第3章 第5节 二次函数的图像和性质
《二次函数的图像和性质》说课稿
《二次函数的图像和性质》说课稿尊敬的老师、亲爱的同学们：大家好！今天我说课的题目是《二次函数的图像和性质》，这是九年级下册第26章的内容。
下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”、“为什么这样教？”三个问题，从教材内容、教法学法、教学过程这三个方面逐一分析说明。
一、教材内容分析：１、本节课内容在整个教材中的地位和作用。
概括地讲，二次函数的图像在教材中起着承上启下的作用，它的地位体现在它的思想的基础性。
一方面，本节课是对一次函数有关内容的推广，为后面进一步学习二次函数的性质打下基础；另一方面，二次函数解析式中的系数由常数转变为参数，使学生对二次函数的图像由感性认识上升到理性认识，能培养学生利用数形结合思想解决问题的能力。
2、教学目标定位。
根据教学大纲要求、新课程标准精神和初中学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标。
第一个层面是基础知识与能力目标：理解二次函数的图像中a、b、c、k的作用，能熟练地对二次函数的一般式进行配方，会对图像进行平移变换，领会研究二次函数图像的方法，培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力；第二个层面是过程和方法：让学生经历作图、观察、比较、归纳的学习过程，使学生掌握类比、化归等数学思想方法，养成即能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯；第三个层面是情感、态度和价值观：在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。
3、教学重难点。
重点是二次函数各系数对图像和形状的影响，利用二次函数图像平移的特例分析过程，培养学生数形结合的思想和划归思想。
难点是图像的平移变换，关键是二次函数顶点式中k的正负取值对函数图像平移变换的影响。
二、教法学法分析：数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，感受数学的自然美。
中考命题研究贵阳2022中考数学 第三章 函数及其图像 第5节 二次函数的图象及性质
第五节二次函数的图象及性质年份题型题号考查点考查内容分值总分2022解答24 二次函数的图象及性质给出抛物线经过x轴上两点坐标：(1)判断字母符号；(2)确定解析式；(3)探索点的坐标12 122022解答25 二次函数的图象及图象的平移给出抛物线经过两点坐标：(1)求解析式；(2)求平移后字母的范围；(3)分类讨论以某边为底的等腰三角形12 122022填空15 二次函数的性质根据性质求字母范围4解答23 二次函数的图象根据图象求：(1)顶点坐标；(2)直线解析式；(3)直线与抛物线交点坐标10 142022选择10 二次函数的图象及性质根据图象确定最大值、最小值3解答25 二次函数的图象及性质根据图象上的点的坐标求：(1)二次函数解析式；(2)四边形的面积；12 15(3)探索存在性2011填空14 开放性问题写出满足条件的二次函数的表达式4解答21 二次函数的图象根据图象及点的坐标求：(1)字母的值；(2)点的坐标；(3)满足某一条件的点的坐标10 14命题规律纵观贵阳市5年中考，二次函数图象及性质在中考中一般设置1～2道题，分值为12～15分，在解答、选择、填空均有涉及，但在解答题当中必然出现且分值10～12分.命题预测预计2022年贵阳中考，二次函数图象及性质是必考内容，涉及内容为已知抛物线上的点的坐标，求解析式及探索其他问题，学生务必加大训练力度.,贵阳五年中考真题及模拟) 二次函数的图象及性质(8次)1．(2011贵阳14题4分)写出一个开口向下的二次函数的表达式________．2．(2022贵阳15题4分)已知二次函数y＝x2＋2mx＋2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m 的取值范围是________．3．(2022贵阳10题3分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图所示，当－5≤x≤0时，下列说法正确的是( )A．有最小值－5、最大值0B．有最小值－3、最大值6C．有最小值0、最大值6D．有最小值2、最大值64．(2011贵阳21题10分)如图所示，二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B，且与y轴交点C.(1)求m的值；(2)求点B的坐标；(3)该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x＞0，y＞0)使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．5．(2022贵阳23题10分)已知：直线y ＝ax ＋b 过抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的顶点P ，如图所示： (1)顶点P 的坐标是________；(2)若直线y ＝ax ＋b 经过另一点A(0，11)，求出该直线的表达式；(3)在(2)的条件下，若有一条直线y ＝mx ＋n 与直线y ＝ax ＋b 关于x 轴成轴对称，求直线y ＝mx ＋n 与抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的交点坐标．6．(2022贵阳25题12分)如图，二次函数y ＝12x 2－x ＋c 的图象与x 轴分别交于A 、B 两点，顶点M 关于x 轴的对称点是M′.(1)若A(－4，0)，求二次函数的关系式； (2)在(1)的条件下，求四边形AMBM′的面积；(3)是否存在抛物线y ＝12x 2－x ＋c ，使得四边形AMBM′为正方形？若存在，请求出此抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由．7．(2022贵阳25题12分)如图，经过点A(0，－6)的抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于B(－2，0)，C 两点．(1)求此抛物线的函数关系式和顶点D 的坐标；(2)将(1)中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m(m ＞0)个单位长度得到新抛物线y 1，若新抛物线y 1的顶点P 在△ABC 内，求m 的取值范围．(3)在(2)的结论下，新抛物线y 1上是否存在点Q ，使得△QAB 是以AB 为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m 的取值范围．8．(2022贵阳24题12分)如图，经过点C(0，－4)的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴相交于A(－2，0)，B 两点．(1)a________0，b 2－4ac________0(选填“＞”或“＜”)； (2)若该抛物线关于直线x ＝2对称，求抛物线的函数表达式；(3)在(2)的条件下，连接AC ，E 是抛物线上一动点，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F.是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．,中考考点清单)二次函数的概念及表达式1．定义：一般地，如果两个变量x 和y 之间的函数关系，可以表示成y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，且a ≠0)，那么称y 是x 的二次函数，其中，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项．2．三种表示方法：(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)；(2)顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是(h ，k)；(3)交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)，其中x 1，x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标． 3．三种表达式之间的关系 顶点式――→确定一般式――→因式分解两点式 4．二次函数表达式的确定(1)求解二次函数表达式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数表达式：A ．当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 形式；B ．当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式y ＝a(x －h)2＋k 形式；C ．当已知抛物线与x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为两点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)．(2)步骤：①设二次函数的表达式；②根据已知条件，得到关于待定系数的方程组；③解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的表达式．二次函数的图象及性质(高频考点)5．图象性质函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)图象对称轴 直线x ＝①________ 直线x ＝－b2a顶点 坐标(－b 2a ，4ac －b24a) (－b 2a ，4ac －b 24a) 增减性在对称轴的左侧，即x ＜－b2a时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x ＞－b 2a 时，y 随x 的增大而增大，在对称轴的左侧，即当x ＜－b2a时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x ＞－b 2a时，y 随x 的增大而减小，简记为左减右增简记为左增右减最值抛物线有最低点，当②________时，y有最小值，y最小值＝4ac－b24a抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，y最大值＝③________6.系数a，b，c与二次函数的图象关系项目字母字母的符号图象的特征aa＞0 开口向上a＜0 ④________bb＝0 对称轴为y轴ab＞0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧ab＜0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧cc＝0 ⑤________c＞0 与y轴正半轴相交c＜0 与y轴负半轴相交b2－4acb2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点)b2－4ac＞0 与x轴有两个不同交点b2－4ac＜0 与x轴没有交点特殊关系当x＝1时，y＝a＋b＋c当x＝－1时，y＝a－b＋c若a＋b＋c＞0，即x＝1时，y＞0若a－b＋c＞0，即x＝－1时，y＞0二次函数与一元二次方程的关系7．当抛物线与x 轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根． 8．当抛物线与x 轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根．9．当抛物线与x 轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根.,中考重难点突破)二次函数的图象及性质【例1】(2022广东中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是( )A ．函数有最小值B ．对称轴是直线x ＝12C ．当x ＜12，y 随x 的增大而减小 D ．当－1＜x ＜2时，y ＞0【解析】A .由抛物线的开口向上，可知a ＞0，函数有最小值，正确，故A 选项不符合题意；B .由图象可知，对称轴为x ＝12，正确，故B 选项不符合题意；C .因为a ＞0，∴当x ＜12时，y 随x 的增大而减小，正确，故C 选项不符合题意；D .由图象可知，当－1＜x ＜2时，y ＜0，错误，故D 选项符合题意．【学生解答】1．(2022原创)如图，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点(A 点在B 点左侧)，与y 轴交于点C ，若A 点坐标为(－1，0)，B 点坐标为(3，0)，则下列说法正确的是( )A ．b ＞0B ．该抛物线的对称轴是直线x ＝－1C ．当x ＝－3与x ＝5时，y 值相等D ．若y ＞0，则－1＜x ＜3抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象与a ，b ，c 的关系【例2】(2022天津中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0没有实数根，有下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③m＞2.其中，正确结论的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3【解析】本题考查二次函数图象的性质以及与系数a、b、c的关系．由图可知三个结论都正确，下面对三个结论一一证明：序号正误逐项分析①√∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个不同的交点，∴b2－4ac＞0②√∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴－b2a＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＜0③√如果抛物线的图象向下平移2个单位，那么抛物线与x轴只有一个交点，∴当抛物线向下平移d个单位，当d＞2时，抛物线与x轴没有交点．∵一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0没有实数根．∴二次函数y＝ax2＋bx＋c－m中，m＞2【学生解答】2．(2022烟台中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x ＝2.下列结论：①4a＋b＝0；②9a＋c＞3b；③8a＋7b＋2c＞0；④当x＞－1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二次函数表达式的确定【例3】(2022宁波中考)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．(1)求二次函数的解析式；(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【解析】(1)根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的解析式；(2)令y＝0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点坐标；(3)画出图象，再根据图象直接得出答案．【学生解答】3．(2022贵阳模拟)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，5)两点，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E，连接AD，点F是AD的中点，求出线段EF的长；(3)若点P是抛物线上异于A、D的另外一点，且S△AEP＝S△AED，求点P的坐标．。
韦达定理、二次函数图像及性质
韦达定理、二次函数的图像与性质知识要点：1.韦达定理: 一元二次方程的根和系数的关系； 2.求二次函数的图象的顶点坐标、对称轴方程及最值的方法 知识点回顾：1. 如何求一元二次方程x 2 -2x-8=0的根？有几种方法?2.二次函数解析式的几种形式：①一般式： ②顶点式： ③交点式： 3.二次函数的图像及性质探索1：方程x 2 -2x-8=0的两根之和，两根之积。
观察方程两个根与方程的系数之间的关系，你有什么发现？对于一元二次方程2x 2-3x+1=0是否也具备这个特征？ x 1+x 2=_______，x 1·x 2=________，由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．—韦达定理结论: 如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2， 韦达（法国1540－1603） 那么x 1+x 2=_______，x 1·x 2=________。
对应练习 1.判断对错1）2x 2-11x+4=0两根之和为11，两根之积为4。
2）4x 2+3x=5两根之和为43-，两根之积为45。
3）x 2+x+1=0两根之和为-1，两根之积为1。
2. 1）关于x 的方程x 2-2x +m=0 的一根为2 ，求另一根和m 的值。
2）已知方程 3x 2+mx+n=0 的两根为1,2，求m,n 的值。
探究2. 二次函数求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法探究3.若方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，则函数y ax bx c =++2（a ≠0）的图象与x 轴的两交点坐标为 ， ；此时二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的顶点和对称轴如何表示？典型例题例1. 二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，对称轴为x ＝1，则下列结论中正确的是（ ）A. ac >0B. b <0C. b ac 240-<D. 20a b +=例2. （1）二次函数y=-x 2+6x+3的图像顶点为_________对称轴为_________。
人教版九年级上册数学 讲义 二次函数的图像与性质
C． D．
【例2】已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的大致图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图
象不经过( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【例3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＜0；③a－b＋c＜0；④a＋c＞0，其中正确结论的个数为（）．
3、抛物线 （ ）的顶点坐标公式：（ ， ）；对称轴是直线： ；当 时，函数有最值： 。
4、二次函数图像的平移：只要抛物线解析式中的a相同，它们之间可以相互平移得到，平移规律：左加右减，上加下减。
二、典型例题：
考点一：二次函数的定义
【例1】下列函数中，关于 的二次函数是（ ）。
A、 B、 C、 D、
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【例2】已知二次函数 ，若自变量 分别取 ， ， ，且 ，则对应的函数值 的大小关系正确的是（）
A. B. C. D.
三、强化训练：
【夯实基ห้องสมุดไป่ตู้】
1、二次函数 的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）
【例2】已知函数 （ 为常数）。
（1） 为何值时，这个函数为二次函数？
（2） 为何值时，这个函数为一次函数？
考点二：二次函数的顶点、对称轴、最值
【例1】写出下列抛物线的对称轴方程、顶点坐标及最大或最小值；
（1） （2） （3）
考点三：抛物线的平移（上加下减，左加右减）
【例1】把抛物线 向左平移2个单位，再向下平移2个单位，则所得的抛物线的表达式是；
A、4个B、3个C、2个D、1个
考点五：直线与抛物线的位置关系
第三章 函数 5.二次函数的图象和性质(含答案)
第三章函数 5.二次函数的图象和性质一、选择题1、（2019·衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（）A. （1，3）B. （1，-3）C. （-1，3）D. （-1，-3）2、（2019·重庆）抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是（）A. 直线x=2B. 直线x=-2C. 直线x=1D. 直线x=-13、（2019·河南）已知抛物线y=-x2+bx+4经过（-2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A. -2B. -4C. 2D. 44、（2019·兰州）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y=-（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A. 2＞y1＞y2B. 2＞y2＞y1C. y1＞y2＞2D. y2＞y1＞25、（2019·哈尔滨）将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线对应的函数解析式为（）A. y=2（x+2）2+3B. y=2（x-2）2+3C. y=2（x-2）2-3D. y=2（x+2）2-36、（2019·西藏）要得到函数y=-12（x-1）2+1的图象，可以把函数y=-12x2的图象（）A. 向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度B. 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度C. 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D. 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度7、（2019·百色）要得到抛物线y=x2+6x+7，可把抛物线y=x2（）A. 先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度B. 先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度C. 先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度D. 先回右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度8、（2019·雅安）在平面直角坐标系中，对于二次函数y=（x-2）2+1，下列说法错误的是（）A. y的最小值为1B. 图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2C. 当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D. 它的图象可以由y=x2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到9、（2019·淄博）将二次函数y=x2-4x+a的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，若得到的函数图象与直线y=2有两个交点，则a的取值范围是（）A. a＞3B. a＜3C. a＞5D. a＜510、（2019·河池）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，则下列结论中，错误的是（）A. ac＜0B. b2-4ac＞0C. 2a-b=0D. a-b+c=011、（2019·成都）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（）A. c＜0B. b2-4ac＜0C. a-b+c＜0D. 图象的对称轴是直线x=312、（2019·沈阳）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. abc＜0B. b2-4ac＜0C. a-b+c＜0D. 2a+b=013、（2019·娄底）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2-4ac＜0；③2a＞b；④（a+c）2＜b2.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个14、（2019·鄂州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2-b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 415、（2019·通辽）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．有下列结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a-3b+c=0；④a-b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac-b2＜0.其中错误结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 416、（2019·葫芦岛）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=ax+b的图象大致是（）A. B. C. D.17、（2019·呼和浩特）二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A. B. C. D.18、（2019·湖州）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1=ax2+bx 与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能是（）A. B. C. D.19、（2019·陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2+（2m-1）x+2m-4与y=x2-（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）A. 57，-187B. 5，-6C. -1，6D. 1，-220、（2019·贵阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），点B（1，1）都在直线y=12x+12上，若抛物线y=ax2-x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A. a≤-2B. a＜9 8C. 1≤a＜98或a≤-2 D. -2≤a＜9821、（2019·玉林）如图，抛物线C：y=12（x-1）2-1，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位长度，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q，若∠DQD1=60°，则m的值为（）A. B. C. -2或 D. -4或22、（2019·宜宾）已知抛物线y=x2-1与y轴交于点A，与直线y=kx（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论不正确的是（）A. 存在实数k，使得△ABC为等腰三角形B. 存在实数k，使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°C. 任意实数k，使得△ABC都为直角三角形D. 存在实数k，使得△ABC为等边三角形23、（2019·福建）若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过不同的五点A（m，n），B（0，y1），C（3-m，n），D（2，y2），E（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A. y1＜y2＜y3B. y1＜y3＜y2C. y3＜y2＜y1D. y2＜y3＜y124、（2019·资阳）如图是函数y=x2-2x-3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（）A. m≥1B. m≤0C. 0≤m≤1D. m≥1或m≤025、（2019·岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜1＜x2，那么c的取值范围是（）A. c＜-3B. c＜-2C. c＜14D. c＜1二、填空题26、（2019·哈尔滨）二次函数y=-（x-6）2+8的最大值是______．27、（2019·荆州）二次函数y=-2x2-4x+5的最大值是______．28、（2019·白银）将二次函数y=x2-4x+5化成y=a（x-h）2+k的形式为______．29、（2019·凉山州）将抛物线y=（x-3）2-2向左平移______个单位长度后经过点A（2，2）．30、（2019·宜宾）将抛物线y=2x2的图象，向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式为______．31、（2019·广元）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，0），（0，2），且顶点在第一象限，设M=4a+2b+c，则M的取值范围是______．32、（2019·天水）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若M=4a+2b，N=a-b.则M，N的大小关系为M______N（填“＞”“＜”或“=”）．33、（2019·荆门）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经过点A（-1，0），B（m，0），C（-2，n）（1＜m＜3，n＜0）．下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③a （m-1）+2b＞0；④当a=-1时，存在点P使△P AB为直角三角形．其中正确的为______（填序号）．34、（2019·镇江）已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是______．35、（2019·内江）若x，y，z为实数，且2421x y zx y z+-=⎧⎨-+=⎩则代数式x2-3y2+z2的最大值是______．36、（2019·雅安）函数y=()()220x x xx x-+>⎧⎪⎨-≤⎪⎩的图象如图所示．若直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为______．37、（2019·大庆）如图，抛物线y=14px2（p＞0），点F（0，p），直线l：y=-p，已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1，B1，连接A1F，B1F，A1O，B1O.若A1F=a，B1F=b，则△A1OB1的面积为______（只用a，b表示）．38、（2019·衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2的图象如图所示．已知点A的坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4，…，依次进行下去，则点A2019的坐标为______．三、解答题39、（2019·宁波）如图，二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P（-2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m=2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．40、（2019·永州）如图，抛物线经过两点A（-3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x=-1．（1）求此抛物线对应的函数解析式；（2）若P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，B），求△P AB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．41、（2019·安徽）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点．（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．42、（2019·台州）已知函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（-2，4）．（1）求b，c满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当-5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．43、（2019·南通）已知二次函数y=x2-4x+3a+2（a为常数）．（1）请写出该二次函数的三条性质；（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1的图象有两个交点，求a的取值范围．44、（2019·北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P112a⎛⎫-⎪⎝⎭，，Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．45、（2019·天门）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y=ax2+2x-1（a≠0）和直线l：y=kx+b，点A（-3，-3），B（1，-1）均在直线l上．（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；（2）当a=-1，二次函数y=ax2+2x-1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为-4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．46、（2019·上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2x，其顶点为A.（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y=x2-2x的“不动点”的坐标；①平移抛物线y=x2-2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线对应的函数解析式．47、（2019·河北）如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x-b与y轴交于点B；抛物线L：y=-x2+bx的顶点为C，且L与x轴的右交点为D.（1）若AB=8，求b的值，并求此时抛物线L的对称轴与直线a的交点坐标；（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数．第三章 函数 5.二次函数的图象和性质一、选择题1、A2、C3、B4、A5、B6、C7、A8、C9、D 10、C 11、D 12、D 13、A 14、C 15、A 16、D 17、D 18、D 19、D 20、C 21、A 22、D 23、D 24、C 25、B二、填空题26、8 27、7 28、y =（x -2）2+1 29、3 30、y =2（x +1）2-2 31、-6＜M ＜6 32、＜ 33、②③ 34、74 35、26 36、0＜m ＜14 37、4ab 38、（-1010，10102） 三、解答题39、（1）把点P （-2，3）代入y =x 2+ax +3中，得3=4-2a +3，解得a =2.∴二次函数的解析式为y =x 2+2x +3=（x +1）2+2.∴顶点坐标为（-1，2）（2）①当m =2时，n =（2+1）2+2=11②∵点Q 到y 轴的距离小于2，∴|m |＜2.∴-2＜m ＜2.∴结合图象可知，n 的取值范围为2≤n ＜1140、（1）∵抛物线的对称轴是直线x =-1，且经过点A （-3，0），∴由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点（1，0）．设抛物线对应的函数解析式为y =a （x -1）（x +3），把B （0，3）代入，得3=-3a ，解得a =-1.∴抛物线对应的函数解析式为y =-x 2-2x +3（2）设直线AB 对应的函数解析式为y =kx +b ，∵点A （-3，0），B （0，3）在直线y =kx +b 上，∴33k b b -+=0⎧⎨=⎩解得13.k b =⎧⎨=⎩∴直线AB 对应的函数解析式为y =x +3.过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，交直线AB 于点M ，设P （x ，-x 2-2x +3），则M （x ，x +3），∴PM =-x 2-2x +3-（x +3）=-x 2-3x .∴S △P AB =12（-x 2-3x ）×3=-32（x +32）2+278.当x =-32时，S △P AB 有最大值，为278，此时点P 的纵坐标为-232⎛⎫- ⎪⎝⎭-2×32⎛⎫- ⎪⎝⎭+3=154，∴△P AB 面积的最大值为278，此时点P 的坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭， 41、（1）根据题意，得二次函数y =ax 2+c 的图象的顶点坐标为（0，c ）．将点（0，c ），（1，2）代入一次函数的解析式，得424c k =⎧⎨=+⎩解得42.c k =⎧⎨=-⎩将点（1，2）代入y =ax 2+4，得2=a +4，解得a =-2.∴k 的值为-2，a 的值为-2，c 的值为4（2）由（1）可知，二次函数的解析式为y =-2x 2+4.令y =m ，得2x 2+m -4=0，解得x设B ，C 两点的坐标分别为（x 1，m ），（x 2，m ），则BC =|x 1-x 2|=2∴W =OA 2+BC 2=m 2+4×42m -=m 2-2m +8=（m -1）2+7.∵0＜m ＜4，∴当m =1时，W 有最小值，为7 42、（1）将点（-2，4）代入y =x 2+bx +c ，得4=4-2b +c ，即-2b +c =0，∴c =2b（2）根据题意，得m =-2b ，n =244c b -.∴b =-2m .又由（1）知，c =2b ，∴c =-4m .∴n =244c b -=21644m m --=-m 2-4m （3）如图，由（2）的结论，画出函数y =x 2+bx +c 和函数y =-x 2-4x 的图象．∵函数y =x 2+bx +c 的图象不经过第三象限，∴-4≤-2b ≤0.①当-4≤-2b ≤-2，即4≤b ≤8时，如图①.当x =1时，函数取到最大值，为1+3b ；当x =-2b 时，函数取到最小值，为284b b -.∴1+3b -284b b -=16，即b 2+4b -60=0，解得b 1=6，b 2=-10（不合题意，舍去）．②当-2＜-2b ≤0，即0≤b ＜4时，如图②.当x =-5时，函数取到最大值，为25-3b ；当x =-2b 时，函数取到最小值，为284b b -，∴25-3b -284b b -=16，即b 2-20b +36=0，解得b 1=2，b 2=18（不合题意，舍去）．综上所述，b 的值为2或643、（1）答案不唯一，如①图象开口向上；②图象的对称轴为直线x =2；③当x ＞2时，y 随x 的增大而增大（2）∵二次函数的图象与一次函数y=2x-1的图象有两个交点，∴x2-4x+3a+2=2x-1，即x2-6x+3a+3=0.∴Δ=36-4（3a+3）=-12a+24＞0，解得a＜2.∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1的图象有两个交点，∴二次函数y=x2-6x+3a+3的图象与x轴x≤4的部分有两个交点．结合图象（图略）可知，当x=4时，x2-6x+3a+3≥0.∴当x=4时，x2-6x+3a+3=3a-5≥0，解得a≥53.∴当二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1的图象有两个交点时，a的取值范围为53≤a＜244、（1）由题意，得A1a⎛⎫-⎪⎝⎭，，又∵将点A向右平移2个单位长度，得到点B，∴B12a⎛⎫-⎪⎝⎭，（2）∵点A1a⎛⎫-⎪⎝⎭，与点B12a⎛⎫-⎪⎝⎭，关于直线x=1对称，点A，B均在抛物线上，∴抛物线的对称轴为直线x=1（3）①当a＞0时，则-1a＜0.结合图象（图略）可知，此时线段PQ与抛物线没有交点．②当a＜0时，则-1a＞0.结合图象（图略）可知，此时-1a≤2，解得a≤-12.综上所述，当a≤-12时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点45、（1）将点A（-3，-3），B（1，-1）代入y=kx+b，得133k bk b+=-⎧⎨-+=-⎩解得123.2kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线l对应的函数解析式为y=12x-32.联立y=ax2+2x-1与y=12x-32，得2ax2+3x+1=0.∵抛物线C与直线l有交点，∴Δ=9-8a≥0，解得a≤98.又∵a≠0，∴a的取值范围为a≤98且a≠0（2）根据题意，得二次函数的解析式为y=-x2+2x-1=-（x-1）2.∵-1＜0，∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=1.∵当m≤x≤m+2时，y有最大值-4，∴当y=-4时，有-（x-1）2=-4，解得x=-1或x=3.①当x＜1时，y随x的增大而增大，∴当x=m+2=-1时，y有最大值-4，此时m=-3；②当x＞1时，y随x的增大而减小，∴当x=m=3时，y有最大值-4.综上所述，m的值为-3或3（3）49≤a＜98或a≤-246、（1）对于抛物线y=x2-2x=（x-1）2-1，其开口向上，顶点A的坐标为（1，-1）；当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t ，t ），则t =t 2-2t .解得t =0或3.∴“不动点”的坐标为（0，0）或（3，3）①∵新抛物线顶点B 为“不动点”，则设点B （m ，m ），∴新抛物线的对称轴为直线x =m ，与x 轴的交点C 的坐标为（m ，0）．∵四边形OABC 是梯形，∴直线x =m 在y 轴左侧．∵BC 与OA 不平行，∴OC ∥AB. 又∵点A 的坐标为（1，-1），点B 的坐标为（m ，m ），∴m =-1.∴新抛物线是由抛物线y =x 2-2x 向左平移2个单位长度得到的．∴新抛物线对应的函数表达式为y =（x +1）2-147、（1）当x =0时，y =x -b =-b ，∴点B 的坐标为（0，-b ）．∵AB =8，而点A 的坐标为（0，b ），∴b -（-b ）=8.解得b =4.∴抛物线L 对应的函数解析式为y =-x 2+4x .∴抛物线L 的对称轴为直线x =2.当x =2时，y =x -4=-2.∴抛物线L 的对称轴与直线a 的交点坐标为（2，-2）（2）∵y =-x 2+bx =-22b x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+24b ，∴抛物线L 的顶点C 的坐标为224b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.∵点C 在l 下方，∴C 与l 的距离为b -24b =-14（b -2）2+1≤1.∴点C 与l 距离的最大值为1 （3）由题意，得y 3=122y y +，即y 1+y 2=2y 3，得b +x 0-b =2（-x 20+bx 0）．解得x 0=0或x 0=b -12.但x 0≠0，取x 0=b -12.对于L ，当y =0时，得0=-x 2+bx ，即0=-x （x -b ）．解得x 1=0，x 2=b .∵b ＞0，∴右交点D 的坐标为（b ，0）．∴点（x 0，0）与点D 间的距离为b -12b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=12（4）①当b =2019时，抛物线L 对应的函数解析式为y =-x 2+2019x ，直线a 对应的函数解析式为y =x -2019.联立上述两个解析式，可得x 1=-1，x 2=2019.∴可知每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，且-1和2019之间（包括-1和-2019）共有2021个整数．∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点．∴总计4042个整数点．∵这两段图象交点有2个点重复，∴美点”的个数为4042-2=4040；①当b =2019.5时，抛物线L 对应的函数解析式为y =-x 2+2019.5x ，直线a 对应的函数解析式为y =x -2019.5.联立上述两个解析式，可得x 1=-1，x 2=2019.5，∴当x 取整数时，在一次函数y =x -2019.5上，y 取不到整数值．∴在该图象上“美点”的个数为0.∵在二次函数y =x 2+2019.5x 的图象上，当x 为偶数时，函数值y 可取整数，可知-1到2019.5之间有1010个偶数，∴“美点”共有1010个．综上所述，当b =2019时，“美点”的个数为4040；当b =2019.5时，“美点”的个数为1010。
山东职教高考数学总复习第三章函数
例
典例剖析
实战训练
能力提升
典例剖析
题型二
例
与图像有关的实际应用
典例剖析
典例剖析
题型三
例
二次函数的实际应用
实战训练
基础巩固
实战训练
基础巩固
实战训练
基础巩固
实战训练
基础巩固
实战训练
基础巩固
第三章
函 数
考纲揭秘
命题趋势
目录
第一节 函数的概念及其表示
第二节 函数的性质
第三节 二次函数的图像与性质
第四节 函数的实际应用
§第节
函数的概念及其表示
知识清单
知识点一 函数的定义
知识点二 函数的要素
知识清单
知识点三 函数的定义域
知识点四 函数的表示方法
典例剖析
题型一
例
判断两个函数是否为同一函数
求的未知数.
（2）建模：抽象概括数量关系，并能用数学语言表示和构造函数模型.
（3）求解：利用所学数学知识，分析、解决数学问题.
（4）检验：对结果进行验证和评估，对错误加以调节，并将结果应用于现实，作出
解释和判断.
（5）作答：答出最终结果.
典例剖析
题型一 分段函数的应用
例
典例剖析
题型一 分段函数的应用
知识清单
知识点一 函数的单调性
知识清单
知识点一 函数的单调性
知识清单
知识点二 函数的奇偶性
知识清单
知识点二 函数的奇偶性
典例剖析
题型一
例
用图像法判断函数的单调性
典例剖析
题型一
例
用图像法判断函数的单调性
典例剖析
河北省2021年中考数学一轮复习训练：第三章 第五节 二次函数的图象与性质
第五节二次函数的图象与性质基础分点练（建议用时：60分钟）考点1二次函数的图象与性质1.抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标为()A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-1,3)2.[2020福建]已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y=ax2-2ax上的点,下列命题正确的是()A.若|x1-1|>|x2-1|,则y1>y2B.若|x1-1|>|x2-1|,则y1<y2C.若|x1-1|=|x2-1|,则y1=y2D.若y1=y2,则x1=x23.[2020浙江温州]已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则()A.y3<y2<y1B.y3<y1<y2C.y2<y3<y1D.y1<y3<y24.[2020石家庄长安区质量检测]老师给出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下表:x…-3-20135…y…70-8-9-57…同学们讨论得出了下列结论:①抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线x=2;③当-2<x<4时,y>0;④x=3是方程ax2+bx+c+5=0的一个根;⑤若A(x1,5),B(x2,6)在抛物线上,且点A在点B左侧,则x1<x2.其中正确的结论是()A.①③④B.②③④C.①④⑤D.③④⑤5.[2020江苏无锡]请写出一个函数表达式,使其图象的对称轴为y轴:.6.[2020吉林长春]如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(4,2).若抛物线y=-(x-h)2+k(h,k为常数)与线段AB交于C,D两点,且CD=AB,则k的值为.7.已知二次函数y=x2-2mx+1,当x≤1时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是.考点2二次函数图象与系数a,b,c的关系8.[2020山东青岛]已知在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=的图象如图所示,则一次函数y=x-b的图象可能是()9.[2020四川达州]如图,直线y1=kx与抛物线y2=ax2+bx+c交于A,B两点,则y=ax2+(b-k)x+c的图象可能是()10.[2020山东德州]二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则下列选项错误的是()A.若(-2,y1),(5,y2)是图象上的两点,则y1>y2B.3a+c=0C.方程ax2+bx+c=-2有两个不相等的实数根D.当x≥0时,y随x的增大而减小11.[2020唐山路北区一模]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其对称轴是直线x=1.下列结论:①abc>0,②2a+b=0,③b2-4ac<0,④4a+2b+c>0,其中正确的是()A.①③B.只有②C.②④D.③④考点3二次函数解析式的确定(含平移)12.[2020黑龙江哈尔滨]将抛物线y=x2向上平移3个单位长度,再向右平移5个单位长度,所得到的抛物线的解析式为()A.y=(x+3)2+5B.y=(x-3)2+5C.y=(x+5)2+3D.y=(x-5)2+313.[2020唐山路北区一模]如图,将函数y=(x+3)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(-4,m),B(-1,n)平移后的对应点分别为点A',B'.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式是()A.y=(x+3)2-2B.y=(x+3)2+7C.y=(x+3)2-5D.y=(x+3)2+414.[2020陕西]在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单位长度,则平移后得到的抛物线的顶点一定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限15.[2020浙江宁波]如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+4x-3图象的顶点是A,与x轴交于B,C两点,与y轴交于点D.点B的坐标是(1,0).(1)求A,C两点的坐标,并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.(2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.考点4二次函数与一元二次方程、不等式(组)的关系16.[2020贵州贵阳]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根,其中一个根是3,则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0<n<m)有两个整数根,这两个整数根是()A.-2或0B.-4或2C.-5或3D.-6或417.[2020湖北武汉]抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a<0)经过A(2,0),B(-4,0)两点.下列四个结论:①一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2,x2=-4;②若点C(-5,y1),D(π,y2)在该抛物线上,则y1<y2;③对于任意实数t,总有at2+bt≤a-b;④对于a的每一个确定值,若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数,p>0)的根为整数,则p的值只有两个.其中正确的结论是(填写序号).18.根据下列要求,解答相关问题.(1)请补全以下求不等式-2x2-4x≥0的解集的过程.①构造函数,画出图象:根据不等式特征构造二次函数y=-2x2-4x;抛物线的对称轴为直线,开口向下,顶点坐标为,与x轴的交点是;用三点法画出二次函数y=-2x2-4x的图象如图(1)所示;②数形结合,求得界点:当y=0时,求得方程-2x2-4x=0的解为;③借助图象,写出解集:由图象可得不等式-2x2-4x≥0的解集为.图(1) 图(2)(2)利用(1)中求不等式解集的方法、步骤,求不等式x2-2x+1<4的解集.①构造函数,画出y=x2-2x+1的图象(在图(2)中画出);②数形结合,求得界点:当y=时,求得方程x2-2x+1=4的解为;③借助图象,写出解集.由图象可知,不等式x2-2x+1<4的解集是.综合提升练（建议用时：40分钟）1.[2020四川南充]如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点,则实数a的取值范围是()A.≤a≤3B.≤a≤1C.≤a≤3D.≤a≤12.[2020广西玉林]把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换,所得图象的解析式为y=-a(x-1)2+4a,若(m-1)a+b+c≤0,则m的最大值是()A.-4B.0C.2D.63.[2020浙江宁波]如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是()A.abc<0B.4ac-b2>0C.c-a>0D.当x=-n2-2(n为实数)时,y≥c4.[2020四川南充]关于二次函数y=ax2-4ax-5(a≠0)的三个结论:①对任意实数m,都有x=2+m与x=2-m对应的函数值相等;②若3≤x≤4时,对应的y的整数值有4个,则-<a≤-1或1≤a<;③若抛物线与x轴交于不同的两点A,B,且AB≤6,则a<-或a≥1.其中正确的结论是()A.①②B.①③C.②③D.①②③5.[2020河南]如图,抛物线y=-x2+2x+c与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,且OA=OB,点G为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及点G的坐标;(2)点M,N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,点Q为抛物线上点M,N之间(含点M,N)的一个动点,求点Q的纵坐标y Q的取值范围.6.[2019北京]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.(1)求点B的坐标(用含a的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点P(,-),Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围. 答案第五节二次函数的图象与性质基础分点练（建议用时：60分钟）考点1二次函数的图象与性质1.抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标为( A)A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-1,3)2.[2020福建]已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y=ax2-2ax上的点,下列命题正确的是( C)A.若|x1-1|>|x2-1|,则y1>y2B.若|x1-1|>|x2-1|,则y1<y2C.若|x1-1|=|x2-1|,则y1=y2D.若y1=y2,则x1=x23.[2020浙江温州]已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则( B)A.y3<y2<y1B.y3<y1<y2C.y2<y3<y1D.y1<y3<y24.[2020石家庄长安区质量检测]老师给出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下表:x…-3-20135…y…70-8-9-57…同学们讨论得出了下列结论:①抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线x=2;③当-2<x<4时,y>0;④x=3是方程ax2+bx+c+5=0的一个根;⑤若A(x1,5),B(x2,6)在抛物线上,且点A在点B左侧,则x1<x2.其中正确的结论是( C)A.①③④B.②③④C.①④⑤D.③④⑤5.[2020江苏无锡]请写出一个函数表达式,使其图象的对称轴为y轴:y=x2(答案不唯一,正确即可) .6.[2020吉林长春]如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(4,2).若抛物线y=-(x-h)2+k(h,k为常数)与线段AB交于C,D两点,且CD=AB,则k的值为.7.已知二次函数y=x2-2mx+1,当x≤1时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是m≥1.考点2二次函数图象与系数a,b,c的关系8.[2020山东青岛]已知在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=的图象如图所示,则一次函数y=x-b的图象可能是( B)9.[2020四川达州]如图,直线y1=kx与抛物线y2=ax2+bx+c交于A,B两点,则y=ax2+(b-k)x+c的图象可能是( B)10.[2020山东德州]二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则下列选项错误的是( D)A.若(-2,y1),(5,y2)是图象上的两点,则y1>y2B.3a+c=0C.方程ax2+bx+c=-2有两个不相等的实数根D.当x≥0时,y随x的增大而减小11.[2020唐山路北区一模]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其对称轴是直线x=1.下列结论:①abc>0,②2a+b=0,③b2-4ac<0,④4a+2b+c>0,其中正确的是( C)A.①③B.只有②C.②④D.③④考点3二次函数解析式的确定(含平移)12.[2020黑龙江哈尔滨]将抛物线y=x2向上平移3个单位长度,再向右平移5个单位长度,所得到的抛物线的解析式为( D)A.y=(x+3)2+5B.y=(x-3)2+5C.y=(x+5)2+3D.y=(x-5)2+313.[2020唐山路北区一模]如图,将函数y=(x+3)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(-4,m),B(-1,n)平移后的对应点分别为点A',B'.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式是( D)A.y=(x+3)2-2B.y=(x+3)2+7C.y=(x+3)2-5D.y=(x+3)2+414.[2020陕西]在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单位长度,则平移后得到的抛物线的顶点一定在( D)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限15.[2020浙江宁波]如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+4x-3图象的顶点是A,与x轴交于B,C两点,与y轴交于点D.点B的坐标是(1,0).(1)求A,C两点的坐标,并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.(2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.解:(1)把B(1,0)代入y=ax2+4x-3,得0=a+4-3,解得a=-1,∴y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴点A的坐标为(2,1).∵抛物线的对称轴为直线x=2,B(1,0),∴C(3,0),∴当y>0时,x的取值范围是1<x<3.(2)对于y=-x2+4x-3,令x=0,得y=-3,∴D(0,-3),∴将抛物线向右平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,点D移到点A处,故平移后图象所对应的二次函数的表达式为y=-(x-4)2+5.考点4二次函数与一元二次方程、不等式(组)的关系16.[2020贵州贵阳]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根,其中一个根是3,则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0<n<m)有两个整数根,这两个整数根是( B)A.-2或0B.-4或2C.-5或3D.-6或417.[2020湖北武汉]抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a<0)经过A(2,0),B(-4,0)两点.下列四个结论:①一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2,x2=-4;②若点C(-5,y1),D(π,y2)在该抛物线上,则y1<y2;③对于任意实数t,总有at2+bt≤a-b;④对于a的每一个确定值,若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数,p>0)的根为整数,则p的值只有两个.其中正确的结论是①③(填写序号).18.根据下列要求,解答相关问题.(1)请补全以下求不等式-2x2-4x≥0的解集的过程.①构造函数,画出图象:根据不等式特征构造二次函数y=-2x2-4x;抛物线的对称轴为直线x=-1,开口向下,顶点坐标为(-1,2) ,与x轴的交点是(0,0),(-2,0) ;用三点法画出二次函数y=-2x2-4x的图象如图(1)所示;②数形结合,求得界点:当y=0时,求得方程-2x2-4x=0的解为x1=0,x2=-2;③借助图象,写出解集:由图象可得不等式-2x2-4x≥0的解集为-2≤x≤0.图(1) 图(2)(2)利用(1)中求不等式解集的方法、步骤,求不等式x2-2x+1<4的解集.①构造函数,画出y=x2-2x+1的图象(在图(2)中画出);②数形结合,求得界点:当y=4时,求得方程x2-2x+1=4的解为x1=-1,x2=3 ;③借助图象,写出解集.由图象可知,不等式x2-2x+1<4的解集是-1<x<3.综合提升练（建议用时：40分钟）1.[2020四川南充]如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点,则实数a的取值范围是( A)A.≤a≤3B.≤a≤1C.≤a≤3D.≤a≤12.[2020广西玉林]把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换,所得图象的解析式为y=-a(x-1)2+4a,若(m-1)a+b+c≤0,则m的最大值是( D)A.-4B.0C.2D.63.[2020浙江宁波]如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是( D)A.abc<0B.4ac-b2>0C.c-a>0D.当x=-n2-2(n为实数)时,y≥c4.[2020四川南充]关于二次函数y=ax2-4ax-5(a≠0)的三个结论:①对任意实数m,都有x=2+m与x=2-m对应的函数值相等;②若3≤x≤4时,对应的y的整数值有4个,则-<a≤-1或1≤a<;③若抛物线与x轴交于不同的两点A,B,且AB≤6,则a<-或a≥1.其中正确的结论是( D)A.①②B.①③C.②③D.①②③5.[2020河南]如图,抛物线y=-x2+2x+c与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,且OA=OB,点G为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及点G的坐标;(2)点M,N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,点Q为抛物线上点M,N之间(含点M,N)的一个动点,求点Q的纵坐标y Q的取值范围.解:(1)∵抛物线y=-x2+2x+c与y轴正半轴交于点B,∴点B的坐标为(0,c),c>0.∵OA=OB,且点A在x轴正半轴上,∴点A的坐标为(c,0).∵抛物线y=-x2+2x+c经过点A,∴-c2+2c+c=0,解得c1=0(舍去),c2=3,∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴抛物线顶点G的坐标为(1,4).(2)抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=1.∵点M,N到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,∴点M的横坐标为-2或4,点N的横坐标为-4或6,∴点M的纵坐标为-5,点N的纵坐标为-21.又∵点M在点N的左侧,∴当点M的坐标为(-2,-5)时,点N的坐标为(6,-21),∴-21≤y Q≤4.当点M的坐标为(4,-5)时,点N的坐标为(6,-21),∴-21≤y Q≤-5.6.[2019北京]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.(1)求点B的坐标(用含a的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点P(,-),Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围. 解:(1)当x=0时,y=-,∴点A的坐标为(0,-),故将点A向右平移2个单位长度,得到的点B的坐标为(2,-).(2)由抛物线经过点A(0,-)和点B(2,-),可知抛物线的对称轴为直线x==1.(3)当a>0时,-<0,如图(1),易得此时线段PQ与抛物线没有交点.图(1) 图(2)当a<0时,->0,如图(2).∵抛物线不可能同时经过点A和点P,∴当点Q在点B上方或与点B重合时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点,即-≤2,解得a≤-.综上所述,当a≤-时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点.。
5.2二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y=ax^2 bx c的图像和性质(教学课件)-初中数
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
二次函数y=-x2-4x-5 的图像如图所示.
由图像可知， 当x=-2时， y的值最大， 最大值是-1.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
y＝
1 2
x2－6x＋21
y＝
1 2
(x2－12x)＋21
你知道是怎样配方的吗？ 1. “提”：提出二次项系数；
1 y＝ 2 (x2－12x＋36－36)＋21
y＝ 1 (x－6) 2＋21－18 2
2.“配”：括号内配成完全平方式；
a＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值；
4ac － b2
函数在顶点处取得有最大（小）值 4a
.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
练一练：用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式 为( B ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
例1 画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，并指出它的开口方向、顶点坐 标、对称轴、最大值或最小值. 【分析】要画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，可先将函数表达式变
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
将二次函数的解析式化成顶点式 ， 作出草图 ， 根据二次函数 的性质即可解答，数形结合是解决此类问题的常用方法．
二次函数与一元二次方程
【例2】已知y关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点．
(1)求k的取值范围；
(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x12＋2kx2＋k ＋2＝4x1x2.
A(0，－2)，B(3，4)． (1)求抛物线的表达式及对称轴；
(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物
线在A，B之间的部分为图象G(包含A，B两点)．若直线CD与图象G有 公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．
解：(1)y＝2x2－4x－2，对称轴x＝1
(2)由题意可知C(－3，－4)，二次函数y＝2x2－4x－2的最小
A．向左平移2个单位
B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位
D．向下平移2个单位
2．(2013·昭通)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的 图象如图所示，则下列结论中正确的是( B ) A．a＞0 B．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根 C．a＋b＋c＝0 D．当x＜1时，y随x的增大而减小
确定二次函数的解析式
1 【例3】(2014· 呼和浩特)如图，已知直线l的解析式为y＝ x－ 2 5 2 1，抛物线y＝ax ＋bx＋2经过点A(m，0)，B(2，0)，D(1， )三 4 点． (1)求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛 物线的大致图象； (2)已知点P(x，y)为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作 PE垂直x轴于点E，延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的 面积S表示为点P的横坐标x的函数，并求出S的最大值及S最大时点 P的坐标；
3．(2014·淄博)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点B(0， － 2) ， 它与反比例函数 y ＝－的图象交于点 A(m ， 4) ， 则这 个二次函数的解析式为( A )
A．y＝x2－x－2 B．y＝x2－x＋2
C．y＝x2＋x－2 D．y＝x2＋x＋2
1 4．(2014· 东营) 若函数 y＝mx ＋(m＋ 2)x＋ m＋ 1 的图象与 x 2 轴只有一个交点，那么 m 的值为( D ) A．0 B． 0 或 2 C． 2 或－2 D． 0， 2 或－ 2
4．抛物线y＝a(x－h)2＋k是由抛物线y＝ax2通过平移得到的，平移后的顶
点坐标为(h，k)．
二次函数的解析式
1．一般式：y＝________. 2．顶点式：y＝________. 3．交点式：y＝________.
二次函数与一元二次方程
b2－4ac＞0⇔抛物线与x轴有________个交点； b2－4ac＝0⇔抛物线与x轴有且只有________公 共点； b2－4ac＜0⇔抛物线与x轴________公共点．
1 3 ②如图，∵k＝－1，y＝－2x2＋2x＋1＝－2(x－ )2＋ 且－1≤ x≤ 1，∴由图 2 2 1 3 3 象可知：当 x＝－1 时，y 最小＝－3；当 x＝ 时，y 最大＝ ，∴y 的最大值为 ，最 2 2 2 小值为－3
二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 的图象与 x 轴的两个交点的横坐 标为x1，x2 ，即为一元二次方程 ax2＋bx ＋c＝0(a≠0)的两个根 ．
值为－4，由图象可以看出D点纵坐标最小值即为－4，最 大值即BC与对称轴交点的纵坐标，
4 4 4 易求直线 BC 的解析式 y＝ x，当 x＝1 时 y＝ ，－4≤t≤ 3 3 3
请完成本节对应练习
(3)将(2)中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任 意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．
1 1 解：(1)y＝－ x2－ x＋2， A(－4 ，0)，图象略 4 2
1 1 1 1 1 (2)S＝ AB· PF＝ × 6×[(－ x2－ x＋2)－( x 2 2 4 2 2
最大
3 3 －1)]＝－ x2－3x＋9＝－ (x＋2)2＋12，其中－4＜x＜0，∴S 4 4
纵坐标是函数的 ________值；当a＜0时，抛物线的开口向 ________， 顶点的纵坐标是函数的________值．
3．性质：当a＞0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而________，在对称
轴的右侧，y随x的增大而________；当a＜0时，在对称轴的左侧，y随 x的增大而________，在对称轴的右侧，y随x的增大而________．
2
5 ． (2014· 天津 ) 已知二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 的 图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋
c－m＝0没有实数根，有下列结论：①b2－4ac＞0
；②abc＜0；③m＞2ห้องสมุดไป่ตู้其中，正确结论的个数是
(D)
A．0 B．1 C．2 D．3
6．(2014·北京)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2＋mx＋n经过点
①求k的值；
②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．
解：(1)当 k ＝1 时，函数为一次函数 y＝－2x＋3，其图象与 x 轴有一个交点；当 k ≠ 1 时， Δ＝(－2k ) －4(k －1)(k＋2)≥ 0， 解得 k≤ 2， 即 k≤2 且 k≠ 1. 综上可知， k 的取值范围是 k≤ 2 (2)①∵ x1 ≠x2 ， 则由(1)知 k＜2 且 k≠ 1. 由题意得(k －1)x1 ＋(k ＋2)＝2kx1 ， 将其代入(k －1)x1
包 头 地 区
第三章
函数及其图像
第5节 二次函数的图像和性质
数 学
二次函数的定义
形如 y＝ __________________( 其中 a， b ， c是常数 ，a≠0)的函数，叫做二次函数．
二次函数的图象及性质
1．图象：二次函数的图象是________．
2．抛物线的开口与最值：当a＞0时，抛物线的开口向________，顶点的
二次函数的图象和性质
【例 1】(1)(2014· 新疆)对于二次函数 y＝(x－1) 2＋2 的图象，下列说法正确 的是( C ) A．开口向下 B．对称轴是 x＝－1 C．顶点坐标是(1，2) D．与 x 轴有两个交点 1 15 (2)已知二次函数 y＝－ x2－7x＋ .若自变量 x 分别取 x1，x2，x3 且 0＜x1＜ 2 2 x2＜x3，则对应的函数值 y1，y2，y 3 的大小关系正确的是( A ) A．y1＞y2＞y3 B．y 1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y 2＜y3＜y1
2 2 2
k ＋2 2k 2k ＋2kx2 ＋k ＋2＝4x1 x2 中，得 2k (x1 ＋x2 )＝4x1 x2 . ∵x1 ＋x2 ＝ ，x1 x2 ＝ ，∴2k · ＝ k －1 k －1 k －1 k ＋2 4· ，解得 k1 ＝－1，k 2 ＝2(不合题意，舍去)，故所求 k 值为－1 k －1
＝12，P(－2，2 )
(3)∵直线
1 1 1 PB 过 P(－2，2)和 B(2，0)，可求直线 PB 为 y＝－ x＋1，设 Q(a， a－1)是直线 y＝ x－1 上 2 2 2 1 1 1 任一点，∴Q 关于 x 轴对称点为(a，1－ a)，将(a，1－ a)代入 y＝－ x＋1，成立，∴一定在 2 2 2 PB 所在直线上
(1)将B，D两点坐标代入，可求出a，b的值；(2)由S四边形 PF可得S与x关系式，确定最大值；(3)求直线 PAFB＝AB· PB解析式，再将对称点的坐标代入检验，得出结论．
真题热身
1 ． (2014· 海南 ) 将抛物线 y ＝ x2 平移得到抛物线 y
＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的是( A )