第1节 消元法、线性方程组解的判定与解的性质
线性方程组的消元法
线性方程组的消元法线性方程组的消元法是解决线性方程组的常用方法之一，通过逐步消去未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
本文将详细介绍线性方程组的消元法及其应用。
1. 消元法简介消元法是一种通过逐步消除未知数的系数，将线性方程组转化为更简单形式的方法。
它的基本思想是通过不断的代入与消去操作，将方程组转化为三角形式或最简形式，从而求得方程组的解。
2. 线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为未知数的系数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。
3. 消元法的步骤（1）选取主元：根据方程组的特点，选择一项作为主元，并将其系数置为1，并且使其所在的其他行对应的列的系数皆为0，这样可以简化计算过程并减少误差。
（2）代入消元：选择一个非主元进行代入，将其代入主元所在的其他方程中，从而消去该未知数。
（3）重复步骤（1）和（2），直至将所有的非主元都消去为止。
（4）最后得到一个三角形形式的线性方程组，可以通过回代法求解该方程组的解。
4. 消元法的应用消元法广泛应用于各个领域，特别是在科学和工程领域中具有重要作用。
以下是几个应用实例：（1）经济学中的输入产出模型：通过消元法可以分析不同产业之间的投入产出关系，从而得出经济模型的解释。
（2）物理学中的电路分析：通过消元法可以简化复杂的电路方程组，从而计算出电路中各个节点的电压和电流。
（3）化学反应平衡问题：通过消元法可以解决化学反应平衡过程中的复杂线性方程组，从而得到反应物和生成物的浓度。
5. 总结消元法是一种解决线性方程组的有效方法，通过逐步消除未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
线性方程组求解
第三章 线性方程组§1 消元法一、线性方程组的初等变换现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,, (1) 的方程组，其中n x x x ,,,21 代表n 个未知量，s 是方程的个数，),,2,1;,,2,1(n j s i a ij ==称为线性方程组的系数，),,2,1(s j b j =称为常数项。
方程组中未知量的个数n 与方程的个数s 不一定相等。
系数ij a 的第一个指标i 表示它在第i 个方程，第二个指标j 表示它是j x 的系数。
所谓方程组(1)的一个解就是指由n 个数n k k k ,,,21 组成的有序数组),,,(21n k k k ，当n x x x ,,,21 分别用n k k k ,,,21 代入后,(1)中每个等式都变成恒等式. 方程组（1）的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说,求出它的解集合。
如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的。
显然,如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说,线性方程组(1）可以用下面的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s sns s n n b a a a b a a a b a a a21222221111211 (2) 来表示。
实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1）就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上,这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.例如，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-.522,4524,132321321321x x x x x x x x x 第二个方程组减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+-.42,24,1323232321x x x x x x x 第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+-.6,42,132332321x x x x x x 这样,就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）.分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换,而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：1。
消元法的基本步骤-概述说明以及解释
消元法的基本步骤-概述说明以及解释1.引言1.1 概述消元法是一种常用的数学求解方法，用于解决代数方程组或方程的问题。
通过使用代数运算，消元法能够将复杂的方程组转化为简单的形式，从而得到其解或者简化问题的求解过程。
消元法作为解决方程问题的经典方法，在数学和工程领域得到广泛应用。
本文将介绍消元法的基本步骤，包括定义、具体操作步骤以及应用领域。
通过了解消元法的原理和应用，读者可以更好地理解和运用这一方法来解决各类数学问题。
在接下来的章节中，我们将详细介绍消元法的定义和基本步骤。
首先，我们将通过对消元法的概述，了解其基本原理和工作方式。
接着，我们将介绍本文的结构和组织方式，以便读者能够更好地理解和阅读后续内容。
本文的目的是为读者提供一个清晰的消元法概述，并将其应用于实际问题中。
通过掌握消元法的基本步骤，读者将能够更加灵活地运用这一方法解决各种数学问题，并深入了解其在实际领域中的应用价值。
在下一章中，我们将详细介绍消元法的定义，包括其基本原理和使用方法。
请继续阅读下一章节，以了解更多有关消元法的知识。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以从以下几个方面进行阐述：1. 文章框架概述：在本节中，将对整篇文章的结构进行概括性的介绍，包括引言、正文和结论三个主要部分的内容以及各自的目的。
2. 引言部分：本部分主要用于引入文章的主题，并对消元法的基本概念进行简要阐述。
同时，说明为何对消元法进行研究和探讨的必要性。
3. 正文部分：本部分是文章的核心，详细讲解了消元法的基本步骤及其应用领域。
在对消元法的基本步骤进行阐述时，可以按照具体的操作流程进行分步骤的描述，并且可以配以图表进行说明，以便读者更好地理解和掌握。
在讲解消元法的应用领域时，可以列举一些常见或重要的实际案例并进行具体分析，说明消元法在不同领域的重要性和实用性。
4. 结论部分：本部分用于对全文进行总结和归纳。
首先，对消元法的重要性进行总结，强调其在实际问题求解中的作用和意义。
考研高数总复习第三章线性方程组第一节讲解
再把 x3 = -6， 故方程组的唯
情形二 r < n
这时阶梯形方程组为
c11x1 c12 x2 c1r xr c x 1,r1 r1 c1n xn d1 ,
c22 x2 c2r xr c2,r1xr1 c2n xn d2 ,
crr xr cr,r1xr1 crn xn dr ,
其中 cii 0 , i = 1, 2, … , r .
把它变形，得
c11x1 c12 x2 c1r xr d1 c1,r1xr1 c1n xn ,
c22 x2 c2r xr d2 c2,r1xr1 c2n xn ,
crr xr dr cr,r1xr1 crn xn ,
x1 x2 2x1 2x2
2 3x3
1
(1) (2)
x1 2x2 x3 2 (3)
STEP 2 方程 (1) 乘以 -2 加到方程 (2);
方程 (1) 乘以 1 加到方程 (3), 得
x1 x2
2
(1)
4x2 3x3 3
(4)
x2 x3 0
(5)
STEP 3 交换方程 (4) 与方程 (5), 得
一个方程上去. (3) 交换两个方程在方程组中的位置;
定义 1 变换 (1)，(2)，(3) 称为线性方程组 的初等变换.
2 消元法的证明
消元的过程就是反复施行初等变换的过程.
下
同解方程组 面证明，初等变换总是把方程组变成
.
证明 只证变换 (2)
对于方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 ,
x1 x2
2 (1)
x2 x3 0
(5)
4x2 3x3 3 (4)
STEP 4 方程 (5) 乘以 -4 加到方程 (4) , 得
线性方程组的解的性质
线性方程组的解的性质线性方程组是数学中的一个重要概念，它描述了一组关于未知数的线性关系。
线性方程组的解是指满足所有方程的未知数值组合。
在本文中，我们将讨论线性方程组解的性质。
一、解的存在性和唯一性解的存在性是指线性方程组是否有解。
对于一个线性方程组而言，解的存在性可以通过矩阵的行列式来判断。
若行列式的值为非零，则线性方程组有解；若行列式的值为零，则线性方程组无解。
解的唯一性是指线性方程组解的个数。
对于一个线性方程组，解的个数取决于方程的个数和未知数的个数。
如果线性方程组含有n个方程和n个未知数，并且行列式的值不为零，那么线性方程组存在唯一解。
如果线性方程组含有n个方程和n个未知数，并且行列式的值为零，那么线性方程组可能存在无穷多个解，也可能无解。
二、解的线性相关性在解的性质中，我们还需要讨论解的线性相关性。
解的线性相关性是指线性方程组的解之间是否存在线性关系。
如果线性方程组有解且解之间存在线性关系，那么解是线性相关的；如果线性方程组有解且解之间不存在线性关系，那么解是线性无关的。
线性相关性的判断可以通过矩阵的秩来进行。
对于一个n阶矩阵A，如果它的秩r等于未知数的个数n，那么线性方程组的解是线性无关的；如果秩r小于n，那么线性方程组的解是线性相关的。
三、解空间和基础解系解空间是指线性方程组所有解构成的集合。
解空间的维数等于未知数的个数n减去矩阵A的秩r。
解空间的维数也可以理解为线性方程组解的自由变量的个数。
基础解系是指线性方程组解空间中的一组向量，它们可以通过线性组合得到解空间中所有解。
基础解系的个数等于未知数的个数n减去矩阵A的秩r。
四、解的特殊情况除了一般情况下的解的性质，线性方程组还存在一些特殊情况。
1. 无解情况：当线性方程组中出现矛盾的方程时，线性方程组无解。
2. 无穷多解情况：当线性方程组的方程个数小于未知数个数时，线性方程组可能存在无穷多个解。
此时解空间的维数大于0，存在自由变量。
通过以上讨论，我们可以看出，线性方程组的解的性质有：存在性和唯一性、线性相关性、解空间和基础解系以及特殊情况。
线性方程组的解的性质与判定
线性方程组解的性质与判定在控制系统中的应用，可以用于分析系统的稳定性。 通过线性方程组解的性质与判定，可以确定控制系统的响应时间，优化控制效果。 在控制工程中，线性方程组解的性质与判定可以用于设计控制器，提高系统的性能指标。 在处理复杂控制系统时，线性方程组解的性质与判定能够提供有效的解决方案，简化计算过程。
逻辑回归模型：通过线性方程组解的判定条件，确定最佳分类边界，实现分类任务。
支持向量机：利用线性方程组解的性质与判定，找到支持向量，实现分类和回归任务。
决策树和随机森林：通过线性方程组解的判定条件，确定最佳划分标准，构建决策树和随机 森林模型。
PART FOUR
线性方程组解的性质与判定的研究历史 当前研究的主要方向和重点 近年来的重要研究成果和突破 未来研究展望和挑战
近年来的研究热 点和重点
在各个领域的应 用情况
未来研究的发展 趋势和展望
深入研究线性方程组解的性质与判定的关系，为实际应用提供更准确的数学模型。 探索更高效的算法和计算方法，提高线性方程组求解的效率和精度。 结合人工智能和大数据技术，对大规模线性方程组进行高效求解和优化。 拓展线性方程组解的性质与判定的应用领域，如物理、工程、经济等领域。
汇报人：XX
线性方程组解的 性质与判定可用 于数据清洗，识 别异常值和缺失 值。
在数据分析中， 线性方程组解的 性质与判定可用 于确定数据分布 和趋势。
在机器学习中， 线性方程组解的 性质与判定可用 于特征选择和降 维处理。
在数据预测中， 线性方程组解的 性质与判定可用 于建立预测模型 和优化算法。
线性回归模型：利用线性方程组解的性质与判定，确定最佳拟合直线，提高预测精度。
02
注意事项：在使用系数矩阵判定法时，需要注意 计算秩的正确性和准确性，以避免误判。
掌握简单的线性方程组的解法
掌握简单的线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题，解法也是非常重要的内容。
通过掌握简单的线性方程组的解法，我们可以解决很多实际问题，提高我们的数学能力。
本文将介绍几种简单的线性方程组的解法。
一、消元法消元法是解决线性方程组的一种常见方法。
通过消除未知数，将方程组化为简化形式，我们可以求解出未知数的值。
下面是一个例子：2x + y = 5x - y = 1首先，我们可以通过第二个方程x - y = 1将y的系数消去，得到x = 1 + y。
将这个结果代入第一个方程，我们可以得到一个只有y的方程2(1 + y) + y = 5。
将方程化简，我们可以得到y = 1。
将y的值代入x = 1 + y中，可以得到x = 2。
因此，这个线性方程组的解是x = 2，y = 1。
二、代入法代入法也是解决线性方程组的一种常见方法。
通过将一个方程的一个未知数表示成其他未知数的形式，我们可以将方程组化简为只有一个未知数的方程。
下面是一个例子：3x + 2y = 8x - y = 3我们可以将第二个方程x - y = 3转化为x = 3 + y。
将这个结果代入第一个方程3x + 2y = 8，可以得到3(3 + y) + 2y = 8。
将方程化简，我们可以得到y = 1。
将y的值代入x = 3 + y中，可以得到x = 4。
因此，这个线性方程组的解是x = 4，y = 1。
三、矩阵法矩阵法是解决线性方程组的一种常用方法，尤其适用于有大量方程和未知数的情况。
通过将系数矩阵和常数向量进行运算，我们可以得到未知数的值。
下面是一个例子：2x + y + z = 10x - 3y + 2z = 13x + 2y - z = 3我们可以将这个线性方程组表示为增广矩阵的形式：[2 1 1 | 10][1 -3 2 | 1][3 2 -1 | 3]通过矩阵的初等行变换，我们可以将矩阵化简为行阶梯形式：[1 -3 2 | 1][0 7 -5 | 7][0 0 1 | -3]从中可以读出z = -3。
线性方程组解的判定
线性方程组解的判定
线性方程组解的判定是一个重要的数学问题，它涉及到对一组未知量的求解。
解的判定问题的主要内容如下：
1. 系数矩阵存在不等式：在求解线性方程组时，首先要判断系数矩阵是否存在不等式，即是否存在元素值为负的情况：若存在，则解不存在；如果全部元素值都不为负，则判定解存在。
2. 是否存在无穷解：通常情况下，一个线性方程组只有唯一解，即只有一组解。
但也有可能存在无穷多解，即系数矩阵存在元素值全为0，此时解可以是任意一组数，因此可以判定存在无穷解。
3. 闭解的确定：当系数矩阵存在不等式或存在元素值全为0时，可以判定存在无穷解；当系数矩阵存在唯一解时，需要通过计算、符号识别和几何意义的结合，来确定具体的闭解。
4. 压缩可行性：压缩可行性判定法是指将求解所求出来的解，压缩在基本解所构成的空间上，以便表达出更复杂的结果。
5. 方程式系数：也可以通过方程式系数的分析，来判定方程组的解的存在与否，这是一种常用的判定方法。
从上述内容可以看到，线性方程组解的判定是一个复杂的数学问题，要想判断线性方程组的解的存在性，需要结合不等式判定、无穷解判定、压缩可行性判定以及方程式系数等步骤，一步步进行判断，才能正确地确定某个线性方程组的解的存在性。
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c1r c1,r 1 c2 r c2,r 1 crr cr ,r 1 0 0 0 0 0 0 0
c1n c2 n crn 0 0 0
d1 d2 dr d r 1 0 0
对应方程 组与原方 程组同解
i 2, , r .
１° d r 1 0 时，方程组 (1)无解．
２° d r 1 0 时，方程组(1) 有解.
§1 消元法、线性方程组解的判定与解的性质
阶梯阵对应方程组为
c11 x1 c12 x2 c1r xr d1 c1,r 1 xr 1 c1n xn c22 x2 c2 r xr d 2 c2,r 1 xr 1 c2 n xn (1') crr xr d r cr ,r 1 xr 1 crn xn
于是有 (a11 ka21 )c1 (a12 ka22 )c2 (a1n ka2 n )cn
(a11c1 a12c2 a1ncn ) k (a21c1 a22c2 a2 ncn )
b1 kb2
所以 (c1 , c2 , , cn ) 也是方程组（1'）的解. 同理可证的（1'）任一解也是（1）的解.
简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个 方程得到新方程组（1'）．
(a11 ka21 ) x1 (a12 ka22 ) x2 (a1n ka2 n ) xn b1 kb2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 （1'） a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1
称为方程组（1）的系数矩阵 ;
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 而矩阵 B ( A, b ) a a a mn m1 m 2 b1 b2 bm
称为方程组（1）的增广矩阵．
§1 消元法、线性方程组解的判定与解的性质
2 x1 x2 3 x3 1 (1) 4 x1 2 x2 5 x3 4 2 x1 x2 2 x3 5 解：对方程组的增广矩阵作初等行变换 2 1 3 1 2 1 3 1 B 4 2 5 4 0 2 1 4 B1 2 1 2 5 0 0 1 6 1 0 0 9 0 1 0 1 B2 0 0 1 6 由 B1 知，原方程组有唯一解。 由B2 知，原方程组的解为 ( x1 , x2 , x3 )T (9, 1, 6)T
aij x j bi ,
j 1
n
i 1,2,, m .
x1 b1 简记为（2） Ax b x2 b2 x ,b 其中A为线性方程组的系数矩阵， xn bm
§1 消元法、线性方程组解的判定与解的性质
由此即得
x1 x3 4, x x 3, 2 3 x3 x3 , x4 3.
解：第二个方程减去第一个方程的2倍，第三个方程 减去第一个方程，得
2 x1 x2 3 x3 1 4 x2 x3 2 2 x2 x3 4
§1 消元法、线性方程组解的判定与解的性质
第二个方程减去第三个方程的2倍，再互换第二、第三
两个方程，即得
2 x1 x2 3 x3 1 2 x2 x3 4 x3 6
从而，原方程组(1)与方程组(1')同解 所以，当 r n 时，方程组(1)有唯一解； 当 r n 时 ，方程组(1)有无穷多解． （ 这样，方程组(1)有没有解，以及有怎样的解， 都可以通过它的增广矩阵看出.）
§1 消元法、线性方程组解的判定与解的性质
注意
对线性方程组作消元法相当于对其增广
设 (c1 , c2 , , cn ) 是方程组（1）的任一解，则
§1 消元法、线性方程组解的判定与解的性质
a11c1 a12c2 a1ncn b1 a21c1 a22c2 a2 ncn b2 a c a c a c b m2 2 mn n m m1 1
(1)
的方程组，其中 x1 , x2 , , xn 代表 n 个未知量，
m 是方程的个数 ; aij ( i 1,2,, m , j 1,2,, n)
b 称为方程组的系数；i ( i 1,2,, m ) 称为常数项 。
简记为
aij x j bi ,
j 1
n
i 1,2,, m .
§1 消元法、线性方程组解的判定与解的性质
2 x1 x2 x3 x4 2 x1 x2 2 x3 x4 4 (2) 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4 3 x 6 x 9 x 7 x 9 2 3 4 1 解：对方程组的增广矩阵作初等行变换 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 B 4 6 2 2 4 3 6 9 7 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2
简记为（1） (1)
一、消元法
1、线性方程组的基本概念
(1) 一般线性方程组是指形式为
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2
结论
消元过程就是对线性方程组反复施行
初等变换的过程.
§1 消元法、线性方程组解的判定与解的性质
(3) 线性方程组的消元法
不妨设线性方程组(1)的增广矩阵 a11 a12 a1n a a a2 n B ( A, b ) 21 22 a a a mn m1 m 2
c11 0 初等行变换 0 0 0 0 c12 c22 0 0 0 0 c1r c1,r 1 c2 r c2,r 1 crr cr ,r 1 0 0 0 0 0 0 0
b1 b2 bm
矩阵作初等行变换化成行阶梯阵，同时由这个行 阶梯阵能完整重现对应线性方程组. 步骤（1）写出增广矩阵；
（2）对增广矩阵作初等行变换化成行阶梯阵；
（3）由行阶梯阵判断线性方程组解的情况；
（4）在有解的情况下，由行阶梯阵写出同解方程组，
并求出原方程组的解.
§1 消元法、线性方程组解的判定与解的性质
例1. 解下列方程组
c1n c2 n crn 0 0 0
d1 d2 dr d r 1 0 0
§1 消元法、线性方程组解的判定与解的性质
c11 c12 0 c22 阶梯阵 0 0 0 0 0 0 0 0 其中 cii 0,
简记为（3） x11 x2 2 xn n b
a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2 n b2 x1 x2 xn am1 am 2 amn bm
第四章 线性方程组
§1 消元法、线性方程组解的判定 与解的性质 §2 线性方程组解的结构
§3 克拉默法则
§1 消元法、线性方程组解的判定与解的性质
一、消元法
1、线性方程组的基本概念
2、线性方程组的初等变换
3、消元法
二、线性方程组解的判定与解的性质
1、线性方程组解的判定 2、线性方程组解的性质
§1 消元法、线性方程组解的判定与解的性质
i (ai1 , ai 2 ,, ain )T , i 1, 2, , m
b (b1 , b2 ,, bm )
T
§1 消元法、线性方程组解的判定与解的性质
一、消元法
定义
2、线性方程组的初等变换
线性方程组的初等变换是指下列三种变换
倍法
① 用一个非零的数乘某一个方程；
② 将一个方程的倍数加到另一个方程上； 消法 ③ 交换两个方程的位置． 性质 换法
线性方程组经初等变换后，得到的线性 方程组与原线性方程组同解．
§1 消元法、线性方程组解的判定与解的性质
如对方程组（1）作第二种初等变换:
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 (1)
(3) 同解方程组
如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们 是同解的．
§1 消元法、线性方程组解的判定与解的性质
(4) 方程组的系数矩阵与增广矩阵
a11 a12 a1n a a a2 n A 21 22 矩阵 a a a mn m1 m 2
故方程组（1 ' ）与（1）是同解的. 对于另外两种变换可以用类似的方法证得.
§1 消元法、线性方程组解的判定与解的性质
一、消元法
(1) 引例
3、消元法与线性方程组的初等变换
解线性方程组
2 x1 x2 3 x3 1 4 x1 2 x2 5 x3 4 2 x1 x2 2 x3 5
1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 4 3 B 3 1 0
由 B1 知，原方程组有无限多个解。
§1 消元法、线性方程组解的判定与解的性质