2020届江西省南昌市二中高三第四次月考数学(理)试卷及答案
2019-2020学年江西省南昌二中高三(上)第四次月考数学试卷(理科)
2019-2020学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）1. 已知实数集R，集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x∈Z|x2+4≤5x}，则(∁R A)∩B＝（）A.[2, 4]B.{2, 3, 4}C.{1, 2, 3, 4}D.[1, 4]【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】解对数不等式求得A、解一元二次不等式求得B，再根据补集的定义求得∁R A，从而求得(∁R A)∩B．【解答】∵集合A＝{x|log2x<1}＝{x|0<x<2}，∴∁R A＝{x|x≤0, 或 x≥2}．又B＝{x∈Z|x2+4≤5x}＝{x∈z|1≤x≤4}＝{1, 2, 3, 4}，∴(∁R A)∩B＝{2, 3, 4}，2. 若复数z满足z(1−i)＝|1−i|+i（其中i为虚数单位），则z的虚部为（）A.√2+12B.√2−12C.√2+12i D.√2−12i【答案】A【考点】复数的运算【解析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】∵复数z满足z(1−i)＝|1−i|+i（其中i为虚数单位），∴z=√2+i1−i =(√2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=√2−12+√2+12i．则z的虚部为√2+12．3. 设a＝log318，b＝log424，c=234，则a、b、c的大小关系是（）A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a 【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】容易判断出a>2，b>2，c<2，并且得出a=log318=1+log36,b=log424=1+ log46，容易判断出log46<log36，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】c=234<2，a=log318>log39=2,b=log424>log416>2，又a=log318=1+log36,b=log424=1+log46，∵log46=1log64,log36=1log63且log64>log63>0，∴1log64<1log63，∴log424<log318，∴c<b<a．4. 以下四个命题中，真命题的是（）A.∃x∈(0, π)，使sinx＝tanxB.“对任意的x∈R，x2+x+1>0”的否定是“存在x0∈R，x02+x0+1<0”C.△ABC中，“sinA+sinB＝cosA+cosB”是“C=π2”的充要条件D.∀θ∈R，函数f(x)＝sin(2x+θ)都不是偶函数【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】利用在x∈(0, π)，sinx<x<tanx，判断A；利用命题的否定形式，判断B；充要条件判断C；反例判断D．【解答】对于A，因为当(0, π2)∪(π2, π)时，sinx<x<tanx，结合函数y＝sinx与y＝tanx的图象，不存在x∈(0, π)，sinx＝tanx，故A错；对于B，“∀x∈R，x2+x+1>0”的否定是“∃x0∈R，x02+x0+1≤0，故B错”；对于C，在△ABC中，C=π2，则A+B=π2，则由sinA+sinB＝sin(π2−B)+sin(π2−A)＝cosB+cosA，则必要性成立；∵sinA+sinB＝cosA+cosB，∴sinA−cosA＝cosB−sinB，两边平方得sin2A−2sinAcosA+cos2A＝sin2B−2sinBcosB+cos2B，∴1−2sinAcosA＝1−2sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＝π−2B，即A＝B或A+B=π2，当A＝B时，sinA+sinB＝cosA+cosB等价为2sinA＝2cosA，∴tanA＝1，即A＝B=π4，此时C=π2，综上恒有C=π2，即充分性成立，综上△ABC中，“sinA+sinB＝cosA+cosB”是“C=π2”的充要条件，故C正确，对于D，当θ=π2，函数f(x)＝sin(2x+θ)＝cos2x是偶函数，则D错．5. 函数y=x+sinx的部分图象大致为（）1+x2A.B.C.D.【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换【解析】当x→0+时，y>0，当x→0−时，y<0，所以CD错；令f(x)＝x+sinx，f′(x)＝1+ cosx≥0恒成立，f(x)min＝0，所以f(x)>0在(0, +∞)恒成立，所以A错；【解答】当x→0+时，y>0，当x→0−时，y<0，所以CD错；令f(x)＝x+sinx，f′(x)＝1+cosx≥0恒成立，f(x)min＝0，所以f(x)>0在(0, +∞)恒成立，所以A错；6. 为了测量铁塔的高度，小刘同学在地面A处测得铁塔在东偏北19∘7′方向上，塔顶丁处的仰角为30∘，小刘从A处向正东方向走140米到地面B处，测得铁塔在东偏北79∘7′方向上．塔顶T处的仰角为60∘，则铁塔OT的高度为（）A.20√7米B.25√7米C.20√21米D.25√21米【答案】C【考点】三角函数模型的应用【解析】设塔高为ℎ米，利用仰角的正切表示出AO、BO，在△AOB中利用余弦定理列方程求得ℎ的值．【解答】设铁塔OT的高度为ℎ，在Rt△AOT中，∠TAO＝30∘，AO=ℎtan30=√3ℎ，在Rt△BOT中，∠TBO＝60∘，BO=ℎsin60=√33ℎ，在△AOB中，∠AOB＝79∘7′−19∘9′＝60∘，由余弦定理得，AB2＝AO2+BO2−2⋅AO⋅BO⋅cos60∘；即1402＝3ℎ2+13ℎ2−2×√3ℎ×√33ℎ×12，化简得ℎ2=37×1402；又ℎ>0，所以解得ℎ＝140×√37=20√21；即铁塔OT的高度为20√21（米）．7. 函数f(x)＝Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0, φ∈(−π, 0)的部分图象如右图所示，要得到函数y＝Asinωx的图象，只需将函数f(x)的图象（）A.向右平移π12B.向左平移π6C.向左平移π12D.向右平移π6【答案】A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】首先根据函数的图象求出函数的关系式的各个变量，进一步利用函数的图象的平移变换的应用求出结果．【解答】函数f(x)＝Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0, φ∈(−π, 0)的部分图象如右图所示，由于函数的图象的最大值为2，最小值为−2，所以A＝2．当x＝0时f(0)＝1，所以2cosφ＝1，由于φ∈(−π, 0)所以φ=−π3．当x=2π3时，f(2π3)=2cos(2π3ω−π3)=−2，解得ω＝2，所以f(x)＝2cos(2x−π3)，把函数的图象向右平移π12个单位，得到y＝2sin2x的图象，8. 已知函数f(x)＝ln(1+|x|)−11+x 2，则关于x 的不等式f(lnx)+f(ln 1x )<2f(1)的解集为（ ） A.(0, +∞)B.(0, e)C.(1e , e)D.(1, e)【答案】 C【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】根据题意，由函数的解析式分析函数的奇偶性与单调性，据此分析可得f(lnx)+f(ln 1x )<2f(1)⇒2f(lnx)<2f(1)⇒f(lnx)<f(1)⇒|lnx|<1，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【解答】 故选：C ．9. 已知向量a →与b →夹角为θ，|a →|=√3，|b →|＝1且若对∀x ∈R ，恒有|a →+xb →|≥|a →+b →|，则tan2θ等于（ ） A.√2 B.−√2 C.−2√2 D.2√2【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据题意，分析可得(a →+b →)与b →垂直，由数量积的计算公式可得(a →+b →)⋅b →=a →⋅b →+b →2＝1，即√3cosθ+1＝0，变形可得cosθ=−√33，结合三角函数的恒等变形公式分析可得答案． 【解答】根据题意，若对∀x ∈R ，恒有|a →+xb →|≥|a →+b →|，则必有(a →+b →)与b →垂直， 则有(a →+b →)⋅b →=a →⋅b →+b →2＝1，即√3cosθ+1＝0，解可得：cosθ=−√33，则有sinθ=√1−cos 2θ=√63，故tanθ=sinθcosθ=−√2， 故tan2θ=2tanθ1−tan 2θ=2√2；10. 如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝60∘，AD ⊥CD ，∠BAD ＝150∘，AB ＝2，AD =√3．若点E 为边CD 上的动点，则AE →⋅BE →的最小值为（ ）A.254 B.2516C.234D.2316【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，求出A ，B ，C 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出． 【解答】如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴， 以DC 所在的直线为y 轴，过点B 做BN ⊥x 轴，过点B 做BM ⊥y 轴，∵ AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝150∘，AB ＝2，AD =√3， ∴ AN ＝ABcos30∘=√3，BN ＝ABsin30∘＝1， ∴ DN =√3+√3=2√3， ∴ BM ＝2√3，∴ CM ＝MBtan30∘＝2，∴ DC ＝DM +MC ＝3， ∴ A(√3, 0)，B(2√3, 1)，C(0, 3)， 设E(0, m)，∴ AE →=(−√3, m)，BE →=(−2√3, m −1)，0≤m ≤3， ∴ AE →⋅BE →=6+m 2−m ＝(m −12)2+234；当m =12时，取得最小值为234．11. 已知函数y ={sin(x +π2),x ∈[2kπ−π2,2kπ+π2)(k ∈Z),−sin(x +π2),x ∈[2kπ+π2,2kπ+3π2)(k ∈Z), 的图象与直线y ＝m(x +2)(m >0)恰有四个公共点A(x 1, y 1)，B(x 1, y 2)，C(x 3, y 3)，D(x 4, y 4)，其中x 1<x 2<x 3<x 4，则(x 4+2)tanx 4＝（ ） A.−1 B.0 C.1 D.√22+2【答案】 A【考点】函数与方程的综合运用 【解析】由三角函数图象的作法可得及利用导数求函数图象的切线方程可得：由图知切点坐标为(x 4, −cosx 4)，切线方程为：y +cosx 4＝sinx 4(x −x 4)，又切线过点(−2, 0)，则cosx 4＝sinx 4(−2−x 4)，即(x 4+2)tanx 4＝−1，得解．【解答】由y={sin(x+π2),x∈[2kπ−π2,2kπ+π2)(k∈Z),−sin(x+π2),x∈[2kπ+π2,2kπ+3π2)(k∈Z),其图象如图所示，当x∈[π2, 3π2]，f(x)＝−cosx，f′(x)＝sinx，由图知切点坐标为(x4, −cosx4)，切线方程为：y+cosx4＝sinx4(x−x4)，又切线过点(−2, 0)，则cosx4＝sinx4(−2−x4)，即(x4+2)tanx4＝−1，12. 设a>0，若对任意的x∈(0, +∞)，不等式ae ax−lnx≥0恒成立，则a的最小值为（）A.1 eB.12eC.2eD.e3【答案】A【考点】函数恒成立问题【解析】依题意，e ax−x≥0对任意的x∈(0, +∞)，令f(x)=lnxx，求其最大值即可．【解答】对任意的x∈(0, +∞)，不等式ae ax−lnx≥0恒成立，即e ax−lnxa≥0恒成立，∵函数y＝e ax与函数y=lnxa互为反函数，∴原问题等价于e ax−x≥0，则a≥lnxx，设f(x)=lnxx ，则f′(x)=1−lnxx，令f′(x)＝0，解得x＝e，易知，f(x)max=f(e)=1e，故a≥1e．二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）（理）由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积为________．【答案】4−ln3【考点】定积分的简单应用【解析】确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论． 【解答】由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为(13, 3)，由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐标为(1, 1)， 由y ＝x ，y ＝3可得交点坐标为(3, 3)，∴ 由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为∫ 113(3−1x )dx +∫ 31(3−x)dx =(3x −lnx)|131+(3x −12x 2)|13=(3−1−ln3)+(9−92−3+12)＝4−ln3在△ABC 中，∠A ＝600，∠A 的平分线AD 交边BC 于点D ，已知AD ＝4√3，且AD →=λAB →+13AC →(λ∈R)，则AB →在AD →方向上的投影的值为________．【答案】3√3【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据B ，C ，D 三点共线求出λ，建系计算B ，C 两点坐标，得出AB ，再计算投影即可． 【解答】由AD →=λAB →+13AC →(λ∈R)，∵ B ，C ，D 三点共线，故λ+13=1，即λ=23．∴ AD →=23AB →+13AC →．以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系如图所示，则D(6, 2√3)，设B(m, 0)，C(n, √3n)，由AD →=23AB →+13AC →得：{6=23m +13n2√3=√33n，解得m ＝6，n ＝6． 故B(6, 0)，∴ AB →在AD →方向上的投影为|AB|cos30∘＝3√3．已知奇函数f(x)=√3sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)(|φ|<π2, ω>0)任意的x ∈R 都有f(x)+f(x +π2)＝0，则当ω取最小值时，f(π6)的值为________√3 ． 【答案】 √3【考点】两角和与差的三角函数 【解析】先利用辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合已知奇函数的性质可求φ，代入进而可求ω，从而可求f(x)，即可求解．【解答】因为f(x)=√3sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)＝2sin(ωx+φ−π6)，又f(x)为奇函数，所以φ−π6=kπ，所以φ＝kπ+π6，又|φ|<π2，所以φ=π6．所以f(x)＝2sinωx．又因为对任意x∈R都有f(x)+f(x+π2)＝0，所以sin(ωx+πω2)＝−sinωx，所以πω2=(2k−1)π，所以ω＝4k−2(k∈Z)，又ω>0，故ω的最小值为2，此时f(x)＝2sin2x，所以f(π6)＝2sinπ3=√3．若∀m∈(0, e)，∃x1，x2∈(0, e)且x1≠x2，使得(m−√2)2+2=ax1−lnx1=ax2−lnx2，则实数a的取值范围是________5e≤a<e．（e为自然对数的底数）【答案】5e≤a<e【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】根据m的取值范围，以及题目的意思可以知道y＝ax−lnx在(0, e)上不单调，进而求得答案．【解答】∵m∈(0, e)，∴y＝(m−√2)2+2∈[2, 4)，由题意，得y＝ax−lnx在(0, e)上不单调，∴y′＝a−1x =a(x−1a)x，∴1a ∈(0, e)，a>1e，①当x∈(0,1a)时，y′<0，y∈(1+lna, +∞)，②当x∈(1a,e)时，y′>0，y∈(1+lna, ae−1)．∴ y 在x =1a 时有极小值，因此{1+lna <2ae −1≥4，三、解答题（共6小题，共70分）已知α∈(0,π2)，向量a →=(1, 3)与b →=(tan(α−π4)，1)平行，(Ⅰ)求cos(2020π−2α)−cos(π2+2α)的值(Ⅱ)若sin(α−β)=√1010，且β∈(0,π2)，求角β的值．【答案】解(Ⅰ)∵ 向量a →=(1, 3)与b →=(tan(α−π4)，1)平行，∴ 3tan(α−π4)＝1⇒tan(α−π4)=13； ∴ tanα−11+tanα=13；∴ tanα＝2，∴ sinα＝2cosα，sin 2α+cos 2α＝1； ∵ α∈(0,π2)，∴ cosα=√55，sinα=2√55．∴ sin2α＝2sinαcosα=45，cos2α＝2cos 2α−1=−35． ∵ cos(2020π−2α)−cos(π2+2α)＝cos2α+sin2α； 所求为∴ sin2α+cos2α=45−35=15． 即cos(2020π−2α)−cos(π2+2α)15． （2）由α∈(0,π2),β∈(0,π2)得α−β∈(−π2,π2) ∵ sin(α−β)=√1010∴ cos(α−β)=√1−sin 2(α−β)=(√1010)2=3√1010则sinβ＝sin[α−(α−β)]＝sinαcos(α−β)−cosαsin(α−β)=2√55×3√1010−√55×√1010=√22； 因β∈(0,π2)，则β=π4．【考点】两角和与差的三角函数 【解析】(Ⅰ)根据向量平行，可得tanα＝2，结合角的范围求出sinα和cosα，利用二倍角公式求出cos2α与sin2α即可求出结论；(Ⅱ)直接根据角的范围以及sinβ＝sin[α−(α−β)]即可求解． 【解答】解(Ⅰ)∵ 向量a →=(1, 3)与b →=(tan(α−π4)，1)平行，∴ 3tan(α−π4)＝1⇒tan(α−π4)=13； ∴ tanα−11+tanα=13；∴ tanα＝2，∴ sinα＝2cosα，sin 2α+cos 2α＝1； ∵ α∈(0,π2)，∴ cosα=√55，sinα=2√55．∴ sin2α＝2sinαcosα=45，cos2α＝2cos 2α−1=−35． ∵ cos(2020π−2α)−cos(π2+2α)＝cos2α+sin2α； 所求为∴ sin2α+cos2α=45−35=15． 即cos(2020π−2α)−cos(π2+2α)15． （2）由α∈(0,π2),β∈(0,π2)得α−β∈(−π2,π2) ∵ sin(α−β)=√1010∴ cos(α−β)=√1−sin 2(α−β)=(√1010)2=3√1010则sinβ＝sin[α−(α−β)]＝sinαcos(α−β)−cosαsin(α−β)=2√55×3√1010−√55×√1010=√22； 因β∈(0,π2)，则β=π4．如图，在△ABC 中，C =π4,CA →⋅CB →=48，点D 在BC 边上，且AD ＝5√2,cos∠ADB =35．(Ⅰ)求AC ，CD 的长； (Ⅱ)求cos∠BAD 的值．【答案】（1）在△ABD 中，∵ cos∠ADB =35，∴sin∠ADB=45．∴sin∠CAD＝sin(∠ADB−∠ACD)=sin∠ADBcosπ4−cos∠ADBsinπ4=45×√22−3 5×√22=√210．在△ADC中，由正弦定理得ACsin∠ADC =CDsin∠CAD=ADsin∠ACD，即AC45=√210=√2√22，解得：AC=8,CD=√2．（2）∵CA→⋅CB→=48，C=π4．∴8⋅CB⋅√22=48，解得：CB=6√2，∴BD=CB−CD=5√2，在△ABC中，：AB=√2=2√10，在△ABD中，由余弦定理可得：cos∠BAD=√10)2√2)2√2)22×2√10×5√2=√55．【考点】解三角形三角形的面积公式【解析】(Ⅰ)根据cos∠ADB求出sin∠ADB，sin∠CAD＝sin(∠ADB−∠ACD)和与差公式求解，在△ADC中，由正弦定理即可求AC，CD的长；(Ⅱ)根据C=π4,CA→⋅CB→=48，求出CB，从而BD＝CB−CD，余弦定理求AB，在在△ABD中，利用余弦定理可得cos∠BAD的值．【解答】（1）在△ABD中，∵cos∠ADB=35，∴sin∠ADB=45．∴sin∠CAD＝sin(∠ADB−∠ACD)=sin∠ADBcosπ4−cos∠ADBsinπ4=45×√22−3 5×√22=√210．在△ADC中，由正弦定理得ACsin∠ADC =CDsin∠CAD=ADsin∠ACD，即AC45=√210=√2√22，解得：AC=8,CD=√2．（2）∵CA→⋅CB→=48，C=π4．∴8⋅CB⋅√22=48，解得：CB =6√2，∴ BD =CB −CD =5√2，在△ABC 中，：AB =√2=2√10，在△ABD 中，由余弦定理可得：cos∠BAD =√10)2√2)2√2)22×2√10×5√2=√55．设函数f(x)=e xx 2−k(2x +lnx)（k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数）． (Ⅰ)当k ≤0时，求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若函数f(x)在(0, 2)内存在两个极值点，求k 的取值范围． 【答案】（1）f(x)的定义域为(0, +∞)， ∴ f′(x)=e x ⋅x 2−e x ⋅2xx 4−k(1x −2x 2)=(x−2)(e x −kx)x 3(x >0)，当k ≤0时，kx ≤0， ∴ e x −kx >0， 令f′(x)＝0，则x ＝2，∴ 当0<x <2时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x >2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴ f(x)的单调递减区间为(0, 2)，单调递增区间为(2, +∞)． （2）由(Ⅰ)知，k ≤0时，函数f(x)在(0, 2)内单调递减， 故f(x)在(0, 2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g(x)＝e x −kx ，x ∈(0, +∞)． ∵ g′(x)＝e x −k ＝e x −e lnk ， 当0<k ≤1时，当x ∈(0, 2)时，g′(x)＝e x −k >0，y ＝g(x)单调递增， 故f(x)在(0, 2)内不存在两个极值点； 当k >1时，得x ∈(0, lnk)时，g′(x)<0，函数y ＝g(x)单调递减， x ∈(lnk, +∞)时，g′(x)>0，函数y ＝g(x)单调递增， ∴ 函数y ＝g(x)的最小值为g(lnk)＝k(1−lnk) 函数f(x)在(0, 2)内存在两个极值点 当且仅当{g(0)>0g(lnk)<0g(2)>00<lnk <2 解得：e <k <e 22综上所述，函数f(x)在(0, 2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为(e, e 22)【考点】函数在某点取得极值的条件 利用导数研究函数的单调性(Ⅰ)求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；(Ⅱ)函数f(x)在(0, 2)内存在两个极值点，等价于它的导函数f′(x)在(0, 2)内有两个不同的零点． 【解答】（1）f(x)的定义域为(0, +∞)， ∴ f′(x)=e x ⋅x 2−e x ⋅2xx 4−k(1x−2x 2)=(x−2)(e x −kx)x 3(x >0)，当k ≤0时，kx ≤0， ∴ e x −kx >0， 令f′(x)＝0，则x ＝2，∴ 当0<x <2时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x >2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴ f(x)的单调递减区间为(0, 2)，单调递增区间为(2, +∞)． （2）由(Ⅰ)知，k ≤0时，函数f(x)在(0, 2)内单调递减， 故f(x)在(0, 2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g(x)＝e x −kx ，x ∈(0, +∞)． ∵ g′(x)＝e x −k ＝e x −e lnk ， 当0<k ≤1时，当x ∈(0, 2)时，g′(x)＝e x −k >0，y ＝g(x)单调递增， 故f(x)在(0, 2)内不存在两个极值点； 当k >1时，得x ∈(0, lnk)时，g′(x)<0，函数y ＝g(x)单调递减， x ∈(lnk, +∞)时，g′(x)>0，函数y ＝g(x)单调递增， ∴ 函数y ＝g(x)的最小值为g(lnk)＝k(1−lnk) 函数f(x)在(0, 2)内存在两个极值点 当且仅当{g(0)>0g(lnk)<0g(2)>00<lnk <2 解得：e <k <e 22综上所述，函数f(x)在(0, 2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为(e, e 22)已知函数f(x)=cosωx(√3sinωx −cosωx)+12(ω>0),A,B 分别是y ＝f(x)上的一个最高点和一个最低点，|AB|的最小值为√π24+4．(Ⅰ)当x ∈[−π12,π2]，求函数y ＝f(x)的值域；(Ⅱ)已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且f(B2+π6)=b+c 2a，△ABC的外接圆半径为√3，求△ABC 周长的取值范围．（I）由f(x)=cosωx(√3sinωx−cosωx)+12=sin(2ωx−π6)，因为|AB|的最小值为√π24+4，所以T2=π2,ω=1．故f(x)＝sin(2x−π6)．∵x∈[−π12,π2]，∴(2x−π6)∈[−π3, 5π6]．∴值域为[−√32,1]；(II)由f(B2+π6)=b+c2a，得sin(B+π6)=b+c2a，可得√32sinB+12cosB=b+c2a，则√3sinAsinB+sinAcosB＝sinB+sinC，sinC＝sin(A+B)＝sinAcosB+cosAsinB．又∵sinB≠0，∴√3sinA−cosA＝1，即sin(A−π6)=12．由0<A<π，得−π6<A−π6<5π6，∴A−π6=π6，即A=π3．又△ABC的外接圆的半径为√3，∴a＝2√3sinA＝3．由余弦定理得：a2＝b2+c2−2bccosA＝b2+c2−bc＝(b+c)2−3bc≥(b+c)2−3 4(b+c)2=14(b+c)2，即b+c≤6，当且仅当b＝c时取等号，又b+c>3，∴周长的取值范围为(6, 9]．【考点】余弦定理【解析】（I）由f(x)=cosωx(√3sinωx−cosωx)+12=sin(2ωx−π6)，根据|AB|的最小值为√π24+4，可得T2=π2，解得ω．可得f(x)，利用单调性可得值域．(II)由f(B2+π6)=b+c2a，得sin(B+π6)=b+c2a，可得√32sinB+12cosB=b+c2a，利用正弦定理、和差公式化简可得A，△ABC的外接圆的半径为√3，根据正弦定理可得a．再利用余弦定理结合基本不等式的性质即可得出结论．【解答】（I）由f(x)=cosωx(√3sinωx−cosωx)+12=sin(2ωx−π6)，因为|AB|的最小值为√π24+4，所以T2=π2,ω=1．故f(x)＝sin(2x−π6)．∵x∈[−π12,π2]，∴(2x−π6)∈[−π3, 5π6]．∴值域为[−√32,1]；(II)由f(B2+π6)=b+c2a，得sin(B+π6)=b+c2a，可得√32sinB+12cosB=b+c2a，则√3sinAsinB+sinAcosB＝sinB+sinC，sinC＝sin(A+B)＝sinAcosB+cosAsinB．又∵sinB≠0，∴√3sinA−cosA＝1，即sin(A−π6)=12．由0<A<π，得−π6<A−π6<5π6，∴A−π6=π6，即A=π3．又△ABC的外接圆的半径为√3，∴a＝2√3sinA＝3．由余弦定理得：a2＝b2+c2−2bccosA＝b2+c2−bc＝(b+c)2−3bc≥(b+c)2−3 4(b+c)2=14(b+c)2，即b+c≤6，当且仅当b＝c时取等号，又b+c>3，∴周长的取值范围为(6, 9]．已知函数f(x)＝sinx−xcosx(x≥0)．(Ⅰ)求函数f(x)的图象在(π2,1)处的切线方程；(Ⅱ)若任意x∈(0, +∞)，不等式f(x)<ax3恒成立，求实数a的取值范围；【答案】（1）∵f′(x)＝xsinx，f′(π2)=π2，∴切线为：y=π2(x−π2)+1；（2）f(x)≤ax3⇔sinx−xcosx−ax3≤0，令g(x)＝sinx−xcosx−ax3，则g′(x)＝xsinx−3ax2＝x(sinx−3ax)，又令ℎ(x)＝sinx−3ax⇒ℎ′(x)＝cosx−3a，①当3a≤−1，即a≤−13时，ℎ′(x)≥0恒成立，∴ℎ(x)递增，∴ℎ(x)≥ℎ(0)＝0，∴g′(x)≥0，∴g(x)递增，∴g(x)≥g(0)＝0（不合题意）；②当3a≥1即a≥13时，ℎ′(x)≤0⇒ℎ(x)递减，∴ℎ(x)≤ℎ(0)＝0，∴g′(x)≤0，∴g(x)递减∴g(x)≤g(0)＝0（符合题意）③当−1<3a<1，即−13<a<13时，由ℎ′(0)＝1−3a>0ℎ′(π)＝−1−3a<0，∴在(0, π)上，∃x0，使ℎ′(x0)＝0且x∈(0, x0)时，ℎ′(x)>0⇒g′(x)>0，∴g(x)递增，∴g(x)>g(0)＝0（不符合题意）综上：a≥13．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，计算f′(π2)的值，求出切线方程即可；(Ⅱ)令g(x)＝sinx−xcosx−ax3，求出函数的导数，令ℎ(x)＝sinx−3ax，通过讨论a 的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可；【解答】（1）∵f′(x)＝xsinx，f′(π2)=π2，∴切线为：y=π2(x−π2)+1；（2）f(x)≤ax3⇔sinx−xcosx−ax3≤0，令g(x)＝sinx−xcosx−ax3，则g′(x)＝xsinx−3ax2＝x(sinx−3ax)，又令ℎ(x)＝sinx−3ax⇒ℎ′(x)＝cosx−3a，①当3a≤−1，即a≤−13时，ℎ′(x)≥0恒成立，∴ℎ(x)递增，∴ℎ(x)≥ℎ(0)＝0，∴g′(x)≥0，∴g(x)递增，∴g(x)≥g(0)＝0（不合题意）；②当3a≥1即a≥13时，ℎ′(x)≤0⇒ℎ(x)递减，∴ℎ(x)≤ℎ(0)＝0，∴g′(x)≤0，∴g(x)递减∴g(x)≤g(0)＝0（符合题意）③当−1<3a<1，即−13<a<13时，由ℎ′(0)＝1−3a>0ℎ′(π)＝−1−3a<0，∴在(0, π)上，∃x0，使ℎ′(x0)＝0且x∈(0, x0)时，ℎ′(x)>0⇒g′(x)>0，∴g(x)递增，∴g(x)>g(0)＝0（不符合题意）综上：a≥13．已知函数f(x)＝xln(x+a)+1(a<0)．（1）若函数f(x)在定义域上为增函数，求a的取值范围；（2）证明：f(x)<e x+cosx．【答案】f(x)的定义域为(−a, +∞)，且f′(x)=ln(x+a)+xx+a，设m(x)=f′(x)=ln(x+a)+xx+a ，则m′(x)=1x+a+a(x+a)2=x+2a(x+a)2，∵a<0．∴−2a>−a，令m′(x)＝0⇒x＝−2a，则当x∈(−a, −2a)时m′(x)<0；当x∈(−2a, +∞)时，m(x)在(−a, −2a)上单调递减，在(−2a, +∞)上单调递增，由已知函数f(x)在定义域上是增函数，得m(x)min＝m(−2a)＝ln(−a)+2≥0解得a≤−e−2，∴a的取值范围是a∈(−∞, −e−2]：∵a<0，x>−a．∴x>0，f(x)＝xln(x+a)+1<xlnx+1，要证明f(x)<e x+cosx，只需证明xlnx<e x+cosx−1，(i)当0<x≤1时，∵e x+cosx−1>0，xlnx≤0．所以xlnx<e x+cosx−1成立，( ii)当x>1时，设g(x)＝e x+cosx−xlnx−1，则g′(x)＝e x−lnx−sinx−1，设ℎ(x)＝g′(x)，则ℎ′(x)=e x−1x−cosx，∵x>1，∴ℎ′(x)>e−1−1>0，即ℎ(x)在(1, +∞)上单调递增，∴ℎ(x)>ℎ(1)＝e−sin1−1>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(1, +∞)上单调递增，g(x)>g(1)＝e+cos1−1>0即xlnx<e x+cosx−1，综上可知，a<0时，f(x)<e x+cosx．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）先判断出函数的定义域，进而通过求导，求导函数的导数并求其最小值解答问题．（2）转化的思想，要证明f(x)<e x+cosx，只需证明xlnx<e x+cosx−1，进而利用分类讨论的思想解答问题．【解答】f(x)的定义域为(−a, +∞)，且f′(x)=ln(x+a)+xx+a，设m(x)=f′(x)=ln(x+a)+xx+a ，则m′(x)=1x+a+a(x+a)2=x+2a(x+a)2，∵a<0．∴−2a>−a，令m′(x)＝0⇒x＝−2a，则当x∈(−a, −2a)时m′(x)<0；当x∈(−2a, +∞)时，m′(x)>0．m(x)在(−a, −2a)上单调递减，在(−2a, +∞)上单调递增，由已知函数f(x)在定义域上是增函数，得m(x)min＝m(−2a)＝ln(−a)+2≥0解得a≤−e−2，∴a的取值范围是a∈(−∞, −e−2]：∵a<0，x>−a．∴x>0，f(x)＝xln(x+a)+1<xlnx+1，要证明f(x)<e x+cosx，只需证明xlnx<e x+cosx−1，(i)当0<x≤1时，∵e x+cosx−1>0，xlnx≤0．所以xlnx<e x+cosx−1成立，( ii)当x>1时，设g(x)＝e x+cosx−xlnx−1，则g′(x)＝e x−lnx−sinx−1，设ℎ(x)＝g′(x)，则ℎ′(x)=e x−1x−cosx，∴ℎ′(x)>e−1−1>0，即ℎ(x)在(1, +∞)上单调递增，∴ℎ(x)>ℎ(1)＝e−sin1−1>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(1, +∞)上单调递增，g(x)>g(1)＝e+cos1−1>0即xlnx<e x+cosx−1，综上可知，a<0时，f(x)<e x+cosx．。
2020年江西省南昌市高考第四次模拟测试理科数学试题-含答案
2020年江西省南昌市高考第四次模拟测试理科数学试题本试卷共4页，23小题，满分150分。
考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数12121,,z z i z z z ===⋅，则||z 等于（ ）A ．2B ．4CD ．2．集合{|},{}A y y x N B x N N =∈=∈，则A B ⋂=（ ）A ．{0,2}B ．{0,1,2}C ．2}D ．∅3．已知,,a b c 是三条不重合的直线，平面,αβ相交于直线c ，,a b αβ⊂⊂，则“,a b 相交”是“,a c 相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知1,1()ln ,1x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，则不等式()1f x >的解集是（ ）A ．(1,)eB ．(2,)+∞C ．(2, )eD ．(,)e +∞5．已知ABC V 中角, , A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,sin 2cos 2a c A C ==，则角A 等于（ ）A ．6π B ．2π C ．23π D ．56π6．已知,a b r r 为不共线的两个单位向量，且a r 在b r上的投影为12-，则|2|a b -=r r （ ）A ．3B ．5C ．6D ．7 7．函数ln ()xx xf x e=的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．8．直线2sin 0x y θ⋅+=被圆222520x y y +-+=截得最大弦长为（ ）A ．25B ．23C ．3D ．229．函数()sin()(0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则(0)f =（ ）A ．6-B ．3C ．2-D ．6 10．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影，在A 处测得B 处的仰角为37度，在A 处测得C 处的仰角为45度，在B 处测得C 处的仰角为53度，A 点所在等高线值为20米，若BC 管道长为50米，则B 点所在等高线值为（参考数据3sin 375︒=）A ．30米B ．50米C ．60米D ．70米11．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，直线3y x =交双曲线于A ，B 两点，若23AFB π∠=，则双曲线的离心率为（ ） A 56 C ．1022+．52212．已知函数3()sin cos (0)4f x x x a x a π⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭有且只有三个零点()123123,,x x x x x x <<，则()32tan x x -属于（ ） A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x ，y 满足约束条件||1310y x x y ≥-⎧⎨-+≥⎩，则目标函数z x y =+的最小值为______________．14．已知梯形ABCD 中，//,3,4,60,45AD BC AD AB ABC ACB ︒︒==∠=∠=，则DC =_____________．15．已知6270127(1)(21)x x a a x a x a x --=++++L ，则2a 等于_______________．16．已知正四棱椎P ABCD -中，PAC V 是边长为3的等边三角形，点M 是PAC V 的重心，过点M 作与平面PAC 垂直的平面α，平面α与截面PAC 交线段的长度为2，则平面α与正四棱椎P ABCD -表面交线所围成的封闭图形的面积可能为______________．（请将可能的结果序号．．填到横线上）①2； ②22； ③3； ④23．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020届高考复习高中数学【理】月月考(二)：三角函数、平面向量、数列、不等式(解析版)
A．－ B.
C. D．－4
答案：A
解析：∵a＋b＝1，∴－ － ＝－ － ＝－ － ，∵a>0，b>0，∴ ＋ ≥2，当且仅当b＝2a时取等号，∴－ － ≤－ －2＝－ ，∴－ － 的上确界为－ ，故选A.
5．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3 － － |＝0，则△ABM与△ABC的面积之比等于()
A. B.
C. D.
答案：C
解析：如图，G为BC的中点，则 ＋ ＝2 ，∵|3 － － |＝0，
∴3 － － ＝0，
∴3 ＝ ＋ ＝2 ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
又S△ABG＝ S△ABC，
∴△ABM与△ABC的面积之比等于 × ＝ .故选C.
A．－ B．－
C. D.
答案：B
解析：∵角α的终边经过点P(3,4)，∴sinα＝ ，cosα＝ .
∴sin ＝－sin ＝－sin ＝－cosα＝－ .故选B.
3．若α为锐角，且3sinα＝tanα＝ tanβ，则tan2β等于()
A. B.
C．－ D．－
答案：D
解析：因为3sinα＝tanα＝ ，α为锐角，所以cosα＝ ，sinα＝ ＝ ，所以tanα＝ ＝2 ＝ tanβ，所以tanβ＝2，tan2β＝ ＝ ＝－ .
A．f(x)在 上单调递减
B．f(x)在 上单调递减
C．f(x)在 上单调递增
D．f(x)在 上单调递增
答案：D
解析：由题意得f(x)＝ sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin .∵函数f(x)的图象经过点 ，
2020届江西省南昌市二中高三第四次月考物理试卷及答案
2020届江西省南昌市二中高三第四次月考物理试卷★祝考试顺利★一．选择题。
（4分×12=48分）本大题共12小题，每小题4分，共48分．其中1-8题，在给出的多个选项中，只有一个选项是正确的，9-12题有多个选项是正确的，全选对的得4分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．1．如图所示,小车与木箱紧挨着静止放在光滑的水平冰面上,现有一男孩站在小车上用力向右迅速推木箱。
关于上述过程,下列说法正确的是()A. 男孩、小车与木箱三者组成的系统机械能守恒B. 男孩与木箱组成的系统动量守恒C. 木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量相同D. 男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒2．某汽车在平直公路上以功率P、速度v0匀速行驶时，牵引力为F0。
在t1时刻，司机减小油门，使汽车的功率减为P/2，此后保持该功率继续行驶，t2时刻，汽车又恢复到匀速运动状态。
下面是有关汽车牵引力F、速度v在此过程中随时间t变化的图像，其中正确的是( )A ．B ．C ．D ．3．质量为M的物块以速度v运动，与质量为m的静止物块发生正碰，碰撞后两者的动量正好相等，两者质量之比M/m可能为( )A．0.8 B．3 C．4 D．5 4．2019年4月11日21时黑洞视界望远镜合作组织(ETE)宣布了近邻巨椭圆星系M87中心捕获的首张黑洞图像，提供了黑洞存在的直接“视觉”证据，验证了1915年爱因斯坦的伟大预言。
一种理论认为，整个宇宙很可能是个黑洞，如今可观测宇宙的范围膨胀到了半径465亿光年的规模，也就是说，我们的宇宙就像一个直径930- 1 - / 8- 2 - / 8亿光年的球体。
黑洞的质量M 和半径R 的关系满足史瓦西半径公式2M 2c R G(其中c 为光速，其值为c =3×108m/s ，G 为引力常量，其值为6.67×10-11N·m 2/kg 2)则，由此可估算出宇宙的总质量的数量级约为 ( )A ．1054kgB ．1044kgC ．1034kgD ．1024kg5．如图所示，可看作点电荷的带电小球A 、B 的电荷量分别为Q A 、Q B ，都用绝缘丝线悬挂在绝缘墙角O 点处，静止时A 紧靠竖直墙壁，A 、B 相距为d 。
江西省南昌二中2020届高三数学第四次考试卷理科 人教版
江西省南昌二中2020届高三数学第四次考试卷理科考试时间：120分钟 试卷满分：150分参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率p n (k )=C kn P k (1―P )n ―k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．命题甲：“,,a b c 成等差数列”是命题乙：“2a c b b+=”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．的椭圆称为“优美椭圆”．设22221y x a b +=(a ＞b ＞0)为“优美椭圆”F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它短轴的一个端点，则∠ABF 等于（ ）A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°3.设a>0，b>0，a ，x 1，x 2，b 成等差数列，a ，y 1，y 2，b 成等比数列，则x 1+x 2与y 1+y 2的大小关系是（ ）A.x 1+x 2≤y 1+y 2B.x 1+x 2≥y 1+y 2C.x 1+x 2<y 1+y 2D.x 1+x 2>y 1+y 24．设5)(lim 1=→x f x ，而⎩⎨⎧>+≤-=)1(,4)1(,2)(2x bx x ax x f 则直线0=++c by ax 的斜率是 ( ) A ．7arctan B ．7tan arcc C ．)7arctan(- D ．)7tan(-arcc5．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B －发生的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．566．已知等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 7·a 14的最大值为（ ）A ．25B ．50C ．100D ．不存在7.设),(a -∞为221)(--=x x x f 反函数的一个单调递增区间,则实数a 的取值范围为( ) A. 2≤a B. 2≥a C. 2-≤a D. 2-≥a８．设x x x f sin )(=,若1x 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,22ππx 且)()(21x f x f >， 则下列不等式必定成立的是（ ）A ．2221x x >B ．021>+x xC ．21x x >D ．21x x <９．足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有（ ）A ． 6种B ．5种C ．4种D ．3种10．一个动圆圆心在x y 82=上，且动圆恒与直线02=+x 相切，则此动圆必过定点（ ）A ．（4，0）B ．（2，0）C ．（0，2）D ．（0，－2）11. 锐角△ABC 中，若A=2B ，则ba 的取值范围是（ ） A ．（1，2） B ．（1，3 ） C ．（2,2 ） D ．（,23 ）12．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x, y, 5, 6, 4，已知这组数据的平均数为5，方差为2，则||x y -的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分．把答案填在题中横线上．1３．已知向量k 与且),5,(),0,2(==的夹角为π43，则实数k 的值为 ．14．设命题P ：不等式a x x >++1的解集为R ；Q ：方程01612=++ax x 有两个不等负实根；，若P 或Q 为真，P 且Q 为假，则实数a 的取值范围为__________．15. 设n n n x a x a x a a x x 2222102)1(++++=++Λ,则=++++n a a a a 2420Λ .16．由一个数列中部分项按原来次序排列的数列叫做这个数列的子数列，试在无穷等比数列21，41，81，…中找出一个无穷等比的子数列，使它所有项的和为71，则此子数列的通项公式为__________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分） 已知函数x x x f cos 26sin 2)(-⎪⎭⎫⎝⎛+=π. （1）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,2x 时，若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,2x 时，求函数)(x f 的值域. ； （3）求函数)(x f y =的对称中心．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．（1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）对于点集A={(x ，y)|x=m,y=－3m+2，m ∈N *},B={(x,y)|x=n,y=a(n 2－n+1),n ∈N *}，是否存在这样的非零整数a ，使A ∩B ≠φ？若存在，求出a 的值集，若不存在说明理由．20．（本小题满分12分）已知当x ≥1时，不等式x ln x ≥k (x －1)恒成立，求实数k 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 有a a =1，p a =2（常数0>p ），对任意的正整数n ，n n a a a S +++=Λ21，并有n S 满足2)(1a a n S n n -=． （1）求a 的值；（2）试确定数列{}n a 是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；（3）令2112+++++=n n n n n S S S S p ，n T 是数列{}n p 的前n 项和，求证：23n T n -<．在y 轴的负半轴上任取一点A (0,m),过点A 作抛物线2y ax = (0)a >的切线，切点为C ，交X 轴于点B,F 为抛物线的焦点．(1)证明点B 为线段AC 的中点； (2)是否存在实数FAFC AC λμλμ⋅u u u r u u u u r u u u r 、使得（＋）＝0.[参考答案]一、选择题：ACBCC ACCBB DD二、填空题：13.-5; 14. 21≤a 或1≥a ；15．);13(21+n ；16.n ⎪⎭⎫ ⎝⎛81. 三、解答题17．（1）53cos ,,2,54sin -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x x ππΘ， x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= x x cos sin 3-=53354+=. （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2)(πx x f ， ππ≤≤x 2Θ， 6563πππ≤-≤∴x ，16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ， ∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[.（3）由ππk x =-6，得ππk x +=6，所以对称中心为)0,6(ππk +（k )Z ∈. 18．解：（1）x Θ、y 可能的取值为1、2、3， 12≤-∴x ，2≤-x y ，3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ．因此，随机变量ξ的最大值为3．Θ有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，92)3(==∴ξP ． （2）ξ的所有取值为3,2,1,0．0=ξΘ时，只有2,2==y x 这一种情况，1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况， 2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况．1)0(==∴ξP ，4)1(==ξP ，2)2(==ξP ．则随机变量ξ的分布列为： 因此，数学期望993929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . 19．解：由⎩⎨⎧+-=+-=)1(232x x a y x y 02)3(2=+-+⇒x a ax 09230)2(4)3(22≤--⇒≥---=∆⇒a a a a a,37213721+≤≤-⇒a 又,+∈N a 1-=∴a ，或1=a ,或.2=a 当1-=a 时,1=x +∈N 或3=x +∈N , 当1=a 时,,21+∉±=N x当2=a 时,+∉=N x 0 或+∉-=N x 21，.1-=∴a 20．解：设[).,1),1(ln )(+∞∈--=x x k x x x f 当.1ln )(,),1(k x x f x -+='+∞∈时（i ）当k ≤1时，[)+∞>',1)(,0)(在函数x f x f 单调递增.因为f (1) = 0，所以当x ≥1时，f (x )≥0，即x ln x ≥k (x －1)（ii ）当k ＞1时，由f ′(x ) = 0，得ln x = k －1，即x = e k －1.当111,0)1(,)(,0)(,),1(--<<=<'∈k k e x f x f x f ex 则且单调递减时时，f (x )<0，即)1(ln -<x k x x ，不合题意.综上所述，k 的取值范围是(].1,∞-21. 解：（1）021111=-==a a a S ，即0=a （2）()2111----=-=n n n n n a n na S S a 121---=⇒n n a n n a ()p n a n n n n 112233432212-=⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--=Λ ∴{}n a 是一个以0为首项，p 为公差的等差数列。
江西省南昌二中高三数学上学期第四次月考试题 理(含解析)新人教A版
江西省南昌市第二中学2015届高三上学期第四次月考数学（理）试题【试卷综述】突出考查数学主干知识 ，侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。
全面考查了考试说明中要求的内容，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数的主体内容，解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识.明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向. 【题文】一、选择题（每小题5分，共50分）【题文】1．设集合22{,log }P a a =，{2,}aQ b =，若}0{=Q P ，则=Q P （ ） A.{0,1} B.{0,1,2} C.{0,2} D.{0,1,2,3} 【知识点】集合的三大特性 A1 【答案】【解析】B 解析：{}{}{}0,2,Q 0,10,1,2P P Q ==∴⋃=所以B 为正确选项.【思路点拨】按集合的性质分别求出集合P,Q.再求两个集合的并集.【题文】2．下列命题中是假命题的是（ ）A ．,lg()lg lg a b R a b a b +∀∈+≠+，; B ．,R ∃ϕ∈使得函数()sin(2)f x x =+ϕ是偶函数； C ．,,R ∃αβ∈使得cos()cos cos α+β=α+β；D ．243,()(1)m m m R f x m x -+∃∈=-⋅使是幂函数，且在(0,)+∞上递减；【知识点】命题 A2【答案】【解析】A 解析：因为当()2,2,lg 22lg2lg22lg2a b ==+=+=所以A 为假命题.【思路点拨】根据对数的运算法则可判定结果.【题文】3．2014cos()3π的值为（ ）A ．12B． C ．12-D ．【知识点】三角函数的诱导公式 C2【答案】【解析】C 解析：2014441cos cos 670cos cos 33332πππππ⎛⎫⎛⎫=+==-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以正确选项为C.【思路点拨】由三角函数的诱导公式可以计算出正确结果.【题文】4．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当1(0,]2x ∈时，12()log (1)f x x =-，则()f x 在区间3(1,)2内是（ ）A ．减函数且()0f x >B ．减函数且()0f x <C ．增函数且()0f x >D ．增函数且()0f x < 【知识点】函数的奇偶性与单调性. B4 【答案】【解析】B 解析：由题意可知函数()f x 为周期为2的函数，再由复合函数的性质可知函数12()log (1)f x x =-在1(0,]2x ∈上为增函数，利用奇函数与周期可知B 正确. 【思路点拨】根据函数的奇偶性与单调性可直接求出结果.【题文】5．已知数列{}n a 的前n 项和1(0)nn S a a =- ≠，则数列{}n a （ ） A. 一定是等差数列B. 一定是等比数列C. 或者是等差数列，或者是等比数列D. 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 【知识点】数列的定义 D1【答案】【解析】C 解析：当1a =时数列为等差数列，为其它不等于零的值时为等比数列，所以正确选项为C.【思路点拨】根据等差数列与等比数列的定义可以找出正确选项. 【题文】6．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≤x，2x ＋y －9≤0，则z ＝x ＋3y 的最大值等于( )A ．9B ．12C ．27D ．36【知识点】简单的线性规划 E5【答案】【解析】B 解析：由题意可知目标函数在y x =与290x y +-=的交点处取得最大值，因为交点为()3,3，代入可得max 12Z =，所以B 为正确选项.【思路点拨】根据线性规划的意义可找到最大值点，再求出最大值.【题文】7. 将函数)3cos(π-=x y 的图像上各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，所得图像的一条对称轴方程为（ ）A.9π=x B.8π=x C.2π=x D. π=x【知识点】三角函数的图像与性质 C4【答案】【解析】C 解析：由题意可知横坐标伸长到原的2倍，函数式变为1cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向左平移6π个单位可得11cos cos 26324y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以对称轴方程为12242x k x k ππππ-=∴=+，当0k =时，可得C 为正确选项.【思路点拨】由三角函数的图像可列出关系式，求出其中正确的选项.【题文】8. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足11a =，13()nn n a a n N ++= ∈，则2014S =（ ）A ． 1007232⨯-B ． 100723⨯ C ．2014312- D ．2014312+ 【知识点】数列的求和 D4【答案】【解析】A 解析：由anan+1=3n ，得（n≥2），∴，则数列{an}的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列，又．∴=2×31007﹣2．故选：A ．【思路点拨】由数列递推式得到数列{an}的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列，分组后利用等比数列的求和公式得答案【题文】9． ΔABC 中，120BAC ∠=，AB=2，AC=1，D 是边BC 上的一点（包括端点），则•的取值范围是（ ）A ． [1，2]B ．[0，1]C ． [0，2]D ． [﹣5，2] 【知识点】平面向量数量积的运算 F3【答案】【解析】D 解析：∵D 是边BC 上的一点（包括端点），∴可设=+（0≤λ≤1）．∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，∴=2×1×cos120°=﹣1．∴•=[+]•=﹣+=﹣（2λ﹣1）﹣4λ+1﹣λ=﹣7λ+2．∵0≤λ≤1，∴（﹣7λ+2）∈[﹣5，2]．∴•的取值范围是[﹣5，2]．故选：D．【思路点拨】由于D是边BC上的一点（包括端点），利用向量共线定理：可设=+（0≤λ≤1）．由∠BAC=120°，AB=2，AC=1，可得=2×1×cos120°=﹣1．代入利用数量积运算性质即可得出•=﹣7λ+2．再利用一次函数的单调性即可得出．【题文】10．已知函数()()2212,3ln2f x x axg x a x b=+=+设两曲线()(),y f x y g x==有公共点，且在该点处的切线相同，则(0,)a∈+∞时，实数b的最大值是（）A．6136eB．616eC．2372eD．2332e【知识点】导数 B11【答案】【解析】D 解析：设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x0，y0）处的切线相同、f′（x）=x+2a，g′（x）=，由题意f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0），即由x0+2a=得x0=a或x0=﹣3a（舍去），即有b=a2+2a2﹣3a2lna=a2﹣3a2lna．令h（t）=t2﹣3t2lnt（t＞0），则h′（t）=2t（1﹣3lnt）、于是当t （1﹣3lnt ）＞0，即0＜t ＜时，h ′（t ）＞0；当t （1﹣3lnt ）＜0，即t ＞时，h ′（t ）＜0．故h （t ）在（0，）为增函数，在（，+∞）为减函数，于是h （t ）在（0，+∞）的最大值为h （）=，故b 的最大值为．【思路点拨】利用a 的表达式来表示b ，然后利用导数来研究b 的最大值，研究此函数的最值问题，先求出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值与最小值即得 二、填空题（每小题5分，共25分）【题文】11．'''C B A ∆是正三角形ABC 的斜二测画法的水平放置直观图，若'''C B A ∆的面积为3，那么ABC ∆的面积为 ． 【知识点】斜二测画法 G2【答案】【解析】a ，则在斜二测画法中，三角形的高为，因为面积等于2212a a S ⨯=∴==正【思路点拨】由斜二测画法的定义可求出三角形的边长，再求出其面积. 【题文】12．若{}n a 是正项递增等比数列，n T 表示其前n 项之积，且1020T T =，则当n T 取最小值时，n 的值为________．【知识点】等比数列的性质 D3 【答案】【解析】15 解析：根据1020T T =，得出111213211201,1a a a a a a a a a a ⋅⋅=⋅=⋅==⋅=，1516a a <，所以15161,1a <>所以15T 最小，所以n 的值为15【思路点拨】由题意可根据等比数列的性质求出各项的大小关系，再确定n 的值.【题文】13.设,,x y z 均为正数,满足230x y z -+=,则2y xz 的最小值是 .【知识点】基本不等式 E6 【答案】【解析】3 解析：由基本不等式可得2221323333y y x zx z y xz xz y xz =++≥≥∴≥∴≥，所以最小值为3.【思路点拨】由题意可列出不等式，再求出最小值.【题文】14．已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)a b a b+⊥-且2a =，则b 在a 上的投影为【知识点】向量的运算 F2 【答案】【解析】 解析：：因为向量与向量的夹角为120°，所以在上的投影为，问题转化为求，因为，故， 所以在上的投影为．故答案为：．【思路点拨】因为向量与向量的夹角为120°，所以在上的投影为，问题转化为求．【题文】15.下列四个命题：①函数()()y f a x x R =+∈与()()y f a x x R =-∈的图像关于直线x a =对称；②函数2()lg(2)f x ax x a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围为[0,1]； ③在ABC ∆中，“30>A ”是“21sin >A ”的充分不必要条件；④数列{}n a 的通项公式为22()na n λn n N +=++ ∈，若{}n a 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为(3,)-+∞。
江西省南昌市第二中学2020届高三数学上学期第四次月考试题 理
南昌二中2020届高三第四次考试数学（理）试卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数Z R a iia ∈-+=(213，i 是虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部为Z （ ） A.3B.i 3C.3-D.i 3-2．设集合A ＝{x ｜2x ＜7x }，B ＝{x ｜5＜2x ＜17}，则A∩B 中整数元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3．已知 3e a =，π3b =,πe c =，则它们的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >> 4．设n m l ,,表示三条不同的直线，γβα,,表示三个不同的平面，下列四个命题正确的是（ ） A.若βα⊥⊥⊥m l m l ,,，则βα//B.若β⊂m ，n 是l 在β内的射影，n m ⊥，则l m ⊥C.若m 是平面α的一条斜线，α∉A ，l 为过A 的一条动直线，则可能有α⊥⊥l m l 且D.若γαβα⊥⊥,，则βγ// 5．已知数列}{n a 是公差为21的等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和.若1462,,a a a 成等比数列，则=5S （ ） A ．225B ．35C ．235D ．256．函数y ＝e |ln x |－|x －2|的图象大致是（ ）7.若对于任意x ∈R 都有f （x ）＋2f （－x ）＝3cos x －sin x ，则函数f （2x ）图象的对称中心为（ ）A ．（kπ－4π，0）（k∈Z） B ．（2k π－4π，0）（k∈Z）C ．（kπ－8π，0）（k∈Z） D ．（2k π－8π，0）（k∈Z）8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ） A. 2 B ．3C ．23D ．299．已知函数()cos (sin 3cos )(0)f x x x x ωωωω=+>，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有)2019()()(00π+≤≤x f x f x f 成立，则ω的最小值为（ ） A ．π40381B ．π20191 C ．40381 D ．2019110．在ABC ∆中， 39AB AC ==， 2AC AB AC ⋅=u u u v u u u v u u u v ，点P 是ABC ∆所在平面内一点，则当222PA PB PC ++u u u v u u u v u u u v 取得最小值时，PA BC ⋅=u u u v u u u v （ ）A. 24B. 62C.92D.24- 11.2020年9月24日, 英国数学家M.F 阿蒂亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程,引起数学界震动. 黎曼猜想来源于一些特殊数列求和, 记）则（...,1 (312112)22+++++=n S 341.<<S A 2334.<<S B 223.<<S C 2.>S D 12．函数()f x 满足()()1,,2x e f x f x x x ⎡⎫=+∈+∞⎢⎣'⎪⎭， ()1f e =-，若存在[]2,1a ∈-，使得31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭成立，则m 的取值（ ）A. 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. [)1,+∞ D. 12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.．__________)(,5)(,1sin 43)(.13==--+=a f a f x x x f 则若已知函数14．设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z x y =-的取值范围是__________．15. 若函数21()ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围是 ．16．已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，,CD BC ⊥,4==CD BC,32==AD AB 则三棱锥A BCD -的外接球的大圆面积为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分10分）已知()13(0)f x ax ax a a =-+->． （1）当1a =时，求不等式()5f x ≥的解集；（2）若不等式()5f x ≥的解集为R ，求实数a 的取值范围．18. （本小题满分12分）在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，.tan 3sin 2A a B c =且（1） 求222a c b +的值；（2）若2=a ，求ABC ∆面积的最大值.19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项11=a ，*14()2nn n a a n N a +=∈+． （1）证明：数列11{}2n a -是等比数列； （2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分12分）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，ED PA P ，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若直线 PC 与平面ABCD 所成的角为o45，求二面角D CE P --的余弦值．EDBCA P21. （本小题满分12分）已知圆2219C x y +=：，点A 为圆1C 上的一个动点，AN x ⊥轴于点N ，且动点M 满足()2222OM AM ON +=-u u u u r u u u u r u u u r，设动点M 的轨迹为曲线C .（1）求动点M 的轨迹曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点P 、Q 且满足以PQ 为直径的圆过坐标原点O ， 求线段PQ 长度的取值范围.22. （本小题满分12分）设函数).(ln )(R a a ax e x x f x∈-+-= （1）当1-=e a 时，求函数)(x f 的极值；（2）若关于x 的方程0)(=x f 有唯一解0x ，且)1,(0+∈n n x ，*N n ∈,求n 的值.南昌二中2020届高三第四次考试数学（理）试卷参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．13. —7 14.83,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15. 3[1,)2 16. 9π小题详解：⎩⎨⎧=-≠+∴06032a a ， 解得6=a ；则⇒-=⇒==i Z i iz 33515.3-的虚部为Z 2. B .6,5,4,37,25整数元素包含：⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋂B A 3. D 指数函数与幂函数的应用，易选D.4. B ,l m l α⊥⊥，则m α⊂或m αP ；若m α⊂，则由m β⊥可得αβ⊥。
江西省南昌市第二中学2020届高三数学第四次月考试题文(含解析)
江西省南昌市第二中学2020届高三数学第四次月考试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合，0，1，，则A. B.C. D. 0，1，2.A. B. C. D.3.如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是A. B. 33 45 35 C. D.4.若，则A. B. C. D.5.已知平面向量的夹角为，且，，则A. B. 2 C. D.6.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B. C. D.7.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的y值的取值范围是A. 或B.C. 或D. 或8.观察下列各式：，，，，，，则A. 322B. 521C. 123D. 1999.已知，若存在三个不同实数a，b，c使得，则abc的取值范围是A. B. C. D.10.设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，已知，设D是BC边的中点，且的面积为，则等于A. 2B. 4C.D.11.已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，，，，面ABCD，则球O的体积为A. B. C. D.12.已知椭圆E：的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：交椭圆E于A，B两点，若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为______．14.已知，为第二象限的角，，则的值为______．15.设是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有，当时，，若函数且在上有且仅有三个零点，则a的取值范围为______．16.已知实数x，y满足，则的最大值是_________．三、解答题（本大题共7小题）17.2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：，，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；若从样本中年龄在的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；已知该小区年龄在内的总人数为2000，若18岁以上含18岁为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．18.已知数列的各项均为正数，且，．求数列的通项公式；若，求数列的前n项和．219.如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，且底面ABCD．证明：平面PBD；若Q为PC的中点，求三棱锥的体积．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为1．求椭圆的标准方程；若P为椭圆上的一点点P不在y轴上，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．21.已知函数．Ⅰ设，曲线在点处的切线在y轴上的截距为b，求b的最小值；Ⅱ若只有一个零点，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线的方程为以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求的直角坐标方程；若与有且仅有三个公共点，求的方程．23.已知函数．Ⅰ求不等式的解集；Ⅱ设函数的最小值为m，当a，b，，且时，求的最大值．4答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合，0，1，，则．故选：A．直接利用集合的交集的运算法则求解即可．本题考查集合的基本运算，交集的求法，是基本知识的考查．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查．利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：．故选：D．3.【答案】B【解析】解：从茎叶图中知共16个数据，按照从小到大排序后中间的两个数据为32、34，所以这组数据的中位数为33；45出现的次数最多，所以这组数据的众数为45；最大值是47，最小值是12，故极差是：35，故选：B．根据中位数，众数以及极差的概念以及茎叶图中的数据，求出相应的数据即可．本题考查了茎叶图的应用以及中位数、众数以及极差的求法问题，求中位数时，要把数据从小到大排好，再确定中位数，也要注意数据的个数．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题．根据能求出结果．【解答】解：，．故选B．5.【答案】A【解析】解：由，得：，即：，解得：．故选：A．将进行平方运算可化为关于的方程，解方程求得结果．本题考查了利用平面向量的数量积求模长的计算问题，是基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查计算能力．利用等比数列的通项公式，转化求解即可．【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：．故选：D．7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，属于基础题．根据程序框图，分析程序的功能，结合输入自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出的值．如图：若：，则满足条件输出，若：，则不满足条件，此时，则：输出的y值的取值范围是或．故选：C．8.【答案】A【解析】解：根据题中数据，归纳推理，即可得出结果．因为，，，，，，等式右边对应的数为1，3，4，7，11，，所以，其规律为：从第三项起，每项等于其相邻两项的和；因此，求，即是求数列“1，3，4，7，11，”中的第12项，所以对应的数列为“1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322”，即第12项为322．故选：A．观察1，3，4，7，11，的规律，利用归纳推理即可得到．本题考查归纳推理的应用，得到等式的右边数的规律是解决本题的关键，比较基础．9.【答案】C6【解析】解：由题意，可画出函数的图象大致如下：存在三个不同实数a，b，c，使得，可假设，根据函数图象，可知：，，．又，，即：．，即．．，．故选：C．本题可先画出分段函数的图象，然后根据图象分析a、b、c的取值范围，再根据对数函数以及绝对值函数的性质得出，即可得到abc的取值范围．本题主要考查分段函数的图象画法，数形结合法的应用，绝对值函数以及对数函数的应用，不等式的性质．本题属中档题．10.【答案】A【解析】解：，，，，，，，，故选：A．先根据正余弦定理求出，，再将，化为，后用数量积可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．11.【答案】B【解析】解：如图，由题意，ABCD为等腰梯形，作，与E，F，则，可得，取BC中点M，连接AM，易得，故M到A，B，C，D距离相等，为球小圆的圆心，取PA中点N，则ANOM为矩形，在等腰直角三角形AMO中，得球半径，故球O的体积为：，故选：B．利用ABCD为等腰梯形找到球小圆的圆心M恰为BC中点，取PA中点N，在矩形ANOM中，求得半径OA，得解．此题考查了球内接几何体及球体积的求法，难度适中．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质，点到直线的距离公式，不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题．如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，可得取，由点M到直线l的距离不小于，可得，解得再利用离心率计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，如图所示：，．8取，点M到直线l的距离不小于，，解得．．椭圆E的离心率的取值范围是．故选A．13.【答案】，或【解析】解：当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：，即；当在坐标轴上截距不为0时，在坐标轴上截距互为相反数，可设直线方程为，将代入得，，此时所求的直线方程为．综上，要求的直线的方程为，或，故答案为：，或．可分当在坐标轴上截距为0时、与在坐标轴上截距不为0时，分类讨论解决．本题主要考查求直线的方程的方法，属于基础题．14.【答案】【解析】解：因为，为第二象限的角，，所以，，又因为，所以，故答案为：．由，为第二象限的角，，可得，，由于，再结合两角和的正弦公式展开运算即可得解．本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．15.【答案】【解析】解：对任意的实数x，恒有，函数是周期为2的偶函数，当时，，若，则，即，即，，而在有且仅有三个零点可化为函数与在上有三个不同的交点，故作函数与在上的图象可得，若，则两个函数只有一个交点，不满足条件．则，若函数与在上有三个不同的交点，则，即，即，故；故答案为：．由题意可判断出函数是周期为2的偶函数，从而作出函数的图象，结合图象，利用数形结合进行求解即可求a的取值范围．本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的奇偶性和函数在一个周期内的图象，利用数形结合是解决本题的关键．16.【答案】15【解析】解：如图，由，可得，，则，令，得，如图，要使最大，则直线在y轴上的截距最小，由，得．则，即或．由题意可得z的最大值为15．故答案为：15．由题意可得，，去绝对值后得到目标函数，然后结合圆心到直线的距离求得的最大值．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．17.【答案】解：平均数，前三组的频率之和为，故中位数落在第3组，设为x，则，解得，即中位数为35样本中，年龄在的人共有人，其中年龄在的有4人，设为a，b，c，d，年龄在的有2人，设为x，y则从中选取2人共有如下15个基本事件：，，，，，，，，，，，，．至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：，，，，，，，，．记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，故所求概率为．样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为，故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为．【解析】【分析】本题考查了频率分布直方图的识别和应用，考查了古典概型的概率计算，用频率分布直方图估计平均数和中位数．做题时要认真审题，准确把握题意．本题属于中档题．以每一个小矩形的下方中点为该组的代表值，以频率为权加权平均即可得到平均数，根据中位数处于中间位置，即在中位数之前的数频率为估计即可；10样本中，年龄在的人共有人，其中年龄在的有4人，设为a，b，c，d，年龄在的有2人，设为x，y列举出取出的两人的所有情况，数出2人中至少有1人年龄不低于60岁包含的基本事件个数和基本事件的总数即可求出2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；以频率当做概率的近似值，又年龄在内的总人数为2000，相乘即可得到估计值．18.【答案】解：由，得，所以或，又因为的各项均为正数，负值舍去，所以；由，所以前n项和由得：，化简可得．【解析】将所给等式分解因式，结合条件可得所求通项公式；求得，运用数列的求和方法：错位相减法，以及等比数列的求和公式，化简整理可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的求和方法：错位相减法，以及等比数列的求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19.【答案】证明：，，，．又底面ABCD，．，平面PBD．解：三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，而．所以三棱锥的体积．【解析】证明，然后证明平面PBD．利用三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，转化求解即可．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.【答案】解：椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为1，，且，解得，，椭圆的标准方程为设，，由题意知OP的斜率存在，当OP的斜率为0时，，，，当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为，由，得，解得，，，，直线OQ的方程为，由，得，，，综上所述，．【解析】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，是难题．由椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为1，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程当OP的斜率为0时，，，；当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为，由，得，由此利用直线与直线垂直，结合已知条件，求出的值．21.【答案】解：Ⅰ函数的导数为，可得，，可得曲线在点处的切线方程为，令，可得，由，可得b在递增，b的最小值为；Ⅱ若，或；，可得在递减，在，递增，即有的极小值为，极大值为，，若只有一个零点，则或，由，解得或，由，可得；由，即，由，可得，解得；则或；若，，在R上递增，，只有一个零点；若，或；，可得在递减，在，递增，即有的极小值为，极大值为，，，若只有一个零点，，即，由，可得，解得；综合可得或．【解析】Ⅰ求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，可令，求得b关于a的二次函数，由二次函数的最值，可得所求最小值；Ⅱ讨论，，，求得的增区间和减区间，进而得到极值，由只有一个零点，可得极值的符号，解不等式即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值，考查函数的零点的求法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．22.【答案】解：曲线的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为：，转换为标准式为：．由于曲线的方程为，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点．由于该射线与曲线的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线的距离等于半径2．故：，或解得：或0，当时，不符合条件，故舍去，同理解得：或0经检验，直线与曲线没有公共点．故C的方程为：．12【解析】直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本体考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用．23.【答案】解：Ⅰ或或，解得，故不等式的解集为Ⅱ，，即，又a，b，且，z则，设，，，，，同理：，，，，，即，当且仅当时，取得最大值．【解析】Ⅰ分3段去绝对值解不等式，在相并；Ⅱ先求得，再设，，，然后利用重要不等式以及不要等式的性质可得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
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2020届江西省南昌市二中高三第四次月考
数学（理）试卷
★祝考试顺利★
一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）
1.已知实数集R ，集合A ＝{x |log 2x <1}，B ＝{x ∈Z |x 2＋4≤5x }，则(∁R A )∩B ＝( )
A ．[2，4]
B ．{2，3，4}
C ．{1，2，3，4}
D ．[1，4]
2.若复数z 满足z (1－i )＝|1－i |＋i ，则z 的虚部为( )
A ．2－12
B ．2+1
C ．2＋12i
D ．2＋12
3．设a ＝log 318，b ＝log 424，43
2=c ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A ．a ＜b ＜c
B ．a ＜c ＜b
C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜b ＜a
4．以下四个命题中，真命题的是（ ）
A ．∃x ∈（0，π），使sinx ＝tan x
B ．“对任意的x ∈R ，x 2+x +1＞0”的否定是“存在x 0∈R，x 02+x 0+1＜0”
C ．△ABC 中，“sinA+sinB＝cosA+cosB”是“C＝2
π”的充要条件 D ． ∀θ∈R ，函数f （x ）＝sin （2x+θ）都不是偶函数
5. 函数2
1sin x x x y ++=的部分图象大致为（ ） 6.为了测量铁塔OT 的高度，小刘同学在地面A 处测得铁塔在东偏北19°7′方向上，塔顶T 处的仰角为30°，小刘从A 处向正东方向走140米到地面B 处，测得铁塔在东偏北79°7′方向上，塔顶T 处的仰
角为60°，则铁塔OT 的高度为（ ）
A. 720米
B. 725米
C. 2120米
D. 2125米 7．函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，φ∈（﹣π，0） 的部分图象如右图所示，要得到函数y ＝A sinωx 的图象，只需 将函数f （x ）的图象（ ）
A ．向右平移
B ．向左平移
C ．向左平移
D ．向右平移
8．已知函数f (x )＝ln (1+|x |)﹣
211x
+,则关于x 的不等式f （lnx ）+f (x 1ln )＜2f (1)的解集为（ ） A ．（0，+∞） B ．（0，e ） C ．（e
1，e ） D ．（1，e ） 9.已知向量与夹角为θ,||＝3，||＝1且若对∀x ∈R，恒有|+x |≥|+|,则tan2θ等于（ ）
A ．2
B ．2﹣
C ．2﹣2
D ．22
10. 如图，在平面四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，
AD CD ⊥，150BAD ∠=︒，2AB =， 3AD =. 若点E 为边CD 上的动点，则
AE BE ⋅的最小 值为（ ）
A ．254
A B C D
E。