2020高考理科数学冲刺卷解析版 (11)
2020高考数学(理)全真模拟卷11(解析版)
备战2020高考全真模拟卷11数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）第I 卷（选择题)一、 单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}|1213A x x =-≤+≤，{}2|log B x y x ==，则A B =I （）A ．(]0,1B ．[]1,0-C ．[)1,0-D ．[]0,1【答案】A【解析】【分析】化简集合A,B ，根据交集的运算求解即可.【详解】因为{}|1213[1,1]A x x =-≤+≤=-，{}2|log (0,)B x y x ===+∞，所以0,1]A B =I （，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.2．已知复数z =，则复数z 的共轭复数z =（ ）A 12i - B ．12 C 12i + D ．12+【答案】A【解析】【分析】复数z 实数化，即可求解.【详解】因为z ===，所以12z i =. 故选:A【点睛】 本题考查复数的除法运算，考查共轭复数定义，属于基础题.3．已知向量a r ，b r 满足||a =r ||1b =r ，且||b a -=r r a r 与b r 的夹角的余弦值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】【分析】 先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出12a b ⋅=r r ，再由向量夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为向量a r ，b r 满足||a =r ||1b =r ，且||b a -=r r所以2||2-=r r b a ，即2222+-⋅=r r r r b a a b ，因此12a b ⋅=r r ，所以cos ,4⋅<>===r r r r r r a b a b a b. 故选：C【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型. 4．已知tan 3α=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．10B ．710C ．10-D ．710- 【答案】B【解析】【分析】利用“1”的变换，所求式子化为关于sin ,cos αα的齐次分式，化弦为切，即可求解.【详解】22222cos 2sin cos 12tan 7cos sin 2cos sin 1tan 10ααααααααα+++===++. 故选:B【点睛】本题考查同角间三角函关系，弦切互化是解题的关键，属于基础题.5．设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （ ）A ．98B ．158C ．198D ．278 【答案】C【解析】【分析】利用3=-n n S a n 得出1231nn a a -=+，先求出1a ，再利用递推式求出3a 即可. 【详解】解：当2n ≥时，[]1133(1)nn n n n a S S a n a n --=-=----， 整理得1231n n a a -=+，又11131S a a ==-，得11a 2=， 21323112a a ∴=+=+，得254a =， 321523114a a ∴=+=+，得3198a =， 故选：C.【点睛】本题考查数列递推式的应用，是基础题.6．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为（ ）A ．114B ．17C ．528D ．514【答案】D【解析】【分析】直接根据概率公式计算即可．【详解】从八卦中任取两卦，基本事件有2828C =种，其中这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，基本事件共有10中，∴这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为p 514m n == 故选：D【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查函数与方程思想，是基础题．7．函数2sin 2x y x =-的图象大致是 A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据函数22x y sinx =-的解析式，根据定义在R 上的奇函数图像关于原点对称可以排除A ，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果【详解】当0x =时，0200y sin =-=故函数图像过原点，排除A 又12cos 2y x =-'Q ，令0y '= 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除B D ，故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化结合四个选项，只有C 符合要求故选C【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证。
2020年高考数学(理)金榜冲刺卷(一)解析版
f (x) cos x sin x (a sin x) ( sin x) a sin x 1 因 为 cos2 x 0 ， 所 以 a sin x 1 0 在 区 间
cos2 x
cos2 x ,
( π , π ) 恒成立,所以 a 1
因为
x
(
,
) ，所以
1
sin
x
32 3
1
2 所以 a 的取值范
3．4 张卡片上分别写有数字 1，2，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和
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为奇数的概率为（ ）
1
A．
3
1
B．
2
【答案】C
2
C．
3
3
D．
4
【解析】取出的
2
张卡片上的数字之和为奇数的抽取方法是一奇一偶，
C21C21 C42
=
2 3
9．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，直线 AC1 平面 .平面 截此正方体所得截面有如下四个
结论：①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状不可能是正五边形；
④截面面积最大值为 3 3 ．则正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①②④
D．①③④
【答案】D
【解析】对①,当 截此正方体所得截面为 B1CD1 时满足.故①正确.
【答案】B
【解析】根据题意有 f x cos2x 1 1 cos2x 2 3 cos2x 5 ，
2
2
2
所以函数 f x 的最小正周期为 T 2 ，且最大值为 f x 3 5 4 ，故选 B.
专题20 2020年全国普通高等学校统一招生考试数学冲刺试卷(全国I卷)(理)(解析版)
第I 卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{1,1,2,3,4,5}A =-，{|(1)(5)0}B x x x =∈--<N ，则AB =（ ）．A ．{3}B ．{2,3}C ．{2,3,5}D ．{1,1,5}-【答案】D 【解析】{|(1)(5)0}{2,3,4}B x x x =∈--<=N ，所以{1,1,5}A B =-.故选：D.2．设i 为虚数单位，复数z 满足()25z i -=，则在复平面内，z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】因为()25z i -=，所以()()()5252222i z i i i i +===----+， 由共轭复数的定义知，2z i =-+，由复数的几何意义可知，z 在复平面对应的点为()2,1-，位于第二象限. 故选：B3．某公司以客户满意为出发点，随机抽选2000名客户，以调查问卷的形式分析影响客户满意度的各项因素．每名客户填写一个因素，下图为客户满意度分析的帕累托图．帕累托图用双直角坐标系表示，左边纵坐标表示频数，右边纵坐标表示频率，分析线表示累计频率，横坐标表示影响满意度的各项因素，按影响程度（即频数）的大小从左到右排列，以下结论正确的个数是（ ）．①35.6%的客户认为态度良好影响他们的满意度； ②156位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度； ③最影响客户满意度的因素是电话接起快速；④不超过10%的客户认为工单派发准确影响他们的满意度． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】①认为态度良好影响他们满意度的客户比例为35.6%18.35%17.25%-=，故错误； ②156位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度，故正确； ③影响客户满意度的因素是电话接起快速，故正确；④认为工单派发准确影响他们满意度的客户比例为100%98.85% 1.15%-=，故正确. 故选：C . 4．函数()()1ln 1xxe xf x e -=+的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】()()1ln 1xxe xf x e -=+,其定义域为:(,0)(0,)-∞+∞,又()()()1ln 1ln ()11x xx xe x e xf x f x e e ------===-++,所以()f x 为奇函数,故排除A,C 选项,又当12x =时,1(1)ln 12()021e f e ⨯=<+, 所以排除D 选项, 故选:B.5．惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的.负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用.今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距为R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能221121111c U k q R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中c k 为静电常量，1x ，2x 分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移，且1x 和2x 都远小于R ，当x 远小于1时，()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A ．21232c k q x x RB ．21232c k q x x R - C ．2123c k q x x R D ．2123c k q x x R- 【答案】B 【解析】根据题意，221121111c U k q R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭21212c k q R R R R R R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭212121111111c k q x x x x R R R R⎛⎫⎪=+--⎪- ⎪++-⎝⎭， 因为1x 和2x 都远小于R ，当x 远小于1时，()1211x x x -+≈-+，所以212121111111c k q x x x x R R R R⎛⎫⎪+--⎪- ⎪++-⎝⎭222212121122221111+c k q x x x x x x x x R R R R R R R ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎛⎫≈+-+--+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()222212121122222c x x k q x x x x x x RR R R R R R ⎡⎤--≈-++---⎢⎥⎢⎥⎣⎦21232c k q x x R ≈-， 故选：B6．若曲线()xf x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（ ）A ．12e + B ．12e - C ．12D ．2e 【答案】A 【解析】()x f x mx e n =⋅+，则()()'1x f x m x e =+⋅，故()1f e =，()1f e '=，()11me n e m e e +=⎧∴⎨+=⎩，解得122m e n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12e m n ++=. 故选：A .7．据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有ABC 满足“勾3股4弦5”，其中3AC =，4BC =，点D 是CB 延长线上的一点，则AC AD ⋅=（ ）A ．3B ．4C ．9D ．不能确定【答案】C 【解析】因为3,4,5AC CB AB ===，所以222AC CB AB +=， 所以AC CB ⊥，所以0AC CB ⋅=，所以0AC CD ⋅=， 所以2()AC AD AC AC CD AC AC CD ⋅=⋅+=+⋅909=+=. 故选：C8．一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．403πB ．56πC ．1843πD ．104π【答案】C 【解析】由题意可知该几何体是球体被挖去一个圆锥，圆锥底面半径为332=6， 设球的半径为R ，可得(()22236R R =+-，解得4R =，所以该几何体的体积为(2341184236333R π⨯π⨯-⨯⨯π=. 故选：C ．9．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2m ，镜深0.25m ，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（ ）A ．0.5米B ．1米C ．1.5米D ．2米【答案】B 【解析】若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处， 如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程22x py = 集光板端点()1,0.25A ，代入抛物线方程可得24p =， 所以抛物线方程24x y =， 故焦点坐标是()0,1F.所以容器灶圈应距离集光板顶点1m . 故选：B10．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）． A ．21 B ．63C ．13D ．84【答案】B 【解析】因为130S =，3421a a +=，所以111313602521a d a d +⨯=⎧⎨+=⎩，解可得，3d =-，118a =，则7171876(3)632S =⨯+⨯⨯⨯-=．故选：B ．11．已知函数()14sin cos f x x x =-，现有下述四个结论： ①()f x 的最小正周期为π；②曲线()y f x =关于直线4πx =-对称； ③()f x 在5,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；④方程()2f x =在[],ππ-上有4个不同的实根. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④ B ．①③④C ．②③④D ．①②④【答案】D 【解析】()112sin 2,sin 2214sin cos 12sin 212sin 21,sin 22x x f x x x x x x ⎧-<⎪⎪=-=-=⎨⎪-≥⎪⎩， 作出()f x 在[],ππ-上的图象（先作出2sin 2y x =-的图象，再利用平移变换和翻折变换得到12sin 2y x =-的图象），如图所示，由图可知①②④正确，③错误.故所有正确结论的编号是①②④.故选:D.12．三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 互相垂直，1PA PB ==，M 是线段BC 上一动点，若直线AM 与平面PBC 6P ABC -的外接球的体积是（ ） A ．2π B ．4πC ．83πD ．43π 【答案】D 【解析】M是线段BC上一动点，连接PM，PA PB PC，，互相垂直，AMP∴∠就是直线AM与平面PBC所成角，当PM最短时，即PM BC⊥时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大.此时6 APPM=，6PM=，在直角PBC中，2612PB PC BC PM PC PC PC⋅=⋅⇒=+⨯⇒=. 三棱锥P ABC-扩充为长方体，则长方体的对角线长为1122++=.∴三棱锥P ABC-的外接球的半径为1R=，∴三棱锥P ABC-的外接球的体积为34433Rππ=.故选：D.第II卷非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．若x，y满足约束条件24010220x yx yx y-+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，则3z x y=+的最大值为______．【答案】5【解析】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示：目标函数3z x y =+，可化为直线3y x z =-+， 当3y x z =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大． 此时目标函数取得最大值，又由10220x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得3x =，4y =-，即()3,4A -，所以目标函数的最大值为3345z =⨯-=． 故答案为：514．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，425S S =，则此数列的公比q =____________. 【答案】1-或2± 【解析】设等比数列{}n a 的首项为10a ≠，公比为q ，425S S =，∴1q ≠， ∴()()421115111a q a q qq--=--，化简可得()()22140qq--=，解得1q =-或2q =±. 故答案为：1-或2±.15．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______.【答案】13【解析】根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科， 每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科；则有23436636C A =⨯=种情况，若甲辅导数学，有2212323212C A C A +=种情况， 则数学学科恰好由甲辅导的概率为13， 故答案为：13． 16．过双曲线2221(0)x y a a -=>上一点M 作直线l ，与双曲线的两条渐近线分别交于,P Q ，且M 为线段PQ 的中点，若POQ △（O 为坐标原点）的面积为2，则双曲线的离心率为______.【解析】由题意知，双曲线2221(0)x y a a-=>的两条渐近线方程为1y x a =±，设112211,,,P x x Q x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()12121,22x x M x x a +⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据点M 在双曲线2221x y a -=上，得()()22121222144x x x x a a +--=，得212x x a =，由双曲线的两条渐近线方程得1tan2POQ a∠= 222sin cos 22sin =2sin cos 22sin cos 22POQ POQ POQ POQ POQ POQ POQ ∠∠∠∠∠=∠∠+ 22212tan2tan 211POQPOQ a a∠==∠++ ，所以21222211121POQ a aS POQ x x a a a∆+=∠=⨯⨯⨯=+，而2POQS=，所以2a =，又1b =，所以5c =，离心率5e =.故答案为：5 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．平面四边形ABCD ，点,,A B C 均在半径为2的圆上，且6BAC π∠=.（1）求BC 的长；（2）若3BD =，2DBC BCD ∠=∠，求BCD ∆的面积. 【答案】（1）2；（2）352【解析】（1）设外接圆半径为2R =， 在ABC 中，6BAC π∠=，由正弦定理得12sin 422BC R BAC =∠=⨯=， 即2BC =； （2）在BCD 中，2DBC BCD ∠=∠，sin sin 22sin cos DBC BCD BCD BCD ∴∠=∠=∠∠则由正弦定理可得2cos CD BD BCD =⋅∠，又由余弦定理知222cos 2BC CD BD BCD BC CD +-∠=⋅，222()BD BC CD BD CD BC CD+-∴=⋅，又2BC =，3BD =， 解得215CD =，由余弦定理2222232151cos 22326BD BC CD CBD BD BC +-+-∠===-⋅⨯⨯，则35sin 6CBD ∠=， BCD ∴△的面积135sin 22BCDSBC BD CBD =⋅⋅∠=. 18．如图1，在多边形ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，1AB AF BC ===，2AD DE ==，四边形ADEF 为直角梯形，//AF DE ，90DAF ∠=︒．以AD 为折痕把等腰梯形ABCD 折起，使得平面ABCD ⊥平面ADEF ，如图2所示．（1）证明：AC ⊥平面CDE ．（2）求直线CF 与平面EAC 所成角的正切值． 【答案】（1）详见解析；（2）1919． 【解析】（1）证明：取AD 的中点M ，连接CM ，如下图所示：1AB AF BC ===，//BC AM ，由四边形ABCM 为菱形，可知12AM AD =， 在ACD 中，在90ACD ∠=︒， 所以AC DC ⊥．又平面ABCD ⊥平面ADEF ，平面ABCD 平面ADEF AD =，//AF DE ，90DAF ∠=︒，所以DE AD ⊥，DE ⊂平面ADEF ，所以DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以DE AC ⊥，又因为DE DC D ⋂=， 所以AC ⊥平面CDE ．（2）由平面ABCD ⊥平面ADEF ，如图取AD 的中点为O ，以O 为原点，以OA 为x 轴，其中y 轴，z 轴分别在平面ADEF 平面ABCD 中，且与AD 垂直，垂足为O 建立空间直角坐际系O xyz -．因为()1,1,0F ，13,0,22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,2,0E -，()1,0,0A ，33,0,22CA ⎛=- ⎝⎭，()2,2,0AE =-，33,1,2CF ⎛= ⎝⎭． 设平面CAE 的法向量(),,n x y z =，则00CA n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即330220x z x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令1x =，得(1,1,3n =．设直线CF 与平面EAC 所成的角为θ，则331522sin 1045CF n CF nθ+-⋅===⨯⋅， 所以19tan θ=．19．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆22221x ya b+=（0ab>>）的离心率是e，定义直线bye=±为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为23y=±，长轴长为4.（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：223x y+=的切线l，过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论.【答案】（1）22143x y+=；（2）在，证明见解析.【解析】（1）由题意得：23b abe c==，24a=，又222a b c=+，联立以上可得：24a=，23b=，21c=.∴椭圆C的方程为22143x y+=；（2）如图，由（1）可知，椭圆的类准线方程为23y=±，不妨取23y=，设(),23P x（x≠），则23OPk=，∴过原点且与OP垂直的直线方程为023y x=，当3=x时，过P点的圆的切线方程为3x=过原点且与OP垂直的直线方程为12y x=-，联立312xy x⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得：33,2A⎫-⎪⎪⎭，代入椭圆方程成立；同理可得，当0x =时，点A 在椭圆上；当0x ≠时，联立223412y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得1A ⎛⎫，2A ⎛⎫⎝， 1PA所在直线方程为()()20060x x y --=.此时原点O 到该直线的距离d ==∴说明A 点在椭圆C 上；同理说明另一种情况的A 也在椭圆C 上. 综上可得，点A 在椭圆C 上.20．已知函数()()2ln 1f x x a x =+-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()()0g x kx b k =+>，当0a =时，若对任意的()0,x ∈+∞，存在实数k ，b 使得关于x 的不等式()()221ef x g x x -≤≤恒成立，求k 的最小值.【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】（1）()()212120ax f x ax x x x+'=+=>，当0a ≥时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a<时，若()0f x '>，解得0x <<若()0f x '<，解得x >所以函数()f x 在区间⎛ ⎝上单调递增，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减. （2）因为()2g x x ≤，所以20x kx b --≥，0k >，故240k b ∆=+≤，即24k b ≤-，又因为()()21ef x g x -≤，所以2ln 10e x kx b ---≤. 设()2ln 10x e x kx b ϕ=---≤，()2ex k xϕ'=-， 当20,e x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增， 当2,e x k ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减. 故()max 2222ln 212ln 10e ex e e b e b k k k ϕϕ⎛⎫==---=--≤ ⎪⎝⎭，所以22ln 1e b k -≤，所以有222ln 14k e b k -≤≤-. 由题知，存在实数k ，b 使得关于x 的不等式()()221ef x g x x -≤≤恒成立的充要条件是不等式222ln 14k e k -≤-有解，将该不等式化为222ln 104k e k--+≥，令2kt =，则22ln 10t e t -++≥有解. 设()22ln 1h t t e t =-++，()22e h t t t'=-+，可知()h t 在区间(上单调递增，在区间)+∞单调递减，又()10h =，10h=>，()2210h e e e =-++<，所以()22ln 1h x t e t =-++在区间)e 内存在唯一零点0t，故不等式22ln 10t e t -++≥的解集为01t t ≤≤，即012kt ≤≤，故k 的最小值为2. 21．11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响.（1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率. ①求,,p p p 123；②规定00p =，经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中,,p p p 123的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式. 【答案】（1）分布列见解析；（2）①1231743,,636216p p p ===；②116177i i i p p p +-=+，11156n np ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【解析】（1）记一轮投球，甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，,A B 相互独立，由题意1()2P A =，2()3P B =，甲的得分X 的取值为1,0,1-，(1)()P X P AB =-=121()()(1)233P A P B ==-⨯=， (0)()()()()()()P X P AB P AB P A P B P A P B ==+=+12121(1)(1)23232=⨯+-⨯-=， 121(1)()()()(1)236P X P AB P A P B ====⨯-=，∴X 的分布列为：（2）由（1）16p =， 2(0)(1)(1)((0)(1))p P X P X P X P X P X ==⋅=+==+=111117()2662636=⨯+⨯+=，同理，经过2轮投球，甲的得分Y 取值2,1,0,1,2--：记(1)P X x =-=，(0)P X y ==，(1)P X z ==，则2(2)P Y x =-=，(1)P Y xy yx =-=+，2(0)P Y xz zx y ==++，(1)P Y yz zy ==+，2(2)P Y z ==由此得甲的得分Y 的分布列为：∴3()()3362636636636216p =⨯+⨯++⨯++=， ∵11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，00p =，∴1212321p ap bp p ap bp cp =+⎧⎨=++⎩，71136664371721636636a b a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，∴6(1)717b a b c -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，代入11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠得：116177i i i p p p +-=+， ∴111()6i i i i p p p p +--=-， ∴数列1{}n n p p --是等比数列，公比为16q =，首项为1016p p -=， ∴11()6nn n p p --=．∴11210()()()n n n n n p p p p p p p ---=-+-++-111111()()(1)66656n n n -=+++=-． （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=. （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MON ∠的大小.【答案】（Ⅰ）直线l 的极坐标方程为(cos )1ρθθ=+曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=；（Ⅱ）6MON π∠=.【解析】（Ⅰ）由1112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，得直线l的普通方程为1x += 又因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以直线l的极坐标方程为(cos )1ρθθ+=+曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，22cos ρρθ∴=，222x y x ∴+=，即曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=.（Ⅱ）设M ，N 的极坐标分别为()11,ρθ，()22,ρθ， 则12MON θθ∠=-，由(cos )12cos ,ρθθρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩消去ρ得2cos (cos )1θθθ+=+，化为cos 22θθ+=sin 26πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 不妨设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即72,666πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以263ππθ+=，或2263ππθ+=， 即12,12,4πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12412πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， 所以126MON πθθ∠=-=.23．已知函数()|4||4|f x x x =++-. （Ⅰ）求不等式()3f x x >的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为z ，正实数m ，n 满足2mn m n z --=，求证：2103m n ++. 【答案】（Ⅰ）8|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）()3f x x >，即|4||4|3x x x ++->.当4x <-时，不等式可化为443x x x --+->，解得4x <-； 当44x -时，不等式可化为443x x x ++->，解得843x -<； 当4x >时，不等式可化为443x x x ++->，无解. 综上，原不等式的解集为8|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.（Ⅱ）由绝对值不等式性质得，|4||4||44|8x x x x ++-+-+=，8z ∴=，即28mn m n --=，所以(1)(2)10m n --=，所以(1)(2)32103m n m n +=-+-++，当且仅当1m =，2n =时取“=”， 原不等式得证.。
2020年高考数学(理)冲刺模拟卷(一)解析版
2020年高考冲刺模拟卷（一）数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21i+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i 1-+B ．1i -C ．1i +D ．i 1--2．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q ⋂等于（ ）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}23．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．344．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11443,24a b a b ==-==，则22a b =（ ）A ．-1B ．1C ．-4D ．45．如图所示的程序框图，该算法的功能是( )A ．计算012(12)(22)(32)++++++L (12)nn +++的值B ．计算123(12)(22)(32)++++++L (2)nn ++的值C ．计算(123+++L )n +012(222++++L 12)n -+的值D ．计算[123+++L (1)]n +-012(222++++L 2)n+的值6．已知ABC V 是边长为()20a a >的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值是（ ）A ．22a -B ．232a -C ．243a -D ．2a -7．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则( )A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为48．已知奇函数()f x ，且()()g x xf x =在[0,)+∞上是增函数.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，直线1AC ⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论：①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状不可能是正五边形；④截面面积最大值为 ）A ．①②B ．①③C ．①②④D ．①③④10．已知数列{}n a 的通项公式21021n a n n =-+-，前n 项和为n S ，若>n m ，则n m S S -的最大值是（ ）A ．5B ．10C ．15D ．2011．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点A 在椭圆上，且160AOF ∠=︒，'A 与A 关于原点O 对称，且22·'0F A F A =u u u u v u u u u v，则椭圆离心率为（ ）A 1B C D ．4-12．不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．(,1]e -∞- B ．2(,2]e -∞-C ．(,2]-∞-D ．(,3]-∞-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若双曲线221y x k-=的焦点到渐近线的距离为k 的值为__________.14．若函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．15．据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km 的A 处的热带风暴中心正以20km /h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，则从现在起经过 小时该码头将受到热带风暴影响.16．在三棱锥A BCD -中，60BAC BDC ∠=∠=︒，二面角A BC D --的余弦值为13-，当三棱锥A BCD -____________. 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知ABC ∆内接于单位圆，且()()1tan 1tan 2AB ++=， （1）求角C ；（2）求ABC ∆面积的最大值．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC =，2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =．（1）证明PC ⊥平面BED ；（2）设二面角A PB C --为90︒，求PD 与平面PBC 所成角的大小.19．（12分）已知抛物线22y x =，过点(1,1)P 分别作斜率为1k ，2k 的抛物线的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点．（1）若P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．20．（12分）有人收集了10年中某城市的居民年收入(即此城市所有居民在一年内的收入的总和)与某种商品的销售额的有关数据：且已知101380.0ii x==∑（1）求第10年的年收入10x ；（2）若该城市该城市居民收入与该种商品的销售额之间满足线性回归方程363ˆˆ254yx a=+， ①求第10年的销售额10y ；②如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01）附：（1）在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxyb ay b x xnx ==-==--∑∑. （2）1022110254.0ii xx =-=∑，91125875.0i i i x y ==∑，91340.0i i y ==∑.21．（12分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.（1）求()f x 的单调区间；（2）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…；（3）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈， 证明:20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）A 为椭圆1C ：221424x y +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为210cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点.（1）写出1C 参数方程和2C 普通方程；（2）求AB 最大值和最小值.23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()2f x x a =-+，()4g x x =+，a R ∈. （1）解不等式()()f x g x a <+；（2）任意x ∈R ，2()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围.2020年高考冲刺模拟卷（一）数学（理）解析（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21i+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i 1-+ B ．1i -C ．1i +D ．i 1--【答案】C【解析】因为21i i1=-+,所以其共轭复数是1i +，故选C. 2．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q ⋂等于（ ）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}2【答案】D【解析】试题分析：{}{}2|603,2Q x R x x =∈+-==-{}2P Q ∴⋂=.故选D.3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】C【解析】取出的2张卡片上的数字之和为奇数的抽取方法是一奇一偶，112224C C C =23，故选C. 4．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11443,24a b a b ==-==，则22a b =（ ） A ．-1 B ．1 C ．-4 D ．4【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，因为11443,24a b a b ==-==，所以413413278d a a b q b =-=⎧⎪⎨==-⎪⎩，解得92d q =⎧⎨=-⎩，因此212166a a d b b q =+=⎧⎨==⎩，所以221a b =.故选B. 5．如图所示的程序框图，该算法的功能是( )A ．计算012(12)(22)(32)++++++L (12)nn +++的值B ．计算123(12)(22)(32)++++++L (2)nn ++的值C ．计算(123+++L )n +012(222++++L 12)n -+的值D ．计算[123+++L (1)]n +-012(222++++L 2)n +的值 【答案】C【解析】试题分析：初始值1,0k S ==，第1次进入循环体：012S =+，2k =；当第2次进入循环体时：011222S =+++，3k =，，给定正整数n ，当k n =时，最后一次进入循环体，则有：011222S =++++L12n n -++，1k n =+，退出循环体，输出S =(123+++L )n +012(222++++L 12)n -+，故选C ．6．已知ABC ∆是边长为()20a a >的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．22a -B ．232a -C ．243a -D ．2a -【答案】B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系设(,)P x y ，()()(),,0,,0,A B a C a - 则()()(),,,,PA x y PB a x y PC a x y =--=---=--u u u v u u u v u u u v,所以()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r()()(),,x y a x y a x y =--⋅---+--⎡⎤⎣⎦()()2,2x y x y =--⋅--2222x y =+-22232222x y a a ⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭,所以最小值为232a -，所以选B.7．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则( )A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【解析】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 8．（2019·江西南昌十中高三期中（文））已知奇函数()f x ，且()()g x xf x =在[0,)+∞上是增函数.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<， 0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，直线1AC ⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论：①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状不可能是正五边形；④截面面积最大值为 ）A ．①②B ．①③C ．①②④D ．①③④ 【答案】D【解析】对①,当α截此正方体所得截面为11B CD 时满足.故①正确.对②,由对称性得,截面形状不可能为正方形.故②错误. 对③,由对称性得截面形状不可能是正五边形,故③正确.对④,当截面为正六边形时面积最大,为64⨯=故④正确.故选D. 10．已知数列{}n a 的通项公式21021n a n n =-+-，前n 项和为n S ，若>n m ，则n m S S -的最大值是（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】B【解析】数列{}n a 的通项公式21021(3)(7)n a n n n n =-+-=---,当37n ≤≤时0n a ≥，当2n ≤或8n ≥是0n a <,n S 最大值为6S 或7Sm S 最小值为2S 或3S ,n m S S -的最大值为6345634310S S a a a -=++=++= ,故选B.11．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点A 在椭圆上，且160AOF ∠=︒，'A 与A 关于原点O 对称，且22·'0F A F A =u u u u v u u u u v，则椭圆离心率为（ ）A1B．2C．12D．4-【答案】A【解析】连结1'A F ，1AF ，由'A 与A 关于原点O 对称，且1F 与2F 关于原点O 对称，可知四边形12'AF A F 为平行四边形，又22·'0F A F A =u u u u v u u u u v，即22'F A F A ⊥可知四边形12'AF A F 为矩形，1,AO OF ∴=又160AOF ∠=︒，11,AF OF c ∴==同理有2AF =，由椭圆的定义可得2c a =，1c e a ∴===.故选A. 12．不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．(,1]e -∞-B ．2(,2]e -∞-C ．(,2]-∞-D ．(,3]-∞-【答案】D【解析】题意即为3ln 1x a x x e x -≤--对()1,x ∀∈+∞恒成立，即31ln x x e x a x ---≤对()1,x ∀∈+∞恒成立，从而求31ln x x e x y x ---=，()1,x ∈+∞的最小值，而33ln 3ln 3ln 1xx x x x x e ee e x x ---==≥-+,故313ln 113ln xx e x x x x x ---≥-+--=-,即313ln 3ln ln x x e x x x x----≥=-,当3ln 0x x -=时，等号成立，方程3ln 0x x -=在()1,+∞内有根，故3min13ln x x e x x -⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，所以3a ≤-，故选D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若双曲线221y x k-=的焦点到渐近线的距离为k 的值为____________.【答案】8【解析】由双曲线221y x k-=得其中一个焦点为)，其中一条渐近线方程为y =，所以焦点=，所以8k =.故答案为8.14．若函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．【答案】[2,)+∞【解析】试题分析：因为函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增所以()0f x '≥在区间ππ(,)63恒成立，22cos sin (sin )(sin )sin 1()cos cos x x a x x a x f x x x -⋅--⋅--'==,因为2cos 0x >，所以sin 10a x -≥在区间ππ(,)63恒成立,所以1sin a x ≥,因为(,)63x ππ∈，所以11sin 2223sin x x <<⇒<<,所以a 的取值范围是[2,)+∞.15．据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km 的A 处的热带风暴中心正以20km /h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，则从现在起经过 小时该码头将受到热带风暴影响. 【答案】15【解析】记t 小时后热带风暴中心到达点B 位置，在OAB V 中，600km OA =,20km AB t =,45OAB ︒∠=,根据余弦定理得222600400260020OB t t =+-⨯⨯令22450OB „，即2415750t -+„，解得151522t+剟,15(h)=.16．在三棱锥A BCD -中，60BAC BDC ∠=∠=︒，二面角A BC D --的余弦值为13-，当三棱锥A BCD -的体积的最大值为4时，其外接球的表面积为____________. 【答案】6π【解析】如图，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠,点A 在截面圆1O 上运动，点D 在截面圆2O 上运动，由图知，当AB AC =，BD CD =时，三棱锥A BCD -的体积最大，此时ABC ∆与BDC ∆是等边三角形,设BC a =，则AM DM ==，2BCD S ∆=.sin()3h AM AMD a π=-∠=,313124A BCD DBC V S h a -∆=⋅==解得a =32DM =,21DO =，212O M =，设2AMD θ∠=则21cos 22cos 13θθ=-=-,解得tan θ=∴22tan OO O M θ==球O 的半径2R ==,所求外接球的表面积为246S R ππ==.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知ABC ∆内接于单位圆，且()()1tan 1tan 2A B ++=， （1）求角C ；（2）求ABC ∆面积的最大值．【解析】（1）()()112tanA tanB ++=Q ,1tanA tanB tanA tanB ∴+=-⋅，()11tanA tanB tanC tan A B tanAtanB +∴=-+=-=--，()3C 0,4C ππ∈∴=Q .（2）ABC ∆的外接圆为单位圆，∴其半径1R =，由正弦定理可得2c RsinC ==2222c a b abcosC =+-，代入数据可得222a b =++(22ab ab ≥=+，当且仅当a=b时，“=”成立,ab ∴≤，ABC V ∴的面积11222S absinC =≤=，ABC ∆面积的最大值为12.18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC =，2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =．（1）证明PC ⊥平面BED ；（2）设二面角A PB C --为90︒，求PD 与平面PBC 所成角的大小. 【解析】（1）以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，设),0Db，则()0C ，，()002P ，，，23E ⎫⎪⎪⎝⎭，)0Bb -，，∴()2PC =-u u u r ，，2 ,3BE b ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u r，2 33DE b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，∴44 033PC BE ⋅=-=u u u r u u u r ，0PC DE ⋅=u u u r u u u r ，∴PC BE ⊥，PC DE ⊥，BE DE E ⋂=， ∴PC ⊥平面BED .（2）() 002AP =u u u r，，，),0AB b =-u u u r ，设平面PAB 的法向量为() ,,x y z m =u r ，则20m AP z m AB by ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v v u u u vv ，取()b m =u r ，设平面PBC 的法向量为() ,,p n q r =r，则20203n PC r n BE p bq r ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取 1,n ⎛= ⎝r ，∵平面PAB ⊥平面PBC ，∴ 20m n b b =-=⋅u r r，故b =∴( 1,n =-r，()DP =u u u r ，∴1cos ,2n DP DP n n DP ⋅==⋅r u u u ru u u r r r u u u r ，设PD 与平面PBC 所成角为θ，02⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πθ，则1sin 2θ=，∴30θ=︒，∴PD 与平面PBC 所成角的大小为30°.19．（12分）已知抛物线22y x =，过点(1,1)P 分别作斜率为1k ，2k 的抛物线的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点．（1）若P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y x =①，2222y x =②．①－②，得 ()()()1212122y y y y x x -+=- ．又因为()1,1P 是线段AB 的中点，所以122y y +=,所以，21121212=1y y k x x y y -==-+．又直线AB 过()1,1P ，所以直线AB 的方程为y x =.（2）依题设(),M M M x y ，直线AB 的方程为()111y k x -=-，即111y k x k =+-， 亦即12y k x k =+，代入抛物线方程并化简得 ()2221122220k x k k x k +-+=．所以，12121222112222k k k k x x k k --+=-= ,于是，12211M k k x k -=，12121221111M M k k y k x k k k k k -=⋅+=⋅+=．同理，12221N k k x k -=，21N y k =．易知120k k ≠，所以直线MN 的斜率21211M N M N y y k k k x x k k -==--． 故直线MN 的方程为211221211111k k k k y x k k k k ⎛⎫--=- ⎪-⎝⎭，即212111k k y x k k =+-．此时直线过定点()0,1． 故直线MN 恒过定点()0,1．20．（12分）有人收集了10年中某城市的居民年收入(即此城市所有居民在一年内的收入的总和)与某种商品的销售额的有关数据：且已知101380.0ii x==∑（1）求第10年的年收入10x ；（2）若该城市该城市居民收入与该种商品的销售额之间满足线性回归方程363ˆˆ254yx a=+， ①求第10年的销售额10y ；②如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01）附：（1）在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxyb ay b x xnx ==-==--∑∑. （2）1022110254.0ii xx =-=∑，91125875.0i i i x y ==∑，91340.0i i y ==∑.【解析】（1）依题意101380.0ii x==∑，则10323133363738394345380x +++++++++=，解得1046x =.（2）①由居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程$y =363254x a +知 363254b =，即101102211036325410i ii i i x y x yb x x==-==-∑∑，即10103401287546103836310254254y y ++-⋅⋅=， 解之得：1051y =.②易得38x =，39.1y =，代入$363254y x a =+得：36339.138254a =⨯+， 解得15.21a ≈-，所以$36315.21254y x =-，当40x =时，3634015.2141.96254y =⨯-≈ 故若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是41.96万元.21．（12分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.（1）求()f x 的单调区间；（2）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…； （3）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.【解析】(1)由已知，有()()'ecos sin xf x x x =-.当()52,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 单调递减;当()32,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 单调递增. 所以，()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， ()f x 的单调递减区间为()52,244k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭. (2)记()()()2h x f x g x x π⎛⎫-=⎝+⎪⎭.依题意及(1)有：()()cos sin x g x e x x =-， 从而'()2sin xg x e x =-.当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()'0g x <，故'()'()'()()(1)()022h x f x g x x g x g x x ππ'⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…. 所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…. (3)依题意，()()10n n u x f x =-=，即e cos 1n xn x =.记2n n y x n π=-，则,42n y ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭. 且()e cos n yn n f y y ==()()22ecos 2e n x n n n x n n N πππ---∈=.由()()20e 1n n f y f y π-==„及(Ⅰ)得0n y y ….由(2)知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫<=⎪⎝⎭„.又由(Ⅱ)知()()02n n n f y g y y π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…，故： ()()()2e 2n n n n n f y y g y g y ππ---=-„()()022200000sin cos sin cos n n n y e e e g y e y y x x πππ---=<--„.所以200e 22sin cos n n n x x x πππ-+--<. (二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．【极坐标与参数方程】（10分）A 为椭圆1C ：221424x y +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为210cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点. （1）写出1C 参数方程和2C 普通方程；（2）求AB 最大值和最小值.【解析】（1）由题意可得1C的参数方程为：2cos ,,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）， 又∵210cos 240ρρθ-+=，且222x y ρ=+，cos x ρθ=， ∴2C 的普通方程为2210240x y x +-+=，即()2251x y -+=. （2）由（1）得，设()2cos A αα，圆2C 的圆心()5,0M ，则||AM ===[]cos 1,1α∈-，∴当1cos 2α=-时，max ||AM = 当cos 1α=时，min ||3AM =.当1cos 2α=-时，max max ||||11AB AM =+=； 当cos 1α=时，min min ||||12AB AM =-=.23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()2f x x a =-+，()4g x x =+，a R ∈.（1）解不等式()()f x g x a <+；（2）任意x ∈R ，2()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围. 【解析】（1）不等式()()f x g x a <+即24x x -<+，两边平方得2244816x x x x -+<++，解得1x >-，所以原不等式的解集为()1,-+∞.（2）不等式()()2f x g x a +>可化为224a a x x -<-++， 又()()24246x x x x -++≥--+=，所以26a a -<，解得23a -<<， 所以a 的取值范围为()2,3-.。
2020最新全国各省市高考理科数学模拟冲刺卷答案
２ｘ＋
π ３
，将 ｆ（ｘ） 的图象向
[ ] 左平移 φ（φ＞０）个单位后得到 ｇ（ ｘ） ＝ ２ｓｉｎ
２（ｘ＋φ） ＋
π ３
＝
( ) ２ｓｉｎ
２ｘ＋２φ＋
π ３
的图象，因为 ｘ ＝
π ６
是
ｇ（ｘ） 的图象的对称
轴，所以 ２×
π ６
＋ ２φ＋
π ３
＝
２φ
＋
２π ３
＝
π ２
＋ｋπ（ ｋ∈Ｚ），解得 φ ＝
＝
８ ２４
＝
１ ３
，故选 Ｂ．
８．Ｂ
∵
ｆ（ －ｘ）＝
（ －ｘ） ３ ｅ－ｘ －ｅｘ
＝ ｘ３ ｅｘ －ｅ－ｘ
＝ ｆ（ｘ），∴
ｆ（ ｘ） 为偶函数，图象关
于 ｙ 轴对称，排除 Ａ，Ｄ，当 ｘ→＋∞ 时，ｆ（ ｘ） →０，排除 Ｃ，故选 Ｂ．
９．Ｂ 根据 ＡＢ ＝ ３，ＢＣ ＝ ３ ，∠ＡＢＣ ＝ ９０°，可得 ＡＣ ＝ ２ ３ ，△ＡＢＣ
得 ｔ ＝ ５．
[ ] １１
１５．答案
，１５ ４
( ) 解析
建 立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系， 则 Ａ
－ ３ ，０ ２
，
三、解答题
( ) １７．解析
（１） ｆ（ ｘ） ＝ ４ｓｉｎ ωｘｓｉｎ
ωｘ＋
π ６
( ) ＝ ４ｓｉｎ ωｘ
３ ２
ｓｉｎ
ωｘ＋
１ ２
ｃｏｓ
ωｘ
＝ ２ ３ ｓｉｎ２ ωｘ＋２ｓｉｎ ωｘｃｏｓ ωｘ ＝ ｓｉｎ ２ωｘ－ ３ ｃｏｓ ２ωｘ＋ ３
｜ ２ｅ－ｅ－４ ｜
＝
４－ｅ ，所以 ｜ ＡＢ ｜
2020年高考三轮冲刺卷理数答案
)!.! 命 题
立
意
考
查
充
分条
件
必
要
条
件
的判
定
一
元
二-
观 想 象 数 学 运 算 等 核 心 素 养 !
次不等式恒成立问题!体现了逻辑推理的核心素养! - 试题解析由约束条件作出可行域 如 图 中 阴 影 部 分 所
试题解析不 等 式 $" '$*E+# 在 0 上 恒 成 立#则 "-
8 4
#"#J8#"4#
J 半 焦 距5#
槡4"
*8"
#槡%4#JM#
5 4
#槡%!
参 考 答 案 槡%
,9!故选 $! !"!.! 命 题 立 意 考 查 空 间 几 何 体 的 折 叠 问 题 线 面
的性 质!体 现 了 逻 辑 推 理直 观 想 象数 学 运 算 等
垂 核
直心----!%!推命试理题题立解数
-
试
题
解
析
把
函
数
(%$&#槡)4'5$674$*674"$'
! "
-
所 以 数 列 !4? '<?"为 等 差 数 列 #设8? #4? '<?# 故0?#0% 对任意的?//; 恒成立#可化为8%'##8/###
$ #槡")4'5"$*
!"674"$#4'5%"$*
/
&图 象
上
各
点
向
右--
)674$!设曲线 (%$&上 任 意 一 点 "%$!#+!&#曲 线=%$& 上存在 一 点 %%$"#+" &#则 ()%$! &=)%$" &# '!#且 ()%$!&# '+$! '!/%' D #'!&#=)%$"&#E')674$"
2020届高考数学(理)全真模拟卷11(含解析)
2020届高考数学（理）全真模拟卷11（本试卷满分150分，考试用时120分钟）第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}|1213A x x =-≤+≤，{}2|log B x y x ==，则A B =I （） A ．(]0,1 B ．[]1,0-C ．[)1,0-D ．[]0,1【答案】A 【解析】 【分析】化简集合A,B ，根据交集的运算求解即可. 【详解】因为{}|1213[1,1]A x x =-≤+≤=-，{}2|log (0,)B x y x ===+∞，所以0,1]A B =I （， 故选A. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题. 2．已知复数z =，则复数z 的共轭复数z =（ ）A 12i -B ．12- C 12i + D ．12+ 【答案】A 【解析】 【分析】复数z 实数化，即可求解. 【详解】因为2i z ===，所以12z i =-.故选:A本题考查复数的除法运算，考查共轭复数定义，属于基础题.3．已知向量a r，b r满足||a =r||1b =r ，且||b a -=rra r与b r的夹角的余弦值为（ ）A ．2B ．3 C ．4 D ．5【答案】C 【解析】 【分析】先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出12a b ⋅=r r ，再由向量夹角公式，即可得出结果.【详解】因为向量a r ，b r 满足||a =r||1b =r ，且||b a -=r r所以2||2-=r r b a ，即2222+-⋅=r r r r b a a b ，因此12a b ⋅=r r ，所以cos ,⋅<>===r rr r r r a b a b a b 故选：C 【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型. 4．已知tan 3α=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．10B ．710C ．10-D ．710-【答案】B 【解析】 【分析】利用“1”的变换，所求式子化为关于sin ,cos αα的齐次分式，化弦为切，即可求解. 【详解】22222cos 2sin cos 12tan 7cos sin 2cos sin 1tan 10ααααααααα+++===++. 故选:B本题考查同角间三角函关系，弦切互化是解题的关键，属于基础题. 5．设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （ ） A ．98B ．158C ．198D ．278【答案】C 【解析】 【分析】利用3=-n n S a n 得出1231n n a a -=+，先求出1a ，再利用递推式求出3a 即可.【详解】解：当2n ≥时，[]1133(1)n n n n n a S S a n a n --=-=----，整理得1231nn a a -=+，又11131S a a ==-，得11a 2=， 21323112a a ∴=+=+，得254a =， 321523114a a ∴=+=+，得3198a =，故选：C. 【点睛】本题考查数列递推式的应用，是基础题.6．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为（ ）A ．114B ．17C ．528D ．514【解析】 【分析】直接根据概率公式计算即可． 【详解】从八卦中任取两卦，基本事件有2828C =种，其中这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，基本事件共有10中， ∴这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为p 514m n == 故选：D【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查函数与方程思想，是基础题． 7．函数2sin 2xy x =-的图象大致是 A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数22xy sinx =-的解析式，根据定义在R 上的奇函数图像关于原点对称可以排除A ，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果 【详解】当0x =时，0200y sin =-= 故函数图像过原点，排除A 又12cos 2y x =-'Q ，令0y '=则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除B D ， 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有C 符合要求 故选C 【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证。
2020年全国高考数学(理科)仿真冲刺模拟试卷(5份含答案)
2020 年全国高考数学（理科）仿真冲刺模拟试卷（ 5 份含答案）
二、填空题
13.
已知两个单位向量
vv a,b
的夹角为
60o, cv
tav
1
t
vv b ,若 b
v c
0,则 t
______ .
14. 设函数 f x
x2
2
1 ex
，则使
f
2x
f 4 x 成立的 x 的取值范围是 _________.
5. ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c . 已知 absinC 20sinB ， a 2 c2 41 ， 且 8cosB 1，则 b （ ）
A. 6 B. 4 2 C. 3 5 D. 7
6. 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次 第每人多十七，要将第八数来言” . 题意是：把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按照年龄从 大到小的顺序依次分绵， 年龄小的比年龄大的多 17 斤绵，那么第 8 个儿子分到的绵是 （ ） A. 174 斤 B. 184 斤 C.191 斤 D. 201 斤
cv
0
2020 年全国高考数学（理科）仿真冲刺模拟试卷（ 5 份含答案）
v ∴b
cv
v b
tav
v 1 tb
tav
v b
v2 1t b
t 1 1 cos60
1t
0
∴t 2 故答案为 .
14.
4 4,
【解析】
因为函数
f
x
3
x2
1 2 e x 满足 f
x
f x ，所以函数 f x 为偶函数，
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项是符合题目要求的。） 1．数学家欧拉于 1765 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心
（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直 线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉
m1
在区间a,b 上，存在 mm 3 个不同的整数 x i 1, 2,..., m ，满足 f x f xi1 72 ，则 i 1
b a 的最小值为（)
A．15B．16C．17D．18
11．在
ABC
中，
AB
2 AC
6
，
BA
BC
2
BA
，点
P
是
ABC
所在平面内的一点，则当
2
PA
2
PB
PC
21．（本小题满分 l2 分）
对于定义在区间 D 上的函数 ，若存在闭区间[a，b] D 和常数 c，使得对任意 x1 [a，
b]，都有
，且对任意 x2 D，当 x2 [a，b]时
恒成立，则称函数 f（x）为区间
D 上的“平底型”函数
（I）若函数 ="|mx-1|"+|x-2|是 R 上的“平底型”函数，求 m 的值；
f
an
0(n N *) ，求证
p
q
1.
20．如图，甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当
甲船位于 A1处时，乙船位于甲船的北偏西105 方向的 B1处，此时两船相距 20 海里，当甲船航
行 20 分钟到达 A2 处时，乙船航行到甲船的北偏西120 方向的 B2 处，此时两船相距10 2 海 里，问乙船每小时航行多少海里？
【答案】 2 3 cm
【解析】 【分析】 先画出过正方体对角面的截面图,设小球的半径 r ,通过 AS AO1 O1S 建立等式,求出 r 即可 求出要使流出来的水量最多时这个铁球的半径. 【详解】 解:过正方体对角面的截面图如图所示,设两球的交点为 S
AC1 2 3 , AO 3, AS AO OS 3 1
G(7 , 4) ，并设 M 的坐标为 ( 5 , a) ，
33
2
|MA |= | MC |
\ (5 - 0)2 + (a - 0)2 = (5 - 2)2 + (a- 4)2
2
2
解得 a 5 ，即 M (5 , 5)
4
24
4-
kGM
=
3 7-
5
4 5
=
-
1 2
32
欧拉方程为： y 4 1 (x 7) ，即： x 2 y 5 0 32 3
D．i(1+i)
6．在直三棱柱 ABC A1B1C1 （侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱）中， AB AC 1，
AA1
2 ， BAC
2 3
，则三棱柱
ABC
A1B1C1 外接球的体积为（）
A． 8
B． 4 2π 3
C． 8 2 3
D．ห้องสมุดไป่ตู้8 3
7．设 是定义在 上的函数，若
，且对任意 ，满足
，
，则
=（）
P(x, y) ，则 PA PB 的最大值是
．
14．若四边形 ABCD 是正方形， PA 平面 ABCD ，则在平面 PAB 、平面 PBC 、平面 PCD 、
平面 PDA 和平面 ABCD 中，互相垂直的平面一共有_______对.
15．已知
p，q
是两个不相等的正整数，且
q
2
，则
lim
n
1 1
（Ⅱ）判断函数 =x+|x-l|是否为 R 上的“平底型”函数？并说明理由；
（Ⅲ）若函数 g（x）="px+"|x–q|是区间[0，+∞）上的“平底型”函数，且函数的最小值
为 1，求 p，q
的值．
（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一道题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．在直角坐标系
设铁球的半径 r , tan C1AC
2 2
在 AO1D 中, AO1 3r ,
AS AO1 O1S ,
3 1 3r r .
计算得出: r 2 3(cm) 为所求
要使流出来的水量最多,这个铁球的半径应该为 2 3 . 【点睛】 多面体与旋转体之间的“切”“接”问题，需明确“切”“接”的位置，明确有关元素间的 数量关系．这类题常常借助“剖面”图来进行研究．
线．已知 ABC 的顶点为 A0, 0 ， B 5, 0 ， C 2, 4 ，则该三角形的欧拉线方程为（）．注：
重心坐标公式为横坐标： x1 x2 x3 ；纵坐标： y1 y2 y3
3
3
A． 2x y 10 0
B． x 2 y 5 0
C． 2x y 10 0
D． x 2 y 5 0
2 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；
（2） A 、 B 、 Q 为曲线 C 上三个动点，满足 OQ OA OB ，判断四边形 OAQB 的面积是否
为定值，若为定值，求出其值.
3
18．已知棱长为 2cm 的正方体容器内盛满水，把半径为 1cm 的钢球放入水中，刚好被淹没； 然后放入一个铁球，使它也淹没于水中．要使流出的水量最多，这个铁球的半径应为多少？
xoy
中，直线
l
的参数方程为
x
y
2 t cos 1 t sin
（
t
为参数），以坐标原点为极
点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 6 sin 7 0 .
（1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设曲线 C 与直线 l 交于点 A, B ,若点 Q 的坐标为（2,1），求| QA | | QB | 的最小值
23．如图，圆 O1 和圆 O2 相交于点 A、B ，半径 O1B 、半径 O2B 所在直线分别与圆O2 、圆 O1 相 交于点 E、F ，过点 B 作 EF 的平行线分别与圆 O1 、圆O2 相交于点 M、N ．证明： MN AE AF ．
5
【参考答案】
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
法正确的是（）
A．乙做对了
B．甲说对了
C．乙说对了
D．甲做对了
4．有 7 张卡片分别写有数字1,1,1, 2, 2,3, 4 ，从中任取 4 张，可排出不同的四位数个数为（）
A． 78
B．102
C．114
D．120
5．下列各式的运算结果为纯虚数的是
A．(1+i)2
B．i2(1-i)
C．i(1+i)2
7
解析：C 【解析】 分析：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的 数字为 1,2,3,4；②取出四张卡片中 4 有 2 个重复数字，则 2 个重复的数字为 1 或 2；③若取 出的四张卡片为 2 张 1 和 2 张 2；④取出四张卡片中有 3 个重复数字，则重复数字为 1，分别 求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得结论. 详解：根据题意，分四种情况讨论： ①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为 1,2,3,4； 此时有 A44 24 种顺序，可以排出 24 个四位数. ②取出四张卡片中 4 有 2 个重复数字，则 2 个重复的数字为 1 或 2， 若重复的数字为 1，在 2,3,4 中取出 2 个，有 C32 3 种取法，安排在四个位置中， 有 A42 12 种情况，剩余位置安排数字 1，可以排出 312 36 个四位数 同理，若重复的数字为 2，也可以排出 36 个重复数字； ③若取出的四张卡片为 2 张 1 和 2 张 2，在 4 个位置安排两个 1，有 C42 6 种情况， 剩余位置安排两个 2，则可以排出 6 1 6 个四位数； ④取出四张卡片中有 3 个重复数字，则重复数字为 1，在 2,3,4 中取出 1 个卡片， 有 C31 3 种取法，安排在四个位置中，有 C14 4 种情况，剩余位置安排 1， 可以排出 3 4 12个四位数，则一共有 24 36 36 6 12 114 个四位数，故选 C. 点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组 合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解 题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、 “是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏， 这样才能提高准确率. 5．A 解析：A 【解析】 【分析】 利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解. 【详解】 由题意，对于 A 中，复数 (1 i)2 2i 为纯虚数，所以正确；
2．运行如图所示的程序框图，若输出的 S 的值为 258.则 n 的值为（）
1
A．3
B．4
C．5
D．6
3．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起
讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他
们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说
1 n 1 n
p
q
1 1
等于______.
16．已知 D 为三角形 C 的边 C 的中点，点 满足 C 0 ， D ，则实数
的值为
．
三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考