反应堆控制(7)

△∠F（S）=∑△∠（S-Zj）+ ∑△∠（S-Pj） = Z· （-2π ）+ P· =（P-Z）· =R· 2π 2π 2π 即有: R = P - Z
自动控制理论
二、乃氏稳定判断
取S平面上封闭围线Cs为图 5-40所示。
F ( j ) 1 G( j ) H ( j )
图5-40 s平面上的封闭曲线Cs
相对稳定性 根据映射定理，Ｓ沿小半圆从 0 变化到 0
时，在 G(s) H (s) 平面上的映射曲线将沿着半径为无穷
大的圆弧按顺时针方向从 2 经过０转到

G (s) H (s)
0
2
K 1, j 0 G(s) H (s) 例５－６ s(Ts 1)
s 0
K
0

e j
1) 1，C 2 部分在GH平面上的映 射曲线为一半径无穷大 的半圆。 2) 2，C 2 部分在GH平面上的映 射曲线为一半径无穷大 的圆。
一．Ngquist稳定判据
Ngquist稳定判据的数学基础是复变函数论中的 映射定理，又称幅角定理． 闭环系统稳定的充要条件是：系统的全部特征 根（或极点）位于左半Ｓ平面．
Байду номын сангаас
根据奈氏判据的前提，特引入辅助函数F（S）=1＋G（S）H（S）， 该辅助函数F（S）的特点： 1） F（S）的极点是G（S）H（S）的开环极点； F（S）的零点是1＋G（S）H（S）=0的特征根。 2） F（S）的零点与极点个数相同；（分子分母同阶） 3）F（S）与G（S）H（S）之间相差一个常数1。即F（S）曲线可由G （S）H（S）曲线右移一个单位得到。 2）映射定理（幅角定理）：如果[S]上封闭曲线C内有Z个 F（S）的零 点P个F（S）的极点，那么，复变量S沿着C顺时针旋转一圈时，在 [F（S）]上的Г曲线则绕其原点逆时针转过P-Z=R圈。 其中： P----- F（S）在C内的极点数； Z----- F（S）在C内的零点数； R-----Г曲线绕其原点逆时针转过的圈数； R=0时，说明Г不包含[F（S）]原点； R＜0时，表示ГF曲线绕其原点转过的圈数为顺时针方向；
0 0
1, j 0
统不稳定，并有两个
闭环极点在右半Ｓ 面．

§５－４ 乃奎斯特稳定判据和系统的 二．对数频率稳定判据
相对稳定性 Ngquist图和Bode图的对应的关系
１．G( j ) H ( j ) 1 单位圆与０分贝线对应，单位 圆外, L( ) 0 ２．ＧＨ平面上的负实轴与 ( )的－180°线对应． 3．幅相曲线穿越实轴上（-∞，-1）区间，但正穿越次数N+与负穿
自动控制理论
例5 7 G(S)H(S)
K TS 1 试用乃氏判据确定闭环 系统稳定的K值范围。
解 G ( j )
K 1 T 2 2
() 180 arctanT
由于 p 1, N z 1,若使 z 0, 则N 1, 即GH ( j )曲线逆时针 包围(1, j 0)一周。显然只要 K 1就能使系统稳定 。 若G ( j ) H ( j )在j轴有奇点， 则乃氏途径需修改：
[证明如下]： 设F（S）的零点、极点在[S]上的分布如图示，并有一条封闭曲 线C包含F（S）的第i个零点Zi，在曲线C上选取一点S，当S沿着 C顺时针旋转一圈时，总有: △∠（S-Pj） = 0 （j=1，2，…，n） △∠（S-Zj） = 0 （j=1，2，…，m，j≠i） 而 △∠（S-Zi） = - 2π 同理 △∠（S-Pi） = 2π 其中 Zi、 Pi------为曲线C之内的零、极点； Zj、 Pj------为曲线C之外的零、极点；
G( j ) H ( j )
c
§５－４ 乃奎斯特稳定判据和系统的c 剪切频率—对应于 G ( j ) H ( j ) 1 的频率，记为 相对稳定性 相角裕量—在剪切频率 c处，使系统达到临界稳定
状态所要附加的相角滞后量． 180 (c ) 为使系统稳定，相角裕量必须为正值． 增益裕量 K g —在相角特性 ( )等于 180的频率
Ｐ＝０，v=1,顺时针转过π弧度 系统稳定
0

R
§５－４
例５－７
乃奎斯特稳定判据和系统的 4s 1 G( s) H ( s) 2 相对稳定性 1) s ( s 1)( 2s
Ｐ＝０，V=2，从

顺时针
顺时针包围 (1, j 0) 点两周， P 0 ，系
S
×
s-p2 s-z1
s-zi s-zi OO
C
×
Г ∠F（S）
O
O
×
s-p3
s-p1 [S]
[F（S）]
若有 Z个零点被曲线Гs包围，则有 ∑△∠（S-Zi） = Z· （-2π）; 同理： 若有P个极点被曲线Г s包围，则有 ∑△∠（S-Pi） = P· ; 2π 又因为: ∠F（S）=∑∠（S-Zj）+ ∑∠（S-Pj） 故有: △∠F（S）=∑△∠（S-Zj）+ ∑△∠（S-Pj） 所以，若有 Z个零点、 P个极点被曲线Г s包围，则有：
若围线Cs以顺时针方向包围了F(S)的z个零点和p个极点，由幅角原理可 知，在F(jω)平面上的映射曲线CF将按顺时针方向围绕坐标原点旋转N周。
N z p
由于
G(j ) H ( j ) 1 G( j ) H ( j ) 1
自动控制理论 映射曲线CF围绕F(S)平面的坐标原点等价于G(jω)H (jω)对GH平面上的 (-1,j0)点围绕。
图5-43 例5-7的奈氏图
自动控制理论
设开环传递函数为
G(S ) H (S ) K (1 i S ) S (1 Tl S )
l 1 i 1 n m
,n m
在C2部分上, 令S e j ( 0)。代入上式，得
图5-45 s平面上的奈氏途径
lim G ( S ) H ( S ) lim
§５－４ 乃奎斯特稳定判据和系统的 应用的两种情况 相对稳定性
１． (s) H (s) 不含有积分环节时 G
例５－５
Q( )
K G( s) H ( s) (T1s 1)(T2 s 1)
1, j 0


K
0
( )
解：系统稳定Ｐ＝０
G ２． (s) H (s) 含有积分环节时 §５－４ 乃奎斯特稳定判据和系统的
Ngquist稳定判据：闭环系统稳定充分和必要条件是， 当 从 变化到 时，系统的开环频率特性 G( j ) H ( j ) 按逆时针方向包围 (1, j 0) 点k周，k为 系统位于右半Ｓ平面的开环极点数目．
三．最小相位系统与非最小相位系统 最小相位系统—系统传递函数的极点，零点都位于 左半Ｓ平面． 非最小相位系统—在右半Ｓ平面存在极点，零点． 最小相位系统的特点： １．不含有滞后环节，或不稳定的环节 ２．对于具有相同幅频特性的系统，最小相位系统 的相角最小． ３．幅频特性和相频特性之间存在着唯一的对应关 系，因此只要知道其对数幅频特性，就可以画出其 相频特性，也可以写出其传递函数。而非最小相位 系统的幅频特性和相频特性之间不存在这种唯一对 应关系．
越N－次数相等。即在∣G（jω ）∣＞1（即20lg∣G（jω ）∣＞0） 内∠G（jω ）对－π 线的正、负穿越次数相等。 正穿越：φ（ω ）↑的方向，即（-∞，-1）区间由上向下方向； 负穿越：φ（ω ）↓的方向，即（-∞，-1）区间由下向上方向。 比如：
-1 P=0 正负 -1 P=0
N+= N－=1 R=N+－N－=0 即相当于没有穿越
20 lg K
0
20

1
10
②因为在 L( ) 0 的 频段内，相频特性 ( )不穿 越 180线．按照乃氏稳定 判据系统是稳定的．
( )
0
90
180

7.2 系统的稳定裕量
• 至此为止我们讨论系统的稳定性问题只涉及定性 的概念，根据稳定判据判别系统稳定或不稳定。 现在要进一步讨论系统能够的相对稳定性问题． • 何谓控制系统的相对稳定性 在控制系统的基础上，进一步表征其稳定程度高 低的概念，称为控制系统的相对稳定性。 • 稳定裕量就是表征系统稳定程度的量．它是 描述系统特性的重要的量，与系统的暂态响应指 标有密切的关系。
• 线性系统稳定的充分必要条件是系统特征方程的所有根 （系统的所有闭环极点），均位于左半Ｓ平面． • 但是求解高阶系统的特征方程是相当困难的．而劳斯 判据，避免解特征方程，只需对特征方程的系数进行代数 运算，就可以判断系统的稳定性，因此这种数据又称为代 数稳定判据． • 根轨迹法，令开环函数的一个参数——开环增益Ｋ （或另一个感兴趣的参数）从０变化到∞，与此对应，特 征方程的根，便在Ｓ平面上描出一条根轨迹的分布 • 本章的内容Ngquist稳定判据（奈奎斯特（奈氏）判据）
图5-41 G（jw）h(jw)曲线与1+G（jw）h(jw)曲线的关系
自动控制理论
乃氏判据 : 1)如果开环系统是稳 定的,即p 0,则其闭环系统稳定充要 条件是 G(jω)H(jω) 曲线不包围( 1,j0)点2)如果开环 系统不稳定, 且已 知有p个开环极点在s 平面的右方，则其闭环 系统稳定的充要条件 是G(jω)H(jω )按逆时针方向围绕( 1,j0)点旋转p周。
第一种情况
第二种情况
采用Bode图的Ngquist判据：
闭环系统稳定的充要条件是，当 由０变到 时， 在 L( ) 0的频段内， ( ) 曲线穿越 线的次数 （正穿越与负穿越次数之差）为 P ，Ｐ为Ｓ右半平 2 面的开环极点个数．