高三总复习解析几何专题(师)
解析几何专题一、选择填空题1、 “3=a ”是“直线022=++a y ax 和直线07)1(3=+--+a y a x 平行”的（ A ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2、已知双曲线的渐近线为y =，焦点坐标为（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（D ）A ．221824x y -= B ．221124x y -= C ．221248x y -= D ．221412x y -= 3、直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于（B ） A . 2 B . 2 C .22 D . 44、圆心在曲线()30y x x=> 上，且与直线3430x y ++=相切的面积最小的圆的方程为（ A ） A ．()223292x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B ．()()22216315x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ C ．()()22218135x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭D．((229x y +=【解析】353123≥++=x x R ，当且仅当2=x 时取等号；所以半径最小时圆心为)23,2(，圆方程为()223292x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭5.（2012∙宁德质检理6）已知方程221()13x y k R k k+=∈+-表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ B ）A ．13k k <>或B ．13k <<C ．1k >D ．3k <【解析】因为方程221()13x y k R k k+=∈+-表示焦点在x 轴上的椭圆，所以{101330,13k k kk k +>+>--><<6．设12F F 、分别是椭圆222:1(01)y E x b b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线 与E 相交于A B 、两点，且22,AF AB BF ，成等差数列，则AB 的长为（ C ）A ．32B ．1C ．34 D ．35 【解析】本题主要考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系，等差中项的计算. 属于基础知识、基本运算的考查.椭圆222:1(01)y E x b b+=<<，1a =，∵112221,1AF BF a AF BF +==+=， 相加得11222AF BF AF BF +++=，221122||AF BF AF BF AB +=-+=-27．已知P 是直线0843=++y x 上的动点，PA PB 、是圆012222=+--+y x y x 的切线，A B 、是切点， C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是( ).A ．2B ．2C ．22D ．4【答案】C【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离的基本运算. 属于基础知识、基本运算、基本你能力的考查.由题意，圆012222=+--+y x y x 的圆心是C （1，1），半径为1，PA=PB 易知四边形PACB 面积＝1()2PA PB PA +=,故PA 最小时，四边形PACB 面积最小。
由于||PA =,故PC 最小时PA 最小垂直此时CP 常这样直线直线0843=++y x348|||3,||5PC PA ++==== 四边形PACB 面积的最小值是 8．设F 为抛物线24y x =的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++= ，则||||||FA FB FC ++ = （ ）A ．9B ．6C ．4D ．3【答案】B【解析】本题主要考查抛物线的定义和标准方程、向量共线的知识. 属于基础知识、基本运算的考查. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，抛物线焦点坐标F(1，0)，准线方程：x=-1∵0FA FB FC ++=∴点F 是△ABC 重心则x 1+x 2+x 3=3， y 1+y 2+y 3=0而|FA|=x 1－(－1)=x 1＋1 |FB|=x 2－(－1)=x 2＋1 |FC|=x 3－(－1))=x 3+1∴|FA|+|FB|+|FC|=x 1+1+x 2+1+x 3+1=(x 1+x 2+x 3)+3=3+3=69．已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A 2+ B 1+ C ．2-D 1-【答案】D【解析】本题主要考查抛物线定义以及点到直线的距离公式以及最值问题以及转化的思想. 属于基础知识、基本运算、基本能力的考查.由抛物线的定义，PF ＝11d +， 11d PF =-1221d d d PF +=+-，显然当PF 垂直于直线40x y -+=时，12d d +最小。
此时2d PF +为F 到直线40x y -+==∴12d d +1 10、曲线Ｃ：)0,0(||>>-=b a ax by 与y 轴的交点关于原点的对称点称为“望点”，以“望点”为圆心，凡是与曲线C 有公共点的圆，皆称之为“望圆”，则当a=1，b=1时，所有的“望圆”中，面积最小的“望圆”的面积为 ． 【答案】π3【解析】因为曲线Ｃ：)0,0(||>>-=b a ax by 与y 轴的交点关于原点的对称点称为“望点”，以“望点”为圆心，凡是与曲线C 有公共点的圆，皆称之为“望圆”，所以当1,1==b a 时望圆的方程可设为222)1(r y x =-+，面积最小的“望圆”的半径为（0,1）到11-=x y 上任意点之间的最小距离，=--+=--+=22222)12()111(x x x x x d 32)1(2)1(2)1(1)1(22≥+---+-+-x x x x ，所以半径3≥r ，最小面积为π3 10.点A 是抛物线C 1：y 2=2px (p >0)与双曲线C 2：122=-by a x (a >0，b >0)的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于（C ）A .2B .3C .5D .6【解析】求抛物线C 1：y 2=2px (p >0)与双曲线C 2：122=-b y a x (a >0，b >0)的一条渐近线的交点,,222222⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧====b pa x bpa y px y x a b y 所以,2222p bpa=225,c a e ==C; 11、已知12(1,0),(1,0)F F -的椭圆22221x y a b+=的两个焦点，若椭圆上一点P 满足124PF PF += ，则椭圆的离心率e =12【解析】由椭圆定义得124PF PF += 1,24,2,1,2a a c e ====12、设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 是椭圆上的一点，21AF AF ^,原点O 到直线1AF 的距离为112OF ，则椭圆的离心率为（ B ）A 、13 B 1 C D 1【解析】由条件得21,,2(1,1AF c AF a c e ===13、过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE交曲线右支于点P ，若()12OE OF OP =+，则双曲线的离心率为（ C ）A B C D 【解析】本题主要考查双曲线的定义、直线与圆的位置关系、中点公式、双曲线的简单几何性质. 属于基础知识、基本运算的考查.圆的2224a x y +=半径为2a ，由()12OE OF OP =+ 知，E 是FP 的中点，如图，设(,0)F c '，由于O 是FF '的中点，所以，1,22OE PF OE PF PF OE a '''=⇒== 由双曲线定义，3FP a =，因为FP 是圆的切线，切点为E ，所以FP OE ⊥，从而90FPF ︒'∠=，由勾股定理222222942FP F P FF a a c e ''+=⇒+=⇒=二、解答题：考点一、曲线（轨迹）方程的求法 常见的求轨迹方程的方法：（1）单动点的轨迹问题——直接法（五步曲）+ 待定系数法（定义法）； （2）双动点的轨迹问题——代入法；（3）多动点的轨迹问题——参数法 + 交轨法。
例1、设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列。
（1）求E 的离心率；（2） 设点(0,1)p -满足PA PB =，求E 的方程（II ）设AB 的中点为()00,N x y ，由（I ）知212022223x x a c x c a b +-===-+，003cy x c =+=。
由PA PB =，得1PNk =-，即0011y x +=-得3c =，从而3a b ==故椭圆E 的方程为221189x y +=。
练1、在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-.(Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。
（I ）解：因为点B 与A (1,1)-关于原点O 对称，所以点B 得坐标为(1,1)-. 设点P 的坐标为(,)x y 由题意得111113y y x x -+=-+- 化简得 2234(1)x y x +=≠±. 故动点P 的轨迹方程为2234(1)x y x +=≠±（II ）解法一：设点P 的坐标为00(,)x y ，点M ，N 得坐标分别为(3,)M y ,(3,)N y . 则直线AP 的方程为0011(1)1y y x x --=++，直线BP 的方程为0011(1)1y y x x ++=-- 令3x =得000431M y x y x +-=+，000231N y x y x -+=-.于是PMN 得面积2000020||(3)1||(3)2|1|PMNM N x y x S y y x x +-=--=- 又直线AB 的方程为0x y +=，||AB = 点P 到直线AB的距离d =于是PAB 的面积001||||2PAB S AB d x y ==+当PABPMN S S = 时，得20000020||(3)|||1|x y x x y x +-+=-又00||0x y +≠， 所以20(3)x -=20|1|x -，解得05|3x =。
高三数学复习专题之一解析几何
高三数学复习专题之一----解析几何高考题目的分析解析几何是历届高考的热点和重点，它的基本特点是数形结合，是代数、三角、几何知识的综合应用.一般以四个小题、一个大题的结构出现，且大题往往是压轴题.纵观近几年高考试题有如下特征：(1)考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，判定直线的位置关系等题目，多以选择题、填空题形式出现；(2)中心对称与轴对称、充要条件多为基本题目；(3)考查圆锥曲线的基本知识和基本方法也多以选择题、填空题形式出现；(4)有关直线与圆锥曲线等综合性试题，通常作为解答题形式出现，有一定难度.一般情况是：给出几何条件，求曲线(动点的轨迹)方程；或利用曲线方程来研究诸如几何量的计算、直线与曲线的位置关系、最近(或最远)问题.但近几年的高考解析几何试题类型比较分散，每年都有不同.解题过程中的运算量有逐年降低的趋势，而解题过程中的思维量在增加.但万变不离其宗，常用的解题规律与技巧不变. 例①求圆锥曲线的有关轨迹方程时，要注意运用平面几何的基本知识特别是圆的知识，便于简化运算和求解；②在直线与圆锥曲线的有关问题中，要注意韦达定理和判别式的运用；③要注意圆锥曲线定义的活用.另外，解析几何的解答题也常在知识网络的交汇处出题，它具有一定的综合性，重点考察数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等能力.解析几何常与函数、不等式等建立联系.., ),0,1()3 ,)2 )1 , ,)0,(1:.12222222中点的轨迹方程求、为轴的端点为左准线的椭圆，其短为左焦点，以经过点设双曲线的方程；求双曲线截得的弦长为被直线若双曲线的值；的离心率求双曲线为等边，且右焦点两点、与两条渐近线交于右准线的离心率为设双曲线例BF F B l F C C ae b b ax y C e C PQF F Q P l e b a by a x C +=∆∆>=-. ),3 , 2(21的轨迹方程顶点求：当椭圆移动时其下为离心率，且过点轴为准线，以练习：设椭圆恰以P A x .)2( )1( 41)0,4( 02010.2222的方程求双曲线的渐近线方程；求双曲线上，又满足在线段点，且点轴交于两点，和、交于和双曲线，使的直线做斜率为过点相切，近线与圆的中心在原点，它的渐双曲线例G G PCPB PA AB P C y B A G l l P x y x G =⋅-=+-+最大值为多少？，多少时矩形的面积最大，当矩形的长与宽各是若矩形内接于曲线的方程求抛物线顶点轨迹轴为准线且以已知抛物线经过例 )2( ;)1( ),4,3(.3l l y A .)2( )1( )0,6( 8)0(2.42面积的最大值求求抛物线方程的垂直平分线通过定点又线段为焦点，且，、上有两动点设抛物线例AQB Q AB BF AF F B A p px y ∆=+>=。
数学高三解析几何知识点
数学高三解析几何知识点高三学生在学习数学时，解析几何是一个非常重要的知识点。
它不仅在高中阶段有很大的分量，而且在后续的数学学习中也扮演着重要的角色。
本文将对高三解析几何的一些关键知识点进行详细的介绍和解析。
一、直线与平面1. 直线的表达式直线的一般方程为 Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
此外，直线还可以通过点斜式、截距式等形式进行表达。
（举例）点斜式方程为 y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上的一点，k为直线的斜率。
2. 平面的表达式平面的一般方程为 Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D 为常数。
同样地，平面还可以通过法向量式、点法式等形式进行表达。
（举例）法向量式方程为 A₁x + B₁y + C₁z = D₁，其中(A₁, B₁, C₁)为平面的法向量。
二、直线与平面的位置关系1. 直线与平面的交点直线与平面的交点即直线上满足平面方程的点。
2. 直线与平面的位置关系直线与平面可以相交、平行或者重合。
判断直线与平面的位置关系，可以通过直线与平面的法向量是否垂直来进行判定。
三、曲线的方程1. 圆的方程圆的方程为 (x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径。
2. 椭圆的方程椭圆的方程为 (x - a)² / m² + (y - b)² / n² = 1，其中(a, b)为椭圆的中心坐标，m, n为椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
3. 抛物线的方程抛物线的方程为 y = ax² + bx + c，其中a, b, c为常数。
4. 双曲线的方程双曲线的方程为 (x - a)² / m² - (y - b)² / n² = 1，其中(a, b)为双曲线的中心坐标，m, n为双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
高三数学解析几何试题答案及解析
高三数学解析几何试题答案及解析1.（本小题满分12分）已知椭圆:的焦点分别为、，点在椭圆上，满足，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，试探究是否存在直线与椭圆交于、两点，且使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）本题求椭圆的方程只需确定一个未知数，建立一个方程即可，利用椭圆定义及焦点三角形,结合余弦定理可解：由，得，由余弦定理得，（Ⅱ）表明点在线段DE中垂线上，利用韦达定理列等量关系，求出与的关系，再根据判别式大于零，可解出的取值范围试题解析：（1）由，得，由余弦定理得，∴所求的方程为．（2）假设存在直线满足题设，设，将代入并整理得，由，得①又设中点为，，得②将②代入①得化简得，解得或所以存在直线，使得，此时的取值范围为．【考点】直线与椭圆位置关系2.抛物线：的准线的方程是____；以的焦点为圆心，且与直线相切的圆的方程是____．【答案】，．【解析】分析题意可知，∴准线方程为，焦点为，半径，∴所求圆方程为．【考点】1．抛物线的标准方程；2．直线与圆的位置关系．3.如图，为外一点，是切线，为切点，割线与相交于点，，且，为线段的中点，的延长线交于点，若，则__________；_________．【答案】，．【解析】由切割线定理，∴，，再由相交弦定理，∵是的中点，∴，，则．【考点】1．切割线定理；2．相交弦定理．4.椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】设关于直线的对称点的坐标为，则，所以，，将其代入椭圆方程可得，化简可得，解得，故应选．【考点】1、椭圆的定义；2、椭圆的简单几何性质；5.如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= ．【答案】【解析】由已知及圆的弦切割线定理得，，又知点P是CD的中点，所以，再由相交弦定理得；故答案为：．【考点】圆的性质．6.已知椭圆C：，为左右焦点，点在椭圆C上，△的重心为，内心为，且有（为实数），则椭圆方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设点距轴的距离为，因为IG∥，则点距轴的距离为，连接，则，，所以，所以，所以椭圆方程为．【考点】椭圆的标准方程．7.已知双曲线（，）的焦距为，若、、顺次组成一个等比数列，则其离心率为．【答案】【解析】根据题意，有，即，式子两边同时除以，得，结合双曲线的离心率的取值范围，可求得．【考点】双曲线的离心率．8.设椭圆E：的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC，则椭圆E的离心率是．【答案】【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为的中位线，于是，且，即．【考点】椭圆的离心率．9.点M（χ，）是抛物线χ2=2P（P＞0）上一点，若点M到该抛物线的焦点的距离为2，则点M到坐标原点的距离为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线（）的准线方程是，因为点到该抛物线的焦点的距离为，所以，解得：，所以该抛物线的方程是，因为点是抛物线上的一点，所以，所以点到坐标原点的距离是，故选D．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程．10.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，过点作准线的垂线，垂足为，当点的坐标为时，为正三角形，则此时的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，过点作的垂线，垂足为，则为的中点．因为点的坐标为，所以，，所以，即，所以抛物线的方程为，此时，，所以直线的方程为，将其代入抛物线方程可得，，解得或，所以或，所以的面积为，故应选．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的简单几何性质．【思路点睛】本题考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先过点作的垂线，垂足为，则为的中点，然后利用点的坐标为，可求出，进而得出抛物线的方程，从而得出直线的方程，最后将其与抛物线的方程联立求出点的坐标，即可求出的面积．其解题的关键是求出抛物线的方程和直线的方程．11.已知、、c为正数，（1）若直线2x－（b－3）y＋6＝0与直线bx＋ay－5＝0互相垂直，试求的最小值；（2）求证：．【答案】（1）25；（2）证明见解析．【解析】（1）先利用两直线垂直得到关于正数的关系，再利用基本不等式进行求解；（2）先对不等式左边的每个括号进行因式分解，再利用基本不等式进行证明．试题解析：（1）由已知，有：即：、为正数，当且仅当时取等号，此时：故当时，的最小值是25．（2）、、c为正数，【考点】基本不等式．12.如图，已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值．【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）面积的最大值为．【解析】（1）由已知得，跟据抛物线定义，得，所以点；据椭圆定义，得．所以椭圆的标准方式是．（2）因为为线段的中点，得直线的方程为；联立，得，由弦长公式和点到直线的距离，得．再根据函数的单调性得面积的最大值为．试题解析：（1）设椭圆的方程为，半焦距为．由已知，点，则．设点，据抛物线定义，得．由已知，，则．从而，所以点．设点为椭圆的左焦点，则，．据椭圆定义，得，则．从而，所以椭圆的标准方式是．（2）设点，，，则．两式相减，得，即．因为为线段的中点，则．所以直线的斜率．从而直线的方程为，即．联立，得，则．所以．设点到直线的距离为，则．所以．由，得．令，则．设，则．由，得．从而在上是增函数，在上是减函数，所以，故面积的最大值为．【考点】1、抛物线的定义；2、椭圆的方程；3、最值问题．【方法点睛】本题考查抛物线的定义和简单几何性质、待定系数法求椭圆的标准方程、直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，属于难题；对于直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题，解决此类题目的最有效方法是点差法，两式直接相减就可以表示出斜率；而第二问中面积公式求出后，函数单调性的研究更是加深了此题的难度，运算量也比较大，不容易拿高分．13.已知抛物线（）的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则点的横坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线的焦点为，准线为．双曲线的右焦点为，所以，即，即，过作准线的垂线，垂足为，则，即，设，则代入，解得．故应选B．【考点】圆锥曲线的性质.【思路点睛】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得的坐标，设，过点向准线作垂线，则，根据及，进而可求得点坐标．14.已知抛物线：，过焦点F的直线与抛物线交于两点（在第一象限）．（1）当时，求直线的方程；（2）过点作抛物线的切线与圆交于不同的两点，设到的距离为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，故，设，，则可得则，由此可求直线的方程；（2）由于，因此故切线的方程为，化简得，则圆心（0，-1）到的距离为，且，故则，则点F到距离，则，然后再根据基本不等式即可求出结果．试题解析：（1）因为，故设，，则故则因此直线的方程为；（2）由于，因此故切线的方程为，化简得则圆心（0，-1）到的距离为，且，故则，则点F到距离则今则，故．【考点】1．直线与抛物线的位置关系；2．点到直线的距离公式；2．基本不等式．15.在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线将于点、，若点的坐标为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）极坐标与直角坐标之间的关系是，由此可实现极坐标方程与直角坐标方程的转化；（2）由直线参数方程的标准形式（即参数的几何意义），直线过点，直线上的标准参数方程为，把它代入圆的方程，其解满足，．试题解析：（1）由得，又，则有，配方得圆的标准方程为．（2）直线的普通方程为，点在直线上的标准参数方程为，代入圆方程得：．设对应的参数分别为，则，，于是．【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用．16.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．（1）求椭圆的方程；（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）确定椭圆标准方程，只需两个独立条件即可：一个是左顶点为，所以，另一个是，所以，（2）实质利用斜率k表示点，P ，E，假设存在定点，使得，因此，即恒成立，从而即（3）利用斜率k表示点M，因此，本题思路简单，但运算量较大．试题解析：（1）因为左顶点为，所以，又，所以又因为，所以椭圆C的标准方程为．（2）直线的方程为，由消元得，．化简得，，所以，．当时，，所以．因为点为的中点，所以的坐标为，则．直线的方程为，令，得点坐标为，假设存在定点，使得，则，即恒成立，所以恒成立，所以即因此定点的坐标为．（3）因为，所以的方程可设为，由得点的横坐标为，由，得，当且仅当即时取等号，所以当时，的最小值为．【考点】直线与椭圆位置关系17.选修4－4：坐标系与参数方程：在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为。
高三数学新课标总复习解析几何-双曲线
组长签字： 签字日期：教 学 目 标 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程。
重 难 点了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用。
【知识回顾与能力提升】等差数列的性质等差数列{}n a 中，公差为d ，则①若,,,m n p q N +∈，且m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+， 特别地，当2m n p +=时2m n p a a a +=.②下标成公差为m 的等差数列的项k a ,k m a +,2k m a +,…组成的新数列仍为等差数列，公差为md . ③若数列{}n b 也为等差数列，则{}n n a b ±，{}n ka b ±，（k,b 为非零常数）也是等差数列. ④123456789,,,a a a a a a a a a ++++++……仍是等差数列. ⑤数列{}+n a b λ（λ，b 为非零常数）也是等差数列【新知识梳理与重难点点睛】双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)图 形续表性质 范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )解析：选C∵双曲线的一条渐近线方程为y＝ba x，则由题意得ba＞2，∴e＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫ba2＞1＋4＝ 5.[类题通法]解决有关渐近线与离心率关系问题的方法(1)已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分|m|＝ba或|m|＝ab讨论．(2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用．考点三直线与双曲线的位置关系|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．[提醒]直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．[典题例析](2014·江西高考)如图，已知双曲线C：x2a2－y2＝1(a>0)的右焦点F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x 轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：x0xa2－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝32相交于点N.证明：当点P在C上移动时，|MF||NF|恒为定值，并求此定值．解：(1)设F(c,0)，因为b＝1，所以c＝a2＋1，直线OB的方程为y＝－1a x，直线BF的方程为y＝1a(x－c)，解得B⎝⎛⎭⎫c2，－c2a.又直线OA的方程为y＝1a x，则A⎝⎛⎭⎫c，ca，k AB＝ca－⎝⎛⎭⎫－c2ac－c2＝3a.6．(2015·开封摸底考试)从双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT 交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|与b－a的关系为() A．|MO|－|MT|>b－a B．|MO|－|MT|<b－aC．|MO|－|MT|＝b－a D．|MO|－|MT|与b－a无关二、填空题7．已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是________．8．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为________．9．(2015·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线相交于A，B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为________．10．(2015·日照模拟)已知F1，F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且△F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________________．三、解答题11．(2014·福建高考改编)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.(1)求双曲线E的离心率；(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8，求双曲线方程．12．设A，B分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝33x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使OM＋ON＝t OD，求t的值及点D的坐标．所以b a ＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ， 从而双曲线E 的离心率e ＝c a＝ 5. (2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1. 设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点， 则|OC |＝a ，|AB |＝4a ，又因为△OAB 的面积为8，所以12|OC |·|AB |＝8， 因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2， 所以双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1. 12．解：(1)由题意知a ＝23，又∵一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3. ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得 x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3. ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。
解析几何问题中常见的技巧专题课件高三数学一轮复习
解：直线 AM 的斜率为1时，直线 AM 的方程为 y ＝ x ＋2，
代入椭圆方程并化简得5 x 2＋16 x ＋12＝0.
6
解得 x 1＝－2， x 2＝－ ，所以 M
5
6
4
− ，
5
5
.
高中总复习·数学（提升版）
（2）当直线 AM 的斜率变化时，直线 MN 是否过 x 轴上的一定
解析：
2
由双曲线方程 x 2－ ＝1知 a ＝1， b ＝3，则其渐近线方程
9
为 y ＝±3 x .观察选项知，四个点均在双曲线外，∴点 A ， B 分别在双
曲线的两支上，∴－3＜ kAB ＜3.设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），则
12 −
22 −
12
9
22
9
= 1，
4
点， A ， B 分别是 C 1， C 2在第二、四象限的公共点.若四边形 AF 1 BF 2
为矩形，则 C 2的离心率是（
A. 2
3
C.
2
B. 3
D.
6
2
）
高中总复习·数学（提升版）
解析：
由已知，得 F 1（－ 3 ，0）， F 2（ 3 ，0），设双曲线 C 2
的实半轴长为 a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得
，
2
−
，
2
3
2
，＝
− ，
3 2
1 2
3 2
1
3 2
2
2
2
2
＝ c － a ＋ b ＝ c － a ＋ （ a － c ）＝ c －
解析几何复习：高三解析几何中斜率之和为零的问题探究
解析几何复习：高三解析几何中斜率之和为零的问题探究解析几何中斜率之和为零的问题探究教学目标：掌握解析几何中斜率之和为零这类问题的基本解法，并不断推广、深入，掌握一般性的结论；通过一类问题的探究提高学生的分析能力，引导学生养成探究、拓展、深入思考的惯。
教学重点：方法的确定与推广。
教学难点：运算的简化。
教学方法：探究研讨式。
教学过程：问题一：已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$及定点A(1,2/3)，E,F是椭圆上两个不同的动点，且直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，问直线EF的斜率是否为定值，若是求出该定值，若不是请说明理由。
思路分析：方法一：利用两直线斜率之和为零，设一条斜率为K，另一条为-K，解出E、F两点的坐标，再计算斜率。
方法二：假设直线EF斜率为定值，设为K，设出EF直线，与椭圆方程联立，然后再通过斜率之和为零构造关于K 的方程。
方法三：先从特殊位置（考虑E、F两点重合）猜出EF 斜率是定值，并确定该值，然后验证。
解答一：设AE斜率为k，则AF的斜率为-k。
frac{3x^2}{4y^2}+k^2=1$与$\frac{3x^2}{4y^2}+(-k)^2=1$联立得：$4k^2x^2+12kxy-3y^2=243$4k^2x^2+12kxy-3y^2-243=0$Delta=144y^2-4(4k^2)(-3y^2+243)=16(4k^2+3)y^2-192k^2$Delta=0$时，$y=\pm\frac{3}{2}$，代入得$x=\pm 1$，即E、F两点坐标为$(1,\frac{3}{2})$和$(1,-\frac{3}{2})$。
frac{y-\frac{3}{2}}{x-1}=\frac{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}}{1-1}=0$，$\frac{y+\frac{3}{2}}{x-1}=\frac{-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}}{1-1}=0$，故直线EF斜率为0.解答二：设AE斜率为k，则AF的斜率为-k。
高考总复习二轮理科数学精品课件 专题5 解析几何 专题5 解析几何
形,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆
2 2
+ 2
2
=1(a>b>0)中,
①当P为短轴端点时,θ最大.
1
②S=2|PF1||PF2|·sin
θ=b tan
2
=c|y0|,当|y0|=b
2
大值,最大值为bc.
2
2
− 2 =1(a>0,b>0)(焦点在 x 轴上)或 2
2
− 2 =1(a>0,b>0)(焦点在 y
轴上).
(3)抛物线:y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0).
5.圆锥曲线的几何性质
性质
椭圆
c2
b2
=a 2 =1-a 2 ,e→0,椭圆越
-1.
(2)若直线l1和l2的方程分别是A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0,则l1∥l2
1 2 -2 1 = 0,
1 2 -2 1 = 0,
⇔
或
l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
1 2 -2 1 ≠ 0
1 2 -2 1 ≠ 0,
名师点析与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C);
2
kAB·
kOM=2 =9.
9
kAB=-2,不满足;对
9
kAB=4,满足.故选
D.
6.(2022全国乙,理14)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程
2025版高考数学总复习第8章平面解析几何高考大题规范解答__解析几何课件 (1)
解法二：(1)依题意，A(－2,0)，B(2,0)．(1 分) 设 C(x1，y1)，则x421＋y321＝1， 所以 kAC·kBC＝x1y＋1 2·x1y－1 2(2 分)
＝x21y－21 4＝3x121－－x4421(3 分) ＝－34.(4 分) 即－34＝kAP·kBQ＝4＋yP2·4－yQ2.故 yPyQ 的值为－9.(5 分)
y＝kx＋m， 方程(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0 的判别式 Δ＝32k2＋16－8m2>0，
x1＋x2＝－1＋4k2mk2， 则x1x2＝21m＋2－2k42 .
(7 分)
因为 kMA·kMB＝1，所以x1y－1 2·x2y－2 2＝1， 所以(k2－1)x1x2＋(km＋2)(x1＋x2)＋m2－4＝0， 整理得(m＋2k)(m＋6k)＝0.(9 分)
[解析] (1)由双曲线定义可知||MF1|－|MF2||＝2a＝2， ∴a＝1，(1 分) 又由|F1F2|＝4，∴c＝2，(2 分) ∵a2＋b2＝c2，∴b＝ 3，(3 分) ∴双曲线 C 的方程为 x2－y32＝1.(4 分)
(2)①证明：设 M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 y1＝ 3x1①，y2＝－ 3x2②， 将①＋②可得 y1＋y2＝ 3(x1－x2)， 将①－②可得 y1－y2＝ 3(x1＋x2)，(5 分) ∴ 3y1x＋1＋y2x2＝ 3y1x－1－y2x2， 即xy11＋＋yx22＝3yx11－－yx22，(6 分)
由题可知|MP|＝|MQ|， ∴x1＋x2＝2x0， y1＋y2＝2y0， ∴xy00＝3yx11－－yx22，即 kPQ＝3yx00，(7 分) ∴直线 PQ 的方程为 y－y0＝3yx00(x－x0)， 即 3x0x－y0y＝3x20－y20，
高三文科数学解析几何专题
高三文科数学解析几何专题一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1直线1:1+=mx y l ，直线2l 的方向向量为)2,1(=a ，且21l l ⊥，则=m ( )A ．21B ．21-C ．2 D ．-22双曲线121022=-y x 离心率为( )A ．56B ．552 C ．54D ．530 3直线x 3+1=0的倾斜角是( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4抛物线22(0)y px p =>的准线经过等轴双曲线221x y -=的左焦点，则p =( )A ．22B 2C ．22D ．425已知点)0,1(M ，直线1:-=x l ，点B 是l 上的动点， 过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是 ( )（A ）抛物线 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）直线6已知倾斜角0≠α的直线l 过椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的右焦点Ｆ交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ为右准线上任意一点，则APB ∠为 ( ) A ．钝角 B ．直角 C ．锐角D ．都有可能7经过圆:C 22(1)(2)4x y ++-=的圆心且斜率为1的直线方程为 ( )A ．30x y -+=B ．30x y --=C ．10x y +-=D ．30x y ++=8直线1:20l kx y -+=到直线2:230l x y +-=的角为45，则k =（ ）A.－3B. －2C. 2D. 39直线)=-y x 2截圓+=22x y 4所得的劣弧所对的圆心角为( )A ．π6B ．π3C ．π23D ．π5310焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是( )A ．1241222=-y xB ．1241222=-x y C．1122422=-x yD ．1122422=-y x11双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的两个焦点为1F 、2F ，若P 为其上一点，且||2||21PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(]3,1B ．()3,1C ．()+∞,3D ．[)+∞,312过双曲线22221(0,)x y a b b a-=>>的左焦点1F 作圆222x y a +=的切线，切点为T 且与双曲线的右支交于,P M 为线段1PF 的中点，则||||()OM MT O -为坐标原点的值为（ ）A ．2aB ．a+bC ．b a -D ．2b二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13已知直线:30l x y +-=与圆22:(1)(2)2,C x y -++=则圆C 上各点到l 距离的最大值为_____________;14双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的离心率是2，则a b 312+的最小值是15．已知圆x 2+y 2－2x+4y+1=0和直线2x+y+c=0，若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则c= .16若x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧∈≤+≥N y x y x x y ,16||22，则y x z +=2的最大值为 。
专题18 解析几何(选填压轴题)(教师版)-备战2022年高考数学高分必刷必过题(全国通用版)
专题18解析几何（选填压轴题）一、单选题1．（2021·河南高三月考（理））已知点1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点M 在直线:l x a =-上运动，若12F MF ∠的最大值为60︒，则椭圆C 的离心率是（）A．13B．12【答案】C 【详解】由题意知，()1,0F c -，()2,0F c ，直线l 为x a =-，设直线1MF ，2MF 的倾斜角分别为α，β，由椭圆的对称性，不妨设M 为第二象限的点，即(),M a t -，()0t >，则tan tc aα=-，tan tc aβ-=+.12F MF βα∠=- ，()12222222tan tan 222tan tan 1tan tan 21t t ct c c cc a c a F MF t b t b b b t c a t βαβααβ---+-∴∠=-====≤==++-+-，当且仅当2b t t=，即t b =时取等号，又12tan F MF ∠得最大值为tan 60c b =︒=c ∴=，即2223c c a =-，整理得c a =C故选：C.2．（2021·山东肥城·高三模拟预测）已知EF 是圆22:2430C x y x y +--+=的一条弦，且CE CF ⊥，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．1B．C．D．2【答案】B 【详解】由题可知：22:(1)(2)2C x y -+-= ，圆心()1,2C ，半径r =又CE CF ⊥，P 是EF 的中点，所以112CP EF ==，所以点P 的轨迹方程22(1)(2)1x y -+-=，圆心为点()1,2C ，半径为1R =，若直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则以AB 为直径的圆要包括圆22(1)(2)1x y -+-=，点()1,2C 到直线l 的距离为d ==所以AB 长度的最小值为()212d +=+，故选：B．3．（2021·丽水外国语实验学校高三期末）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是线段1B C 的中点，F 是棱11A D 上的动点，P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值是（）B．12C．6D．2【答案】C 【详解】在11D C 上取点1F 使得111D F D F =，由对称性可知1PF PF =.连接1BC ，则11BC B C E = ，点P 、E 、1F 都在平面11BC D 内，且111BC C D ⊥，11=1C D ，1BC =在11Rt BC D 所在平面内，以11C D 为x 轴，1C B 为y 轴建立平面直角坐标系如图所示.则1(1,0)D，B，0,2E ⎛ ⎝⎭，所以直线1BD的方程为1x =.设点E 关于直线1BD 的对称点为(,)E m n '，则22122n m n m ⎧⎪=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得236m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,36E ⎛' ⎝⎭.因此，1116PE PF PE PF PE PF E F ''+=+=+≥≥所以，当且仅当1,,E P F '三点共线且111E F C D '⊥时，PE PF +有最小值6.故选：C.4．（2021·四川成都七中高三三模（理））已知双曲线22413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足120MF MF →→⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→→=.现将12MF F △沿MN 折成直二面角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（）A．15B．25C．35D．45【详解】由双曲线方程知，12a =，b =，2c =，设2MF x =，则11MF x =+，12F F 120MF MF →→⋅=，则22(1)13x x ++=，解得2x =或-3（舍），设折叠后点1F 达到F 点，如图所示，作FA MN ⊥于A 点，易知FA ⊥平面12MF F ，1FAN F AN ≅ ，1F A MA ⊥，设1F MN α∠=，则22F MN πα∠=-，在1Rt MAF 中，13sin FA F A α==，3cos MA α=，在2MAF 中，由余弦定理知，222222222cos (3cos )423cos 2sin AF MA MF MA MF F MN ααα=+-⋅∠=+-⨯⨯29cos 6sin 24αα=-+，则2222222(3sin )9cos 6sin 24136sin 27FF AF AF αααα=+=+-+=-≥，当且仅当sin 21α=，即4πα=时，等号成立，折叠后点1F ，2F 距离最小.此时MN 为12F MF ∠的角平分线，由角平分线定理知，112232F N MF NF MF ==，则11235F N F F →→=，35λ=故选：C5．（2021·安徽师范大学附属中学高三开学考试（理））已知F 是椭圆2221(1)x y a a+=>的左焦点，A 是该椭圆的右顶点，过点F 的直线l （不与x 轴重合）与该椭圆相交于点,M N ．记MAN α∠=，设该椭圆的离心率为e ，下列结论正确的是（）A．当01e <<时，2πα<B．当0e <2πα>C．当12e <<23πα>1e <<时，34πα>【详解】不失一般性，设M 在x 轴上方，N 在x 轴下方，设直线AM 的斜率为1k ，倾斜角为θ，直线AN 的斜率为2k ，倾斜角为β，则210,0k k ><，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()0,απθβπ=-+∈.又()2121tan tan tan tan 1+tan tan 1k k k k βθαπθββθ--=-+==+.又直线AM 的方程为()1y k x a =-，由()12222y k x a x a y a ⎧=-⎨+=⎩可得22232422111(1)20a k x a k x a k a +-+-=，故42212211M a k a x a a k -⨯=+，所以3212211Ma k ax a k -=+，故122121M ak y a k -=+，同理3222221N a k ax a k -=+，故222221N ak y a k -=+，因为,,M F N 共线，故21222221323221222221221111ak ak a k a k a k a a k ac ca k a k --++=--++++，整理得到()()()()21212210a a c k k k k c a k k +-+--=即()122c ak k a a c -=+，若01e <<，()()122211c a e k k a a c a e --==++，因为()1211,011e e e -=-∈-++，21a >，故121k k >-，所以2121tan 01k k k k α-=>+，故2πα<.6．（2021·全国高三专题练习）已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线与抛物线交于点A 、B ，若A 、B 两点在准线上的射影分别为M 、N ，线段MN 的中点为C ，则下列叙述不正确的是（）A．AC BC⊥B．四边形AMCF 的面积等于AC MF ⋅C．AF BF AF BF +=⋅D．直线AC 与抛物线相切【答案】B 【详解】如图，由题意可得()1,0F ，抛物线的准线方程为1x =-．设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为1x ty =+，联立214x ty y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y ty --=，利用根与系数的关系得124y y =-，因为线段MN 的中点为C ，所以121,2y y C +⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以21121,42y y y CA ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ ，22211,42y y y CB ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ ，所以，()()2222121212121111210444162y y y y y y y yCA CB -⎛⎫⎛⎫⋅=++-=++=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以，AC BC ⊥，A 选项正确；对于B 选项，因为()11,M y -，所以()12,MF y =-，所以()2112112220222y y y y y yCA MF -⋅=+-=+= ，所以AC MF ⊥，所以四边形AMCF 的面积等于12AC BF ⋅，B 选项错误；对于C 选项，根据抛物线的定义知2114y AF AM ==+，2214y BF BN ==+，所以221224y y AF BF ++=+，22222222121212121112441644y y y y y y y y AF BF ⎛⎫⎛⎫++⋅=++=++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以，AF BF AF BF +=⋅，C 选项正确；对于D 选项，直线AC 的斜率为()12111212221111422224414ACy y y y y y y k y y y y ⎛⎫++ ⎪--⎝⎭====+++，抛物线24y x =在点A 处的切线方程为2114y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，联立211244y y y k x y x⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，消去x 可得2211440ky y y ky -+-=，由题意可得()211016440k k y ky ≠⎧⎪⎨∆=--=⎪⎩，可得12ky =，即12k y =，则AC k k =.所以，直线AC 与抛物线24y x =相切，D 选项正确.故选：B.7．（2021·全国高三模拟预测（理））如图，已知双曲线()222210x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（）A．53B．54C．43D．32【答案】A 【详解】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为b y x a=，可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x yb a a b-=>>联立，可得22(2c a A c +，22()2b a c ac-，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的等面积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⨯++=⨯⋅，化简可得2442c m n a c a+=--，①由双曲线的定义可得2m n a -=，②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n acθ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan baθ=，22sin cos 1θθ+=，可得sin b cθ==，可得222c a n a-=，③由①②③化简可得223250c ac a --=，即为(35)()0c a c a -+=，可得35c a =，则53ce a==．故选：A．8．（2021·湖南天心·长郡中学高三二模）已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，点M ，N 分别为线段AB '，AC 上的动点，点T 在平面BCC B ''内，则MT NT +的最小值是（）B．3C．2D．1【答案】B 【详解】解：A 点关于BC 的对称点为E ，M 关于BB '的对称点为M '，记d 为直线EB '与AC 之间的距离，则MT NT M TNT M N d ''+=+≥≥，由//B E D C ''，d 为E 到平面ACD '的距离，因为111111333D ACE ACE V S '-=⨯⨯==⨯⨯= ，而21346D ACE E ACD V V d d ''--==⨯⨯⨯=，故3d =，故选：B.9．（2021·贵州贵阳·高三模拟预测（理））在平面内，已知动点P 与两定点,A B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点P 的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，2AB BC ==，1BB =，90ABC ∠=︒，点M 为AB 的中点，点P在三棱柱内部或表面上运动，且PA =，动点P 形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为1V ，()212V V V <，则12V V =（）A．12B．13C．14D．15【答案】D 【详解】如图，在平面PAB 中，作MPN MAP ∠=∠,交AB 于点N ，则MPN NAP ∠=∠,又因PNM ANP ∠=∠，所以PNM ANP ，所以2PN AN PA MN PN MP ===22,2AN MN PN =,所以22AM AN MN PN =-=.因为112AM AB ==，所以2,1PN MN ==,所以B、N 重合且2BP PN ==所以点P 落在以B 2作BH AC ⊥于H ，则222BH AB ==因为1AA ⊥面ABC ，所以1AA ⊥BH ，又因为1AA AC A = ，所以BH ⊥面11AA CC ，所以B 到面11AA CC 的距离为=2=BH BP ，所以球面与面11AA CC 相切，而122BB π=>所以球面不会与面111A B C 相交，则31142833V BP π== ，111=222222V AB BC AA ππ⨯⨯⨯=⨯⨯=三棱柱,所以2125222=33V V V πππ=-=-三棱柱，所以12V V =15.故选：D.10．（2021·吉林高三月考（理））已知双曲线C ：22197x y -=的左焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，则14FA FB-的取值范围是（）A．13,67⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B．13,67⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．1,06⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D．1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【详解】设FA r =，则1r c a ≥-=.设双曲线的右焦点为F '，由对称性可知BF FA r '==，则26FB r a r =+=+，所以14146FA FB r r -=-+.令21463()66r f r r r r r -=-=++，[1,)r ∈+∞，则222223(412)3(2)(6)()(6)(6)r r r r f r r r r r --+-'==++，令()0f r '=得6r =，当(1,6)x ∈时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(6,)x ∈+∞时，()0f r '>，()f r 单调递增.所以min 1()(6)6f r f ==-，又当(6,)x ∈+∞时()0f r <，所以max 3()(1)7f r f ==.故14FA FB -的取值范围是13,67⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：B.11．（2021·浙江高三月考）如图，椭圆22:143x y C +=，P 是直线4x =-上一点，过点P 作椭圆C 的两条切线PA ，PB ，直线AB 与OP 交于点M ，则sin PMB ∠的最小值是（）437B．86565721032【答案】A 【详解】设11(,)A x y 若A 在椭圆的上半部分，则2314xy =-22332214144x x y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=---A 在椭圆上，2211143x y +=，111211334414x x x x y y x ===--'．∴过A 点的切线方程是11113()4x y y x x y -=--，221111343412x x y y x y +=+=，即11143x x y y+=，同理可证当A 在下半圆时，过A 的切线方程也是11143x x y y+=，A 是椭圆的左右顶点时，切线方程也是．∴无论A 在椭圆的何处，切线方程都是11143x x y y +=．设22(,)B x y ，则过B 点的切线方程是22143x x y y +=，P 在直线4x =-，设(4,)P m -，则由两切线都过P 点∴11221313y m x y m x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，∴直线AB 方程是13my x -+=，易知直线AB 过定点(1,0)-，该定点为椭圆左焦点F ．直线OP 方程为4m y x =-，则由134my x m y x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得221212312x m m y m ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即22123,1212m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，3AB k m=，4(1)3PF m m k ==----，1AB PF k k =-，∴PF AB ⊥，PF =PM =∴2sin PFPMB PM =7===≥=．当且仅当22144m m =，即m =±时等号成立．故选：A．12．（2021·吉林长春·高三模拟预测（理））已知F 是椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>的一个焦点，若直线y kx =与椭圆相交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是（）A．(1)2B．(02，C．1(0)2，D．1(1)2，【答案】A 【详解】如图设1，F F 分别为椭圆的左、右焦点，设直线y kx =与椭圆相交于,A B ，连接11,,,AF AF BF BF .根据椭圆的对称性可得：四边形1AF BF 为平行四边形.由椭圆的定义有：12,AF AF a +=12,FF c =1120F AF ∠=︒由余弦定理有：2221112cos120FF AF AF AF AF =+-⋅︒即()()2221211142AF AF c AF AF AF AF AF AF ⎛⎫+=+-⋅≥+- ⎪⎝⎭所以()221222214432AF AF c AF AFa a a⎛⎫+≥+-=-= ⎝⎭当且仅当1AF AF =时取等号，又y kx =的斜率存在，故A B ，不可能在y 轴上.所以等号不能成立,即即2234c a >，所以12e >>故选：A13．（2021·山西阳泉·高三期末（理））已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则此双曲线的标准方程可能为（）A．x 2212y -=1B．22134x y -=C．221169x y -=D．221916x y -=【答案】D 【详解】解：由题可知，1212F A F F F A →→→=-+，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即为2221210F F F F A F F A →→→→⎛⎫+⋅ ⎛⎫-+⎪⎝ ⎭⎪⎭=⎝，可得21222F AF F →→=，即有221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可知122AF AF a -=，可得1||22AF a c =+，由于过F 2的直线斜率为247，所以在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-，则217cos 25AF F ∠=-，由余弦定理得：22221744(22)cos 25222c c a c AF F c c+-+∠=-= ，化简得：35c a =，即35a c =，45b c =，可得:3:4a b =，22:9:16a b =，所以此双曲线的标准方程可能为：221916x y -=.故选：D．14．（2021·全国高三专题练习（理））已知O 为坐标原点，抛物线()220C y px p =>：上一点A 到焦点F 的距离为4，若点M 为抛物线C 准线上的动点，给出以下命题：①当MAF △为正三角形时，p 的值为2；②存在M 点，使得0MF MA -=；③若3MF FA =，则p 等于3；④OM MA +的最小值为p 等于4或12.其中正确的是（）A．①③④B．②③C．①③D．②③④【答案】C 【详解】对于①，当MAF △为正三角形时，如下图所示，抛物线的准线交x 轴于N ，4AF AM MF ===,由抛物线定义可知AF AM =，则AM 与准线垂直，所以60AMF AFM ∠=∠= ，则30FMN ∠= ，所以12NF MF =,而NF p =，即122p MF ==，所以①正确；对于②，假设存在M 点，使得0MF MA -= ，即MA MF =，所以M 点为AF 的中点，由抛物线图像与性质可知，A 为抛物线上一点，F 为焦点，线段AF 在y 轴右侧，点M 在抛物线C 准线上，在y 轴左侧，因而M 不可能为AF 的中点，所以②错误；对于③，若3MF FA =，则:3:4MF MA =，作AE 垂直于准线并交于E ，准线交x 轴于N ，如下图所示：由抛物线定义可知4AE AF ==，根据相似三角形中对应线段成比例可知MF FN MAAE=，即344p =，解得3p =，所以③正确；对于④，作O 关于准线的对称点O '，连接AO '交准线于M ，作AD 垂直于准线并交于D ，作AH 垂直于x 轴并交于H ，如下图所示：根据对称性可知，此时AO '即为OM MA +的最小值，由抛物线定义可知4AD AF ==，所以A 的横坐标为42p -，代入抛物线可知22242A p y AHp ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，OM MA AO +='的最小值为1342pO H NH O N '=+'=+，则22O O AHA H '='+，即(224241322p p p ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得216480p p -+=，即()()4120p p --=，解得4p =或12p =，当p =12时，不满足点A 到焦点F 的距离为4，所以④错误；综上所述，正确的为①③.故选：C.15．（2021·全国高三专题练习（理））关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（）A．{}5B．{}1-C．()0,1D．(){}0,11- 【答案】D 【详解】解：由已知x 2﹣4x +5＝0的解为2i ±，设对应的两点分别为A ，B ，得A （2，1），B （2，﹣1），设x 2+2mx +m ＝0的解所对应的两点分别为C ，D ，记为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），（1）当△＜0，即0＜m ＜1时，220x mx m ++=的根为共轭复数，必有C 、D 关于x 轴对称，又因为A 、B 关于x 轴对称，且显然四点共圆；（2）当△＞0，即m ＞1或m ＜0时，此时C （x 1，0），D （x 2，0），且122x x +＝﹣m ，故此圆的圆心为（﹣m ，0），半径122x x r -==，又圆心O 1到A 的距离O 1A=，解得m ＝﹣1，综上：m ∈（0，1）∪{﹣1}.故选：D.16．（2021·信阳市实验高级中学高三开学考试（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，球1O 同时与以A 为公共顶点的三个面相切，球2O 同时与以1C 为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点F .若以F 为焦点，1AB 为准线的抛物线经过12O O ，，设球12O O ，的半径分别为12r r ，，则12r r=（）A．12C．12-D．2【答案】D 【详解】根据抛物线的定义，点2O 到点F 的距离与到直线1AB 的距离相等，其中点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离，因此球2O 内切于正方体，不妨设21r =，两个球心12O O ，和两球的切点F 均在体对角线1AC 上，两个球在平面11ABC D 处的截面如图所示，则122212AC O F r AO ===，221AF AO O F =-.又因为111AF AO O F r =+=+，因此)111r=，得12r =-所以122r r =-故选：D17．（2021·信阳市实验高级中学高三开学考试（理））过抛物线()220y px p =>的焦点F作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（）A．54B．43C．32D．2【答案】C 【详解】如图，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥.由抛物线定义知AF AH =，所以AHF AFH α∠=∠=，2FAH OFB πα∠=-=∠，()()cos 2cos 2MF pBF παπα==--，()()()tan tan sin 2sin 2sin 2CF CH p AF ααπαπαπα===---，所以()2tan tan tan 13tan 2tan 222AFBF αααπαα-====--.故选：C18．（2021·西工大附中分校高三模拟预测（理））设1F ，2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点()0,2P x a 为双曲线上一点，若12PF F ∆的重心和内心的连线与x 轴垂直，则双曲线的离心率为A．2【答案】A 【详解】画出图形如图所示，设12PF F ∆的重心和内心分别为,G I ，且圆I 与12PF F ∆的三边1212,,F F PF PF 分别切于点,,M Q N ，由切线的性质可得1122||||,||||,||||PN PQ F Q F M F N F M ===．不妨设点()0,2P x a 在第一象限内，∵G 是12PF F ∆的重心，O 为12F F 的中点，∴1||||3OG OF =，∴G 点坐标为02(,33x a ．由双曲线的定义可得121212||||2||||||||PF PF a F Q F N F M F M -==-=-，又12||||2F M F M c +=，∴12||,||F M c a F M c a =+=-，∴M 为双曲线的右顶点．又I 是12PF F ∆的内心，∴12IM F F ⊥．设点I 的坐标为(,)I I x y ，则I x a =．由题意得GI x ⊥轴，∴3x a =，故03x a =，∴点P 坐标为()3,2a a ．∵点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，∴22222294491a a a a b b -=-=，整理得2212b a =，∴2c e a ==．故选A ．19．（2021·河西·天津市新华中学高三月考）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为P ，且122PF PF b -=.设C 的离心率为e ，则2e =A．12B．12+【答案】B 【详解】由题意12F P F P ⊥，则222212124F P F P F F c +==①，又122PF PF b -=②，2①－②得12PF PF ＝22a ，∵P 在渐近线上且OP c =，设A 为双曲线右顶点，如图，则PA b =，且12PA F F ⊥，由1212PF PF F F PA =得222a cb =，于是422222()a b c c c a ==-，变形为4210e e --=，解得212e =（12舍去），故选B．20．（2021·陕西西安·高新一中高三二模（理））我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是C．3D．2【答案】A 【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，椭圆的离心率为1e ，则11c e a =，11c a e =．双曲线的实半轴长为a ，双曲线的离心率为e ，c e a =，c a e=，设1PF x =，2PF y =(x >0)y >，则2222242cos60c x y xy x y xy =+-=+- ，当点P 被看作是椭圆上的点时，有()22214343c x y xy a xy =+-=-，当点P 被看作是双曲线上的点时，有24c =()224x y xy a xy -+=+，两式联立消去xy 得222143c a a =+，即222143c c c e e ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2211134e e ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又11e e =，所以2234e e+=，整理得42430e e -+=，解得23e =或21e =（舍去），所以e =故选A．二、多选题21．（2021·广东茂名·高三月考）已知曲线C ：1x x y y +=，则下列结论正确的是（）A．直线0x y +=与曲线C 没有公共点B．直线x y m +=与曲线C 最多有三个公共点C．当直线x y m +=与曲线C 有且只有两个不同公共点()111,P x y ，()222,P x y 时，12x x 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D．当直线x y m +=与曲线C 有公共点时，记公共点为()*,()i i P x y i N ∈．则1ni i x =∑的取值范围为(【答案】ACD 【详解】由题设得：曲线C 为()()()22222210,010,010,0x y x y x y x y y x x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎨⎪-=<>⎩，A：由0x y +=是221x y -=和221y x -=的渐近线，且0x y +=与()2210,0y x y x +=≥≥没有公共点，故正确；B：由A 中的分析知：x y m +=与曲线C 最多有两个公共点，故错误；C：由图可知，若x y m +=与曲线C 有两个公共点或一个公共点，当0m <<x y m +=与曲线C 有两个公共点()111,P x y ，()222,P x y ，由对称性知，()111,P x y ，()222,P x y 关于直线y x =对称，则12y x =，∴1211x x x y =，（1）当01m <<时，120x x -∞<<．（2）当12m ≤<时，由12x x ≠，则21112112122x y x x x y +=<=．（3）当2m =l 与曲线C 只有一个公共点，不合题意．（4）当2m >0m ≤时，直线l 与曲线C 无公共点，综上可知，C 正确；D：由C 的分析，02m <<x y m +=与曲线C 有且只有两个不同公共点，则12111nii xx x x y m ==+=+=∑，即102ni i x =<∑．当2m =x y m +=与曲线C 只有一个公共点，此点为2222⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．此时(111222ni x x ===∑．故正确．故选：ACD．22．（2021·江苏鼓楼·南京市第二十九中学高三开学考试）已知F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，下列结论正确的是（）A．抛物线2y ax =的的焦点到其准线的距离为12a．B．已知抛物线C 与直线l ：4320x y p --=在第一、四象限分别交于,A B 两点，若||||AF FB λ=，则4λ=．C．过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则四边形ADBE 面积的最小值为28p ．D．若过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于,M N 两点，过点,M N 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，切线1l 与2l 相交于点P ，则点P 在定直线上．【答案】BCD【详解】A：抛物线2y ax =的的焦点到其准线的距离为12a，故A 错误；B：联立243202x y p y px--=⎧⎨=⎩，则22163440x px p -+=，解得12,28px x p ==，由题意可知25||2222p p p AF x p =+=+= ，15||2828p p p pFB x =+=+= ，故55428p p=⨯，所以4λ=，故B 正确；C：由题意可知直线1l ，2l 的斜率均存在，且不为0，设直线1:2pl x my =+，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，则2220y pmy p --=，设两交点为()()1122,,,A x y B x y ，结合韦达定理122y y pm +=，所以()()21212221AB x x p m y y p p m =++=++=+；同理2121DE p m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()22111212122ADBE S AB DE p m p m ⎛⎫=⋅=⨯+⨯+ ⎪⎝⎭222122p m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222p ⎛⎫≥+ ⎪ ⎪⎝⎭28p =，当且仅当1m =±时，等号成立；所以四边形ADBE 面积的最小值为28p ，故C 正确；D：设221212,,,22y y M y N y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不妨设120,0y y ><因为22y px =（0p >），若0y >，则y =y '，所以在点M1p y =，因此在M 处的切线方程为21112y p y y x y p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即112y p y x y =+，同理在N 处的切线方程为222y py x y =+，则112222y py x y y py x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得122y y x p=，因为直线MN 过点F ，所以122212002222y y y y p p p p --=--，即212y y p =-，所以2p x =-，故点P 在定直线2px =-上，故D 正确；故选：BCD.23．（2021·全国高三模拟预测）已知点F 为椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，点M 是椭圆上异于P ，Q 的一点，直线MP ，MQ 分别为1k ，2k ，椭圆的离心率为e ，若3PF QF =，23PFQ π∠=，则（）A．4e =B．4e =C．12916k k =-D．12916k k =【答案】AC 【详解】设椭圆的右焦点F '，连接PF '，QF '，根据椭圆对称性可知四边形PFQF '为平行四边形，则QF PF '=，且由120PFQ ∠=︒，可得60FPF '∠=︒，所以42PF PF PF a ''+==，则12PF a '=，32PF a =．由余弦定理可得()22222931122cos60244222a c PF PF PF PF a a a ''=+-⋅=+-⨯⋅⋅°，所以22716c a =，所以椭圆的离心率e ==．设()00,M x y ，()11,P x y ，则()11,Q x y --，01101y y k x x -=-，01201y y k x x +=+，所以220101011222010101y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=-+-，又2200221x y a b +=，2211221x y a b +=，相减可得2220122201y y b x x a -=--．因为22716c a =，所以22916b a =，所以12916k k =-．故选：AC．24．（2021·全国高三专题练习（理））已知抛物线2:(0)C y mx m =>的焦点为(4,0)F ，直线l 经过点F 交C 于A ，B 两点，交y 轴于点P ，若2PB BF →→=，则（）A．8m =B．点B 的坐标为8,3⎛ ⎝⎭C．50||3AB =D．弦AB 的中点到y 轴的距离为133【答案】CD 【详解】由于(4,0)F 得到16m =，故A 错误；抛物线方程为216y x =，过B 点作BD 垂直于y 轴，垂足为D 点，则//BD OF ,因为2PB BF →→=，所以23PB BD PFOF==,所以83BD =，即83B x =,代入抛物线方程216y x =，解得B y =B 错误；不妨取点B 的坐标为8,3⎛ ⎝⎭，所以直线AB 的方程为：4)y x =-，联立抛物线方程得到：2326480x x -+=，韦达定理可知：12263x x +=，由抛物线的弦长公式可知：12268350|38|AB x x ++=+==，故C 正确；弦AB 的中点到y 轴的距离为121323x x +=，故D 正确；故选：CD.25．（2021·江苏南通·高三模拟预测）已知双曲线222:1(0)5x y C a a -=>的左､右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，圆222:5O x y a +=+，P 是双曲线C 与圆O 的一个交点，且21tan 3PF F ∠=，则下列结论中正确的有（）A．双曲线CB．点1FC．21PF F ∆的面积为D．双曲线C 上任意一点到两条渐近线的距离之积为2【答案】ABD 【详解】解：∵双曲线222:105()x y C a a -=＞，∴225c a =+，又圆222:5O x y a +=+，∴圆O 的半径为c ，∴12||F F 为圆O 的直径，∴122F PF π∠=，故作图如下：对于A ，∵21tan 3PF F ∠=，∴1212tan 3PF PF F PF ∠==，∴123||PF PF =，令20||()PF m m =>，则1||3PF m =，∴()22221231||0F F m m m =+=，∴12||2F F c ==，又12||22m PF PF a -==，∴双曲线C的离心率2222c e a m ===，故A 正确；对于B，由于()1,0F c -到渐近线y =的距离d ===B 正确；对于C，由离心率2e a ==得2103a =，21025533c =+=，∴122||F F c ===，∴2||m PF ==，1||3PF m ==，∴21PF F的面积为152=，故C 错误；对于D，由2103a =得双曲线C 的方程为：2211053x y -=，故其两条渐近线方程为y =0=，设(),M p q 为双曲线C 上任意一点，则2211053q p -=，即223211010p q -=①，(),M p q到两条渐近线的距离1d =，2d =，∴22123210255p q d d -====，故D 正确；故选：ABD.26．（2021·广东汕头·高三二模）已知抛物线方程为24x y =，直线:220l x y --=，点00(,)P x y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点为,A B ，则以下选项正确的是（）A．当00x =时，直线AB 方程为1y =B．直线AB 过定点()0,1C．AB 中点轨迹为抛物线D．PAB ∆的面积的最小值为2【答案】ACD 【详解】解析：214y x =Q ，12y x '∴=，设11(,)A x y ，22(,)B x y 则1111:()2PA y y x x x -=-，即211111111222y x x x y x x y =-+=-，同理221:2PB y x x y =-，PA PB 、都过点00(,)P x y ，010102021212y x x y y x x y⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩∴直线001:2AB y x x y =-，即0012y x x y =-，当000,1x y ==-时，:1AB y =.故A 正确；00112y x =- ，01:(1)12AB y x x ∴=-+，∴直线AB 过定点(1,1)，故B 错误；联立021(1)124y x x x y⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去y 得2002240x x x x -+-=，1202x x x ∴+=，12024x x x ⋅=-，212002y y x x +=-+，A B ∴、中点坐标为200011(,1)22x x x -+，故其轨迹方程为211122y x x =-+，故C正确；AB ==d2001122S x x ∴=-+∴当01x =时，min 2S =，故D 正确；故选：ACD 三、填空题27．（2021·浙江高三模拟预测）设正四面体ABCD 的棱长是1，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，P 是平面ABC 内的动点.当直线EF 、DP 所成的角恒为θ时，点P 的轨迹是抛物线，此时AP 的最小值是______.【详解】设点D 在底面ABC 的射影点为O ，连接OA，则132sin3OA π==，OD =以点O 为坐标原点，CB 、AO 、OD uuu r分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则30,3A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、13,026B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、13,26C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、63D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、360,66E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、30,6F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设点(),,0P x y ，则3636EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，6,,3DP x y ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，223133cos 2223y DP EFDP EFx y θ+⋅==⋅++整理可得2222121231cos 23399x y y y θ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，由题意可知，方程2222121231cos 2339x y y y θ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭表示的曲线为抛物线，所以211cos 23θ=，故22cos 3θ=，即有2122313999x y ++，可得23326y x =，则()22222423335331344242AP x y x x x x ⎛⎫=++++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当0x =时，等号成立，故AP 323228．（2021·全国高三开学考试（理））设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为___________.【答案】2【详解】设1||(0)F B k k =>，则1||3AF k =，||4AB k =，2||23AF a k ∴=-，2||2BF a k =-.23cos 5AF B ∠= ，在2ABF 中，由余弦定理得，22222222||||||2||||cos AB AF BF AF BF AF B =+-⋅∠，2226(4)(23)(2)(23)(2)5k a k a k a k a k ∴=-+----，化简可得()(3)0a k a k +-=，而0a k +>，故3a k =，21||||3AF AF k ∴==，2||5BF k =，22222||||||BF AF AB ∴=+，12AF AF ∴⊥，∴12AF F △是等腰直角三角形，2c a ∴=，∴椭圆的离心率c e a ==，故答案为：2.29．（2021·黑龙江大庆中学高三模拟预测（理））已知圆22:1C x y +=，点(,2)M t ，若C上存在两点,A B 满足2MA AB = ，则实数t 的取值范围___________【答案】⎡⎣【详解】由题意，可得如下示意图，令(,)A x y ，由2MA AB = 知：332(,)22x t y B --，又,A B 在C 上，∴22221(3)(32)144x y x t y +=--+=⎧⎪⎨⎪⎩，整理得22221{24339x y t x y +=⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即两圆有公共点，∴两圆的圆心距离为243t d +=，半径分别为1、23，故当1533d ≤≤时符合题意，∴2021t ≤≤，即t ∈[21,21]-.故答案为：[21,21].30．（2021·全国高三专题练习（理））焦点为F 的抛物线21:4C y x =与圆()()2222:10C x y R R -+=>交于A 、B 两点，其中A 点横坐标为A x ，方程()22224,1,A A y x x x x y R x x ⎧=≤⎪⎨-+=>⎪⎩的曲线记为Γ，C 是圆2C 与x 轴的交点，O 是坐标原点.有下面的四个命题，请选出所有正确的命题：_________.①对于给定的角()0,απ∈，存在R ，使得圆弧 ACB 所对的圆心角AFB α∠>；②对于给定的角0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，存在R ，使得圆弧 ACB 所对的圆心角AFB α∠<；③对于任意R ，该曲线有且仅有一个内接正△O P Q ；④当2021R >时，存在面积大于2021的内接正△O P Q .【答案】①②③【详解】联立抛物线与圆的方程，消去y 得22(1)4x x R -+=，即22(1)x R +=，而0R >且0x ≥，∴11R x =+≥，即A 、B 横坐标与半径R 的关系，∵抛物线与圆有两个交点，即11R x =+>，∴当2,1R x ==时，AFB πα∠=>，①正确；∵由题意知：,A B 关于x 轴对称，则对于给定的角0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，存在R 使得圆弧 ACB 所对的圆心角AFB α∠<，即只需存在R 使)3AFB π∠∈(0,即可.∴令||2210sin 212A y AFB x x R R x ∠<==<，则10x x ->23x >+23x <，1、当0743x <<-AFB ∠在如下图阴影部分变化，有)3AFB π∠∈(0,，23x >+x →+∞时0AFB ∠→︒，故AFB ∠在如下图阴影部分变化，有)3AFB π∠∈(0,，∴7x >+07x <<-10sin 22AFB ∠<<即)3AFB π∠∈(0,，所以对于给定的角0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，存在R ，使得圆弧 ACB 所对的圆心角AFB α∠<，故②正确；由OP OQ =，于是PQ x ⊥轴，直线：:OP y x =，同理:OQ y =，∴,OP OQ 与Γ分别都只有一个交点，即对于任意R ，该曲线有且仅有一个内接正△O P Q ，③正确；当1R =时，如下图示，抛物线1C 与圆2C 只有一个交点且交点为原点，不符合题意，但此时1||||sin 23OPQ S OP OQ π==∴当113R <≤时，,OP OQ 与Γ的交点在圆2C 上，OPQ S 会一直增大，如下图示，直到13R =，即,P Q 与A 、B 重合分别为(12,、(12,-，此时1||||sin 23OPQ S OP OQ π==∴OPQ S ∈ (4.当13R >时，,OP OQ 与Γ的交点在抛物线1C 上，R 的变化对OPQ S 没有影响，如下图示，OPQ S =∴④错误.。