函数奇偶性 教学设计]

1.3.2函数的奇偶性教学设计
一、 学习内容分析
本节选自《普通高中课程标准数学教科书——数学必修1》（人教A 版）第一章集合与函数概念的第三节函数的基本性质第二小节内容，函数的奇偶性是继函数的单调性之后函数的第二大性质，它既是函数概念的延续和拓展，也是今后研究三角函数、二次曲线等知识的重要铺垫，而且灵活的应用函数的奇偶性常使复杂的不等式问题、方程问题、作图问题等变得简单明了。

此外具有奇偶性的函数十分有美感,因此本节课是数学美的集中体现。

二、 教学目标
1.理解偶函数、奇函数的概念，会用奇偶函数的定义去判断一个函数是否具有奇偶性；
2.掌握偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称的特性，了解函数具有奇偶性时，其定义域具有的特点；
3.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养观察、比较、分析概括的能力和数形结合、从特殊到一般的数学思想方法；
4.通过函数奇偶性的学习，感受数学之美。

三、 教学重难点
1. 教学重点：函数奇偶性的定义及图像特征。

2. 教学难点：函数奇偶性概念的形成。

四、 教学过程
（一） 情境导航，引入新课
展示生活中具有轴对称、中心对称特点的事物的图片，让学生体会其美感，再让学生举例其它的具有轴对称和中心对称特点的事物。

预设：学生回答剪纸、蝴蝶、课桌、黑板……
追问：什么是轴对称图形？什么是中心对称图形？
预设：把一个图形沿着某一条直线对折，这条直线两侧的图形能完全重合，则是轴对称图形。

把一个图形绕着某个点旋转180度，这个图形能和原来的图形重合，则是中心对称图形。

（二） 构建概念，突破难点
数学中也有许多具有对称性的例子，下面我们观察2个函数图象，来看看它们的图象有什么特性。

① 2
(),f x x x R =∈
② ()2,f x x x R =-∈
师生活动：学生观察函数图像，教师提问。

问题1：仔细观察，这两个函数图象有什么共同特征？
问题2：相应的两个函数值表示如何体现这些特征的？
师生活动：学生思考、讨论后，教师请学生回答。

预设：学生回答两个函数图象都关于y 轴对称；
在函数值表中，当自变量x 取一对相反数时，相应的两个函数值相等，如2()f x x =中，
(-3)9(3)
(-2)4(2)(-11(1)
f f f f f f ======）
问题3：那么函数2()()2f x x f x x ==-与 对定义域R 上的任何一个x 是否都有()()f x f x -= ？
师生活动：教师让学生先思考并讨论，再请学生回答。

多媒体展示：教师在学生回答之后，再用几何画板演示并提问。

问题:4：在2()f x x = 的图像上任取一点P ，那么点P 关于y 轴对称的点'P 是否在函数2()f x x =的图像上？
接着教师拖动点P ，学生发现'P 始终落在函数图象上。

类似的对函数()2f x x =-也进行演示。

教师标出点P 与'P 的坐标，让学生观察，并回答问题5.
问题5：观察点P 和'P 的坐标变化，你能得出什么猜想？你能证明这个猜想吗？
预设：学生猜想，对函数2()f x x =定义域R 上的任何一个x 都有()()f x f x -=。

学生证明：222(),()()()x R f x x f x x x f x ∈=-=-==任取， 。

问题6：借助几何画板我们直观感受了函数2
()()2f x x f x x ==-与的图像上点的特征，
又证明了函数2()f x x =定义域R 上的任何一个x 都有()()f x f x -=，那么你能再举一些满足上述特征的函数吗？给这样的函数取一个名字并且下一个定义吗？
师生活动：学生举例、取名、下定义，教师修正并给出准确的名字和定义。

一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数。

那么我们就知道了，偶函数的图像一定是关于y 轴对称的，图像关于y 轴对称的函数一定是偶函数。

问题7：下面请大家判断一下2
(),[1,2]f x x x =∈-是否是偶函数？ 当2--2[-1,2]x x ==∉时，
，因此(2)f -没有定义。

即在定义域[-1,2]中存在x ,不满足()()f x f x -=，所以2(),[1,2]f x x x =∈-不是偶函数。

问题8：从刚才的问题我们可以发现，同样一个对应关系，如果定义域变了，它就可能不是偶函数，因此偶函数的定义域必须具备什么特征？我们判断一个函数是否是偶函数的方法有什么？
预设：偶函数的定义域必须要关于原点对称。

方法：
① 首先判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则一定不是偶函数；
② 从定义出发，证明函数是否对于定义域内任何一个x ，都有()()f x f x -=； ③ 从图像出发，观察函数图像是否关于y 轴对称。

（三） 合作探究，类比发现
请大家再观察函数1()(),(0)f x x x R f x x x
=∈=≠，与的图像， 类比刚才我们研究偶函数的过程，请大家回答以下问题。

问题1：仔细观察，这两个函数图象有什么共同特征？
问题2：相应的两个函数值表示如何体现这些特征的？
预设：学生回答两个函数图象都关于原点对称；
在函数值表中，当自变量x 取一对相反数时，相应的两个函数值也是相反数，如
()f x x =中，
(-3)3(3)
(-2)2(2)(-11(1)
f f f f f f =-=-=-=-=-=-）
问题3：那么函数1()(),(0)f x x x R f x x x
=∈=≠，与 对定义域上的任何一个x 是否都有()()f x f x -=- ？若有，请仿照刚才证明偶函数的过程，证明这个结论。

预设：学生证明：(),()()()x R f x x f x x x f x ∈=-=-=-=-任取，。

师生活动：学生证明结论，教师用几何画板演示任取1()(),(0)f x x x R f x x x
=∈=≠，与上的点P ，其对称点'P 仍在该函数图象上。

问题4：那么你能再举一些符合这种特征的函数吗？能给这样的函数取一个名字并且下一个定义吗？
师生活动：学生举例、取名、下定义，教师修正并给出准确的名字和定义。

一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数。

那么我们就知道了，奇函数的图像一定是关于原点对称的，图像关于原点对称的函数一定是奇函数。

问题5：那么所有的函数都具有奇偶性吗？若不是，请举例。

预设：学生有的说都具有，有的说不是，并举例：()21f x x =+ 、2()21f x x x =++等。

问题6：那么通过举例我们发现，有些函数不具有奇偶性，我们就称它们为非奇非偶函数，那么有没有函数既是奇函数又是偶函数呢？
预设：学生通过联立()()f x f x -=-和()()f x f x -=，求得()0,f x x R =∈或x ∈ 任意的关于原点对称的对称区间。

那么我们称这一类函数为既奇又偶函数。

问题7：我们研究函数的奇偶性对我们研究函数有什么帮助吗？
引导学生从对称性出发，想到可以由自变量取正值时的图像和性质来推断函数在整个定义域内的图像和性质，达到“事半功倍”的效果。

（四） 讲练结合，巩固新知
例1． 判断下列函数的奇偶性。

(
)42352(1)()3;
1(2)();(3)()(4)()1;
(5)()((6)()f x x x f x x x
f x f x x f x x f x =+=-==+=-=
例2． 判断此函数的奇偶性。

(1),0()(1),0x x x f x x x x +>⎧=⎨-<⎩
变式：已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0()(1)x f x x x >=-时，，
()f x 求的解析式。

结论：()0(0)0.f x x f ==若函数是奇函数，且在时有定义，则
（五） 课时小结，知识建构
（六）布置作业，回归拓展
1.完成《课时作业》1.3.2
2.完成书上课后作业。