发展精致思维 培养核心素养--对2017年高考新课标全国Ⅰ卷理数第20题的说题设计探究

发展精致思维　培养核心素养———对２０１７年高考新课标全国Ⅰ卷理数第２０题的说题设计探究周秋斓　（浙江省湖州市双林中学　３１３０１２） ２０１７年高考新课标全国Ⅰ卷理科数学的设计遵循了《普通高中数学课程标准》和《高考说明》的要求和阐述，紧密联系高中数学教学现状，关注数学本质，渗透数学学科核心素养，其中第２０题（解析几何题）也是高考热点问题———圆锥曲线定点问题．该类题型运算能力要求高、综合性强，是学生比较惧怕的问题之一．本文将对该题进行说题设计的探究．题目　已知椭圆犆：狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞犫＞０），四点犘１（１，１），犘２（０，１），犘３－１，槡３２（），犘４１，槡３２（）中恰有三点在椭圆犆上．（１）求犆的方程；（２）设直线犾不经过点犘２且与犆相交于犃，犅两点，若直线犘２犃与直线犘２犅的斜率的和为－１，证明：直线犾过定点．１　议审题扬帆起航１．１　题目背景这是一道典型的圆锥曲线定点问题，其考查的知识涉及解析几何的重点内容，通常借助方程的思想进行分析、解答，利用解方程或根与系数的关系求解，同时通过灵活利用图形的几何特征及代数表达式的特征逐步优化．这类试题的综合性和灵活性较强，主要考查学生解析几何的综合能力，难度中等，要求学生根据题目给出的条件发现知识点之间的联系，综合运用平面几何和解析几何的知识，运用数形结合的思想进行准确运算求解．１．２　条件分析第（１）问的分析：题目条件给了４个点，其中恰有三点在椭圆上，这时不能盲目地把这四个点都代入方程中．根据椭圆对称性，发现必过点犘３，犘４，又犘４横坐标为１，椭圆必不过点犘１，所以过犘２，犘３，犘４三点，从而得到椭圆方程．在计算之前，需要学生选择合适的点，这其实是考查了考生的推理论证能力．第（２）问的分析：可以从两个方向入手，分别由线切入及由点切入，寻找几何关系．由线切入的时候，可以先设直线犘２犃，犘２犅的方程，求出直线犃犅的方程；也可以直接设直线犃犅，寻找参数犽和犫的关系；还可以利用曲线的线性代换，得到犽犘２犃，犽犘２犅的参数关系．由点切入的时候，可以由定点入手，回扣条件，建立等式；也可以从点犃，犅入手，利用代数式特征进行优化．值得注意的是在用点斜式或斜截式设直线方程的时候，必须先分类讨论，考虑斜率的存在性．接下来就是解析几何常见的套路———联立、代入消元、用韦达定理和判别式．往下则对考生根据“运算目的”（算到哪里去？）选择运算对象（要算什么？）和方法（怎么算？）提高了要求．根据题目中的条件，我们可以引导学生借助思维导图（如图１）进行大胆的联想，并进行初步图１分析，把相关的知识点联系起来，看看能得到什么结论．有时候直接从条件出发去寻求最终结论的过程中会遇到困难，止步不前，这时我们不妨换个方向思考，把结论当作条件，大胆地联想，逐步分析获得相关结论．从题干条件出发得到的结论将会与从结论出发得到的相关结论交汇，从而有理有据地获得解决问题的思路，而不是凭感觉去尝试各种可能．引导学生在分析题目的时候利用思维导图进行充分联想，并进行双向思考与分析，既可以提高学生解决问题的能力，又可以培养学生的正向思考和逆向思考能力，促进学生思维的发展．２　觅方法多维解析第（１）问中由椭圆的对称性，可知点犘２，犘３，犘４在椭圆上，易得椭圆方程为狓２４＋狔２＝１．下面来探究第（２）问的思路．思路１　当直线犾的斜率不存在时，设犾的方程为狓＝犿，犃（犿，狔犃），犅（犿，－狔犃）．由犽犘２犃＋犽犘２犅＝狔犃－１犿＋－狔犃－１犿＝－２犿＝－１，得犿＝２，此时直线犾过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足题设条件．图２当直线的斜率存在时（如图２），设犾的方程为狔＝犽狓＋犫（犫≠１）．联立狔＝犽狓＋犫，狓２＋４狔２－４＝０，｛整理得（１＋４犽２）狓２＋８犽犫狓＋４犫２－４＝０，其中Δ＝１６（４犽２－犫２＋１）＞０．设犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２），则狓１＋狓２＝－８犽犫１＋４犽２，狓１·狓２＝４犫２－４１＋４犽２．于是犽犘２犃＋犽犘２犅＝狔１－１狓１＋狔２－１狓２＝狓２（犽狓１＋犫）－狓２＋狓１（犽狓２＋犫）－狓１狓１狓２＝８犽（犫－１）４（犫＋１）（犫－１）＝－１．又犫≠１，所以犫＝－２犽－１，此时Δ＝－６４犽＞０．所以直线犾的方程为狔＝犽狓－２犽－１，即狔＝犽（狓－２）－１，所以直线犾过定点（２，－１）．注意到点犘２的坐标为（０，１），故从直线犘２犃，犘２犅的方程切入，求出点犃，犅的坐标，再通过两点求出直线方程，从而确定定点．解题过程中利用犽１＋犽２＝－１，把式中括号部分均转换为只含参数犽１，目的是把方程转化为点斜式形式，给化简指明方向．思路２　分别设直线犘２犃，犘２犅的斜率为犽１，犽２，则犽１≠犽２且犽１＋犽２＝－１．于是犘２犃：狔＝犽１狓＋１，犘２犅：狔＝犽２狓＋１．由狔＝犽１狓＋１，狓２＋４狔２－４＝０，｛得到（１＋４犽２１）狓２＋８犽１狓＝０，解得狓１＝０，狓２＝－８犽１４犽２１＋１．从而犃－８犽１４犽２１＋１，１－４犽２１４犽２１＋１（）．同理可得犅－８犽２４犽２２＋１，１－４犽２２４犽２２＋１（）．因为犽１≠犽２，所以犽犃犅＝狔犃－狔犅狓犃－狓犅＝犽２２（４犽２１＋１）－犽２１（４犽２１＋１）犽２（４犽２１＋１）－犽１（４犽２２＋１）＝－犽１＋犽２４犽１犽２－１＝１４犽１犽２－１．（犽１≠犽２，且犽１＋犽２＝－１，所以４犽１犽２－１≠０．）所以直线犃犅的方程为狔－１－４犽２１４犽２１＋１＝１４犽１犽２－１狓＋８犽１４犽２１＋１（）．于是狔＝１４犽１犽２－１狓＋８犽１４犽２１＋１（）＋２４犽２１＋１－１＝１４犽１犽２－１（狓－２）－１．所以直线犾过定点（２，－１）．这种思路也很自然，不需要讨论直线犃犅的斜率，但是对运算要求较高，原因是直线犘２犃，犘２犅的方程中含有常数项．如果进行坐标平移，便可以把定点犘２变换到原点，并且不改变直线的斜率．思路３　将坐标系向上平移一个单位，将原点移至犘２点，则椭圆方程化为犆′：狓′２４＋（狔′＋１）２＝１，即１４狓′２＋狔′２＋２狔′＝０，设平移后直线犾对应的直线犾′为犿狓′＋狀狔′＝１．将平移后的椭圆犆′方程齐次化后，得狓′２４＋狔′２＋２狔′（犿狓′＋狀狔′）＝０，整理得（２狀＋１）狔′２＋２犿狓′狔′＋１４狓′２＝０，即（２狀＋１）狔狓（）２＋２犿狔狓（）＋１４＝０．结合犽１＋犽２＝－１，得－２犿２狀＋１＝－１，即２犿＝２狀＋１．因此，直线犾′：（２狀＋１）狓′＋２狀狔′＝２，犾′恒过点犕′（２，－２），从而在原坐标中直线犾过定点犕（２，－１）．思路４　设直线犘２犃：狔＝犽１狓＋１，犘２犅：狔＝犽２狓＋１，则犽１＋犽２＝－１．联立方程组狔＝犽１狓＋１，狓２＋４狔２－４＝０，｛得（１＋４犽２１）狓２＋８犽１狓＝０，从而犃－８犽１４犽２１＋１，１－４犽２１４犽２１＋１（）．同理得犅－８犽２４犽２２＋１，１－４犽２２４犽２２＋１（）．假设直线犾过定点犕（犪，犫），由犃，犅，犕共线，从而犫－－４犽２１＋１４犽２１＋１犪＋８犽１４犽２２＋１＝犫－－４犽２２＋１４犽２２＋１犪＋８犽２４犽２２＋１恒成立．又因为犽１＋犽２＝－１，所以（４犫＋４）犽２１＋犫－１４犪犽２１＋８犽１＋犪＝（４犫＋４）犽２１＋（８犫＋８）犽１＋５犫＋３４犪犽２１＋（８犪－８）犽１＋５犪－８．因为上式恒成立，所以展开后等号两边对应的犽４１，犽３１，犽２１，犽１的系数以及常数项相等，可得犪＝２，犫＝－１，因此直线犾过定点（２，－１）．考虑到思路１利用点犃，犅的坐标求出直线犃犅的方程，所得直线方程形式复杂，不易得到定点，于是通过点犃，犅，犕共线这种几何关系来优化，从而得到恒等式．再利用对应部分系数相等，得到定点坐标．思路５　设直线犾过定点犕（犿，狀），此点不为点（０，１），当直线犾的斜率不存在时，直线犾的方程为狓＝犿，不妨记为犃犿，４－犿槡２２烄烆烌烎，犅犿，－４－犿槡２２烄烆烌烎．根据题意，得４－犿槡２２－１犿＋－４－犿槡２２－１犿＝－１，解得犿＝２，此时犃（２，０），犅（２，０），不合题意．当直线犾的斜率存在时，设直线犾的方程为狔－狀＝犽（狓－犿），其中狀－犽犿≠１，犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２），由狔－狀＝犽（狓－犿），狓２＋４狔２－４＝０，｛得（１＋４犽２）狓２＋８犽（狀－犽犿）狓＋４［（狀－犽犿）２－１］＝０．由Δ＞０可得４犽２－（狀－犽犿）２＋１＞０，从而狓１＋狓２＝－８犽（狀－犽犿）１＋４犽２，狓１·狓２＝４［（狀－犽犿）２－１］１＋４犽２．又直线犘２犃与直线犘２犅的斜率之和为－１，得狔１－１狓１＋狔２－１狓２＝－１，即犽狓１＋狀－犽犿－１狓１＋犽狓２＋狀－犽犿－１狓２＝－１，亦即（２犽＋１）狓１狓２＋（狀－犽犿－１）（狓１＋狓２）＝０，从而４（２犽＋１）［（狀－犽犿）２－１］１＋４犽２－８犽（狀－犿犽）（狀－犽犿－１）１＋４犽２＝－１．化简得（狀－犽犿－１）［（２－犿）犽＋１＋狀］＝０．因为狀－犽犿≠１，所以（２－犿）犽＋１＋狀＝０．又犿，狀是定值，犽是变量，得２－犿＝０，１＋狀＝０，解得犿＝２，狀＝－１，故直线犾过定点（２，－１）．从结论中的定点切入，通过定点在直线上，反设直线犾的方程及点犃，犅的坐标，再利用直线犘２犃与直线犘２犅的斜率之和为－１，建立等式，求出定点坐标．３　品思维赏析试题３．１　题目价值解析几何的解答题一直以来都是各地数学高考试题中占有很大分量的题目，不仅涉及的综合内容多、运算量大，而且承载着方程、转化与化归、数形结合等思想方法的考查任务．在解决本题后，将促进学生掌握相关知识，提高学生对平面几何知识和解析几何知识的认识和两者之间相互转化的能力．经历问题的解决过程，发展学生运用思维导图分析问题、挖掘信息、寻求解题策略的能力．同时通过对题目进行变式与拓展，挖掘问题的本质，总结规律，使学生能够“解一道，会一片”，改善学生解题的质量，提高学生对求解解析几何解答题的自信心和能力。

图３另外，我们还可以深挖该题的背景性质，由计算的结果发现，这个定点恰好是如图３的椭圆的平行于坐标轴的“外切矩形”的一个顶点．椭圆的“外切矩形”的外接圆是大名鼎鼎的“蒙日圆”．在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，半径等于长半轴、短半轴平方和的算数平方根，这个圆叫蒙日圆．它也曾出现在高考题中，如２０１４年高考广东卷２０题：已知椭圆犆：狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞犫＞０）的一个焦点为（槡５，０），离心率为槡５３．（１）求椭圆的标准方程；（２）若动点犘（狓０，狔０）为椭圆外一点，且点犘到椭圆犆的两条切线互相垂直，求点犘的轨迹方程．３．２　高考链接纵观历年的高考题，圆锥曲线综合题往往具有“雷同”现象，比如，定点、定值问题是常考常新，常新常考．在２０１７年全国各地的高考题中，定点、定值问题也是考得最多的，即使有些问题看似毫不相干，但通过转化也会发现它们属于同一类问题．这就要求教师在教学中要有意识地引导学生关注“形异实同”的问题，可以将那些相近、相似的问题设计成题组，运用类比思想系统地加以研究，进而揭示其本质，然后“集中火力逐一攻克”；也可以引导学生深入探究，通过改变条件和结论思考题目背后的一般结论，再练习变式，由掌握一道题到掌握一类题．４　谈变式引申拓展数学家波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们在成堆地生长，找到一个以后，你就应当在周围找一找，很可能附近就有好几个．”我们在解决了一道题目后，应该想想它背后隐藏的一般规律．我们可以先进行互动探究，再层层深入，由特殊到一般，得出推广的性质与结论．４．１　题目的探究引申探究１　题中命题的逆命题是否成立呢？即直线犾过定点（２，－１），证明：直线犘２犃与直线犘２犅的斜率之和为－１．这样便得到：过椭圆狓２４＋狔２＝１上的一点犘（０，１）作两条直线分别与椭圆交于犃，犅两点，则犽犘犃＋犽犘犅＝－１的充要条件是直线犃犅过定点（２，－１）．探究２　此结论对一般的椭圆狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞犫＞０）是否成立？即过点犘（０，犫）作两条直线分别与椭圆狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞犫＞０）交于犃，犅两点，若犽犘犃＋犽犘犅＝犿（定值），直线犃犅是否过定点？它的逆命题是否成立呢？这样便得到：过椭圆狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞犫＞０）上的一点犘（０，犫）作两条直线分别与椭圆交于犃，犅两点，则犽犘犃＋犽犘犅＝犿（犿≠０）的充要条件是直线犃犅过定点－２犫犿，－犫（）．探究３　此结论对一般的椭圆狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞犫＞０）上任意定点犘（狓０，狔０）是否成立？即过狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞犫＞０）上的定点犘（狓０，狔０）作两条直线分别与椭圆交于犃，犅两点，若犽犘犃＋犽犘犅＝犿（定值），直线犃犅是否过定点？它的逆命题是否成立呢？这样便得到：过椭圆狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞犫＞０）上的定点犘（狓０，狔０）作两条直线分别与椭圆交于犃，犅两点，则犽犘犃＋犽犘犅＝犿（犿≠０）的充要条件是直线犃犅过定点狓０－２狔０犿，－２犫２狓０犿犪２－狔０（）．探究４　把椭圆狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞犫＞０）中的犫２换成－犫２，是否可以类似地得到双曲线的相应结论呢？另外，抛物线是否也有类似结论呢？这样便可以得到：过双曲线狓２犪２－狔２犫２＝１上的定点犘（狓０，狔０）作两条直线分别与双曲线交于犃，犅两点，则犽犘犃＋犽犘犅＝犿（犿≠０）的充要条件是直线犃犅过定点狓０－２狔０犿，２犫２狓０犿犪２－狔０（）．过抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）上的定点犘（狓０，狔０）作两条直线分别与抛物线交于犃，犅两点，则犽犘犃＋犽犘犅＝犿（犿≠０）的充要条件是直线犃犅过定点狓０－２狔０犿，２狆－狔０犿（）．探究５　过狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞犫＞０）上的定点犘（狓０，狔０）作两条直线分别与椭圆交于犃，犅两点，若犽犘犃·犽犘犅＝犿（定值），直线犃犅是否过定点？它的逆命题是否成立呢？这样便得到：过椭圆狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞犫＞０）上的定点犘（狓０，狔０）作两条直线分别与椭圆交于犃，犅两点，则犽犘犃·犽犘犅＝犿犿≠犫２犪２（）的充要条件是直线犃犅过定点（犫２＋犿犪２）狓０犿犪２－犫２，（犫２＋犿犪２）狔０犫２－犿犪２（）．探究６　探究５中的结论对双曲线狓２犪２－狔２犫２＝１和抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）是否也成立呢？这样便得到：过双曲线狓２犪２－狔２犫２＝１上的定点犘（狓０，狔０）作两条直线分别与双曲线交于犃，犅两点，则犽犘犃·犽犘犅＝犿犿≠犫２犪２（）的充要条件是直线犃犅过定点－（犫２－犿犪２）狓０犿犪２＋犫２，（犫２－犿犪２）狔０犫２＋犿犪２（）．过抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）上的定点犘（狓０，狔０）作两条直线分别与抛物线交于犃，犅两点，则犽犘犃·犽犘犅＝犿犿≠犫２犪２（）的充要条件是直线犃犅过定点狓０－２狆犿，－狔０（）．当然，在解题教学中，我们不能直接把性质抛给学生，让学生套用性质解题，而是先要让学生尝试解题，然后通过类比发现性质，最后再利用性质训练解决其他类似的问题．这样就实现了“解一题，会一法，通一类”的目的．４．２　题目的变式拓展通过对上述结论的探究，我们进一步认识到椭圆、双曲线、抛物线等曲线，除了自身存在一定的规律性外，圆锥曲线之间也存在一定的规律性．所以说，解题重在解、贵在思．解答题目本身是表象，推广、变式和提升才能真正体现命题人的意图，发掘其真正的内含，探索出新的规律性结论并用于教学中，才可以真正深化思维，优化解法，提升解题效率．下面给出几个变式：变式１　已知椭圆犈：狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞犫＞０）的离心率犲＝槡２２，左、右焦点分别为犉１，犉２，抛物线狔２＝槡４２狓的焦点犉恰好是该椭圆的一个焦点．（１）求椭圆犈的方程．（２）过圆犗上动点犙作椭圆的两切线，斜率分别为犽１，犽２，问：是否存在点犙，使犽１＋２犽２＝０？若存在，求出点犙的坐标；若不存在，请说明理由．变式２　已知椭圆犆：狓２犪２＋狔２＝１（犪＞１），圆犗：狓２＋狔２＝犪２，过原点的射线与椭圆犆和圆犗分别交于犕，犖两点，且犕犖的最大值是１．（１）求犪的值．（２）过圆犗上动点犙作椭圆的两切线，斜率分别为犽１，犽２，问：是否存在点犙，使犽１＋２犽２＝０？若存在，求出点犙的坐标；若不存在，请说明理由．图４变式３　（２００５年江西省高考题）如图４，犕是抛物线狔２＝狓上的一点，动弦犕犈，犕犉分别交狓轴于犃，犅两点，且犕犃＝犕犅．（１）若犕为定点，证明直线犈犉的斜率为定值；（２）若犕为动点，且∠犈犕犉＝９０°，求△犈犕犉的重心犌的轨迹方程．图５变式４　（２０１１年全国高中数学联赛试题）作斜率为１３的直线犾与椭圆犆：狓２３６＋狔２４＝１交于犃，犅两点（如图５所示），且犘（槡３２，槡２）在直线犾的左上方．（１）证明△犘犃犅的内切圆的圆心在一条定直线上；（２）若∠犃犘犅＝６０°，求△犘犃犅的面积．５　论启示服务教学５．１　发展精致思维，注重导图构建数学教学理论离不开解题教学，解题教学的目的不是训练学生的刷题能力，不是教会学生如何做题，而是教会学生如何分析题意，如何在众多的题目信息中筛选出有用信息并有效利用这些信息解决实际问题，从而提升学生的思维能力．５．２　渗透数学思想，培养学科素养在平时的教学中，我们应该以培养数学学科核心素养为前提，渗透基本数学思想，提高学生学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，培养良好的数学学习习惯，引导学生认识数学的科学、应用和人文价值．逐步学会用数学的眼光去观察世界，发展数学抽象、直观想象素养，用数学的思维分析世界，发展逻辑推理、数学运算素养，用数学的语言表达世界，发展数学建模、数据分析素养，增强创新意识和数学应用能力．。