2016-2017学年福建省龙岩市漳平一中、+连城一中高二(上)+第二次联考数学试卷(理科)

2016-2017学年福建省龙岩市漳平一中、连城一中高二（上）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知命题p：∀x∈R，，则（）A．﹁p：∃x∈R，sin B．﹁p：∃x∈R，C．﹁p：∀x∈R D．﹁p：∀x∈R，2．（5分）设实数x，y满足不等式组，则x+y的最小值是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b=26，c=15，C=28°，则△ABC有（）A．一解B．二解C．无解D．不能确定4．（5分）数列{a n}的前n项和S n=n2﹣5n（n∈N*），若p﹣q=4，则a p﹣a q=（）A．20 B．16 C．12 D．85．（5分）下列命题中，真命题的个数有（）①∀x∈R，x2﹣x+≥0；②∃x＞0，lnx+≤2；③“a＞b”是“ac2＞bc2”的充要条件；④f（x）=3x﹣3﹣x是奇函数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P（m，﹣2）到焦点的距离为5，则m的值为（）A．±4 B．±2C．±2D．±57．（5分）今年“五一”期间，某公园举行免费游园活动，免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…按照这种规律进行下去，到上午11时公园内的人数是（）A．212﹣57 B．211﹣47 C．210﹣38 D．29﹣308．（5分）若双曲线=1与椭圆=1（m＞b＞0）的离心率之积等于1，则以a，b，m为边长的三角形一定是（）A．等腰三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．直角三角形9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若a=3bsinC且cosA=3cosBcosC，则tanA的值为（）A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．310．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，且a n，a n+1是方程x2﹣b n x+3n=0的两根，则b8等于（）A．54 B．108 C．162 D．32411．（5分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若cos2A+cos2C=2cos2B，则cosB的最小值为（）A．B．C．D．﹣12．（5分）直线l与抛物线y2=6x交于A，B两点，圆（x﹣6）2+y2=r2与直线l 相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（，2）B．（，3）C．（3，）D．（3，3）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）13．（5分）命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的否命题是．14．（5分）方程x2+（m+3）x﹣m=0有两个正实根，则m的取值范围是．15．（5分）已知直线l：y=kx+m（m为常数）和双曲线=1恒有两个公共点，则斜率k的取值范围为．16．（5分）已知F1，F2是椭圆=1的两焦点，P是椭圆第一象限的点．若∠F1PF2=60°，则P的坐标为．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知M是关于x的不等式x2+（a﹣4）x﹣（a+1）（2a﹣3）＜0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出M．18．（12分）已知双曲线C：x2﹣y2=1及直线l：y=kx+1．（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A，B两点，且AB中点横坐标为，求AB的长．19．（12分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在BC边上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．20．（12分）已知动圆过定点P（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）过点（2，0）的直线l与C相交于A，B两点．求证：是一个定值．21．（12分）如图，长为2，宽为的矩形ABCD，以A、B为焦点的椭圆M：=1恰好过C、D两点．（1）求椭圆M的标准方程（2）若直线l：y=kx+3与椭圆M相交于P、Q两点，求S的最大值．△POQ22．（12分）已知数列{a n}满足a n+1=﹣，其中a1=0．（1）求证是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设T n=a n+a n+1+…+a2n﹣1．若T n≤p﹣n对任意的n∈N*恒成立，求p的最小值．2016-2017学年福建省龙岩市漳平一中、连城一中高二（上）第二次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2016秋•通渭县期末）已知命题p：∀x∈R，，则（）A．﹁p：∃x∈R，sin B．﹁p：∃x∈R，C．﹁p：∀x∈R D．﹁p：∀x∈R，【解答】解：∵命题p：∀x∈R，，∴命题﹁p：∃x∈R，sin ，故选：A2．（5分）（2016秋•漳平市校级月考）设实数x，y满足不等式组，则x+y的最小值是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，）．令z=x+y，化为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故选：C．3．（5分）（2016秋•漳平市校级月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b=26，c=15，C=28°，则△ABC有（）A．一解B．二解C．无解D．不能确定【解答】解：由正弦定理可得，∴sinB=＜1，∵b＞c，∴B有两解．故选B．4．（5分）（2016秋•漳平市校级月考）数列{a n}的前n项和S n=n2﹣5n（n∈N*），若p﹣q=4，则a p﹣a q=（）A．20 B．16 C．12 D．8【解答】解：S n=n2﹣5n（n∈N*），可得a1=S n=﹣4=（n﹣1）2﹣5（n﹣1）=n2+7n+6．当n≥2时，则S n﹣1∵a n=S n﹣S n﹣1∴a n=2n﹣6，当n=1，可得a1=﹣4=2常数，∴a n是等差数列，首项为﹣4，公差d=2．∵a n﹣a n﹣1∵p﹣q=4，令q=1，则p=5，那么a5﹣a1=8．故选D5．（5分）（2016秋•漳平市校级月考）下列命题中，真命题的个数有（）①∀x∈R，x2﹣x+≥0；②∃x＞0，lnx+≤2；③“a＞b”是“ac2＞bc2”的充要条件；④f（x）=3x﹣3﹣x是奇函数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：对于①，∵，∴∀x∈R，x2﹣x+≥0正确；对于②，∵lnx∈R，∴∃x＞0，lnx+≤2正确；对于③，“a＞b”⇒“ac2≥bc2”，故错；对于④，∵f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），且定义域为R，是奇函数，故正确．故选：C6．（5分）（2017春•龙泉驿区校级月考）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P（m，﹣2）到焦点的距离为5，则m的值为（）A．±4 B．±2C．±2D．±5【解答】解：抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P（m，﹣2），可知抛物线的开口向下，抛物线上的点P（m，﹣2）到焦点的距离为5，可得准线方程为：y=3，焦点坐标（0，﹣3），则：=5，解得m=±2．故选：C．7．（5分）（2016秋•山西期末）今年“五一”期间，某公园举行免费游园活动，免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…按照这种规律进行下去，到上午11时公园内的人数是（）A．212﹣57 B．211﹣47 C．210﹣38 D．29﹣30【解答】解：设每个30分钟进去的人数构成数列{a n}，则a1=2=2﹣0，a2=4﹣1，a3=8﹣2，a4=16﹣3，a5=32﹣4，…，a n=2n﹣（n﹣1）设数列{a n}的前n项和为S n，依题意，只需求S10=（2﹣0）+（22﹣1）+（23﹣2）+…+（210﹣9）=（2+22+23+…+210）﹣（1+2+…+9）=211﹣47故选B．8．（5分）（2016秋•漳平市校级月考）若双曲线=1与椭圆=1（m＞b＞0）的离心率之积等于1，则以a，b，m为边长的三角形一定是（）A．等腰三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．直角三角形【解答】解：∵双曲线=1的离心率e1==，椭圆=1的离心率e2==，由e1•e2=1，即•=1，∴a2m2=（a2+b2）（m2﹣b2）∴a2+b2=m2故选D．9．（5分）（2016秋•漳平市校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若a=3bsinC且cosA=3cosBcosC，则tanA的值为（）A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3【解答】解：∵a=3bsinC，由正弦定理得：sinA=3sinBsinC①，又cosA=3cosBcosC②，②﹣①得，cosA﹣sinA=3（cosBcosC﹣sinBsinC）=3cos（B+C）=﹣3cosA，∴sinA=4cosA，∴tanA==4．故选：A．10．（5分）（2016秋•漳平市校级月考）已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，且a n，a n+1是方程x2﹣b n x+3n=0的两根，则b8等于（）A．54 B．108 C．162 D．324【解答】解：数列{a n}，{b n}满足a1=1，且a n，a n+1是方程x2﹣b n x+3n=0的两根，可得：a n+a n=b n．a n a n+1=3n；a1=1，则a2=3，a3=3，a4=9，a5=9，a6=27，a7=27，+1a8=81，a9=81，∴b8=a8+a9=162．故选：C．11．（5分）（2016秋•漳平市校级月考）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若cos2A+cos2C=2cos2B，则cosB的最小值为（）A．B．C．D．﹣【解答】解：由cos2A+cos2B=2cos2C，得1﹣2sin2A+1﹣2sin2B=2（1﹣2sin2C），即sin2A+sin2B=2sin2C，由正弦定理可得a2+b2=2c2，由余弦定理可得c2+2abcosC=2c2，∴cosC=，（当且仅当a=b时取等号）∴cosC的最小值为，故选A．12．（5分）（2016秋•漳平市校级月考）直线l与抛物线y2=6x交于A，B两点，圆（x﹣6）2+y2=r2与直线l相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（，2）B．（，3）C．（3，）D．（3，3）【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=6x1，y22=6x2，相减得（y1+y2）（y1﹣y2）=6（x1﹣x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=3，因为直线与圆相切，所以，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=6x，得y2=18，∴﹣3＜y0＜3，∵M在圆上，∴（x0﹣6）2+y02=r2，∴r2=y02+9≤18+9=27，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴9＜r2＜27，故3＜r＜3时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，3＜r＜3，故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）13．（5分）（2016秋•漳平市校级月考）命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的否命题是若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0．【解答】解：原命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的否命题只需将条件和结论分别否定即可：因此命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0的否命题为：若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0．故答案为：若a2+b2≠0，则a≠0或b≠014．（5分）（2016秋•漳平市校级月考）方程x2+（m+3）x﹣m=0有两个正实根，则m的取值范围是（﹣∞，﹣9] ．【解答】解：设方程的两个正根分别为x1，x2，则由根与系数之间的关系可得，解得m≤﹣9，故m的取值范围为：[﹣∞，﹣9]；故答案为：（﹣∞，﹣9]．15．（5分）（2017春•龙泉驿区校级月考）已知直线l：y=kx+m（m为常数）和双曲线=1恒有两个公共点，则斜率k的取值范围为（﹣，）．【解答】解：法一、由双曲线=1，得a2=9，b2=4，∴a=3，b=2．∴双曲线的渐近线方程为y=，如图，∵直线l：y=kx+m（m为常数）和双曲线=1恒有两个公共点，∴＜k＜．法二、联立，得（4﹣9k2）x2﹣18kmx﹣9m2﹣36=0．∴，即，∴．故答案为：（﹣，）．16．（5分）（2016秋•漳平市校级月考）已知F1，F2是椭圆=1的两焦点，P是椭圆第一象限的点．若∠F1PF2=60°，则P的坐标为．【解答】解：由椭圆=1，a=4，b=3，c=，又∵P是椭圆第一象限的点（x0，y0），y0＞0，∠F1PF2=60°，F1、F2为左右焦点，∴|F1P|+|PF2|=2a=8，|F1F2|=2c=2，∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|F1P|•|PF2|cos60°，=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|F1P||PF2|﹣2|F1P|•|PF2|cos60°，=64﹣3|F1P|•|PF2|，∴64﹣3|F1P|•|PF2|=28，∴|F1P|•|PF2|=12．∴=|F 1P|•|PF2|sin60°=3，由=丨F 1F2|•y0=3，解得：y0=，将y0=，代入椭圆方程，解得：x0=，∴P点坐标为：，故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2016秋•漳平市校级月考）已知M是关于x的不等式x2+（a﹣4）x﹣（a+1）（2a﹣3）＜0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出M．【解答】解：原不等式可化为（x﹣a﹣1）（x+2a﹣3）＜0，（1分）由x=0适合不等式得（a+1）（2a﹣3）＞0，（3分）所以a＜﹣1或a＞；（4分）若a＜﹣1，则3﹣2a＞a+1，此时不等式的解集是（a+1，3﹣2a）；（6分）若a＞，由﹣2a+3﹣（a+1）=﹣3a+2＜0，所以3﹣2a＜a+1，此时不等式的解集是（3﹣2a，a+1）；（9分）综上，当a＜﹣1时，M为（a+1，3﹣2a），当a＞时，M为（3﹣2a，a+1）．（10分）18．（12分）（2016秋•漳平市校级月考）已知双曲线C：x2﹣y2=1及直线l：y=kx+1．（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A，B两点，且AB中点横坐标为，求AB的长．【解答】解：（1）双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的实数根，（1分）整理得（1﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0．（2分）∴，解得﹣＜k＜且k≠±1．（5分）双曲线C与直线l有两个不同交点时，k的取值范围是（﹣，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，）．（6分）（2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）得，即，解得：．∵﹣＜k＜且k≠±1．∴（9分）∴△=﹣4k2+8=6．∴（12分）19．（12分）（2016秋•漳平市校级月考）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在BC边上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ADC中，因为cos∠ADC=，所以sin∠ADC=．（2分）所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADCcos B﹣cos∠ADCsin B（4分）=×﹣×=．（6分）（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==．（9分）在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=．所以AC=7．（12分）20．（12分）（2016秋•漳平市校级月考）已知动圆过定点P（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）过点（2，0）的直线l与C相交于A，B两点．求证：是一个定值．【解答】解：（1）设圆心为C（x，y），线段MN的中点为T，则|MT|==4．（1分）依题意，得|CP|2=|CM|2=|MT|2+|TC|2，∴y2+（x﹣4）2=42+x2，∴y2=8x为动圆圆心C的轨迹方程．（4分）（2）证明：设直线l的方程为x=ky+2，A（x1，y1），B（x2，y2）（5分）由，得y2﹣8ky﹣16=0．∴△=64k2+64＞0．（7分）∴y1+y2=8k，y1y2=﹣16，=（x1，y1），=（x2，y2）．（8分）∵•=x1x2+y1y2=（ky1+2）（ky2+2）+y1y2（9分）=k2y1y2+2k（y1+y2）+4+y1y2=﹣16k2+16k2+4﹣16=﹣12．（11分）∴•是一个定值．（12分）21．（12分）（2016秋•漳平市校级月考）如图，长为2，宽为的矩形ABCD，以A、B为焦点的椭圆M：=1恰好过C、D两点．（1）求椭圆M的标准方程（2）若直线l：y=kx+3与椭圆M相交于P、Q两点，求S的最大值．△POQ【解答】（1）设B（c，0），由条件知，C（c，）．（1分）∴，解得a=2，b=（3分）故M的方程为+y2=1．（4分）（2）将l：y=kx+3代入+y2=1（1+4k2）x2+24kx+32=0．（5分）当△=64（k2﹣2）＞0，即k2＞2时，（6分）从而|PQ|=|x1﹣x2|=．（7分）又点O到直线PQ的距离d=，（8分）所以△POQ的面积S=d|PQ|=．（9分）△OPQ=．设=t，则t＞0，S△OPQ当且仅当t=时等号成立，且满足△＞0，所以，△POQ的面积最大值为1（12分）22．（12分）（2016秋•漳平市校级月考）已知数列{a n}满足a n+1=﹣，其中a1=0．（1）求证是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设T n=a n+a n+1+…+a2n﹣1．若T n≤p﹣n对任意的n∈N*恒成立，求p的最小值．=﹣，∴a n+1+1=﹣+1==，（2【解答】（1）证明：∵a n+1分）由于a n+1≠0，∴==1+，（3分）∴{}是以1为首项，1为公差的等差数列．（4分）=1+（n﹣1）=n，∴a n=﹣1．（6分）（2）∵T n=a n+a n+1+…+a2n﹣1≤p﹣n，∴n+a n+a n+1+…+a2n﹣1≤p，即（1+a n）+（1+a n+1）+（1+a n+2）+…+（1+a2n﹣1）≤p，对任意n∈N*恒成立，（7分）而1+a n=，设H（n）=（1+a n）+（1+a n+1）+…+（1+a2n﹣1），8 分∴H（n）=++…+，H（n+1）=++…+++，（9分）∴H（n+1）﹣H（n）=+﹣=﹣＜0，∴数列{H（n）}单调递减，（10分）∴n∈N*时，H（n）≤H（1）=1，故p≥1．∴p的最小值为1．（12分）参与本试卷答题和审题的老师有：豫汝王世崇；sxs123；lcb001；左杰；陈远才；qiss；铭灏2016；w3239003；whgcn；742048；沂蒙松（排名不分先后）胡雯2017年4月24日。