高三二月理科数学参考答案
2021年高三第二次月考数学理试题 含答案
2021年高三第二次月考数学理试题 含答案本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题目）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准备考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合}31|{},23|{≤<-∈=<<-∈=n N n B m Z m A ，则A.{0，1}B.{-1，0，1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2}2.下列命题中的假命题是A. B.C. D.3.已知条件，条件，则是成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件4.将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为A. B.C. D.5.已知，若，则=A.1B.-2C.-2或4D.46.设等比数列中，前n 项和为,已知，则A. B. C. D.7.设，则的大小关系是A. B. C. D.8.函数的图象大致是9.在中，角A，B，C所对边分别为a,b,c，且，面积，则等于A. B.5 C. D.2510.若函数，若,则实数的取值范围是A. B.C. D.11.已知是的一个零点，，则A. B.C. D.12.已知，把数列的各项排列成如下的三角形状，记表示第行的第个数，则=A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。
13.不等式的解集是.14.若实数满足，则的值域是.15.已知奇函数满足，且当时，，则的值为_x -1 0 2 4 5F(x) 1 2 1.5 2 1下列关于函数的命题；①函数的值域为［1，2］；②函数在［0，2］上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么t的最大值为4；④当时，函数最多有4个零点.其中正确命题的序号是.三、解答题：本大题共6小题，共74分。
2月18日高三理科数学练习答案
2月18日高三理科数学练习参考答案1．【答案】C【解析】解：∵2log 1x <，∴02x <<，∴(0,2)A =，∴U (,0][2,)A =-∞+∞ ð，又[]2,1B =-，∴U ()[2,0]A B =- ð，2．【答案】A【解析】因为7cos 24πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以sin 4θ=，所以21cos 212sin 8θθ=-=.3．【答案】D 【解析】解：由茎叶图可知：①甲组选手得分的平均数175********845x ++++==，乙组选手得分的平均数27783848591845x ++++==，12x x =，故选项A 错误；②甲组选手得分的中位数为83，乙组选手得分的中位数为84，即甲组选手得分的中位数小于乙组选手的中位数，即选项B 、选项C 错误，③因为甲组选手得分的方差：22222211216[(7584)(8284)(8384)(8784)(9384)]55S =-+-+-+-+-=，乙组选手得分的方差：22222221100[(7784)(8384)(8484)(8584)(9184)]2055S =-+-+-+-+-==，2212S S >，即选项D 正确，4．【答案】C 【解析】第一次执行循环体后，n ＝1，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，n ＝2，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，n ＝3，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，n ＝4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，n ＝5，满足退出循环的条件，故输出的n 值为5，5．【答案】B【解析】解：若命题p ：[1,2)x ∃∈-，2()40f x x ax =-++≤为假命题，则命题命题p ⌝：[1,2)x ∀∈-，2()40f x x ax =-++>为真命题，则(1)0(2)0f f ->⎧⎨≥⎩，即(1)140(2)4240f a f a -=--+>⎧⎨=-++≥⎩，解得03a ≤<，∴命题p 的等价条件为03a ≤<，则对应的充分不必要条件为[0,3)的一个真子集，6．【答案】D 【解析】12ln ,2a ln e =>=121,2554b -=<==()02111cos sin 22220c xdx x ππ=⎰=⨯=，7．【答案】C【解析】∵数列{}n a 满足321121n n a a a a a a a ，，，-是首项为1,公比为2的等比数列，∴1nn a a -=2n −1，∴a n =a 1×21a a ×32a a ×…×1n n a a -=1×21×22×…×2n −1=()122n n -，∴a 101=25050.8．【答案】C【解析】令圆的半径为1，则()22'41S P S ππππ--===-，故选C 。
江西省南昌市高三2月测试数学(理)试题 Word版含答案
2016~2017学年度第二学期高三理科数学2月份月考测试卷 命题人：刘娟 审题人：胡久华 2017. 02一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数(1+)z i i =(i 为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B .第二象限 C ．第三象限D. 第四象限2．已知集合A ＝{x|y ＝x －4}，B ＝{x|－1≤2x －1≤0}，则(∁RA)∩B ＝( )A ．(4，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，4 D ．(1,4]3．下列说法正确的是( ) A ．R a ∈，“11<a”是“1>a ”的必要不充分条件 B ．“q p ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的必要不充分条件C ．命题“R x ∈∃，使得0322<++x x ”的否定是：“R x ∈∀，0322>++x x ”D ．命题p ：“R x ∈∀，2cos sin ≤+x x ”，则p ⌝是真命题4．已知向量,的夹角为 120，且||1a =，||2b =，则向量+在向量方向上的投影是( ) A ．0B ．23C ．-1D ．125．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出的x 值为 ( )A ．25B ．24C ．23D ．226．在公比大于1的等比数列{a n }中，a 3a 7＝72，a 2＋a 8＝27，则a 12＝( )A ．64B ． 96C ．72D ．487．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）A ．,a bB ．,a cC ．,c bD ．,b d8．设函数()nx x f ⎪⎭⎫⎝⎛-=221，其中⎰-=22cos 3ππxdx n ，则()x f 的展开式中2x 的系数为（ ）A.15B. 15-C. 60D. 60-9．动点),(y x P 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥3521y x y x y ，点Q 为)1,1(-，O 为原点，OQ OP OQ λ=⋅，则λ的最大值是（ ）A ．1-B ．1C ．2 D 10. 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D ． (2，＋∞)11．如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的各条棱长均相等，D 为AA 1的中点．M ，N 分别是线段BB 1和线段CC 1上的动点（含端点），且满足BM =C 1N ．当M ，N 运动时，下列结论中不正．．确．的是( )A ．平面DMN ⊥平面BCC 1B 1 B ．三棱锥A 1−DMN 的体积为定值C ．△DMN 可能为直角三角形D ．平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为(0,]4π12．已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g 分别满足222'(1)()2(0)2x f f x e x f x -=⋅+-⋅， 0)(2)('<+x g x g ，则下列不等式成立的是( )A.(2)(2015)(2017)f g g ⋅<B.(2)(2015)(2017)f g g ⋅>1C.(2015)(2)(2017)g f g <⋅D.(2015)(2)(2017)g f g >⋅二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13设函数()f x 是周期为6的偶函数，且当[0,3]x ∈时()3f x x =，则f(2017)= 14．如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行;数字2,3出现在第2行;数字6,5,4（从左至右)出现在第3行;数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个数字应是 ．(14题图) （15题图）15．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图像如图所示，则曲线()f x 在(0,(0))f 处在的切方程为 16．已知函数2(0)()(0)xx x f x e x -->⎧=⎨-≤⎩，若关于x 的方程[()]0f f x m += 恰有两个不等实根1x 、2x ，则12x x +的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos 2cos C a cB b-=，且2a c +=． （1）求角B ；（2）求边长b 的最小值． 18．(本题满分 12 分)某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布直方图如图所示．(1)求d c b a ,,,的值； (2)该校决定在成绩较好的 3、4、5组用分层抽样抽取 6名学生进行面试，则每组 应各抽多少名学生?(3)在(2)的前提下，已知面试有4位考官，被抽到的6名学生中有两名被指定甲考官面试，其余4名则随机分配给3位考官中的一位对其进行面试，求这4名学生分配到的考官个数X 的分布列和期望．19．（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，2BC =，E ,F 分别为AB ,CD 的中点，且沿AF ,BF 分别将AFD ∆与BFC ∆折起来，使其顶点C 与D 重合于点P ，若所得三棱锥P ABF -的顶点P 在底面ABF 内的射影O 恰为EF 的中点。
2023年高三2月大联考(全国乙卷)理科数学试题及参考答案
2023届高三2月大联考（全国乙卷）理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.砸每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()i i z -=+82（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数=z （）A .i23-B .i 23+C .i -4D .i+42.若集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=031x x xM ，{}22+==x y y N ，则=N M （）A .[)3,2B .()3,0C .[]2,1D .(]3,23.已知命题p ：1>∀x ，()01≥-x x ，则p ⌝为（）A .1>∀x ，()01<-x xB .1>∃x ，()01<-x xC .1<∀x ，()01≥-x x D .1>∃x ，()01≥-x x 4.已知空间四条直线n m b a ,,,和两个平面βα，满足α⊂b a ,，β⊂n m ,，P b a = ，Q n m = ，则下列结论正确的是（）A .若m a ∥，则β∥aB .若β∥a 且α∥m ，则βα∥C .若β∥a 且β∥b ，则α∥m D .若m a ⊥且n b ⊥，则βα⊥5.已知角⎪⎭⎫⎝⎛∈24ππα，，且542sin =α，则=αsin （）A .52B .55C .54D .5526.若函数()x f 的部分图象如图，则()x f 的解析式可能是（）A .()()0cos 1≠-=x x x fB .()xx e e x x x f --=sin 2C .()xxx f sin =D .()xxx x f ln cos ⋅=7.2022年4月，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准（2022版）》，将劳动教育作为义务教育阶段一门独立的课程.劳动教育将成为学生成长成才的必修课与基础课.某学校准备开设4项劳动课程：“蔬菜种植”“绿植修剪”“糕点制作”“自行车修理”.开课之前，要安排4男2女共6名教师参加这4项劳动课程的技术培训，要求：每一项培训都要有教师参加，每位教师只能参加其中一项培训，其中“蔬菜种植”必须安排2为教师，“自相车修理”不安排女教师，“糕点制作”不安排男教师，则不同的安排方法有（）A .132种B .112种C .96种D .84种8.对于函数()()1sin cos sin 2+-=x x x x f ，下列结论中正确的是（）A .()x f 的最大值为122+B .()x f 的图象可由x y 2cos 2=的图象向右平移4π个单位长度得到C .()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛834ππ，上单调递减D .()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛18，π中心对称9.若非负数y x ,满足⎩⎨⎧≤+≤-31y x y x ，则事件“42≥+y x ”发生的概率为（）A .152B .152C .52D .5210.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手指规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足53cos =α，则这块四边形木板周长的最大值为（）A .cm 20B .cm 220C .cm 320D .cm3011.已知椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，.若椭圆C 上存在一点M ，使得21221MF MF F F ⋅=，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡2155，B .⎦⎤⎢⎣⎡21105，C .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1105，D .⎥⎦⎤ ⎝⎛210，12.已知4.06.0ea =，4ln 2-=b ，2-=ec ，则c b a ,,的大小关系为（）A .c b a >>B .b c a >>C .a c b >>D .ab c >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量()2,1-=a，()3,4-=b ，则b a +与a 的夹角为.14.已知双曲线M ：()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，点P 为双曲线M 右支上一点，且满足312121=-F F PF PF ，则双曲线M 的渐近线方程为.15.已知定义在R 上的函数()x f 满足()()x f x f 222-=+，且()12-=x f y 的图象关于直线41=x 对称.若⎪⎭⎫⎝⎛∈45,21x 时，()x x f 43-=，则()=2022f .16.如图是水平放置的三棱锥ABC P -的三视图，其中正视图为正三角形.记经过棱P A 的平面截三棱锥ABC P -的外接球所得圆面的面积为S .若S 的最大值为π3，则三棱锥ABC P -的体积的最大值为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）某种植大户购买了一种新品种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为20的样本，得到果实长度数据如下边：（单位：cm）（1）估计该种植大户收获的果实长度的平均数x 和方差2s ；（2）若这种蔬菜果实的长度不小于12cm，就可以标为“AAA”级，该种植大户随机从收获的果实中选取4个，其中可以标为“AAA”级的果实数记为X.若收获的果实数量巨大，并以样本的频率估计总体的概率，估计X 的数学期望与方程.参考数据：∑==2016.3133i ix.18.已知数列{}n a 满足对任意*,N n m ∈都有m n m n a a a +=+，数列{}n b 是等比数列，且11a b =，022=-a b ，133=-a b .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设nnn b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .19.（12分）如图，已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，平面⊥P AD 平面ABCD ，PD P A =，E 为CD 的中点.（1）求证：BD ⊥PE ；（2）若82==BD AC ，3=P A ，求平面PBC 与平面P AE 所成锐二面角的余弦值.20.（12分）已知抛物线C ：()022>=p px y ，圆E ：()12422=+-y x 与抛物线C 有且只有两个公共点.（1）求抛物线C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过圆心E 的直线与圆E 交于点B A ,，直线OB OA ,分别交抛物线C 于点Q P ,（点Q P ,不与点O 重合）.记OAB ∆的面积为1S ，OPQ ∆的面积为2S ，求21S S 的最大值.21.（12分）已知函数()()()R a x ax e x x f x∈---=2321311，()x f '是()x f 的导函数.（1）若()()xx f x g '=，求证：当0>a 时，()0>a g 恒成立；（2）若()x f 存在极小值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==t y t x sin 2cos （t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为04cos 2=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-m πθρ.（1）写出直线l 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与x 轴的交点为B A ,（点A 在点B 的左侧），若直线l 上存在点M ，满足MB MA 3=，求实数m 的取值范围.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()R a x ax x f ∈---=22.（1）当2=a 时，求不等式()2>x f 的解集；（2）若存在[]4,2∈x ，使得()0≤x f ，求a 的取值范围.参考答案一、选择题1.B解析：由()i i z -=+82得：()()()()i i i i i i i z 23222828-=-+--=+-=，∴i z 23+=.2.A 解析：由031≤--x x 得()()031≤--x x 且03≠-x ，解得31<≤x ，∴{}31<≤=x x M .由22+=x y 得2≥y ，∴{}2≥=y y N ，∴=N M [)3,2.3.B 解析：根据全程命题的否定为特称命题，可知p ⌝为1>∃x ，()01<-x x .4.C解析：对于A：a 可能在平面β内，故A 错误；对于B：a 与m 可能平行，从而α与β可能相交，故B 错误；对于C：∵β∥a 且β∥b ，α⊂b a ,，P b a = ，∴αβ∥，∵β⊂m ，∴α∥m ，故C 正确；对于D：如图，由正方形沿一条对角线折叠形成，其中形成的两个平面设为βα，，折痕为b ，在平面α的对角线设为a ，在β内的对角线设为n ，同时作n m ⊥，此时b m ∥，易知a b ⊥，则a m ⊥，但此时α与β不垂直，故D 错误.5.D解析：∵⎪⎭⎫⎝⎛∈24ππα，，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα，22，又542sin =α，∴532sin 12cos 2-=--=αα，∴53sin 212-=-α，即54sin 2=α，∵⎪⎭⎫⎝⎛∈24ππα，，∴552sin =α.6.B解析：对于A，∵()0cos 1≥-=x x f ，由图可知，A 不正确；对于C，()2sin cos xxx x x f -='，令()x x x x g sin cos -=，则()()x x x x x x x g sin cos sin cos -=--⋅+='，当()π,0∈x 时，()0<'x g 恒成立，∴()x g 在()π，0上单调递减，∵()00=g ，∴()()00=<g x g 在()π，0上恒成立，∴当()π,0∈x 时，()0<'x f 恒成立，∴()x f 在()π，0上单调递减，∴排除C.对于D，()x xxx f ln cos ⋅=的定义域为()()∞+∞-，，00 ，关于原点对称，()()()x f x xxx x x x f -=-=---=-ln cos ln cos ，()x f 为奇函数，其图象关于原点对称，故D 不正确.7.C解析：（1）若“糕点制作”安排1名女教师，有12C 种不同的安排方法，后续项目分两类：①若“自行车修理”安排1名男教师，则余下4人安排到另两个项目，每个项目2人，有222414C C C 种不同的安排方法；②若“自行车修理”安排2名男教师，则余下3人，1人安排到“绿植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有221314C C C 种不同的安排方法.（2）若“糕点制作”安排2名女教师，则“自相车修理”只能安排1名男教师，余下3人，1人安排到“绿植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有22131422C C C C 种不同的安排方法，∴一共有()962213142222132422241412=++C C C C C C C C C C C 种不同的安排方法.8.C解析：()()xx x x x x x x f 2cos 2sin 1sin 22sin 1sin cos sin 22+=+-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42cos 2πx ∴当Z k k x ∈=-,242ππ，即Z k k x ∈+=,8ππ时，()x f 取得最大值为2，故A 错误；将x y 2cos 2=的图象向右平移4π个单位长度得到⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42cos 2πx y x x 2sin 222cos 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π的图象，∴B 错误；由()Z k k x k ∈+≤-≤ππππ2422，得()Z k k x k ∈+≤≤+ππππ858，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡858ππ，是()x f 的一个单调减区间，∴()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛834ππ，上单调递减，故C 正确；∵2482cos 28=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫⎝⎛πππf ，∴点⎪⎭⎫⎝⎛18π不是()x f 图象对称中心，故D 错误.9.A 解析：由题意，知y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≥-≤-≥≥3110,0y x y x y x y x ，作出不等式组表示的平面区域，如图中又阴影部分所示（五边形OEBCD （包含边界））作出直线42=+y x ，易得⎪⎭⎫⎝⎛32,25A ，()12，B ，()10，D ，()01，E ，连接DE，则非负数y x ,对应的可行域的面积为25221121=⨯+⨯⨯=+∆BCDE ODE S S 正方形，事件“42≥+y x ”对应的可行域的面积为312322121=⨯⨯=⋅=∆BC AB S ABC ，∴所求概率为1522531==P .10.D 解析：由题图（2）得，圆形木板的直径为()cm 5551022=+.设截得的四边形木板为ABCD ，设α=∠A ，c AB =，a BD =，b AD =，n BC =，m CD =，如图所示，由53cos =α且πα<<0可得54cos 1sin 2=-=αα在ABD ∆中，由正弦定理得55sin =αa，解得54=a 在ABD ∆中，由余弦定理得αcos 2222bc c b a -+=，∴()()()()545165165680222222c b c b c b bc c b bc c b +=+⨯-+≥-+=-+=，即()4002≤+c b ，可得200≤+<c b ，当且仅当10==c b 时等号成立.在BCD ∆中，απ-=∠BCD ，由余弦定理可得()mn n m mn n m a 56cos 28022222++=--+==απ()()()()54454542222n m n m n m mn n m +=+⨯-+≥-+=，即()1002≤+n m ，即100≤+<n m ，当且仅当5==n m 时等号成立，因此，这块四边形木板周长的最大值为30cm.11.A 解析：设m MF =1，n MF =2，椭圆C 的半焦距为c ，则242c mn a n m ==+，，∴()22222224a m n m mn n m c a -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-，∵c a m c a +≤≤-，∴c a m c ≤-≤，∴()[]2222,04ca m c a ∈-=-，即22254c a c ≤≤，则41512≤≤e ，∴2155≤≤e .12.B 解析：对于a 和b ，∵()4.04.04.0ln 16.0e e ea -==，()2ln 124ln 2-=-=b ，∴可以构造函数()()x x x f ln 1-=，则()4.0e f a =，()2f b =.对()x f 求导得()x x f ln -='，当()+∞∈,1x 时，()0<'x f ，∴()x f 在()∞+，1上单调递减.∵215.04.00<<<<e ee ，∴()()24.0f e f >，即b a >；对于b 和c ，∵e e c b --=--=-2ln 244ln 4.∴可以构造函数()e x x x x g --=ln 2，则()x x g ln 1-='，当()e x ,0∈时，()0>'x g ；当()+∞∈,e x 上单调递减，∴()()0max ==e g x g ，∴()02<g ，∴0<-c b ，即b c >；对于a 和c ，∵()24.014.0+--=-e ec a ，则()x xe x h -='，当()1,0∈x 时，()0<'x h ，∴()x h 在()1,0上单调递减.又∵()25.05.05.0+-=e eh ，且6.15.0>e ，∴()05.0>h ，∴()()05.04.0>>h h ，∴0>-c a ，即c a >.∴b c a >>.二、填空题13.43π解析：设b a +与a 的夹角为θ，由已知得()1,3-=+b a ，∴()()52113-=-⨯+⨯-=⋅+a b a .又5=a ，10=+b a ，∴()221055cos -=⨯-=+⋅+=a b a a b a θ，∵[]πθ，0∈，∴43πθ=.14.x y 22±=解析：由双曲线的定义知312121=-F F PF PF ，即3122=c a ，∴31=c a ，∴2222=-=a a c ab ，∴双曲线M 的渐近线方程为x y 22±=.15.1-解析：∵()12-=x f y 的图象关于直线41=x 对称，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+14121412x f x f ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-212212x f x f ，∴()x f y =的图象关于直线21-=x 对称，故()()x f x f -=-1（*）由()()x f x f 222-=+得()()222--=x f x f ，∴()()2222-=+x f x f ，∴()()422-=x f x f ，∴()x f 的周期为4，∴()()22022f f =.由（*）式得()()()()()11143132-==+-=-=-=f f f f f .16.3解析：由三视图得三棱锥ABC P -的直观图，其中，ABC ∆为直角三角形，两直角边为BC AB ，，由图知，PB AB BC AB ⊥⊥，，B PB BC = ，⊂BC 平面PBC ，⊂PB 平面PBC ，则⊥AB 平面PBC ，又⊂AB 平面ABC ，则平面PBC ⊥平面ABC ，且PBC ∆为正三角形.∴BCPD ⊥面PBC ∩平面ABC BC =，⊂PD 平面PBC ，则⊥PD 平面ABC ，由已知得三棱锥ABC P -的外接球的半径3=R .设a AB =，b BC =，三棱锥ABC P -的外接球的球心为O ，D 为BC 的中点，1O 为AC 的中点，PBC ∆的中心为2O ，则1OO ⊥平面ABC ，2OO ⊥平面PBC .在P OO Rt 2∆中，22222OP PO OO =+，即33321222==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛R b a ，即22439a b -=∴三棱锥ABC P -的体积为()()3201216312323213132≤<-==⋅⨯=a a a ab b ab V .设()()()320121633≤<-=x x x x V ，则()()()()x x x x V -+=-='221633416332.当20<<x 时，()0>'x V ；当322≤<x 时，()0<'x V ，∴()x V 在()2,0上单调递增，在(]32,2上单调递减，∴()x V 在2=x 处取得极大值，也是最大值，∴当2=a 时，三棱锥ABC P -的体积V 最大，且最大值为3.三、解答题（一）必考题：共60分17.解：（1）由题意知，2.138.129.124.124.137.125.118.120.128.118.120.136.11++++++++++++0.2500.122.138.128.116.122.115.13=+++++++，∴5.1220250==x ，()()()[]22022212201x x x x x x S -++-+-= )[]43.020120220120122220212202221=-=++++-+++=∑=i i x x x x x x x x x x （2）由表中数据得，样本中果实长度不小于12cm 的频率为43.由于收获果实数量巨大，∴X 近似服从二项分布，即⎪⎭⎫⎝⎛434~，B X ，∴()3434=⨯=X E ，()43431434=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=X D .∴据此可以估计，X 的数学期望与方差分别为3，43.18.解：（1）∵对任意*,N n m ∈，m n m n a a a +=+，∴11a a a n n +=+，∴数列{}n a 是公差1a d =的等差数列，1na a n =.设等比数列{}n b 的公比为q ，∵11a b =，022=-a b ，133=-a b ，∴⎩⎨⎧=-=-130212111a q a a q a .又∵011≠=a b ，解得111==a b ，2=q ，∴n a n =，12-=n n b .（2）∵n n n b a c =，∴12102232221-++++=n n n T ，n n n T 22322212321++++= ，两式相减得n n n n n n n n n T 222221121112212121212132+-=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=- ，∴1224-+-=n n n T .19.解：（1）如图，取AD 的中点F ，连接EF PF ，.∵PD P A =，∴AD PF ⊥.∵平面⊥P AD 平面ABCD ，平面 P AD 平面ABCD AD =，⊂PF 平面P AD ，∴PF ⊥平面ABCD .又⊂BD 平面ABCD ，∴BD PF ⊥.又四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥.∵点F E ,分别为AD CD ,的中点，∴AC EF ∥，∴BD EF ⊥.∵BD PF ⊥，BD EF ⊥，F EF PF = ，⊂EF PF ,平面PEF ，∴⊥BD 平面PEF ，又⊂PE 平面PEF ，∴BD ⊥PE（2）记O BD AC = ，则OB OA ⊥.由（1）知，PF ⊥平面ABCD ，⊂OA 平面ABCD ，⊂OB 平面ABCD ，则OA PF ⊥，OB PF ⊥.过点O 作PF OQ ∥，则OQ OB OA ,,两两垂直.如图，以OQ OB OA ,,所在直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系xyz O -，则()()()()012004020004，，，，，，，，，，，---E C B A，∵421==AC OA ,221==BD OD，∴5241622=+=+=OD OA AD ,∴521==AD AF ，222=-=AF P A PF ，∴()2,12-，P ∴()212-=，，P A ,()016，，--=AE ,()232--=，，PB ,()216--=，，PC .设平面P AE 法向量为()111,,z y x m = ，由⎪⎩⎪⎨⎧=--=⋅=-+=⋅0602211111y x AE m z y x P A m ，令11=x ，则61-=y ，2-=z ，∴()2,6,1--=m .设平面PBC 的法向量为()222,,z y x n = ，则⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-+-=⋅0260232222222z y x PC n z y x PB n ，令12=x ，则4222-=-=z y ，，∴()4,2,1--=n .设平面PBC 与平面P AE 所成锐二面角为θ，则()()()()()()()()41861421261422611cos 222222=-+-+⨯-+-+-⨯-+-⨯-+⨯=⋅=n m n m θ，∴平面PBC 与平面P AE 所成锐二面角的余弦值为41861.20.解：（1）由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1242222y x px y 整理得()04282=+--x p x .由对称性可得关于x 的方程有两个相等的正的实数根，∴()016282=--=∆p ，且028>-p ，解得2=p ，∴抛物线C 的方程为x y 42=.（2）由题意，知直线AB 的斜率不为0，故设直线AB 的方程为4+=my x ，如图，设()()()()44332211,,,,y x Q y x P y x B y x A ，，，.将直线AB 的方程代入圆E 的方程中，消去x ，得()12122=+y m ，∴11222+=m y ，∴12y y -=，且11222221+==m y y .直线OA 的方程为x x y y 11=，代入抛物线方程x y 42=，消去x ，得y y x y 1124=，解得114y x y =或0=y ，∴1134y x y =.同理得2244y x y =，∴22211142312144sin 21sin 21y x y y x y y y y y OQ OP OB OA POQ OQ OP AOB OB OA S S ⋅=⋅=⋅⋅=∠⋅∠⋅=()()()()()()16416441616212122212122121221+++=++==y y m y y m y y my my y y x x y y ()()()9254941491611216112161622222222212221-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=m m m m m m y y m y y ∴当0=m 时，21S S 取得最大值为169.21.解：（1）∵()x f 的定义域为R ，()()1--='ax e x x f x ，∴()()01≠--=x ax e x g x ，()12--=a e a g a .令()()012>--=x x e x h x ，则()x e x h x2-='.令()()02>-=x x e x x ϕ，则()()02>-='x e x xϕ.由()0='x ϕ得2ln =x ∴当()2ln ,0∈x 时，()0<'x ϕ；当()+∞∈,2ln x 时，()0>'x ϕ，∴()x ϕ在()2ln ,0上单调递减，在()+∞,2ln 上单调递增，∴当()+∞∈,0x 时，()()02ln 22ln >-=≥ϕϕx ，即当()+∞∈,0x 时，()0>'x h ，∴()x h 在()∞+，0上单调递增.∵0>a ，∴()()00=>h a h ，当0>a 时，()0>a g 恒成立.（2）由（1）知，()()1--='ax e x x f x .设()()R x ax e x m x ∈--=1，则()a e x m x-='.①当0≤a 时，()0>'x m 恒成立，∴()x m 在R 上单调递增.∵()00=m ，∴当()0,∞-∈x 时，()0<x m ，从而()0>'x f ；当()+∞∈,0x 时，()0>x m ，从而()0>'x f .又∵()00='f ，∴R x ∈∀，都有()0≥'x f ，∴()x f 在R 上单调递增，此时()x f 无极值；②当0>a 时，由()0='x m ，得a x ln =，∴当()a x ln ,∞-∈时，()0<'x m ；当()+∞∈,ln a x 时，()0>'x m ，∴()x m 在()a ln ,∞-上单调递减，在()+∞,ln a 上单调递增，∴当a x ln =时，()x m 取得最小值，且最小值为()1ln ln --=a a a a m .令()()01ln >--=x x x x x F ，()x x F ln -='.∴当()1,0∈x 时，()0>'x F ；当()+∞∈,1x 时，()0<'x F ，∴()x F 在()1,0行单调递增，在()∞+，1上单调递减.∵()01=F ，∴()+∞∈,0x 时，()0≤x F ，即当0>a 时，()01ln ln ≤--=a a a a m （当且仅当1=a 时等号成立）.（ⅰ）当1=a 时，()()00ln ==m a m ，且当0≠x 时，都有()0>x m ，∴()00='f ，且当()0,∞-∈x 时，()0<'x f ；当()+∞∈,0x 时，()0>'x f ，∴()x f 在()0，∞-上单调递减，在()∞+，0上单调递增，∴()x f 在0=x 处取得极小值，符合题意.（ⅱ）当10<<a 时，0ln <a ，且()0ln <a m .∵011>=⎪⎭⎫ ⎝⎛--a e a m ，∴()00=m ，∴()x m y =的图象大致如图（1）.由函数的单调性及零点存在定理，得在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a ln ,1内存在唯一的实数1x ，使得()01=x m ∴当()1,x x ∞-∈时，()0>x m ，从而()0<'x f ；当()0,1x x ∈时，()0<x m ，从而()0>'x f ；当()+∞∈,0x 时，()0>x m ，从而()0<'x f ，∴()x f 在()1,x ∞-上单调递减，在()+∞,1x 上单调递增，∴()x f 在1x x =处取得极小值，符合题意.（ⅲ）当1>a 时，0ln >a ，且()0ln <a m .∵()00=m ，由（1）知，()0>a m ，∴()x m y =的图象大致如图（2）.由函数的单调性及零点存在定理，得在()a a ,ln 内存在唯一的实数2x ，使()02=x m ，∴当()0,∞-∈x 时，()0>x m ，从而()0<'x f ；当()2,0x x ∈时，()0<x m ，从而()0<'x f ；当()+∞∈,2x x 时，()0>x m ，从而()0>'x f ，∴()x f 在()2,x ∞-上单调递减，在()+∞,2x 上单调递增，∴()x f 在2x x =处取得极小值，符合题意.综上，当()x f 存在极小值，实数a 的取值范围为()∞+，0.（二）选考题22.解：（1）∵04cos 2=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-m πθρ，∴0sin 22cos 222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅m θθρ，即0cos sin =++m θρθρ.又y =θρsin ，x =θρcos ，∴0=++m y x ，即直线l 的直角坐标方程为0=++m y x .（2）由⎪⎩⎪⎨⎧==2sin cos y t x t ，且1sin cos 22=+t t ，则曲线C 的普通方程为1422=+y x ，其与x 轴的交点分别为()()0,101B A ，，-.设点()y x M ,，由MB MA 3=，得()()[]2222131y x y x +-=++，即01422=+-+x y x ，∴()3222=+-y x ，它表示圆心为()02，E ，半径为3的圆.∵点()y x M ,既在直线l 上，又在圆E 上，∴322≤+m，即62≤+m ，∴6262+-≤≤--m ，即实数m 的取值范围为[]6262+---，.23.解：（1）当2=a 时，原不等式可化为2212>---x x .当2≥x 时，原不等式可化为()()2212>---x x ，整理得2>x ，∴2>x .当21<<x 时，原不等式可化为()()2212>-+-x x ，整理得2>x ，∴此时不等式的解集为空集..当1≤x 时，原不等式可化为()()2212>-+--x x ，整理得2-<x ，∴2-<x .综上，当2=a 时，不等式()2>x f 的解集为()()∞+-∞-，，22 .（2）若存在[]4,2∈x ，使得()0≤x f ，即存在[]4,2∈x ，使得22-≤-x ax ①①式可转化为()22-≤--ax x ，即⎩⎨⎧-≤--≤+-2222x ax ax x ②∵[]4,2∈x ，∴②式可化为()⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥0114x a x a ③若存在[]4,2∈x 使得③式成立，则⎪⎩⎪⎨⎧≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥0114min a x a ，即⎩⎨⎧≤≥10a a ，∴10≤≤a ，即a 的取值范围为[]1,0.。
陕西省2022-2023学年高三下学期2月联考理科数学试题及参考答案
陕西省2022-2023学年高三下学期2月联考理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合{}2≤∈=x Zx A ，{}A x x y yB ∈==,2，则=B A （）A .{}4,1,0B .{}16,9,4,3,2,10，C .{}4,1D .{}16,9,4,3,2,12.已知复数z 满足i z z 42+=-，则=z （）A .i 34+B .i 34-C .i 43+D .i43-3.某社区有1500名老年居民、2100名中青年军民和1800名儿童居民.为了解该社区居民对社区工作的满意度，现采用分层抽样的方法从这些居民中抽取一个容量为n 的样本，若中青年居民比老年居民多抽取20人，则=n （）A .120B .150C .180D .2104.已知定义在[]4,3-上的函数()x f 的大致图象如图所示，()x f '是()x f 的导函数，则不等式()0>'x f x 的解集为（）A .()⎪⎭⎫⎝⎛--25112，， B .()23--，C .()⎪⎭⎫⎝⎛-2510,1， D .()4,35.在正方体1111D C B A ABCD -中，H G F E ,,,分别为111,,,CC BC D A AB 的中点，则直线EF 与GH 夹角的余弦值为（）A .33B .32C .22D .236.定义在R 上的奇函数()x f 满足()()x f x f -=2，当[]1,0∈x 时，()123+++=a x ax x f ，则()=2023f （）A .3-B .1-C .1D .37.已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：的左、右焦点分别为21,F F ，M 为C 上一点，若1MF 的中点为()1,0，且21F MF ∆的周长为248+，则C 的标准方程为（）A .181622=+y x B .14822=+y x C .141622=+y x D .1163222=+y x 8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若019>S ，0147<+a a ，则当n S 取得最大值时，=n （）A .8B .9C .10D .119.将函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx x f 的图象向右平移6π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的()01>ωω，纵坐标不变，得到函数()x g 的图象，若()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，上恰有2个零点，则ω的取值范围为（）A .⎥⎦⎤⎝⎛31337，B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡31337，C .⎥⎦⎤ ⎝⎛31034，D .⎪⎭⎫⎢⎣⎡31034，10.设O 为坐标原点，21,F F 是双曲线()0012222>>=-b a by a x C ，：的左、右焦点，已知双曲线C 的离心率为3，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，则=OP PF 1（）A .6B .2C .3D .2611.已知正三角形ABC 的边长为6，[][]1,01,0∈∈+=μλμλ，，AC AB AP ，且243=+μλ，则点P 到直线BC 距离的最大值为（）A .32B .3C .33D .23312.若函数C ：()()x a x x f ln 12+-=有两个极值点21,x x ，且21x x <，则()2x f 的取值范围为（）A .⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,42ln 21B .⎪⎭⎫⎝⎛-0,42ln 1C .⎪⎭⎫⎝⎛-021，D .⎪⎭⎫ ⎝⎛-041，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≥+-010301y y x y x ，则y x z 2-=的最大值为.14.“一尺之捶，日取其半，万世不竭”出自《庄子·天下》，其中蕴含着数列的相关知识.已知长度为4的线段AB ，取AB 的中点C ，以AC 为直径作圆（如图①），该圆的面积为1S ，在图①中取CB 的中点D ，以CD 为直径作圆（如图②），图②中所有圆的面积之和为2S ，依此类推，则=n S .15.设m 为正整数，mx x 221⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式中二项式系数的最大值为a ，1221+⎪⎭⎫⎝⎛+m x x 展开式中二项式系数的最大值为b ，若b a 47=，则mx x 221⎪⎭⎫⎝⎛+展开式中的常数项为.16.某圆锥的底面半径为1，高为3，在该圆锥内部放置一个正三棱柱，则该正三棱柱体积的最大值为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.（12分）猜灯谜是我国一种民俗娱乐活动.某社区在元宵节当天举行了猜灯谜活动，工作人员给每位答题人提供了10道灯谜题目，答题人从中随机选取4道灯谜题目作答，若答对3道及以上灯谜题目，答题人便可获得奖品.已知甲能答对工作人员所提供的10道题中的6道.（1）求甲能获得奖品的概率；（2）记甲答对灯谜题目的数量为X ，求X的分布列与期望.18.（12分）如图，在三棱锥ABC P -中，5===PC PB P A ，42==AC AB ，BC AC ⊥，O 为AB 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）求二面角B PC O --的余弦值.19.（12分）已知ABC ∆中，点D 在边AC 上，且CD AD 2=，AC BD =.（1）若BD 平分ABC ∠，求BDCABD∠∠sin sin 的值；（2）若BC AC AB ,,成递增的等比数列，6=AC ，求ABC ∆的面积.20.（12分）已知抛物线()022>=p py x C ：的焦点为F ，圆E ：()p y x 2122=++.过C 上一点()0,1y M 作C 的切线，该切线经过⎪⎭⎫ ⎝⎛-410，N .（1）求C 的方程；（2）若与C 相切的直线l ，与E 相交于Q P ,两点，求FPQ ∆面积的最大值.21.（12分）已知函数()()()+∞∈-+-=,0,12x x x a e x f x.（1）若0=a ，证明：()x x f sin >；（2）若1=a ，且()()0='=n f m f ，证明：n m 2<.（二）选考题：共10分.请考生从第22,23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 3cos 2y x （α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为06sin cos 2=-+θρθρ.（1）求曲线C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与直线l 的夹角为45°的直线，且与l 交于点A ，求P A 的最小值.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()212--+=x x x f .（1）求不等式()8≤x f 的解集；（2）设函数()()2--=x x f x g 的最大值为m ，若正数b a ,满足m b a =+，求ba 91+的最小值.参考答案一、选择题1.B 解析：∵{}4,3,2,1,0=A ，∴{}16,9,4,1,0=B ，∴=B A {}16,9,4,3,2,10，.2.C解析：设()R b a bi a z ∈+=,，则i bi a b a z z 4222+=+-+=-，则⎪⎩⎪⎨⎧==-+4222b a b a ，解得⎩⎨⎧==43b a ，故i z 43+=.3.C解析：由题可知2018002100150015001800210015002100=⨯⎪⎭⎫⎝⎛++-++n ，∴180=n .4.C解析：若0<x ，则()0<'x f ，()x f 单调递减，由图象可知，()0,1-∈x ；若0>x ，则()0>'x f ，()x f 单调递增，由图象可知，⎪⎭⎫⎝⎛∈251，x .故不等式()0>'x f x 的解集为()⎪⎭⎫ ⎝⎛-2510,1， .5.D解析：如图，取1AA 的中点M ，连接FM EM ,，易得GH FM ∥，故MFE ∠的大小和EF 与GH 的夹角相等.不妨设2=AB ，则2==ME MF ，6=EF ，232cos ==∠MF EFMFE .6.B解析：∵()x f 是定义在R 上的奇函数，∴()010=+=a f ，解得1-=a .又()()x f x f -=2，∴()()2--=x f x f ，则()()4-=x f x f ，即()x f 是以4为周期的周期函数，故()()()1112023-=-=-=f f f .7.A解析：∵21F MF ∆的周长为248+，∴24822+=+c a .又1MF 的中点为()1,0，∴M 的坐标为()2,c M ，则22=ab ，由222c b a +=，解得22,4===c b a ，∴椭圆C 的标准方程为181622=+y x.8.C解析：∵{}n a 为等差数列，∴0191019>=a S ，01110147<+=+a a a a ，∴001110<>a a ，，故当当n S 取得最大值时，=n 10.9.B解析：由题知，()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πωx x g ，当40π≤≤x 时，62626πωππωπ-≤-≤-x ，∵()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，上恰有2个零点，∴ππωππ262<-≤，解得31337<≤ω.10.A 解析：不妨设2,3,1===b c a ，则33cos ,33cos 12-=∠=∠POF POF .由余弦定理可得，OPF OP OF OP OF PF 1122121cos 2∠⋅-+=63313213=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=，则61=PF ，∴=OP PF 16.11.D 解析：∵243=+μλ，∴1223=+μλ，∴AC AB AC AB AP 2123223⋅+⋅=+=μλμλ.如图，设AC AE AB AD 2132==，，则AE AD AP μλ223+=.∵[][]1,01,0∈∈μλ，，∴点P 在线段DE 上运动，显然，当点P 与点E 重合时，点P 到直线BC 距离取得最大值233.12.A 解析：∵()()x a x x f ln 12+-=，∴()()xax x x a x x f +-=+-='22122.由题意知，210<<a ，121=+x x ，∴1212<<x ，且022222=+-a x x ，∴()()()()2222222222ln 221ln 1x x x x x a x x f +-+-=+-=，1212<<x .令函数()()()x x x x x g ln 22122+-+-=，121<<x ，则()()0ln 42>-='x x x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛121，上恒成立，故()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛121，上单调递增，则()⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,42ln 21x g ，即()2x f 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛-0,42ln 21.二、填空题13.6解析：画出可行域可知，当直线y x z l 2-=：经过点()14-，时，z 取得最大值6.14.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 41134π解析：由题意可知，各圆的面积成以π为首项，41为公比的等比数列，故=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n S 413434411411πππ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 41134π.15.15解析：由题可知，mm C a 2=，11212+++==m m mm C C b .∵b a 47=，∴()()12417+=+m m ，解得3=m ，故mx x 221⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式中的常数项为()15142246=⎪⎭⎫⎝⎛x xC .16.33解析：如图，设正三棱柱上底面外接圆的半径为r ，则该三棱柱的高10,33<<-=r r h ，则该三棱柱的体积()()()32243933343r rr r V -=-=，()()r r r r V 32439324392-=-='，当32=r 时，V 取得最大值，且最大值为33.三、解答题17.解：（1）由题可知，甲能获得奖品的概率42192108015410143646=+=+=C C C C P .（2）由题可知，X 的取值可能为0，1,2,3,4，则()2101041044===C C X P ；()35414101634===C C C X P ；()7324102624===C C C X P ；()21834103614===C C C X P ；()141441046===C C X P.X的分布列为：()51214142183732354121010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E .18.解：（1）∵PB P A =，O 为AB 的中点，∴AB PO ⊥.∵BC AC ⊥，∴AO CO =.又PC P A =，∴PCO ∆≌P AO ∆，∴CO PO ⊥.∵O CO AB = ，⊂AB 平面ABC ，⊂CO 平面ABC ，∴PO ⊥平面ABC .（2）以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.∵5===PC PB P A ，42==AC AB ，∴2122=-=CO P A PO ，则()()()()21,310,3200,31000，，，，，，，，P B O C ，则()()()032,021,312100，，，，，，===CB CP OP .设平面OPC 的法向量为()111,,z y x m = ，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=02130211111y x ，令11=y ，得()0,1,3-=m.设平面PBC 的法向量为()222,,z y x n = ，则⎪⎩⎪⎨⎧==++03202132222y z y x 。
2021年高三上学期月考2理科数学试题 含答案
2021年高三上学期月考2理科数学试题 含答案一：选择题（本大题12小题，每题5分，共60分） 1. 集合2|40,|5,M N |3Mx x x Nx m x x x n m n，则（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．92. 已知2,1bibR i b i为虚数单位，若为实数，则（ ） A ． B ． C ．1 D ．23.已知081:,242,q :(0,),222x xxP x R x ，则下列判断正确的是（ ）A ．是假命题B ．是真命题C ．是真命题D ．是真命题 4.已知，则 （ ）A ．0B ．1C ．D 。
5.等比数列中，452,5,lg 8n a a a 则数列的前项和为（ ）A ．6B ．5C ．4D 36. 一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（ ）A.200+9πB. 200+18πC. 140+9πD. 140+18π7.已知实数10,,(0,0)230x y x y z ax by a b x y 满足当在该约束条件下取到最小值4时，则的最大值为（ ） A ．2 B ．4 C ． 1 D ． 88.将函数的图像沿轴向左平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为（ ） A ． B ．C ．D ．9.已知点P 是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率为（ ） A. B. C. D.10.已知函数的部分图像如下图所示，则函数的解析式为（ ） A ． B ． C ． D二．填空题：共4小题，每题5分，共20分13.已知定义在R 上的可导函数的图像在点处的切线方程为，则 14.已知的最大值是1，则实数=15.若2013220130122013(12)x a a x a x a x ，则16.已知，点O 是坐标原点，点 ，则32015121232015cos cos coscos sinsinsinsin=三．解答题，共6题，共70分17（12分）,,,ABC A B C a b c 内角，，所对的边分别为且（1）求角B 的大小。
数学(理)参考答案高三二模数学理科
高三理科数学答案 第４页 （共４页 ）
Q，:R（Ⅰ）ST 犃（０，０，０）、犅（槡２，－槡２，０）、犆（槡２，槡２，０）、犇（０，槡２，
０）、犘（０，０，２）00000000000000000000 （６/）
#犘犕 ＝λ犘犇
（０≤λ≤１），犕
＝
（狓，狔，狕），C犘犕
＝
（狓，狔，狕－２），
犘犇＝（０，槡２，－２），
C （狓，狔，狕－２）＝λ（０，槡２，－２），U 狓＝０，狔＝槡２λ，狕＝２－２λ， C 犕＝（０，槡２λ，２－２λ），C犃犕＝（０，槡２λ，２－２λ），犃犆＝（槡２，槡２，０），000000 （８/）
，U
２狓２２－３狓２
－２≤０，
, - １＜狓２≤２， 7 １＜狋≤４，
#犺（狋）＝狋－狋１－２犾狀狋（１＜狋≤４）， 00000000000000000000 （９/）
高三理科数学答案 第３页 （共４页 ）
C犺′（狋）＝１＋狋１２ －狋２＝ （狋－狋２１）２≥０，
7 犺（狋）; （１，４］¹ º » ¼ ¾ ，
｜犃犅｜＝ 槡（狋１＋狋２）２－４狋１·狋２ ＝ 槡４（犮狅狊α－狊犻狀α）２＋８＝ 槡１２－８狊犻狀α·犮狅狊α，000 （７/）
+A 犗 FG犾 (犱＝ ｜犮狅狊α－狊犻狀α｜ ＝｜犮狅狊α－狊犻狀α｜， 000000000 （８/）
槡犮狅狊２α＋狊犻狀２α
∴ △犗犃犅
(
=Ï
：犛＝
１ ２｜犃犅｜·犱＝
＝狓１２－狓２２＋犪（狓１－狓２）＋２犾狀狓狓１ ２ ＝狓１２２ －狓２２－２（狓１２ ＋狓２）（狓１２ －狓２）＋２犾狀狓１２２
＝狓２２－狓１２２－２犾狀狓２２， 0000000000000000000000000 （７/） Y狋＝狓２２，C狋＞１，
高三数学2月试题理含解析试题
2021届高三数学2月联考试题 理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日第I 卷 选择题〔一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，每一小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意〕R U =，集合{}{}2|1,|0A x x B x x =≥=>，那么〔 〕A. ()1,1-B. (]0,1C. ()1,0-D. (]1,0- 【答案】D【解析】【分析】 根据不等式解法得到集合A ，再由集合补集得到结果.【详解】由题意得，{}|11A x x x =≥≤-或，{}|11U C A x x =-<<，{}|0U C B x x =≤， ∴()()(]1,0U U C A C B =-. 应选D.【点睛】此题考察了集合的补集的概念以及运算，涉及不等式的计算，属于根底题.2.i 是虚数单位，那么复数11i i -+在复平面上所对应的点的坐标为〔 〕 A. ()0,1 B. ()1,0-C. ()1,0D. ()0,1-【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算得到化简结果，再由复数和实数点的对应得到结果. 【详解】∵()()()()111111i i i i i i i ---==++-，∴该复数在复平面上对应的点的坐标为()0,1. 应选A.【点睛】在复平面上，点(,)Z a b 和复数bi a z +=),(R b a ∈一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义．复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化．由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了．3.景区，每半个小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，那么他等待时间是不多于5分钟的概率为〔 〕 A. 13 B. 16 C. 19 D. 112【答案】B【解析】【分析】由题意分析在何区间内等待时间是可以控制在5分钟之内，再由概率计算公式即可求出结果.【详解】此人在25分到30分或者55分到60分之间的5分钟内到达，等待时间是不多于5分钟，所以他等待时间是不多于5分钟的概率为101P 606==.应选B 【点睛】此题主要考察几何概型，熟记公式即可求解，属于根底题型.()f x 在[)0,+∞上单调递减，()11f =-，假设()211f x -≥-，那么x 的取值范围是〔 〕A. (],1-∞-B. [)1,+∞C. []0,1D. (][),01,-∞+∞【答案】C【解析】【分析】由题可得()()211f x f -≥，根据函数奇偶性得到()()|21|1f x f -≥，结合单调性得到不等式关系211x -≤，求解即可.【详解】由题可得()()211f x f -≥，函数为偶函数，()()|21|1f x f ∴-≥，由函数()f x 在()0.+∞上单调递减，∴211x -≤，解得10≤≤x .应选C.【点睛】这个题目考察了函数奇偶性的应用，以及单调性的应用；解抽象函数的不等式问题，一种方法可以将函数表达式直接写出，解不等式即可；一种方法是，通过研究函数的单调性直接转化为自变量的不等关系.5.执行如下图的程序框图，那么输出的结果为〔 〕A. 7B. 8C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】模拟程序框图运行即得解.【详解】第一次运行时，()0111,3t k =+⨯==； 第二次运行时，()1136,5t k =+⨯==； 第三次运行时，()61535,7t k =+⨯==；第四次运行时，()3517252,9t k =+⨯==； 此时刚好不满足100t <，故输出9=k ，应选：C【点睛】此题主要考察程序框图，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能. 6.()73111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为〔 〕 A. -7B. 28C. 35D. 42【答案】B【解析】【分析】 ()71x +的通项为17r r r T C x +=,令3,6r r ==分别得到系数，进而求和.【详解】∵二项式()71x +的通项为17r r r T C x +=，分别令3,6r r ==，那么3x 的系数为367728C C -=.应选B. 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可根据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.,x y 满足约束条件010x y a x y ++≥⎧⎨-+≤⎩，且2z x y =+的最小值为2，那么=a 〔 〕 A. -1B. -1C. 35-D. 35 【答案】B【解析】【分析】 根据不等式组画出可行域，结合图像得到最值以及参数值.【详解】作出不等式组表示的平面区域如图阴影局部表示：其中11,22a a A +-⎛⎫- ⎪⎝⎭，作直线:20l x y +=，平移直线l ，当其经过点A 时，z 获得最小值，即min 112222a a z +-=-+⋅=，解得1a =-. 应选B. 【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目的函数的几何意义，将目的函数进展变形．常见的类型有截距型〔ax by +型〕、斜率型〔y b x a++型〕和间隔 型〔()()22x a y b +++型〕． (3)确定最优解：根据目的函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目的函数即可求出最大值或者最小值。
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廉江一中2014届高三第二次月考
数学（理科）参考答案
1.B
2. C
3.D
4.D
5.A
6.C
7.B
8.A
9.7 . 10．[]1,3- 11．4x ＋3 12.．1
2
13. 2.5 14. .①③④__
()()()2.()23,.......2()0,31,.......5()0,3,.......8(),1,3,,.......101,3.......12f x x x f x x x f x x f x '=--'>><-'<<<-∞-+∞-15 解：分
令得或分令得-1分
所以的单调递增区间是分单调递减区间是分
16. 解：（1）当a ＝2时，A ＝（2，7），B ＝（4，5）……3分
∴ A B ＝（4，5）．……5分 （2）∵ B ＝（2a ，a 2＋1），……7分
当a ＜1
3
时，A ＝（3a ＋1，2），
要使B ⊆A ，必须2231
12
a a a ≥+⎧⎨+≤⎩，此时a ＝－1；……9分
当a ＝1
3时，A ＝Φ，使B ⊆A 的a 不存在； ……10分
当a ＞1
3
时，A ＝（2，3a ＋1）
要使B ⊆A ，必须222
131a a a ≥⎧⎨+≤+⎩，此时1≤a ≤3． ……12分
综上，使B ⊆A 的实数a 的取值范围为[1，3]∪{－1} ……13分
17．解：
令22'()3123(4)f x ax ax a x x =-=-＝0，显然a ≠0，否则f (x )＝b 为常数， 又x ∈[－1，2]，∴x ＝0，.------3分
若a >0，则当()1,0x ∈-时()0f x '>,当()0,2x ∈时()0f x '<,------5分 ∴()()max 0f x f b ===3, ------7分
()()17,216,f a b f a b -=-+=-+
∴()()min 216329, 2.f x f a a ==-+=-=-------9分 若a <0，同理可得a ＝－2，b ＝－29．-------12分 ∴2,3,2,29.a b a b ===-=-或-------13分
18. 解： (1)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，由f （0）＝1得c ＝1，.-------2分 故f （x ）＝ax 2＋bx ＋1．
∵f(x ＋1)－f(x)＝2x ，
∴a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ．-------3分 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，…-------4分
所以221,01
a a a
b b ==⎧⎧∴⎨⎨
+==-⎩⎩，-------6分 ∴f(x)＝x 2－x ＋1． -------7分
（2）由题意得x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1，1]上恒成立． 即x 2－3x ＋1－m>0在[－1，1]上恒成立．-------9分 设g(x)＝ x 2－3x ＋1－m ，其图象的对称轴为直线x ＝32 ， 所以g(x) 在[－1，1]上是减函数．-------11分
故只需g(1)>0，即12－3×1＋1－m>0，解得m<－1．------14分
]22222:20(2)(1)021
021
1,1,||1||1,||122022480.02,9“”,||10,11“”a x ax ax ax a x x a a x a a a
x ax a y x ax a x a a a p q a a P Q +-=+-=≠∴=-=∈-≤≤∴≥⎡⎣++≤=++∴∆=-=∴=∴≥= 19. 解由，得，
显然或……3分
故或，……6分只有一个实数满足，
即抛物线与轴只有一个交点，
或……分
命题或为真命题时或……分命题或为假命题
100114a a a ∴-<<<<的取值范围为或……分
20．解:()I 函数()f x 的单调递减区间为(),1-∞-,单调递增区间为[)1,0-,()0,+∞
……3分
()II 由导数的几何意义可知,点A 处的切线斜率为()1f x ',点B 处的切线斜率为()2f x ',
故当点A 处的切线与点B 处的切线互相垂直时,有()()121f x f x ''=-. 当0x <时,对函数()f x 求导,得()22f x x '=+. 因为120x x <<,所以()()1222221x x ++=-, ……5分 所以()()12220,220x x +<+>.
因此()()
21121
222212x x x x -=
-+++≥=⎡⎤⎣
⎦ ……7分 当且仅当()122x -+=()222x +=1,即1231
22
x x =-=且时等号成立.
所以函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直时,21x x -的最小值为1。
……8分
()III 当120x x <<或210x x >>时,()()12f x f x ''≠,故120x x <<.
当10x <时,函数()f x 的图象在点()()
11,x f x 处的切线方程为
()()()21111222y x x a x x x -++=+-,即()21122y x x x a =+-+ ……9分
当20x >时,函数()f x 的图象在点()()
22,x f x 处的切线方程为
()2221ln y x x x x -=
-,即22
1
ln 1y x x x =∙+-. ……10分 两切线重合的充要条件是12221
1
2 2 ln 1 x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①
②
由①及120x x <<知,110x -<<. 由①②得,()2
211111
ln
1ln 22122
a x x x x =+-=-+-+. ……12分
设()()2
1111ln 221(10)h x x x x =-+--<<, 则()1111
201
h x x x '=-
<+.
所以()()1110h x x -<<是减函数. ……13分 则()()10ln21h x h >=--, 所以ln 21a >--.
又当1(1,0)x ∈-且趋近于1-时,()1h x 无限增大, 所以a 的取值范围是()ln21,--+∞.
故当函数()f x 的图像在点,A B 处的切线重合时,
a 的取值范围是()ln21,--+∞ ……14分。