第6章 北大高微讲义库恩 塔克条件

Max x
f (x1, x2,..., xn)
s.t. gi(x1, x2,..., xn) ≤ri i =1,2,...,m
4
第6章 库恩 --- 塔克条件
（3）关于（P1）最优解的推导
第二步：
假设去掉选择变量的非负要求，于是有：
Z(x1, x2, x3, s1, s2, λ1,λ2)
= f (x1, x2, x3) + λ1(r1 − g1(x1, x2, x3) − s1) + λ2(r2 − g2(x1, x2, x3) − s2)
s.t. gi (x1, x2,..., xn) ≤ ri i =1,2,...,m
x1, x2,..., xn ≥ 0
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第6章 库恩 --- 塔克条件
（1）极大值问题：
拉 格 朗 日 函 数：
Z ( x1 , x2 , ..., xn , λ1 , ..., λm )
m
∑ = f ( x1 , x 2 , ..., xn ) + λ i ( ri − g i ( x1 , x2 , ..., x n )) i =1
∂z ≤ 0, ∂λ i
λi ≥ 0
且 λi
⋅
∂z ∂λ
=
i
0
i = 1, 2, ..., m
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第6章 库恩 --- 塔克条件
（2）极小值问题： 数学定理：
如果f 函数是凸函数，gi 是凹函数，则K-
T条件是极小值的充要条件。
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第6章 库恩 --- 塔克条件
3、对 K—T条件的理解 （1）关于极大值问题的K—T条件
（2）关于约束条件是不等式的要求： 在（1）的基础上加入不等约束的要求
Max x
y=
f (x1, x2 , x3 )
（P1）
s.t. g1(x1, x2 , x3 )≤ r1
g 2 (x1, x2 , x3 )≤ r2
且 x1, x2 , x3 ≥ 0
3
第6章 库恩 --- 塔克条件
（3）关于（P1）最优解的推导
∂z ≤0, ∂x j
xj ≥ 0
and
xj
⋅ ∂z ∂x j
=0
j = 1, 2,3
∂z ≥ 0, ∂λi
λi ≥ 0
and
λi
⋅
∂z ∂λi
=0
i = 1, 2
⇓
⇓
⇓
边际条件 非负条件 互补松弛条件
8
第6章 库恩 --- 塔克条件
2、 K—T条件的标准形式 • （1）极大值问题：
Max x
f (x1, x2,..., xn)
= −λ
i≤
0
⇒
λ i≥0
于是（2）式可改写为： λ i≥0， si ≥ 0 且si ⋅λ i= 0
(4)
由（3）式得，
∂z ∂λi
= ri
−gi(⋅) −si
=0
⇒
si = ri − gi (⋅)
于是（4）式可写成：ri −gi(⋅)≥0， λ i≥ 0 且λi（⋅ ri −gi(⋅)）=0 (5)
K −T条件：
∂z ≤ 0, ∂x j ∂z ≥ 0, ∂λ i
xj ≥ 0 λi ≥ 0
且
xj
⋅
∂z ∂x
=
j
0
且
λi
⋅
∂z ∂λ
=
i
0
j = 1, 2 , ..., n
i = 1, 2, ..., m
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第6章 库恩 --- 塔克条件
（1）极大值问题： 数学定理：
如果 f 函数是凹函数，gi 是凸函数，则
第1部分 消费者行为理论
• 第1章 消费者的最优决策 • 第2章 比较静态分析 • 第3章 显示偏好理论 • 第4章 需求 • 第5章 消费者的福利变化 • 第6章 库恩 --- 塔克条件 • 第7章 不确定条件下的个人选择
1
第6章 库恩 --- 塔克条件 （Kuhn—Tucker condition）
K-T条件是极大值的充要条件。
11第6Βιβλιοθήκη 库恩 --- 塔克条件（2）极小值问题：
Min x
f (x1, x2,..., xn)
s.t. gi (x1, x2,..., xn ) ≥ ri i =1, 2,..., m
x1, x2,..., xn ≥ 0
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第6章 库恩 --- 塔克条件
（2）极小值问题： 拉 格朗日函数：
Z ( x1 , x2 , ..., xn , λ1 , ..., λm )
m
∑ = f ( x1 , x2 , ..., xn ) + λi (ri − g i ( x1 , x2 , ..., xn )) i =1
K −T条件：
∂z ≥ 0, ∂x j
xj ≥ 0
且xj
⋅
∂z ∂x
=
j
0
j = 1, 2, ..., n
如果在（P2'）中消去si，则有
∂z ∂λi
=
ri
−
gi
(⋅)
于是（5）式可写为
∂z ∂λi
≥
0，
λ
i
≥
0
且λi
⋅
∂z ∂λi
=0
(6)
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第6章 库恩 --- 塔克条件
（3）关于（P1）最优解的推导
最后，将式（1）和（6）结合在一起，
便得到非负以及不等式约束下的（P1）最优解
的条件，即K-T条件。
（P2'）
F.O.C. ∂z = ∂z = ∂z = 0 ∂x1 ∂x2 ∂x3
∂z = ∂z = 0 ∂s1 ∂s2
∂z = ∂z = 0
∂λ1 ∂λ2
5
第6章 库恩 --- 塔克条件
（3）关于（P1）最优解的推导 第三步：加上选择变量非负的要求。 于是，
F.O.C. 改写为：
∂z ≤0, ∂x j
一、K—T条件 • 在最优化问题中，若
– 选择变量要求非负 – 约束条件是不等式 则需要用K—T条件来解决问题。 1、 K—T条件初步理解 （1）关于选择变量非负的要求 Max y = f (x)
s.t. x ≥ 0
f ' (x) ≤ 0, x ≥ 0, and f ' (x) ⋅ x = 0 2
第6章 库恩 --- 塔克条件
第一步：
加入两个虚设变量s1、s2 ≥ 0，将（P1）处理
成以下的等价形式（P2）。（即：去掉不等式约
束条件）
Max x,s
y=
f ( x1, x2 , x3 )
（P2）
s.t. g1 ( x1, x2 , x3 ) + s1 = r1
g 2 ( x1, x2 , x3 )+ s2 = r2
且 x1, x2 , x3 , s1, s2 ≥ 0
xj ≥ 0
and
∂z ≤ 0, ∂si
si ≥ 0
and
∂z = 0 ∂λi
xj
⋅
∂z ∂x j
=0
si
⋅
∂z ∂si
=0
j = 1, 2,3 i = 1, 2
(1) (2) (3)
6
第6章 库恩 --- 塔克条件
（3）关于（P1）最优解的推导
第四步：再加上不等式约束的要求（即消去si）。
由（2）式得，∂z ∂si