2020年中考数学 解答题 强化练习 一 学生版
2020年中考数学压轴解答题13几何中的最值与定值问题（学生版）
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题13 几何中的最值与定值问题【类型综述】【类型综述】线段和差的最值问题,常见的有两类：常见的有两类： 第一类问题是“两点之间,线段最短”．两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称轴“河流”第二类问题是“两点之间,线段最短”结合“垂线段最短”．【方法揭秘】【方法揭秘】两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）． 三条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题,关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题,一般根据三角形的两边之差小于第三边,当三点共线时,两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3,P A 与PB 的差的最大值就是AB ,此时点P 在AB 的延长线上,即P ′． 解决线段和差的最值问题,有时候求函数的最值更方便,本讲不涉及函数最值问题．本讲不涉及函数最值问题．图1 图2 图3如图4,正方形ABCD 的边长为4,AE 平分∠BAC 交BC 于E ．点P 在AE 上,点Q 在AB 上,那么△BPQ 周长的最小值是多少呢？的最小值是多少呢？如果把这个问题看作“牛喝水”问题,AE 是河流,但是点Q 不确定啊．不确定啊．第一步,应用“两点之间,线段最短”．如图5,设点B 关于“河流AE ”的对称点为F ,那么此刻PF ＋PQ 的最小值是线段FQ ．第二步,应用“垂线段最短”．如图6,在点Q 运动过程中,FQ 的最小值是垂线段FH ． 这样,因为点B 和河流是确定的,所以点F 是确定的,于是垂线段FH 也是确定的．也是确定的．图4 图5 图6【典例分析】【典例分析】【例1】如图1,△ABC 是边长为8的等边三角形,AD ⊥BC 于点D,DE ⊥AB 于点E.（1）求证：AE ＝3EB（2）若点F 是AD 的中点,点P 是BC 边上的动点,连接PE,PF,如图2所示,求PE ＋PF 的最小值及此时BP的长；（3）在（2）的条件下,连接EF,当PE ＋PF 取最小值时,△PEF 的面积是______. 【例2】问题探究()1请在图①的正方形ABCD 的对角线BD 上作一点P,使PA PC +最小； ()2如图②,点P 为矩形ABCD 的对角线BD 上一动点,AB 2=,BC 23=,点E 为BC 边的中点,请作一点P,使PE PC +最小,并求这个最小值； 问题解决()3如图③,李师傅有一块边长为1000米的菱形采摘园ABCD,AC 1200=米,BD 为小路,BC 的中点E 为一水池,李师傅现在准备在小路BD 上建一个游客临时休息纳凉室P,为了节省土地,使休息纳凉室P 到水池E 与大门C 的距离之和最短,那么是否存在符合条件的点P ？若存在,请作出点P 的位置,并求出这个最短距离；若不存在,请说明理由．【例3】在平面直角坐标系中,点A （0,4）,B （m ,0）在坐标轴上,点C ,O 关于直线AB 对称,点D 在线段AB 上．（1）如图1,若m ＝8,求AB 的长；（2）如图2,若m ＝4,连接OD ,在y 轴上取一点E ,使OD ＝DE ,求证：CE ＝2DE ；（3）如图3,若m ＝43,在射线AO 上裁取AF ,使AF ＝BD ,当CD +CF 的值最小时,请在图中画出点D 的位置,并直接写出这个最小值．【例4】如图,一次函数122y x =-+的图像与坐标轴交于A 、B 两点,点C 的坐标为(1,0)-,二次函数2y ax bx c =++的图像经过A 、B 、C 三点．（1）求二次函数的解析式（2）如图1,已知点(1,)D n 在抛物线上,作射线BD ,点Q 为线段AB 上一点,过点Q 作QM y ⊥轴于点M ,作QN BD ⊥于点N ,过Q 作//QP y 轴交抛物线于点P ,当QM 与QN 的积最大时,求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下,连接AP ,若点E 为抛物线上一点,且满足APE ABO ∠=∠,求点E 的坐标．【例5】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y ＝﹣23533322x x ++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B左侧）,与y 轴交于点C ．（1）求出△ABC 的周长．（2）在直线BC 上方有一点Q ,连接QC 、QB ,当△QBC 面积最大时,一动点P 从Q 出发,沿适当路径到达y 轴上的M 点,再沿与对称轴垂直的方向到达对称轴上的N 点,连接BN ,求QM +MN +BN 的最小值．（3）在直线BC 上找点G ,K 是平面内一点,在平面内是否存在点G ,使以O 、C 、G 、K 为顶点的四边形是菱形？若存在,求出K 的坐标；若不存在,请说明理由．【例6】在平面直角坐标系中,抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B ,C ,已知A （﹣1,0）,C （0,3）．【变式训练】【变式训练】一、单选题1．如图,APB △中,4,3AP BP ==,在AB 的同侧作正ABD △、正APE V 和正BPC △,则四边形PCDE 面积的最大值是（ ）A ．12B ．15C ．20D ．252．如图,在Rt ABC ∆中, 90BAC =︒∠,45ACB ∠=︒,22AB =,点P 为BC 上任意一点,连结PA ,以PA ,PC 为邻边作平行四边形PAQC ,连结PQ ,则PQ 的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．43．如图,矩形ABCD 中,3AB =,8BC =,点P 为矩形内一动点,且满足PBC PCD ∠=∠,则线段PD 的最小值为（ ）A ．5B ．1C ．2D ．34．已知：AB 是O e 的直径,AD ,BC 是O e 的切线,P 是O e 上一动点,若10AD =,4OA =,16BC =,则PCD ∆的面积的最小值是（）A ．36B ．32C ．24D ．10.45．⊙O 是半径为1的圆,点O 到直线L 的距离为3,过直线L 上的任一点P 作⊙O 的切线,切点为Q ；若以PQ 为边作正方形PQRS,则正方形PQRS 的面积最小为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106．在△ABC 中,AB=BC,点D 在AC 上,BD=6cm,E ,F 分别是AB ,BC 边上的动点,△DEF 周长的最小值为6 cm,则ABC ∠=()A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°7．如图,已知点(1,3)A -,(5,1)B -,点(,0)P m 是x 轴上一动点,点Q 是y 轴上一动点,要使四边形ABPQ 的周长最小,m 的值为（ ）A ．3.5B ．4C ．7D ．2.58．如图,四边形ABCD 中,∠BAD=130°BAD=130°,,∠B=∠D=90°D=90°,,在BC 、CD 上分别找一点M 、N,使三角形AMN 周长最小时,则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．130°二、填空题9．如图,ABC ∆是等边三角形,13AD AB =,点E 、F 分别为边AC 、BC 上的动点,当DEF ∆的周长最小时,FDE ∠的度数是______________.10．如图,△ABC 中,AB=8,AC=5,BC=7,点D 在AB 上一动点,线段CD 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE,AE 的最小值为________11．在Rt △ABC 中,∠BAC =90,AB =AC ,AD ⊥BC 于点D ,P 是线段AD 上的一个动点,以点P 为直角的顶点,向上作等腰直角三角形PBE ,连接DE ,若在点P 的运动过程中,DE 的最小值为3,则AD 的长为____．12．如图示,在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,3AC =,3BC =,点P 在Rt ABC ∆内部,且PAB PBC ∠=∠,连接CP ,则CP 的最小值等于______.13．如图,在半径为2的⊙O 中,弦AB ⊥直径CD ,垂足为E ,∠ACD ＝30°30°,,点P 为⊙O 上一动点,CF ⊥AP 于点F ． ①弦AB 的长度为_____；②点P 在⊙O 上运动的过程中,线段OF 长度的最小值为_____．14．如图,矩形ABCD 中,6AB =,8BC =,M 是AD 边上的一点,且2AM =,点P 在矩形ABCD 所在的平面中,且90BPD ∠=︒,则PM 的最大值是_________．三、解答题15．如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的两边OA OC 、分别在x 轴、y 轴的正半轴上,8,4OA OC ==点P 从点O 出发,沿x 轴以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动,当点P 到达点A 时停止运动,设点P 运动的时间是t 秒.将线段CP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转90o ,得点D ,点D 随点P 的运动而运动,连接DP DA 、.(1)请用含t 的代数式表示出点D 的坐标.(2)求t 为何值时,DPA ∆的面积最大,最大为多少?(3)在点P 从O 向A 运动的过程中,DPA ∆能否成为直角三角形若能,求t 的值:若不能,请说明理由. (4)请直接写出整个运动过程中,点D 所经过的长度.16．已知矩形纸片OBCD 的边OB 在x 轴上,OD 在y 轴上,点C 在第一象限,且86OB OD ==，.现将纸片折叠,折痕为EF （点E,F 是折痕与矩形的边的交点）,点P 为点D 的对应点,再将纸片还原。
2020年中考数学压轴解答题10 二次函数与线段关系及最值定值问题(学生版)
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题10 二次函数与线段关系及最值定值问题【类型综述】图形运动的过程中,求两条线段之间的函数关系,是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系,常见的情况有两种,一是勾股定理,二是比例关系．还有一种不常见的,就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题,在两种类型的题目中比较常用． 一是由平行线产生的对于线段成比例,二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系,再代入数值或表示数的字母,最后整理、变形,根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系,难点是有的整理、变形比较繁琐,容易出错．【方法揭秘】由勾股定理产生的函数关系,在两种类型的题目中比较常用．类型一,已知“边角边”,至少一边是动态的,求角的对边．如图1,已知点A 的坐标为(3, 4),点B 是x 轴正半轴上的一个动点,设OB ＝x ,AB ＝y ,那么我们在直角三角形ABH 中用勾股定理,就可以得到y 关于x 的函数关系式．类型二,图形的翻折．已知矩形OABC 在坐标平面内如图2所示,AB ＝5,点O 沿直线EF 翻折后,点O 的对应点D 落在AB 边上,设AD ＝x ,OE ＝y ,那么在直角三角形AED 中用勾股定理就可以得到y 关于x 的函数关系式．图1 图2【典例分析】【例1】如图①,矩形ABCD 中,2,5,1AB BC BP ===,090MPN ∠=,将MPN ∠绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转,PM 交边AB （或AD ）于点E ,PN 交边AD （或CD ）于点F .当PN 旋转至PC 处时,MPN ∠的旋转随即停止.（1）特殊情形：如图②,发现当PM 过点A 时,PN 也恰好过点D ,此时ABP ∆是否与PCD ∆相似？并说明理由；（2）类比探究：如图③,在旋转过程中,PEPF的值是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由； （3）拓展延伸：设AE t =时,EPF ∆的面积为S ,试用含t 的代数式表示S ；①在旋转过程中,若1t =时,求对应的EPF ∆的面积； ②在旋转过程中,当EPF ∆的面积为4.2时,求对应的t 的值.【例2】如图1,在矩形ABCD 中,AB ＝8,AD ＝10,E 是CD 边上一点,连接AE ,将矩形ABCD 沿AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上点F 处,延长AE 交BC 的延长线于点G ． （1）求线段CE 的长；（2）如图2,M ,N 分别是线段AG ,DG 上的动点（与端点不重合）,且∠DMN ＝∠DAM ,设AM ＝x ,DN ＝y ． ①写出y 关于x 的函数解析式,并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ,使△DMN 是等腰三角形？若存在,请求出x 的值；若不存在,请说明理由．【例3】抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧）,与y 轴交于点(0,4)C -.已知(2,0)A -,抛物线的对称轴l 交x 轴于点(1,0)D . （1）求出,,a b c 的值；（2）如图1,连接BC ,点P 是线段BC 下方抛物线上的动点,连接,PB PC .点,M N 分别在y 轴,对称轴l 上,且MN y ⊥轴.连接,AM PN .当PBC ∆的面积最大时,请求出点P 的坐标及此时AM MN NP ++的最小值；（3）如图2,连接AC ,把AOC ∆按照直线y x =对折,对折后的三角形记为A OC ∆'',把A OC ∆''沿着直线BC 的方向平行移动,移动后三角形的记为A O C ∆''''',连接DA '',DC '',在移动过程中,是否存在DA C ∆''''为等腰三角形的情形？若存在,直接写出点C ''的坐标；若不存在,请说明理由.【例4】如图在锐角△ABC 中,BC ＝6,高AD ＝4,两动点M 、N 分别在AB 、AC 上滑动(不包含端点),且MN ∥BC,以MN 为边长向下作正方形MPQN,设MN ＝x,正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为y ． (1)如图(1),当正方形MPQN 的边P 恰好落在BC 边上时,求x 的值；(2)如图(2),当PQ 落△ABC 外部时,求出y 与x 的函数关系式(写出x 的取值范围)并求出x 为何值时y 最大,最大是多少？【例5】如图,抛物线y＝12-x2+mx+m（m＞0）的顶点为A,交y轴于点C．（1）求出点A的坐标（用含m的式子表示）；（2）若直线y＝﹣x＋n经过点A,与抛物线交于另一点B,证明：AB的长是定值；（3）连接AC,延长AC交x轴于点D,作直线AD关于x轴对称的直线,与抛物线分别交于E、F两点．若∠ECF＝90°,求m的值．【例6】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B 点的坐标为（3,0）,与y轴交于点C（0,﹣3）．（1）求二次函数解析式；（2）若点Q为抛物线上一点,且S△ABQ＝12S△ACQ,求点Q的坐标；（3）若直线l：y＝mx+n与抛物线有两个交点M,N（M在N的左边）,P为抛物线上一动点（不与M,N重合）．过P作PH平行于y轴交直线l于点H,若HM HNHP⋅＝5,求m的值．【变式训练】1．如图,抛物线y ＝ax 2+4x +c （a ≠0）与反比例函数y ＝5x的图象相交于点B ,且点B 的横坐标为5,抛物线与y 轴交于点C （0,6）,A 是抛物线的顶点,P 和Q 分别是x 轴和y 轴上的两个动点,则AQ +QP +PB 的最小值为_____．2．如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上,顶点 C 的坐标为（4,3）,D 是抛物线 y =﹣x 2+6x 上一点,且在x 轴上方,则△BCD 面积的最大值为__________3．己知抛物线2114y x =+具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x 轴的距离始终相等,如图,点M 的坐标为(3,3),P 是抛物线2114y x =+上一个动点,则△PMF 周长的最小值是__________.4．如图,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC =16cm ,AD 为BC 边上的高,动点P 从点A 出发,沿A →D 方向以2/s 的速度向点D 运动,过P 点作PE ∥BC 交AC 于点E ,过E 点作EF ⊥BC 于点F ,设△ABP 的面积为S 1,四边形PDFE 的面积为S 2,则点P 在运动过程中,S 1+S 2的最大值为______．5．在平面直角坐标系中,已知()A 2,4、()P 1,0,B 为y 轴上的动点,以AB 为边构造ABC V ,使点C 在x 轴上,BAC 90.M ∠=o 为BC 的中点,则PM 的最小值为______．6．如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x 2+4x 与x 轴交于点A,点M 是x 轴上方抛物线上一点,过点M 作MP ⊥x 轴于点P,以MP 为对角线作矩形MNPQ,连结NQ,则对角线NQ 的最大值为_________．7．如图,在平面直角坐标系中,过A （－1,0）、B （3,0）两点的抛物线交y 轴于点C,其顶点为点D,设△ACD 的面积为S 1,△ABC 的面积为S 2．小芳经探究发现：S 1︰S 2是一个定值．这个定值为________．8．如图,在平面直角坐标系中,有二次函数23333y x x =--+,顶点为H ,与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧）,易证点H 、B 关于直线3:33l y x =+对称,且A 在直线l 上．过点B 作直线//BK AH 交直线l 于K 点,M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点,连接HN 、NM 、MK ,则HN NM MK ++的最小值为________9．如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与直线1y x =+相交于(1,0)A -,(4,)B m 两点,且抛物线经过点(5,0)C（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上的一个动点（不与点A 点B 重合）,过点P 作直线PD x ⊥轴于点D ,交直线AB 于点E ．当2PE ED =时,求P 点坐标；（3）如图所示,设抛物线与y 轴交于点F ,在抛物线的第一象限内,是否存在一点Q ,使得四边形OFQC 的面积最大？若存在,请求出点Q 的坐标；若不存在,说明理由．10．如图,在矩形ABCD 中,AB=18,AD=12,点M 是边AB 的中点,连结DM,DM 与AC 交于点G ,点E,F 分别是CD 与DG 上的点,连结EF,(1)求证：CG=2AG .(2)若DE=6,当以E,F,D 为顶点的三角形与△CDG 相似时,求EF 的长.(3)若点E 从点D 出发,以每秒2个单位的速度向点C 运动,点F 从点G 出发,以每秒1个单位的速度向点D 运动.当一个点到达,另一个随即停止运动.在整个运动过程中,求四边形CEFG 的面积的最小值.11．如图①,抛物线y=a(x 2+2x-3)(a≠0)与x 轴交于点A 和点B,与y 轴交于点C,且OC=OB.(1)直接写出点B 的坐标是( , ),并求抛物线的解析式；(2)设点D 是抛物线的顶点,抛物线的对称轴是直线l,连接BD,线段OC 上的点E 关于直线l 的对称点E'恰好在线段BD 上,求点E 的坐标；(3)若点F 为抛物线第二象限图象上的一个动点,连接BF,CF,当△BCF 的面积是△ABC 面积的一半时,求此时点F 的坐标.12．如图,抛物线y ＝﹣x 2+mx +2与x 轴交于点A ,B ,与y 轴交于点C ,点A 的坐标为（1,0） （1）求抛物线的解析式（2）在抛物线的对称轴l 上找一点P ,使PA +PC 的值最小,求出点P 的坐标 （3）在第二象限内的抛物线上,是否存在点M ,使△MBC 的面积是△ABC 面积的12？若存在,求出点M 的坐标,若不存在,请说明理由．13．如图,抛物线212y x mx n =++交x 轴于A 、B 两点,直线y=kx+b 经过点A,与这条抛物线的对称轴交于点M （1,2）,且点M 与抛物线的顶点N 关于x 轴对称．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设题中的抛物线与直线的另一交点为C,已知P（x,y）为线段AC上一点,过点P作PQ⊥x轴,交抛物线于点Q．求线段PQ的最大值及此时P坐标；（3）在（2）的条件下,求△AQC面积的最大值．14．如图,抛物线y＝﹣12x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA＝2,OC＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）点D（2,2）是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．（3）连接AD并延长,过抛物线上一点Q（Q不与A重合）作QN⊥x轴,垂足为N,与射线交于点M,使得QM＝3MN,若存在,请直接写出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．15．如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=- x2 + 4x上,且横坐标为1,点B与点A关于抛物线的对称轴对称,直线AB与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点E的坐标为(1,1).(1)求线段AB 的长.(2)点P 为线段AB ．上方抛物线上的任意一点,过点P 作AB 的垂线交AB 于点H,点F 为y 轴上一点,当∆PBE 的面积最大时,求PH + HF + 12FO 的最小值. (3)在(2)中,PH+HF+12方FO 取得最小值时,将∆CFH 绕点C 顺时针旋转60°后得到∆CF'H',过点F'作CF'的垂线与直线AB 交于点Q,点R 为抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点S,使以点D,Q,R,S 为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点S 的坐标,若不存在,请说明理由.16．已知,二次函数24y x x c =-+的图像与x 轴的一个交点为O(0,0),点P （m,0）是x 轴正半轴上的一个动点.（1）如图1,求二次函数的图像与x 轴另一个交点的坐标； （2）如图2,过点P 作x 轴的垂线交直线33y x =与点C,交二次函数图像于点D, ①当PD=2PC 时,求m 的值；如图3,已知A （3,-3）在二次函数图像上,连结AP,求12AP OP +的最小值；(3如图4,在第（2）小题的基础上,作直线OD,作点C关于直线OD的对称点C’,当C’落在坐标轴上时,请直接写出m的值.17．如图1,已知抛物线y =ax2+bx +c 经过A(-3,0),B (1,0 ),C (0,3 )三点,其顶点为D,对称轴是直线l , l 与x 轴交于点H .（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点,求∆PBC 周长的最小值；（3）如图2,若 E 是线段AD 上的一个动点（E 与A, D 不重合）,过 E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点 F ,交x 轴于点G ,设点 E 的横坐标为m ,四边形AODF 的面积为S 。
2020年中考数学解答题练习题(含答案)
2020年中考数学解答题练习题（一）解答题(二)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21．某超市用1 200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的54，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．(1)甲、乙玩具的进货单价各是多少元？(2)玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具(甲、乙玩具的进货单价不变)，购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？22.为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调査(问卷调査表如图1所示)，并根据调查结果绘制了如图2、图3所示的两幅统计图(均不完整)，请根据统计图解答下列问题．(1)本次接受问卷调查的学生有名；(2)补全条形统计图；(3)扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数为；(4)该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数．23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx＋n(m≠0)的图象与y轴交于点C，与反比例函数y＝kx(k≠0)的图象交于A，B两点，点A在第一象限，纵坐标为4，点B在第三象限，BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2.(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)连接OB，MC，求四边形MBOC的面积．（二）解答题(二)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21．为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．(1)今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36 800元．本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？(2)试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A，B两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．整个城区全面铺开时，投放的A型车与B型车各至少多少辆？22.某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.15.25.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.24.4 4.2 4.35.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.14.2 4.4 4.5 4.1 4.55.1 4.4 5.0 5.2 5.3并根据数据绘制了如下的表格和统计图．等级视力(x) 频数频率A x＜4.2 4 0.1B 4.2≤x≤4.4 12 0.3C 4.5≤x≤4.7 aD 4.8≤x≤5.0 bE 5.1≤x≤5.3 10 0.25合计40 1(1)统计表中的a ＝ ，b ＝ ； (2)请补全条形统计图；(3)根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E 级”的有多少人？(4)该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．23.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B (－2,6)，C (2,2)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；(3)若直线y ＝－12x 向上平移b 个单位长度所得的直线与抛物线BDC (包括端点B ，C )部分有两个交点，求b 的取值范围．参考答案（一）21．解：(1)设甲种玩具的进货单价为x 元，则乙种玩具的进价为(x －1)元， 根据题意，得1 200x ＝800x －1×54，解得x ＝6，经检验，x ＝6是原方程的解， ∴x －1＝5.答：甲种玩具的进货单价为6元，乙种玩具的进价为5元． (2)设购进甲种玩具y 件，则购进乙种玩具(2y ＋60)件， 根据题意，得6y ＋5(2y ＋60)≤2 100，解得y ≤11212，∵y 为整数，∴y 最大值＝112.答：该超市用不超过2 100元最多可以采购甲玩具112件． 22．解：(1)100(2)喜爱C 的有100－8－20－36－6＝30(人)， 补全条形统计图略． (3)72°(4)2 000×8100＝160(人)．答：该校最喜爱新闻节目的学生有160人． 23．解：(1)∵BM ＝OM ＝2， ∴点B 的坐标为(－2，－2)，∵反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象经过点B ，则－2＝k－2，得k ＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝4x.∵点A 的纵坐标是4，∴4＝4x ，得x ＝1，∴点A 的坐标为(1,4)，∵一次函数y ＝mx ＋n (m ≠0)的图象过点A (1,4)，点B (－2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4－2m ＋n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝2， ∴一次函数的解析式为y ＝2x ＋2. (2)∵y ＝2x ＋2与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为(0,2)，∵B (－2，－2)，M (－2,0)，∴OC ＝MB ＝2， ∵BM ⊥x 轴，∴MB ∥OC ， ∴四边形MBOC 是平行四边形，∴四边形MBOC 的面积是OM ·OC ＝2×2＝4. （二）21．解：(1)设本次试点投放的A 型车x 辆、B 型车y 辆，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝100400x ＋320y ＝36 800，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝60y ＝40. 答：本次试点投放的A 型车60辆、B 型车40辆． (2)由(1)知A ，B 型车辆的数量比为3∶2，设整个城区全面铺开时投放的A 型车3a 辆、B 型车2a 辆， 根据题意，得3a ×400＋2a ×320≥1 840 000，解得a ≥1 000.答：整个城区全面铺开时，投放的A 型车至少3 000辆、B 型车至少2 000辆． 22．解：(1)8 0.15(2)C 组对应的频数为8，D 组对应的频数为40×0.15＝6，补全条形统计图略． (3)估计该校八年级学生视力为“E 级”的有 400×0.25＝100(人)． (4)列表如下：所以恰好选中“1男1女”的概率为812＝23.23．解：(1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋2＝64a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－x ＋2.(2)设抛物线的对称轴与直线BC 交于H . ∵y ＝12x 2－x ＋2＝12(x －1)2＋32，∴顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1，32， 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将B ，C 的坐标代入可求得直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4， ∴对称轴与BC 的交点为H (1,3)，∴S △BDC ＝S △BDH ＋S △DHC ＝12×32×3＋12×32×1＝3.(3)由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋by ＝12x 2－x ＋2，消去y 得x 2－x ＋4－2b ＝0，当Δ＝0时，直线与抛物线只有1个交点，此时，1－4(4－2b )＝0，∴b ＝158，当直线y ＝－12x ＋b 经过点C 时，b ＝3，当直线y ＝－12x ＋b 经过点B 时，b ＝5，∵直线y ＝－12x 向上平移b 个单位长度所得的直线与抛物线BDC (包括端点B ，C )部分有两个交点，∴158＜b ≤3.。
2020年中考数学 解答题强化练习 5.20(含答案)
2020年中考数学解答题强化练习5.20（含答案）1.如图，直线y=-x+b与反比例函数y=-3x -1的图象相交于点A（a，3），且与x轴相交于点B．（1）求a、b的值；（2）若点P在x轴上，且△AOP的面积是△AOB的面积的一半，求点P的坐标．2.如图，一次函数y=k 1x+b与反比例函数y=的图象交于A（2，m），B（n，﹣2）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，且S △ABC =5．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式k 1x+b＞的解集；（3）若P（p，y 1），Q（﹣2，y 2）是函数y=图象上的两点，且y 1≥y 2，求实数p的取值范围．3.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx-1的图象与一次函数y=x+2的图象的一个交点为A(m,-1).（1）求反比例函数的解析式；（2）设一次函数y=x+2的图象与y轴交于点B，若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是3，直接写出点P的坐标．4.如图，一次函数y=﹣x+2的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称．（1）求A、B两点的坐标；（2）求△ABC的面积．5.(1)如图,纸片▱ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形(2)如图,在(1)中的四边形纸片AEE/D中,在EE/上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE/F/的位置,拼成四边形AFF/D.①求证:四边形AFF'D是菱形;②求四边形AFF'D的两条对角线的长.图1图26.如图，已知在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P在AB上(不与A、B重合)，过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF，M为EF的中点．(1)请判断四边形PECF的形状，并说明理由；(2)随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求CM的长度；若有变化，请你求CM的变化范围．7.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由．8.如图,正方形ABCD边长为6,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．（1）求证：∠HEA=∠CGF；（2）当AH=DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；（3）设AH=x，DG=2x，△FCG的面积为y，试求y的最大值．9.如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB上的点，⊙O是以BC为直径的圆.（1）如图1，若DE与⊙O相切于点F，求BE的长；（2）如图2，若AO⊥DE，垂足为F，求EF的长.10.如图，已知在△ABC中，以O为圆心，AB为直径作⊙O，交BC于D点，E为弧BC上中点，连接AE，交BC于F点，且CA=CF，连接AD、DE.（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若DE=4，tan∠BFE=2，求⊙O的半径.11.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长．13.为提高学校的机房条件，学校决定新购进一批电脑，经了解某电脑公司有甲、乙两种型号的电脑销售，已知甲电脑的售价比乙电脑高1000元，如果购买相同数量的甲、乙两种型号的电脑，甲所需费用为10万元，乙所需费用为8万元.(1)问甲、乙两种型号的电脑每台售价各多少元？(2)学校决定购买甲、乙两种型号的电脑共100台，且购买乙型号电脑的台数超过甲型号电脑的台数，但不多于甲型号电脑台数的4倍，则当购买甲、乙两种型号的电脑各多少台时，学校需要的总费用最少？并求出最少的费用.14.华联商场一种商品标价为40元，试销中发现：①一件该商品打九折销售仍可获利20%，②每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数y=162﹣3x．（1）求该商品的进价为多少元？（2）在不打折的情况下，如果商场每天想要获得销售利润420元，每件商品的销售价应定为多少元？（3）在不打折的情况下，如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少元为最合适？最大销售利润为多少？15.如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD=10米，山坡的坡度i=1：(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度．(结果精确到0.1米)(参考数据：≈1.73，≈1.41)16.如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端点除外），过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．（1）求该抛物线的解析式；（2）当动点P运动到何处时，BP2=BD•BC；（3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．17.如图，抛物线y=-x 2+2x+3与x 轴相交于A、B 两点，与y 轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴DF 与BC 相交于点E，与x 轴相交于点F．(1)求线段DE 的长；(2)设过E 的直线与抛物线相交于点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，试判断当|x 1-x 2|的值最小时，直线MN 与x 轴的位置关系，并说明理由；(3)设P 为x 轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，求点P 的坐标．参考答案1.略2.解：（1）把A（2，m），B（n，﹣2）代入y=得：k 2=2m=﹣2n，即m=﹣n，则A（2，﹣n），过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥y轴于F，延长AE、BF交于D，∵A（2，﹣n），B（n，﹣2），∴BD=2﹣n，AD=﹣n+2，BC=|﹣2|=2，∵S △ABC =S 梯形BCAD ﹣S △BDA =5，∴×（2﹣n+2）×2﹣×（2﹣n）×（﹣n+2），解得：n=﹣3，即A（2，3），B（﹣3，﹣2），把A （2，3）代入y=得：k 2=6，即反比例函数的解析式是y=；把A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入y=k 1x+b得：，解得：k 1=1，b=1，即一次函数的解析式是y=x+1；（2）∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），∴不等式k 1x+b＞的解集是﹣3＜x＜0或x＞2；（3）分为两种情况：当点P在第三象限时，要使y 1≥y 2，实数p的取值范围是P≤﹣2，当点P 在第一象限时，要使y 1≥y 2，实数p 的取值范围是P＞0，即P 的取值范围是p≤﹣2或p＞0．3.4.5.解：(1)C.(2)①证明:∵AD=BC=5,S ▱ABCD =15,AE⊥BC,6.(1)四边形PECF是矩形．理由如下：在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，∴AC2＋BC2=32＋42=52=AB2.∴∠ACB=90°.∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠ACB=∠CFP=90°.∴四边形PECF是矩形．（2）CM的长度会改变．理由：连接PC，由(1)证得四边形PECF是矩形，∵M是EF的中点，∴M在PC上且EF=PC，CM=0.5PC.过点C作CD⊥AB，当CD=PC时PC最小，此时PC=2.4.∵点P在斜边AB上(不与A、B重合)，∴PC＜BC=4.∴PC的范围是2.4≤PC＜4，即EF的范围是2.4≤EF＜4.∴CM的范围是1.2≤CM＜2.7.解：（1）△AED≌△CEB′证明：∵四边形ABCD为矩形，∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，又∵∠B′EC=∠DEA，∴△AED≌△CEB′；（2）由折叠的性质可知，∠EAC=∠CAB，∵CD∥AB，∴∠CAB=∠ECA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC=8﹣3=5．在△ADE中，AD=4，延长HP交AB于M，则PM⊥AB，∴PG=PM．∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4．8.（1）证明：过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE，∵CD∥AB，∴∠AEG=∠MGE，∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠FGM；（2）证明：在△HDG和△AEH中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE，在Rt△HDG和△AEH中，，∴Rt△HDG≌△AEH（HL），∴∠DHG=∠AEH，∴∠DHG+∠AHE=90°∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH为正方形；（3）解：过F作FM⊥CD于M，在△AHE与△MFG中，，∴△AHE≌△MFG，∴MF=AH=x，∵DG=2x，∴CG=6﹣2x，∴y=CG•FM=•x•（6﹣2x）=﹣（x﹣）2+，=．∵a=﹣1＜0，∴当x=时，y最大9.10.解：(1)证明略；(2)圆O的半径为.11.解：12.解：13.解：14.解：（1）设该商品的进价为m 元，由题意得40×0.9﹣m=20%•m，∴m=30，答：该商品的进价为30元；（2）由题意得（x﹣30）=420，∴x 1=40，x 2=44，答：每件商品的销售价应定为40元或44元；（3）在不打折的情况下，商场获得的利润为w 元，由题意得：w=（x﹣30）=﹣3（x﹣42）2+432（30≤x≤54），∵a=﹣3＜0，∴当x=42时，w 最大=432，答：如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为42元为最合适？最大销售利润为432元．15.解：过D 作DG⊥BC 于G，DH⊥AB 于H，交AE 于F，作FP⊥BC 于P，如图所示：则DG=FP=BH，DF=GP，∵坡面CD=10米，山坡的坡度i=1：，∴∠DCG=30°，∴FP=DG=CD=5，∴CG=DG=5，∵∠FEP=60°，∴FP=EP=5，∴EP=，∴DF=GP=5+10+=+10，∵∠AEB=60°，∴∠EAB=30°，∵∠ADH=30°，∴∠DAH=60°，∴∠DAF=30°=∠ADF，∴AF=DF=+10，∴FH=AF=+5，∴AH=FH=10+5，∴AB=AH+BH=10+5+5=15+5≈15+5×1.73≈23.7(米)，答：楼房AB 高度约为23.7米．16.解：（1）由题意，得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x﹣4；（2）设点P运动到点（x，0）时，有BP 2=BD•BC，令x=0时，则y=﹣4，∴点C的坐标为（0，﹣4）．∵PD∥AC，∴△BPD∽△BAC，∴．∵BC=，AB=6，BP=x﹣（﹣2）=x+2．∴BD===．∵BP 2=BD•BC，∴（x+2）2=，解得x 1=，x 2=﹣2（﹣2不合题意，舍去），∴点P的坐标是（，0），即当点P运动到（，0）时，BP 2=BD•BC；（3）∵△BPD∽△BAC，∴，∴×S △BPC =×（x+2）×4﹣∵，∴当x=1时，S △BPC 有最大值为3．即点P的坐标为（1，0）时，△PDC的面积最大．17.解：。
2020年中考数学强化练习 大题练习5.12(含答案)
2020年中考数学强化练习大题练习5.121.如图，一次函数y=k1x+2与反比例函数的图象交于点A(4，m）和1B(﹣8，﹣2），与y轴交于点C．(1）k1= ，k2= ；(2）根据函数图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是；(3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE=3：1时，求点P的坐标．2.如图，直线y=kx+1分别交x轴，y轴于点A、B，交反比例函数y2=(x＞0）的图象于点C，1CD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，S△OAB=1，=．(1）点A的坐标为；(2）求直线和反比例函数的解析式；(3）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，y1≥y2．3.如图A(﹣4，0），B(﹣1，3），以OA、OB为边作▱OACB，经过A点的一次函数y=kx+b与反1比例函数y=的图象交于点C．(1）求一次函数y=k1x+b的解析式；(2）请根据图象直接写出在第二象限内，当k1x+b＞时，自变量x的取值范围；(3）将▱OACB向上平移几个单位长度，使点A落在反比例函数的图象上．4.如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x 轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△PBD=4， =．(1）求点D的坐标；(2）求一次函数与反比例函数的解析式；(3）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．5.如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= (k为常数且k≠0）的图象交于A(﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．(1）求此反比例函数的表达式；(2）若点P在x轴上，且S△ACP=S△BOC，求点P的坐标．6.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A(1，4），B(4，n）两点.(1）求反比例函数的解析式；(2）求一次函数的解析式；(3）点P是x轴上的一动点，当PA+PB最小时，求点P的坐标.7.如图，AB是半圆O上的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O的切线交OE的延长线于点F，已知BC=8，DE=2.(1)求⊙O的半径；(2)求CF的长.8.如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC．（1）求证：∠PCA=∠B；（2）已知∠P=40°，AB=12cm，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q 与点C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．9.如图，AB为⊙O的直径，C O⊥AB于O，D在⊙O上，连接BD，CD，延长CD与AB的延长线交于E，F在BE上，且FD=FE．（1）求证：FD是⊙O的切线；（2）若AF=8，tan∠BDF=0.25，求EF的长．10.如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）求证：AB=AC；（2）若PC=2，求⊙O的半径．11.如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．（1）求证：FE⊥AB；（2）当EF=6，OA:OF=3：5时，求DE的长．12.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是的切线．（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径．13.为了对学生进行革命传统教育，红旗中学开展了“清明节祭扫”活动．全校学生从学校同时出发，步行4000米到达烈士纪念馆．学校要求九(1)班提前到达目的地，做好活动的准备工作．行走过程中，九(1)班步行的平均速度是其他班的1.25倍，结果比其他班提前10分钟到达．分别求九(1)班、其他班步行的平均速度．14.某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．(1)求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；(2)商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？15.某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元.（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？16.某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服9件，B种型号衣服10件，则共需1810元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件A型号衣服可获利18元，销售一件B型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件．（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案并简述购货方案．17.如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C．(1)求二次函数的解析式；(2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．18.如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，且A（﹣6，0），D（﹣2，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A、C重合，求过点P作x轴的垂线交于AC 于点E，求线段PE的最大值及P点坐标；（3）在抛物线的对称轴上足否存在点M，使得△ACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析1.解：(1）∵一次函数y1=k1x+2与反比例函数的图象交于点A(4，m）和B(﹣8，﹣2），∴K2=(﹣8）×(﹣2）=16﹣2=﹣8k1+2∴k1=(2）∵一次函数y1=k1x+2与反比例函数的图象交于点A(4，4）和B(﹣8，﹣2），∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣8＜x＜0或x＞4；(3）由(1）知，．∴m=4，点C的坐标是(0，2）点A的坐标是(4，4）．∴CO=2，AD=OD=4．∴．∵S梯形ODAC：S△ODE=3：1，∴S△ODE=S梯形ODAC=×12=4，即OD•DE=4，∴DE=2．∴点E的坐标为(4，2）．又点E在直线OP上，∴直线OP的解析式是．∴直线OP与的图象在第一象限内的交点P的坐标为(）．故答案为：，16，﹣8＜x＜0或x＞42.解：(1）当x=0时，y=kx+1=1，即OB=1．∵S△OAB=1，∴OA=2．∴A点的坐标为(﹣2，0）．故答案为(﹣2，0）；(2）把A(﹣2，0）代入y1=kx+1，得k=．∴直线解析式为y1=x+1．∵OB∥CE，∴△AOB∽△AEC．∴．所以CE=，OE=3，∴点C坐标为(3，）．∴m=3×=7.5．∴反比例函数解析式为y2=．(3）从图象可看出当x≥3时，y1≥y2．3.解：(1）在口ABCD中，A(﹣4，0），B(﹣1，3），∴BC=OA=4，∴C(﹣5，3），∵直线y=k1x+b的经过点A(﹣4，0），C(﹣5，3），∴，解得，∴y=﹣3x﹣12；(2）当x＜﹣5时，；(3）∵反比例函数的图象经过点C(﹣5，3），∴，解得k2=﹣15，∴，当x=﹣4时，，∴当▱OACB向上平移个单位，使点A落在反比例函数的图象上．4.解：(1）在y=kx+2中，令x=0得y=2，∴点D的坐标为(0，2）(2）∵AP∥OD，∴∠CDO=∠CPA，∠COD=∠CAP，∴Rt△PAC∽Rt△DOC，∵=，即=，∴==，∴AP=6，又∵BD=6﹣2=4，∴由S△PBD=BP•BD=4，可得BP=2，∴P(2，6）(4分）把P(2，6）分别代入y=kx+2与y=可得一次函数解析式为：y=2x+2，反比例函数解析式为：y=；(3）由图可得x＞2．5.解：(1）把点A(﹣1，a）代入y=x+4，得a=3，∴A(﹣1，3）把A (﹣1，3）代入反比例函数y=∴k=﹣3，∴反比例函数的表达式为y=﹣(2）联立两个函数的表达式得解得或∴点B的坐标为B(﹣3，1）当y=x+4=0时，得x=﹣4∴点C(﹣4，0）设点P的坐标为(x，0）∵S△ACP=S△BOC∴解得x1=﹣6，x2=﹣2∴点P(﹣6，0）或(﹣2，0）6.解：(1）把A(1，4）代入y=，得：m=4，∴反比例函数的解析式为y=；(2）把B(4，n）代入y=，得：n=1，∴B(4，1），把A(1，4）.(4，1）代入y=kx+b，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y=﹣x+5；(3）作B的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB=AB′最小，∵B(4，1），∴B′(4，﹣1），设直线AB′的解析式为y=mx+n，∴，解得，∴直线AB′的解析式为y=﹣x+，令y=0，得﹣x+=0，解得x=，∴点P的坐标为(，0）.7.解：(1)设⊙O的半径为x，∵E点是的中点，O点是圆心，∴OD⊥BC，DC==4，在Rt△ODC中，OD=x﹣2，∴OD2+DC2=OC2∴(x﹣2)2+42=x2∴x=5，即⊙O的半径为5；(2)∵FC是⊙O的切线，∴OC⊥CF又∵E是的中点.∴OD⊥BC，∴OC2=OD•OF，即52=3•OF,∴在Rt△OCF中，OC2+CF2=OF2∴8.9. (1)证明:连接OD,∵CO⊥AB,∴∠E+∠C=90°,∵∠DFO为△EFD的外角,且FD=FE,∠ODC为△EOD的外角,且OD=OC, ∴∠DFO=∠E+∠EDF=2∠E,∠DOF+∠E=∠ODC=∠C,得∠DOF+∠E+∠DFO=∠C+2∠E,即∠DOF+∠DFO=∠C+∠E=90°,∴FD是⊙O的切线.(2)解:连接AD,如图,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠A+∠ABD=90°,∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,∴∠A+∠ODB=90°,∵∠BDF+∠ODB=90°,∴∠A=∠BDF,而∠DFB=∠AFD,∴△FBD∽△FDA,∴DF:AF=BD:AD,在Rt△ABD中,tan∠A=tan∠BDF=0.25,∴DF:8=0.25,∴DF=2,∴EF=2.10.11.12.（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠OBP=∠E=90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，根据勾股定理得：PD=10，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=6，∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4，在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2=r2+42，解得：r=3，则圆的半径为3．13.解：设其他班步行的平均速度为x米/分，则九(1)班步行的平均速度为1.25x米/分，依题意，得：﹣=10，解得：x=80，经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，∴1.25x=100．答：九(1)班步行的平均速度为100米/分，其他班步行的平均速度为80米/分．14.解：(1)设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要(x+10)元，依题意，得： =，解得：x=5，经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，∴x+10=15．答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．(2)设购买B商品m个，则购买A商品(80﹣m)个，依题意，得：，解得：15≤m≤16．∵m为整数，∴m=15或16．∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；方案②：购进A商品64个、B商品16个．15.解：16.解：一、综合题17.解：(1)用交点式函数表达式得：y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y=x2﹣4x+3；(2)①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB=PE=2，则点P坐标为(4，3)，当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P(4，3)或(0，3)；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为(2，0)设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：=2，解得：m=2，故点P(2，﹣1)；故：点P(4，3)或(0，3)或(2，﹣1)；(3)直线BC的表达式为：y=﹣x+3，设点E坐标为(x，x2﹣4x+3)，则点D(x，﹣x+3)，S四边形AEBD=AB(y D﹣y E)=﹣x+3﹣x2+4x﹣3=﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x=，其最大值为，此时点E(，﹣)．18.解：第21 页共21 页。
2020年中考数学压轴解答题12 有关函数的计算说理类综合问题(学生版)
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题12 有关函数的计算说理类综合问题【类型综述】计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理,说理之后进行代入求值． 压轴题中的代数计算题,主要是函数类题．函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式,按照设、列、解、验、答五步完成,一般来说,解析式中待定几个字母,就要代入几个点的坐标．还有一类计算题,就是从特殊到一般,通过计算寻找规律．【典例分析】【例1】在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22y x mx n =-++经过点()0,2A ,()3,4B -.（1）求该抛物线的函数表达式及对称轴；（2）设点B 关于原点的对称点为C ,点D 是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在A ,B 之间的部分为图象G （包含A ,B 两点）,如果直线CD 与图象G 有一个公共点,结合函数的图象,直接写出点D 纵坐标t 的取值范围.【例2】如图,在平面直角坐标系中,边长为4的等边OAB ∆的边OB 在x 轴的负半轴上,反比例函数()0ky x x=<的图象经过AB 边的中点C ,且与OA 边交于点D .（1）求k 的值；（2）连接OC ,CD ,求OCD ∆的面积；（3）若直线y mx n =+与直线CD 平行,且与OAB ∆的边有交点,直接写出n 的取值范围.【例3】如图1 ,等腰直角三角形 ABC 中,∠ACB ＝90°,CB ＝CA,直线 DE 经过点 C,过 A 作 AD ⊥DE 于点 D,过 B 作 BE ⊥DE 于点 E,则△BEC ≌△CDA,我们称这种全等模型为 “K 型全等”．（不需要证明）（模型应用）若一次函数 y=kx+4（k≠0）的图像与 x 轴、y 轴分别交于 A 、B 两点．（1）如图 2,当 k=－1 时,若点 B 到经过原点的直线 l 的距离 BE 的长为 3,求点 A 到直线 l 的距离 AD 的长；（2）如图 3,当 k=－ 43时,点 M 在第一象限内,若△ABM 是等腰直角三角形,求点 M 的坐标；（3）当k 的取值变化时,点 A 随之在x 轴上运动,将线段BA 绕点 B 逆时针旋转90°得到BQ,连接OQ,求OQ 长的最小值．【例4】如图,在平面直角坐标系中,直线l1：16 2y x=-+分别与x轴、y轴交于点B、C,且与直线l2：1 2y x=交于点A．（1）求出点A的坐标（2）若D是线段OA上的点,且△COD的面积为12,求直线CD的解析式（3）在（2）的条件下,设P是射线CD上的点,在平面内是否存在点Q,使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在,直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由．【例5】寻找神奇点！每条抛物线内都有一个神奇的点F（也叫焦点）,还有一条与之配套的直线！（也叫准线）,使得抛物线上的每个点到F的距离等于到直线l的距离．如图,对于抛物线上任意一点D,都有DF＝DH．根据以上知识,我们来完成以下问题：（1）因为抛物线是轴对称图形,由对称性可知这个神奇的点F应在抛物线的上,且准线l一定与对称轴垂直即l⊥MN（对称轴）．（2）若准线l 与对称轴MN 交于E ,MN 交抛物线于点P ,则PE 、PF 的数量关系是PE PF （填＞、＝、＜）,（3）求抛物线y ＝﹣（x ﹣2）2+4的神奇点（焦点）F 的坐标．【例6】在平面直角坐标系中,已知矩形OABC 中的点()0,4A ,抛物线21y ax bx c =++经过原点O 和点C ,并且有最低点()2,1G -点E ,F 分别在线段OC ,BC 上,且516AEF OABCS S ∆=矩形,1CF =,直线BE 的解析式为2y kx b =+,其图像与抛物线在x 轴下方的图像交于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）当120y y <<时,求x 的取值范围； （3）在线段BD 上是否存在点M ,使得14DMC EAF ∠=∠,若存在,请求出点M 的坐标,若不存在,请说明理由．【变式训练】一、单选题1．如图,坐标平面上有一顶点为A 的抛物线,此抛物线与方程式2y ＝的图形交于B 、C 两点,ABC ∆为正三角形．若A 点坐标为()3,0-,则此抛物线与Y 轴的交点坐标为何？（ ）A．90,2⎛⎫⎪⎝⎭B．270,2⎛⎫⎪⎝⎭C．()0,9D．()0,192．如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y＝﹣43x+4与x轴、y轴分别交于点A、B,M是y轴上的点（不与点B重合）,若将△ABM沿直线AM翻折,点B恰好落在x轴正半轴上,则点M的坐标为（）A．（0,﹣4 ）B．（0,﹣5 ）C．（0,﹣6 ）D．（0,﹣7 ）3．如图,直线y＝23x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分别为线段AB、OB的中点,点P为OA上一动点,PC+PD值最小时点P的坐标为（）A．（﹣34,0）B．（﹣12,0）C．（﹣32,0）D．（﹣52,0）4．抛物线y＝ax2+bx+1的顶点为D,与x轴正半轴交于A、B两点,A在B左,与y轴正半轴交于点C,当△ABD 和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点）时,b的值为（）A ．2B ．﹣2或﹣4C ．﹣2D ．﹣45．如图,菱形ABCD 的边AD ⊥y 轴,垂足为点E,顶点A 在第二象限,顶点B 在y 轴的正半轴上,反比例函数y=kx（k≠0,x ＞0）的图象同时经过顶点C,D ．若点C 的横坐标为5,BE=3DE,则k 的值为（ ）A ．52B ．154C ．3D ．56．如图,已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x =>交于A 、B 两点,点B 坐标为(-4,-2),C 为双曲线(0)ky k x =>上一点,且在第一象限内,若△AOC 面积为6,则点C 坐标为（ ）A ．（4,2）B ．（2,3）C ．（3,4）D ．（2,4）二、填空题7．如图,在平面直角坐标系xOy 中,直角三角形的直角顶点与原点O 重合,顶点A,B 恰好分别落在函数1(0)y x x =-＜,4(0)y x x=＞的图象上,则tan ∠ABO 的值为___________8．如图,直线y=﹣12x+3与坐标轴分别交于点A 、B,与直线y=x 交于点C,线段OA 上的点Q 以每秒1个长度单位的速度从点O 出发向点A 作匀速运动,运动时间为t 秒,连接CQ ．若△OQC 是等腰直角三角形,则t 的值为_____．9．如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(03)，,点B 为x 轴上一动点,以AB 为边在AB 的右侧作等腰Rt ABD △,90ABD ∠=︒,连接OD ,则OD AD +的最小值是 __________．10．如图,抛物线y ＝ax 2+4x +c （a ≠0）与反比例函数y ＝5x的图象相交于点B ,且点B 的横坐标为5,抛物线与y 轴交于点C （0,6）,A 是抛物线的顶点,P 和Q 分别是x 轴和y 轴上的两个动点,则AQ +QP +PB 的最小值为_____．11．如图,已知⊙P 的半径是1,圆心P 在抛物线y ＝212x -x-12上运动,当⊙P 与x 轴相切时,圆心P 的坐标为_____．12．如图,四边形ABCD 的项点都在坐标轴上,若//,AB CD AOB V 与COD △面积分别为8和18,若双曲线ky x=恰好经过BC 的中点E ,则k 的值为__________．三、解答题13．如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2y x bx c =++经过点3(2,)A -和点(5,0)B ,顶点为C . （1）求这条抛物线的表达式和顶点C 的坐标；（2）点A 关于抛物线对称轴的对应点为点D ,联结,OD BD ,求ODB ∠的正切值；（3）将抛物线2y x bx c =++向上平移(0)t t >个单位,使顶点C 落在点E 处,点B 落在点F 处,如果BE BF =,求t 的值.14．在平面直角坐标系xOy 中,存在抛物线2y mx 2=+以及两点()A 3,m -和()B 1,m . (1)求该抛物线的顶点坐标;(2)若该抛物线经过点()A 3.m -,求此抛物线的表达式;(3)若该抛物线与线段AB 只有一个公共点,结合图象,求m 的取值范围.15．如图,抛物线的表达式为y=ax2+4ax+4a-1（a≠0）,它的图像的顶点为A,与x轴负半轴相交于点B、点C （点B在点C左侧）,与y轴交于点D,连接AO交抛物线于点E,且S△AEC:S△CEO=1:3.（1）求点A的坐标和抛物线表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得△BDP的内心也在对称轴上,若存在,求点P的坐标；若不存在,请说明理由；（3）连接BD,点Q是y轴左侧抛物线上的一点,若以Q为圆心,22为半径的圆与直线BD相切,求点Q的坐标.16．在平面直角坐标系中,抛物线y＝ax2﹣4ax﹣32（a≠0）交x轴于A、B两点,交y轴于点C,这条抛物线的顶点为D．（1）求点D的坐标．（2）过点C作CE∥x轴交抛物线于点E．当CE＝2AB时,求点D的坐标．（3）这条抛物线与直线y＝﹣x相交,其中一个交点的横坐标为﹣1．过点P（m,0）作x轴的垂线,交这条抛物线于点M,交直线y＝﹣x于点N,且点M在点N的下方．当线段MN的长度随m的增大而增大时,求m的取值范围．（4）点Q 在这条抛物线上运动,若在这条抛物线上只存在两个点Q ,满足S △ABQ ＝3S △ABC ,直接写出a 的取值范围．17．如图1,在平面直角坐标系中,直线y ＝﹣5x+5与x 轴,y 轴分别交于A,C 两点,抛物线y ＝x 2+bx+c 经过A,C 两点,与x 轴的另一交点为B ．（1）求抛物线解析式及B 点坐标；（2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点,连接MA 、MB 、BC,当点M 运动到某一位置时,四边形AMBC 面积最大,求此时点M 的坐标及四边形AMBC 的面积；（3）如图2,若P 点是半径为2的⊙B 上一动点,连接PC 、PA,当点P 运动到某一位置时,PC+12PA 的值最小,请求出这个最小值,并说明理由．18．如图,在平面直角坐标系中,点B 的坐标是()0,2,动点A 从原点O 出发,沿着x 轴正方向移动,以AB 为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABP ∆,设动点A 的坐标为()(),00t t ≥.(1)当2t =时,点P 的坐标是 ；当1t =时,点P 的坐标是 ； (2)求出点P 的坐标(用含t 的代数式表示)；(3)已知点C 的坐标为()1,1,连接PC 、BC ,过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ,求当t 为何值时,当PQB ∆与PCB ∆全等.压轴解答题·直面高考精品资源·战胜高考 19．如图,在平面直角坐标系中,直线l 1的解析式为y x =,直线l 2的解析式为132y x =-+,与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B,直线l 1与l 2交于点C ．（1）求点A 、点B 、点C 的坐标,并求出△COB 的面积；（2）若直线l 2上存在点P （不与B 重合）,满足S △COP =S △COB ,请求出点P 的坐标；（3）在y 轴右侧有一动直线平行于y 轴,分别与l 1,l 2交于点M 、N,且点M 在点N 的下方,y 轴上是否存在点Q,使△MNQ 为等腰直角三角形？若存在,请直接写出满足条件的点Q 的坐标；若不存在,请说明理由. 20．如图,已知直线y ＝12x+b 与y 轴交于点B （0,﹣3）,与反比例函数y ＝k x （x ＞0）的图象交于点A,与x 轴交于点C,BC ＝3AC（1）求反比例函数的解析式；（2）若P 是y 轴上一动点,M 是直线AB 上方的反比例函数y ＝k x（x ＞0）的图象上一动点,直线MN ⊥x 轴交直线AB 于点N,求△PMN 面积的最大值．。
2020年中考数学压轴解答题01 因动点产生的等腰三角形问题(学生版)
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题01 因动点产生的等腰三角形问题【类型综述】数学因运动而充满活力,数学因变化而精彩纷呈,动态几何问题是近年来中考的热点问题,以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题,动态问题的解答,一般要将动态问题转化为静态问题,抓住运动过程中的不变量,利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题,将几何问题转化为代数问题。
在动态问题中,动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型,可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合,也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合,从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.【方法揭秘】我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB＝5厘米,以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6厘米,以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆,圆上除了两个点以外,都是顶点C．已知底边画等腰三角形,顶角的顶点在底边的垂直平分线上,垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时,一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB＝AC,②BA＝BC,③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的,夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来,那么就用几何法．①如图1,如果AB＝AC,直接列方程；②如图2,如果BA＝BC,那么1cos2AC AB A=∠；③如图3,如果CA＝CB,那么1cos2AB AC A=∠．代数法一般也分三步：罗列三边长,分类列方程,解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的,而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来,那么根据两点间的距离公式,三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3【典例分析】【例1】抛物线229y x bx c =-++与x 轴交于1,05,0A B （-），（）两点,顶点为C ,对称轴交x 轴于点D ,点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点（点P 不与,C D 重合）．过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E ,交x轴于点F ．()1求抛物线的解析式；()2当PCF V 的面积为5时,求点P 的坐标；()3当△PCF 为等腰三角形时,请直接写出点P 的坐标．【例2】如图1,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点,直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点,当△PAC 的周长最小时,求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ,使△MAC 为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在,请说明理由．图1【例3】如图1,点A 在x 轴上,OA ＝4,将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上,是否存在点P ,使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求点P 的坐标；若不存在,请说明理由．图1【例4】在平面直角坐标系xOy 中,已知(0,2)A ,动点P 在33y x =的图像上运动（不与O 重合）,连接AP ,过点P 作PQ AP ⊥,交x 轴于点Q ,连接AQ ．（1）求线段AP 长度的取值范围；（2）试问：点P 运动过程中,QAP ∠是否问定值？如果是,求出该值；如果不是,请说明理由． （3）当OPQ ∆为等腰三角形时,求点Q 的坐标．【例5】如图1,在矩形ABCD 中,8AB =,10AD =,E 是CD 边上一点,连接AE ,将矩形ABCD 沿AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上点F 处,延长AE 交BC 的延长线于点G ．（1）求线段CE 的长；（2）如图2,M ,N 分别是线段AG ,DG 上的动点（与端点不重合）,且DMN DAM ∠=∠,设AM x =,DN y =．①写出y 关于x 的函数解析式,并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ,使DMN V 是等腰三角形？若存在,请求出x 的值；若不存在,请说明理由． 【例6】如图1,已知Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝8,BC ＝6,点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动,同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动,它们到C 点后都停止运动,设点P 、Q 运动的时间为t 秒． （1）在运动过程中,求P 、Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动,求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P ,Q 两点在运动过程中,是否存在时间t,使得△PQC 为等腰三角形．若存在,求出此时的t 值,若不存在,请说明理由．（24.25≈,结果保留一位小数）图1【变式训练】1．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,已知(23,2)B ,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合）,连接PC ,过点P 作PD PC ⊥,交x 轴于点D ．下列结论：①23OA BC ==；②当点D 运动到OA 的中点处时,227PC PD +=；③在运动过程中,CDP ∠是一个定值；④当△ODP 为等腰三角形时,点D 的坐标为23⎫⎪⎪⎝⎭．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图,在正方形ABCD 中,E F 、是对角线AC 上的两个动点,P 是正方形四边上的任意一点,且42AB EF ＝，＝,设AE x ＝．当PEF V 是等腰三角形时,下列关于P 点个数的说法中,一定正确的是（ ）①当0x ＝（即E A 、两点重合）时,P 点有6个 ②当0422x -＜＜时,P 点最多有9个 ③当P 点有8个时,x ＝22﹣2④当PEF V 是等边三角形时,P 点有4个 A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③3．如图,在矩形ABCD 中,3310AD AB ==,点P 是AD 的中点,点E 在BC 上,2CE BE =,点M 、N 在线段BD 上．若PMN ∆是等腰三角形且底角与DEC ∠相等,则MN =_____．4．如图,平面直角坐标系中,矩形ABOC 的边,BO CO 分别在x 轴,y 轴上,A 点的坐标为(8,6)-,点P 在矩形ABOC 的内部,点E 在BO 边上,满足PBE ∆∽CBO ∆,当APC ∆是等腰三角形时,P 点坐标为_____．5．在平面直角坐标系xOy 中,已知点A （0,3）,点B （5,0）,有一动点P 在直线AB 上,△APO 是等腰三角形,则满足条件的点P 共有（ ）A ﹒2个B ﹒3个C ﹒4个D ﹒5个6．如图,点A 、B 、P 在⊙O 上,且∠APB=50°。
2020年中考数学压轴解答题08 二次函数与菱形存在型问题 (学生版)
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律 专题08 二次函数与菱形存在型问题【典例分析】【例1】如图,已知抛物线23)0(y a bx a =++≠经过点()1,0A 和点()3,0B ,与y 轴交于点C .（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点（不点B ,C 重合）,过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点D ,设点P 的横坐标为m .①用含m 的代数式表示线段PD 的长；②连接PB ,PC ,求PBC ∆的面积最大时点P 的坐标；（3）设抛物线的对称轴与BC 交于点E ,点M 是抛物线的对称轴上一点,N 为y 轴上一点,是否存在这样的点M 和点N ,使得以点C 、E 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？如果存在,请直接写出点M 的坐标；如果不存在,请说明理由.【例2】如图,在平面直角坐标系内,抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于点A,C （点A 在点C 的左侧）,与y 轴交于点B,顶点为D ．点Q 为线段BC 的三等分点（靠近点C ）.（1）点M 为抛物线对称轴上一点,点E 为对称轴右侧抛物线上的点且位于第一象限,当MQC △的周长最小时,求CME △面积的最大值；（2）在（1）的条件下,当CME △的面积最大时,过点E 作EN x ⊥轴,垂足为N,将线段CN 绕点C 顺时针旋转90°得到点N,再将点N 向上平移16个单位长度.得到点P,点G 在抛物线的对称轴上,请问在平面直角坐标系内是否存在一点H,使点D,P,G ,H 构成菱形.若存在,请直接写出点H 的坐标,若不存在,请说明理由.【例3】如图,直线4y x =-+交x 轴于点A ,交y 轴于点C ,抛物线212y x bx c =++经过点A ,交y 轴于点()0,2B -．点D 为抛物线上一动点,过点D 作x 轴的垂线,交直线AC 于点P ,设点D 的横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D 在直线AC 下方的抛物线上运动时,求线段PD 长度的最大值；（3）若点E 是平面内任意一点,是否存在点D ,使以B ,C ,P ,E 为顶点的四边形为菱形？若存在,请直接出m 的值；若不存在,请说明理由．【例4】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y 23233x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,点D 为抛物线的顶点,抛物线的对称轴与直线AC 交于点E ．（1）若点P 为直线AC 上方抛物线上的动点,连接PC,PE,当△PCE 的面积S △PCE 最大时,点P 关于抛物线对称轴的对称点为点Q,此时点T 从点Q 开始出发,沿适当的路径运动至y 轴上的点F 处,再沿适当的路径运动至x 轴上的点G 处,最后沿适当的路径运动至直线AC 上的点H 处,求满足条件的点P 的坐标及QF+FG+33AH的最小值．（2）将△BOC绕点B顺时针旋转120°,边BO所在直线与直线AC交于点M,将抛物线沿射线CA方向平移233个单位后,顶点D的对应点为D′,点R在y轴上,点N在坐标平面内,当以点D′,R,M,N为顶点的四边形是菱形时,请直接写出N点坐标．【例5】二次函数y＝﹣54x2+bx+c的图象与直线y＝﹣12x+1相交于A、B两点(如图),A点在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为C(﹣3,0).(1)填空：b＝_____,c＝_____.(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过N作NP⊥x轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值；(3)在(2)的条件下,点N在何位置时,BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标.【例6】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y＝﹣12x2﹣72x﹣3交x轴于A,B两点（点A在点B的左侧）,交y轴于点C（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点（不与点A,点C重合）,过点P作PD⊥x轴交AC于点D,求PD的最大值；（3）将△BOC沿直线BC平移,点B平移后的对应点为点B′,点O平移后的对应点为点O′,点C平移后的对应点为点C′,点S是坐标平面内一点,若以A,C,O′,S为顶点的四边形是菱形,求出所有符合条件的点S的坐标．【变式训练】1．如图,直线y=12x+2与y轴交于点A,与直线y=﹣12x交于点B,以AB为边向右作菱形ABCD,点C恰与原点O重合,抛物线y=（x﹣h）2+k的顶点在直线y=﹣12x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点,则h的取值范围是（）A．﹣2≤h≤12B．﹣2≤h≤1C．﹣1≤h≤32D．﹣1≤h≤122．如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1：y1＝12（x+3）2﹣92,将抛物线C1 向右平移3个单位、再向上平移4.5个单位得抛物线C2,则图中阴影部分的面积为________．3．如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上,顶点 C 的坐标为（4,3）,D 是抛物线 y =﹣x 2+6x 上一点,且在x 轴上方,则△BCD 面积的最大值为__________4．如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的顶点A 的坐标为（3,0）,顶点B 在y 轴正半轴上,顶点D 在x 轴负半轴上．若抛物线y=-x 2-5x+c 经过点B 、C,则菱形ABCD 的面积为_______．5．二次函数y =23x 2的图象如图所示,点O 为坐标原点,点A 在y 轴的正半轴上,点B 、C 在函数图象上,四边形OBAC 为菱形,且∠OBA =120°,则点C 的坐标为______．6．如图,菱形OABC 的顶点O 、A 、C 在抛物线213y x 上,其中点O 为坐标原点,对角线OB 在y 轴上,且OB =2．则菱形OABC 的面积是_______．7.如图,已知二次函数y=ax 2+2x+c 的图象经过点C （0,3）,与x 轴分别交于点A,点B （3,0）．点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点．（1）求二次函数y=ax 2+2x+c 的表达式；（2）连接PO,PC,并把△POC 沿y 轴翻折,得到四边形POP′C ．若四边形POP′C 为菱形,请求出此时点P 的坐标；（3）当点P 运动到什么位置时,四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积．8.如图1,抛物线1C ：22y ax bx =+-与直线l ：1122y x =--交于x 轴上的一点A ,和另一点()3,B n()1求抛物线1C 的解析式；()2点P 是抛物线1C 上的一个动点(点P 在A ,B 两点之间,但不包括A ,B 两点)PM AB ⊥于点M ,//PN y 轴交AB 于点N ,求MN 的最大值；()3如图2,将抛物线1C 绕顶点旋转180︒后,再作适当平移得到抛物线2C ,已知抛物线2C 的顶点E 在第一象限的抛物线1C 上,且抛持线2C 与抛物线1C 交于点D ,过点D 作//DF x 轴交抛物线2C 于点F ,过点E 作//EG x 轴交抛物线1C 于点G ,是否存在这样的抛物线2C ,使得四边形DFEG 为菱形？若存在,请求E 点的横坐标；若不存在,请说明理由．9．如图,在平面直角坐标系中,抛物线y ＝﹣235333x x ++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧）,与y 轴交于点C ．（1）求出△ABC 的周长．（2）在直线BC 上方有一点Q ,连接QC 、QB ,当△QBC 面积最大时,一动点P 从Q 出发,沿适当路径到达y 轴上的M 点,再沿与对称轴垂直的方向到达对称轴上的N 点,连接BN ,求QM +MN +BN 的最小值．（3）在直线BC 上找点G ,K 是平面内一点,在平面内是否存在点G ,使以O 、C 、G 、K 为顶点的四边形是菱形？若存在,求出K 的坐标；若不存在,请说明理由．10．定义：对于抛物线y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数,a ≠0）,若b 2＝ac ,则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y ＝x 2﹣x +1是黄金抛物线（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式； （2）将黄金抛物线y ＝x 2﹣x +1沿对称轴向下平移3个单位 ①直接写出平移后的新抛物线的解析式；②新抛物线如图所示,与x 轴交于A 、B （A 在B 的左侧）,与y 轴交于C ,点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点,连结PO 、PC ,并把△POC 沿CO 翻折,得到四边形POP ′C ,那么是否存在点P ,使四边形POP ′C 为菱形？若存在,请求出此时点P 的坐标；若不存在,请说明理由．③当直线BC 下方的抛物线上动点P 运动到什么位置时,四边形 OBPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形OBPC 的最大面积．11．如图,抛物线与y 轴交于A 点,过点A 的直线与抛物线交于另一点B ,过点B 作BC ⊥x 轴,垂足为点C (3,0).（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动,过点P 作PN ⊥x 轴,交直线AB 于点M ,交抛物线于点N . 设点P 移动的时间为t 秒,MN 的长度为s 个单位,求s 与t 的函数关系式,并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ,点C 重合的情况）,连接CM ,BN ,当t 为何值时,四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值,平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由12．如图,已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A,B,AB=2,与y 轴交于点C,对称轴为直线x=2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P为对称轴上一动点,求△APC周长的最小值；（3）设D为抛物线上一点,E为对称轴上一点,若以点A,B,D,E为顶点的四边形是菱形,则点D的坐标为．13.如图1,抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1,0）、B（4,0）两点,与y轴交于点C,且OC=3OA．点P是抛物线上的一个动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交直线BC于点D,连接PC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2,当动点P只在第一象限的抛物线上运动时,求过点P作PF⊥BC于点F,试问△PDF的周长是否有最大值？如果有,请求出其最大值,如果没有,请说明理由．（3）当点P在抛物线上运动时,将△CPD沿直线CP翻折,点D的对应点为点Q,试问,四边形CDPQ是否成为菱形？如果能,请求出此时点P的坐标,如果不能,请说明理由．14.如图,二次函数y＝﹣16x2+32x+6与x轴相交A,B两点,与y轴相交于点C．（1）若点E为线段BC上一动点,过点E作x轴的垂线与抛物线交于点P,垂足为F,当PE﹣2EF取得最大值时,在抛物线y的对称轴上找点M,在x轴上找点N,使得PM+MN+22NB的和最小,若存在,求出该最小值及点N的坐标；若不存在,请说明理由．（2）在（1）的条件下,若点P′为点P关于x轴的对称点,将抛物线y沿射线BP′的方向平移得到新的抛物线y′,当y′经过点A时停止平移,将△BCN沿CN边翻折,点B的对应点为点B′,B′C与x轴交于点K,若抛物线y′的对称轴上有点R,在平画内有点S,是否存在点R、S使得以K、B′、R、S为顶点的四边形是菱形,若存在,直接写出点S的坐标；若不存在,请说明理由．15.在平面直角坐标系中,抛物线y ＝﹣23984x x+6与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）,与y 轴交于点C ．（1）如图1,点P 为直线BC 上方抛物线上一动点,过点P 作PH ∥y 轴,交直线BC 于点H,过点P 作PQ ⊥BC于点Q,当PQ ﹣12PH 最大时,点C 关于x 轴的对称点为点D,点M 为直线BC 上一动点,点N 为y 轴上一动点,连接PM 、MN,求PM+MN+45ND 的最小值；（2）如图2,连接AC,将△OAC 绕着点O 顺时针旋转,记旋转过程中的△OAC 为△OA'C',点A 的对应点为点A',点C 的对应点为点C'．当点A'刚好落在线段AC 上时,将△OA'C'沿着直线BC 平移,在平移过程中,直线OC'与抛物线对称轴交于点E,与x 轴交于点F,设点R 是平面内任意一点,是否存在点R,使得以B 、E 、F 、R 为顶点的四边形是菱形？若存在,请直接写出点R 的坐标；若不存在,请说明理由．16．已知菱形OABC 的边长为5,且tan ∠AOC ＝43,点E 是线段BC 的中点,过点A 、E 的抛物线y ＝ax 2+bx +c 与边AB 交于点D ．压轴解答题·直面高考精品资源·战胜高考（1）求点A 和点E 的坐标；（2）连结DE ,将△BDE 沿着DE 翻折．①当点B 的对应点B '恰好落在线段AC 上时,求点D 的坐标；②连接OB 、BB ',请直接写出此时该抛物线二次项系数a ＝．17.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD 的三个顶点A (－3,4)、B (－3,0)、C (－1,0) .以D 为顶点的抛物线y = ax 2+bx +c 过点B . 动点P 从点D 出发,沿DC 边向点C 运动,同时动点Q 从点B 出发,沿BA 边向点A 运动,点P 、Q 运动的速度均为每秒1个单位,运动的时间为t 秒. 过点P 作PE ⊥CD 交BD 于点E ,过点E 作EF ⊥AD 于点F ,交抛物线于点G .（1）求抛物线的解析式；（2）当t 为何值时,四边形BDGQ 的面积最大？最大值为多少？（3）动点P 、Q 运动过程中,在矩形ABCD 内（包括其边界）是否存在点H ,使以B ,Q ,E ,H 为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出此时菱形的周长；若不存在,请说明理由.。
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2020年中考数学解答题强化练习一
1.计算:20160﹣|﹣|++2sin45°．
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
3.如图,在平行四边形ABCD中,将△BCD沿BD翻折,使点C落在点E处，BE和AD相交于点O.
求证：OA=OE．
4.一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1，2，3，4.小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球.（1）请你列出所有可能的结果；
（2）求两次取得乒乓球的数字之积为奇数的概率.
5.为降低空气污染，公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买A型和B型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年载客量如表：
A型B型
价格（万元/台）a b
年载客量（万人/年）60100
若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求a，b的值；
（2）如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你设计一个方案，使得购车总费用最少．
6.已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A，与x轴交于点B(5，0)，
若OB=AB，且S
=．
△OAB
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．
7.如图，已知半圆O，AB为直径，P为射线AB上一点，过点P作⊙O的切线，切点为C点，D为弧AC上一点，连接BD、BC.
（1）求证：∠D=∠PCB；
（2）若四边形CDBP为平行四边形，求∠BPC度数；
（3）若AB=8，PB=2，求PC的长度.
8.如图，已知抛物线y 1=ax 2
（a≠0），图象经过点（4,4）.F（0，1），直线y 2=-1.
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P（x 0，y 0）在抛物线上，连接PF，过P 作直线y 2的垂直段，A 为垂足.求证：PF=PF.
（3）如图2，已知点B（2,5），E 为抛物线上一动点，连接BE、EF.当△BEF 的周长最小时，求此时点E 坐标及△BEF 周长的最小值.。