高中数学必修4教案--三角恒等变换
高中数学必修四教案-简单的三角恒等变换三
3.2简单的三角恒等变换（三） 教学目标（一） 知识与技能目标熟练掌握三角公式及其变形公式．（二） 过程与能力目标抓住角、函数式得特点，灵活运用三角公式解决一些实际问题．（三） 情感与态度目标培养学生观察、分析、解决问题的能力．教学重点和、差、倍角公式的灵活应用．教学难点如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明． 教学过程例1：教材P141面例4例1. 如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.例2：把一段半径为R（分别设边与角为自变量）解：（1）如图，设矩形长为l ，则面积224l R l S +=， 所以,4)()4(22222222l R l l R l S +-=-=当且仅当,224222R R l == 即R l 2=时，2S 取得最大值44R ，此时S 取得最大值22R ，矩形的宽为R RR 2222=即长、宽相等，矩形为圆内接正方形. （2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为θ，矩形长与宽分别为 θsin 2R 、θcos 2R ，所以面积θθθ2sin 2sin 2cos 22R R R S =⨯=.而12sin ≤θ，所以22R S ≤，当且仅当12sin =θ时，S 取最大值22R ，所以当且仅当︒=902θ即︒=45θ时， S 取最大值，此时矩形为内接正方形.变式：已知半径为1的半圆，PQRS 是半圆的内接矩形如图，问P 点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积时的值．解：设,α=∠SOP 则,cos ,sin αα==OS SP故S 四边形PQRS ααα2sin cos 2sin =⨯=故α为︒45时，1max =S课堂小结建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题.课后作业1. 阅读教材P.139到P.142;2. 《习案》作业三十五.O。
高中数学人教A版必修4教案-3.2_简单的三角恒等变换_教学设计_教案_4
教学准备1. 教学目标正弦定理：余弦定理及变式：三角形性质：2. 教学重点/难点正弦定理：余定理及变式：三角形性质：3. 教学用具4. 标签教学过程典例评析1.△ABC中，cos2A＜cos2B是A＞B的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件2.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对边的边长，若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC) = 3a·sinB,则∠C等于( )A.π/6B.π/3C.2π/3D.5π/63.△ABC的外接圆半径为R，∠C＝60°，则的最大值为______4.在△ABC中，若a·cosA=b·cosB，则△ABC是( )(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)等腰或直角三角形5.在△ABC中，内角A、B、C成等差数列，且AB=8，BC=5，则△ABC的内切圆的面积为( )A. B. C. D.7.隔河可看到两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D 两点，并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离【解题回顾】测量问题一般可归结为解三角形问题，将欲计算的线段或角度置于某一可解的三角形中，合理运用正、余弦定理即可我缉私巡逻艇在一小岛南偏西500的方向，距小岛A12海里的B处，发现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向小岛的北偏西100的方向行驶，测得速度为每小时10海里，问我巡逻艇须用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两小时后截获该走私船(sin380=0.62)。
人教版高中数学必修四第三章 三角恒等变换全章教案
3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学法与教学用具1. 学法：启发式教学2. 教学用具：多媒体四、教学设想：（一）导入：我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构.思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处.思考：()cos ?αβ+=，()()cos cos αβαβ+=--⎡⎤⎣⎦，再利用两角差的余弦公式得出()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值.解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos 75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=+=-=⨯=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=-=+=⨯=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===- 所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（五）作业：15012.P T T -3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)教案一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 二、三维目标1．知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2．过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、课时安排2课时五、教学设想第1课时（一）导入新课思路 1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察cos(α-β)与cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C (α+β)、S (α-β)、S (α+β).本节课我们共同研究公式的推导及其应用.思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若sin α=55，α∈(0,2π)，cos β=1010,β∈(0,2π),求cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式C （α-β）很容易求得cos （α-β），但是如果求cos （α+β）的值就得想法转化为公式C （α-β）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.（二）推进新课、新知探究、提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.②在公式C (α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C (α-β)来推导cos(α+β)=?③分析观察C (α+β)的结构有何特征？④在公式C (α-β)、C (α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?⑤公式S (α-β)、S (α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C (α-β)、C (α+β)、S (α-β)、S (α+β)，能否推导出tan(α-β)=?tan （α+β）=？⑦分析观察公式T (α-β)、T (α+β)的结构特征如何？⑧思考如何灵活运用公式解题？活动：对问题①，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，点拨学生思考公式中的α,β既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系，学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β，所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式C (α-β)上来,这样就很自然地得到cos(α+β)=cos ［α-(-β)］=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.所以有如下公式：(α+β)对问题②，教师引导学生细心观察公式C (α+β)的结构特征,可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C (α-β)进行记忆，并填空：cos75°=cos(_________)==__________=___________.对问题③，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化，此法让学生课下进行),因此有sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］=cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β =sin αcos β+cos αsin β.在上述公式中,β用-β代之，则sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)=sin αcos β-cos αsin β. (α+β)(α-β).同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美.为强化记忆，教师可让学生填空,如sin(θ+φ)=___________，sin 75sin 72cos 75cos 72ππππ+=__________. 对问题⑥，教师引导学生思考，在我们推出了公式C (α-β)、C (α+β)、S (α+β)、S (α-β)后,自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来.当cos(α+β)≠0时，tan(α+β)=.sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(βαβαβαβββ-+=++a a 如果cos αcos β≠0,即cos α≠0且cos β≠0时,分子、分母同除以cos αcos β得tan(α+β)=)tan(tan 1tan tan βαβα--+，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有tan(α-β)=.tan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan βαβαβαβα+-=---+ 由此推得两角和、差的正切公式，简记为T (α-β)、T (α+β).对问题⑥,让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于2π+k π(k ∈Z )，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆.对问题⑦⑧，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C (α+β)、S (α+β)、T (α+β)叫和角公式；S (α-β)、C (α-β)、T (α-β)叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)，tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tan α，tan β或tan （α±β）的值不存在时，不能使用T （α±β）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(2π-β)，因为tan 2π的值不存在，所以改用诱导公式tan(2π-β)=βββπβπsin cos )2cos()2sin(=--来处理等.（三）应用示例思路1例1 已知sin α=53-,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cos α,tan α的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sin α=53-,α是第四象限角，得cos α=54)53(1sin 122=--=-a . ∴tan α=a a cos sin =43-. 于是有sin(4π-α)=sin 4πcos α-cos 4πsin α=,1027)53(225422=-⨯-⨯ cos(4π+α)=cos 4πcos α-sin 4πsin α=,1027)53(225422=-⨯-⨯ tan(α-4π)=4tan tan 14tan tan ππa a +-=a a tan 11tan +-=7)43(1143-=-+--. 点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练1.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30° =42621222322-=⨯-⨯, tan105°=tan(60°+45°)= 311345tan 60tan 145tan 60tan -+=-+ =-(2+3). 2.设α∈(0,2π),若sin α=53,则2sin(α+4π)等于( ) A.57 B.51 C.27 D.4 答案：A例 2 已知sin α=32,α∈(2π,π),cos β=43-,β∈(π,23π).求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β).活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S (α-β)、C (α+β)、T (α+β)应先求出cosα、sin β、tan α、tan β的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.解：由sin α=32,α∈(2π,π),得 cos α=a 2sin 1--=-2)32(1--=35-，∴tan α=552-. 又由cos β=31-,β∈(π,23π). sin β=β2cos 1--=47)43(12-=---, ∴tan β=37.∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =32×(43-)-(12356)47()35(--=-⨯-. ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=(35-)×(43-)-32×(47-) =.127253+∴tan(α+β)=35215755637)552(137552tan tan 1tan tan ++-=⨯--+-=-+βαβα=17727532+-. 点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x 米，∠CAB=α，则sin α=6730， 在Rt △ABD 中，tan(45°+α)=3030+x tan α. 于是x=30tan )45tan(30-+αα , 又∵sin α=6730,α∈(0,2π),∴cos α≈6760,tan α≈21. tan(45°+α)=211211tan 1tan 1-+≈-+αα=3, ∴x=21330⨯-30=150(米). 答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在△ABC 中，sinA=53(0°<A<45°),cosB=135(45°<B<90°)，求sinC 与cosC 的值. 活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC 中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sinA=53且0°<A<45°,∴cosA=54. 又∵cosB=135且45°<B<90°,∴sinB=1312. ∴sinC=sin ［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =53×135+54×1312=6563, cosC=cos ［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=53×1312-54×135=6516. 点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件.变式训练在△ABC 中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB ≥1,则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形答案：C思路2例1 若sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53,且0<α<4π<β<43π,求cos(α+β)的值. 活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值.尽管学生思考时有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答.对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定准角的范围，准确判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键.学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它.对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等.如教师可变换α,β角的范围，进行一题多变训练，提高学生灵活应用公式的能力，因此教师要充分利用好这个例题的训练价值.解：∵0<α<4π<β<43π,∴43π<43π+α<π,-2π<4π-β<0, 又已知sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53, ∴cos(43π+α)=1312-,sin(4π-β)=54-. ∴cos(α+β)=sin ［2π+(α+β)］=sin ［(43π+α)-(4π-β)］ =sin(43π+α)cos(4π-β)-cos(43π+α)sin(4π-β) =135×53-(1312-)×(54-)=6533-. 本题是典型的变角问题,即把所求角利用已知角来表示,实际上就是化归思想.这需要巧妙地引导,充分让学生自己动手进行角的变换,培养学生灵活运用公式的能力.变式训练已知α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312,求cos(α+4π)的值. 解：∵α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, ∴23π<α+β<2π,2π<β-4π<43π.∴cos(α+β)=54,cos(β-4π)=135-. ∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4π)］ =cos(α+β)cos(β-4π)+sin(α+β)sin(β-4π) =54×(135-)+(53-)×1312=6556-.例2 化简.sin sin )sin(sin sin )sin(sin sin )sin(aa a a θθθβθβββ-+-+- 活动：本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式，教师可以先让学生自己独立地探究，然后进行讲评.解：原式=aa a a a a sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin θθθθβθβθββββ-+-+- =a a a a a a a a sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin βθβθβθθβθβθβθβθβαθβ-+-+- =asin sin sin 0βθ =0.点评：本题是一个很好的运用公式进行化简的例子，通过学生独立解答，培养学生熟练运用公式的运算能力.变式训练 化简)cos(sin sin 2cos sin 2)sin(βαβαβαβα++-+ 解：原式=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin sin 2cos sin 2sin cos cos sin -+- =).tan()cos()sin(cos cos sin sin cos sin sin cos αβαβαββαβαβαβα-=--=+-（四）作业已知0<β<4π,4π<α<43π,cos(4π-α)=53,sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值. 解：∵4π<α<43π,∴2π-<4π-α<0.∴sin(4π-α)=2)53(1--=54-.又∵0<β<4π,∴43π<43π+β<π,cos(43π+β)=2)135(1--=1312-.∴sin(α+β)=-cos(2π+α+β)=-cos ［(43π+β)-(4π-α)］=-cos(43π+β)cos(4π-α)-sin(43π+β)sin(4π-α)=-(1312-)×53135-×(54-)=6556.（五）课堂小结1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？对于这六个公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有什么条件限制？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想——转化思想,并要正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)教案教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C (α-β)推得公式C (α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S (α-β)、S (α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 二、三维目标1．知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力. 2．过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质. 三、重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导. 教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明. 四、课时安排 2课时五、教学设想 （一）导入新课思路 1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos （α＋β）cos β＋sin （α＋β）sin β;(2)cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+--x x xx x x x ; (3).tan tan cos sin )sin()sin(2222αββαβαβα+-+ 2.证明下列各式(1);tan tan 1tan tan )cos()sin(βαβαβαβα++=-+(2)tan （α＋β）tan （α-β）（1-tan 2tan 2β）＝tan 2α-tan 2β; (3).sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+答案:1.(1)cos α;(2)0;(3)1.2.证明略.教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课.（二）推进新课、新知探究、提出问题①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意角的相对性，如α=(α+β)-β,)2()2(2βαβαβα---=+等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养.sin （α±β）＝sin αcos β±cos αsin β〔Ｓ（α±β）〕; cos （α±β）＝cos αcos βsin αsin β〔C （α±β）〕;tan （α±β）＝βαβαtan tan 1tan tan ±〔T （α±β）〕.讨论结果：略.（三）应用示例思路1例1 利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°; （2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;（3）15tan 115tan 1-+活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S (α-β)的右边，（2）同公式C (α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与T (α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1，原式化为15tan 45tan 115tan 45tan -+，再逆用公式T (α+β)即可解得.解：（1）由公式S (α-β)得 原式=sin(72°-42°)=sin30°=21. （2）由公式C (α+β)得原式=cos(20°+70°)=cos90°=0. （3）由公式T (α+β)得原式=15tan 45tan 115tan 45tan -+=tan(45°+15°)=tan60°=3. 点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.变式训练 1.化简求值：（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°; （2）sin14°cos16°+sin76°cos74°;（3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=21-. （2）原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=21. （3）原式=sin ［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.2.计算.75tan 175tan 1+- 解：原式=75tan 45tan 175tan 45tan +-=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=33-.例2 已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos (x-θ)的定义域为R ,设θ∈［0,2π］,若f(x)为偶函数,求θ的值.活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评.解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ), 即-sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ-sinxsin θ =sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ+sinxsin θ. ∴sinxcos θ+sinxsin θ=0.∴sinx(sin θ+cos θ)=0对任意x 都成立.∴2sin(θ+4π)=0,即sin(θ+4π)=0. ∴θ+4π=k π(k ∈Z ).∴θ=k π-4π(k ∈Z ).又θ∈［0,2π),∴θ=43π或θ=47π.点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力.变式训练 已知：2π<β<α<43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=54-,求cos2β的值.解：∵2π<β<α<43π,∴0<α-β<4π,π<α+β<23π.又∵cos(α-β)=1312,sin(α+β)= 54-,∴sin(α-β)=135,cos(α+β)=53-.∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =53-×1312+(54-)×135=6556-.例3 求证：cos α+3sin α=2sin(6π+α). 活动：本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S (α+β)展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S (α+β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数.证明：方法一：右边=2(sin6πcos α+cos 6πsin α)=2(21cos α+23sin α)=cos α+3sin α=左边.方法二：左边=2(21cos α+23sin α)=2(sin 6πcos α+cos 6πsin α)=2sin(6π+α)=右边. 点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23，即辅助角6π的正、余弦.关于形如asinx+bcosx （a ，b 不同时为零）的式子,引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下，如果a=AC os φ,b=Asin φ,那么asinx+bcosx=A(sinxcos φ+cosxsin φ)=Asin(x+φ).由sin 2φ+cos 2φ=1,可得 A 2=a 2+b 2,A=±22b a +,不妨取A=22b a +,于是得到cos φ=22ba a +,sin φ=22b a b +,从而得到tan φ=ba ,因此asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，通过引入辅助。
高一数学人教A版必修四教案：简单的三角恒等变换
3.2簡單的三角恒等變換（2）一、教學目標1、通過三角恒等變形，形如x b x a cos sin +的函數轉化為)sin(ϕ+=x A y 的函數；2、靈活利用公式，通過三角恒等變形，解決函數的最值、週期、單調性等問題。
二、教學重點與難點重點：三角恒等變形的應用。
難點：三角恒等變形。
三、教學過程（一）復習：二倍角公式。
（二）典型例題分析例1：.54sin ,20=<<απα已知的值求αααα2cos cos 2sin sin )1(22++；的值求)45tan()2(πα-． 解：（1）由,54sin ,20=<<απα得,53cos =α .201cos 3cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin 2222=-+=++∴αααααααα （2）.71tan 11tan )45tan(,34cos sin tan =+-=-==ααπαααα 例2．.10tan 3150sin ）（利用三角公式化简︒+︒ 解：）（原式︒︒+︒=10cos 10sin 3150sin ︒︒+︒⋅︒=10cos )10sin 2310cos 21(250sin ︒︒︒+︒︒⋅︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2︒︒⋅︒=10cos 40sin 40cos 2 110cos 10cos 10cos 80sin =︒︒=︒︒=. 例３．已知函數x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=（1） 求)(x f 的最小正週期，（2）當]2,0[π∈x 時，求)(x f 的最小值及取得最小值時x 的集合．點評：例３是三角恒等變換在數學中應用的舉例，它使三角函數中對函數()sin y A x ωϕ=+的性質研究得到延伸，體現了三角變換在化簡三角函數式中的作用．例4．若函數]20[cos 22sin 3)(2π，m x x x f 在区间++=上的最大值為6，求常數m 的值及此函數當R x ∈時的最小值及取得最小值時x 的集合。
人教A版高中数学必修四第三章简单的三角恒等变换教案新
3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具 学法：讲授式教学 六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =+的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =+这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：157158P P - 14T T -。
第三章三角恒等变换教案
高中数学必修4 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单使用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不但有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，使用已学知识和方法的水平问题，等等. 三、教学设想： （一）导入：问题1： 我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家能够猜测，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜测是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-= （二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也能够用角α的余弦线来表示。
思考?.1角函数线来探求公式怎样联系单位圆上的三(1) 怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）?)2(的余弦线和余弦线的正弦线怎样作出角βαβα-，、、思考2：怎样联系向量的数量积探求公式？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=+=-=⨯=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=-=+=⨯=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活使用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.思考：此题中没有),2ππα⎝⎛∈，呢？ （四）练习：不查表计算以下各式的值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（解： ︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ 2160cos )2080cos(=︒=︒-︒= （五）小结：两角差的余弦公式，首先要理解公式结构的特征，理解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活使用.（1）牢记公式．S S C C C ⋅+⋅=-)(βα（2）在“给值求值”题型中灵活处理已、未知关系． （六）作业3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。
人教A版高中数学必修四第三章简单的三角恒等变换教案新
3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具 学法：讲授式教学 六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =+的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =+这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：157158P P - 14T T -。
高中数学必修四三角函数与三角恒等变换教案
第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角一、角1、定义：平面内一条射线绕着_____从一个位置旋转到另一个位置所成的图形称为角，所旋转射线的端点叫做角的_________，开始位置的射线叫做角的______，终止位置的射线叫做角的______．如图所示．2、分类（1）：正角：按____时针方向旋转形成的角（2）负角：按____时针方向旋转形成的角（3）零角：一条射线没有作任何_____形成的角3、记法：用一个希腊字母表示，如α、β、γ、…；也可用3个大写的英文字母表示(字母前面要写“∠”)，其中中间字母表示角的顶点，如∠AOB、∠DEF、….二、象限角1、使角的顶点与______重合，角的始边与______轴的非负半轴重合．那么，角的______(除原点外)在第几象限，就说这个角是第几____________，即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与____________重合．2、如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限．3、终边相同的角(1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．(2)终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝___________，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．4、理解集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}要注意以下几点：(1)式中角α为任意角；(2)k∈Z这一条件必不可少；(3)k·360°与α之间是“＋”，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，即与－30°角终边相同；(4)当α与β的终边相同时，α－β＝k·360°(k∈Z)．反之亦然．5、区域角及其表示方法区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}；(3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．题型一、任意角例1、写出图(1)、(2)中的角α、β、γ的度数．变式1、(1)时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________．(2)如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝________.题型二、终边相同的角例2、(1)与－457°角的终边相同的角的集合是()A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}(2)已知α＝－1 910°，①把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限角；②求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.(3)若角α的终边在函数y＝－x的图象上，试写出角α的集合．变式2、(1)与405°角终边相同的角是()A．k·360°－45°，k∈ZB．k·360°±405°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°，k∈Z(2)已知角α＝2016°.①把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；②求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.(3)已知角β的终边在直线x－y＝0上．①写出角β的集合S；②写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素．题型三、区域角的表示例3、若角α的终边在下图中阴影所表示的范围内，则α角组成的集合为________．变式3、写出图中阴影区域所表示角α的集合(包括边界)．题型四、判断角所在的象限例4、若角α是第一象限，问－α、2α、α3是第几象限角？变式4、若φ是第二象限角，那么φ2和90°－φ都不是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角例5、已知集合A ＝{α|α＝k ·180°±45°，k ∈Z}，集合B ＝{β|β＝k ·90°＋45°，k ∈Z}，则A 与B 的关系正确的是( ) A ．B A ⊂ B ．A B ⊂ C ．A ＝B D ．B A ⊂且A B ⊄ 变式5、已知集合A ＝{α|k ·180°＋30°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z}，集合B ＝{β|k ·360°－45°<β<k ·360°＋45°，k ∈Z}．求A ∩B.课堂练习1．下列命题中，正确的是( ) A ．第一象限角必是锐角 B ．终边相同的角必相等 C ．相等角的终边位置必相同D ．不相等的角其终边位置必不相同 2．－215°是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 3．下列各组角中，终边相同的是( ) A ．390°，690° B ．－330°，750° C ．480°，－420° D ．3000°，－840° 4．若α是第三象限角，则－α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 5．如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是( )A ．{α|－45°≤α≤120°}B ．{α|120°≤α≤315°}C ．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z }D ．{α|k ·360°＋120°≤α≤k ·360°＋315°，k ∈Z } 课后作业基础巩固一、选择题1．射线OA 绕端点O 逆时针旋转120°到达OB 位置，由OB 位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝( )A．150°B．－150° C．390° D．－390°2．下列说法正确的个数是( )①小于90°的角是锐角②钝角一定大于第一象限的角③第二象限的角一定大于第一象限的角④始边与终边重合的角为0°A．0 B．1 C．2 D．33．下列各角中，与60°角终边相同的角是( )A．－300° B．－60° C．600° D．1 380°4．若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为( ) A．k·360°＋β(k∈Z)B．k·360°－β(k∈Z)C．k·180°＋β(k∈Z)D．k·180°－β(k∈Z)5．把－1485°转化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是( )A．45°－4×360° B．－45°－4×360° C．－45°－5×360° D．315°－5×360°6．若α是第三象限角，则α2是( )A．第一或第三象限角 B．第二或第三象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角二、填空题7．将90°角的终边按顺时针方向旋转30°所得的角等于________．8．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝______________. 三、解答题9．在坐标系中画出下列各角：(1)－180°；(2)1 070°.10．在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．能力提升一、选择题1．已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A、B、C的关系是( ) A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．CA D．A＝B＝C2．已知角2α的终边在x轴上方，那么角α的范围是( )A．第一象限角的集合B．第一或第二象限角的集合C．第一或第三象限角的集合D．第一或第四象限角的集合3．如果角α与x＋45°具有同一条终边，角β与x－45°具有同一条终边，则α与β的关系是( )A．α＋β＝0 B．α－β＝0C．α＋β＝k·360°(k∈Z) D．α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)4．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于( ) A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}二、填空题5．已知θ为小于360°的正角，这个角的4倍角与这个角的终边关于x轴对称，那么θ＝________.6．已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么β∈________.三、解答题7．已知角α的终边与y轴的正半轴的夹角为30°，且终边落在第二象限，又－720°<α<0°，试求角α.8．在角的集合{α|a＝k·90°＋45°，k∈Z}中．(1)有几种终边不相同的角？(2)有几个落在－360°～360°之间的角？(3)写出其中是第二象限的一般表示方法．1.1.2 弧度制一、弧度制1、定义：以_______为单位度量角的单位制叫做弧度制．2、度量方法：长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．如图所示，圆O 的半径为r ，弧AB 的长等于r ，∠AOB 就是1弧度的角．3、记法：弧度单位用符号_____表示，或用“弧度”两个字表示．在用弧度制表示角时，单位通常省略不写． 二、弧度数1、一般地，正角的弧度数是一个____数，负角的弧度数是一个__数，零角的弧度数是__.2、如果半径为r 的圆的圆心角α 所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝__. (1)弧长公式：l ＝|α|r .(2)扇形面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2.3、弧度制与角度制的换算(1)角度转化为弧度：360°＝______rad,180°＝____ rad,1°＝______ rad ≈0.01745 rad. (2)弧度转化为角度：2π rad ＝____，π rad ＝____，1 rad ＝________≈57.30°＝57°18′. (4)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起__________关系：每一个角都有唯一的一个 ______(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个 ______(即弧度数等于这个实数的角)与它对应． 题型一、有关“角度”与“弧度”概念的理解 例1、下列命题中，正确的命题是________．①1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π；②1 rad 的角等于1度的角；③180°的角一定等于π rad 的角；④“度”和“弧度”是度量角的两种单位． 变式1、在半径不等的圆中，半径长的弦所对的圆心角( )A ．为1弧度B ．各不相等，半径长则圆心角大C ．各不相等，半径长则圆心角小D ．都相等为π3弧度题型二、弧度制与角度制的互化例2、设α1＝－570°、α2＝750°、β1＝3π5、β2＝－π3.(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1、β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角．变式2、将下列各角化成2k π＋α(k ∈Z )且0≤α<2π的形式，并指出它们是第几象限角：(1)－1725°；(2)64π3.题型三、用弧度制表示区域角例3、用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图)．变式3、用弧度制表示顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合 (不包括边界)，如图所示．题型四、弧长和扇形面积公式的应用例4、已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？变式4、已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径为6，求扇形弧长及面积．例5、把角－570°化为2k π＋α(0≤α<2π)的形式为( ) A ．－3π－16π B ．－4π＋150° C ．－3k π－30°D ．－4π＋56π变式5、在(0,2π)内，终边与－1035°相同的角是( )A.π3 B ．π4 C.π6 D ．2π3课堂练习1．在不等圆中1 rad 的圆心角所对的是( )A ．弦长相等B ．弧长相等C ．弦长等于所在圆的半径D ．弧长等于所在圆的半径2．1920°转化的弧度为( )A.163 B ．323 C.16π3 D ．32π33．－10π3转化为角度是( )A ．－300°B ．－600°C ．－900°D ．－1200° 4．圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.π3 B ．23π C. 3 D ．25．如图，已知圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是( )A.175π36B.125π18C.75π18 D ．349π 6．与－133π终边相同的角的集合是( )A ．{－π3}B ．{5π3}C ．{α|a ＝2k π＋π3，k ∈ZD ．{α|a ＝2k π＋53π，k ∈Z }课后作业基础巩固一、选择题1．2145°转化为弧度数为( )A.163 B.322 C.16π3 D ．143π122．α＝－2 rad ，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．(2015·青岛高二检测)将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( )A ．－π4－8πB ．74π－8π C.π4－10π D ．74π－10π4．下列各式正确的是( )A.π2＝90 B ．π18＝10° C ．3°＝60π D ．38°＝38π5．下列各式不正确的是( )A ．－210°＝－7π6B ．405°＝9π4C ．335°＝23π12D ．705°＝47π126．圆的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则( )A ．扇形的面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 二、填空题7．扇形AOB ，半径为2 cm ，|AB |＝2 2 cm ，则AB 所对的圆心角弧度数为________． 8．(2015·山东潍坊高一检测)如图所示，图中公路弯道处AB 的弧长l ＝________.(精确到1m)．三、解答题9．(1)已知扇形的周长为20 cm ，面积为9 cm 2，求扇形圆心角的弧度数； (2)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm ，求扇形的面积．10．(1)把310°化成弧度；(2)把5π12 rad 化成角度；(3)已知α＝15°、β＝π10、γ＝1、θ＝105°、φ＝7π12，试比较α、β、γ、θ、φ的大小．能力提升一、选择题1．若α3＝2k π＋π3(k ∈Z )，则α2的终边在( )A ．第一象限B ．第四象限C ．x 轴上D ．y 轴上2．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4 C.π4D ．3π43．设集合M ＝{x |x ＝k π2±π4，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k π4，k ∈Z }，则M 、N 之间的关系为( ) A ．N M ⊂ N M ⊄ C ．M ＝N D ．M ∩N ＝Ø4．一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是( )A.12(2－sin1cos1)R 2 B ．12R 2sin1cos1 C.12R 2 D ．R 2－R 2sin1cos1二、填空题5．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是________． 6．若α、β满足－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是________．三、解答题7．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．8．集合A ＝{α|α＝n π2，n ∈Z }∪{α|α＝2n π±2π3，n ∈Z }，B ＝{β|β＝23n π，n ∈Z }∪{β|β＝n π＋π2，n ∈Z }，求A 与B 的关系．1.2.1 单位圆中的三角函数线一、三角函数线1、有向线段：带有___ ___的线段叫做有向线段．2、定义：如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x 轴的非负半轴重合)．3、过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过点A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点，这样就有sin α＝_____，cos α＝______，tan α＝______.单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的______线、______线、______线，统称为三角函数线．①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外．②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或反向延长线)的交点．③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x 轴正方向或y 轴正方向同向的为正值，与x 轴正方向或y 轴正方向反向的为负值．④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后．⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值． 题型一、三角函数线例1、分别作出2π3和4π5的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin 2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π3，tan 2π3和tan 4π5的大小．变式1、(1)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边． ①sin α＝23；②cos α＝－35；③tan α＝2；(2)比较sin1155°与sin(－1654°)的大小；题型二、利用三角函数线解三角不等式 例2、已知sin α≥12，求角α的集合．变式2、(1)利用三角函数线求满足cos α≥12的角α的集合．(2)利用单位圆中的三角函数线求同时满足sin α≤32，cos α≥32的α的取值范围．题型三、利用三角函数线解三角方程 例3、已知sin α＝12，求出角α的取值集合．变式3、解方程：tan α＝－1.题型四、三角函数线的综合应用例4、设α是锐角，利用单位圆和三角函数线证明：sin α<α<tan α.变式4、已知α是锐角，求证：1<sin α＋cos α<π2.例5、求函数y ＝1＋2cos x ＋lg(2sin x ＋3)的定义域．变式5、求函数y ＝lg(1－2cos x )＋1＋2cos x 的定义域． 课堂练习1．下列四个命题中：①α一定时，单位圆的正弦线一定 ②单位圆中，有相同正弦线的角相等 ③α和α＋π有相同的正切线 ④具有相同正切线的两个角的终边在同一直线上． 其中不正确的命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．在下列各组的大小比较中，正确的是( )A ．sin π7>sin π5B ．cos 4π7>cos 5π7C ．tan 9π8>tan 9π7D ．sin π5>tan π53．在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π6，5π6]C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π]4．若tan x ＝33，且－π<x <2π，则满足条件的x 的集合为( ) A ．{π6，7π6} B ．{π3，4π3} C ．{π6，7π6，－5π6}D ．{π3，4π3，－2π3}5．在单位圆中画出满足cos α＝12的角α的终边，并写出α组成的集合．课后作业基础巩固一、选择题1．(2015·江苏苏州五中期中)角α的正弦线、余弦线和正切线的数量分别为a 、b 、c ，如果5π4<α<3π2，那么a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．a >c >b2．已知角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．直线y ＝－x 上 D ．直线y ＝x 上 3．下列各式正确的是( )A ．sin1>sin π3B ．sin1<sin π3C ．sin1＝sin π3D ．sin1≥sin π34．若MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM5．如图所示，角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，过点A 作单位圆的切线AT 交OP 的反向延长线至点T ，则有( )A ．sin α＝OM ，cos α＝PMB ．sin α＝MP ，tan α＝OTC ．cos α＝OM ，tan α＝ATD ．sin α＝MP ，tan α＝AT6．在(0,2π)内，使sin α>cos α成立的α的取值范围是( )A ．(π4，π2)∪(π，5π4)B ．(π4，π)C ．(π4，5π4)D ．(π4，π)∪(5π4，3π2)二、填空题7．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________．8．若角α的正弦线的长度为12，且方向与y 轴的正方向相反，则sin α的值为________．三、解答题9．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0.10．利用单位圆和三角函数线证明：若α为锐角，则 (1)sin α＋cos α>1；能力提升一、选择题1．已知11π6的正弦线为MP ，正切线为AT ，则有( )A ．MP 与AT 的方向相同B ．|MP |＝|AT |C ．MP >0，AT <0D ．MP <0，AT >02．已知α角的正弦线与y 轴正方向相同，余弦线与x 轴正方向相反，但它们的长度相等，则( )A ．sin α＋cos α＝0B ．sin α－cos α＝0C ．tan α＝0D ．sin α＝tan α3．y ＝sin x ＋lgcos xtan x的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π≤x ≤2k π＋π2B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x <2k π＋π2C.{}x |2k π<xk ＋πD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π2<x <2k π＋π2(以上k ∈Z )4．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( )A ．若α、β是第一象限角，则cos α>cos βB ．若α、β是第二象限角，则tan α>tan βC ．若α、β是第三象限角，则cos α>cos βD ．若α、β是第四象限角，则tan α>tan β 二、填空题5．不等式cos x >0的解集是________．6．已知点P (tan α，sin α－cos α)在第一象限，且0≤α≤2π，则角α的取值范围是______________________． 三、解答题7．求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )．8．若0<α<β<π2，试比较β－sin β与α－sin α的大小．1.2.2 同角三角函数的基本关系一、同角三角函数的基本关系 1、关系式：①平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.②商关系：sin αcos α＝______(α≠k π＋π2，k ∈Z )．2、文字叙述：同一个角α的正弦、余弦的__________等于1，商等于角α的__________3、基本关系式有如下的变形形式：sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，1＝sin 2α＋cos 2α；sin α＝tan α·cos α，cos α＝sin αtan α；1±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2.题型一、同角三角函数的基本关系式例1、 (1)若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α等于( )A ．－43B ．34C ．±34D ．±43(2)已知cos α＝－513，求sin α和tan α的值．变式1、已知sin α＝－45，并且α是第三象限的角，求cos α、tan α的值．例2、已知tan α＝3.(1)求sin α和cos α的值；(2)求3sin α－cos α2cos α＋sin α的值；(3)求sin 2α－3sin αcos α＋1的值．变式2、已知tan α＝－12，求下列各式的值：(1)sin α＋2cos α；(2)cos α－5sin α3cos α＋sin α；(3)sin 2α－sin αcos α－3cos 2α5sin αcos α＋sin 2α＋1； (4)2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α.题型二、三角函数式的化简及同角三角恒等式的证明例3、化简下列各式：(1)1－2sin10°cos10°sin10°－1－sin 210°； (2)1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.变式3、已知α是第三象限角，化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.例4、求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.变式4、证明下列三角恒等式：(1)tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α； (2)2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .题型三、与方程有关的三角函数问题例5、已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根．求：(1)sin 3θ＋cos 3θ；(2)tan θ＋1tan θ.变式5、已知sin θ、cos θ是方程4x 2－4mx ＋2m －1＝0的两个根，3π2<θ<2π，求角θ.例6、已知sin θ＋cos θ＝15，且0<θ<π，求sin θ－cos θ的值．变式6、已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4，则cos α－sin α的值为________．课堂练习1．α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( ) A.513 B ．－513 C.512 D ．－5122．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．23．已知sin α－3cos α＝0，则sin 2α＋sin αcos α值为( ) A.95 B ．65C ．3D ．4 4．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，那么这个三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形5．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α(1＋1tan α)＝1sin α＋1cos α. 课后作业基础巩固一、选择题1．已知cos α＝23，则sin 2α等于( )A.59 B ．±59 C.53D ．±532．已知sin α＝23，tan α＝255，则cos α＝( )A.13 B ．53 C.73D ．553．(2013·全国大纲文)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－1213B ．－513 C.513D ．1213 4．(2015·山东济南一中期中)若π<α<3π2，1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α的化简结果为( )A.2tan α B ．－2tan α C.2sin αD ．－2sin α5．(2015·琼海高一检测)若sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θ·cos θ＝( )A ．－417B ．45C ．±417D ．4176．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( )A.15 B ．－15 C.513 D ．－513二、填空题7．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则∠A ＝________. 8．已知tan α＝cos α，那么sin α＝________. 三、解答题9．已知tan α＝7，求下列各式的值．(1)sin α＋cos α2sin α－cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α.10．化简：1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α2(0<α<π2)．能力提升一、选择题1．已知sin α－cos α＝－54，则sin α·cos α等于( )A.74 B ．－916 C ．－932D ．9322．已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg 11－cos A＝n ，则lgsin A 的值为( )A ．m ＋1nB ．m －n C.12(m ＋1n)D ．12(m －n ) 3．如果sin x ＋cos x ＝15，且0<x <π，那么tan x 的值是( )A ．－43B ．－43或－34C ．－34D ．43或－344．若sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，则(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为( )A ．6B ．4C ．2D ．0二、填空题 5．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则tan θ＝________. 6．(2011·上海春季高考)在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝________. 三、解答题7．已知cos α＝－35，且tan α>0，求tan αcos 3α1－sin α的值．8．已知2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝1，求(1)tan α；(2)2sin α－3cos α4sin α－9cos α.1.2 任意角的三角函数第1课时 任意角的三角函数的定义一、任意角的三角函数1、单位圆：在直角坐标系中，称以______为圆心，以__________为半径的圆为单位圆．2、锐角的三角函数：如图所示，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝a，AB＝b，OB＝r，设∠BOA＝α，则有：3、任意角的正弦、余弦、正切：如图所示，α是任意角，以α的顶点O为坐标原点，以α的始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系．设P(x，y)是α的终边与单位圆的交点，则有：4、定义：当α＝__________(k∈Z)时，tanα无意义．除此之外，对于每一个确定的α，都分别有________确定的正弦值、余弦值、正切值与之对应，所以这三个对应法则都是以角α为__________，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，这三个函数统称为_______________，分别记作y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx.5、定义域：如表所示二、三角函数值的符号1、sinα、cosα、tanα在各个象限的符号如下：[小结]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．2、公式一(k∈Z)sin(α＋2kπ)＝______，cos(α＋2kπ)＝__________，tan(α＋2kπ)＝_________.题型一、三角函数的定义例1、已知角的终边落在直线y＝2x上，求sinα、cosα、tanα的值．变式1、已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．题型二、三角函数的符号 例2、确定下列各式的符号：(1)sin105°·cos230°； (2)sin 7π8·tan 7π8； (3)cos6·tan6.变式2、(1)判断下列各式的符号：①sin3·cos4·tan5； ②α是第二象限角，sin α·cos α.(2)若cos θ<0且sin θ>0，则θ2是第( )象限角．A ．一B ．三C ．一或三D ．任意象限角 题型三、诱导公式(一)的应用 例3、求下列各式的值．(1)cos 253π＋tan(－154π)； (2)sin810°＋tan765°－cos360°.变式3、求值：(1)sin(－1 740°)cos1 470°＋cos(－660°)sin750°＋tan405°； (2)sin 217π4＋tan 2(－11π6)tan 9π4.例4、已知角α的终边上一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，求α的各三角函数值．变式4、已知α是第三象限角，sin α＝－35，求cos α的值．课堂练习1．角α的终边上有一点P (1，－1)，则sin α的值是( )A.22 B ．－22 C ．±22D ．1 2．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( )A ．±15B ．±55C ．±255D ．±123．sin 256π等于( )A.12 B ．32 C ．－12 D ．－324．若sin α>0，tan α<0，则α为( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 5．利用定义求sin 5π4、cos 5π4、tan 5π4的值．课后作业基础巩固一、选择题1．若角α的终边上有一点是A (0,2)，则tan α的值是( )A ．－2B ．2C ．1D ．不存在2．已知sin α＝35，cos α＝－45，则角α所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．sin585°的值为( )A ．－22 B ．22 C ．－32 D ．324．若三角形的两内角α、β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都有可能5．若sin α<0且tan α>0，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．若角α的终边过点(－3，－2)，则( )A ．sin αtan α>0B ．cos αtan α>0C ．sin αcos α>0D ．sin αcos α<0 二、填空题7．sin90°＋2cos0°－3sin270°＋10cos180°＝________. 8．使得lg(cos θ·tan θ)有意义的角θ是第________象限角． 三、解答题9．判断下列各式的符号．(1)tan250°cos(－350°)；(2)cos115°tan250°.10．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，求tan α的值．能力提升一、选择题1．若α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．tan α2D ．cos2α2．在△ABC 中，若sin A ·cos B ·tan C <0，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形 3．α是第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且cos α＝－155，则sin α的值为( ) A.105 B ．64 C.24D ．－1054．如果α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( )A.12 B ．－12 C ．－32 D ．－33二、填空题5．已知角α的终边经过点P (3，－4t )，且sin(2k π＋α)＝－35，其中k ∈Z ，则t 的值为________．6．已知角α的终边在直线y ＝2x 上，则sin α＋cos α的值为________． 三、解答题7．(2015·黑龙江五校联考)已知角θ的终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m ，求cos θ与tan θ的值．8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lgcos α有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点是M (35，m )，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．1.3 三角函数的诱导公式 1.3.1 诱导公式二、三、四一、特殊角的终边对称性1、π＋α的终边与角α的终边关于________对称，如图(1)；2、－α的终边与角α的终边关于______对称，如图(2)；3、π－α的终边与角α的终边关于______对称，如图(3)；4、π2－α的终边与角α的终边关于直线______对称，如图(4)．题型一、求值问题例1、求下列各三角函数的值；(1)sin(－945°)； (2)cos(－16π3)．变式1、求下列三角函数值：(1)sin960°； (2)cos(－43π6)．题型二、条件求值题例2、 (1)已知cos(π6－α)＝33，求cos(5π6＋α)－sin 2(α－π6)的值；(2)已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．变式2、已知sin(π3－α)＝12，求cos 2(α＋π3)·sin(2π3＋α)的值．题型三、三角函数式的化简问题 例3、化简：(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)； (2)sin 2(α＋π)cos (π＋α)tan (π－α)cos 3(－α－π)tan (－α－2π).变式3、化简：(1)cos (π＋α)cos (3π－α)tan (π＋α)sin (π＋α)cos (－α－π)； (2)sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°).题型四、三角函数式的证明问题例4、设tan(α＋8π7)＝m ，求证：sin (15π7＋α)＋3cos (α－13π7)sin (20π7－α)－cos (α＋22π7)＝m ＋3m ＋1.变式4、已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.例5、化简：cos(4n ＋14π＋x )＋cos(4n －14π－x )(n ∈Z )．变式5、设k 为整数，化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α).课堂练习1．已知sin(π＋θ)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等式关系中必定成立的是( )A ．sin θ<0，cos θ>0B ．sin θ>0，cos θ<0C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0 2．在直角坐标系中，若α与β的终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是( ) A ．sin(α＋π)＝sin βB ．sin(α－π)＝sin β C ．sin(2π－α)＝－sin βD ．sin(－α)＝sin β 3．sin585°的值为( )A ．－22 B ．22 C ．－32D ．324．tan690°的值为( )A ．－33 B ．33C. 3 D ．－ 35．已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )A ．－45B ．45C ．±45D ．35课后作业基础巩固一、选择题1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是( )A ．α一定是锐角B ．0≤α<2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角 2．下列各式不正确的是( )A ．sin(α＋180°)＝－sin αB ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)C ．sin(－α－360°)＝－sin αD ．cos(－α－β)＝cos(α＋β) 3．cos(－20π3)等于( )A.12 B ．32 C ．－12D ．－324．(2015·广东揭阳第一中学期中)tan300°＝( )A. 3 B ．－ 3 C.33D ．－335．sin600°＋tan240°的值是( )A ．－32 B ．32 C ．－12＋ 3 D ．12＋ 3 6．已知tan5°＝t ，则tan(－365°)＝( )A ．tB ．360°＋tC ．－tD ．与t 无关二、填空题7．(2015·杭州调研)若sin(π＋α)＝12，α∈(－π2，0)，则tan α＝________.8．已知α∈(0，π2)，tan(π－α)＝－34，则sin α＝______.三、解答题9．求值：(1)sin1 320°；(2)cos(－31π6)．10、已知()()()()()31010000lg 180cos 180sin 540sin 360sin 180cos =----+++ααααα， 求()()[]()()()πααπαπααπααπ2cos cos cos 2cos 1cos cos cos ---+--+的值能力提升一、选择题1．设tan(5π＋α)＝m (α≠k π＋π2，k ∈Z )，则α－3π＋π－α－α－π＋α的值为( )A.m ＋1m －1 B ．m －1m ＋1C ．－1D ．12．若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin(α－5π)·cos(3π－α)等于( )A.34 B ．310 C ．±310 D ．－3103．已知n 为整数，化简()()απαπ++n n cos sin 所得结果是( ) A ．tan(n α) B ．－tan(n α) C ．tan αD ．－tan α4．若α∈(－π2，0)，且sin(π－α)＝log 814，则tan(2π－α)等于( )A ．－52 B ．52 C ．－255D ．255二、填空题5．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2014)＝－1，则f (2015)等于________．6．若cos(π6＋θ)＝33，则cos(5π6－θ)＝________.三、解答题7．已知α是第四象限角，且()()()()()()σππσπσσπσπσ-+-+---=3sin tan 2tan 2cos sin f (1)化简f (α)；(2)若sin α＝－35，求f (α)；(3)若α＝－31π3，求f (α)．8．已知tan α，1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两实根，且3π<α<7π2.求cos(3π＋α)＋sin(π＋α)的值．1.3.2 诱导公式五、六题型一、利用诱导公式进行化简、求值例1、已知α是第三象限角，f (α)＝()()()παπααπαπ--⎪⎭⎫ ⎝⎛+---cos 23tan 2cos sin(1)若cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23πα＝15，求f (α)的值；(2)若α＝－1920°，求f (α)的值．变式1、若sin(3π＋θ)＝14求cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ)的值．题型二、三角恒等式的证明例2、求证：2sin (θ－32π)cos (θ＋π2)－11－2sin 2(π＋θ)＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1.变式2、求证：tan (2π－α)cos (3π2－α)cos (6π－α)sin (α＋3π2)cos (α＋3π2)＝－tan α.题型三、存在性、探索性问题 例3、是否存在α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎪⎭⎫⎝⎛-βπ2，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α、 β的值；若不存在，说明理由．变式3、已知sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°为定值，这是因为1°＋89°＝90°，2°＋88°＝90°，…，则cos π2k ＋1＋cos 2π2k ＋1＋…＋cos 2k －12k ＋1π＋cos 2k2k ＋1π(k ∈Z )是否可以为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．例4、已知sin(π4－α)＝a,0<α<π2，求sin(5π4＋α)．变式4、已知cos(π＋α)＝－12，求cos(π2＋α)的值．课堂练习1．若cos65°＝a ，则sin25°的值是( )A ．－aB ．A C.1－a 2D ．－1－a 22．若sin(π2＋θ)<0，且cos(π2－θ)>0，则θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．已知cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ2＝－35，且α是第二象限角，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23πα的结果是( )A.45 B ．－45 C ．±45 D ．354．已知sin α＝35，则sin(π2＋α)的值为( )A ．－35B ．－45 C.45D ．±455．已知sin(α＋π4)＝13，则cos(π4－α)的值为( )A.223 B ．－223 C.13D ．－13课后作业基础巩固一、选择题1．(2013·广东文)已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15 C.15D ．252．已知sin α＝513，则cos(π2＋α)等于( )A.513 B ．1213 C ．－513D ．－12133．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( )A ．－12B ．12 C.32D ．－324．已知cos(3π2＋α)＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)( )A.45 B ．－45 C ．±45D ．355．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )A ．－2a 3B ．－3a 2 C.2a 3D ．3a26．(2015·山东济南一中期中)若sin(π3－α)＝13，则cos(5π6－α)的值为( )A.13 B ．－13 C.223 D ．－223二、填空题7．化简⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+απαππααπ23cos 29sin 2cos 215sin =________.8．已知sin(α－π4)＝35，那么cos(α＋π4)的值是__________．三、解答题9．化简：()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛++---⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+απαπαπαπαπαπαπαπ25sin sin 3sin sin 27cos 2cos cos 2sin .10．已知αs i n 是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπαππαα2cos 2cos tan 23sin 23sin 3的值．能力提升一、选择题1．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )等于( )A ．3－cos2xB ．3－sin2xC ．3＋cos2xD ．3＋sin2x2．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )A ．cos(A ＋B )＝cosC B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos(A 2＋C )＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A23．α为锐角，2tan(π－α)＝3cos(π2＋β)＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α＝( )A.355 B ．377 C.31010D ．134．已知sin(π6－α)＝12，那么cos(2π3－α)＝( )A.32 B ．－32 C.12D ．－12二、填空题5．已知sin(π2＋α)＝34，则sin(π2－α)＝________.6．化简()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-απαπααπ221cos 23sin cos 25cos =________. 三、解答题7．若sin(180°＋α)＝－1010，0°<α<90°.求()()()()αααα--+---+-000270cos 540cos 90sin sin 的值．8．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2对应三个内角的正弦值，那么(1)试判断△A 1B 1C 1是锐角三角形吗？(2)试借助诱导公式证明△A 2B 2C 2中必有一个角为钝角．1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象一、正、余弦函数图象的画法1、几何法：利用正弦线画函数y ＝sinx ，x ∈[0,2π]的图象，是把角x 的____________向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到函数y ＝sinx ，x ∈[0,2π]的图象．2、y ＝sinx ，x ∈[0,2π]的图象向___、___平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sinx ，x ∈R 的图象．3、五点法：用“五点法”作函数y ＝sinx ，x ∈[0,2π]的图象的步骤是： ①列表：②描点：在平面直角坐标系中描出五点：(0,0)，_________ ，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．③用____________顺次连接这五个点，得正弦曲线在[0,2π]上的简图． 3、正弦曲线、余弦曲线(1)定义：正弦函数y ＝sinx ，x ∈R 和余弦函数y ＝cosx ，x ∈R 的图象分别叫做______曲线和_______曲线． (2)图象：如图所示．题型一、“五点法”画函数简图例1、用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图．(1)y ＝2－sinx ； (2)y ＝cosx －1.变式1、用“五点法”作出函数y ＝3＋2cosx 在一个周期内的图象．题型二、三角函数的图象变换例2、利用图象变换作出下列函数的简图：(1)y ＝1－cosx ，x ∈[0,2π]； (2)y ＝|sinx|，x ∈[0,4π]．变式2、利用图象变换作出函数y ＝sin|x|，x ∈[－2π，2π]的简图．题型三、正、余弦函数图象的简单应用例3、画出正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的简图，并根据图象写出y ≥12时x 的集合．变式3、函数f(x)＝sinx ＋2|sinx|，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围． 课堂练习1．关于函数y ＝sinx ，x ∈R 的图象描述不正确的是( ) A ．介于直线y ＝±1之间 B ．关于x 轴对称 C ．与y 轴只有一个交点D ．在x ∈[2k π，2k π＋2π](k ∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同 2．函数y ＝－sin x ，x ∈[－π2，3π2]的简图是( )。
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3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、教学设想： （一）导入：问题1：我们在初中时就知道 cos 452=，cos302= ，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-= 大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30- 呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-= （二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示。
思考1：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.） 思考2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？ （2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()1cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin3022224=+=-=-=()12c o s 15c o s 4530c o s 45c o s 30s i n 4n 30222=-=+=+点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=- ，要学会灵活运用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.思考：本题中没有),2ππα⎝⎛∈，呢？ （四）练习：1.不查表计算下列各式的值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（解:︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ 2160cos )2080cos(=︒=︒-︒= 2．教材P127面1、2、3、4题（五）小结：两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（1）牢记公式．S S C C C ⋅+⋅=-)(βα（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系． （六）作业：《习案》作业二十九3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、教学设想： （一）复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+． （2）cos sin =α？ （二）新课讲授问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？ 探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 探究3、我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈5、将)(βα+S 、)(βα+C 、)(βα+T 称为和角公式，)(βα-S 、)(βα-C 、)(βα-T 称为差角公式。
（三）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===，3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ，于是有：43sin sin cos cos sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭思考：在本题中，)4cos()4sin(απαπ+=-，那么对任意角α，此等式成立吗？若成立你能否证明？练习：教材P131面1、2、3、4题 例2、已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．（322） 例3、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）、cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）、1tan151tan15+-．解：（1）、()1s i n72c o s 42c o s 72s i n 42s i n7242s i n 302-=-==； （2）、()c os 20c o s 70s i n 20s i n 70c o s 2070c o s 900-=+==；（3）、()1t a n 15t a n 45ta n 15t a n 4515t a n 6031t a n 151t a n 45t a n 15++==+==--．练习：教材P131面5题（四）小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，学会灵活运用. （五）作业：《习案》作业三十。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）一、教学目标1、理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式，体会三角恒等变换特点的过程；2、掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换。
二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、教学设想：（一）复习式导入：（1）基本公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-βαβαβαs i n c o s c o s s i n )s i n (+=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (-=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- βαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (⋅-+=+（2）练习：教材P132面第6题。
思考：怎样求ααcos sin b a +类型？ （二）新课讲授例1x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 302x x x x x x x ⎫-==-=-⎪⎪⎭思考：=，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于12和2的. 归纳：bab a b a =++=+ϕϕαααtan )sin(cos sin 22 例2、已知：函数R x x x x f ∈-=,cos 32sin 2)(（1） 求)(x f 的最值。
（2）求)(x f 的周期、单调性。
例3．已知A 、B 、C 为△ABC 的三內角，向量)3,1(-=m ，)sin ,(cos A A n = ，且1=∙n m，（1） 求角A 。
（2）若3sin cos cos sin 2122-=-∙+BB BB ，求tanC 的值。
练习：（1）教材P132面7题（2）在△ABC 中，B A B A cos cos sin sin ，则△ABC 为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形 （2）的值为12sin12cos3ππ-（ ）A ． 0B ．2C ．2D ．2-思考：已知432πβπ，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求α2sin 三、小结：掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换 四、作业：《习案》作业三十一的1、2、3题。
3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、教学设想：（一）复习式导入：首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-βαβαβαs i n c o s c o s s i n )s i n (+=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (-=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- βαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (⋅-+=+练习：（1）在△ABC 中，B A B A cos cos sin sin <，则△ABC 为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形 （2）的值为12sin12cos3ππ-（ ）A ． 0B ．2C ．2D ．2-思考：已知432πβπ<<，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求α2sin 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， （二）公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈（三）例题讲解 例1、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<．又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=-⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯=⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 例2．在△ABC 中，54cos =A ，。