学下册
解：小明的身影变短了.
∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP,
∴△MAC∽△MOP 即 MA 1.6 ,
20+MA 8
MA = AC , MO OP
解得MA=5.
同理，由△MAC∽△MOP可得NB=1.5.
所以小明的身影变短了5－1.5=3.5（米）.
学习目标
知识梳理
典型例题
当堂检测
50
100 50
100
学习目标
知识梳理
典型例题
当堂检测
课堂总结
解：由三视图可知，密封罐的现状是正六棱柱． 密封罐的高为50mm，店面正六边形的直径为100mm，边长
为50mm，图是它的展开图． 由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为
65050 26 1 5050sin 60 2
6
502
1
第三十二章 投影与视图 复习课
学习目标
知识梳理
典型例题
当堂检测
课堂总结
1.掌握中心投影与平行投影的区分与联系，理解正投影的概念 2.明确三视图的意义，会画简单物体的三视图 3.能够根据三视图还原简单几何体 4.了解直棱柱和圆锥的侧面展开图，并进行简单计算
学习目标
知识梳理
典型例题
当堂检测
课堂总结
圆柱、圆锥、球、直三棱柱、直四棱
视
视图
柱等简单几何体的三视图
图
与
投
平行投影
影
投影
中心投影
灯光与影子，视点 、视线和盲区
学习目标
知识梳理
典型例题
当堂检测
课堂总结
1 平行投影与中心投影
1.太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影. 在同一时刻,物体高度与影子长度成比例. 物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面
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A、
B、
C、
D、
17. （新疆建设兵团，8，5 分）某几何体的三视图及相关数据如图所示，该几何体的全面积 s 等于（ ）
1 A、 πa（a＋c） 2
1 B、 πa（a＋b） 2
C、πa（a＋c）
D、πa（a＋b）
18. （重庆綦江，3，4 分）如图，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形， 其俯视图是（ ）
C、
D、
2. （江苏连云港，8，3 分）如图，是由 8 个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图 都是 2×2 的正方形，若拿掉若干个小立方块后（几何体不倒掉 ），其三个视图仍都为 2 ．．． ×2 的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D ．4
3. （江苏南京，5，2 分）如图是一个三棱柱．下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的 是（ ）
）
A.
B.
，3 分）如图是由几块小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方体中的 数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图是 （ ）
9.（江苏镇江常州，3，2 分）已知某几何体的一个视图（如图），则此几何体是（
）
A．正三棱柱 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆柱 10. （南昌，，3，3 分）将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图乙），则 图乙中实物的俯视图是（ ）
6
15. （四川凉山，11，4 分）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个 长方体的表面积为（ ） A． 66 B． 48 C． 48 2 36
3 2
D． 57
4 左视图 主视图 俯视图
16.（天津，7，3 分）如图是一支架（一种小零件），支架的两个台阶的高度和宽度都是同 一长度，则它的三视图是（ ）
A、
B、
C、
D、 ）
4. （南通）下列水平放置的几何体中，俯视图是矩形的为（
A、
B、
C、
D、 ）
5. （江苏宿迁，3，3）下列所给的几何体中，主视图是三角形的是（
A、
B、
C、
D、
4
6.（泰州，4，3 分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（
）
A、圆锥 B、圆柱 C、长方体 D、球体 7. （盐城，3，3 分）下面四个几何体中，俯视图为四边形的是（
三、思想方法专题 专题 4 分类讨论思想 【专题解读】 一个几何体只给出了部分视图，条件很宽松时，要注意分类讨论． 例 11 用小方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图 29－92 所示，这样的几 何体有几种?
3
中考真题精选
1. （江苏淮安，4，3 分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A、
B、
A．
B．
C．
D．
7
19.（重庆市，6，4 分）如图，在四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图的形状不同 的是
A
B
C
D
6题图
20. （湖北潜江，2，3 分）如图所示，该几何体的俯视图是（
）
A．
B．
C．
D．
21. 一个几何体的三视图如下： 其中主视图和左视图都是腰长为 4， 底边为 2 的等腰三角形， 则这个几何体侧面展开图的面积为（ ）
投影与视图
知识网络结构图
复习辅导讲义
专题总结及应用
一、知识性专题 专题 1 画立体图形的三视图 例 1 如图 29－77 所示，这个几何体的主视图是图 29－78 中的
(
)
例 2 如图 29－79 所示的是一根钢管的直观图，则它的三视图为(如图 29－80 所示) ( )
例 3 由四个大小相同的正方体组成的几何体如图 29－81 所示，那么它的左视图是如 图 29－82 所示的 ( )
A.
B.
C.
D.
5
11. （山东日照，5，3 分）如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形 中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（ ）
A．
B．
C．
D． ）
12. （山西， 8， 2 分） 如图是一个工件的三视图， 图中标有尺寸， 则这个工件的体积是 （ 1cm 4cm （主视图） （左视图）
2㎝ 4㎝ （俯视图） （第 8 题） A． 13 cm
3 3 B． 17 cm
C． 66 cm3
D． 68 cm3 ）
13. （陕西， 2， 3 分） 下面四个几何体中， 同一几何体的主视图和俯视图相同的共有 （
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 14. （四川广安，9，3 分）由 n 个相同的小正方体堆成的几何体，其视图如下所示，则 n 的 最大值是（ ） A．18 B．19 C．20 D．21
(
)
A．圆锥体 B．球体 C．长方体 D．圆柱体 例 7 在 如 图 29 － 86 所 示 的 四 个 几 何 体 中 ， 左 视 图 是 四 边 形 的 几 何 体 共 有 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 例 8 如图 29－87 所示的是某几何体的展开图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)画出这个几何体的三视图； (3)求这个几何体的体积．(π 取 3.14)
1
例 4 由两块大小不同的正方体搭成如图 29－83(1)所示的几何体，它的主视图是如图 29－83(2)所示的 ( )
专题 2 由三视图到立体图形 例 5 如图 29－84 所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 l 的正三角形， 俯视图是一个圆及圆心，那么这个几何体的侧面积是 ．
例 6 某几何体的三种视图如图 29－85 所示，则该几何体可能是
D．4 个
2
例 9 如图 29－89 所示的是一个几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)根据所示数据计算这个几何体的表面积； (3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点 B 出发，沿表面爬到 AC 的中点 D，请你求出 这个线路的最短路程．
二、规律方法专题 专题 3 投影在实际生活中的应用 【专题解读】 投影在现实生活中有很多应用，解决这类问题时，应把它转化为数学问 题来解决． 例 10 如图 29－9l 所示，不透明圆锥体 DEC 放在直线 BP 所在的水平面上，且 BP 过 圆锥底面圆的圆心，圆锥的高为 2 3 m，底面半径为 2 m，某光源位于点 A 处，照射圆锥体 在水平面上留下的影长 BE＝4 m． (1)求∠ABC 的度数； (2)若∠ACP＝2∠ABC，求光源 A 距平面的高度．