2016-2017学年河北省石家庄市正定中学高二(上)期末数学试卷(文科)
河北省正定中学2016届高三上学期期末考试文数试题Word版含解析
河北省正定中学2016届高三上学期期末考试文数试题1．已知集合{}0342<+-=x x x A ，{}42<<=x x B ，则=B A （ ） A ．)3,1( B ．)4,1( C ．)3,2( D ．)4,2( 【答案】B 【解析】试题分析：因为{}{}310342<<=<+-=x x x x x A ，{}{}{}414231<<=<<<<=x x x x x x B A ．故选B ．考点：集合的运算． 2．已知R a ∈，若复数iia z +-=12为纯虚数，则=+ai 1（ ） A ．10 B ．10 C ．5 D ．5 【答案】D 【解析】 试题分析：2)2()2()1)(1()1)(2(12ia a i i i i a i i a z +--=-+--=+-=为纯虚数，则2=a ．1ai +=12i +=D ．考点：复数的概念与运算．3．已知)(sin )(3R x x x x f ∈+=是（ ） A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【解析】试题分析：33()()sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以)(x f 是奇函数．故选B ． 考点：函数的奇偶性．4．抛物线241x y =的焦点坐标为（ ） A ．)0,161( B ．)161,0( C ．)1,0( D ．)0,1(【答案】C 【解析】试题分析：抛物线的标准方程为24x y =，2p =，焦点在y 轴正半轴上，为(0,1)． 考点：抛物线的几何性质．5．为了了解高一、高二、高三的身体状况，现用分层抽样的方法抽出一个容量为1200的样本，三个年级学生数之比依次为3:5:k ，已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为（ ）A ．240B ．300C ．360D ．400 【答案】C 【解析】试题分析：由已知高一年级抽取的比例为511200240=，所以5135=++k k ，得2=k ，故高三年级抽取的人数为36035231200=++⨯．考点：分层抽样．6．函数x x f 2log 1)(+=与x x g -=12)(在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）【答案】C 【解析】试题分析：x x f 2log 1)(+=的图象由函数x x f 2log )(=的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过)1,1(点，且为单调函数，显然，A 项中单调递增的函数经过点)0,1(，而不是)1,1(，故不满足； 函数x xx g )21(22)(1⨯==-，其图象经过)2,0(点，且为单调减函数，B 项中单调递减的函数与y 轴的交点坐标为)1,0(，故不满足；D 项中两个函数都是单调递增的，故也不满足．综上所述，排除A ，B ，D ．故选C ． 考点：函数的图象．7．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）A ．21B ．1-C ．2D ．1 【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环2,21==i a ；第二次循环3,1=-=i a ；第三次循环4,2==i a ；第四次循环2,21==i a ；周期为3，则执行该程序后输出的结果是1-．故选B ． 考点：程序框图．8．如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以h km /40的的速度由A 处出发，沿北偏东60方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B 处时，发现北偏西45方向有一艘船C ，若船C 位于A 的北偏东30方向上，则缉私艇所在的B 处与船C 的距离是（ ）A ．km )26(5+B ．km )26(5-C ．km )26(10-D ．km )26(10+【答案】C 【解析】试题分析：由题意，知303060=-=∠BAC ，754530=+=∠ABC ，753075180=--=∠ACB ，∴)(202140km AB AC =⨯==，由余弦定理，得 )32(400340080030cos 202022020cos 22222-=-=⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+= BAC AB AC AB AC BC ∴))(26(10)13(210)13(200)32(4002km BC -=-=-=-=．故选C ．考点：解三角形的应用． 9．若“81≥a ”是“c xax x ≥+>∀2,0”的充分不必要条件，则实数c 的取值范围为（ ） A ．10≤<c B ．10≤≤c C ．1≤c D ．1≥c 【答案】C 【解析】试题分析：若0≤c ，则0≥a ，符合题意，若0>c ，则82222c a c a x a x ≥⇒≥≥+，于是108182≤<⇒≤c c ．所以1≤c ．故选C ． 考点：充分必要条件．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．π231+ B ．12211++π C ．2211+π D ．ππ2211+ 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：122111221221222++=⨯⨯+⨯⨯+⨯++πππππ，故选B ． 考点：三视图，几何体的表面积．11. 已知21,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左，右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若221PF PF 的最小值为a 8，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．]3,1(B ．]3,1(C ．]3,3[D ．),3[+∞ 【答案】A ． 【解析】试题分析：设t PF =2，则a c t t a PF -≥+=,21．又a a ta t t t a PF PF 844)2(22221≥++=+=，当且仅当a t 2=时等号成立．所以a a c 2≤-，所以31≤<e ．故选A ． 考点：双曲线的几何性质．【名师点睛】本题以双曲线为素材，综合考察双曲线的离心率和函数的最值，难度中等．要求离心率e 的取值范围，就要想办法建立一个关于,a c 的不等式，题中已知条件是221PF PF 的最小值为a 8，由双曲线性质知设2PF t =，则有t c a ≥-，而已知条件为()228a t a t+≥，由函数性质可求得2t a =时最小值取到，因此有2a c a ≥-，这样目标达到了．12．已知函数2ln )(bx x a x f -=，R b a ∈,．若不等式x x f ≥)(对所有的]0,(-∞∈b ，],(2e e x ∈都成立，则a 的取值范围是（ ）A ．),[+∞eB ．),2[2+∞eC ．),2[22e e D ．),[2+∞e【答案】B 【解析】试题分析：若不等式x x f ≥)(对所有的]0,(-∞∈b ，],(2e e x ∈都成立，即x bx x a ≥-2ln 对所有的]0,(-∞∈b ，],(2e e x ∈都成立，即2ln bx x x a ≥-对所有的]0,(-∞∈b ，],(2e e x ∈都成立，即0ln ≥-x x a 对],(2e e x ∈都成立，即xx a ln ≥对],(2e e x ∈都成立，即a 大于等于x x ln 在区间],(2e e 上的最大值，令xx x h ln )(=，则2)(l n 1ln )(x x x h -='，当],(2e e x ∈时，0)(>'x h ，)(x h 单调递增，所以x x x h ln )(=，],(2e e x ∈的最大值为2)(22e e h =，即22e a ≥，所以a 的取值范围为),2[2+∞e ． 考点：不等式恒成立问题，导数与函数的单调性、极值．【名师点睛】在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这类问题的根本，从本质入手,进而求解，利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明与恒成立问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而得出结论．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设向量a ，b 是相互垂直的单位向量，向量b a +λ与b a 2-垂直，则实数=λ________. 【答案】2 【解析】试题分析：由题意1a b ==，0a b ⋅=，又()(2)0a b a b λ+⋅-=，即22(12)20a a b b λλ+-⋅-=，所以20λ-=，2λ=．考点：向量的数量积与垂直．14．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-131y y x x y ，则2+=x y z 的最大值为_______．【答案】23【解析】试题分析：画出可行域，目标函数)2(02---=+=x y x y z 表示可行域内的点),(y x 与点)0,2(-连线的斜率，当其经过点)2,1(A 时，2+=x y z 取到最大值为32=z ．考点：简单的线性规划的应用．15．直三棱柱111C B A ABC -中，2==AC AB ，32π=∠BAC ，41=AA ，则该三棱柱的外接球的体积为________． 【答案】3264π【解析】试题分析：设O 是外接球球心，1O 是ΔABC 外接圆圆心，则1OO ⊥底面ABC ，11122OO AA ==，又2s i 2233πBC AB=⨯=⨯=，所以24sin sin 3BC OB BAC ===∠，即12O B =，所以OB ==，所以334433球V πOB π=⨯=⨯=．C 1B 1A 1O 1OCB A考点：棱柱与外接球，球的体积．【名师点睛】几个与球有关的切、接常用结论 （1）正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①正方体的外接球，则2R； ②正方体的内切球，则2R ＝a ；③球与正方体的各棱相切，则2Ra ．（2）长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，16．函数ϕωϕω,,)(sin()(A x A x f +=是常数，且0,0>>ωA ）的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π； ②将)(x f 的图象向左平移6π个单位，所得到的函数是偶函数；③1)0(=f ；④)1314()1112(ππf f <； ⑤)35()(x f x f --=π，其中正确的是_______．【答案】①④⑤ 【解析】试题分析：由图可知，ππϕπωππππ2321272,2431274,2+=+⨯=⇒=⇒=-==k T T A ，.,32Z k k ∈+=ππϕ3)0()32sin(2)(=⇒+=f x x f π，)322sin(2)332sin(2)6(ππππ+=++=+x x x f ，对称轴为直线Z k k x ∈+=,122ππ，一个对称中心为)0,65(π，所以②、③不正确；因为)(x f 的图象关于直线1213π=x 对称，且)(x f 的最大值为)1213(πf ，121313141213111212131112⨯=->⨯=-ππππππ，所以)1314()1112(ππf f <，即④正确；设))(,(x f x 为函数)32sin(2)(π+=x x f 的图象上任意一点，其对称中心)0,65(π的对称点))(,35(x f x --π还在函数)32sin(2)(π+=x x f 的图象上，即)35()()()35(x f x f x f x f --=⇒-=-ππ，故⑤正确． 考点：函数()sin()f x A ωx φ=+的解析式、图象与性质．【名师点睛】本题在解答过程中用到了数形结合的数学思想，从图中准确提取有效信息是解答本题的关键．根据五点法的作图规律，认清图中的一些已知点属于五点法中的哪一点，进而选择对应的方程得出ϕ的值．对于()sin()f x A x h ωϕ=++，应明确A ω、决定“形变”，h ϕ、决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A ωϕ、、影响单调性．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．设数列{}n a 的前n 项和12a a S n n -=，且41+a 是32,a a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 的前n 项和n T ．【答案】（1）nn a 2=；（2）222n nn T +=-． 【解析】试题分析：（1）已知n S 与n a 的关系求通项公式，一般是利用1(2)n n n a S S n -=-≥化关系式为n a 的关系，从而得得{}n a 是等比数列，通项公式可得；（2）数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是由等差数列与等比数列相除（乘）得到的，因此其前n 项和n T 只能用错位相减法求得． 试题解析：（1）由已知12a a S n n -=，有)1(2211>-=-=--n a a S S a n n n n n ， 即)1(21>=-n a a n n ．从而122a a =，134a a =．又因为41+a 是32,a a 的等差中项，即321)4(2a a a +=+．解得21=a ． 所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．故nn a 2=．（2）由（1）得n n n a n 2=，所以n n n T 223222132+⋅⋅⋅+++=， 12223112-+⋅⋅⋅+++=n n nT 两式相减 nn nn n n n n n T 2222211)21(12212121112+-=---=-+⋅⋅⋅+++=-． 考点：已知n S 与n a 的关系求通项公式，等比数列的通项公式，错位相减法求和．18. 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图．（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于cm 173的同学，求身高为cm 176的同学身高被抽中的概率．【答案】（1）乙班同学的平均身高较高；（2）)(2.572cm ；（3）52=P ． 【解析】试题分析：（1）由茎叶图，获得所有身高数据，计算平均值可得；（2）由方差公式2211()ni i s x x n ==-∑计算方差；（3）由茎叶图知乙班这10名同学中身高不低于cm 173的同学有5人，可以把5人编号后，随便抽取2名同学这个事件含有的基本事件可以用列举法列举出来（共10个），其中含有身高176cm 基本事件有4个，由概率公式计算可得．试题解析：（1）由茎叶图知：设样本中甲班10位同学身高为甲x ，乙班10位同学身高为乙x ，则)(170)158162163168168170171179179182(101cm x =+++++++++=甲．2分 )(1.171)159162165168170173176178179181(101cm x =+++++++++=乙．4分 ∵甲乙x x >，据此可以判断乙班同学的平均身高较高．设甲班的样本方差为2甲s ，由（1）知cm x 170=甲．则22222222)170168()170168()170170()17017()170179()170179()170182[(101-+-+-+-+-+-+-=1甲s )(2.57])170158()170162()170163(2222cm =-+-+-+， 8分由茎叶图可知：乙班这10名同学中身高不低于cm 173的同学有5人，身高分别为cm 173、cm 176、cm 178、cm 179、cm 181．这5名同学分别用字母A 、B 、C 、D 、E 表示．则记“随机抽取两名身高不低于cm 173的同学”为事件Ω，则Ω包含的基本事件有：],[B A 、],[C A 、],[D A 、],[E A 、],[C B 、],[D B 、],[E B 、],[D C 、],[E C 、],[E D 共10个基本事件． 10分记“身高为cm 176的同学被抽中”为事件M ，则M 包含的基本事件为：],[B A 、],[C B 、],[D B 、],[E B 共4个基本事件． 由古典概型的概率计算公式可得：52104)()()(==Ω=n M n N P ． 12分 考点：茎叶图，均值，方差，古典概型．19. 如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）求证：∥PB 平面AEC ；（2）设1=AP ，2=AD ，60=∠ABC ，求点A 到平面PBD 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）2． 【解析】 试题分析：（1）要证线面平行，由判定定理知要证线线平行，而由性质定理知，这条平行线是过直线PB 的平面与平面AEC 相交所得，由图可知设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ，EO 就是要找的平行线；（2）要求点到平面的距离，可根据定义作出点到平面的垂线，从已知条件可知由平面PAC ⊥平面PBD ，因此只要作AH PO ⊥于点H ，由有AH ⊥平面PBD ，在ΔAPO 中求得AH 即可，另外求点到平面的距离也可用体积法，由P ABD A PBD V V --=易得所求距离．试题解析：（1）设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ，因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又因为E 为PD 的中点，所以PB EO ∥．⊂EO平面AEC ，⊄PB 平面AEC ，所以∥PB 平面AEC设CD AB ,交于点O ，由题设知⊥BD 平面PAC ，所以面PBD PAO ⊥，作PO AH ⊥交PO 于H ，故⊥AH 平面PAO ，又22=⋅=PO AO PA AH ， 所以A 到平面PBD 的距离为22． 方法二：33120sin 6131=⋅⋅=⋅⋅=∆- AD AB PA PA S V ABD ABD P ， 5==PD PB ，2==AD AB ， 120=∠BAD ， 所以32=BD ，2=PO ，ABD P PBD A V V --=，设A 到平面PBD 的距离为d ，所以有3331=∆d S PBD ，22=d ， 所以A 到平面PBD 的距离为22． 考点：线面平行的判断，点到平面的距离．20. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为1F 和2F ，由4个点),(b a M -，),(b a N ，2F 和1F 组成了一个高为3，面积为33的等腰梯形．（1）求椭圆的方程；（2）过点1F 的直线和椭圆交于两点B A ,，求AB F 2∆面积的最大值．【答案】（1）13422=+y x ；（2）3． 【解析】试题分析：（1）确定椭圆标准方程，只需两个独立条件即可：一是b =的面积得3a c +=，再结合222a c b -=可得；（2）此题中直线AB 的斜率可能不存在，但不能为0，因此可设直线方程为1-=my x ，同时设交点为),(),,(2211y x B y x A ，把直线方程代入椭圆方程得y 的一元二次方程，由韦达定理得1212,y y y y +，再求出2ΔF A B S ，注意2Δ121212F A B S F F y y =-，最终把2ΔF AB S 表示为m 的函数，由函数单调性可得最值． 试题解析：（1）由条件，得3=b ，且333222=+c a ，所以3=+c a ． 又322=-c a ，解得2=a ，1=c ．所以椭圆的方程13422=+y x ． 显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为1-=my x ，直线与椭圆交于),(),,(2211y x B y x A ， 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧-==+113422my x y x ，消去x 得，096)43(22=--+my y m ． 因为直线过椭圆内的点，无论m 为何值，直线和椭圆总相交． ∴439,436221221+-=+=+m y y m m y y ． 22221221212121)43(1124)(212++=-+=-=-=∆m m y y y y y y y y F F S AB F )1(9132114)311(1422222++++=+++=m m m m , 令112≥+=m t ，设t t y 91+=，易知)31,0(∈t 时，函数单调递减，),31(+∞∈t 函数单调递增，所以当112=+=m t 即0=m 时，910min =y ，AB F S 2∆取最大值3． 考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交问题．【名题点睛】求椭圆标准方程，一般要列出关于,,a b c 的两个方程（不含222a b c =+），这可由已知条件及椭圆的几何性质可得；（2）解析几何中最值问题，处理方法是选取适当的参数，求出相应量，再求得这个函数的最值，题中涉及到直线与椭圆相交问题，因此设交点为()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为3x my =+（这样设包含了斜率不存在的情形），代入椭圆方程由韦达定理可用m 表示出1212,y y y y +，把2ΔF A B S 用12,y y 表示，最后把1212,y y y y +代入化简，即把2ΔF AB S 表示为m 的函数．这是解析几何中常用的“设而不求”法．21．设函数x a x x f ln )()(+=．x ex x g 2)(=．已知曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=-y x 平行．（1）求a 的值；（2）是否存在自然数k ，使得方程)()(x g x f =在)1,(+k k 内存在唯一的实根？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）1a =；（2）1=k 时，方程)()(x g x f =在)1,(+k k 内存在唯一的根．【解析】试题分析：（1）本小题考查导数的几何意义同，由题意知'(1)2f =，由此可得a 值；（2）实质是方程()()f x g x =只有一解，为此研究函数x e x x x x g x f x h 2ln )1()()()(-+=-=，首先从函数值可以看出(0,1]x ∈时，()0h x <，而24(2)3ln 20h e =->，因此方程)()(x g x f =要有解必定在(1,2)上，再利用导数证明()h x 在(1,)+∞是单调递增即可．试题解析：（1）由题意知，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线斜率为2，所以2)1(='f ． 又1ln )(++='xa x x f ，所以1=a ． （2）1=k 时，方程)()(x g x f =在)2,1(内存在唯一的根． 设x ex x x x g x f x h 2ln )1()()()(-+=-=， 当]1,0(∈x 时，0)(<x h ．又01148ln 42ln 3)2(22=->-=-=e e h ， 所以存在)2,1(0∈x ，使0)(0=x h ． 因为x e x x x x x h )2(11ln )(-+++='，所以当)2,1(∈x 时，011)(>->'ex h ， 当),2(+∞∈x 时，0)(>'x h ，所以当),1(+∞∈x 时，)(x h 单调递增．所以1=k 时，方程)()(x g x f =在)1,(+k k 内存在唯一的根．考点：导数的几何意义，函数的零点，导数与单调性．【名师点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：（1）已知切点A （x 0，f （x 0））求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′（x 0）；（2）已知斜率k ，求切点A （x 1，f （x 1）），即解方程f ′（x 1）＝k ；（3）已知过某点M （x 1，f （x 1））（不是切点）的切线斜率为k 时，常需设出切点A （x 0，f （x 0）），利用k ＝()()1010f x f x x x --求解．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 选修4-1：几何证明选讲22. 已知AB 是半圆O 的直径，4=AB ，点C 是半圆O 上一点，过C 作半圆O 的切线CD ，过点A 作CD AD ⊥于D ，交半圆于E ，1=DE ．（1）求证：AC 平分BAD ∠；（2）求BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）问题实际上是证明CAD OAC ∠=∠，这不能直接证明，但它们的余角是同弧所对的圆周角与弦切角，是相等的，结论得证；（2）要求BC 长，由（1）知BC CE =，这样只要证得CDE RT∆ACB RT ∆，正好由已知的两线段长求得BC ．试题解析：（1）连接OC ，因为OC OA =，所以OCA OAC ∠=∠，因为CD 为半圆O 的切线，所以CD OC ⊥，因为CD AD ⊥，所以AD OC ∥，所以CAD OCA ∠=∠，CAD OAC ∠=∠，所以AC 平分BAD ∠．连接CE ，由（1）知CAD OAC ∠=∠，所以CE BC =．因为D C B A ,,,四点共圆，故CED ABC ∠=∠，因为AB 是半圆O 的直径，所以ACB ∠是直角，CDE RT ∆ACB RT ∆，AB CB CE DE ::=，2=BC ．考点：切线的性质，弦切角定理，圆周角定理，相似三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23. 在极坐标系中，已知曲线)4sin(22:πθρ-=C ，P 为曲线C 上的动点，定点)4,1(πQ ． （1）将曲线C 的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求P 、Q 两点的最短距离．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为：02222=-++y x y x 且曲线C 是以)1,1(-为圆心，2为半径的圆；（2）23-．【解析】试题分析：（1）由22y x +=ρ，22sin y x y+=θ，22cos y x x +=θ或cos ,sin ,ρθx ρθy ==222ρx y =+可将极坐标方程化为直角坐标方程，方程配方后得圆标准方程；（2）由圆性质知，PQ 的最短距离等于Q 到圆心的距离减去圆的半径．试题解析：（1）由)cos (sin 2)4sin(22θθπθρ-=-=，得到θρθρρcos 2sin 22-=，∴曲线C 的直角坐标方程为：02222=-++y x y x 且曲线C 是以)1,1(-为圆心，2为半径的圆． Q 点直角坐标为)22,22(，Q 点到圆心)1,1(-的距离为3)221()221(22=-+--， PQ 的最短距离为23-．考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，两点间距离公式，圆的性质．选修4-5：不等式选讲24. 已知函数112)(++-=x x x f ．（1）求不等式2)(≥x f 的解集；（2）若关于x 的不等式a x f <)(的解集为R ,求参数a 的取值范围．【答案】（1）),32[]0,(+∞-∞ ；（2）23≤a ． 【解析】试题分析：含绝对值的函数与不等式工，可根据绝对值定义，令每个绝对值里式子为0，求得x 的值，这些x 的值把实数分成若干区间，在每个区间内去绝对值符号可得解，（1）在每个区间求得不等式的解后，要求并集；（2）求出函数()f x 的最小值就可得到结论．试题解析：（1）当21≥x 时，23)(≥=x x f ，得到32≥x ， 当211≤≤-x 时，22)(≥-=x x f ，得到01≤≤-x ， 当1-<x 时，23)(≥-=x x f ，得到1-<x ， 综上，不等式解集为),32[]0,(+∞-∞ ．（2）由题意知，a x f ≥)(对一切实数x 恒成立， 当21≥x 时，233)(≥≥x x f ， 当211≤≤-x 时，232)(≥-=x x f ， 当1-<x 时，33)(>-=x x f ． 综上，23)(min =x f ．故23≤a ． 考点：解绝对值不等式，不等式恒成立，函数的最值．。
河北省正定中学高二数学上学期期末考试试题
2015-2016学年高二第一学期期末考试数学试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分． 1. 已知集合{2},{13}A x x B x x =≥=≤≤，则A B =( )A.{13}x x -<≤B. {23}x x ≤≤C. {3}x x =D.φ2.复数12ii =-（ ） A.25i -+ B.25i -- C.25i - D.25i +3.抛物线214x y =的焦点到准线的距离为（ ）A.2B.4C.18D.124.22sin xdx -=⎰（ ）A.1-B.1C.0D.8-5.曲线3()2f x x x =+-在P 处的切线平行于直线41y x =-，则P 点坐标为（ ） A.(1,0) B.(2,8) C.(1,0)或(1,4)-- D.(2,8)或(1,4)-- 6.已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位后所得图像对应的函数为偶函数，则实数ϕ=（ ） A.56πB.23π C.3π D.6π 7.已知(),p x y 是不等式组10300x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域内的一点，()1,2A ，O 为坐标原点，则OA OP ⋅uu r uu u r的最大值( )A.2B.3C.5D.68.分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道. 要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ）A.34A 种B.3133A A 种 C.2343C A 种 D.113433C C A 种 9.已知(2nx 展开式中各项系数和为625，则展开式中含x 项的系数为（ ） A.216 B.224 C.240 D.250 10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.403B. 203C. 20 D .4011.已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线C 的右支相交于,P Q 两点，若1PQ PF ⊥，且1PF PQ =，则双曲线的离心率e =（ ）1B.112.已知数列{}n a 满足：1263,3,9138n n n n n n a a a a a ++=-≤-≥⋅，则2015a =（ ）A.20153322+B.201538C.20153382+D.201532二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在正项等比数列{}n a 中，前n 项和为5675,1,6=n S a a a S =+=，则___________. 14．设向量a 与b 的夹角为θ,且()()3,3,21,1a b a =-=-,则cos θ=___________. 15.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有 ___________种（用数字作答）.16.已知函数()ln tan 0,2f x x παα⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的导函数为()'f x ，若使得()()00'0f x x =成立的01x <，则实数α的取值范围为___________.三、解答题: （本大题共6小题，共70分.）17．（本题满分10分）等差数列{}n a 中,71994,2,a a a == (1)求{}n a 的通项公式; (2)设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和 18．（本题满分12分）在ABC ∆中，已知角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且1tan tan 12cos cos A C A C=+。
河北省石家庄市正定中学高二数学上学期期末考试试题
2014-2015学年第一学期高二期末考试数学试卷说明：1.考试时间120分钟，满分150分。
2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。
试卷Ⅰ（共 60 分）一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ，每题5分，共60分。
请把答案涂在答题卡上）1．用三段论推理：“指数函数xa y =是增函数，因为x y )21(=是指数函数，所以xy )21(=是增函数”，你认为这个推理A ．大前提错误B ． 小前提错误C ．推理形式错误D ． 是正确的2．在复平面内,复数21iz i =+(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．下列命题是真命题的是A ．22bc ac b a ＞是＞的充要条件B ．11,1＞是＞＞ab b a 的充分条件 C ．0,00≤∈∃x e R x D ．若q p ∨为真命题，则q p ∧为真 4．已知0a b ＞＞，椭圆1C 的方程为2222=1x y a b +，双曲线2C 的方程为22221y x a b -=，1C 与2C 的离心率之积为415，则2C的渐近线方程为A.02=±y xB. 02=±y x C ．04=±y x D ．04=±y x 5．设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则 A ．B x A x p ∉∈∀⌝2,: B ．:,2p x A x B ⌝∀∉∉ C ．:,2p x A x B ⌝∃∉∈D ．B x A x p ∉∈∃⌝2,:6．设△ABC 的三边长分别为,,,c b a △ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则c b a Sr ++=2.类比这个结论可知：四面体ABC P -的四个面的面积分别为,1S ,2S ,3S ,4S 内切球的半径为r ，四面体ABC P -的体积为V ，则r ＝A.V S1＋S2＋S3＋S4B.2V S1＋S2＋S3＋S4C.3V S1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S47．用数学归纳法证明=+++-++-+++222222212...)1()1(...21n n n 3)12(2+n n时，由k n =的假设到证明1+=k n 时，等式左边应添加的式子是A.222)1(k k ++B. 2)1(+k C ．22)1(k k ++ D.]1)1(2)[1(312+++k k8． 设F 为抛物线x y 42=的焦点，C B 、、A 为该抛物线上三点，若=++，则|FA|+|FB|+|FC|=A ．9 B. 6C. 4D. 39．若函数1()e (0,)ax f x a b b =-＞＞0的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是A ．4B. C.210．如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为A ．22eB ．22eC ．21eD ．25.2e11．如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为A ．313723cm πB ．38663cm πC ．35003cm π D ．320483cm π12. 已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A.3B .3C .2D 试卷Ⅱ（共 90 分）二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）13.220sin 2xdx π=⎰ ．14.将一个白球，一个红球，三个相同的黄球摆放成一排，则白球与红球不相邻的放法有_________种.15. 若曲线xe y -=上点P 处的切线平行于直线012=++y x ，则点P 的坐标是________．16. 若函数x a x x f sin 2cos )(+=在区间)2,6(ππ是减函数，则a 的取值范围是________．三、解答题（本题共6个小题 共计70分。
2015-2016年河北省石家庄市正定中学高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．B．C．D．2．（5分）抛物线4y=x2的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．D．3．（5分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a 的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣24．（5分）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充要条件是（）A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤55．（5分）函数f（x）=2lnx+x2﹣bx+a（b＞0，a∈R）在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是（）A．B．2C．D．16．（5分）已知P（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一点，A（1，2），O为坐标原点，则•的最大值（）A．2B．3C．5D．67．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3a7=4a42，a2=2，则a1=（）A．B．1C．2D．8．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f （x），且f（0）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣∞，e4）B．（e4，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）9．（5分）某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）附：参考公式和临界值表（其中n=a+b+c+d）A．90%B．95%C．99%D．99.9% 10．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．40D．8011．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，若PQ⊥PF1，且|PF1|=|PQ|，则双曲线的离心率e=（）A．+1B．2+1C．D．12．（5分）已知函数f（x）=，则当k＞0时，下列函数y=f[f（x）]+1的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设向量与的夹角为θ，=（3，3），=（1，2），则cosθ=．14．（5分）设a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα+2cosα的值等于．15．（5分）已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于．16．（5分）四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第号座位上．三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17．（10分）在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a，b，c，且tanAtanC=+1．（1）求B的大小；（2）若•=b2，试判断△ABC的形状．18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，a2=6，a5=12；数列{b n}的前n项和是S n，且S n+b n=1．（1）求数列{a n}和{b n}通项公式；（2）记c n=，数列{c n}的前n项和为T n，若T n＜对一切n∈N*都成立，求最小正整数m．19．（12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[120，130）内的频率；（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间[100，110）的中点值为=105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．20．（12分）如图，直三棱柱A′B′C′﹣ABC，延长CB到点D，使BD=BC，点E为A′D的中点，∠ABC=90°，，A′A=2．（1）证明：BE∥平面A′ACC′；（2）求三棱锥A′﹣EB′C的体积′．21．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是直线x=﹣4与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．B．C．D．【解答】解：==，∴复数（i为虚数单位）的共轭复数为，故选：B．2．（5分）抛物线4y=x2的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．D．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：A．3．（5分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a 的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣2【解答】解：∵y=，∴y′==，∴曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣，∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．故选：D．4．（5分）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充要条件是（）A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5【解答】解：若“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0，则a≥x2，x∈[1，2]，∵y=x2，x∈[1，2]，∴1≤y≤4，即a≥4，即命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充要条件是a≥4，故选：A．5．（5分）函数f（x）=2lnx+x2﹣bx+a（b＞0，a∈R）在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是（）A．B．2C．D．1【解答】解：由题意得，f′（x）=+2x﹣b，∴在点（b，f（b））处的切线斜率是：k=f′（b）=，∵b＞0，∴f′（b）=≥，当且仅当时取等号，∴在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是，故选：A．6．（5分）已知P（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一点，A（1，2），O为坐标原点，则•的最大值（）A．2B．3C．5D．6【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=•，则z=x+2y，即y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B（0，3），y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．代入z=x+2y=0+2×3=6．即•的最大值最大值为6．故选：D．7．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3a7=4a42，a2=2，则a1=（）A．B．1C．2D．【解答】解：设等比数列的公比为q（q＞0），∵，a2=2，∴2q•2q5=4•4q4∴q2=4，∴q=2．∵a2=2，∴a1=1，故选：B．8．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f （x），且f（0）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣∞，e4）B．（e4，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）【解答】解：设g（x）=（x∈R），则g′（x）=，∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜e x∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选：D．9．（5分）某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）附：参考公式和临界值表（其中n=a+b+c+d）A．90%B．95%C．99%D．99.9%【解答】解：设H0：饮食习惯与年龄无关．因为K2==10＞6.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．故选：C．10．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．40D．80【解答】解：由三视图知：几何体为其中一个侧面在下面的四棱锥，如图：其中SA⊥平面ABCD，SA=4，底面ABCD为直角梯形，且AD=4，BC=1，AB=4，∴几何体的体积V=××4×4=．故选：A．11．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，若PQ⊥PF1，且|PF1|=|PQ|，则双曲线的离心率e=（）A．+1B．2+1C．D．【解答】解：由题意，∠PQF1=45°，|QF1|=4a，|QF2|=2a，|F1F2|=2c由余弦定理，可得4c2=16a2+4a2﹣2×4a×2a×，∴e=．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=，则当k＞0时，下列函数y=f[f（x）]+1的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：函数f（x）=的图象如下图所示：结合图象分析：当k＞0时，若y=f[f（x）]+1=0，则f[f（x）]=﹣1，则f（x）=a＜或f（x）=b∈（0，1）；对于f（x）=a，存在两个零点；对于f（x）=b，存在两个零点，综上所述，函数y=f[f（x）]+1的零点个数为4个，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设向量与的夹角为θ，=（3，3），=（1，2），则cosθ=．【解答】解：由题意得，=3+6=9，=，=，∴cosθ===，故答案为：．14．（5分）设a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα+2cosα的值等于﹣．【解答】解：∵a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），∴x=﹣3a，y=4a，r==5a，∴sinα+2cosα==﹣．故答案为：﹣．15．（5分）已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于4π．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S﹣ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径∵SA=AB=1，BC=，∴2R==2∴球O的表面积S=4•πR2=4π故答案为：4π16．（5分）四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第2号座位上．【解答】解：由互换规律知第四次互换座位后为1鼠2猴3兔4猫，与开始时的座位一致，故每经过4k（k∈N）次调换，座位都与开始时的座位相同，∴第202次互换座位后与第2次互换座位后座位一致．故答案为2．三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17．（10分）在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a，b，c，且tanAtanC=+1．（1）求B的大小；（2）若•=b2，试判断△ABC的形状．【解答】解：（1）∵tanAtanC=+1．∴=，可得：﹣2cos（A+C）=1，∴cosB=﹣cos（A+C）=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）∵•=b2，B=．∴accos=b2，解得：ac=b2①，又∵由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac②，∴由①②可得：a=c，结合B=，可得三角形为等边三角形．18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，a2=6，a5=12；数列{b n}的前n项和是S n，且S n+b n=1．（1）求数列{a n}和{b n}通项公式；（2）记c n=，数列{c n}的前n项和为T n，若T n＜对一切n∈N*都成立，求最小正整数m．【解答】解：（1）设{}的公差为d，则，，∵a2=6，a5=12，∴，解得a1=4，d=2，∴a n=4+2（n﹣1）=2n+2．∵数列{b n}的前n项和是S n，且S n+b n=1，∴当n=1时，b1=S1，由，得，当n≥2时，∵，，=（b n﹣1﹣b n），即，∴S n﹣S n﹣1∴，∴{}是以为首项，为公比的等比数列，∴=．（2）∵=2•（）n，∴c n=c n====，∴T n=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣＜1，由已知得，∴m≥2014，∴最小正整数m=2014．…（12分）．19．（12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[120，130）内的频率；（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间[100，110）的中点值为=105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．【解答】解：（1）分数在[120，130）内的频率为1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3；（2）估计平均分为=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121；（3）依题意，[110，120）分数段的人数为60×0.15=9（人），[120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）；∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n；在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A，则基本事件有（m，n），（m，a），…，（m，d），（n，a），…，（n，d），（a，b），…，（c，d）共15种；则事件A包含的基本事件有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9种；∴P（A）==．20．（12分）如图，直三棱柱A′B′C′﹣ABC，延长CB到点D，使BD=BC，点E为A′D的中点，∠ABC=90°，，A′A=2．（1）证明：BE∥平面A′ACC′；（2）求三棱锥A′﹣EB′C的体积′．【解答】（1）证明：∵E、B分别为A′D、DC的中点，∴EB∥A′C又A′C⊂平面A′ACC′，且BE⊄平面A′ACC′，∴BE∥平面A′ACC′（2）解：∵AB=BC=，∠ABC=90°，∴AC=2，又A′A=2，∴AC=A′A=2，∵A′B′C′﹣ABC为直三棱柱，∴∠A′B′C′=90°，∴A′B′⊥B′C′，又BB′⊥平面A′B′C′，∴A′B′⊥B′B，又B′C′∩BB′=B′，∴A′B′⊥平面BCC′B′．∴．21．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是直线x=﹣4与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为，焦距为2c，由题设条件知，a2=8，b=c所以=4，故椭圆的方程为；（II）椭圆C的左准线方程为x=﹣4，所以点P的坐标为（﹣4，0）显然直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为y=k（x+4）设点M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段MN的中点为G（x0，y0）由直线代入椭圆方程得（1+2k2）x2+16k2x+32k2﹣8=0．①由△=（16k2）2﹣4（1+2k2）（32k2﹣8）＞0解得﹣＜k＜．②因为x1，x2是方程①的两根，所以x1+x2=﹣，于是x0==﹣，y0=．因为x0==﹣≤0，所以点G不可能在y轴的右边，又直线F1B2，F1B1方程分别为y=x+2，y=﹣x﹣2所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为，即解得，此时②也成立．故直线l斜率的取值范围是．22．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．令f'（x）＞0，解得x＞；令f'（x）＜0，解得0＜x＜．从而f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．所以，当x=时，f（x）取得最小值﹣．（II）若2f（x）≥g（x），则a≤2lnx+x+，设h（x）=2lnx+x+，则h′（x）=+1﹣==∵x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min=h（1）=4故a≤4即实数a的取值范围为（﹣∞，4]证明：（III）若则，由（I）得：lnx•x ≥，当且仅当x=时，取最小值；设m（x）=，则m′（x）=，∵x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增，x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，故当x=1时，m（x ）取最大值故对一切x∈（0，+∞），都有成立．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo第21页（共21页）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
石家庄高二数学文科第一学期期末试题含答案
高二数学（文）一、选择题：1-5DCDAB 6-10CBADB 11-12AC 二、填空题13．160 14．20001,2x x x ∃≤-≤ 15．1k ≥ 16三、解答题17．解析:(Ⅰ)由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=， ．．．．．．．．．．．．．3分 解得0.018x =． ．．．．．．．．．．．．．．．．5分 (Ⅱ) 450.06550.06650.1750.54850.18950.0674x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．10分18．解：（I ）由所给茎叶图知，15位观众对甲选手的评分由小到大排序，排在8位的是88，故样本中位数为88，所以现场观众对甲选手评分的中位数估计值是88． ．．．．．．．3分 15位观众对乙选手的评分由小到大排序，排在8位的是84，故样本中位数为84，所以现场观众对乙选手评分的中位数估计值是84． ．．．．．．．．．．．．．6分（II ）由所给茎叶图知，对甲选手的评分的中位数高于对乙选手的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲选手的评分的标准差要小于对乙选手的评分的标准差；．．．．．．．9分说明甲选手的受欢迎程度较高，观众对甲选手的评价较为一致．．．．．．．．．．．．．．12分 （注：考生利用平均数等其他统计量进行分析，结论合理的同样给分） 19．解：设点M 的坐标为（x ，y ），则A 点的坐标为（x ，2y ），根据90OA ∠=,可得0AB AC ⋅=,．．．．．．．．．．．．．．．．3分代入坐标得：,2,222x y x y x x y y ⋅⨯⨯=(-2-)(2-)=(-2-)(2-)+0． ．．．．．．．．．．7分 化简可得22440x y -+=，即2214x y +=， ．．．．．．．．．．．．．．．10分又因为A 、B 、C 构成三角形不能共线，所以0y ≠，故动点M 的轨迹方程2214x y +=（0y ≠）． ．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（I ）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：．．．．．．．．．．．．．．．．2分0,1y ==，代入数据可得0ˆ7.2b =， ．．．．．．．．．．．．．．．4分 00ˆˆ1a y b x =-= ， ．．．．．．．．．．．．．．．．6分 由上述计算结果，知所求回归直线方程为ˆ2867.2(2010)1yx -=-+即7.214185y x =-．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （II ）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为7.2201514185323⨯-=（万吨）． ．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：（I ）代入直线方程可得(1)3f =-，求导可得2()32f x x ax b '=++，．．．．．．．．．2分根据题意可得(1)13(1)321f a b f a b =++=-⎧⎨'=++=⎩， ．．．．．．．．．．．．．．．．4分解得26a b =⎧⎨=-⎩； ．．．．．．．．．．．．6分（II ）由（I ）可得32()26f x x x x =+-，所以方程等价于32267x x x m x +-=-，即322x x x m ++=，令32()2h x x x x =++，2()341(31)(1)h x x x x x '∴=++=++， ．．．．．．．．．．．．．．．．8分令()0h x '=，解得13x =-或1x =-．当x 变化时，(),()h x h x '的变化情况如下表：．．．．．．．．．．．．．．．．10分要使322x x x m ++=有三个解，需要4027m -<<， 所以m 的取值范围是4027m -<<． ．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．解：（I ）坐标（0，－1）代入椭圆方程可得b =1，所以22163a c c a ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得32a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的方程是2213x y +=． ．．．．．．．．．．．．．．．3分 （II ）如下图所示由125F A F B =得，直线12F A F B 与平行，由椭圆的对称性可知，115F A CF =（其中C 为直线1F A 与椭圆的另一个交点）．设直线1F A 的方程为11222,(,),(,)x my A x y C x y =-,将2x my =-代入到椭圆方程中有22(2)33my y -+=，展开得：22(3)2210m y my +--=， ．．．．．．．．．．．．．．．5分x(,1)-∞-1-1(1,)3--13- 1(,)3-+∞ ()h x ' + 0 － 0＋ ()h x单调递增单调递减427-单调递增由根与系数的关系可知，122122313y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，（*） ．．．．．．．．．．．．．．．7分又由115F A CF =得125y y =-，代入到（*）中，求得22m =， 当2=m时，由2213x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得0,1,x y =⎧⎨=⎩或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=51526y x （舍去）．即A （0，1）当2-=m时，由2213x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得A （0，－1）．又因为A 、B 在上半椭圆，所以舍去．．．．．．．．．．．．．．．．10分 代入两点间距离公式得53321==BF AF ，，直线12||AF BF |和|之间的距离3|22|=d ，所以四边形21F ABF的面积125S =⨯=． ．．．．．．．．．．．．．12分。
河北省正定中学高二上学期期末考试数学试题
一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．设集合2{|2150}M x x x =+-<，2{|670}N x x x =+-≥，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知是虚数单位，和都是实数，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．3. 已知研究与之间关系的一组数据如下表所示，则对的回归直线方程必过点（ ）A ．B ．C ．D ．4. 一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是 （ ）A ．6B ．12C ．24D ．36 5.“实数”是“直线和直线 2:(31)10l m x my +--=相互平行”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为( )A. B. C. D.7. 已知各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值 为( )A ．16B ．8C ．D ．4 8. 执行右图所示的程序框图，若输入，则输出的值为A ．B ．C ．D ．9. 若直线和⊙O ∶相离,则过点的直线与椭圆的交点个数为( ) A. 至多一个 B. 2个 C. 1个 D. 0个10.设满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0.0(>>+=b a by ax z 的最大值为12，则的最小值为( )A ．B ．C ．D ．4正(主)视图俯视图 侧(左)视图11. 过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左顶点A 的斜率为的直线交椭圆于另一个点，且点在轴上的射影恰好为右焦点，若则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 12. 若定义在R 上的函数()(1)()y f x f x f x =+=-满足满足，且当时，，函数⎩⎨⎧≤>=1,21),1-(log )(3x x x x g x ，则函数在区间内的零点的个数为（ ）A ．6 B. 7 C. 8 D. 9 二．填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．14.在内任取一个实数，设，则函数的图像与轴有公共点的概率等于 。
河北省正定中学2016-2017学年高二上学期期末考试
河北省正定中学2016-2017学年高二上学期期末考试河北省正定中学2016-2017学年高二上学期期末考试出题人：李红亚审题人：侯路芳第卷阅读题一、现代文阅读（35分）（一）论述文阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1～3题。
在中国传统政治中，周制、尚文、礼乐是一组连续性的概念。
人们之所以推崇周制，原因在于它的尚文，即孔子所谓郁郁乎文哉，吾从周（《论语八佾》）。
而周制之所以被认为是尚文的，原因则在于它在诸多治国方略中选择了礼乐。
有一套贯通天道人心的价值体系：首先，就礼乐与人内在精神欲求的关联看，它是尽精微的。
孔子云：礼云礼云，玉帛云哉？乐云乐云，钟鼓云乎哉？就是强调礼乐在人心灵深处的奠基性。
其次，就礼乐与天道自然的关系看，它是致广大的。
《礼记乐记》云：大乐与天地同和，大礼与天地同节。
则将礼乐看作了充塞天地、洋溢万物的普通概念。
那么，在心灵的精微与天地的广大之间，礼乐如何存在？礼分为礼制、礼仪、礼容、礼器等诸多维度，乐则可分为乐德、乐语和乐舞。
在礼乐之间，礼为人的行为建立秩序，为了使这种秩序洋溢出生机活力，要以乐弘礼；乐作为使人性释放的力量，则极易导致人欲的泛滥，所以又要反过来以礼节乐。
礼与乐两种相互制衡的力量，共同塑造了一幅和谐社会的理想图景。
至孔子时代，诗与乐分离，礼乐并举被进一步具体化为诗、礼、乐三分。
个体的成人之路和国家的致太平之路，统一被规划为兴于诗，立于礼，成于乐式的三段论。
这样，在由周制、尚文、礼乐、诗礼乐等一系列概念规划的价值体系中，又进一步显现出一种阶梯式的上升之路，即在诗、礼、乐之间，存在着次第性的超越关系，乐境代表了理想政治所能达至的最高境界。
至此，我们当能总结出一个儒家政治次第上升的价值序列：首先，在礼乐与刑政之间，刑政是现实性的，礼乐是理想性的；其次，在礼乐之间，乐对礼具有超越关系。
再次，春秋晚期，虽然诗与乐发生了分离，但在根本意义上，中国上古时期的诗、乐、舞是不分的，它们共同归属于乐这个大概念。
2016-2017学年河北正定中学高二上月考一数学(文)试卷
2016-2017学年河北正定中学高二上月考一数学(文)试卷考试时间：100分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上1．设集合{}|0A x x =>，{}2|5140B x x x =--=，则A B 等于（ ） A ．{}|05x x << B ．{}|27x x <<C ．{}|25x x <<D ．{}|07x x <<2．运行下面的程序，若2x =，则输出的y 等于（ ）A ．9B ．7C ．13D ．113．为了了解某学校1200名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在66~78kg 的人数为（ ）A ．360B ．336C ．300D ．2804．下列结论判断正确的是（ ）A ．任意两条直线确定一个平面B ．三条平行直线最多确定三个平面C ．棱长为1的正方体的内切球的表面积为4πD ．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面//α平面γ5．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（ ）A ．a 为正相关，b 为负相关，c 为不相关B ．a 为负相关，b 为不相关，c 为正相关C ．a 为负相关，b 为正相关，c 为不相关D ．a 为正相关，b 为不相关，c 为负相关6．已知向量(1,7)m = 与向量(tan ,18tan )n αα=+ 平行，则tan 2α的值为（ ）A ．43-B ．43C ．34-D ．347．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（ ）A ．612π+B ．624π+C ．1212π+D ．2412π+8．若不等式30,20,1,x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩表示的平面区域为Ω，P 、Q 均为Ω内一点，O 为坐标原点，73z x y =-+，则下列判断正确的是（ ）A ．z 的最小值为1-B ．||OPC ．z 的最大值为15-D ．||PQ的最大值为9．执行右边的程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．710．已知函数()sin()6f x x π=+，其中,3x a π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若()f x 的值域是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则cos α的取值范围是（ ）A ．1[,1)2B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．设数列{}n a 的前n 项和n S ，若2222312222244123n a a a a n n++++=-…，且0n a ≥，则100S 等于（ ）A ．5048B ．5050C ．10098D ．1010012．在斜△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，4A π=，sin sin()2A B C C +-=，且△ABC 的面积为1，则a 的值为（ ）A ．2 B13．某服装设计公司有1200名员工，其中老年、中年、青年所占的比例为1:5:6．公司十年庆典活动特别邀请了5位当地的歌手和公司的36名员工同台表演节目，其中员工按老年、中年、青年进行分层抽样，则参演的中年员工的人数为 ．14．设函数42,0,()log ,0,a x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩且1(())54f f =，则a = ．15．若α为锐角，且3cos 25α=，则tan()4πα+= ． 16．若向量(,cos )x a e x = ，(1,2sin )b x = ，则函数()f x a b =⋅ 在区间[]2,2ππ-上的零点个数为 ．17．下面用茎叶图记录了同班的甲、乙两名学生4次数学考试成绩，其中甲的一次成绩模糊不清，用x 标记．（1）求甲生成绩的中位数与乙生成绩的众数；（2）若甲、乙这4次的平均成绩相同，确定甲、乙中谁的成绩更稳定，并说明理由．18．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，18a =，且41a -，5a ，431a +成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式及n S ；（2）若21log ()n n n b a a +=⋅，11n n n c b b +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 19．执行如图所示的程序框图．（1）若输入的2x =，5n =，求输出的s 的值；（2）若输入的4x =，输出的46s =，求输入的n （*n N ∈）的值．20．某公司2016年前三个月的利润（单位：百万元）如下：（1）求利润y 关于月份x 的线性回归方程；（2）试用（1）中求得的回归方程预测4月和5月的利润；（3）试用（1）中求得的回归方程预测该公司2016年从几月份开始利润超过1000万？ 相关公式：121()()()n i i i n ii x x y y b x x ==--=-∑∑ 1221ni ii n i i x y nx y x nx ==-=-∑∑， ay bx =- ．21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，12AB AA ==，AC =3BC =，M ，N 分别为11B C 、1AA 的中点．（1）求证：平面1ABC ⊥平面11AAC C ；（2）求证：//MN 平面1ABC ，并求M 到平面1ABC 的距离．22．已知点(5,4)G ，圆1C ：22(1)(4)25x y -+-=，过点G 的动直线l 与圆1C 相交于E 、F 两点，线段EF 的中点为C ，且C 在圆2C 上．（1）若直线10mx ny +-=（0mn >）经过点G ，求mn 的最大值；（2）求圆2C 的方程； （3）若过点(1,0)A 的直线1l 与圆2C 相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ．1l 与2l ：220x y ++=的交点为N ，求证：||||AM AN ⋅为定值．参考答案1．D【解析】试题分析：由{}2|5140{2,7}B x x x =--==-，所以{}|07A B x x =<< ，故选D ． 考点：集合的运算．2．A【解析】试题分析：由题意得，2x =，第一步运算得32513y =+=，第二步运算得1349y =-=，故选A ．考点：算法语言．3．B【解析】试题分析：由频率分布直方图得到体重在66~78kg 的男生的频率为(0.040.02001)40.28++⨯=，所以估计该校高中男生体重在66~78k g 的人数为0.281200336⨯=人，故选B ．考点：频率分布直方图．4．B【解析】试题分析：对于A 中，棱长为1的正方体的内切球的表面积为π，所以是错误的；对于C 中，正方体1111ABCD A BC D -中，AB 与11C D 是平行的，所以是错误的；对于D 中，平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面//α平面γ或平面α与γ相交，所以不正确，故选B ． 考点：命题的真假判定．5．D【解析】试题分析：根据变量的相关性可知，由图象可知，图a 中，表示正相关，图b 中，两个变量不相关；图c 中，变量为负相关，故选D ．考点：变量的相关性．6．C【解析】试题分析：由向量(1,7)m = 与向量(tan ,18tan )n αα=+ 平行，所以17tan 18tan αα=+，解得tan =3α，又22tan 3tan 21tan 4ααα==-+，故选C ． 考点：向量的运算；正切的二倍角公式．7．A【解析】试题分析：由题意得，根据给定的三视图，该几何体可得原几何体表示前半部分是一个底面为直角三角形，且直角边分别为2和4的三角形，侧棱为3的直三棱柱，后半部分表示一个底面半径为2，母线长为3的半个圆柱，所以该几何体的体积为2112432361222V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ． 考点：几何体的三视图与几何体的体积．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据给定的三视图得出该几何体可得原几何体表示前半部分是一个底面为直角三角形，且直角边分别为2和4的三角形，侧棱为3的直三棱柱，后半部分表示一个底面半径为2，母线长为3的半个圆柱是解答的关键．8．D【解析】试题分析：由题意得，画出不等式30,20,1,x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩表示的平面区域，如图所示，目标函数73z x y =-+，可化为733z y x =+，此时当目标函数经过点(1,2)A 时，目标函数取得最大值，此时最大值为max 1z =-；当目标函数经过点(2,3)B 时，目标函数取得最小值，此时最小值为min 6z =-；其中在平面区域中两点间的最大距离AC ==即||PQ的最大值为D ．考点：简单的线性规划．9．A【解析】试题分析：模拟程序的运行，可得：1,1m n ==，执行循环体，不满足条件,3,2m n m n >==，不满足条件9m n +=，执行循环体，满足条件,2,3m n m n >==；不满足条件9m n +=，执行循环体，满足条件,5,4m n m n >==；满足条件9m n +=，退出循环，输出结果4，故选A ．考点：程序框图．10．B【解析】试题分析：因为()sin()6f x x π=+的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以由函数的图象可知7266a πππ≤+≤，所以解得[,]3a ππ∈，所以cos α的取值范围是11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B ． 考点：正弦函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中涉及到正弦函数()f x 的图象与性质、余弦函数的值域等知识的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据函数()f x 的值域，求解[,]3a ππ∈是解答的关键，属于中档试题．11．C【解析】试题分析：由2222312222244123n a a a a n n ++++=-…，则2222311222224(1)448123(1)n a a a a n n n -++++=--=--…，两式相减，可得222244n n a a n n =⇒=，又因为0n a ≥，所以2n a n =，所以1100100100()2a a S += 100(2200)100982+==，故选C ． 考点：数列求和．【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到数列的递推关系的应用、等差数列的通项公式、得出数列的前n 项和公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的思维量，属于中档试题，本题的解答中根据数列的递推关系式，求解2n a n =是解得的关键．12．B【解析】试题分析：由题意得，sin sin()2A B C C +-=，利用和差公式、倍角公式展开可得sin B C =，利用正弦定理可得b =，由余弦定理可得22222)2cos54a c c π=+-⨯=，因为ABC ∆的面积为1，所以1sin 12bc A =，所以21sin 124π⨯⨯=，解得21c =，所以a =B ． 考点：正弦余弦、余弦定理和三角形的面积公式．【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理、两角和与差的公式、倍角公式和三角形的面积公式的综合应用，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据题设条件，利用三角恒等变换的公式，化简得出b =是解答的关键．13．15【解析】试题分析：由题意得，根据分层抽样的方法，可知在参演的中年员工的人数为53615156⨯=++人． 考点：分层抽样．14．3【解析】试题分析：由函数42,0()log ,0a x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，则411(())(log )(1)2544f f f f a ==-=+=，解得3a =．考点：分段函数求值．15．3【解析】 试题分析：由题意得，因为2234cos 22cos 1cos 55ααα=-=⇒=，因为α为锐角，所以cos 55αα==，所以1tan 2α=，所以11tan 12tan()3141tan 12πααα+++===--． 考点：三角函数的化简求值．【方法点晴】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中涉及到余弦的二倍角公式的应用、三角函数的基本关系式、两角和的正切公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中根据余弦的二倍角公式和三角函数的基本关系式，求得tan α的值是解答的关键，属于基础题．16．3【解析】试题分析：由s i n 2,[2,2]22()2sin cos 3sin 2,[2,2]22x x x e x x k k f x a b e x x e x x k k ππππππππ⎧+∈-++⎪⎪=⋅=+=⎨⎪-∈++⎪⎩ （k Z ∈），则函数()f x 的零点可转化为x y e =-和sin 2,[2,2]22y x x k k ππππ=∈-++，函数xy e =和 3sin 2,[2,2]22y x x k k ππππ=∈++在区间[]7,0-上的交点个数，作出函数的图象，如图所示，两个函数共有,,A B C ，共有五个交点，所以函数()f x a b =⋅ 在区间[]2,2ππ-上的零点个数为3个．考点：函数的零点的判断．【方法点晴】本题主要考查了函数的零点问题的判断，其中解答中涉及到三角函数的化简、三角函数的图象与性质、知识函数的图象等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点是解答的关键．17．（1）83，85；（2）乙的成绩更稳定．【解析】试题分析：（1）根据茎叶图，利用中位数和众数的概念，即可求解甲生成绩的中位数与乙生成绩的众数；（2）根据平均数和方差的公式，求出平均数和方差，即可得出结论．试题解析：（1）甲生成绩的中位数为8482832+=，乙生成绩的众数为85． （2）∵90818284908085858544x +++++++==，∴3x =． ∵22222145(9385)(8185)(8285)(8485)42s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦甲， 2222212545(9085)(8085)(8585)(8585)422s ⎡⎤=-+-+-+-=<⎣⎦乙， ∴乙的成绩更稳定．考点：样本估计总体；平均数与方差．18．（1）22n n a +=；（2）1449n n n T =+． 【解析】试题分析：（1）设数列{}n a 的公比为q ，根据题意数列的公比，利用等比数列的通项公式，即可求解数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）得出25n b n =+，111()22527n c n n =-++，利用等差数列求和公式和裂项求和即可求解数列的和．试题解析：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由题意知4533a S S =-45a a =+，∴542a a =，∴2q =.∴1212n n n a a q -+=⋅=．（2）由（1）可得2325n b n n n =+++=+，1111()(25)(27)22527n c n n n n ==-++++，∴2(725)62n n n P n n ++==+，1111111()27991125271449n n Q n n n =-+-++-=+++…． 考点：数列的通项公式；数列的求和．19．（1）203s =；（2）2n =．【解析】试题分析：（1）根据程序框图的循环结构，根据判断框的条件，即可求解；（2）根据第一次运算，第二次运算，即可得出3n <，即可求解n 的值．试题解析：（1）第一次运算：2s =，5s =，2k =；第二次运算：527s =+=，16s =，3k =；第三次运算：16319s =+=，41s =，4k =；第四次运算：41445s =+=，94s =，5k =；第五次运算：94599s =+=，203s =，65k =>，输出203s =．（2）第一次运算：2s =，9s =，2k =，此时2n >不成立，则2n ≥．第二次运算：11s =，45s =，3k =，此时3n >成立，则3n <，∴23n ≤<，又*n N ∈，∴2n =．考点：程序框图的运算．20．（1） 1.750.3y x =+；（2）730万，905万；（3）公司2016年从6月份开始利润超过1000万．【解析】试题分析：（1）根据平均数和最小二乘法的公式，求解ˆb ，求出ˆa ，即可求解回归方程；（2）把4x =和5x =分别代入，回归直线方程，即可求解；（3）令1.750.310x +=，即可求解x 的值，得出结果．试题解析：（1）2x =， 3.8y =，12213 1.753n i ii n i i x y xy b xx ==-==-∑∑ ，0.3a y bx=-= ， 故利润y 关于月份x 的线性回归方程为 1.750.3y x =+．（2）当4x =时， 1.7550.37.3y =⨯+=，故可预测4月的利润为730万．当5x =时， 1.7550.39.05y =⨯+=，故可预测5月的利润为905万．（3）由1.750.310x +=，得 5.5x ≈，故公司2016年从6月份开始利润超过1000万． 考点：回归直线方程的应用．21．（1）证明见解析；（2【解析】试题分析：（1）由勾股定理，得出AB AC ⊥，再根据1AA ⊥平面ABC ，利用线面垂直的判定定理，证得AB ⊥平面11AAC C ，即可证明平面1ABC ⊥平面11AAC C ；（2）取1BB 中点D ，∵M 为11B C 中点，∴1//MD BC ，又N 为1AA 中点，四边形11ABB A 为平行四边形，∴//DN AB ，即可得出平面//MND 平面1ABC ，进而得出//MN 平面1ABC ，进而即可求解M 到平面1ABC 的距离．试题解析：证明：（1）∵222AB AC BC +=，∴AB AC ⊥，又1AA ⊥平面ABC ，∴1AA AB ⊥，又1AC AA A = ，∴AB ⊥平面11AAC C ， ∵AB ⊂平面1ABC ，∴平面1ABC ⊥平面11AAC C ．（2）取1BB 中点D ，∵M 为11B C 中点，∴1//MD BC ，又N 为1AA 中点，四边形11ABB A 为平行四边形，∴//DN AB ，又MD DN D = ， ∴平面//MND 平面1ABC ．∵MN ⊂平面MND ，∴//MN 平面1ABC ．∴N 到平面1ABC 的距离即为M 到平面1ABC 的距离．过N 作1NH AC ⊥于H ，∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ，∴NH ⊥平面1ABC ，∴11111122AA AC NH AC ⨯=⨯==． ∴点M 到平面1ABC（或由等体积法可求）考点：线面位置关系的判定与证明；点到直线的距离．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面的位置关系的判定与证明、点到直线的距离，其中解答中涉及到直线与平面的判定定理、勾股定理、点到直线的距离，直线与平面平行的判定等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记线面位置关系的判定与证明，以及转化思想是解答的关键．22．（1）180；（2）22(3)(4)4x y -+-=；（3）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）由10mx ny +-=，利用基本不等式，求得180mn ≤，即可求得mn 的最大值；（2）由圆1C 的圆心为(1,4)，半径为5，设设(,)C x y ，得出1C C ，CG ，利用由题设知10C C CG ⋅= ，即可求解圆2C 的方程；（3）设直线1l 的方程为0kx y k --=（0k ≠），直线方程与圆的方程联立，利用根与系数的关系，得出点N 的坐标，同理得出M 的坐标，即可求解||||AM AN ⋅为定值．试题解析：（1）∵541m n +-≥，∴180mn ≥，即180mn ≤，∴max 1()80mn =． （2）圆1C 的圆心为(1,4)，半径为5， 设(,)C x y ，则1(1,4)C C x y =-- ，(5,4)CG x y =-- ，由题设知10C C CG ⋅= ，∴(1)(5)(4)(4)0x x y y --+--=，即22(3)(4)4x y -+-=，∴2C 的方程是22(3)(4)4x y -+-=．（3）设直线1l 的方程为0kx y k --=（0k ≠）．由220,0,x y kx y k ++=⎧⎨--=⎩得223(,)2121k k N k k --++， 又直线2C M 与1l 垂直， 由14(3),y kx k y x k =-⎧⎪⎨-=--⎪⎩，得22224342(,)11k k k k M k k +++++，∴||||AM AN ⋅=22|21|61k k +==+（定值）． 考点：基本不等式求最值；圆的方程；直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的综合应用，其中解答中涉及到基本不等式求解最值、圆的标准方程的求解、直线与圆的位置关系等知识点的综合考查，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，此类问题的解答中把直线的方程与圆的方程联立，转化为利用方程的根与系数的关系是解答的关键．。
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2016-2017学年河北省石家庄市正定中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，M={x|y=lg（1﹣）}，N={x|y=}，则N∩（∁U M）=（）A．∅B．[1，2]C．[0，2]D．[2，+∞）2．（5分）已知i是虚数单位，复数z=（x2﹣1）+（x+1）i是纯虚数，则实数x 的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．23．（5分）已知m∈R，“方程e x+m﹣1=0有解”是“函数y=log m x在区间（0，+∞）为减函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知a，b是异面直线，直线c∥a，那么c与b（）A．一定是异面B．一定是相交直线C．不可能是相交直线D．不可能是平行直线5．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A．15 B．105 C．120 D．7206．（5分）高二某班共有学生60人，座号分别为1，2，3，…，60现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为5的样本．已知4号、28号、40号、52号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．14 B．16 C．36 D．567．（5分）在区间[1，6]上随机地取一个数x，则事件“”发生的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数为偶函数，则m的最小值为（）A．B．C． D．9．（5分）给出下列结论：在回归分析中可用（1）可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；（2）可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；（3）可用相关系数r的值判断模型的拟合效果，r越大，模型的拟合效果越好；（4）可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．以上结论中，正确的是（）A．（1）（3）（4）B．（1）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）10．（5分）已知圆的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x12．（5分）已知a，b∈R且a≠b，若ae a=be b（e为自然对数的底数），则下列正确的是（）A．lna﹣lnb=b﹣a B．lna﹣lnb=a﹣bC．ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=b﹣a D．ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=a﹣b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．（5分）抛物线y=4x2的准线方程为．14．（5分）设向量，若向量与平行，则m=．15．（5分）已知f（x）=x3﹣3ax2﹣9a2x﹣bc其中（a＞0）有三个零点1，b，c，且b＜1＜c，现给出如下结论：①；②；③b＞0；④b＜0；，则其中正确结论的序号是．16．（5分）在半径为2的球面上有不同的四点A，B，C，D，若AB=AC=AD=2，则平面BCD被球所截得图形的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4．（1）求函数f（x）的极值；（2）求曲线在点（2，f（2））处的切线方程．18．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，且满足a1=6，a2，a6，a14成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=，求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1为正方形，侧面BB1C1C 为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C（1）求证：平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（2）若AB=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）北京某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．（1）求频率分布表中n，p的值，并补充完整相应的频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至多有1名学生被甲考官面试的概率．21．（12分）已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P 在AM上，点N在CM上，且满足|AP|=|PM|，NP⊥MA，点N的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G，H（点G在F，H之间），且满足，求实数λ的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（2）若在区间（0，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年河北省石家庄市正定中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016秋•正定县校级期末）已知全集U=R，M={x|y=lg（1﹣）}，N={x|y=}，则N∩（∁U M）=（）A．∅B．[1，2]C．[0，2]D．[2，+∞）【解答】解：由1﹣＞0得：x＜0，或x＞2，故∁U M=[0，2]，由x﹣1≥0得：x≥1，故N=[1，+∞），∴N∩（∁U M）=[1，2]故选：B2．（5分）（2013•枣庄一模）已知i是虚数单位，复数z=（x2﹣1）+（x+1）i是纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．2【解答】解：由i是纯虚数，得，解得x=1．故选B．3．（5分）（2016秋•正定县校级期末）已知m∈R，“方程e x+m﹣1=0有解”是“函数y=log m x在区间（0，+∞）为减函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：方程e x+m﹣1=0有解，则m=1﹣e x＜1．函数y=log m x在区间（0，+∞）为减函数，则0＜m＜1．“方程e x+m﹣1=0有解”是“函数y=log m x在区间（0，+∞）为减函数”的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）（2016秋•正定县校级期末）已知a，b是异面直线，直线c∥a，那么c与b（）A．一定是异面B．一定是相交直线C．不可能是相交直线D．不可能是平行直线【解答】解：∵直线a与b是异面直线，直线c∥a，∴直线b和c有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上，如果b和c在同一平面上的话，二者的位置关系为相交；如果b和c不在同一平面上，二者的位置关系为异面．如果b∥c，则a∥b与已知a，b是异面直线矛盾；故选：D．5．（5分）（2016•江西模拟）执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A．15 B．105 C．120 D．720【解答】解：输入N=6，则k=1，p=1，第一次运行p=1×1=1，此时k=1＜6，第二次运行k=1+2=3，p=1×3=3；第三次运行k=3+2=5，p=3×5=15；第四次运行k=5+2=7，P=15×7=105；不满足条件k＜6，程序运行终止，输出P值为105，故选B．6．（5分）（2016秋•正定县校级期末）高二某班共有学生60人，座号分别为1，2，3，…，60现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为5的样本．已知4号、28号、40号、52号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．14 B．16 C．36 D．56【解答】解：∵样本容量为5，∴样本分段间隔为60÷5=12，∵4号、28号、40号、52号同学在样本中，∴样本中还有一个同学的座号是16，故选B．7．（5分）（2016秋•正定县校级期末）在区间[1，6]上随机地取一个数x，则事件“”发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在区间[1，6]上随机地取一个数x，则x所占的区间长度为6﹣1=5，不等式可解得2≤x≤4，∴事件“”发生x所占的区间长度为4﹣2=2，∴由几何概型可得所求概率为故选：C．8．（5分）（2016秋•正定县校级期末）已知函数为偶函数，则m的最小值为（）A．B．C． D．【解答】解：函数为偶函数，即=，（k∈Z），解得：m=，∵m＞0，当k=﹣1时，m取得最小值，即m=．故选C．9．（5分）（2013•西湖区校级模拟）给出下列结论：在回归分析中可用（1）可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；（2）可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；（3）可用相关系数r的值判断模型的拟合效果，r越大，模型的拟合效果越好；（4）可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．以上结论中，正确的是（）A．（1）（3）（4）B．（1）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）【解答】解：用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，故（1）正确；可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故（2）不正确；可用相关系数r的值判断模型的拟合效果，|r|越大，模型的拟合效果越好，而不是r越大，模型的拟合效果越好，当r为负值时则不然．故（3）不正确；可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．故（4）正确．综上可知命题（1）、（4）正确．故选B．10．（5分）（2016春•赣州期末）已知圆的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，∴整理得：（x﹣4）2+y2=1，∴圆心为C（4，0），半径r=1．又∵直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴点C到直线y=kx+2的距离小于或等于2，∴≤2，化简得：3k2+4k≤0，解之得﹣≤k≤0，∴k的最小值是﹣．故选：A．11．（5分）（2014•福建二模）已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x【解答】解：椭圆+x2=1的焦点坐标为（0，±2）．双曲线my2﹣x2=1（m∈R）的焦点坐标为（0，±），∵双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，∴=2，∴m=，∴双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：A．12．（5分）（2014•南昌模拟）已知a，b∈R且a≠b，若ae a=be b（e为自然对数的底数），则下列正确的是（）A．lna﹣lnb=b﹣a B．lna﹣lnb=a﹣bC．ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=b﹣a D．ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=a﹣b【解答】设f（x）=xe x，则f'（x）=（x+1）e x，由f′（x）＞0得x＞﹣1．由f′（x）＜0得x＜﹣1，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）为减函数，（﹣1，+∞）增函数，即当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=﹣＜0，∵f（0）=0，且当x＜0时，f（x）＜0．∴由f（a）=f（b）知a＜0，b＜0．由（﹣a）e a=（﹣b）e b得ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=b﹣a．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．（5分）（2015•固原校级模拟）抛物线y=4x2的准线方程为．【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y=﹣故答案为：．14．（5分）（2016秋•正定县校级期末）设向量，若向量与平行，则m=﹣．【解答】解：向量，∴=（2m﹣1，4），=（﹣2﹣m，3）；若向量与平行，则3（2m﹣1）﹣4（﹣2﹣m）=0，解得m=﹣．故答案为：﹣．15．（5分）（2016秋•正定县校级期末）已知f（x）=x3﹣3ax2﹣9a2x﹣bc其中（a ＞0）有三个零点1，b，c，且b＜1＜c，现给出如下结论：①；②；③b＞0；④b＜0；，则其中正确结论的序号是②④．【解答】解：∵f（x）=x3﹣3ax2﹣9a2x﹣bc其中（a＞0）∴f′（x）=3x2﹣6ax﹣9a2=3（x+a）（x﹣3a），令f′（x）=0，解得x=﹣a，x=3a．∴﹣a（﹣a＜0）是函数f（x）的极大值点，3a是函数f（x）的极小值点．∵函数f（x）有三个零点1，b，c，且b＜1＜c，∴f（﹣a）=﹣a3﹣3a3+9a3﹣bc＞0，f（3a）=27a3﹣27a3﹣27a3﹣bc＜0，f（1）=1﹣3a﹣9a2﹣bc=0．b＜0，f（b）=b3﹣3ab2﹣9a2b﹣bc=0，f（c）=c3﹣3ac2﹣9a2c﹣bc=0．化为：b2﹣3ab﹣9a2﹣c=0，c2﹣3ac﹣9a2﹣b=0．相减可得：b+c﹣3a+1=0．化为：5a3﹣bc＜0，27a3+bc＞0，可得：9a2+3a﹣1＞0，a＞0．解得a＞＞．故答案为：②④16．（5分）（2015•唐山一模）在半径为2的球面上有不同的四点A，B，C，D，若AB=AC=AD=2，则平面BCD被球所截得图形的面积为3π．【解答】解：先在球面选取A点，在球面上有B，C，D三点到A距离相等，可知B，C，D在同一截面上，且OA垂直于平面BCD；如图：有AB=AC=AD=2，OB=OC=OD=OA=2，所以△OAB，△OAC，△OAD均为等边三角形．所以截面BCD所在圆的半径为r=；所以截面面积为：3π．故答案为3π．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）（2016秋•正定县校级期末）已知函数f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4．（1）求函数f（x）的极值；（2）求曲线在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：（1）函数f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4，f′（x）=3x2﹣8x+5=（3x﹣5）（x﹣1），令f′（x）=0，得x=1或x=…（2分）当x＜1或时，f′（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，1）和（，+∞）上是增函数；当时，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，）上是减函数，∴x=时，函数取得极小值f（）=，x=1时，函数取得极大值f（1）=﹣2…（5分）（2）f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4，∴f（2）=﹣2，f′（x）=3x2﹣8x+5，∴f′（2）=1，…（8分）所以，切线过点（2，﹣2），斜率为1，故求曲线在点（2，f（2））处的切线方程为y=x﹣4…（10分）18．（12分）（2016秋•正定县校级期末）已知等差数列{a n}的公差不为零，且满足a1=6，a2，a6，a14成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵a2，a6，a14成等比数列．∴=a2•a14，∴（6+5d）2=（6+d）（6+13d），化为d2﹣2d=0，d≠0，解得d=2．所以a n=6+2（n﹣1）=2n+4．（2）b n===，∴数列{b n}的前n项和S n═++…+==．19．（12分）（2016秋•正定县校级期末）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C（1）求证：平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（2）若AB=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．【解答】（1）证明：由侧面ABB1A1为正方形，知AB⊥BB1．又AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，所以AB⊥平面BB1C1C，又AB⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥BB1C1C．…（5分）解：（2）设O是BB1的中点，连结CO，则CO⊥BB1．由（1）知，CO⊥平面ABB1A1，且CO=BC=AB=…（7分）连结AB1，则=•CO=AB2•CO=…（9分）因===，则h=．故三棱柱ABC﹣A1B1C1的高…（12分）20．（12分）（2016秋•正定县校级期末）北京某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．（1）求频率分布表中n，p的值，并补充完整相应的频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至多有1名学生被甲考官面试的概率．【解答】解：（1）由题意可知，第2组的频数n=0.35×100=35人，第3组的频率p==0.30；（2）∵第4、5组共有30名学生，∴利用分层抽样在30名学生中抽取6名学生，每组分别为：第4组：×6=4人，第5组：×6=2人，∴第4、5组分别抽取4人、2人；（3）试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有C62=15种满足条件的事件是第4组至多有一名学生被考官甲面试有C22+=9种结果，∴至少有一位同学入选的概率为：=．21．（12分）（2016秋•正定县校级期末）已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足|AP|=|PM|，NP ⊥MA，点N的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G，H（点G在F，H之间），且满足，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）因为|AP|=|PM|，NP⊥MA，所以NP为线段AM的垂直平分线，|NA|=|NM|，|NC+|NA|=|NC|+|NM|=2＞2=|CA|，所以动点N的轨迹是以C（﹣1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，…..（3分）且长轴长为2A=2，焦距2c=2，所以A=，c=1，b2=1，曲线E的方程为=1…（5分）（2）当斜率不存在时，直线与曲线E有2个交点此时参数的值为，不妨设FH斜率为k，且将原点移至F，则直线FH方程为y=kx，椭圆方程变为+（y﹣2）2=1，将直线方程代入椭圆得+（kx﹣2）2=1，整理得（1+2k2）x2﹣8kx+6=0，直线与曲线E有二不同的交点，故△=（﹣8k）2﹣4•6（1+2k2）=16k2﹣24＞0，即k2＞，因为左右对称，可以研究单侧，当k＞0时，λ===，令t=∈（0，1），则λ=，t∈（0，1），由于λ=﹣1，故函数在t∈（0，1）上是减函数，故，综上，参数的取值范围是．22．（12分）（2017•惠州模拟）已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（2）若在区间（0，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为f′（x）=﹣+=，（2分）当a=1，f′（x）=，令f'（x）=0，得x=1，（3分）又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：所以x=1时，f（x）的极小值为1．（5分）f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（6分（2）∵f′（x）=，（a≠0，a∈R）．令f′（x）=0，得到x=，若在区间[0，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0即可．（i）当x=＜0，即a＜0时，f′（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，∴f（x）在区间[1，e]上单调递减，故f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（e）=+alne=+a，由+a＜0，得a＜﹣；（ii）当x=＞0，即a＞0时，①若e≤，则f′（x）≤0对x∈（0，e]成立，∴f（x）在区间（0，e]上单调递减，∴f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（e）=+alne=+a＞0，显然，f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0不成立．②若1＜＜e，即a＞时，则有），∴f（x）在区间[0，e]上的最小值为f（）=a+aln，由f（）=a+aln=a（1﹣lna）＜0，得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）．综上，由（1）（2）可知：a∈（﹣∞，﹣）∪（e，+∞）．参与本试卷答题和审题的老师有：豫汝王世崇；sxs123；沂蒙松；changq；清风慕竹；lcb001；左杰；zlzhan；刘长柏；maths；lily2011；742048；陈远才；qiss；刘老师（排名不分先后）hu2017年3月7日。