2019-2020学年安徽省阜阳市颍州区第三中学高二上学期期末数学(理)试题(含答案解析)

2019-2020学年安徽省阜阳市颍州区第三中学高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．设集合{}=1,4A ，{}2=4+3=0B x x x -，则A B =I （ ）A ．{}3B ．{}13，C ．{}1,4D ．{}1【答案】D【解析】解一元二次方程化简集合3{}1,B =，再对集合,A B 进行交集运算. 【详解】因为{}{}2=4+3=01,3B x x x -=，{}=1,4A ，所以{}1A B ⋂=. 故选：D. 【点睛】本题考查一元二次方程求解、集合交运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 2．i 为虚数单位，则3+1ii=+（ ）A ．2BC ．3D【答案】B 【解析】先对复数3+1ii+进行除法运算，再计算模长即可得到答案. 【详解】 因为3+(3+)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i --===-++-，所以3+|2|1ii i=-=+. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算、模的求解，考查基本运算求解能力，属于基础题. 3．命题“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”的否定是（ ）A ．不存在32,10x R x x ∈-+≤B ．存在32,10x R x x ∈-+≥C ．存在32,10x R x x ∈-+>D ．对任意的32,10x R x x ∈-+>【答案】C【解析】利用全称命题的否定为特称命题，直接进行求解. 【详解】全称命命题“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”，命题的否定为：存在32,10x R x x ∈-+>. 故选：C. 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，求解时注意全称命题的否定为特称命题，任意要改成存在，同时对结论进行否定.4．若函数()13,127,1x x f x x x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪+->-⎩，则()8f f -=⎡⎤⎣⎦（ ） A ．2- B ．2C ．4-D ．4【答案】C【解析】利用分段函数的解析式，先计算()8f -，再计算()8f f -⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】因为()138(8)2f -=--=， 所以()28(2)2742f f f -==+-=-⎡⎤⎣⎦. 故选：C. 【点睛】本题考查分段函数函数值的求解、分段函数的解析式，考查基本运算求解能力，属于基础题.5．方程22142x y m m+=+-表示椭圆的必要不充分条件是（ ）A ．()1,2m ∈-B ．()4,2m ∈-C ．()()4,11,2m ∈--⋃-D ．()1,+m ∈-∞【答案】B【解析】根据题意得，所选择的“正确选项”是方程22142x y m m +=+-表示椭圆的必要不充分条件；再把方程22142x y m m+=+-表示椭圆的充要条件求出，再根据集合间的关系，即可得到答案. 【详解】方程22142x ym m +=+-表示椭圆的充要分条件是402042m m m m+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩， 解得：(4m ∈-，1)(1--⋃，2)，所以(4m ∈-，1)(1--⋃，2)是正确选项的真子集， 对照四个选项，只有()4,2-符合. 故选：B. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，充分条件、必要条件的定义，属于中档题． 6．以下四个命题中正确的是（ ）A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B ．若{},,a b c r r r 为空间向量的一组基底，则{,,}a b b c c a +++r r r r r r构成空间向量的另一组基底C ．ABC ∆为直角三角形的充要条件是0AB AC ⋅=u u u r u u u rD ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 【答案】B【解析】根据空间向量基底的定义：任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，逐一分析A ，B ，D 可判断这三个结论的正误；根据向量垂直的充要条件，及直角三角形的几何特征，可判断C 的真假. 【详解】对A ，空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示，A 中忽略三个基底不共面的限制，故A 错误；对B ，若{},,a b c r r r 为空间向量的一组基底，则,,a b c r r r三个向量互不共面；则,,a b b c c a +++r r r r r r ，也互不共面，故{,,}a b b c c a +++r r r r r r可又构成空间向量的一组基底，故B 正确；对C ，0AB AC ABC ⋅=⇔∆u u u r u u u r的A ∠为直角ABC ⇒∆为直角三角形，但ABC ∆为直角三角形时，A ∠可能为锐角，此时0AB AC ⋅>u u u r u u u r，故C 错误；对D ，任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，三个向量不共线时可能共面，故D 错误； 故选：B ． 【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查空间向量的基底概念、向量垂直的充要条件，考查对概念的理解与应用，属基础题．7．某班有60名学生，一次考试的成绩ξ服从正态分布()290,5N ，若()80900.3P ξ≤<=，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（ ）A ．12B ．20C ．30D ．40【答案】A【解析】利用正态分布曲线关于90x =对称，从而求得()90100P ξ≤<的值，进而求得()100P ξ>的概率值，即可得到答案. 【详解】因为ξ服从正态分布()290,5N ，所以()8090P ξ≤<=()90100P ξ≤<0.3=， 所以()()18010010.61000.222P P ξξ-≤<->===，所以该班数学成绩在100分以上的人数为600.212⨯=（人）. 故选：A. 【点睛】本题考查正态分布曲线的应用，求解时注意利用曲线的对称性，同时注意一个端点值不影响概率值，考查逻辑推理能力和运算求解能力.8．点(2,1)A 到抛物线2y ax =准线的距离为1，则a 的值为（ ） A ．14-或112-B ．14或112C ．4-或12-D ．4或12【答案】C【解析】因为抛物线的标准方程为2y ax =，若0a >，则准线方程为4ax =-，由题设可得214a+=，则4a =-，不合题意，舍去；若0a <，则准线方程为4a x =-，由题设可得214a+=，解之得4a =-或12a =-，应选答案C 。

9．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如下数据：由表中数据求得y 关于x 的回归方程为ˆˆ0.65yx a =+，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ） A ．25B ．35C ．34D ．12【答案】A【解析】求出样本点的中心，求出ˆa的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个，求出概率即可． 【详解】Q 8x =， 3.4y =，故3.40.658ˆa=⨯+，解得： 1.8a =-， 则0.65.8ˆ1yx =-， 故5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个， 故所求概率是25p =， 故选：A ． 【点睛】本题考查回归方程概念、概率的计算以及样本点的中心，考查数据处理能力，是一道基础题．10．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种B ．60种C ．42种D ．25种【答案】C【解析】给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区，则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1343C C ⋅；第2社区2个、第3社区安排2个，共2242C C ⋅；第2社区3个，第3社区安排1个，共1141C C ⋅；故所有安排总数为1322114342413()42C C C C C C ⨯⋅+⋅+⋅=.故选：C. 【点睛】本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.11．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是（ ）A ．516B ．1132C ．1564D ．1116【答案】C【解析】分别计算所有“重卦”和恰有2个阳爻的“重卦”种数，根据古典概型概率计算公式求得结果. 【详解】所有“重卦”共有：62种；恰有2个阳爻的情况有：26C 种∴恰有2个阳爻的概率为：26615264C p ==本题正确选项：C 【点睛】本题考查古典概型中的概率求解问题，属于基础题.12．设函数()f x 在R 上存在导数(),f x x '∀∈R ，有2()()f x f x x -+=，在(0,)+∞上()f x x '<，若(4)()84f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围为 A ．[2,2]- B ．[2,)+∞C ．[0,)+∞D ．(,2][2,)-∞-+∞U【答案】B【解析】令g (x )=f (x )−12x 2， 则()()0g x g x +-= ，函数是奇函数， 且()00g = ，在()0,+?上，()()''0g x f x x =-< ，函数()g x 单调递减，由题意可得g (x )在R 递减， ∴f (4−m )−f (m )=g (4−m )+12 (4−m )2−g (m )−12m 2=g (4−m )−g (m )+8−4m ⩾8−4m ， ∴g (4−m )⩾g (m )， ∴4−m ⩽m ， 解得：m ⩾2， 故选：B.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．二、填空题 13．()12xex dx +⎰= ______ ．【答案】e【解析】利用积分运算得()121002()|xx ex dx e x +=+⎰，计算可得答案.【详解】 因为()12102()|xx ex dx e x +=+⎰(1)1e e =+-=. 故答案为：e . 【点睛】本题考查积分的运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.14．512x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，1x 的系数为______． 【答案】40【解析】利用二项式定理的展开式5151(2)(),(0,1,,5)rrr r T C x r x-+==L ，当3r =时，可求得1x的系数. 【详解】 因为5151(2)(),(0,1,,5)rrr r T C x r x-+==L ， 所以5213r r -=-⇒=时，323345511(2)()4T C x C xx==⋅⋅， 所以1x的系数为41040⨯=. 故答案为：40. 【点睛】本题考查二项式定理指定项的系数，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意r 计算的准确性.15．已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点，,P Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点()5,0A 在线段PQ 上，则PQF ∆的周长为________. 【答案】44 【解析】【详解】由题意因为PQ 过双曲线的右焦点(5，0)， 所以P ，Q 都在双曲线的右支上， 则有6,6FP PA PQ QA -=-=，两式相加，利用双曲线的定义得28FP FQ +=，所以△PQF 的周长为284FP FQ PQ b ++=+=28＋16＝44. 故答案为44.16．“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：1,1,2,3,5,8,,L 即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{}n a 为“斐波那契”数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则（1）7S =__________；（2）若2021a m =，则2019=S __________．（用m 表示）【答案】33. 1m -【解析】（1）写出前7项，进行求和，即可得出结论；（2）迭代法可得2123211n n n n n a a a a a a a +---=+++++++L ，可得201920211S a =-，将2021a m =代入计算可得答案. 【详解】（1）71123581333S =++++++=.（2）211121n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +-----=+=++=+++1232n n n n n a a a a a ----=++++=L L 123211n n n n a a a a a a ---=+++++++L ，所以2019202111S a m =-=-. 故答案为： 33；1m -. 【点睛】本题以“斐波那契”数列为背景，考查数列的递推关系、前n 项和与通项的关系，考查方程思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是灵活运用递推关系.三、解答题17．设P ：函数ln y x ax =-在(]0,1上单调递增，Q ：关于x 的不等式20ax x a -+>的解集为R.（1）如果“P 且Q ”为真，求a 的取值范围．（2）如果P 和Q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．【答案】(1)112a <≤；(2) 12a ≤或1a >.【解析】（1）对P ，Q 分别为真时，求出a 的范围，再取交集即可；（2）当P 和Q 有且仅有一个正确时，即P 真Q 假或P 假Q 真，再利用集合的运算即可. 【详解】 当P 为真时，'10y a x =-≥在(]0,1x ∈恒成立，所以min 1()1a x≤=； 当Q 为真时，20,1140,2a a a >⎧⇒>⎨∆=-<⎩； (1) 当“P 且Q ”为真时，即P 为真，Q 为真，所以112a <≤；(2) 当P 和Q 有且仅有一个正确时，即P 真Q 假或P 假Q 真，所以1,1,2a a ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩或1,1,2a a >⎧⎪⎨>⎪⎩解得：12a ≤或1a >. 【点睛】本题考查导数的运用、一元二次函数与简易逻辑问题的交会，考查函数与方程思想、分类讨论思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意端点的取值. 18．设函数()()2112xf x x e x =++， （1）求函数()f x 在[]2,0x ∈-上的值域 （2）设()2112g x x x a ⎛⎫=++⎪⎝⎭，若方程()()f x g x =有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）11,0][2e --；（2）0a <或1a e=. 【解析】（1）对函数进行求导得()()1(1)xf x e x '=++，再根据导数不等式求得单调区间和极值，并与区间端点函数值比较，从而得到函数在闭区间的最值，从而得到函数的值域；（2）由()()f x g x =知：21xxe x a=，显然0x =是其一个根，所以方程()()f x g x =有两个不相等的实数根等价于方程x xa e=有且仅有一个根且不为0，再利用导数研究()x xg x e=的最值和单调性，从而得到参数的取值范围.【详解】（1）()()11(1)x x xf x e xe x e x '=+++=++，令()0f x '=，则1x =-当1x >-时，()0f x '>,所以()f x 在[1,0]-上递增 当1x <-时，()0f x '<,所以()f x 在[2,1]--上递减因为2112(1),(2),(0)02f f f e e -=---=-=， 所以函数()y f x =的最小值为112e --，最大值为0，所以函数()y f x =的值域是11,0][2e --.（2）由()()f x g x =知：21xxe x a=，显然0x =是其一个根，所以方程()()f x g x =有两个不相等的实数根等价于方程xxa e =有且仅有一个根且不为0； 令()x x g x e =.()21()x xx x e xe xg x e e '--==， 易知()g x 在(,1)x ∈-∞递增，在(1,)x ∈+∞递减, 当0x >时，()0>g x ,且1(1)g e=， 若方程x xa e=有且仅有一个根且不为0， 所以0a <或1a e=.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值、根据方程根的个数求参数的值，考查数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将方程根的问题转化为图象交点问题.19．如图，在四棱锥A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE ，90,2,1,2CDE BED AB CD DE BE AC ︒∠=∠======．（1）证明：AC ⊥平面BCDE ； （2）求二面角B AD E --的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）6π． 【解析】（1）由面面垂直的性质定理得到到线面垂直；（2）以D 为原点，分别以射线,DE DC 为,x y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -如图所示，可得平面ADE 的法向量(0,1,2)m =-r，平面ABD 的法向量(1,2)n =-r，求出法向量的夹角的余弦值，进而得到二面角B AD E --的大小.【详解】（1）在直角梯形BCDE 中，由1,2DE BE CD ===得，2BD BC ==由2,2AC AB ==，则222AB AC BC =+，即AC BC ⊥，因为平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC I 平面BCDE BC =，AC ⊂平面ABC ， 所以AC ⊥平面BCDE .（2）以D 为原点，分别以射线,DE DC 为,x y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -如图所示，由题意可知各点坐标如下：(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,2),(1,1,0)D E C A B ，设平面ADE 的法向量为()111,,m x y z =r ，平面ABD 的法向量为()222,,n x y z =r，可算得(0,2,2),(1,1,0),(1,2,2)AD DB AE =-==-u u u r u u u r u u u r，由00m AD m AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r 得，111110220220y z x y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，可取(0,1,2)m =r ，由00n AD n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r 得，222202200y z x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，可取(1,2)n =-r ，于是||3cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉==r r r rr r ，由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B AD E --的大小是6π． 【点睛】本题考查面面垂直、线面垂直的转化、向量法求二面角的大小，考查转化与化归思想的应用，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意建系要符合右手法则.20．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下： 品牌 甲乙首次出现故 障时间x (年) 0<x ≤1 1<x ≤2 x >2 0<x ≤2 x >2 轿车数量(辆) 2345545每辆利润 (万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率．(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．【答案】（1）110（2）X1的分布列为X112 3P125350910X2的分布列为X2 1.8 2.9P110910（3）甲品牌轿车【解析】(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝23 50＝110.(2)依题意得，X1的分布列为X112 3P 125350910X2的分布列为X2 1.8 2.9P110910(3)由(2)得E(X1)＝1×125＋2×50＋3×10＝50＝2．86(万元)，E(X2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．21．如图，椭圆经过点，且离心率为.(I)求椭圆的方程；(II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），问：直线与的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由。