高中数第二章圆锥曲线与方程2.1.2求曲线的方程课件新人教A版选修21
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2019秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1曲线与方程课件新人教A版选修2_1
答案：C
[迁移探究1] (变换条件)方程y＝ 1－x2 的曲线是什 么图形？
解：方程可化为x2＋y2＝1(y≥0)，故原方程表示以 原点为圆心，1为半径的圆的上半部分，且包括端点．如 图所示．
[迁移探究2] (变换条件)方程y＝－ 1－x2的曲线是 什么图形？
解：方程可化为x2＋y2＝1(y≤0)，
故原方程表示以原点为圆心，1为半径的圆的下半部 分，且包括端点，如图所示．
归纳升华 判断方程表示什么曲线，需对方程进行同解变形， 常用的方法有配方法、因式分解法等；或化为我们所熟 悉的形式，然后根据方程的特征进行判断．
类型3 曲线与方程关系的应用 [典例3] 已知方程x2＋(y－1)2＝10. (1)判断点P(1，－2)，Q( 2 ，3)是否在此方程表示的曲 线上； (2)若点Mm2 ，－m在此方程表示的曲线上，求m的值； (3)求该方程的曲线与曲线x＋3＝0的交点的坐标． 解：(1)因为12＋(－2－1)2＝10， ( 2)2＋(3－1)2＝6≠10，
(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定 满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐 标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积 等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
类型2 由方程判断曲线(互动探究) [典例2] 方程x2＋y2＝1(xy＜0)的曲线形状是( )
解析：方程x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1 的单位圆，而约束条件xy＜0则表明单位圆上点的横、纵 坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分．
r2－x2； (2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间
的关系．
解：(1)不正确．设(x0，y0)是方程y＝ r2－x2的解，则y0
＝
r2－x20
[迁移探究1] (变换条件)方程y＝ 1－x2 的曲线是什 么图形？
解：方程可化为x2＋y2＝1(y≥0)，故原方程表示以 原点为圆心，1为半径的圆的上半部分，且包括端点．如 图所示．
[迁移探究2] (变换条件)方程y＝－ 1－x2的曲线是 什么图形？
解：方程可化为x2＋y2＝1(y≤0)，
故原方程表示以原点为圆心，1为半径的圆的下半部 分，且包括端点，如图所示．
归纳升华 判断方程表示什么曲线，需对方程进行同解变形， 常用的方法有配方法、因式分解法等；或化为我们所熟 悉的形式，然后根据方程的特征进行判断．
类型3 曲线与方程关系的应用 [典例3] 已知方程x2＋(y－1)2＝10. (1)判断点P(1，－2)，Q( 2 ，3)是否在此方程表示的曲 线上； (2)若点Mm2 ，－m在此方程表示的曲线上，求m的值； (3)求该方程的曲线与曲线x＋3＝0的交点的坐标． 解：(1)因为12＋(－2－1)2＝10， ( 2)2＋(3－1)2＝6≠10，
(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定 满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐 标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积 等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
类型2 由方程判断曲线(互动探究) [典例2] 方程x2＋y2＝1(xy＜0)的曲线形状是( )
解析：方程x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1 的单位圆，而约束条件xy＜0则表明单位圆上点的横、纵 坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分．
r2－x2； (2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间
的关系．
解：(1)不正确．设(x0，y0)是方程y＝ r2－x2的解，则y0
＝
r2－x20
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.12.1.2 求曲线的方程课件 新人教A版选修21
解：如图所示，取直线 l 为 x 轴，过点 F 且垂直于直 线 l 的直线为 y 轴，建立坐标系 xOy.
设点 M(x，y)是曲线上任意一点， 作 MB⊥x 轴，垂足为 B，那么点 M 属 于集合 P＝{M||MF|－|MB|＝2}．
由两点间的距离公式，点 M 适合的条件可表示为 x2＋（y－2）2－y＝2，①
第二章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程 2．1.2 求曲线的方程
[学习目标] 1.利用坐标法根据曲线的性质求曲线的 方程和已知曲线的方程讨论曲线的类型(重点)． 2.利用 不同的方法求曲线的方程及对坐标法的理解(难点)． 3. 求曲线方程的题目经常与向量、直线方程、方程思想结合 在一起命题．
[知识提炼·梳理]
2．在实际求曲线方程时，这五步可以简化为三大步， 即：建系，设点；据条件列方程；化简．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( ) (2)过点 A(2，0)且平行于 y 轴的直线 l 的方程为|x|＝ 2.( ) (3) 到 两 坐 标 轴 距 离 相 等 的 点 的 轨 迹 方 程 是 y ＝ x.( ) (4)方程 y＝ 1－x2可化简为 x2＋y2＝1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
所以(x＋1)(x－1)＋y2＝0. 化简得 x2＋y2＝1. 因为 A、B、C 三点要构成三角形， 所以 A、B、C 不共线，所以 y≠0， 所以点 C 的轨迹方程为 x2＋y2＝1(例 2] 已知圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点 O 作圆 的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． 解：如图，设 OQ 为过 O 点的 一条弦，P(x，y)为其中点，则 CP⊥OQ， 设 M 为 OC 的中点，则 M 的坐标为12，0.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程学案新人教A版选修2-1
5. 过三点 A(1 ，3) ， B(4 ，2) ， C(1 ，－ 7) 的圆交 y 轴于 M、 N两点，则 | MN| 等于 ( )
A.2 6 B.8 C.4 6 D.10
答案 C
解析 由已知，得 A→B＝ (3 ，－ 1) ， B→C＝ ( － 3，－ 9) ，则 A→B· B→C＝ 3×（－ 3) ＋ ( － 1) ×（－ 9)
于是， M→P·M→N， P→M·P→N， N→M· N→P成公差小于零的等差数列等价于 错误 !
x2＋ y2＝ 3， 即
x>0. ∴ 点 P的轨迹方程为 x2＋ y2＝ 3( x>0).
类型二 代入法求解曲线的方程 例 2 动点 M在曲线 x2＋y2＝ 1 上移动， M和定点 B(3 ， 0) 连线的中点为 P，求 P 点的轨迹方
又 | PA| ＝错误 ! ，
故 | y－ 8| ＝ 2错误 ! ， 化简，得 4x2＋ 3y2－ 16x＋16y－ 48＝ 0. 故动点 P 的轨迹方程为 4x2＋ 3y2－ 16x＋16y－ 48＝ 0.
反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法
(1) 关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件
代入 Δ>0 中， 得 a2 ＋4a(2 － a)>0 ，
8 解得 0<a<3.
又∵ k≠0， ∴2－ a≠0，即 a≠2.
4 / 11
8 ∴ a 的取值范围是 (0 ， 2) ∪(2 ，3).
反思与感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组
的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题
转化为讨论方程组解的个数问题 . 即两曲线 C1 和 C2 的方程分别为 F( x， y) ＝0 和 G( x， y) ＝
A.2 6 B.8 C.4 6 D.10
答案 C
解析 由已知，得 A→B＝ (3 ，－ 1) ， B→C＝ ( － 3，－ 9) ，则 A→B· B→C＝ 3×（－ 3) ＋ ( － 1) ×（－ 9)
于是， M→P·M→N， P→M·P→N， N→M· N→P成公差小于零的等差数列等价于 错误 !
x2＋ y2＝ 3， 即
x>0. ∴ 点 P的轨迹方程为 x2＋ y2＝ 3( x>0).
类型二 代入法求解曲线的方程 例 2 动点 M在曲线 x2＋y2＝ 1 上移动， M和定点 B(3 ， 0) 连线的中点为 P，求 P 点的轨迹方
又 | PA| ＝错误 ! ，
故 | y－ 8| ＝ 2错误 ! ， 化简，得 4x2＋ 3y2－ 16x＋16y－ 48＝ 0. 故动点 P 的轨迹方程为 4x2＋ 3y2－ 16x＋16y－ 48＝ 0.
反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法
(1) 关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件
代入 Δ>0 中， 得 a2 ＋4a(2 － a)>0 ，
8 解得 0<a<3.
又∵ k≠0， ∴2－ a≠0，即 a≠2.
4 / 11
8 ∴ a 的取值范围是 (0 ， 2) ∪(2 ，3).
反思与感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组
的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题
转化为讨论方程组解的个数问题 . 即两曲线 C1 和 C2 的方程分别为 F( x， y) ＝0 和 G( x， y) ＝
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1-2.1.2求曲线的方程课件新人教A版选修2-1
[变式训练] 已知定长为 6 的线段，其端点 A、B 分 别在 x 轴、y 轴上移动，线段 AB 的中点为 M，求 M 点 的轨迹方程．
解：作出图象如图所示，根据直角 三角形的性质可知 |OM|＝12|AB|＝3.
1．常见的求曲线方程的方法
(1)直译法：根据形成轨迹的几何条件和 Nhomakorabea形性质， 获得动点满足的等量关系，并直接将这种关系“翻译” 成关于 x，y 的等式，从而得到曲线的轨迹方程的方法， 称之为直译法．
解：如图所示，取直线 l 为 x 轴，过点 F 且垂直于直 线 l 的直线为 y 轴，建立坐标系 xOy.
设点 M(x，y)是曲线上任意一点， 作 MB⊥x 轴，垂足为 B，那么点 M 属 于集合 P＝{M||MF|－|MB|＝2}．
[变式训练] 已知在直角三角形 ABC 中，角 C 为直 角，点 A(－1，0)，点 B(1，0)，求满足条件的点 C 的轨 迹方程．
解：如图，设 C(x，y)， 则A→C＝(x＋1，y)，B→C＝(x－1，y)． 因为∠C 为直角， 所以A→C⊥B→C，即A→C·B→C＝0.
类型 2 定义法求曲线方程 [典例 2] 已知圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点 O 作圆 的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． 解：如图，设 OQ 为过 O 点的 一条弦，P(x，y)为其中点，则 CP⊥OQ， 设 M 为 OC 的中点，则 M 的坐标为12，0.
第二章 圆锥曲线与方程
[知识提炼·梳理]
1．解析几何研究的主要问题 (1)根据已知条件，求出曲线的方程． (2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．
2．求曲线的方程的步骤
类型 1 直接法求曲线方程(自主研析)
[典例 1] 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F，点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方，它上面的每一点 到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2，建立适当的坐标 系，求这条曲线的方程．
2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程课件新人教A版选修2_1
2.求曲线的方程的步骤
■名师点拨 如果题目中没有确定平面直角坐标系,应首先建立适当的平面直 角坐标系,坐标系建立适当,所得方程也较为简单.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)x2＋y2＝1(x＞0)表示的曲线是单位圆.( × ) (2)若点 M(x,y)的坐标是方程 f(x,y)＝0 的解,则点 M 在曲线 f(x,y) ＝0 上.( √ ) (3)方程 y＝x 与方程 y＝xx2表示同一曲线.( × )
第二章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的方程
第二章 圆锥曲线与方程
考点
学习目标
核心素养
Байду номын сангаас
了解曲线与方程的概念,
理解曲线上的点与方程的解之间的 曲线与
一一对应关系, 方程
领会“曲线的方程”与“方程的曲
数学抽象
线”的含义
求曲线 掌握求轨迹方程建立坐标系的一般 逻辑推理、
即xy00＝＝4－－2y－，x，(* *) 将(* *)代入(*),得(－2－x)－2(4－y)＋3＝0, 即 x－2y＋7＝0. 答案：x－2y＋7＝0
1.下列各组方程表示相同曲线的是( ) A.y＝x 与 y＝ x2 B.y＝x2 与 y＝|x| C.(x－1)2＋(y＋2)2＝0 与(x－1)(y＋2)＝0 D.y＝ x2与 y＝|x| 解析：选 D.A 中 y＝x 表示直线,y＝ x2＝|x|表示两条射线；B 中 y＝x2 表示抛物线,y＝|x|表示两条射线；C 中前者表示一个点,后 者表示两条直线 x＝1 和 y＝－2.故选 D.
(2)相关点法(代入法) 有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着 另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是 明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐 标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程,这种求 轨迹的方法叫做相关点法或代入法.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程课件新人教A版选修2_1
自我检测
1.方程x2+xy=x表示的曲线是( C )
(A)一个点
(B)一条直线
(C)两条直线 (D)一个点和一条直线
解析:由x2+xy=x,得x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0.由此知方程x2+xy=x表 示两条直线.故选C.
2.方程(x+y-1) x2 y2 4 =0 所表示的曲线是( D )
第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的方程
课标要求:1.了解曲线与方程的对应关系.2.进一步感受数形结合的基本思 想.3.掌握求曲线方程的基本方法(直接法),了解求曲线方程的其他方法(待 定系数法、定义法、参数法等).
自主学习
知识探究
1.曲线的方程与方程的曲线 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的 轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (a)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (b)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线
解析:原方程等价于
x y 1 0, x2 y2 4
或
x2+y2=4,其中当
x+y-1=0
时,需
x2+y2≥4.它
表示直线 x+y-1=0 上不在圆 x2+y2=4 内的部分及圆 x2+y2=4.故选 D.
3.设方程f(x,y)=0的解集非空,如果命题“坐标如果题目中没有确定平面直角坐标系,应首先建立适当的平面 直角坐标系,坐标系建立得当,所得方程也较为简单. (2)步骤(2)是求方程的重要一步,应仔细分析曲线特征,找到隐含条件,抓住与曲线上 任意点M有关的等量关系,列出等式. (3)步骤(3)是将几何条件转化为代数方程,在这个过程中常用到一些基本公式,如两 点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式等. (4)步骤(4)是方程的化简,注意化简过程中运算的合理性与准确性,尽量避免“漏解” 和“增解”. (5)对于步骤(5)中的“限制说明”,从理论上讲是必要的,但实际上常被省略掉.如遇 特殊情况,可适当予以说明.例如,某些点的坐标虽然适合方程,但不在曲线上,那么可 通过限制方程中x,y的取值予以剔除. (6)在第(1)步中,如果原题中没有确定坐标系,应首先建立适当的坐标系,坐标系建立 得当,所得方程也较为简单.在实际解题过程中,建立坐标系时,应充分考虑平行、垂 直、对称等几何因素,遵循“垂直性”和“对称性”的原则,从而使解题更加简化.
2019秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2求曲线的方程课件新人教A版选修2_1
[思考尝试·夯基]
1．平面内有两定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|
→ PA
＋P→B|＝4，则点P的轨迹是( )
A．线段
B．半圆
C．圆
D．直线
解析：以AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴
建立直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0). 设P(x，y)，
则P→A＋P→B＝2P→O＝2(－x，－y)．
类型2 定义法求曲线方程 [典例2] 已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的 任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． 解：如图，设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中 点，则CP⊥OQ，设M为OC的中点，则M的坐标为12，0 为圆心，OC为直径的圆 上，由圆的方程得
归纳升华 直接法求曲线方程的步骤及注意点
1．步骤：直接法是当动点具有的几何条件比较明显 时，由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的 动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等 式，化简得曲线方程的方法．
2．注意点：利用直接法求得的轨迹方程要与动点的 轨迹一一对应，否则要“多退少补”，多余的点要剔除 (用x，y的取值范围来限制)，不足的点要补充．
类型1 直接法求曲线方程(自主研析) [典例1] 已知在直角三角形ABC中，角C为直角，点 A(－1，0)，点B(1，0)，求满足条件的点C的轨迹方程． 解：如图，设C(x，y)， 则A→C＝(x＋1，y)， B→C＝(x－1，y)． 因为∠C为直角，所以A→C⊥B→C，
即A→C·B→C＝0. 所以(x＋1)(x－1)＋y2＝0. 化简得x2＋y2＝1. 因为A，B，C三点要构成三角形， 所以A，B，C三点不共线，所以y≠0. 所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)．
因为|P→A＋P→B|＝4, 所以x2＋y2＝4.
2021_2022高中数学第二章圆锥曲线与方程1曲线与方程2求曲线的方程3课件新人教A版选修2
第二章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
【学习要求】 1．掌握求轨迹方程时建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程
的四个步骤以及利用方程研究曲线五个方面的性质． 2．掌握求轨迹方程的几种常用方法． 【学法指导】
通过建立直角坐标系得到曲线的方程，从曲线方程研究曲线的 性质和位置关系，进一步感受坐标法的作用和数形结合思想.
因为曲线在 x 轴的上方，所以 y>0. 虽然原点 O 的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线， 所以曲线的方程应是 y＝18x2 (x≠0)． 小结 (1)求曲线方程时，建立的坐标系不同，得到的方程也 不同．
(2)求曲线轨迹方程时，一定要注意检验方程的解与曲线上点 的坐标的对应关系，对于坐标适合方程但又不在曲线上的点 应注意剔除．
例 2 讨论方程 y2＝1－x2x (x≥0)的曲线性质，并画出图形． 解 (1)范围：∵y2≥0，又 x2≥0，∴1－x>0. 解得 x<1，∴0≤x<1. 又当 x＝0 时，y＝0，∴曲线过原点． 当 x→1 时，y2→＋∞，∴y2≥0. 综上可知，曲线分布在两平行直线 x＝0 和 x＝1 之间．
当堂检测
1．在△ABC 中，若 B、C 的坐标分别是(－2,0)、(2,0)，BC
边上的中线的长度为 5，则 A 点的轨迹方程是 ( D )
AHale Waihona Puke x2＋y2＝5B．x2＋y2＝25
C．x2＋y2＝5 (y≠0) D．x2＋y2＝25 (y≠0)
解析 BC 的中点为原点，BC 边上的中线长为 5，即 OA ＝5.设 A(x，y)，则有 x2＋y2＝25 (y≠0)．
知识要点
1．解析几何研究的主要问题： (1)根据已知条件，求出__表__示___曲__线__的__方__程____； (2)通过曲线的方程，研究_曲__线__的___性__质______．
2.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
【学习要求】 1．掌握求轨迹方程时建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程
的四个步骤以及利用方程研究曲线五个方面的性质． 2．掌握求轨迹方程的几种常用方法． 【学法指导】
通过建立直角坐标系得到曲线的方程，从曲线方程研究曲线的 性质和位置关系，进一步感受坐标法的作用和数形结合思想.
因为曲线在 x 轴的上方，所以 y>0. 虽然原点 O 的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线， 所以曲线的方程应是 y＝18x2 (x≠0)． 小结 (1)求曲线方程时，建立的坐标系不同，得到的方程也 不同．
(2)求曲线轨迹方程时，一定要注意检验方程的解与曲线上点 的坐标的对应关系，对于坐标适合方程但又不在曲线上的点 应注意剔除．
例 2 讨论方程 y2＝1－x2x (x≥0)的曲线性质，并画出图形． 解 (1)范围：∵y2≥0，又 x2≥0，∴1－x>0. 解得 x<1，∴0≤x<1. 又当 x＝0 时，y＝0，∴曲线过原点． 当 x→1 时，y2→＋∞，∴y2≥0. 综上可知，曲线分布在两平行直线 x＝0 和 x＝1 之间．
当堂检测
1．在△ABC 中，若 B、C 的坐标分别是(－2,0)、(2,0)，BC
边上的中线的长度为 5，则 A 点的轨迹方程是 ( D )
AHale Waihona Puke x2＋y2＝5B．x2＋y2＝25
C．x2＋y2＝5 (y≠0) D．x2＋y2＝25 (y≠0)
解析 BC 的中点为原点，BC 边上的中线长为 5，即 OA ＝5.设 A(x，y)，则有 x2＋y2＝25 (y≠0)．
知识要点
1．解析几何研究的主要问题： (1)根据已知条件，求出__表__示___曲__线__的__方__程____； (2)通过曲线的方程，研究_曲__线__的___性__质______．