2014 高考分类汇编三视图和直观图
《三视图与直观图》
长、高相等，
从前向后看 侧视图
长
等， 相互对齐
从左向右看 俯视图：
从上向下看。
长对正
宽相等
正视图与俯视图的长相等，且相互对正
俯视图与侧视图的宽度相等
高平齐 正视图与侧视图的高度相等，且相互对齐
三视图的画法规则可归结为：
长对正，宽相等，高平齐。
三个视图之间的投影关系为：
正、俯视图长对正；正、侧视图高平齐；
俯、侧视图宽相等
三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高.
柱、锥、台、球的三视图
直观图与三视图的转化：
例1.画出下面这个组合图形的三视图．
从航空测绘到土木建筑、机械设计以至家居装潢，——空 间图形与我们的生活息息相关.
1.2.1 中心投影与平行投影
中心投影的特点： 光线散射，与人的视 觉 效果一致，常用于绘画 平行投影的特点：
光线平行，图形形状、大 小完全一致，常用于作图
1.2.2 空间几何体的三视图
空间几何体的三视图
正视图
三视图与直观图
A
O
D x
B N C
3 连 接 A B , C D , E F , F A , 并 擦 去 辅 助 线 x 轴 和 y 轴 ,
便 获 得 正 六 边 形 A B C D E F 水 平 放 置 的 直 观 图 A B C D E F
y
F ME
确定的平面表示一个三维空间. (2)已知图形中平行于x轴, y轴,z轴的线段，在直
观图中分别画成平行于x 轴,y 轴, z 轴的线段．
(3)已知图形中平行于x 轴或z 轴的线段,在直观 图中保持原长度不变;平行于y 轴的线段,长度为原 来的一半．
平行投影的性质
当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平 行投影具有下列性质.
（1） 直线或线段的平行投影仍是直线或线段.
（2）平行直线的平行投影是平行或重合的直线.
（3）在同一直线或平行直线上，两条线段的平行 投影线段的长度比等于这两条线段的长度比.
（4）与投射面平行的平面图形， 它的投影与这个图形全等.
B NC
3 连 接 A B , C D , E F , F A , 并 擦 去 辅 助 线 x 轴 和 y 轴 ,
便 获 得 正 六 边 形 A B C D E F 水 平 放 置 的 直 观 图 A B C D E F
y
F ME
A
O Dx
B NC
y
F M E
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线,
就可得到长方体的直观图.
D
A D
A
C
B C
B
斜二测画法的步骤:(空间几何体)
(1)画轴.在已知图形中取两两垂直的x 轴, y 轴, z轴,三轴相交于O点．画直观图时，把它画成对应
高考数学 考点25 三视图与直观图试题解读与变式
考点25 三视图与直观图一、知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:1.1棱柱的结构有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱1.2圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.1.3棱锥、棱台的结构有一个面是多边形，其余各面是有一个公共底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底用一个平行于棱锥底面的平由正棱锥截得的棱台1.4成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面.1.5.圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴 1.6.球（1）定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径. （2）球的性质球被平面截得的图形是圆，球心与截面圆圆心的连线与截面圆垂直，球的半径R ，截面圆的半径r ，球心到截面圆的距离为d ，则222d r R +=.1.7.长方体性质：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 1.8正四面体：侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体. 设正四面体的棱长为a 为，对棱间的距离为2a ，体积为312a . 1.9空间几何体的直观图 （1）斜二测画法①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX ，OY ，建立直角坐标系；②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O ’X ’,O ’Y ’,使'''X OY =450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半；④擦去辅助线，图画好后，要擦去X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）.画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法.（2）平行投影与中心投影：平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点.1.10 简单几何体三视图 （1）三视图①正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度； ②侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度； ③俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度. （2）三视图画法规则高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐 长对正：主视图与俯视图的长应对正 宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等（3）.解决三视图问题的技巧：空间几何体的数量关系也体现在三视图中，正视图和侧视图的“高平齐”，正视图和俯视图的“长对正”，侧视图和俯视图的“宽相等”．也就是说正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度．在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．在三视图的判断与识别中要特别注意其中的“虚线”．（4）要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图．（5）解答三视图题目时：①可以从熟知的某一视图出发，想象出直观图，再验证其他视图是否正确； ②视图中标注的长度在直观图中代表什么，要分辨清楚； ③视图之间的数量关系：正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等．1.11几何体中计算问题的方法与技巧：①在正棱锥中，正棱锥的高、侧面等腰三角形的斜高与侧棱构成两个直角三角形，有关计算往往与两者相关；②正四棱台中要掌握对角面与侧面两个等腰梯形中关于上底、下底及梯形高的计算，另外，要能将正三棱台、正四棱台的高与其斜高，侧棱在合适的平面图形中联系起来；③研究圆柱、圆锥、圆台等问题，主要方法是研究其轴截面，各元素之间的关系，数量都可以在轴截面中得到；④多面体及旋转体的侧面展开图是将立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段． 2.命题规律展望：空间几何体的三视图与直观图是高考的重点和热点，主要考查简单几何体三视图识别、由三视图画出对应的几何体的直观图并计算其体积与表面积、由三视图画出对应的几何体的直观图并其外接球或内切球的体积或表面积，题型为选择题或填空题，难度为容易题或中档题，分值为5分.二、题型与相关高考题解读 1.空间几何体的三视图 1.1考题展示与解读例1 【2014高考湖北卷理第5题】在如图所示的空间直角坐标系xyz O 中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【命题意图探究】本题主要考查简单几何体的三视图及空间想象能力，是基础题. 【答案】D【解析】设)2,2,2(),1,2,1(),0,2,2(),2,0,0(D C B A ，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.【解题能力要求】空间想象能力【方法技巧归纳】根据点的坐标，画出简单几何体的三视图，然后根据三视图的画法规则判断几何体的三视图. 1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】如图，点,M N 分别是正方体1111ABCD A B C D 的棱1111,A B A D 的中点，用过点,,A M N 和点1,,D N C 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（ ）A. ①③④B. ②④③C. ①②③D. ②③④ 【答案】D【变式2：改编结论】在下列水平放置的几何体中，正视图是如图的是 （ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】观察四个选择支的四个几何体，A、B、D对应三个几何体的正视图都为矩形，C对应的几何体的正视图为等腰三角形，故选C.【变式3：改编问法】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）【答案】B【解析】俯视图为几何体在底面上的投影，应为B中图形.2.由三视图求对应空间几何体的表面积2.1考题展示与解读例2【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（）（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π【命题意图探究】本题主要考查简单几何体的三视图及球的表面面积与体积计算，是容易题. 【答案】A【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力【方法技巧归纳】根据“长对正、宽相等、高平齐”的直观图画法规则，画出对应几何体的直观图，确定几何体中个元素的量，再计算几何体的表面积. 2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于（ ）A. 23 C. 4+【答案】B 【解析】由已知得该几何体为三棱柱，面积()(121122322S ⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭，故选B. 【变式2：改编结论】一个正三棱柱的主视图如图所示，则其左视图的面积是( )【答案】C【解析】由主视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，左视图是矩形,边长为：1,左视图的面积为1=，故选C.【变式3：改编问法】如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（）A. 8B. 4C.【答案】C3.由三视图求对应几何体的体积3.1考题展示与解读例3【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A ．12+π B ．32+πC ．123+πD ．323+π【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及椎体的体积公式，是基础题. 【答案】A【解析】由三视图知其对应的几何体为底面半径为1高为2的半圆锥与底面为底边长为2底边上高为1等腰三角形高为2的三棱锥组成的组合体，其体积为12)122121(3312+=⨯⨯+⨯⨯⨯=ππV ，选A ．【解题能力要求】空间想象力、运算求解能力【方法技巧归纳】根据“长对正、宽相等、高平齐”的直观图画法规则，画出对应几何体的直观图，确定几何体中个元素的量，再计算几何体的体积. 3.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积等于（ ）.A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据，计算它的体积为：V=V 三棱柱+V 半圆柱=×2×2×3+•π•12×3=（6+1.5π）cm 3． 故答案为：6+1.5π．【变式2：改编结论】一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为23π的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的体积为（ ）A.3 B. 203π C. 25π D. 【答案】A【变式3：改编问法】如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，几何体为锥体，高为正三角形的高，因此底面积为，即底面为等腰直角三角形，直角边长为2，周长为，选C.4.与三视图有关的最值问题4.1考题展示与解读例5【2014课标Ⅰ，理12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）（A）（B）6（C）（D）4【命题意图探究】本题主要考查简单几何体的三视图及几何体中的最值问题，是中档题. 【答案】Ｂ【解析】由正视图、侧视图、俯视图形状，可判断该几何体为四面体，且四面体的长、宽、高均为4个单位，故可考虑置于棱长为4个单位的正方体中研究，如图所示，该四面体为D ABC-，且4A B B C==,AC=DB DC==6DA==，故最长的棱长为6，选B．【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力【方法技巧归纳】根据“长对正、宽相等、高平齐”的直观图画法规则，画出对应几何体的直观图，确定几何体中个元素的量，再根据几何体的直观图计算有关最值问题.4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】如图是某几何体的三视图，则该几何体的各个棱长中，最长的棱的长度为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】几何体ABCD 为图1中粗线所表示的图形，最长棱是AC ， ，故选C ．【变式2：改编结论】某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最大侧面的面积为( )A.12B. 2【答案】C【变式3：改编问法】如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为( )A. 【答案】D【解析】由题意可得，该几何体是一个棱长为4的正方体中截取一个角所得的三棱锥，该三棱锥的最大面是一个边长为的等边三角形，该三角形 的面积是1sin60832⨯=D . 三、课本试题探源必修2 第1章 P30页练习 第3题：下面是一个几何体的三视图（单位：cm ）,画出它的直观图，并求出它的表面积和体积.【解析】由三视图知该几何体是上下底面边长分别为6和10高为8的正棱台，其直观图如图所示，则侧棱长为142)2325(822=-+，侧面上斜高为132)35()142(22=--，所以该几何体的表面积2132)106(461022⨯+⨯++=1416136+，体积为)15161088(318)10610036(31+=⨯⨯++=V .四．典例高考试题演练1.【2018届湖南省益阳市、湘潭市9月调研】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A.23 B. 43 C. 83D. 4 【答案】B【解析】如图所示：如图所示，三棱锥P ABC -即为所求.11142223323P ABC ABCV Sh -=⨯=⨯⨯⨯⨯=，故选B.2.【2018届四川省成都市龙泉驿区一中9月】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. ＋2πB.C.D.【答案】D【解析】恢复原几何体为一个圆柱与一个半圆锥组成的组合体，圆柱的底面半径为1，高为2，半圆锥的底面半径为1，高位1，所以体积为，选D.3.【2017届广西省上期教诊断性联合考】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（ ）A. 164π+B. 162π+C. 484π+D. 482π+ 【答案】B【解析】由已知可得该几何体是由一个四棱锥和半个圆锥组成的，故其体积为14433⨯⨯⨯+2112316223ππ⨯⨯⨯=+ ，故选B. 4.【2018届湖南省永州市上期一模】已知某三棱锥的三视图如图所示，则在该三棱锥中，最长的棱长为（ ）【答案】C-，图中长方体中【解析】由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥P ABC===，由图知三棱锥的棱长1,2，其中最长棱为2,1PB AB ACPC==，故选C.35.【2018届吉林省长春市一模】《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A. 4立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 12立方丈【答案】B【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.6.【2018届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（）A. 28B.C.D.【答案】D【解析】如图所示，三视图所对应的几何体是长宽高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱：ABIE-DCJH，该几何体的表面积为：，故选D.7.【2016届福建省高三总复习单元过关立体几何形成性测试】已知某几何体的正视图和侧视图（如图所示），则该几何体的俯视图不可能是A. B. C. D.【答案】C【解析】A选项是个三棱锥，下图1，B选项也是三棱锥，下图2，D选项是四棱锥，下图3.选C.8.【2017届贵州省贵阳市一中月考（七）】如图为体积是3的几何体的三视图，则正视图的x 值是（ ）A. 2B. 92C. 32D. 3 【答案】D【解析】几何体是一个四棱锥，如图， ()1112?23323S V Sx =+===底面，， ∴3x =，故选D ．9.【2018届广东省深圳市宝安中学一模】如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12．则该几何体的俯视图可以是（ ）【答案】C【解析】由该几何体的正视图、俯视图，得该几何体为一个柱体，且高为1，则底面面积为，结合选项，得只有选项C 的面积为；故选C ．10.【2017届武汉市蔡甸区汉阳一中五模拟】下图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，且该几何体的顶点都在同一球面上，则该几何体的外接球的表面积为A. B. C. D.【答案】C11.【2017届安徽省宣城市二调】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A. 25πB. 254π C. 29π D. 294π【答案】D12.【2017届吉林省实验中学八模】若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体，则其表面积为A. 32π+32π C. 34π+34π+【答案】A【解析】该几何体是半个圆锥， 211236V r π=⨯⨯=， 1r =，母线长为2l r =，所以其表面积为21112222S rl r r ππ=++⨯ 23322r ππ⎛==+ ⎝A ． 13.【2017届福建省莆田六中一模】在体积为V 的球内有一个多面体，该多面体的三视图是的等腰直角三角形，则V 的最小值是（ ）A. B. 2C. 3πD. 12π 【答案】B14.【2018届安徽省巢湖一中等十校联盟摸底考】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中最大的面积为__________．【答案】32【解析】由题意知，该三棱锥的直观图如图中的A BCD -所示，则11212BCD S ∆=⨯⨯=，122ACD S ∆== 1122ABC S ∆==， 13222ABD S ∆==，故其四个面中最大的面积为32.15.【2017届江西省赣州市二模】某多面体的三视图如图所示，则该多面体外接球的体积为_________.【答案】π48【解析】由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，如图所示，再取点Q ，可得直三棱柱，高为2，在三角形PBC 中，PC =2，PB=BC=，由余弦定理可得3cos 5PBC ∠=，则4sin 5PBC ∠=，由正弦定理可得三角形PBC 的外接圆的直径2r =5sin 2PC PBC ∠=，又四棱锥的球心到平面PBC 的距离为1，所以外接球的半径R 4=,则外接球的体积V =34ππ348R =。
高考分类汇编三视图和直观图
2014 高考分类汇编三视图和直观图1．[2014·安徽卷] 一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的体积是( )图1-2A.233B.476 C ．6 D ．7 8．A2．[2014·北京卷] 某三棱锥的三视图如图1-3所示，则该三棱锥最长棱的棱长为图1-311．223．[2014·湖北卷] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O -xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )图1-2A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和② 7．D4、[2014·湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )图1-2A ．1B ．2C ．3D ．4 8．B 5、[2014·辽宁卷] 某几何体三视图如图1-2所示，则该几何体的体积为( )图1-2A ．8－π4B ．8－π2C ．8－πD ．8－2π 7．C 6[2014·浙江卷] 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )图1-1A ．72 cm 3B ．90 cm 3C ．108 cm 3D ．138 cm 3 3．B7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-1，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )图1-1A.1727B.59C.1027D.136．C 8．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-1，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱 8．B9．、[2014·陕西卷] 四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .图1-4(1)求四面体ABCD 的体积；(2)证明：四边形EFGH 是矩形．17．解：(1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1， ∴AD ⊥平面BDC ，∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23.(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩ 平面ABC＝EH ，∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH .同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ， ∴四边形EFGH 是矩形． 10．[2014·四川卷] 某三棱锥的侧视图、俯视图如图1-1所示，则该三棱锥的体积是(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)( )图1-1A ．3B ．2 C. 3 D ．1 4．D 11．[2014·重庆卷] 某几何体的三视图如图1-2所示，则该几何体的体积为( )图1-2A ．12B ．18C ．24D ．30 7．C12．[2014·天津卷] 一个几何体的三视图如图1-2所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.10.20π3。
(安徽专用)2014届高考数学 第七章 第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图课件 文 新人教A版
等腰梯形，故②③错误．
【答案】 A
(2013· 潍坊模拟 ) 某四面体的三视图如图 7 － 1 － 5 所
示，该四面体四个面的面积中最大的是(
)
A．8
B．6 2
C．10
D．8 2
【思路点拨】
根据几何体的三视图确定几何体的形
状，并画出几何体的直观图，标示已知线段的长度，最后求 各个面的面积确定最大值． 【尝试解答】 所示． 将三视图还原成几何体的直观图，如图
C．正方体
D．圆柱
【解析】
球、正方体的三视图形状都相同，
大小均相等，首先排除选项A和C.对于如图 所示三棱锥O－ABC，当OA、OB、OC两两 垂直且OA＝OB＝OC时，其三视图的形状 都相同，大小均相等，故排除选项B. 不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会
完全相同，故答案选D.
【答案】 D
2．(2013·长沙模拟)某几何体的正视图和侧视图均为图
第一节
空间几何体的结构及其三视图和直观图
1．多面体的结构特征 互相平行 ，上下底面是 _______ 全等 的 (1) 棱柱的侧棱都 ____________ 多边形． 公共顶点 (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个 _________
的三角形．
平行于底面 的平面截棱锥得到，其上下 (3) 棱台可由 _____________ 底面是相似多边形．
易错辨析之十一 画三视图忽视边界线及其实虚致误
(2012· 陕西高考 ) 将正方体 ( 如图 (1) 所示 )截去两个三 棱锥，得到如图 (2) 所示的几何体，则该几何体的左视图为 ( )
【错解】
错解一
由几何体知，AD1是边界线，投影
到正方体右侧面上恰为正方形的对角线，故选D. 【答案】 错解二 D 由几何体知， AD1 、 B1C 都是边界线，投影到 C
三视图及直观图
投影
1.平行投影：平行投影的投影 线 互相平行 ． 2.中心投影：中心投影的投影线 .
相交于一点
• 对点演练
• • (教材改编)利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是 ________．(写出所有正确的序号) ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图 是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观
1.三视图中，正视图和侧视图一样高，正
视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对 正，宽相等，高平齐”． • 2．在解题过程中，可以根据三视图的形状及图中所涉及 的线段的长度，推出原几何图形中的点、线、面的位置关
系及图中的一些线段的长度，从而解决其他有关问题．
• •
针对训练 2 ． (1)(2013· 四川 ) 一 个几何体的三视图如图所示，则该
A. • 【答案】 A
• 【易误警示】
1.因没有区分几何体中的可见轮廓线在三
视图中为实线，不可见轮廓线为虚线，误选． • 2．因为忽视了OC被遮挡，误认为无投影，不用画出，误 选． • 3．对于由几何体画出其三视图时，首先要看清几何体的 结构特征，在绘制三视图时，若相邻两几何体的两表面相 交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和
【归纳提升】
用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图
形与直观图中的“三变、三不变”． 坐标轴的夹角改变， “三变”与y轴平行线段的长度改变， 图形改变； 平行性不变， “三不变”与x轴平行的线段长度不变， 相对位置不变.
针对训练 3．(2014· 潍坊一模)等腰梯形 ABCD，上底 CD＝1，腰 AD＝CB＝ 2，下底 AB＝3，以下底所在直线为 x 轴，则由斜二测画法画 出的直观图 A′B′C′D′的面积为________．
2014·新课标高考总复习·数学7-1空间几何体的结构及其三视图和直观图-37页精选文档
原图形，S
原图形＝2
2S 直观图．
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2014 · 新课标高考总复习 · 数学
抓主干 双基知 能优化
（B · 理）
研考向
要点知 识探究
1．(课本习题改编)下列说法正确的是( )
悟真题
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
透析解
题策略
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
图一样，左视图放在主视图的 右面 ，高度与主视图一样，宽度与俯
视图的宽度一样．为了便于记忆．通常说：“长对正、高平齐、宽相
等”或说“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”．
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2014 · 新课标高考总复习 · 数学
（B · 理）
抓主干 双基知
四、空间几何体的直观图
能优化
空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画，其规则是：
研考向
①三角形的直观图一定是三角形；
要点知
识探究
②正方形的直观图一定是菱形；
悟真题
透析解
题策略
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；
提素能 高效题
④菱形的直观图一定是菱形．
组训练
以上结论正确的个数是________．
解析：由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行 四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的 直观图也不一定是菱形，④也错误．
2014 · 新课标高考总复习 · 数学 （B · 理）
一、多面体的结构特征
菜 单 隐藏
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究
悟真题 透析解 题策略
提素能 高效题 组训练
二、旋转体的形成
三视图和直观图
斜二测画法问题举例 C
1.画平面图形水平放置直观图
A
B
C1 A1
B1
斜二测画法问题举例
• 2.画立体图形水平放置直观图 • 3综合问题 • （1）根据三视图画直观图 • （2）画某物体的直观图
六棱柱的直观图画法
⑴ 六棱柱的组成
由两个六边形底面和几个 矩形侧面组成。侧棱相互平行。
⑵ 棱柱的三视图
思考5:在平行投影中，投影线正对着投影面时叫
做正投影，否则叫做斜投影.一个与投影面平行的 平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是 否发生变化？
正投影
斜投影
1. 斜投影
投 射 线 方 向
a c
90°
b
2.正投影
投 射 线 方 向
90°
思考6:一个与投影面不平行的平面图形，在正投
影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？
先画反映底面形状的视图。
作业: P15练习：1，2，3.
问题1:要很好地描绘这幢房子，需要从哪些方向去看？ 问题2:如果要建造房子，你是工程师，需要给施工员提 供哪几种图纸？
三视图
（1）光线从几何体的前面向后面正投影得到的投 影图，叫做几何体的正视图；
（2）光线从几何体的左面向右面正投影得到的投 影图，叫做几何体的侧视图； （3）光线从几何体的上面向下面正投影得到的投 影图，叫做几何体的俯视图；
思考3:用灯泡照射一个与投影面平行的不透明
物体,在投影面上形成的影子与原物体的形状、 大小有什么关系？当物体与灯泡的距离发生变 化时，影子的大小会有什么不同？
思考4:用手电筒照射一个与投影面平行的不透明
物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、 大小有什么关系？当物体与手电筒的距离发生变 化时，影子的大小会有变化吗？
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2014 高考分类汇编三视图和直观图
1．[2014·安徽卷] 一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的体积是( )
图1-2
A.233
B.47
6 C ．6 D ．
7 8．A
2．[2014·北京卷] 某三棱锥的三视图如图1-3所示，则该三棱锥最长棱的棱长为
图1-3
11．22
3．[2014·湖北卷] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O -xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )
图1-2
A ．①和②
B ．③和①
C ．④和③
D ．④和② 7．D
4、[2014·湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )
图1-2
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 8．B 5、[2014·辽宁卷] 某几何体三视图如图1-2所示，则该几何体的体积为( )
图1-2
A ．8－π4
B ．8－π2
C ．8－π
D ．8－2π 7．C 6[2014·浙江卷] 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )
图1-1
A ．72 cm 3
B ．90 cm 3
C ．108 cm 3
D ．138 cm 3 3．B
7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-1，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
图1-1
A.1727
B.59
C.1027
D.13
6．C 8．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-1，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A ．三棱锥
B ．三棱柱
C ．四棱锥
D ．四棱柱 8．B
9．、[2014·陕西卷] 四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .
图1-4
(1)求四面体ABCD 的体积；
(2)证明：四边形EFGH 是矩形．
17．解：(1)由该四面体的三视图可知，
BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1， ∴AD ⊥平面BDC ，
∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝2
3
.
(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩ 平面ABC
＝EH ，
∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH .
同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形．
又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ， ∴四边形EFGH 是矩形． 10．[2014·四川卷] 某三棱锥的侧视图、俯视图如图1-1所示，则该三棱锥的体积是(锥
体体积公式：V ＝1
3
Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)( )
图1-1
A ．3
B ．2 C. 3 D ．1 4．D 11．[2014·重庆卷] 某几何体的三视图如图1-2所示，则该几何体的体积为( )
图1-2
A ．12
B ．18
C ．24
D ．30 7．C
12．[2014·天津卷] 一个几何体的三视图如图1-2所示(单位：m)，则该几何体的体积为
________m 3
.
10.20π3。