江苏省南通中学2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题 文
江苏省南通市如皋中学2016-2017学年高二下学期第二次段考数学试题(解析版)
江苏省南通市如皋中学2016-2017学年高二下学期第二次段考（解析版）一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（4）的值为．2．已知集合A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5，7，9}，C=A∩B，则集合C的子集的个数为．3．函数f（x）=的定义域为．4．由命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是（a，+∞），则实数a=．5．函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为．6．如果实数x，y满足线性约束条件，则z=x+y﹣2的最小值等于．7．函数f（x）=log a|x|在（0，+∞）上单调递减，则f（﹣2）f（a+1）（填“＜”，“=”，“＞”之一）．8．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cos x在R上单调递增”的条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）9．设奇函数y=f（x）（x∈R），满足对任意t∈R都有f（t）=f（1﹣t），且时，f（x）=﹣x2，则的值等于．10．已知正数a，b，c满足4a﹣2b+25c=0，则lg a+lg c﹣2lg b的最大值为．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=（）|x﹣1|+m，若函数f（x）有5个零点，则实数m的取值范围是．12．已知关于x的不等式x2﹣4x+t≤0的解集为A，若（﹣∞，t]∩A≠∅，则实数t的取值范围是．13．设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=．14．已知f（x）=（x+1）|x|﹣3x．若对于任意x∈R，总有f（x）≤f（x+a）恒成立，则常数a的最小值是．二．解答题：（本大题共6小题，共90分.请在答题纸指定区域作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），命题q：实数x满足. （1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．16．已知函数g（x）=是奇函数，f（x）=log4（4x+1）+mx是偶函数．（1）求m+n的值；（2）设h（x）=f（x）+x，若g（x）＞h[log4（2a+1）]对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．17．如图，某水域的两直线型岸边l1，l2成定角120°，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A相距1公里的D处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC（B，C分别在l1和l2上），围出三角形ABC养殖区，且AB和AC都不超过5公里．设AB=x公里，AC=y公里．（1）将y表示成x的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？18．设A=[﹣1，1]，B=[﹣2，2]，函数f（x）=2x2+mx﹣1，（1）设不等式f（x）≤0的解集为C，当C⊆（A∩B）时，求实数m的取值范围；（2）若对任意x∈R，都有f（1﹣x）=f（1+x）成立，试求x∈B时，函数f（x）的值域；（3）设g（x）=2|x﹣a|﹣x2﹣mx（a∈R），求f（x）+g（x）的最小值．19．已知函数f（x）=e x，g（x）=ax+b（a，b∈R）．（1）设h（x）=xg（x）+1．①若a≠0，则a，b满足什么条件时，曲线y=f（x）与y=h（x）在x=0处总有相同的切线？②当a=1时，求函数F（x）=单调区间；（2）若集合{x|f（x）＜g（x）}为空集，求ab的最大值．20．已知函数f（x）=e x，g（x）=ln x+1，（1）求函数h（x）=f（x﹣1）﹣g（x）在区间[1，+∞）上的最小值；（2）已知1≤y＜x，求证：e x﹣y﹣1＞ln x﹣ln y；（3）设H（x）=（x﹣1）2f（x），在区间（1，+∞）内是否存在区间[a，b]（a＞1），使函数H（x）在区间[a，b]的值域也是[a，b]？请给出结论，并说明理由．参考答案一.填空题1．2【解析】设幂函数y=f（x）=xα，∵f（x）的图象过点（，），∴=，∴α=，∴f（x）=∴f（4）==2，故答案为：2．2．8【解析】∵A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5，7，9}，∴C=A∩B={1，3，5}，则集合C的子集个数为23=8，故答案为：83．（0，1）∪（1，2）【解析】要使原函数有意义，则，解得：0＜x＜2，且x≠1．∴函数f（x）=的定义域为：（0，1）∪（1，2）．故答案为：（0，1）∪（1，2）．4．1【解析】存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，∴其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m＞0”，∴Δ=4﹣4m＜0，∴m＞1，m的取值范围为（1，+∞）．则a=15．﹣2【解析】∵f（x）=，∴f（﹣1）=，∴f（f（﹣1））=f（）==﹣2．故答案为：﹣2．6．﹣3【解析】作出线性约束条件所对应的可行域（如图），变形目标函数可得y=﹣x+2+z，平移直线y=﹣x可知，当直线经过点A（﹣2，1）时，截距2+z取最小值，z取最小值，代值计算可得z的最小值为z=﹣2+1﹣2=﹣3故答案为：﹣3．7．＜【解析】∵函数f（x）=log a|x|在（0，+∞）上单调递减，∴0＜a＜1，1＜a+1＜2，∴|﹣2|＞|a+1|，∴f（﹣2）=log a2＜f（a+1）=log a（a+1）．故答案为：＜．8．充分不必要条件【解析】由“a＞1”，可得f′（x）=1﹣sin x＞0，故“函数f（x）=a•x+cos x在R上单调递增”，故充分性成立．由“函数f（x）=a•x+cos x在R上单调递增”，可得f′（x）=1﹣sin x≥0，a≥1，不能得到“a＞1”，故必要性不成立，故答案为：充分不必要条件．9．【解析】∵奇函数y=f（x）（x∈R），满足对任意t∈R都有f（t）=f（1﹣t），且时，f（x）=﹣x2，∴f（3）=f（1﹣3）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣[f（1﹣2）]=﹣f（﹣1）=f（1）=f（0）=0．=====﹣．∴=﹣．故答案为：﹣．10．﹣2【解析】由题意：4a﹣2b+25c=0，变形为：4a+25c=2b，∵4a+25c，当且仅当4a=25c时，取等号．∴2b；即b2≥100ac那么：lg a+lg c﹣2lg b=lg≤lg=lg10﹣2=﹣2故答案为：﹣2．11．【解析】f（x）是奇函数，f（x）有5个零点，x=0是1个，只需x＞0时有2个零点即可，当x＞0时，f（x）=（）|x﹣1|+m，问题转化为y=﹣m和g（x）=（x＞0），的交点个数即可，函数画出g（x）的图象，如图示：，结合图象只需＜﹣m＜1，即﹣1＜m＜﹣，故答案为：．12．[0，4]【解析】关于x的不等式x2﹣4x+t≤0的解集为A，且（﹣∞，t]∩A≠∅，等价于二次函数f（x）=x2﹣4x+t，在区间（﹣∞，t]内至少存在一个数c使得f（c）≤0，其否定是：对于区间（﹣∞，t]内的任意一个x都有f（x）＞0，∴①或②；由①得，解得t＜0；由②得，解得t＞4；即t＜0或t＞4；∴二次函数f（x）在区间（﹣∞，t]内至少存在一个实数c，使f（c）≤0的实数t的取值范围是[0，4]．故t的取值范围是[0，4]．故答案为：[0，4]．13．1【解析】根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=t+log2x，又由f（t）=6，可得t+log2t=6，可解得t=4，故f（x）=4+log2x，f′（x）=，又x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，所以x0是函数F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4=log2x﹣的零点，分析易得F（1）=﹣＜0，F（2）=1﹣=1﹣＞0，故函数F（x）的零点介于（1，2）之间，故a=1，故答案为：114．【解析】f（x）=（x+1）|x|﹣3x=，作出分段函数图象如图：作平行于x轴的直线l与f（x）有3个交点，设最左边的点为M，最右边的点为N，则a的最小值为线段MN长度的最大值，设直线l：y=t，则MN=3+==3+．当且仅当1+t=4﹣t，即t=是上式取“=”．故答案为：．二．解答题15．解：（1）解x2﹣4ax+3a2＜0，a＞0，得：a＜x＜3a；∴命题p：a＜x＜3a，a＞0；命题q：2＜x≤3；∴a=1时，命题p：1＜x＜3，p∧q为真；∴p真q真；∴；∴2＜x＜3；∴实数x的取值范围为（2，3）；（2）￢p：x≤a，或x≥3a，a＞0；￢q：x≤2，或x＞3；∴若￢p是￢q的充分不必要条件，则：；∴1＜a≤2；∴实数a的取值范围为（1，2]．16．解：（1）由于g（x）为奇函数，且定义域为R，∴g（0）=0，即，∵，∴，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），得mx=﹣（m+1）x恒成立，故，综上所述，可得；（2）∵，∴h[log4（2a+1）]=log4（2a+2），又∵在区间[1，+∞）上是增函数，∴当x≥1时，由题意，得，因此，实数a的取值范围是：．17．解：（1）由S△ABD+S△ACD=S△ABC，得，所以x+y=xy，所以y=又0＜y≤5，0＜x≤5，所以≤x≤5，所以定义域为{x|≤x≤5}；（2）设△ABC的面积为S，则结合（1）得：S=xy sin A=sin 120°=（≤x≤5）=（x﹣1）++2≥4，当仅当x﹣1=，x=2时取等号．故当x=y=2时，面积S取最小值\平方公里．答：该渔民总共至少可以围出平方公里的养殖区．18．解：（1）由A=[﹣1，1]，B=[﹣2，2]，知：A∩B=[﹣1，1]；且二次函数f（x）的开口向上，f（0）=﹣1；由题意知不等式f（x）≤0的解集为C，当C⊆（A∩B）时，函数f（x）必有两零点，且两零点均在区间[﹣1，1]内；故只需：，解得﹣1≤m≤1；∴实数m的取值范围为[﹣1，1]；（2）对任意x∈R，都有f（1﹣x）=f（1+x）成立；∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称；∴，解得m=﹣4；∴函数f（x）=2（x﹣1）2﹣3，x∈[﹣2，2]；∴x=﹣2时，f（x）取最大值15，x=1时，f（x）取最小值﹣3；∴函数f（x）在区间B上的值域为[﹣3，15]；（3）令h（x）=f（x）+g（x）；则；①当a≤﹣1时，函数h（x）在区间（﹣∞，﹣1）是减函数，（﹣1，+∞）是增函数，此时h（x）min=h（﹣1）=﹣2a﹣2；②当﹣1＜a＜1时，函数h（x）在区间（﹣∞，a）是减函数，（a，+∞）是增函数，此时；③当a≥1时，函数f（x）在区间（﹣∞，1）是减函数，（1，+∞）是增函数，此时h（x）min=2a﹣2；综上：当a≤﹣1时，f（x）min=﹣2a﹣2，当﹣1＜a＜1时，当a≥1时f（x）min=2a﹣2．19．解：（1）h（x）=ax2+bx+1①∵f′（x）=e x，∴f′（0）=1，又f（0）=1，∴y=f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1.又∵h′（x）=2ax+b，∴h′（0）=b，又h（0）=1，∴y=h（x）在x=0处的切线方程为y=bx+1，所以当a≠0，a∈R且b=1时，曲线y=f（x）与y=h（x）在x=0处总有相同的切线．（2）由a=1，，∴，∴，…由F′（x）=0，得x1=1，x2=1﹣b，∴当b＞0时，函数y=F（x）的减区间为（﹣∞，1﹣b），（1，+∞）；增区间为（1﹣b，1）；当b=0时，函数y=F（x）的减区间为（﹣∞，+∞）；当b＜0时，函数y=F（x）的减区间为（﹣∞，1），（1﹣b，+∞），增区间为（1，1﹣b），（2）由集合{x|f（x）＜g（x）}为空集，可知不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，即y=f（x）﹣g（x）≥0恒成立．当a≤0时，函数y=e x﹣ax﹣b在R上单调递增，y≥0不恒成立，所以a＞0，此时y′=e x﹣a=0，解得x=ln a，当x＜ln a时，y′＜0，函数单调递减，当x＞ln a时，y′＞0，函数单调递增，所以要使y=f（x）﹣g（x）≥0恒成立，只需y min=a﹣a ln a﹣b≥0，所以b≤a﹣a ln a，ab≤a2﹣a2ln a，a＞0，令G（x）=x2﹣x2ln x，x＞0，则G′（x）=2x﹣2x ln x﹣x=x（1﹣2ln x），令G′（x）=0解得，当时，G′（x）＞0，函数G（x）单调递增，当时，G′（x）＜0，函数G（x）单调递减，所以当时，函数G（x）=x2﹣x2ln x取得最大值，所以，所以ab的最大值为．20．解：（1）h（x）=e x﹣1﹣ln x﹣1（x≥1），，∵x∈[1，+∞），∴∴，∴函数h（x）在区间[1，+∞）上单调递增，∴h（x）min=h（1）=0．（2）由（1）知，当x≥1时，e x﹣1﹣1≥ln x且当x=1时取等号，∵1≤y＜x，∴x﹣y+1＞1∴e x﹣y+1﹣1﹣1＞ln（x﹣y+1），要证明e x﹣y﹣1＞ln x﹣ln y，只需证明：ln（x﹣y+1）≥ln x﹣ln y，只需证明：，即证明：xy﹣y2+y﹣x≥0，而xy﹣y2+y﹣x=y（x﹣y）﹣（x﹣y）=（x﹣y）（y﹣1），∵1≤y＜x，∴x﹣y＞0，y﹣1≥0，∴xy﹣y2+y﹣x=（x﹣y）（y﹣1）≥0，得证．∴当1≤y＜x时，e x﹣y﹣1＞ln x﹣ln y．（3）H（x）=（x﹣1）2f（x），H′（x）=（x2﹣1）e x假设存在区间[a，b]（a＞1），使函数H（x）在区间[a，b]的值域也是[a，b]，当x＞1时，H′（x）＞0，所以函数在区间（1，+∞）单调递增，故，即方程（x﹣1）2e x=x有两个大于1的不等实根，设函数G（x）=（x﹣1）2e x﹣x（x＞1），则G′（x）=（x2﹣1）e x﹣1，G′′（x）=（x2+2x﹣1）e x，当x＞1时，G′′（x）＞0，即函数G′（x）=（x2﹣1）e x﹣1在区间（1，+∞）单调递增，又G′（1）=﹣1＜0，G′（2）=3e2﹣1＞0，所以存在唯一的x0∈（1，2）使得G′（x0）=0，当x∈（1，x0）时，G′（x）＜0，函数G（x）递减，当x∈（x0，+∞）时，G′（x）＞0，函数G（x）递增，所以函数G（x）有极小值G（x0）＜G（1）=﹣1，G（2）=e2﹣2＞0，所以函数G（x）在（1，+∞）上仅有一个零点，这与方程（x﹣1）2e x=x有两个大于1的不等实根矛盾，故不存在区间[a，b]（a＞1），使函数H（x）在区间[a，b]的值域也是[a，b]．。
江苏省南通市高二数学下学期第三次阶段检测试题(Ⅱ卷)
OAEBDFC第21题A江苏省南通市2016-2017学年高二数学下学期第三次阶段检测试题（Ⅱ卷）21．【选做题】本题包括A ,B ，C ，D 四小题，请选定其中两题作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ． 选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ，过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E ．求证：2DE DB DA =⋅．B ． 选修4—2:矩阵与变换 设曲线22221x xy y ++=在矩阵()001m m n ⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦M 对应的变换作用下得到的曲线为221x y +=，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．C ． 选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy 中，已知圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=．(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆12,C C 的极坐标方程； (2）求圆12C C 与的公共弦的参数方程．D ． 选修4—5：不等式选讲已知a >0,b >0，证明：（a 2＋b 2＋ab ）(ab 2＋a 2b ＋1）≥9a 2b 2．第22题ABC DEFP【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本题满分10分）已知正六棱锥P —ABCDEF 的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取 3个顶点构成三角形,设随机变量X 表示所得三角形的面积． (1）求概率(3)P X =的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．23．（本题满分10分)已知数列{}n b 满足112b =,112(2*)n nb n n b -+=∈N ≥，．（1)求2b ，3b ，猜想数列{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明； (2）设n n x b =，1n n y b +=，比较x x 与y y 的大小．数学试卷(Ⅱ）参考答案21．【选做题】本题包括A ,B ,C ，DOAE BDFC四小题，请选定其中两题作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ． 选修4—1:几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ， 过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交 AB 于点E ．求证:2DE DB DA =⋅．【证明】连结OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90°．所以∠OFC +∠CFD =90°．因为OC =OF ， 所以∠OCF =∠OFC ．因为CO ⊥AB 于O ,所以∠OCF +∠CEO =90°．…5分 所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ,所以DF =DE ． 因为DF 是⊙O 的切线，所以DF 2=DB ·DA ． 所以DE 2=DB ·DA ． ………………10分 B ． 选修4—2:矩阵与变换 设曲线22221x xy y ++=在矩阵()001m m n ⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦M 对应的变换作用下得到的曲线为221x y +=，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．【解】设曲线22221x xy y ++=上任一点(,)P x y 在矩阵M 对应的变换下的像是(,)P x y ''',由01x m x mx n y y nx y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得x mx y nx y '=⎧⎨'=+⎩，，因为()P x y '''，在圆221x y +=上 所以()()221mx nx y ++=,化简可得2222()21m n x nxy y +++=．…………3分依题意可得22222m n n +==，，11m n ==，或11m n =-=，而由0m >可得11m n ==，…6分 故1011⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ,11011-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ．………………………10分 C ． 选修4—4：坐标系与参数方程A BCDEF P 在平面直角坐标xOy 中，已知圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=．（1）在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆12,C C 的极坐标方程; （2）求圆12C C 与的公共弦的参数方程．解（1）圆1C 的极坐标方程为=2ρ， 圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．……………………4分（2）由(1）得，圆12C C ，交点直角坐标为(13)(13)-，，，． ……………………7分 故圆12C C 与的公共弦的参数方程为1(33)x y t t =⎧⎪⎨=-⎪⎩，≤≤．……………………10分注：第(1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第（2)小题的结果中，若未注明参数范围，扣2分．D ． 选修4—5:不等式选讲已知a >0,b 〉0，证明：（a 2＋b 2＋ab )（ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2．【解】因为a ，b ，c 均为正数,且1a b c ++=,所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++33133(32)(32)(32)9(32)(32)(32)a b c a b c ⋅+++=+++≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立． ………………………………8分 即1111323232a b c +++++≥,故111323232a b c +++++的最小值为1．…………10分【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本题满分10分）已知正六棱锥P —ABCDEF 的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个顶点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积． （1）求概率(3)P X =的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．解 从7个顶点中随机选取3个顶点构成三角形，共有37C 35=种取法．其中3X =的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个．因此(3)P X = 376635C ==．……………………3分（2)X 的所有可能取值为3262333，，，，． 其中3X =的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个；其中2X =的三角形有两类，如△PAD （3个）,如△PAB （6个），共有9个； 其中6X =的三角形如△PBD ，这类三角形共有6个； 其中23X =的三角形如△CDF ，这类三角形共有12个； 其中33X =的三角形如△BDF ，这类三角形共有2个．因此6(3)35P X ==，9(2)35P X ==，6(6)35P X ==,12(23)35P X ==，12(23)35P X ==．……………………………………………………………………8分所以随机变量的概率分布表为:X3 26 23 33 ()P X635935 6351235235 所求数学期望696122()32623333535353535E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3636618++=．…………………………………………………………………………………………………10分23．（本题满分10分）已知数列{}n b 满足112b =，112(2*)n nb n n b -+=∈N ≥，．（1）求2b ，3b ,猜想数列{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明; （2）设n n x b =，1n n y b +=，比较x x 与y y 的大小．解（1）当2n =时，11122b +=,解得223b =．当3n =时，21223b +=，解得334b =．猜想1n n b n =+．………………………………………………………………3分证明 ①1n =时，112b =，结论成立．②假设n k =时,1k k b k =+成立．则1n k =+时，112k k b b ++=，由于1121k k b k ++=+，所以112k k b k ++=+,于是1n k =+时,结论成立．由①②知，对任意正整数n ，1n n b n =+．…………………………………6分(2）由（1)知()1nn x n =+，()11n ny n +=+，所以x x =()()11nn n n n n +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦．()()1111n nn n y ny n +++⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦()()1(1)11n n n n n n +++=+()()11nn nn n n +=+()()11nn nn n n +⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦．所以x x ＝y y ． (10)分尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
江苏省南通市高二下学期数学期末考试试卷(理科)
江苏省南通市高二下学期数学期末考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若复数z满足（i为虚数单位），则复数z=（）A . 1B . 2C . iD . 2i2. （2分） (2016高三上·承德期中) 命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（）A . 若a＞b，则a﹣1≤b﹣1B . 若a≥b，则a﹣1＜b﹣1C . 若a≤b，则a﹣1≤b﹣1D . 若a＜b，则a﹣1＜b﹣13. （2分）(2017·广西模拟) 由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．以下推理为归纳推理的是（）A . 三角函数都是周期函数，sinx是三角函数，所以sinx是周期函数B . 一切奇数都不能被2整除，525是奇数，所以525不能被2整除C . 由1=12 ， 1+3=22 ， 1+3+5=32 ，得1+3+…+（2n﹣1）=n2（n∈N*）D . 两直线平行，同位角相等．若∠A与∠B是两条平行直线的同位角，则∠A=∠B4. （2分） (2017高二下·遵义期末) 已知随机变量x服从正态分布N（3，1），且P（2≤x≤4）=0.6828，则P（x＞4）=（）A . 0.1585B . 0.1586C . 0.1587D . 0.15885. （2分） (2016高二下·高密期末) 袋子中放有大小、性质完全相同的4个白球和5个黑球，如果不放回地依次摸出2个球，则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二下·沈阳期中) 用数学归纳法证明（）时，第一步应验证不等式（）A .B .C .D .7. （2分）给出如下列联表患心脏病患其它病合计高血压201030不高血压305080合计5060110由以上数据判断高血压与患心脏病之间在多大程度上有关系？（）（参考数据：P（K2≥6.635）=0.010，P（K2≥7.879）=0.005）A . 0.5%B . 1%C . 99.5%D . 99%8. （2分） (2018高二下·龙岩期中) 一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有（）种.A . 105B . 95C . 85D . 759. （2分） (2017高二下·汪清期末) 如果随机变量ξ～B(n ， p)，且E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，则p等于（）A .B .C .D .10. （2分）(2018·鞍山模拟) 过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，，则的值为（）A . 4B .C . 1D . 211. （2分）等差数列的前n项和为,若的值为常数,则下列各数中也是常数的是（）.A .B .C .D .12. （2分）下列有关命题的说法错误的是（）A . 若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题B . “x=1”是“x≥1”的充分不必要条件C . “sinx=”的必要不充分条件是“x=”D . 若命题p：∃x0∈R，x02≥0，则命题￢p：∀x∈R，x2＜0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·荆州模拟) 已知函数的两个零点分别为m、n（m＜n），则=________．14. （1分）广告费用X （万元）1234567销售额y （百万元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9根据表可得回归方程y=bx+a中的a为2.3，根据此模型预报广告费用为12万元时销售额为________万元．15. （1分）(2017·盐城模拟) 设x，y满足，则z=x+y的最大值为________．16. （1分） (2016高二下·永川期中) 已知f（x）= ，则f（1）=________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，2sin sin（ +C）+cosC=﹣．（1）求C；（2）若c= ，且△ABC面积为3 ，求sinA+sinB的值．18. （10分）(2014·广东理) 设数列{an}的前n项和为Sn ，满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N* ，且S3=15．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式．19. （10分）新学年伊始，附中社团开始招新．某高一新生对“大观天文社”、“理科学社”、“水墨霓裳社”很感兴趣．假设他能被这三个社团接受的概率分别为，，．（1）求此新生被两个社团接受的概率；（2）设此新生最终参加的社团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．20. （10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E 是BC中点，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为．（1）当EH与平面PAD所成角的正切值为时，求证：EH∥平面PAB；（2）在（2）的条件下，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．21. （10分） (2016高二上·黄陵开学考) 如图线段AB过x轴正半轴上一定点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线．（1）求抛物线方程；（2）若 =﹣1，求m的值．22. （5分） (2017高二下·鞍山期中) 已知f（x）=x3﹣ax2﹣a2x+1，（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的图象不存在与l：y=﹣x平行或重合的切线，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
江苏省南通市启东市高二数学下学期期末考试试题(扫描版)
江苏省南通市启东市2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题（扫描版）2017～2018学年第二学期期终考学生素质调研测试高二数学（Ⅰ）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．∃x ∈R ，2x 2＋3x ＋4≤0；2．11(,)(,)22-∞--+∞(或{x |x ≠－12})；3．13；4．真；5．2x ＋2cos x ；6．－1；7．0；8．（0，1）；9．必要不充分； 10．2x －y ＋2＝0(或y ＝2x ＋2)；11．2；12．(0,+∞)；13．{}22(3,1]e --；14．4．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)甲、乙两个同学分别抛掷一枚质地均匀的骰子．（1）求他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率；（2）求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率． 【解】（1）记“他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数”为事件A ，基本事件共有36个，事件A 包含9个基本事件， 故P (A )=14；……………6分（2）记“甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数”为事件B ，基本事件共有36个，事件B 包含21个基本事件， 故P (B )=2173612=．……………12分答（1）他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率为14；（2）甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率为712．……………14分16．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |0≤kx ＋1≤5}，B ＝{ x |－1≤x ≤2}． （1）当k ＝1时，求集合A ；（2）当k ≤0时，若A ∩B ＝B ，求实数k 的取值范围．【解】（1）当k ＝1时，A ＝{x |0≤x ＋1≤5}＝{x |－1≤x ≤4}；……………4分（2）因为A ∩B = B ，所以BA ，……………6分由0≤kx ＋1≤5，得－1≤kx ≤4，①当k =0时，A =R ，满足B A 成立；……………8分②当k <0时，A =]1,4[kk -，……………10分 由B A ，得4112k k⎧-⎪⎨⎪-⎩≤≥，……………12分即12k -≥，故102k -<≤，综上所述：102k -≤≤．……………14分 17．(本小题满分14分)如图，在圆心角为90°，半径为60 cm 的扇形铁皮上截取一块矩形材料OABC ，其中点O 为圆心，点B 在圆弧上，点A ，C 在两半径上，现将此矩形铁皮OABC 卷成一个以AB 为母线的圆柱形铁皮罐的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB ＝x cm ，圆柱形铁皮罐的容积为V (x ) cm 3.（1）求圆柱形铁皮罐的容积V (x )关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当x 为何值时，才使做出的圆柱形铁皮罐的容积V (x )最大？最大容积是多少？（圆柱体积公式：V ＝Sh ，S 为圆柱的底面积，h 为圆柱的高）【解】（1）连接OB ，在Rt△OAB 中，由AB =x ，利用勾股定理可得OA ＝3600－x 2，设圆柱底面半径为r ，则3600－x 2＝2πr ，……………2分即4π2r 2＝3600－x 2，所以V (x )＝πr 2x ＝π·3600－x 24π2·x ＝3600x －x 34π，即铁皮罐的容积为V (x )关于x 的函数关系式为V (x )＝3600x －x 34π，定义域为(0，60).……………6分（2）由V ′(x )＝3600－3x 24π＝0，x ∈(0，60)，得x ＝203．……………8分列表如下：分所以当x ＝203时，V (x )有极大值，也是最大值为120003π.答：当x 为20 3 cm 时，做出的圆柱形铁皮罐的容积最大，最大容积是120003πcm 3.……………14分18．(本小题满分16分)已知命题p ：函数12()12xx f x k -=+⋅是R 上的奇函数，命题q ：函数2211()k g x k k x-=-的定义域和值域都是[a ，b ]，其中a ＞1． （1）若命题p 为真命题，求实数k 的值；（2）若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数k 的取值范围． 【解】（1）若命题p 为真命题，则f (－x )＋f (x )＝0，……………2分即121201212x xx xk k ----+=+⋅+⋅， 化简得(1)(222)0x x k --+-=对任意的x ∈R 成立，……………4分 所以k ＝1．……………6分（2）若命题q 为真命题，因为221()0g x k x'=>在[a ，b ]上恒成立，所以g (x )在[a ，b ]上是单调增函数，又g (x )的定义域和值域都是[a ，b ]，所以(),(),g a a g b b =⎧⎨=⎩……………8分所以a ，b 是方程2211k x k k x--=的两个不相等的实根，且1＜a ＜b ． 即方程22(21)10k x k k x --+=有两个大于1的实根且不相等，……………10分 记h (x )＝k 2x 2－k (2k －1)x ＋1，故2222[(21)]40,(21)1,2(1)(21)10,k k k k k k h k k k ⎧∆=-->⎪-⎪>⎨⎪⎪=--+>⎩12k <<-，所以k12k <<-．……………12分因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，所以命题p 和q 中有且仅有一个为真命题，……………14分 即p 真q 假，或p 假q 真．所以1,1,2k k k =⎧⎪⎨⎪⎩或≥-或1,1,2k k ≠⎧<<- 所以实数k的取值范围为1{1}2⎫⎪⎝⎭-．……………16分 19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝e x＋a e －x－1，集合A ＝{x |x 2－x ≤0}． （1）当a ＝－3时，解不等式f (x )＞1； （2）若B ＝{ x |log 2f (x )≥1}，且A ∩B，求实数a 的取值范围；（3）当a ＞1时，若函数f (x )的定义域为A ，求函数f (x )的值域． 【解】（1）当a ＝－3时，由f (x )＞1得e x －3e -x－1＞1，所以e 2x－2e x －3＞0，即(e x －3) (e x＋1)＞0，……………2分 所以e x＞3，故x ＞ln3，所以不等式的解集为(ln3，+∞).……………4分 （2）由x 2－x ≤0，得0≤x ≤1，所以A ＝{x |0≤x ≤1}.因为A ∩B，所以log 2f (x )≥1在0≤x ≤1上有解，即 f (x )≥2在0≤x ≤1上有解，即e x ＋a e -x－3≥0在0≤x ≤1上有解，……………7分 所以a ≥3e x －e 2x 在0≤x ≤1上有解，即a ≥[3e x －e 2x]min . 由0≤x ≤1得1≤e x≤e，所以3e x －e 2x ＝－(e x －32)2＋94∈[3e －e 2，94]，所以a ≥3e －e 2. ……………10分 （3）设t ＝e x，由（2）知1≤t ≤e，记g (t )＝t ＋a t －1(1≤t ≤e，a ＞1)，则2()1a g t t '=-=，①当a ≥e 时，即a ≥e 2时，g (t )在1≤t ≤e 上递减，所以g (e)≤g (t )≤g (1)，即e 1()ea g t a +-≤≤．所以f (x )的值域为[e 1,]e a a +-.……………12分②当1＜a ＜e 时，即1＜a ＜e 2时，g (t )min = g (a )＝2a －1，g (t )max =max{ g (1)，g (e)} =max{ a ，e 1ea +-}．1°若a e 1ea >+-，即e ＜a ＜e 2时，g (t )max = g (1)= a ；所以f (x )的值域为1,]a ；……………14分2°若a e 1e a +-≤，即1＜a ≤e 时，g (t )max = g (e) =e 1e a +-，所以f (x )的值域为1,e 1]ea +-．综上所述，当1＜a ≤e 时，f (x )的值域为1,e 1]ea +-；当e ＜a ＜e 2时，f (x )的值域为1,]a ；当a ≥e 2时，f (x )的值域为[e 1,]ea a +-．……………16分20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x －ax －b (a ，b ∈R )．（1）若函数f (x )的图象在x ＝1处的切线过点(2，0)，求2a ＋b 的值； （2）当b ＝0时，函数y ＝f (x )在1(,)e +∞上没有零点，求实数a 的取值范围；（3）当a ＞0时，存在实数x 1，x 2(x 1≠x 2)使得f (x 1)＝f (x 2)，求证：f ′(x 1＋x 22)＜0．【解】（1）因为f ′(x )＝1x－a ，所以k ＝f ′(1)＝1－a ，……………2分又因为f (1)＝－a －b ，所以切线方程为y ＋a ＋b ＝(1－a )(x －1)， 因为过点(2，0)，所以a ＋b =1－a ，即2a ＋b ＝1.……………4分 （2）解法一：当b ＝0时，f (x )＝ln x －ax ，所以f ′(x )＝1x －a ＝1－axx.10若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(1e ，＋∞)上递增，所以f (x )＞f (1e)＝－1－ae，因为函数y＝f(x)在(1e，＋∞)上没有零点，所以－1－ae≥0，即a≤－e；……………6分20若a＞0，由f ′(x)＝0，得x＝1a.①当1a≤1e时，即a≥e时，f ′(x)＜0，f(x)在(1e，＋∞)上递减，所以f(x)＜f(1e)＝－1－ae＜0，符合题意，所以a≥e；……………8分②当1a＞1e时，即0＜a＜e时，若1e＜x＜1a，f ′(x)＜0，f(x)在(1e，1a)上递增；若x＞1a，f ′(x)＞0，f(x)在(1a，＋∞)上递减，所以f(x)在x＝1a处取得极大值，即为最大值，要使函数y＝f(x)在(1e，＋∞)上没有零点，必须满足f(1a)＝ln1a－1＝－ln a－1＜0，得a＞1e，所以1e＜a＜e.综上所述，实数a的取值范围是a≤－e或a＞1e.……………10分解法二：当b＝0时，f(x)＝ln x－ax，由f(x)＝0得a＝ln xx，设g(x)＝ln xx，则g′(x)＝1－ln xx2.当1e＜x＜e时，g ′(x)＞0，所以g(x)在(1e，e)上递增，当x＞e时，g ′(x)＜0，所以g(x)在(e，＋∞)上递减，所以g(x)max＝g(e)＝1e，……………6分又g(1e)＝－e，且当x＞e时，g(x)＝ln xx＞0恒成立，所以g(x)在(1e，＋∞)上值域为(－e，1e]，……………8分要使函数y＝f(x)在(1e，＋∞)上没有零点，必须满足a≤－e或a＞1e，即所求实数a的取值范围是a≤－e或a＞1e.……………10分（3）不妨设0＜x 1＜x 2，由f (x 1)＝f (x 2)，得ln x 1－ax 1－b ＝ln x 2－ax 2－b ， 因为a ＞0，所以21211ln ln x x x x a-=-.……………12分又因为11()ax f x a x x -'=-=，f ′(x )在(0，＋∞)上递减，且f ′(1a )＝0，故要证12()02x x f +'<，只要证1212x x a +>，只要证1221212ln ln x x x x x x +->-，只要证212112ln ln 2x x x x x x -->+， 只要证221121ln121x x x x x x ->+（*），……………14分 令211x t x =>，记11()ln ,(1,)12t h t t t t -=-∈+∞+，则222(1)21()02(1)2(1)t h t t t t t -'=-=-<++， 所以h (t )在(1,+∞)上递减，所以h (t )< h (1)=0， 所以（*）成立，所以原命题成立.……………16分（3）（法二）当a ＞0时，11()ax f x a x x-'=-=f (x )在(0，错误！未找到引用源。
2016-2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题及答案
2016-2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题及答案试卷类型：A高二数学（理科）试题2017.7注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。
2.答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并粘好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在本试卷上无效。
4.答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。
答在本试卷上无效。
5.第（22）、（23）小题为选考题，请按题目要求从中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
附：回归方程ˆˆˆy bx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：∑∑∑∑====--=---=n i i ni ii n i i ni iixn x yx n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-= 第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
（1）已知复数iiz +-=122，其中i 是虚数单位，则z 的模等于（A ）2- (B) 3 (C) 4 (D) 2（2）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数cb a ,,中恰有一个偶数”正确的反设为(A) cb a ,,中至少有两个偶数 (B)c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数(C)cb a ,,都是奇数 (D)cb a ,,都是偶数（3）用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有41212111...4131211+++=--++-+-n n n n （ )21...n++，在验证2=n 正确后，归纳假设应写成（A ）假设)(*N k k n ∈=时命题成立 （B ）假设)(*N k k n ∈≥时命题成立（C ）假设)(2*N k k n ∈=时命题成立 （D ）假设))(1(2*N k k n ∈+=时命题成立(4)从3男4女共7人中选出3人，且所选3人有男有女，则不同的选法种数有（A ）30种 (B) 32 种 (C) 34种 (D) 35种(5)曲线xe y =在点()22e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)22e (B)2e (C)22e (D)492e(6)已知随机变量X服从正态分布()2,3σN ，且)3(41)1(>=<X P X P ，则)5(<X P 等于(A) 81 (B) 85 (C) 43 (D) 87(7)已知⎰≥3sin 2πxdxa ，曲线)1ln(1)(++=ax aax x f 在点())1(,1f 处的切线的斜率为k ，则k 的最小值为(A)1 (B) 23 (C)2 (D) 3 （8）甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为p ,4332，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过的概率为161，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为(A) 87 (B) 43 (C) 85 (D) 76（9）函数)1(2)(3-'+=f x x x f ，则函数)(x f 在区间[]3,2-上的值域是(A)]9,24[- (B)]24,24[- (C) ]24,4[(D)[]9,4 (10)设()()5522105)1(...1)1(1x a x a x a a x +++++++=-，则420a a a++等于(A) 242 (B) 121 (C) 244 (D)122 (11)已知函数)()()(2R b xbx x e x f x ∈-=.若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ，使得)()(>'+x f x x f ，则实数b 的取值范围是(A) ⎪⎭⎫⎝⎛∞-65, (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-38, (C)⎪⎭⎫⎝⎛-65,23 (D)⎪⎭⎫⎝⎛∞+，38(12)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设)0(,,>m m b a 为整数，若a 和b被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为)(mod m b a =.如9和21被6除得的余数都是3，则记)6(mod 219=.若20202022201200202...22⋅++⋅+⋅+=C C C C a ，)10(mod b a =，则b 的值可以是(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
江苏省南通中学2016-2017学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
2016-2017学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．“直线l在平面α内”用数学符号表示为．2．若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则点Q直线PR（用符号表示它们的位置关系）．3．直线y=x+m的倾斜角为．4．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于．5．点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是．6．棱长都是1的三棱锥的表面积为．7．已知{（x，y）|ax+y+b=0}∩{（x，y）|x+y+1=0}=∅，则a，b所满足的条件是．8．两直线l1：ax+2y+b=0；l2：（a﹣1）x+y+b=0．若l1∥l2，且l1与l2的距离为，则a•b=．9．不论m取什么实数，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点．10．如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=．11．光线从点M（﹣2，3）射到x轴上一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在直线的方程．12．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是．①若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n；④若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β．13．已知两点A（﹣1，0）、B（0，2），点P是圆（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则•的最大值是．14．已知圆O：x2+y2=4与曲线C：y=3|x﹣t|，曲线C上两点A（m，n），B（s，p）（m、n、s、p均为正整数），使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k ＞1），则m s﹣n p=．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（1）过原点作直线l的垂线，若垂足为A（﹣2，3），求直线l的方程；（2）三角形三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），求AB边上的高所在的直线方程．16．求经过P（﹣2，4）、Q（3，﹣1）两点，并且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．17．如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF ⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．18．如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）当点M与A重合时，求圆形保护区的面积；（2）若古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．当OM多长时，点M到直线BC的距离最小？19．如图，在棱长均为4的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．（1）求证：A1D1∥平面AB1D；（2）若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC=60°，求三棱锥B1﹣ABC的体积．20．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线l：x=上一点．（1）若点P在第一象限，且OP=，求过点P圆O的切线方程；（2）若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（3）设直线l动点Q，⊙Q与⊙O相外切，⊙Q交L于M、N两点，对于任意直径MN，平面上是否存在不在直线L上的定点A，使得∠MAN为定值？若存在，直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．“直线l在平面α内”用数学符号表示为l⊂．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由题意，由于直线与面之间的关系两个点集之间的关系，故易得“直线l在平面α内”用数学符号表示【解答】解：“直线l在平面α内”用数学符号表示为“l⊂α”故答案为l⊂α2．若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则点Q∈直线PR（用符号表示它们的位置关系）．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】通过证明这三点是两个相交平面的公共点，证明三点共线，从而得解．【解答】解：由已知条件易知，平面α与平面ABC相交．设交线为l，即l=α∩面ABC．如图：设P∈AB，则P∈面ABC．又P∈AB∩α，则P∈α，即P为平面α与面ABC的公共点，∴P∈l．同理可证点R和Q也在交线l上．故P、Q、R三点共线于l，即Q∈直线PR．故答案为：∈．3．直线y=x+m的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线的倾斜角为α，α∈[0，π），则tanα=1，即可得出．【解答】解：设直线的倾斜角为α，α∈[0，π）．∴tanα=1，∴α=．故答案为：．4．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于90°．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】欲求异面直线所成角，只需平移异面直线中的一条，是它们成为相交直线，则相交直线所成角即为异面直线所成角，再求出该角即可．【解答】解：∵在长方体A1B1C1D1﹣ABCD中，A1D1∥AD，∴AB与AD所成角∠DAB 即为异面直线AB与A1D1所成的角．∵∠DAB=90°，∴异面直线AB与A1D1所成的角等于90°．故答案为：90°．5．点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是在圆外．【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据点P到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可判断点P与圆的位置关系．【解答】解：由圆的方程x2+y2=24，得圆心坐标为原点O（0，0），半径r=．点P与圆心O的距离．∵m4≥0，∴．∴点P在圆外．故答案为：在圆外6．棱长都是1的三棱锥的表面积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】棱长都是1的三棱锥的各个面都为等边三角形，利用棱长是1，求出一个面的面积乘以4可得答案．【解答】解：棱长都是1的三棱锥的各个面都为等边三角形，且等边三角形的边长为1，∴每个面的面积都是×1×1×=，∴表面积S=．故答案是．7．已知{（x，y）|ax+y+b=0}∩{（x，y）|x+y+1=0}=∅，则a，b所满足的条件是a=1且b ≠1．【考点】交集及其运算．【分析】由已知得直线ax+y+b=0与x+y+1=0平行，由此能求出结果．【解答】解：∵{（x，y）|ax+y+b=0}∩{（x，y）|x+y+1=0}=∅，∴直线ax+y+b=0与x+y+1=0平行，∴=，∴a=1且b≠1．故答案为：a=1且b≠1．8．两直线l1：ax+2y+b=0；l2：（a﹣1）x+y+b=0．若l1∥l2，且l1与l2的距离为，则a•b=±4．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用两条直线平行的条件求出a，利用且l1与l2的距离为，求出b，即可求出a•b．【解答】解：由题意，a=2（a﹣1），∴a=2，∴直线l1：2x+2y+b=0；l2：2x+2y+2b=0，∵l1与l2的距离为，∴=，∴b=±2，∴ab=±4．故答案为±4．9．不论m取什么实数，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点（2，3）．【考点】恒过定点的直线．【分析】将直线的方程（m﹣2）x﹣y+3m+2=0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．【解答】解：直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0可为变为m（2x﹣y﹣1）+（﹣x ﹣3y+11）=0令解得：，故不论m为何值，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点（2，3）故答案为：（2，3）．10．如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=1：24．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值．【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE ：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍．所以V1：V2==1：24．故答案为1：24．11．光线从点M（﹣2，3）射到x轴上一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在直线的方程．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】利用点P（﹣2，3）关于x轴的对称点N（﹣2，﹣3）在反射光线上再由两点式写出反射光线所在的直线方程即可．【解答】解：∵点P（﹣2，3）关于x轴的对称点N（﹣2，﹣3）∴根据反射定律可得p，N两点都在反射光线上∴反射光线所在直线的方程为=即x﹣y﹣1=0．12．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是③．①若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n；④若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面平行、垂直的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：①若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β或α，β相交，不正确；②若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n或m，n相交、异面，不正确；③若m⊥α，α∥β，则m⊥β，∵n∥β∴m⊥n，正确；④若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β或α，β相交，不正确．故答案为③．13．已知两点A（﹣1，0）、B（0，2），点P是圆（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则•的最大值是3+．【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】设P（x，y），根据向量数量积的定义求出表达式，然后利用两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：设P（x，y），则•=（﹣1﹣x，﹣y）•（﹣x，2﹣y）=（1+x）x﹣y（2﹣y）=x2+x+y2﹣2y=（x+）2+（y﹣1）2﹣，设z=（x+）2+（y﹣1）2，则z的几何意义是P到定点D（﹣，1）的距离的平方，圆心C（1，0），半径R=1，则CD==，则PD的最大值为CD+r=+1，则PD的平方得（+1）2=++1，则•的最大值为++1﹣=3+，故答案为：3+14．已知圆O：x2+y2=4与曲线C：y=3|x﹣t|，曲线C上两点A（m，n），B（s，p）（m、n、s、p均为正整数），使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k ＞1），则m s﹣n p=0．【考点】函数恒成立问题．【分析】设p（x0，y0），则x02+y02=4，结合且P点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k＞1），m、n、s、p均为正整数，求出m、n、s、p的值，可得答案．【解答】解：设p（x0，y0），则x02+y02=4，且P点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k＞1），=k（k＞1），⇒4+m2+n2﹣2mx0﹣2ny0=k2（4+s2+p2﹣2sx0﹣2py0）⇔消去m，n得s2+p2=＜4所以s=p=1，k=，此时m=n=2，此时m s﹣n p=0，故答案为：0二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（1）过原点作直线l的垂线，若垂足为A（﹣2，3），求直线l的方程；（2）三角形三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），求AB边上的高所在的直线方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）求出l的斜率，即可求直线l的方程；（2）k AB=，设所求直线方程2x+7y+m=0，代入点C坐标得AB边上的高所在的直线方程．【解答】解：（1）∵A（﹣2，3），且OA⊥l，∴l的斜率为k=．于是l的方程为y﹣3=（x+2）．整理得2x﹣3y+13=0．（2）∵k AB=，∴设所求直线方程2x+7y+m=0，代入点C坐标得m=﹣21．∴AB边上的高所在的直线方程为2x+7y﹣21=0．16．求经过P（﹣2，4）、Q（3，﹣1）两点，并且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．【考点】圆的标准方程．【分析】求出线段PQ的垂直平分线为y=x+1，设圆心C的坐标为（a，a+1），求出半径r的表达式，利用圆心C到x轴的距离为d=|a+1|，由题意得32+d2=r2，解得a，求出圆的方程即可．【解答】解：因为线段PQ的垂直平分线为y=x+1，…所以设圆心C的坐标为（a，a+1），半径r=|PC|==，圆心C到x轴的距离为d=|a+1|，…由题意得32+d2=r2，即32+（a+1）2=2a2﹣2a+13，整理得a2﹣4a+3=0，解得a=1或a=3．…当a=1时，圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=13；…当a=3时，圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25．…综上得，所求的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=13或（x﹣3）2+（y﹣4）2=25…17．如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF ⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F为SB的中点．从而得到△SAB和△SAC 中，EF∥AB且EG∥AC，利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC．因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG∥平面ABC；（2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC．结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA．【解答】解：（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点．∵E、G分别为SA、SC的中点，∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC．∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面EFG∥平面ABC；（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF⊂平面ASB，AF⊥SB．∴AF⊥平面SBC．又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC．∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB．又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA．18．如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）当点M与A重合时，求圆形保护区的面积；（2）若古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．当OM多长时，点M到直线BC的距离最小？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，当点M 与A重合时，求出圆形保护区半径，即可求圆形保护区的面积；（2）求出保护区的边界圆M的半径，利用，可得结论．【解答】解：（1）以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy．由条件知A（0，60），C，直线BC的斜率﹣又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率设点B的坐标为（a，b），则k BC==﹣，k AB==，解得a=80，b=120所以圆形保护区半径r=AB==100则圆形保护区面积为10000πm2．（2）设保护区的边界圆M的半径为r m，OM=d m（0≤d≤60）由条件知，直线BC的方程为y=﹣（x﹣170），即4x+3y﹣680=0由于圆M与直线BC相切，故点M（0，d）到直线BC的距离是r即r=因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以，解得10≤d≤35则当d=10，即OM=10m时，M到直线BC的距离最小．19．如图，在棱长均为4的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．（1）求证：A1D1∥平面AB1D；（2）若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC=60°，求三棱锥B1﹣ABC的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）欲证A1D1∥平面AB1D，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1D1与平面AB1D内一直线平行，连接DD1，根据中位线定理可知B1D1∥BD，且B1D1=BD，则四边形B1BDD1为平行四边形，同理可证四边形AA1D1D为平行四边形，则A1D1∥AD 又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A﹣B1BC的高，求出三棱锥A﹣B1BC的体积，从而求出三棱锥B1﹣ABC的体积．【解答】解：（1）证明：连接DD1，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵D、D1分别是BC和B1C1的中点．∴B1D1∥BD，且B1D1=BD∴四边形B1BDD1为平行四边形∴BB1∥DD1，且BB1=DD1又因AA1∥BB1，AA1=BB1所以AA1∥DD1，AA1=DD1所以四边形AA1D1D为平行四边形，所以A1D1∥AD又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D故A1D1∥平面AB1D；（2）在△ABC中，棱长均为4，则AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，AD⊂平面ABC所以AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A﹣B1BC的高在△ABC中，AB=AC=BC=4得AD=2在△B1BC中，B1B=BC=4，∠B1BC=60°所以△B1BC的面积为4∴三棱锥B1﹣ABC的体积即为三棱锥A﹣B1BC的体积V=××=820．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线l：x=上一点．（1）若点P在第一象限，且OP=，求过点P圆O的切线方程；（2）若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（3）设直线l动点Q，⊙Q与⊙O相外切，⊙Q交L于M、N两点，对于任意直径MN，平面上是否存在不在直线L上的定点A，使得∠MAN为定值？若存在，直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】圆的切线方程；直线与圆相交的性质．【分析】（1）求出设点P的坐标．易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，切线为y﹣1=k（x﹣），即kx﹣y+1﹣k=0，利用点到直线间的距离公式可解得k，从而可得过点P的圆O的切线方程．（2）设A（x，y），则B（，），因为点A、B均在圆O上，所以有圆x2+y2=1与圆（x+）2+（y+y0）2=4有公共点，继而可得点P纵坐标的取值范围；（3）存在，点A的坐标为（，0）．【解答】解：（1）设点P的坐标为（，y0）．因OP=，所以（）+y02=（）2，解得y0=±1．又点P在第一象限，所以y0=1，即P的坐标为（，1）．易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，则切线为y﹣1=k（x﹣），即kx﹣y+1﹣k=0，于是有=1，解得k=0或k=．因此过点P的圆O的切线方程为：y=1或24x﹣7y﹣25=0．（2）设A（x，y），则B（，），因为点A、B均在圆O上，所以有圆x2+y2=1与圆（x+）2+（y+y0）2=4有公共点．于是1≤≤3，解得﹣≤y0≤，即点P纵坐标的取值范围是[﹣，]．（3）存在，点A的坐标为（，0）．（写出存在两字给2分）2016年12月16日。
2017-2018学年江苏省南通市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年江苏省南通市高二（下）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）设i为虚数单位，复数z1＝2+i，z2＝﹣1+5i，则|z1﹣z2|＝．2．（5分）已知α，β表示不同的平面，m，n表示不同的直线，下列命题正确的是．（填上所有正确的序号）①若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；③若α不平行β，则α内不存在与β平行的直线④若m不平行n，则m与n不可能垂直于同一个平面3．（5分）设复数z满足（2﹣i）z＝1+i（i为虚数单位），则复数z的实部是．4．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上点P（4，y0）到抛物线焦点的距离为5，则p＝．5．（5分）若球O在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内，且与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面均相切，则球O的体积为．6．（5分）若双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点到渐近线的距离为2，实轴长为2，则双曲线C的方程为．7．（5分）已知一个圆锥底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为．8．（5分）已知函数f（x）＝e x+3e﹣x（e是自然对数的底数），则曲线y＝f（x）在点（ln3，f（ln3）的切线方程为．9．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3．点M、N在棱A1B1、BB1上，且满足B1M＝1，MN∥平面A1BC1，则三棱锥B1﹣MNC1的体积为．10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x2+a在[0，1]上恰好有两个零点，则实数a的取值范围是11．（5分）设函数f（x）＝，则f（x）的最小值为．12．（5分）已知定义在（0，π）的函数f（x）满足f′（x）sin x﹣f（x）cos x＞0恒成立（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则不等式f（x）﹣2f（）sin x＞0的解集为．13．（5分）若椭圆+＝1（a＞b＞0）上存在点P，满足P到左焦点的距离大于P到右准线的距离，则椭圆离心率的取值范围为．14．（5分）若函数f（x）＝lgx2+|x|﹣5在区间（k，k+1）上有零点（k∈Z），则满足条件的所有k的值的集合为二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B两点，已知△AF1B的周长为16，且当1⊥x轴时，AB＝6．（1）求椭圆C的方程；（2）若双曲线D与椭圆C具有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，求双曲线D的方程．16．（14分）设a∈R，函数f（x）＝+a，x∈R为奇函数．（1）求实数a的值；（2）指出函数f（x）的单调性（不要求证明）；（3）求不等式f（log2（x2﹣2））+f（x）≤0的解集．17．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）求证：直线A1B∥平面ADC1．18．（16分）如图1，某半径为1m的圆形广告牌，圆心O距墙壁1.5m．为安全起见，决定对广告牌制作一合金支架，如图2，支架由广告牌所在圆周上的劣弧、线段P A、线段PB构成，其中点P为广告牌的最低点，且为弧的中点，点A，B在墙面上，P A垂直于墙面，兼顾美观及有效支撑，规定弧所对圆心角及PB与墙面所成的角均为θ，θ∈[，]．（1）将所需合金长度f（θ）表示为θ的函数；（2）求所需合金长度的最小值．（参考公式：扇形弧长l＝ar，其中a，r分别为扇形的圆心角和半径）19．（16分）如图，点A、B、F分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点和右焦点，M、N为椭圆C上异于A、B的两点，且M，N，F三点共线，若BF＝1，点F到椭圆C右准线的距离为3．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线BM，BN的斜率之积为定值；（3）求四边形AMBN面积的最大值．20．（16分）设a∈R，函数f（x）＝x（lnx+a）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝，x∈（1，+∞）．①当a＜0时，求函数g（x）在区间（1，e2]上的最大值（其中e为自然对数的底数）；②若函数g（x）存在极值，求实数a的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1．【解答】解：∵z1＝2+i，z2＝﹣1+5i，∴z1﹣z2＝（2+i）﹣（﹣1+5i）＝3﹣4i．∴|z1﹣z2|＝5．故答案为：5．2．【解答】解：由α，β表示不同的平面，m，n表示不同的直线，知：在①中，若α∥β，m∥α，n∥β，则m与n平行或异面，故①错误；在②中，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故②正确；在③中，若α不平行β，则α内存在与β平行的直线，故③错误；在④中，若m不平行n，则由线面的性质定理得m与n不可能垂直于同一个平面，故④正确．故答案为：②④．3．【解答】解：由（2﹣i）z＝1+i，得z＝，∴z的实部为．故答案为：．4．【解答】解：∵抛物线y2＝2px（p＞0）上点P（4，y0），∴抛物线抛物线的准线方程为：x＝﹣，抛物线y2＝2px（p＞0）上点P（4，y0）到抛物线焦点的距离为5，∴＝5．解得p＝2．故答案为：2．5．【解答】解：∵球O在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内，且与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面均相切，∴球半径r＝1，∴球O的体积为V＝＝．故答案为：．6．【解答】解：由题意实轴长为2，可得a＝1，焦点为（c，0）到渐近线y＝±x 即bx±ay＝0的距离d＝＝b＝2，∴双曲线的方程为：．故答案为：．7．【解答】解：由V＝＝，R＝1得h＝2，∴L＝＝，∴S＝πRL＝＝．故答案为：8．【解答】解：函数f（x）＝e x+3e﹣x的导数为f′（x）＝e x﹣3e﹣x，曲线y＝f（x）在点（ln3，f（ln3）的切线的斜率为k＝3﹣3×＝2，切点为（ln3，4），则所求切线方程为y﹣4＝2（x﹣ln3），即为2x﹣y+4﹣2ln3＝0，故答案为：2x﹣y+4﹣2ln3＝0．9．【解答】解：由题意可知：几何体是三棱锥底面面积为：，高为3，三棱锥的体积为：×3＝．故答案为：．10．【解答】解：f′（x）＝x（3x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故f（x）在[0，）递减，在（，1]递增，若f（x）在[0，1]上恰好有两个零点，则，解得：0≤a＜，故答案为：[0，）．11．【解答】解：当x＜1时，f（x）＝3x﹣2，函数是增函数，3x∈（0，3），所以3x﹣2∈（﹣2，1）当x≥1时，f（x）＝2（x﹣1）（x﹣3），函数的对称轴为x＝2开口向上，所以x＝2时，函数取得最小值．f（2）＝2×（﹣1）×1＝﹣2．所以f（x）的最小值为：﹣2．故答案为：﹣2．12．【解答】解：令g（x）＝，则g′（x）＝，∵当x∈（0，π）时，f′（x）sin x﹣f（x）cos x＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在（0，π）上递增，不等式f（x）﹣2f（）sin x＞0等价于＞＝，∴g（x）＞g（），∴＜x＜π，故不等式的解集为（，π），故答案为：（，π）13．【解答】解：设椭圆左焦点为F1，右焦点为F2，|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，离心率为e，椭圆+＝1（a＞b＞0）上存在点P，满足P到左焦点的距离大于P到右准线的距离，可得，可得e2+2e﹣1＞0，解得e＞＝或e＜﹣又∵0＜e＜1，∴解得﹣1＜e＜1，故答案为：（，1）．14．【解答】解：函数f（x）＝lgx2+|x|﹣5为偶函数，当x＞0时，函数f（x）＝lgx2+x﹣5＝2lgx+x﹣5为增函数，当x＝3时，f（3）＝lg9﹣2＜0当x＝4时，f（4）＝lg16﹣1＞0故函数区间（3，4）上有零点，进而函数区间（﹣4，﹣3）上有零点，故满足条件的所有k的值的集合为{﹣4，3}，故答案为：{﹣4，3}二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤15．【解答】解：（1）由椭圆的定义可得AF1+AF2＝BF1+BF2＝2a，则△AF1B的周长为AB+AF1+BF1＝AF1+AF2+BF1+BF2＝4a＝16，则a＝4，当1⊥x轴时，由x＝c可得y＝±＝±，AB＝6，可得＝3，解得b＝2，则椭圆C的方程为+＝1；（2）双曲线D与椭圆C具有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，可设双曲线的方程为﹣＝1（m＞0，n＞0），可得m2+n2＝4，由椭圆的离心率为，可得双曲线的离心率为2，则＝2，可得m＝1，n＝，则双曲线的方程为x2﹣＝1．16．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝+a为奇函数，则有f（0）＝+a＝0，解可得a＝﹣1，（2）f（x）＝﹣1＝1﹣，函数f（x）为增函数；（3）根据题意，f（log2（x2﹣2））+f（x）≤0⇒f（log2（x2﹣2））≤﹣f（x）⇒f（log2（x2﹣2））≤f（log2x），又由函数为增函数，则有log2（x2﹣2）≤log2x，则有，解可得：＜x≤2，即不等式的解集为（，2]．17．【解答】证明：（1）∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D，AD⊥CC1，C1D∩CC1＝C1，∴AD⊥平面B1BCC1，∵AD⊂平面C1AD，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D．平面C1AD⊥平面B1BCC1，∴D是BC中点，O是A1C中点，∴OD∥A1B，∵A1B⊄平面C1AD，OD⊂平面C1AD，∴直线A1B∥平面ADC1．18．【解答】解：（1）由题意可知，圆的半径OM＝1m，P A＝1.5m，则的长度为θ，PB＝，∴所需合金长度f（θ）＝，（θ∈[，]）；（2）由f（θ）＝，得f′（θ）＝＝＝，由f′（θ）＝0，可得﹣cos2θ﹣cosθ+1＝0，解得cosθ＝（舍），或cos．∵θ∈[，]，∴θ＝arccos．∴当θ∈[，arccos]时，f′（θ）＜0，当x∈[arccos，]时，f′（θ）＞0，∴当θ＝arccos时，f（θ）有最小值为+arccos+1.5＝arccos+1.5＝+arccos+1.5．19．【解答】解：（1）BF＝1，点F到椭圆C右准线的距离为3．可得a﹣c＝1，﹣c＝3，解得c＝1，a＝2，b＝，即有椭圆方程为+＝1；（2）证明：由题意可得A（﹣2，0），B（2，0），F（1，0），设MN的方程为y＝k（x﹣1），联立椭圆方程3x2+4y2＝12，可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），x1+x2＝，x1x2＝，k BM•k BN ＝•＝＝＝＝﹣；（3）设直线MN的方程为x＝my+1，代入椭圆方程3x2+4y2＝12，可得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，则四边形AMBN面积S ＝|AB|•|y1﹣y2|＝•4•＝2＝24，设＝t（t≥1），则S＝24•＝24•，由y＝3t +在t≥1递增，可得y≥4，则S≤6，当且仅当t＝1即m＝0，MN垂直于x轴，可得S的最大值为6．20．【解答】解：（1）f′（x）＝lnx+a+1，x＞0．令f′（x）＝0，解得x＝e﹣a﹣1．第11页（共12页）∴函数f（x）在（0，e﹣a﹣1）内单调递减，在（e﹣a﹣1，+∞）内单调递增．（2）①a＜0时，g（x ）＝＝，x∈（1，e2]．g′（x ）＝．令u（x）＝x﹣lnx﹣a﹣1，x∈（1，e2]．则u′（x）＝1﹣＞0，∴u（x）＞u（1）＝﹣a＞0．∴g′（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（1，e2]上单调递增．∴g（x）max＝g（e2）＝．②g′（x ）＝，x∈（0，+∞）．令u（x）＝x﹣lnx﹣a﹣1，x∈（0，+∞）．则u′（x）＝1﹣＝，∴u（x）≥u（1）＝﹣a，若﹣a≥0，即a≤0时，g′（x）≥0，此时函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，无极值，舍去．当u（1）＝﹣a＜0时，令u（x）＝x﹣lnx﹣a﹣1＝0，存在x0∈（0，+∞），使得x0﹣lnx0﹣a﹣1＝0，则函数g（x）在（0，x0）内单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．此时函数g（x）存在极值．∴实数a的取值范围是（0，+∞）．第12页（共12页）。
江苏省南通市2016_2017学年高二数学下学期第三次阶段检测试题I卷
S ←0For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S第5题图）第6题图江苏省南通市2016-2017学年高二数学下学期第三次阶段检测试题（I 卷）参考公式：13V sh =棱锥（s ，h 分别为棱锥底面面积和高）．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 设全集{}1234U =，，，，集合{}13A =，，{}23B =，，则U B A ð＝ ▲ ． 2． 命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是 ▲ ． 3． 已知数列{}n a 是等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的 ▲ ． 4． 已知复数13i3iz +=-，i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅＝ ▲ ． 5． 运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ ．6． 对某路段上行驶的汽车速度实施监控，从速度在5090km/h -的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h 以下的汽车有 ▲ 辆．7． 若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲不在第一天且乙不在第二天，同时丙不在第三天的概率为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且它的一个焦点与抛物线28x y=的焦点重合，则该双曲线的方程为 ▲ ．9． 已知(42)xx=，a ，22(1)2x x -=，b ，x ∈R ．若⊥a b ，则-=|a b | ▲ ．10．设一个轴截面是边长为4的正方形的圆柱体积为1V ，底面边长为锥的体积为2V ，则12V V 的值是 ▲ ． 11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1q ≠，若3232S S >，则公比q 的取值范围是 ▲ ． 12．函数()212log 1x f x x =-的最大值是 ▲ ．ABCDE FMO第16题13．过点(40)P -，的直线l 与圆22:4C x y +=相交于A B ，两点，若点A 恰好是线段PB 的 中点，则直线l 的斜率是 ▲ ．14．在ABC △中，已知3sin 2sin C B =，点M N ，分别是边AC AB ，的中点，则BM CN的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四边形ABEF 中，AF FB ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面ABEF ．（1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：OM //平面DAF ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别是a 、b 、c ， 已知3cos210cos()10C A B -+-=． （1）求cos C 的值；（2）若c ＝1，tan B ＝2，求a 的值．17．（本小题满分14分）如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ，设梯形部件ABCD 的面积为y 平方米． （1）按下列要求写出函数关系式：①设CD =2x （米），将y 表示成x 的函数关系式； ②设∠BOC = （rad ），将y 表示成 的函数关系式． （2）选择一个函数关系式，求梯形部件ABCD 面积y 的最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中已知12F F ，分别为椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左右焦点，且 椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，，其中e 为椭圆E 的离心率． （1）求椭圆E 的方程；（2）点P 为椭圆E 上任意一点，求22+PA PO 的最小值；（3）过点A 的直线l 交椭圆E 于另一点B ，点M 在直线l 上，且OM MA =，若12MF BF ⊥，求直线l 的斜率．19．（本小题满分16分）设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）求证：1()0f a≤；（3）若函数()f x 的极大值为0，求实数a 的值．S ←0For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S第5题图）第6题图20．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-恒成立． （1）若21,2n A n b ==，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =及3124122334113n n n b b b b a a a a a a a a ++++++< 成立，求正实数1b 的取值范围；（3）若12,a =2n n b =，是否存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列？若存在，求出,s t 的值；若不存在，请说明理由．数学试卷（Ⅰ）参考答案参考公式：13V sh =棱锥（s ，h 分别为棱锥底面面积和高）．二、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 设全集{}1234U =，，，，集合{}13A =，，{}23B =，，则U B A ð＝ ▲ ．{}22． 命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是 ▲ ．若6απ≠，则1sin 2α≠ 3． 已知数列{}n a 是等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的 ▲ ．必要不充分条件 4． 已知复数13i3iz +=-，i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅＝ ▲ ．1 5． 运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ ．166． 对某路段上行驶的汽车速度实施监控，从速度在5090km/h -的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h 以下的汽车有 ▲ 辆．757． 若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲不在第一天且乙不在第二天，同时丙不在第三天的概率为 ▲ ．138． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且它的一个焦点与抛物线28x y=的焦点重合，则该双曲线的方程为 ▲ ．222y x -=9． 已知(42)xx=，a ，22(1)2x x -=，b ，x ∈R ．若⊥a b ，则-=|a b | ▲ ．210．设一个轴截面是边长为4的正方形的圆柱体积为1V，底面边长为锥的体积为2V ，则12V V 的值是 ▲ ．2π 11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1q ≠，若3232S S >，则公比q 的取值范围是 ▲ ． 1(1)(1)2--+∞ ，，12．函数()212log 1x f x x =-的最大值是 ▲ ．2-13．过点(40)P -，的直线l 与圆22:4C x y +=相交于A B ，两点，若点A 恰好是线段PB 的 中点，则直线l 的斜率是 ▲． 14．在ABC △中，已知3sin 2sin C B =，点M N ，分别是边AC AB ，的中点，则BM CN的取值范围是 ▲ ．()7148， 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四边形ABEF 中，AF FB ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面ABEF ．（1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：OM //平面DAF ．证明：(1)因为平面⊥ABCD 平面ABEF ，AB CB ⊥，平面ABCD 平面ABEF =AB ，所以CB ⊥平面ABEF ， （2分）又AF ⊂平面ABEF ，则AF CB ⊥， （4分）又AF BF ⊥，且BF B C B ⋂=，,BF BC ⊂平面CBF ，所以AF ⊥平面CBF ． （7分） (2)设DF 的中点为N ，则CD MN 21//， （9分） 又CD AO 21//，则AO MN //，所以四边形MNAO 为平行四边形，所以//OM AN ．（12分）又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ， 所以//OM 平面DAF ． （14分） 16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别是a 、b 、c ，已知3cos210cos()10C A B -+-=． （1）求cos C 的值；（2）若c ＝1，tan B ＝2，求a 的值．解（1）由01)cos(102cos 3=-+-B A C ，得02cos 5cos 32=-+C C ，（3分）即0)1cos 3)(2(cos =-+C C ，解得31cos =C 或2cos -=C (舍去) ． （6分） （2）由1cos 3C =，0C <<π，有sin C ==因为sin tan cos B B B =，所以2222sin 1cos 2cos cos B B B B-==，解得2cos B 13=．又tan 0B ，02B π<<，于是cos B =，sin tan cos B B B ==（10分）ABCDE FMOsin sin()A B C =+sin cos cos sin B C B C =+13==．（12分）由正弦定理得23sin sin ==C A c a ． （14分） 17．（本小题满分14分）如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ，设梯形部件ABCD 的面积为y 平方米． （1）按下列要求写出函数关系式：①设CD =2x （米），将y 表示成x 的函数关系式； ②设∠BOC = （rad ），将y 表示成 的函数关系式． （2）选择一个函数关系式，求梯形部件ABCD 面积y 的最大值．解 以直径AB 所在的直线为x 轴，线段AB 中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，过点C 作CE 垂直于x 轴于点E ．（1）①CD =2x ，OE =x （0＜x ＜1），C E所以1()2y AB CD CE =+⋅1(222x =+(11)x x =+<<．……………………………………………………………………………………………4分 ②(0)2BOC θθπ∠=<<，OE =cos ，CE =sin ，1()y AB CD CE =+⋅1(22cos )sin θθ=+(1cos )sin θθ=+(0)θπ<<．……………………………………………………………………………………………8分（2）（方法1）由①可知(1y x =+设43221t x x x =--++，所以3224622(1)(21)t x x x x '=--+=-+-，令t '=0，解得12x =，或1x =-（舍）．………………………………………………10分当10x <<时，t '＞0，则函数t 在1(0)，上单调递增， 当112x <<时，t '＜0，则函数在1(1)2，上单调递减， 当1x =时，t 有最大值2716，y max．答 梯形部份ABCD 面积y平方米．…………………………………14分（方法2）由②可知，y '=[（sin +sin co s ）]'=（sin ）'+（sin ·cos ）'=cos +cos 2 ﹣sin 2=2cos 2+cos ﹣1，令y'=0，2cos 2+cos ﹣1=0，解得1cos 2θ=，或cos 1θ=-（舍）． ………………10分当3θπ0<<时，y '＞0，则函数y 在(0)3π，上单调递增， 当32θππ<<时，y '＜0，则函数y 在()32ππ，上单调递减， 当3θπ=时，y max，答 梯形部份ABCD平方米．…………………………………14分18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中已知12F F ，分别为椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左右焦点，且 椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，，其中e 为椭圆E 的离心率． （1）求椭圆E 的方程；（2）点P 为椭圆E 上任意一点，求22+PA PO 的最小值；（3）过点A 的直线l 交椭圆E 于另一点B ，点M 在直线l 上，且OM MA =，若12MF BF ⊥，求直线l 的斜率．解 （1）因为椭圆E 经过点(20)A ，和(13)e ，，所以22222291144a c b b c a ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩，，，解得2a =，b =1c =．所以椭圆E 的方程22143y x +=．…………………………………………………4分（2）设点P 的坐标为()x y ，，于是22+PA PO =()22222x y x y ++-+．P 在椭圆E 上，22143y x +=，所以22+PA PO =214102x x -+21(4)22x =-+．由于22x -≤≤，所以2x =时，22min+4PA PO ⎡⎤=⎣⎦，此时点(20)P ，． ………………………………………………………………………………………8分 （3）由（1）知，1(10)F -，，2(10)F ，． 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是(2)y k x =-．联立22143(2)y x y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，消去y 可得2222(43)1616120k x k x k +-+-=， 解得2x =，或228643k x k -=+，所以点B 坐标为2228612()4343k k k k --++，．…………10分 由OM MA =知，点M 在OA 的中垂线1x =上，又点M 在直线l 上，所以点M 的坐标为(1)k -，． 从而1(2)F M k =- ，，22224912()4343k k F B k k --=++ ，．………………………………12分 因为12MF BF ⊥，所以120F M F B ⋅=．12F M F B ⋅= 2222818124343k k k k -+++222018043k k -==+，2910k =，k =． 故直线l的斜率是16分19．（本小题满分15分）设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）求证：1()0f a≤；（3）若函数()f x 的极大值为0，求实数a 的值． 解（1）当2a =时，2()ln 22f x x x x =-+，则1'()42f x x x=-+，……………2分 所以'(1)1f =-，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=．…………4分（2）因为111()ln1f a a a=-+，设函数()ln 1g x x x =-+， 则11'()1xg x x x-=-=， …………………………………………………6分令'()0g x =，得1x =，列表如下：所以111()ln10f a a a=-+≤．………………………………………………8分 （3）2121'()2ax ax f x ax a x x--=-+=-，0x >，令'()0f x >x <<0<， 所以()f x在上单调增，在)+∞上单调减． 所以x =()f x 取极大值．…………………………………………12分于是0f =⎝⎭，而(1)0f =， 1=，解得1a =．…………………………………………14分 设0x =．若01x ≠，根据函数的单调性，总有0()(1)0f x f >=，即函数()f x 的极大值不为0，与已知矛盾．因此01x =，所以a 的值为1．…………………………………………………16分20．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-恒成立． （1）若21,2n A n b ==，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =及3124122334113n n n b b b b a a a a a a a a ++++++< 成立，求正实数1b 的取值范围；（3）若12,a =2n n b =，是否存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列？若存在，求出,s t 的值；若不存在，请说明理由．解（1）因为2n A n = ，当2n ≥时， 1n n n a A A -=- ()221n n =-- 21n =- ，11a = 也适合上式，所以21n a n =-． …………………………………………2分 从而111()12n n n n b b a a ++-=-=，数列{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以21132(1)1222n B n n n n n =⋅+⋅⋅-⋅=+． …………………………………………4分 （2）依题意112()n n n n B B b b ++-=-，即112()n n n b b b ++=-，即12n nb b +=， 所以数列{}n b 是以1b 为首项，2为公比的等比数列，所以1112(21)12nn n n a B b b -==⨯=--， 所以11112(21)(21)nn n n n n b a a b +++=-⋅- …………………………………………5分 因为111111112111()(21)(21)2121n n n n n n n n b b a a b b b ++++⋅==--⋅---…………………………………8分 所以31241112233411111()2121n n n n b b b b a a a a a a a a b +++++++=--- ， 所以1111111()21213n b +-<--恒成立， 即1113(1)21n b +>--，所以13b ≥． …………………………………………10分 （3）由112()n n n n a a b b ++-=-得：112n n n a a ++-=，所以当2n ≥时，11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+132********n n n -+=+++++=- ，当1n =时，上式也成立，所以2242n n A n +=--，又122n n B +=-， 所以2124222221n n n n n A n n B ++--==---， …………………………………………12分 假设存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s t s tA A AB B B 成等差数列， 等价于11,,212121s t s t ---成等差数列，即121212121s t s t =+--- ………………13分 即 212121st s t =+--，因为1121t t +>-，所以2121s s >-，即221s s <+ …………14分 令(s)221(2,)s h s s s *=--≥∈N ，则(1)(s)220s h s h +-=->，所以(s)h 递增， 若3s ≥，则(s)h(3)10h ≥=>，不满足221s s <+，所以2s =，代入121212121s t s t =+---得2310t t --=(3)t ≥， 当3t =时，显然不符合要求； 当4t ≥时，令()231(3,)t t t t t ϕ*=--≥∈N ，则同理可证()t ϕ递增，所以()(4)30t ϕϕ≥=>， 所以不符合要求． 所以，不存在正整数,s t (1)s t <<，使11,,s t s tA A AB B B 成等差数列．…………………16分。
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3 25 而 g (2) 6 ， g ( ) ， g (2) 6 2 4
16．（本小题满分14分） 已知命题：“ x 1.1，使等式 m x 2 x 成立”是真命题． （1）求实数m的取值集合M；
（2）设不等式 ( x a )x (2 a ) 0 的解集为N，若 N M ，求a的取值范围． 3
4y x x y ， x 2， 当且仅当 即 解得 x y≤1 .令 t x y ，则 t≤1 ， 4 1 1. y 1. x y
2
不等式 t a 2a 2 3 ≥ 0 在 t (， 1] 时恒成立. 当 a ≥ 0 时，显然不成立；当 a 0 时， ta 2a 2 3 ≥ 0 恒成立，即
解：(1) 由题意知，方程 x 2 x m 0 在 1,1上有解，即m的取值范围为函数
1 y＝x2－x在 1,1上的值域，易得M= ,2 (5分) 4
(2) 当a＝1时，解集N为空集，满足题意；(7分) 当a>1时，a>2－a，此时集合N＝{x|2－a<x<a}，则 1 a 2 (10分) 当a<1时，a<2－a，此时集合N＝{x|a<x<2－a}，则 0 a 1 (13分) 综上： 0 a 2 (14分)
t a 2a
2
3 ≥ 0 ，
min
3 3 所以 a 2a 2 3 ≥ 0 ，解得 a≤ ，则实数 a 的取值范围是 ，- .
2
2
2 x (2 x x )e , x 0 14．已知函数 f ( x) 2 ， g ( x) f ( x) 3k ，若函数 g ( x) 恰有两 x 4 x 3 , x 0
2 x 0 解：（1）由题意得， x 应满足： ， 所以 f ( x) 的定义域为 (2, 2) 2 x 0
（6分） （2）由于 g ( x) 10 f ( x ) 3 x, 得 g ( x) x 2 3 x 4 (2 x 2) ∴函数 g ( x) 的值域为 (6,
输出 结束
p
（第5题图）
1
6．“ 1 x 2 ”是“ x 2 ”成立的
▲
（填“充 分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”） 条件． 充分不必要
7．我们知道，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比是 1:4，类比该命题得，以正四面体的四个面的中 心为顶点的四面体与原正四面 体的体积之比为 ▲ ．1:27
个不同的零点，则实数 k 的取值范围为
▲
7 2 2 2 ． (1, ) 0, 3 3e 2
二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分） 已知函数 f ( x) lg(2 x) lg(2 x) ． （1）求函数 f ( x) 的定义域； （2）记函数 g ( x) 10 f ( x ) 3 x, 求函数 g ( x) 的值域．
江苏省南通中学2014—2015学年度第二学期期末考试
高二数学（文科）试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请 把答案直接填空在答题卡相应位置上． 1．已知集合A＝{1,3,9}，B＝{1,5,9}，则A B＝ 2．已知复数 z 满足 (1 i ) z 1 5i ，则 z ▲ ▲ ． 2 3i ．
a , x 1 11．若 f ( x) x 是R上的单调减函数，则实数 a 的取值范围为 ▲ x 3a, x 1
． [Error!，＋∞) 12．若 a 0, b 0 ，且函数 f ( x) 4 x 3 ax 2 2bx 2 在x＝1处有极值，则ab的 最大值为 ▲ ．
4 x
9
1 1 ，不等式 x y a 2a 2 3 ≥ 0 恒成立，则实数 a y
13．已知 x, y R ，满足 的取值范围是 ▲
．
4 1 4 y x ≤5 2 4 y x 1 ， 解： x, y R ， x y x y 5 x y x y x y
1,9
3．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成 如图所示的频率分布直方图．根据图形推断，该时段时速不超过50km/h的汽车 辆数为 ▲ ． 23
4．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋 中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为
2 x y 0 y 8．设实数x、y满足 x y 4 0 ，则u＝ 的取值范围是 x x 3
9．曲线 y 3 ln x x 在点(1，1)处的切线方程为 ▲ ．
▲
1 ． ,2 3
y 4x 3
10．已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 (,0) 上单调递减，则不 等式 f ( x 2 3 x) f (4) 的解集为 ▲ ． 1,4
17．（本小题满分15分） 设命题 p : 函数 f ( x) lg(ax 2 x
1 3
▲
．
5．执行下边的程序框图， 若输入的 N 是 3 ，则输出 p 的值是 13 开始 输入
时时 时时
▲
．
0.039 0.028 0.018 0.010 0.005
N i ←1， p ←
p ← p 2i
1
i ← i 1
iN
Y
N
30 40 50 60 70 80
时 时 (km/h)
(图 3图 图 )