固体物理作业3.4
固体物理课件3.4
2) 光子与光学波声子的相互作用 —— 光子的拉曼散射 能量守恒 ℏω '−ℏω = ± ℏω ( q ) 动量守恒 ℏk '− ℏk = ± ℏq ± ℏK m —— 可见光或红外光波矢很小 要求声子的波矢必须很小 —— 光子的拉曼散射限于光子与长光学波声子的相互作用 散射光和入射光频率位移
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3 中子非弹性散射
p2 入射晶体时中子的动量和能量 p and E = 2M n p '2 出射晶体后中子的动量和能量 p ' and E ' = 2M n
能量守恒
p' p − = ± ℏω ( q ) 2M n 2M n + : ℏω ( q ) − : ℏω ( q ) Absorb a Phonon Emit a Phonon
p − p ' = ± ℏq ± ℏK m
—— 得到声子的振动谱 ω ( q ) ~ q —— 从反应堆出来的慢中子的能量与声子的能量接近， 从反应堆出来的慢中子的能量与声子的能量接近，测 定中子散射前后能量变化， 定中子散射前后能量变化，直接给出声子能量的信息
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—— 入射光子受到声子散射， 入射光子受到声子散射，在晶格中放出一个声子 或者吸收一个声子
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1) 光子与长声学波声子相互作用 —— 光子的布里渊散射 长声学波声子
ω ( q) = v p q
c 光子的频率 ω = k = v n k n
—— 可见光光子的波矢 ~104 cm-1
固体物理（胡安）课后答案（可编辑）
固体物理(胡安)课后答案第一章晶体的结构及其对称性1.1石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构,试问它是简单还是复式格子。
为什么?作出这一结构所对应的两维点阵和初基元胞。
解:石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。
因为如图点A和点B的格点在晶格结构中所处的地位不同,并不完全等价,平移A→B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。
1.2在正交直角坐标系中,若矢量,,,为单位向量。
为整数。
问下列情况属于什么点阵?(a)当为全奇或全偶时;(b)当之和为偶数时。
解:当为全奇或全偶时为面心立方结构点阵,当之和为偶数时是面心立方结构1.3 在上题中若奇数位上有负离子,偶数位上有正离子,问这一离子晶体属于什么结构?解:是离子晶体,属于氯化钠结构。
1.4 (a)分别证明,面心立方(fcc)和体心立方(bcc)点阵的惯用初基元胞三基矢间夹角相等,对fcc为,对bcc为(b)在金刚石结构中,作任意原子与其四个最近邻原子的连线。
证明任意两条线之间夹角θ均为解:(1)对于面心立方 (2)对于体心立方 (3)对于金刚石晶胞1.5 证明:在六角晶系中密勒指数为(h,k,l)的晶面族间距为证明:元胞基矢的体积倒格子基矢倒格矢:晶面间距1.6 证明:底心正交的倒点阵仍为底心正交的。
证明:简单六角点阵的第一布里渊区是一个六角正棱柱体底心正交点阵的惯用晶胞如图: 初级晶胞体积: 倒易点阵的基矢: 这组基矢确定的面是正交底心点阵1.7 证明:正点阵是其本身的倒易点阵的倒格子。
证明:倒易点阵初级元胞的体积:是初基元胞的体积而由于而或:现在证明: 又令又:代入同理 1.8 从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。
解: 1.9 试解释为什么:(a)四角(四方)晶系中没有底心四角和面心四角点阵。
(b)立方晶系中没有底心立方点阵。
(c)六角晶中只有简单六角点阵。
解:(a)因为四方晶系加底心,会失去4次轴。
(b)因为立方晶系加底心,将失去3次轴。
王淑华固体物理答案第三章
3.4 由原子质量分别为 m, M 两种原子相间排列组成的一维复 式格子，晶格常数为 a ，任一个原子与最近邻原子的间距 为 b ，恢复力常数为 β1 ，与次近邻原子间的恢复力常数 β2 ， 试求 （1）格波的色散关系； （2）求出光学波和声学波的频率最大值和最小值。 解：（1）只考虑最近邻原子的相互作用
由上式可知，存在两种独立的格波。
声学格波的色散关系为
12 β β 4 β β qa 2 2 1 2 1 2 ωA sin 1 1 2 m 2 β1 β2
光学格波的色散关系为
12 β β 4 β β qa 2 2 1 2 1 2 ωO sin 1 1 2 m 2 β1 β2
为角频率； 式中，A为轻原子的振幅；B为重原子的振幅；
q 2 为波矢。
将试探解代入运动方程有
m 2 A e iaq e iaq B 2 A
M 2 B e iaq e iaq A 2B
(1)
经整理变成
2 A 2 cos aqB 0 2 2 cosaqA M 2 B 0
2
m
要A、B有不全为零的解，方程(1)的系数行列式必须等于零， 从中解得
12 2 2 m M m M 2mM cos 2aq mM 2
(2)
式中的“+”“－”分别给出两种频率，对应光学支格波和声学支 格波。上式表明， 是q的周期函数， 2a q 2a 。当q取 边界值，即 q 2a 时，从(2)式得
孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.4能带结构的其它计算方法
( ) r) ,相互作用势依赖于 i ( r ) ,同时 i ( r ) 由于nr i( i i ( r ) 既出现 又要由薛定谔方程来决定,也就是说， 在系数中,同时又是方程的解.所以,必须用自洽的 计算方法—迭代法来处理.这种求解工作量很大, 需借助计算机进行. 求解思路： 1).首先确定所研究晶体的结构和组成(确知价 电子并计算出电荷密度)； 2). 确定初始的单电子势 V ( r ) ；
3.密度泛函理论(density functional theory) 该理论是对哈特利—福克(Hartree—Fock)近 似,亦即将多电子问题化为单电子问题的更严格、 更精确的描述. (具体内容可参考谢希德、陆栋主 编的《固体能带理论》17）. 在密度泛函理论基础之上的局域密度近似 (local density approximation,简称为LDFT)框架 下的计算 ,在大多数情况下能得到较好的结果。 密度泛函理论的基础是非均匀相互作用电子 系统的基态能量由基态电荷密度唯一确定,是基态 电子密度n ( r ) 的泛函.阎守胜书P287(12.1.3)给出了 证明;同时给出了当电子密度的空间变化缓慢时,由 局域密度近似得到的单电子薛定谔方程.
内层电子的能带---窄带；外层电子的能带---宽带 通常把被电子填满的最高能带称为价带，而把 最低空带或半满带称为导带(后面我们还要讨论). 固体的物性主要取决于价带和导带中的电子.而对 于这些外层电子而言,离子实区内和离子实区外是 两种性质不同的区域. 离子实区外,电子感受到的是弱的势场的作用, 波函数很平滑,类似于平面波;离子实区内由于强 烈的局域势作用,波函数急剧振荡,可由紧束缚波 函数来描述。 外层电子(价带和导带中的电子)的波函数可由 两者的线性组合来描述。
(2)
固体物理习题解答
，在 时为
.(课本数据有误)
试计算
(1) 费米能和费米温度；
(2) 费米球的半径；
(3) 费米速度；
(4) 费米球的最大横截面积；
(5) 室温下和绝对零度附近电子的平均自由程.
解：电子数密度
.
费米波矢
(1) 费米能
费米温度
(2) 费米球的半径 (3) 费米速度
(4) 费米球的最大横截面
(5) 平均自由时间
证：比热
高温时,
，即
按 Maclaurin 公式展开 取前三项有
,其中
,
.
, 很小，于是
， ,于是
4.(3.12)设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势能为
为待定常数，平衡间距 解：平衡时，有
，求线膨胀系数 .
线膨胀系数
,
其中
,
.
即
10 / 15
1.(4.3)如果已知空位形成能为 是多少?
解：
作业 5
应满足布洛赫定理，若晶格常数为 ，电子的波函数为
(2)
.
(3)
( 是某个确定的函数)
试求电子在这些状态的波矢.
解：一维布洛赫定理为
.
(1)
(2) (3) 2(6.2)设一维电子能带可以写成
其中 为晶格常数，试求 (1) 能带的宽度； (2) 电子的平均速度； (3) 能带底部和顶部的电子有效质量.
解：(1)
马德隆常数
，对于一维晶格，选取一个正离子作为参考离子，在求和中对负离子取正号，
对正离子取负号，参考离子两边的离子是对称分布的，则有
时，由
两边积分，有
取 ，得
故由两种离子组成、间距为 的一维晶格的马德隆常数
《固体物理学》房晓勇主编教材-思考题解答参考03第三章_晶体振动和晶体的热学性质
第三章晶体振动和晶体的热学性质3.1相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？解答：（王矜奉3.1.1，中南大学3.1.1）以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由《固体物理学》第79页公式，可得两原子振幅之比(1)其中m原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别为, (2). (3)将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为, (4). (5)由于=，则由(4)(5)两式可得,1B A=. 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.3.2 试说明格波和弹性波有何不同？解答：晶格中各个原子间的振动相互关系3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？解答：（王矜奉3.1.2，中南大学3.1.2）（1）方便于求解原子运动方程.由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.（2）与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(《固体物理学》§3.1与§3.6). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.3.4 试说明在布里渊区的边界上()/q π=a ，一维单原子晶格的振动解n x 不代表行波而代表驻波。
《固体物理学》答案[1]
![《固体物理学》答案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/f8d34b12866fb84ae45c8da9.png)
* v0 =
(2π )3 v0
1.5 证明：倒格子矢量 G = h1b1 + h2 b2 + h3b3 垂直于密勒指数为 ( h1h2 h3 ) 的晶面系。 证：
v v v uuu v uuu r a r a a a CA = 1 − 3 , CB = 2 − 3 h1 h3 h2 h3 uuu r v Gh1h2h3 ⋅ CA = 0 容易证明 v uuu r Gh1h2h3 ⋅ CB = 0 v v v v G = h1b1 + h2b2 + h3b3 与晶面系 (h1h2 h3 ) 正交。 v v v h k l ( ) 2 + ( )2 + ( )2 ；说明面 a b c
图 1.3 体心立方晶胞
（2）对体心立方晶体，任一个原子有 8 个最近邻，若原子刚性球堆积，如图 1.3 所示，体心位置 O 的原 子 8 个角顶位置的原子球相切， 因为晶胞空间对角线的长度为 3a = 4r , V = a 3 , 晶胞内包含 2 个原子， 所
2* 4 3π( 以ρ = a3
3a 3 4
−
3 ε 23 2 1 − ε 23 2 ε 33
由上式可得
ε 23 = 0, ε 32 = 0, ε 11 = ε 22 . ε 11 ε = 0 0 0 ε 11 0 0 0 . ε 33
于是得到六角晶系的介电常数
附：证明不存在 5 度旋转对称轴。 证：如下面所示，A,B 是同一晶列上 O 格点的两个最近邻格点，如果绕通过 O 点并垂直于纸面的转轴顺时 针旋转θ 角，则 A 格点转到 A 点，若此时晶格自身重合，点处原来必定有一格点，如果再绕通过 O 点的
3a = 8r , 晶胞体积 V = a 3
高二物理人教版课堂练习《固体》作业
高二物理《固体》作业1.一个外形规则的固体，表面形状为六面体，则关于它的说法，正确的有()A．一定是单晶体B．一定是多晶体C．一定是非晶体D．可能是晶体，也可能是非晶体2.关于晶体和非晶体，下列说法中正确的是()A．有规则的几何外形的固体一定是晶体B．晶体在物理性质上一定是各向异性的C．非晶体在适当的条件下可能转化为晶体D．晶体有确定的熔点，非晶体没有确定的熔点3.在图甲、乙、丙三种固体薄片上涂蜡，由烧热的针接触其上一点，蜡熔化的范围如图甲、乙、丙所示，而甲、乙、丙三种固体在熔化过程中温度随加热时间变化的关系如图丁所示，以下说法正确的是()A．甲、乙为非晶体，丙是晶体B．甲、乙为晶体，丙是非晶体C．甲、丙为非晶体，乙是晶体D．甲为多晶体，乙为非晶体，丙为单晶体4.关于晶体和非晶体，下列说法中正确的是()A．可以根据各向同性或各向异性来鉴别晶体和非晶体B．一块均匀薄片，沿各个方向对它施加拉力，发现其强度一样，则此薄片一定是非晶体C．一个固体球，如果沿其各条直径方向的导电性不同，则该球一定是单晶体D．一块晶体，若其各个方向的导热性相同，则一定是多晶体5.下列叙述中正确的是()A．晶体的各向异性是由于它的微粒按空间点阵排列B．单晶体具有规则的几何形状是由于它的微粒按一定规律排列C．多晶体有确定的熔点是因为物质微粒的有规则排列D．石墨的硬度与金刚石相比差得多，是由于它的微粒没有按空间点阵分布6.关于石墨和金刚石的区别，下面说法正确的是()A．石墨和金刚石是同种物质微粒组成的空间结构相同的晶体B．金刚石晶体结构紧密，所以质地坚硬，石墨晶体是层状结构，所以质地松软C．石墨与金刚石是不同的物质微粒组成的不同晶体D．石墨导电，金刚石不导电是由于组成它们的化学元素不同7.下列说法正确的是()A．将一块晶体敲碎后，得到的小颗粒是非晶体B．固体可以分为晶体和非晶体两类，有些晶体在不同方向上有不同的光学性质C．由同种元素构成的固体，可能会由于原子的排列方式不同而成为不同的晶体D．在合适的条件下，某些晶体可以转变为非晶体，某些非晶体也可以转变为晶体E．在熔化过程中，晶体要吸收热量，但温度保持不变，内能也保持不变《固体》作业答案1.解析：选D.物体具有规则的几何形状可能是机械加工造成的，它可能是单晶体、多晶体和非晶体，故选D.2.判断晶体与非晶体的关键是有没有确定的熔点．因为外形是否规则可以用人工的方法处理，所以A错误；多晶体在物理性质上是各向同性的，B错误；实验证明非晶体在适当的条件下可以转化为晶体，C正确；晶体与非晶体的区别表现在是否有确定的熔点，D正确．故选CD.3.由图甲、乙、丙可知：甲、乙各向同性，丙各向异性；由图丁可知：甲、丙有固定熔点，乙无固定熔点，所以甲、丙为晶体，乙为非晶体，其中甲为多晶体，丙为单晶体．故D正确．故选D.4.多晶体和非晶体都显示各向同性，只有单晶体显示各向异性，A、B错误，C正确；单晶体具有各向异性的特性，仅是指某些物理性质，并不是所有的物理性质都是各向异性的，换言之，某一物质的物理性质显示各向同性，并不意味着该物质一定不是单晶体，D错误．故选C5.晶体内部微粒排列的空间结构不同决定着晶体的物理性质不同，也正是由于微粒按一定规律排列，使单晶体具有规则的几何形状．石墨与金刚石的硬度相差很大是由于它们内部微粒的排列结构不同，石墨的层状结构决定了它的质地柔软，而金刚石的网状结构决定了碳原子间的作用力很强，所以金刚石有很大的硬度．多晶体在熔化时需破坏晶粒的空间点阵，故有确定的熔点．故选ABC6.由化学知识知道，石墨和金刚石是碳的同素异构体，其化学性质相同．它们的分子的空间结构不同，石墨中的碳原子排列为层状结构，层与层之间距离很大，所以其质地松软；金刚石中的碳原子排列紧密，相互间作用力很强，所以其质地坚硬．显然A、C、D错误，B正确．故选B7.将一块晶体敲碎后，得到的小颗粒仍是晶体，故选项A错误．单晶体具有各向异性，有些单晶体沿不同方向上的光学性质不同，故选项B正确．例如金刚石和石墨由同种元素构成，但由于原子的排列方式不同而成为不同的晶体，故选项C正确．晶体与非晶体在一定条件下可以相互转化．如天然水晶是晶体，熔融过的水晶(即石英玻璃)是非晶体，也有些非晶体在一定条件下可转化为晶体，故选项D正确．熔化过程中，晶体的温度不变，但内能改变，故选项E错误．故选BCD.。