、永安、漳平一中,龙海二中,泉港一中”六校联考 2013-2014学年上学期第三次月考 高三数学(理)试题

“华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中”六校联考2013-2014学年上学期第三次月考高三数学（理）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。

一、选择题（每题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．集合{}{}4,5,3,9,3M m N =-=-，若M N ⋂≠∅，则实数m 的值为（ ） A ．3或3- B ．3 C ． 3或1- D ．1-2．在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S =（ ）A ．7B ．15C ．20D ．25 3．“22ab>”是“22log log a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充要条件 D. 必要不充分条件4．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）A ．10B ．8C ．6D ．45．三角形ABC 中,a=15,b=10,A=︒60,则=B cos （ ）A ．322±B ．－36 C ．36±D ．36 6. 已知双曲线2219x y m-=的一个焦点在圆22450x y x +--=上,则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．34y x =±B ．43y x =±C ．y x =D ．y x =7．将函数1sin 222y x x =+的图象向_________单位可得到函数cos(2)3y x π=+的图象。

A ．向左平移4πB ．向右平移2πC ．向右平移3πD ．向左平移8π8．已知函数,sin )(x x x f -= R x ∈，则)4(π-f 、)1(f 、)3(πf 的大小关系（ ）A ．)3(πf >)4(π-f >)1(f B ． )4(π-f >)1(f >)3(πfC ．)1(f >)3(πf >)4(π-f D ．)3(πf >)1(f >)4(π-f9.已知AC AB 、是非零向量且满足AC AB AC AB AC AB ⊥⊥）－，（）－（22则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 10. 2010年，我国南方省市遭遇旱涝灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图，在区域}0,0|),{(≥≥y x y x 内植树，第一棵树在)1,0(1A 点，第二棵树在)1,1(1B 点，第三棵树在)0,1(1C 点，第四棵树在)0,2(2C 点，接着按图中箭头方向，每隔一个单位种一颗树，那么，第2014棵树所在的点的坐标是（ ）A.(9,44)B. (10,44)C.(10.43)D. (11,43) 二、填空题（每小题4分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.11. 已知一元二次不等式0)(<x f 的解集为{}221|<<x x ，则0)2(>x f 的解集为 . 12．若函数f(a)＝⎠⎛0a (2＋sin x)dx ，则f ⎝⎛⎭⎫π2等于13 ．设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≤--,0,0,0,023y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为1,则b a 11+的最小值为_________.14．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()220y px p =>的准线分别交于,A B两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AOB ∆则p =_________.15. 对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++（0a ≠），给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心. 给定函数32115()33212f x x x x =-+-，请你根据上面探究结果，计算)20141(f +)20142(f …+)20142012(f +)20142013(f = __________ . 三、解答题。

(本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤) 16.（本题满分13分）设三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ,)3,23(),cos ,(cos a b c n C A m -== ,且n m ⊥.(Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若ＡＣ＝ＢＣ，且BC 边上的中线AM,求ABC ∆的面积.17.（本小题满分13分）已知函数21()ln 2f x x a x =+。

（Ⅰ）若1a =-，求函数()f x 的极值，并指出是极大值还是极小值； （Ⅱ）若1a =，求证：在区间[1,)+∞上，函数()f x 的图像在函数32()3g x x =的图像的下方。

18.（本题满分13分）等差数列{}n a 中,11=a ,公差0>d ,且它的第2项,第5项,第14项分别是等比数列{}n b 的第2项,第3项,第4项. (Ⅰ)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; (Ⅱ)设数列{}n c 对任意自然数均有12211...+=+++n nn a b c b c b c 成立,求2013321...c c c c ++++的值.19. （本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点O ,离心率23=e ,右焦点为)0 , 3( F . (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设椭圆的上顶点为A ,在椭圆C 上是否存在点P ,使得向量OA OP +与FA 共线?若存在,求直线AP 的方程;若不存在,简要说明理由.20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122n n n S a +=-(n ∈N*)．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：当x>0时，ln(1)1xx x +>+ （III ）令11(1)log 2nn n a n c ++=-，数列{}n c 的前2n 项和为2n T ．利用（2）的结论证明：当n ∈N*且n ≥2时，22In T n <.21.（本小题满分14分）本题设有（1）、（2）、（3）三个小题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。

（１）（本小题7分）选修4－2：矩阵与变换已知二阶矩阵M 有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量123⎛⎫= ⎪⎝⎭，e 并有特征值λ2=-1及属于特征值-1的一个特征向量211,.11-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭e α(1)求矩阵M.(2)求M 5α.（2）（本小题7分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 过点P(2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y 2=2x 相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M,求：(1)|PM|；(2)|AB|.（3）(本小题7分)选修4－5：不等式选讲.若a,b,c 均为正数，且a+b+c=6m x x -+-≤2对任意x ∈R 恒成立，求m 的取值范围.“华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中”六校联考2013-2014学年上学期第三次月考高三数学（理）试题答案及评分标准1－5： CBDBD 6－10： BABDB11. {x | x <－1，或x >1} .12. π＋1 13.4 14.2 15. 2013 16. 解：（１）由0=∙n mC a A c b cos 3cos )32(=-……………………………………………1分所以C A A C B cos sin 3cos )sin 3sin 2(=-………………………2分)sin(3cos sin 3cos sin 3cos sin 2C A A C C A A B +=+=则2sinBcosA=3sinB ……………………………………………………4分 所以cosA=23 于是Ａ＝6π……………………………………………6分 （2）由（1）知Ａ＝6π，又ＡＣ＝ＢＣ，所以C=32π………………7分设ＡＣ＝x,则ＭＣ＝x 21，在AMC ∆中，由余弦定理得 222cos 2AM C MC AC MC AC =⋅-+……………………………9分即222)7(32cos 22)2(=⋅-+πx x x x 解得x=2……………………………………………………………………11分 故332sin 2212=⋅⋅=∆πABC S …………………………………………13分 17. (1)解 由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，……………… 1分当a ＝－1时，f ′(x )＝x － ………… 2分令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去)， …………3分 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0， 因此函数f (x )在(0,1)上是单调递减的，………… 4分 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此函数f (x )在(1，＋∞)上是单调递增的，…… 5分 则x ＝1是f (x )极小值点，所以f (x )在x ＝1处取得极小值为f (1)= …………6 分(2) 证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2＋ln x －x 3，则F ′(x )＝x ＋－2 x 2＝， …………9分当x >1时，F ′(x )<0， ……………………… 10分 故f (x )在区间[1，＋∞)上是单调递减的，……………………… 11分 又F (1)＝－61<0，………………………12分∴在区间[1，＋∞)上，F (x )<0恒成立．即f (x )—g (x )<0 恒成立即f (x )<g (x )恒成立.因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图像在函数g (x )图像的下方．…13分 18. 解：(Ⅰ)由题意得：（１+d ）(1+13d)=2(14)d +,d>0…………………1分解得：d=2……………………………………………………………3分 所以12-=n a n ……………………………………………………4分13－n n b =……………………………………………………………………6分(Ⅱ)当n=1时，31=c当n n nna abc n -=≥+12时，由，得132-⋅=n n c …………………………………9分 ⎩⎨⎧≥⋅==∴-2,321,31n n c n n ………………………………………………………………10分 201320122201321332 (3)2323...=⨯++⨯+⨯+=+++∴c c c ………………13分19. 【答案】解:(1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,离心率23=e ,右焦点为)0 , 3( F ,∴c c a ==,∴2a =,21b = 故椭圆C 的方程为2214x y += ……………………………………6分(2)假设椭圆C 上存在点P (00,x y ),使得向量OA OP +与FA 共线,00(,1)OP OA x y +=+ ,(FA =, …………………7分∴001)x y =+ (1) …………………8分又 点P (00,x y )在椭圆2214x y +=上,∴220014x y += (2) ……………9分由(1)、(2)组成方程组解得:(0,1)P -,或1()7P , ……………………10分 当点P 的坐标为(0,1)-时,直线AP 的方程为0y =, ………………11分当点P 的坐标为1()7P 时,直线AP 440y -+=, ……12分故直线AP 的方程为0y =440y -+= ………………………………13分 20、解（1）由122n n n S a +=-，得1122n n n S a --=-（2n ≥）………………………2分 两式相减，得1222n n n n a a a -=--，即122n n n a a --=（2n ≥）于是11122n n n n a a ---=，所以数列{}2nna 是公差为1的等差数列…………..………………….3分又21122S a =-，所以14a =.所以2(1)12n na n n =+-=+，故(1)2nn a n =+⋅. …………………………………….5分（2）令()ln(1)(0)1xg x x x x =+->+，则2211()01(1)(1)x g x x x x '=-=>+++，7分 ∴()g x 在(0,)+∞时单调递增，()(0)0g x g >=，即当0x >时，ln(1)1xx x +>+….9分（3）因为11(1)n n c n+=-⋅，则当n ≥2时，2111111234212n T n n =-+-++-- 111111(1)2()232242n n =++++-+++111122n n n =+++++ . …………………11分 下面证2ln 21...1111<+++++n n n令1x n =，由（2）可得11ln 1n n n +>+，所以 1ln(1)ln 1n n n +->+，1ln(2)ln(1)2n n n +-+>+，……，1ln(2)ln(21)2n n n--> 以上n 个式相加，即有111ln(2)ln 122n n n n n->+++++ ∴2ln ln )2ln(21...1111=-<+++++n n nn n …………………………………14分 21. （1）.【解析】(1)设M=a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭， 则a b 228 4c d 3312⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2a 3b 82c 3d 12+=⎧⎨+=⎩① 又a b 111 1c d 111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（），∴a b 1c d 1-=-⎧⎨-=⎩② 由①②可得a=1,b=2,c=3,d=2，∴M=12.32⎛⎫ ⎪⎝⎭…………………………4分(2)易知210(1)31⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，α∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=11)1(65ααM …………………………7分 （2）.【解析】(1)∵直线l 过点P(2，0)，斜率为4,3设直线的倾斜角为α,tan α=4,3sin α=4,5cos α=3,5∴直线l 的参数方程为3x 2t 54y t 5⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝ (t 为参数)(*) ……………………1分∵直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y 2=2x 中，整理得 8t 2－15t －50＝0,且Δ=152+4×8×50>0,设这个一元二次方程的两个根为t 1、t 2, 由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝15,8t 1t 2＝254-，…………………3分 由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义， 得12t t 15PM .216+＝＝ ………………………4分 (2)|AB|＝|t 2－t 1|=…………………7分 （3）解析：22222(111(111)(2a 2b 12c 3)=≤++++++3(264)48.=⨯+=≤==即2a=2b+1=2c+3时等号成立，…………………4分又a+b+c=6，∴8137a ,b ,c 366===∴|x-2|+|x-m|≥对任意的x ∈R 恒成立. ∵|x-2|+|x-m|≥|(x-2)-(x-m)| =|m-2|,∴|m-2|≥,解得m ≤2-或m ≥2+…………………7分。