确定使距离和最短的点的位置
一点到两点的距离和最小值
一点到两点的距离和最小值在数学中，一点到两点的距离和最小值是一个常见的问题。
这个问题经常出现在几何学、优化理论和数据分析中，具有广泛的应用。
首先，让我们来看看一点到两点的距离是什么。
在二维空间中，我们可以用勾股定理来计算两点之间的距离。
设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2,y2)，则点A到点B的距离可以表示为√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
同样地，在三维空间中，点A到点B的距离可以表示为√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)。
根据这个公式，我们可以计算出任意两点之间的距离。
那么，一点到两点的距离和最小值是什么意思呢？它表示的是，在给定的一组点中，选择一个点，使得这个点到其余两个点的距离之和最小。
这个问题可以用于解决很多实际问题，比如在城市规划中选择最佳的交通枢纽位置，或者在物流中选择最佳的仓库位置等。
接下来，我们将介绍一些具体的应用例子，以帮助读者更好地理解一点到两点的距离和最小值的概念。
首先，我们考虑一个城市规划的问题。
在一个城市中，有多个居民区和商业区，我们需要选择一个位置建设一个公园，以方便居民休闲和娱乐。
我们可以将居民区和商业区视为点集，然后利用一点到两点的距离和最小值的概念来选择最佳的公园位置。
具体做法是，计算每个点到其余两个点的距离之和，然后选择使得这个距离和最小的点作为公园的位置。
这样，我们就能够选择一个最佳的位置，以满足尽量多的居民和商业区的需求。
其次，我们考虑一个物流优化的问题。
在一个物流系统中，有多个仓库和多个客户，我们需要选择一个仓库位置，以最小化物流成本。
同样地，我们可以将仓库和客户视为点集，然后利用一点到两点的距离和最小值的概念来选择最佳的仓库位置。
具体做法是，计算每个点到其余两个点的距离之和，然后选择使得这个距离和最小的点作为仓库的位置。
通过这种方法，我们就能够降低物流成本，提高物流效率。
点到直线的最短距离
点到直线的最短距离
在几何中，最短距离是一个重要的概念。
点到直线的最短距离即是求点到直线上任意一点的距离。
下文将详细介绍如何求取点到直线的最短距离。
一、基本概念
1. 点：一个具有特定坐标的位置。
2. 直线：由两个点构成的直线，可以用斜率-b/a形式表示。
二、点到直线的最短距离
1. 计算几何方法
该问题可以通过计算几何的方法来解决，计算方法如下：
由斜截式y=mx+b，将点的坐标格式化为（x,y），求得两点之间的距离为：
dmin=| (mx-y+b)/(sqrt(m^2+1))|
2. 向量方法
该问题也可以用向量方法来解决。
由直线由两个方程构成：
aX+bY+c=0
ax+by=c
将点的坐标转化为A(x,y),将方程式中的参数减去向量，即可将上述方
程通过计算向量的模长，即可得出点到直线的最短距离：
dmin=|((b^2+a^2).x-aby-ac) / (b^2+a^2)|
三、总结
本文介绍了如何求取点到直线的最短距离的两种方法：计算几何的方
法和向量的方法。
用计算几何的方法可以更精确的求取最短距离，而
向量方法可以更快速地计算出结果，比较适合大规模计算。
通过本文，任何想要计算点到直线的最短距离的人理解了两种方法，就可以根据
自身需要来选择最适合自己的方法去计算两点间的最短距离。
到两点的距离和最短问题的应用
到两点的距离和最短问题的应用作者：廖华彬来源：《世纪之星·交流版》2016年第03期[摘要]到两点距离和最短问题，在生产生活和学习中都有着广泛的应用。
解决到两点距离和最短问题，在培养学生的“四基”、创新思维和应用数学解决实际问题方面有着不可替代的作用。
[关键词]矩离和最短；轴对称；最小值；应用例1：如图1-1所示，直线l的同侧有A、B两点，在直线l上求作一点P，使AP+BP值最小。
[简析]这个问题，我们把它简称为“到两点的矩离和最短问题”。
要求AP+BP最小值，很容易联想到“两点之间，线段最短”。
如何使AP和BP在一条线上呢？可以尝试通过轴对称变换达到目的。
[略解]如图1-2，作点A关于直线l的对称点C，连接CB交直线l于P；则点P就是所要求作的点。
这种方法，我们称它为“轴对称法”。
[略证]如图1-2，在直线l上另任取一点D，连接AD、CD、BD，根据“三角形两边之和大于第三边”易知，AP+BP值最小。
[概括]这道题可概括为一个数学模型：到一直线同侧两点矩离和最短的点，就是其中一点关于这条直线的对称点与另一点的连线和这条直线的交点。
此模型是图形与几何中的到两点的矩离和最短问题，解这类问题的思想和方法在生产生活和学习中都有着广泛的应用。
解决到两点距离和最短问题，在培养学生的“四基”、创新思维和解决实际问题方面有着不可替代的作用。
一、基础应用例2：（2005南充中考题）点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，M、N 分别是AB、BC边上的中点，MP+MP的最小值是（）[简析]根据题意画出图2-1来，由图2-1很容易想到这实际上是在AC上求点P使到点M、N的矩离和最短；从而用轴对称法，由图2-2易求得MP+MP的最小值是1，所以选B。
例3：（2007湖北荆门中考题）如图1-1，要在河边修建一个水泵站，分别向A、B两村送水，水泵站应修建在河边的什么地方，可使所用的水管最短？[简析]这是生活中的一个实际问题，我们可以把它提炼概括为一个数学问题：实际上就是在直线上求作一点，使它到点A、B两点的矩离和最小。
在直线上找一点使它到直线同侧两点的距离和最小教学初探
在直线上找一点使它到直线同侧两点的距离和最小教学初探几何作图是几何基础知识的基本要求，而在初中几何作图中，最值问题的作图是比较困难的作图，这类题型是历年来中考数学的热点，备受青睐，而这类题型比较贴近生活实际，创意新颖设计巧妙，很能激起学生的学习兴趣，也能考查学生的综合能力，也正是因为综合知识的运用，所以往往比较难以想到求作方法，如人教版八年级上册第42页探究题就是这类最值问题。
课本探究题：如图要在燃气管道1上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用输气管最短？（图1）我们可以把管道1近似看作一条直线，问题就是在l上找一点C，使AC与CA的和最小，即在直线上确定一点，使它到直线同侧两点的距离这和最小，这是最常见的最值问题，如图2，课本是这样处理的：以1为对称轴做A（或B）的对称点A′（或B′），连结A′B（或AB′）？交l于C点？？，C即所求点证明如图3为了证明点C的位置就是所求，我们不妨在直线1上另外取一点C′.连接AC′，BC′，A′C′.因为直线l是点A、A′的对称轴，点C，C′在L上，所以CA=CA′，C’A=C′A′.A C+CB=A′C+CB=A′B在AA′BC′中，∵A’B<A′C′+C′B.∴AC+CB<AC′+C′B。
即AC+CB最小。
如果按照课本上方法直接去作图，学生很难理解为什么这样作图，为什么这么点是最点。
但是稍作改动，设想如果两个点在管道的两旁如下图如何作图？这样问题就简单化了，很多同学都可以马上回答：连接A、B两点交l于C，点C即为所求。
为什么？那是因为两点之间线段最短。
假如这两个镇在管道的同侧呢，又如何确定这个泵站的位置？能否把A镇或者B镇移到管道的另一侧去呢？如图4.实际上可行吗？那怎么办？我们可以在图上代表A、B镇的点在图上移动，这样的移动要符合什么条件？使它到管道上每一点的距离与原址到管道的距离一样，这时你联想到什么？线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，线段是关于线段垂直平分线轴对称图形，即这两点关于直线L对称，那么怎么作图也就明白了，这样作图就容易多了，对课本的作法和证明方法也就自然而然地理解了。
整理确定使距离和最短的点的位置
确定使距离和最短的点的位置
1、如图一，在公路a 的两旁有M 、N 两个村庄，为方便两村村民，要在公路（边）上开一家小卖部，问：小卖部开在什么地方，能使它到M 、N 两村距离和最短？
2、如图二，在河流l 的同侧有两个村庄A 、B ，要在河边建一个扬水站P ，使铺设的总管道PA+PB 最短，在图上标出点P 。
a M
N l A B m n A B
图一 图二 图三
运用数学知识解决实际问题：
例1、如图三：A 、B 两村被河隔开，现在要在河上架一座桥，桥要架在什么地方，才能使到A 、B 两村的距离和最短？
例2、如图四：在公路OX 、OY 上要设A 和B 两个邮筒，邮递员每天从邮局P 到邮筒A 和B 取信，然后返回邮局，问：邮筒A 和B 的位置应该确定在哪里，才能使邮递员每天走的路程最短？
巩固练习：
1、如图五：AC 、BC 所在直线为两海岸线，一舰艇从M 点出发到N 点，再由N 点去BC 岸，但到N 点之前，要先去AC 岸，问：走怎样的路线，才能使所行路程最短？
2、如图六：某住宅小区拟在休闲场地的三条道路上修建三个凉亭A 、B 、C ，且凉亭用长廊连通，如果凉亭Ａ、Ｂ的位置已经选定，那么凉亭Ｃ建在什么地方，才能使工程造价最低？用尺规作图作出图形，并简要说明理由。
图四 图五 图六。
八年级上第08讲 最短路径问题 讲义+练习
轴对称：最短路径问题【知识导图】1.两点之间，线段最短。
2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
3.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题讲解内容：只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置。
讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。
如图所示，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短【答案】作点B 关于直线l 的对称点B'，连接AB'与l 交于点C ，则点C 为所求的点。
【解析】在直线l 上任取不同于C 点的C'点，连接AC’,BC’∵点B 和B'关于直线l 对称∴CB=CB’、C'B=C'B'∴CA+CB=CA+CB'=AB'∵CA+CB’<C'A+C'B'∴AB'=CA+CB<C'A+C'B'一、导入考点1 二、知识讲解考点2 三 、例题精析例题1如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）【答案】1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A'，2.连接A'B交河对岸于点N,则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。
【解析】由平移的性质，得 AM∥A'N且AM=A'N, MN=M'N'，AM'∥A'N'，AM'=A'N' 所以A、B两地的距:AM+MN+BN=AA'+A'N+NB=AA'+A'B若桥的位置建在M'N'处，则AB两地的距离为： AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B 在△A'N'B中，∵A'N'+N'B>A'B ,M'N'=AA'∴M'N'+A'N'+N'B＞AA'+A'B所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短。
尺规作图2
2012年尺规作图2深圳市菁优网络科技有限公司一、解答题（共30小题）1、（2006•杭州）已知角α和线段c如图所示，求作等腰三角形ABC，使其底角∠B=α，腰长AB=c．要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹．2、（2006•长沙）如图，已知∠AOB和射线O′B′，用尺规作图法作∠A′O′B′=∠AOB（要求保留作图痕迹）．3、（2005•天水）如图，己知AB，求作：确定AB的圆心O．4、（2005•南通）已知：∠AOB，点M、N．求作：点Q，使点P在∠AOB的平分线上，且QM=QN．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）5、（2005•锦州）如图，己知四边形ABCD，用尺规将它放大，使放大前后的图形对应线段的比为1：2．（不写作法，但保留作图痕迹）6、（2004•西宁）如图，A、B是平面上两个定点，在平面上找一点C，使△ABC构成等腰直角三角形，且C为直角顶点，请问这样的点有几个？并在图中作出所有符合条件的点．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）7、（2004•乌鲁木齐）某市为筹办一个大型运动会，该市政府打算修建一个大型体育心中，在选址过程中，有人建议该体育中心所在位置应到该市三条主要公路的距离相等，若采纳此人建议，请你在图中作出体育中心的位置．（不写作法，保留作图痕迹）8、（2004•山西）某服装厂里有大量剩余的等腰直角三角形边角料，现找出其中一种，测得∠C=90°，AC=BC（如图），现要从这种三角形中剪出几种不同的扇形，做成不同形状的玩具，要求使扇形的半径恰好在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其它边相切．请你在下面备用的等腰直角三角形中，设计出所有符合要求的不同的方案示意图．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）9、（2003•湘潭）如图，107国道OA和302国道OB在甲市相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使P到OA，OB的距离相等，且使PC=PD，试确定出点P的位置．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）10、（2003•汕头）如图，已知在△ABC中，∠A=90°，请用圆规和直尺作⊙P，使圆心P在AC上，且与AB、BC两边都相切．（要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明）11、（2003•青岛）某汽车探险队要从A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流L边为汽车加水，汽车在河边哪一点加水，才能使行驶的总路程最短？请你在图上画出这一点．12、（2003•辽宁）如图，已知：AB．求作：（1）确定AB的圆心O；（2）过点A且与⊙O相切的直线；13、（2003•广州）已知：线段a（如图）求作：（1）△ABC，使AB=BC=CA=a；（2）⊙O，使它内切于△ABC（说明：要求写出作法）14、（2003•广东）如图，AB、AC分别是菱形ABCD的一条边和一条对角线，请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）15、（2003•滨州）如图，某住宅小区拟在休闲场地的三条道路上修建三个凉亭A、B、C且凉亭用长廊两两连通．如果凉亭A、B的位置己经选定，那么凉亭C建在什么位置，才能使工程造价最低？请用尺规作出图形（不写作法，但保留作图痕迹），并简要说明理由．16、（2002•益阳）巳知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求作：Rt△ABC的外接圆⊙O．（用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）17、（2002•山西）如图，有一破残的轮片，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件．请你根据所学的有关知识，设计两种方案，确定这个圆形零件的半径．18、（2002•龙岩）已知：M、N分别在∠AOB的边OA、OB上．求作：以MN为底边的等腰△MNP，使点P在∠AOB的平分线OC上．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）19、（2002•兰州）已知△ABC，求作△ABC的内切圆．20、（2002•黄冈）在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图）．现找出其中的一种，测得∠C=90°，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其它边相切．请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）21、（2002•甘肃）制作铁皮桶，需在一块三角形余料上截取一个面积最大的圆，请画出该圆．22、（2002•大连）已知：有公共端点的线段AB、BC（如图），求作：⊙O，使它经过点A、B、C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．23、（2002•长沙）如图，A、B是两个蓄水池，都在河流的同旁，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两池，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短，试在图中画出该点（不写作法，但保留作图痕迹）24、（2001•嘉兴）如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄．（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近．请在图中的公路AB上分别画出点P，Q的位置（保留画图痕迹）．（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M，N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远？（分别用文字表述你的结论，不必证明）果存在，请在图中的AB上画出这一点（保留画图痕迹，不必证明）；如果不存在，请简要说明理由．25、（2001•广州）如图，有一块锐角三角形的木板，现要把它截成半圆形板块（圆心在BC上）．问怎样截取才能使截出的半圆形的面积最大？（要求说明理由）26、（2001•甘肃）如图，A、B、C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置．27、（1999•天津）请找出下图圆中的圆心，并写出你找圆心的方法．（不要求证明）28、（1999•山西）如图，请作出由A地经过B地去河边l的最短路线．（要求：用尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）29、（1999•青岛）已知：线段a，m（如图）．求作：等腰△ABC，使底边BC=a，底边上的中线AD=m．30、（1999•哈尔滨）如上图，求作一点P，使PC=PD，并且点P到∠AOB两边距离相等．（保留作图痕迹）答案与评分标准一、解答题（共30小题）1、（2006•杭州）已知角α和线段c如图所示，求作等腰三角形ABC，使其底角∠B=α，腰长AB=c．要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹．考点：作图—复杂作图。
直角坐标系中定点到原点的最小距离-概述说明以及解释
直角坐标系中定点到原点的最小距离-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述直角坐标系是数学中常见的一种坐标系，以两条垂直的坐标轴为基础，分别称为x轴和y轴。
在直角坐标系中，每个点都可以用一个有序对(x, y)来表示，其中x代表该点在x轴上的坐标，y代表该点在y轴上的坐标。
本文将探讨定点到原点的最小距离问题，即如何找到直角坐标系中一个定点到原点(0,0)的最短距离。
我们将介绍直角坐标系的基本概念，定点到原点的距离计算方法，以及寻找定点到原点最小距离的具体步骤。
通过本文的学习，读者将能够更深入地理解直角坐标系的概念，掌握相关距离计算方法，以及解决实际问题中的定点距离最小化的技巧。
同时，我们还将探讨该问题在实际应用领域中的具体应用，为读者提供更多的启发和思考。
1.2文章结构1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，首先对直角坐标系中定点到原点的最小距离这一主题进行了概述，介绍了文章的目的和基本结构。
接着，在正文部分，将从直角坐标系的基本概念入手，介绍坐标系中的概念和特点，然后详细探讨定点到原点的距离计算方法，包括距离的定义和计算公式。
最后，将介绍如何寻找定点到原点的最小距离，讨论在什么条件下最小距离会出现。
在结论部分，将对全文进行总结，回顾文章的主要内容和重点讨论的问题。
同时，探讨定点到原点最小距离的应用领域，例如在几何学、物理学或工程学中的具体应用。
最后，展望未来的研究方向，指出可能的研究方向和拓展空间。
整个文章结构清晰，逻辑严谨，旨在深入探讨直角坐标系中定点到原点的最小距离这一重要问题。
1.3 目的本文旨在探讨直角坐标系中定点到原点的最小距离的计算方法和应用。
通过深入剖析定点到原点的距离计算方法，我们可以更好地理解直角坐标系的基本概念，并且能够解决实际问题中涉及到距离计算的挑战。
通过研究定点到原点的最小距离的求解过程，我们可以从理论上掌握求解最优解的方法，为实际应用提供有力的支持。
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确定使距离和最短的点的位置
A 学情分析
学生学习了两点之间线段最短、垂线段最短、三角形的三边关系、轴对称、平移等知识，本节让学生利用所学知识解决生活中距离和最小的实际问题。
B 三维目标
1、联系实际，让学生进一步经历“问题情景——建立数学模型——解决与应用”的过程
2、掌握化未知为已知的数学思想
3、获得更多运用数学知识分析和解决实际问题的方法和经验，更好地体会数学的价值观
C 重点和难点
1、确定作点x 关于直线xx 的对称点
2、通过作轴对称、平移确定能使距离之和最短的点的位置
D 教法与学法
师生分析讨论、化未知为已知、层层递进、逐步提升
E 教学过程
课前热身：
（一）基本知识点
1、两点之间线段最短；
2、连结直线外一点与直线上各点所成的线段中，垂线段最短；
3、三角形中任意两边之和大于第三边；
4、轴对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分。
即：对称轴是对称点连线的垂直平分线；
5、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等。
（二）基本题型
1、如图一，在公路a 的两旁有M 、N 两个村庄，为方便两村村民，要在公路（边）上开一家小卖部，问：小卖部开在什么地方，能使它到M 、N 两村距离和最短？
解：连结MN 交a 于点P ，则：P 为小卖部位置。
假设有不同于点P 的点Q ，根据两点之间线段最短，或三角形中任意两边之和大于第三边有：MQ+NQ>MN,即：MQ+NQ>MP+NP
2、如图二，在河流l 的同侧有两个村庄A 、B ，要在河边建一个扬水站P ，使铺设的总管道PA+PB 最短，在图上标出点P 。
分析：联系1题，想办法运用所学知识把2题转化为1题。
此题为轴对称在实际中的应用。
作点A 关于直线l 的对称点A ＇连结 A ＇B 交l 于点P ，所以P 点为扬水站的位置。
a M
N l A B m n A B
图一 图二 图三
运用数学知识解决实际问题：
例1、如图三：A、B两村被河隔开，现在要在河上架一座桥，桥要架在什么地方，才能使到A、B两村的距离和最短？
分析：将河岸m及它下侧的部分向河岸c平移到河岸c的位置, 把这道题转化为基本题型1题。
此题为平移在实际中的应用。
过点B作m的垂线，在这条垂线上（m的上方）截取BB＇等于河宽，连结AB＇交河岸c于点P，作PQ垂直于m，垂足为Q，则：PQ为桥的位置。
例2、如图四：在公路OX、OY上要设A和B两个邮筒，邮递员每天从邮局P到邮筒A和B取信，然后返回邮局，问：邮筒A和B的位置应该确定在哪里，才能使邮递员每天走的路程最短？
分析：利用轴对称，可以在已知直线上找一个点，使该点到该直线同侧的两点的距离和最小。
把这道题转化为基本题型2题。
分别找出点P关于OX、OY的对称点P＇、P〃，连结P＇P〃分别交OX、OY于A、B两点，则：点A、点B为邮筒的位置。
巩固练习：
1、如图五：AC、BC所在直线为两海岸线，一舰艇从M点出发到N点，再由N点去BC岸，但到N点之前，要先去AC岸，问：走怎样的路线，才能使所行路程最短？
2、如图六：某住宅小区拟在休闲场地的三条道路上修建三个凉亭A、B、C，且凉亭用长廊连通，如果凉亭Ａ、Ｂ的位置已经选定，那么凉亭Ｃ建在什么地方，才能使工程造价最低？用尺规作图作出图形，并简要说明理由。
图四图五图六小结：
1、距离和最短，这类最值问题是一个难点，解题时，要回忆相关知识，如前面复习当中的一些公理、定理、性质等，运用轴对称、平移等方法将线段的和化为一条新的线段。
2、掌握化未知为已知的数学思想。