固体物理作业
《固体物理》作业
⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=+-=+=k c j a i a j a i a a aa 321232232选做题•1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比。
•2. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ •3. 晶面指数为（123）的晶面中ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基矢a1、a2和a3重合，除O 点外,OA 、OB 和OC 上是否有格点？ 若ABC 面的指数为（234），情况又如何？• 4.求晶格常数为a 的体心立方晶面族（h1h2h3）的面间距。
•5.对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =a i +2a j +2a k 正交的倒格子晶面族的面指数为( ), 其面间距为( )。
• 6. FCC 晶胞中的（1 0 0）面在其原胞中的晶面指数是多少？• 7. 轴对称的证明。
必做题1. 分析HPC 原胞取法，（即画原胞）2. 平面蜂房结构如何取原胞、确定基矢。
3. （课本1、3、4、5、6、7题）1． 何谓布喇菲格子（布格子）？画出氯化钠晶体的结点所构成的布格子。
何以金刚石结构是复式格子？2．3． 体心立方格子和面心立方格子互为正、倒格子。
试证明之。
4． 若基矢a ，b ，c 构成正交体系，试证：晶面族（hkl ）的面间距为d hkl =5． 对于六角密集结构，固体物理学中原胞的基矢为：，求其倒格子的基矢。
6． 试证六角密集结构中， 。
7．如将等体积的硬球堆积成下列结构，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为：简立方： 6π； 体心立方： π83； 面心立方： π62； 六角密集：π62； 金刚石：π163。
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++c l b k a h 1633.1382/1=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a c书上T13、T14.3.一对分子间的总的相互作用势能可以导为：U （r ）=126rB r A +-，或者写为雷纳德-琼斯势：U （r ）=4ε]r r [126）（）（σσ+-,其中B 4A A B 26/1≡≡εσ；）（。
固体物理学作业
2、温度T=0时若测得铜单晶（面心立方）的晶格常数为a, 假设纵波和横波的传播速度均为p，试求出铜的德拜温度。
解：由德拜模型
cq vp q
4 3
(D
/
vp )3
(2 )3 N
/V
D vp (6 2 N / V )1/3
vp (6 2 4 / a3 )1/3
vp (24 )2 1/3 / a
32
2
c 8 a3
晶格常数：a、c
2、假设晶格常数为a，试分别计算简立方、体心 立方和面心立方结构晶胞的致密度。
解： 简立方：
一个晶胞中的原子数为1个，原子半径为a/2,
致密度＝ Va Vc
＝
4
/
3
(a a3
/
2)3
1
0.52
体心立方：
一个晶胞中的原子数为2个，原子半径为 3a / 4,
周期性势场中的电子可能具有的能量是分段存在的。每两个 可取的许可能量段之间为一不允许的能量范围所隔开。这些 能量范围均称为能带，其中允许的能量范围称为许可带，不 允许的能量范围称为禁带。
当原子与原子结合成固体时，其电子既有共有化运动也有原 子内运动，由于周期场的作用，使得电子的能量E（k）函数 在布里渊区边界处出现不连续，发生能量的突变。电子的能 量取值就表现为由能量的允带和禁带 相间组成的能带结构。
2、请计算一维复式格子振动中，在布里渊区中心和边界， 声学波和光学波的频率各是多少？
2
mM
[(m
M)
(m2Leabharlann M22mM
cos 2qa)1/2 ]
固体物理作业
固体物理作业1.分别用空间点阵、晶格和原胞的概念给晶体下一个定义。
2.简单阐述下列概念：I.晶格、晶胞、晶列、晶向、晶面、晶系。
II.固体物理学原胞（初级原胞）、结晶学原胞（惯用原胞）和魏格纳赛斥原胞（W-S 原胞）。
III.正格子、倒格子、布喇菲格子和复式格子。
3.晶体的重要结合类型有哪些，他们的基本特征为何？4.为什么晶体的稳定结合需要引力外还需要排斥力？排斥力的来源是什么？5.何谓声子？试将声子的性质与光子作一个比较。
6.何谓夫伦克耳缺陷和肖脱基缺陷？7.自由电子气体的模型的基本假设是什么？8.绝缘体中的镜带或能隙的起因是什么？9.试简述重要的半导体材料的晶格结构、特征。
10.超导体的基本电磁性质是什么？作业解答：1.分别用空间点阵、晶格和原胞的概念给晶体下一个定义。
解答：I. 取一个阵点做顶点，以不同方向上的平移周期a、b、c为棱长，做一个平行六面体，这样的平行六面体叫做晶胞。
由很多个晶胞结合在一起构成晶体。
II. 在空间点阵各个点上配置一些粒子，就构成了晶格。
晶格是晶体矩阵所形成的空间网状结构。
在网状结构的点上配置一些结构就构成了晶体。
III. 在空间无限排列最小的结构称为原胞，原胞是构成了晶体的最小结构。
2.简单阐述下列概念：解答：I . 晶格、晶胞、晶列、晶向、晶面、晶系。
晶格：又称晶架，是指的晶体矩阵所形成的空间网状结构——说白了就是晶胞的排列方式。
把每一个晶胞抽象成一个点，连接这些点就构成了晶格。
晶胞：顾名思义，则是衡量晶体结构的最小单元。
众所周知，晶体具有平移对称性。
在一个无限延伸的晶体网络中取出一个最小的结构，使其能够在空间内密铺构成整个晶体，那么这个立体就叫做晶胞。
简而言之，晶胞就是晶体平移对称的最小单位。
晶列：沿晶格的不同方向晶体性质不同。
布喇菲格子的格点可以看成分裂在一系列相互平行的直线系上,这些直线系称为晶列。
晶向：布喇菲格子可以形成方向不同的晶列,每一个晶列定义了一个反向，称为晶向。
固体物理作业及答案
固体物理作业2.1 光子的波长为20 nm ，求其相应的动量与能量。
答：由λhP =，υh E =得：动量12693410313.3102010626.6----⋅⋅⨯=⨯⋅⨯==m s J ms J hP λ 能量J ms m s J chh E 189183410932.9102010998.210626.6----⨯=⨯⋅⨯⨯⋅⨯===λυ2.2 作一维运动的某粒子的波函数可表达为：, 求归一化常数A? 粒子在何处的几率最大？答：再由2)()(x x ψω=得：222)()(x a x A x -=ω 其中 a x ≤≤0；322222462)(x A x aA x A a dx x d +-=ω 令0)(=dx x d ω得：2,21a x a x ==而a x =1时，0)(=x ω，显然不是最大； 故当22ax =时，粒子的几率最大。
3.1 晶体中原子间的排斥作用和吸引作用有何关系？在什么情况下排斥力和吸引力分别起主导作用？ 答：在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r , 当相邻原子间的距离0r r 时, 吸引力起主导作用;当相邻原子间的距离0r r 时, 排斥力起主导作用。
3.2已知某晶体中相邻两原子间的相互作用势能可表达为：(1) 求出平衡时两原子间的距离；(2) 平衡时的结合能；(3) 若取m=2, n=10，两原子间的平衡距离为3 Å，晶体的结合能为4 eV/atom 。
请计算出A 和B 的值。
答：设平衡时原子间的距离为0r 。
达到平衡时，相互作用势能应具有最小值，即)(r u 满足：0)(0=∂∂r rr u ，求得mn AmBn r -=10)(……（1） 将0r 代入，得平衡时的结合能mn mn m AmBn AmBn A r u --+-=n 0)(B )()( (2)当m=2，n=10时，由（1）式得5B=A 0r 8，再由0r =3Å，)(0r u -=4eV 代人（2）式可得： 109610001090.54)(m eV r r u B ⋅⨯=-=- 2192000100201050.4)(45)(m eV r r u r u r r A ⋅⨯=-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-B4.1 一定温度下，一个光学波的声子数目多，还是声学波的声子数目多？ 答：频率为的格波的(平均) 声子数为：.因为光学波的频率比声学波的频率高, ()大于(), 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.4.2 爱因斯坦模型和德拜模型的主要近似分别是什么？简述德拜温度及其物理意义。
总结固体物理作业
6 第一章 晶体结构1. 如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示刚球所占体积与总体积之比，证明：结构 X简单立方 52.06/≈π体心立方 68.08/3≈π面心立方 74.06/2≈π 六方密排 74.06/2≈π金刚石34.016/3≈π2. 试证：六方密排堆积结构中633.1382/1≈⎪⎭⎫⎝⎛=a c 。
又：金属Na 在273K 因“马氏体相变”从体心立方转变为六角密堆积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶格常数a=0.423 nm , 设六角密堆积结构相的c/a 维持理想值，试求其晶格常数。
解（1）a AC AE AO 333332===aa a AO AD OD 32312222=-=-=633.138322221≈⎪⎭⎫⎝⎛===a OD a c（2）体心立方每个单胞包含2个基元，一个基元所占的体积为23cc aV =， 单位体积内的格点数为.1Vc六角密堆积每个单胞（晶胞）包含6个基元，一个基元所占的体积为32122223843436/323aa a c a c a a V s =⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=因为密度不变，所以 s c V V 11=，即：33222/aa c =nma a c s 377.02/61== nma c s 615.0633.1==3. 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。
解 由倒格子定义2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯体心立方格子原胞基矢123(),(),()222a a a a i j k a i j k a i j k =-++=-+=-+倒格子基矢231123022()()22a a a ab i j k i j k a a a v ππ⨯==⋅-+⨯+-⋅⨯202()()4a i j k i j k v π=⋅-+⨯+-2()j k a π=+ 同理31212322()a a b i k a a a aππ⨯==+⋅⨯32()b i j a π=+ 可见由123,,b b b为基矢构成的格子为面心立方格子面心立方格子原胞基矢123()/2()/2()/2a a j k a a k i a a i j =+=+=+倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 12()b i j k a π=-++ 同理22()b i j k a π=-+ 32()b i j k a π=-+可见由123,,b b b为基矢构成的格子为体心立方格子4. 证明：简单六角布拉伐格子的倒格子仍为简单六角布拉伐格子，并给出其倒格子的晶格常数。
固体物理作业（整理后）
固体物理作业（整理后）第一章参考答案1体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子，试证明之。
证：体心立方格子的固体物理学原胞（Primitive cell ）的三个基矢是)(2),(2),(2321→→→→→→→→→→→→-+=+-=++-=k j i a a k j i a a k j i a a ?+=+=+==??=ΩΩ=Ω?=Ω?=→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→)(2)(2)(22122,2:3213321213132321j i a b i k a b k j ab aa a a a ab a a b a a b ππππππ定义它们是倒点阵面心立方的三个基矢。
2 对六角密堆积结构固体物理学原胞基矢如→→→→→→→→=+-=+=kc a ja i a a j a i a a 321232232求倒格子基矢。
解：;,213→→→⊥a a a→→→→→→→→+-=+===ja i a a ja i a a a a a 2322322121)33(32)32(22332123213→→→→→→→→→→→→+=+Ω=Ω?==??=Ω=j i aac a i ac j a a b ca aa a a kc a πππ ??+-=Ω??? ???=→→→→→j i a a a b 3332/2132ππ→→→→=Ω=kc a a b ππ2/22133求解简单立方中晶面指数为(hkl)的晶面簇间距。
解：正格子基矢是→→→→→→===k a c j a b i a a ,,令为相应的倒基矢→→→***,,c b a21222***,,3***)()()(2222)(222-→→→→→→→→→→→→→→→→→?++==++=++==??=Ω===a l a k ahK d kl a j k a i h a c l b k a h K a c b a k ac j ab i aa hklnkl l k h πππππππ4 试证明六角密集结构中c/a=83=1.63如图所示，ABC 分别表示六角密排结构中三个原子，D 表示中心的原子。
固体物理作业
1. 泡利自旋磁化率.传导电子在零度()T 0≈时的自旋磁化率用其它的方法讨论令 n +=n (1+η)/2; ()1/2n n η-=-表示自旋向上和向下的电子浓度解:(1)在外磁场B 0, 电子气自旋向上部分的总能量为),1(21-)(105/30ημηε++=+B n E B这里F n εε1030=,费米能量F ε是在零场(B 0=0)时的能量.求相似表达E −. （2）最小能量值-++=E E E total 与η相关，1<<η，计算磁化率为203/2B F M n B με=解： ()1/2n n η+=+，(1)/2n n η-=- 分别表示自旋向上和向下的电子浓度。
由在外磁场0B 电子气向上部分的总能量为5/30053001(1)-(1)22B B E n B n B n n εημηεμ+++=++⎛⎫=- ⎪⎝⎭考虑到存在外加磁场0B 时，自旋方向相反的自旋磁矩在磁场中的取向能为0B B μ，所以53002B n E B n n εμ---⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将(1)/2n n η-=-代入上式得 53001(1)(1)2B E n B εημη-=-+-（2） ),1(21-)(105/30ημηε++=+B n EB 53001(1)(1)2B E n B εημη-=-+-所以总能量55/33000055/3300055/33011(1)-(1)(1)(1)22(1)(1)33(1)(1)1010total B B B F F B E E E n B n B n B n n n B εημηεημηεηεημηεηεημη+-=+=+++-+-=++--=++--当能量取极小值时2/32/311(1)(1)022total F F B E n n n B εηεημη∂=+---=∂当1<<η时，将上式用泰勒级数展开并只取一级近似得：23F B n n B εημ-=推出32B F B μηε=代入上式中得到 223352B totalF F n B E n μεε=-上式中第二项为磁化能，故磁化强度为：232B F n B M με=2．氢原子的抗磁磁化率。
固体物理作业1-2
可见由
� � � b1 , b2 , b3
� � � a1 × a 2 2π � � b 3 = 2π � � (i + j ) � = a1 ⋅ a 2 × a 3 a
为基矢构成的格子为面心立方格子，体心立方
晶格的倒格子是面心立方 。
� � � a1 = a ( j + k ) / 2 4 面心立方格子原胞基矢 � � � a2 = a ( k + i ) / 2 � � � a3 = a (i + j ) / 2 5 倒格子基矢 � 2π � � � � 2π � � � � 2π � � � (i − j + k ) b1 = ( −i + j + k ) b2 = (i − j + k ) b3 = a a a � � � 可见由 b1 , b2 , b3 为基矢构成的格子为体心立方格子，面心立方
第二次作业
3、
第二次作业
4
第二次作业
5
3
体心立方格子原胞基矢 � a � � � � a � � � a1 = ( −i + j + k ), a2 = (i − j + k ), 2 2 倒格子基矢 � � � a2 × a3 2π a � � b1 = 2π � � = ⋅ (i − j + � a1 ⋅ a 2 × a 3 Ω 2
晶格的倒格子是体心立方。
第一次作业
2
3
3、
第一次作业
4
第一次作业
第一次作业
5、矢量 a，b，c 构成简单正交，求证：晶面族（hkl）的面间距为
d hkl =
1 h k l ( )2 + ( )2 + ( ) 2 a b c
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在 k 到k dk 的态密度为
(
)
(k
)
dk
d
1
2
3
4 k 2
dk
d
1
2
3
4 k 2
1
d dk
1
(2 )2
12 32
自旋波的总能量为：
max
U nk k nk k ( ) d
k
0
4
2
nB B0
(1)
5
0(1)5/3 0(1)3 nBB0
3 10
n
F
(1)5/3
3 10
n F
5
(1)3
nB B0
当能量取极小值时
Etotal
1 2
n
F
(1
)2/3
1 2
n
F (1)2/3 nB B 0
当 1时，将上式用泰勒级数展开并只取一级近似得：
，
这里 B0 为平板体外的磁场并平行与平板，x=0 为平板的
中心。
（2） 平板的磁化强度定义为 B(x) B0 4M (x) ，对于δ<<λL， 证明
4M
(x)
B0
(
1 82L
)(
2
4x2
)
，
这里是高斯制。对于国际单位制，4π需用μ0 代替。
解：（１）由超导面的穿透方程：
2B
答：可以鉴别。
准备好一盒小铁钉。不加外磁场时对铁钉由吸引的是永磁铁。经过外 磁场磁化后对小铁钉有吸引作用的是铁磁体，无作用的是顺磁体。
5. （1）什么是 Heisenberg 哈密顿量？（2）它表征铁磁体 的什么相互作用？（3）为什么平均场理论不能适用于铁磁体 的低温态？
答：（1）表示自旋-自旋系统相互作用的哈密顿量
4me
B 2，（2）
将（1）式代入（2）式中可得：
0e2
6me
B
r2
氢原子轨道电子数是 1，单位体积内含有 N 个原子，其磁化率为
c
N 0e2
6m
r2
在
r2
3
a
2 0
态时，代入上式
c
N 0e2
2m
a 0
2
6.62
1023
12.57 107 22.4
0.5K 升到1.2K 即可。
（３）V3 应与ａ图中V2 相等
V3 13.5104 eV / e 13.5104V
4，超导面的磁场穿透。穿透方程可以写成
2
B
2 L
B
，λL
是伦
敦渗透深度，
（1） 对于厚度为δ的超导体平板，证明其体内的磁场为
11
B(x)
B0
cosh(x / L ) cosh( / 2L )
密度为 (x, y, z) e 2 ，根据波动函数的统计意义，给出 r 2 3a02 的态，并计算出氢原子的抗磁磁化率。
解：（一）氢原子基态波函数为
(a03 ) 1/ 2 e r / a0
r 2 3a02 时的态为：
a ( a03 )1/2 e 3a0
H
450 Mei N Bc Bo 第一类超导体的磁化曲线
0M
N
Merssner 混合态
BC1
BC2 B0
第二类超导体磁化曲线
3
解：（1）Al-Al2O3-Pb 是 M-I-M 结构（Metal-Isolater-Metal）
当
V=0
时，
Al F
Pb F
,无电子运动，I=0
当 V 0 时，Al 和 Pb 的费米面相对运动
与实验不符。
6. 碱金属 Na，贵金属 Cu，过渡金属 Cr、Fe 和 V，各属哪类 磁性物质？并说明相应类磁性的主要特点。
答：碱金属 Na、贵金属 Cu 具有抗磁性；Fe 在温度大于 Tc 时具有顺磁 性，温度低于 Tc 时具有铁磁性；Cr 和 V 属于反铁磁性物质。 抗磁性的主要特点是在外磁场中所产生的磁矩或磁化强度很小，磁化 率小于零，并与外磁场方向相反，且磁化率与外磁场和温度均无关。 顺磁性的主要特点是磁化率很小的正数，在无外磁场时顺磁离子的固 有磁矩取向是杂乱无章的，当加外磁场时，各固有磁矩的取向倾向与 外加磁场的方向排列。 铁磁性的主要特点是磁化率是很大的正数，比顺磁体磁化率大 5-6 个 数量级。当温度低于铁磁居里温度时才存在，高于此临界时转变为顺 磁性。
E
5
0 (1)3
1 2
nB B0 (1)
（2）
E
0 (1)5/3
-
1 2
n
B
B0
(1
),
E
5
0 (1)3
1 2
nB B0 (1)
所以总能量
Etotal E E
0
(1)5/3
-
1 2
nB
B0
(1)
0
5
(1)3
1 2
3
率为
0e2
4me
2 ，具体过程见课本 306 页。
r 令电子轨道半径的方均根平均值为
2
1 2
。设电子轨道平面为
xy平面，
则 2 x2 y2 ，如果原子具有对称性，半径为 。
因此可得：
2
2 3
r2
（1）
在外磁场中附加磁矩为
e 2me
l
0e2
n F
,费米能量 F
是在零场(B0=0)时的能量.求相似表达
E−.
（2）最小能量值 Etotal E E 与 相关， 1，计算磁化率为
M
3n
2 B
B0
/
2 F
解： n n1/ 2， n n(1)/ 2 分别表示自旋向上和向下的电子浓
度。由在外磁场 B0 电子气向上部分的总能量为
推出 代入上式中得到
2 3
n
F
nB
B
0
3B B 2 F
Etotal
3 5
n F
3n
2 B
B
2
2 F
上式中第二项为磁化能，故磁化强度为：
2
M
3n
2 B
B
2 F
2．氢原子的抗磁磁化率。氢原子在基态时的波动函数是
(a03 ) 1/ 2 e r / a0 ，其中 a0 2 / me 2 0.529 108 cm ，电荷
n1
x3/
2en
/
x
dx
n1
(
3)!n5/ 2
2
3 4
n5/ 2
n1
3 4
(1.333) 1.772)
解：低温时，热激发产生的自旋波量子的能量很低。
kBT 0
状态空间中 k k dk 的体积是厚度为 dk 的球壳层 4 k 2dk 。频率
（6）
CS
CN
T
d dT
(S) T
d dT
BC
0
dBC dT
T
0
dBC dT
2
BC
dBC2 dT 2
CS
CN
TC
0
dBC dT
2 TC
0
故超导相变为二级相变
当
0<T<Tc
时，
dBC dT
0 ，故 Q
（二）氢原子的轨道电子数为 1. 电子做轨道运动在外磁场中受磁力矩
作用而产生的附加反磁矩，因而具有抗磁性。
B0
附加
原子实中一个轨道电子在外磁场作用下产生的磁矩为
'
设电子的轨道角动量为 l 。
l
'
e 2me
'
如果垂直平面施加外磁场，其磁场强度为 B 。由外层电子引起的的磁化
H ex
2 i j
J i j Si
S j 叫 Heisenberg
哈密顿量
（2）表征铁磁体中自旋电子之间的直接相互作用。
6
（3）根据分子场理论推得的居里-外斯定律，与实验不符。当 T Tc 时，
临界指数 的实验值与用分子场计算的 1 不符。在解释自发磁化
强度时，分子场理论在中间温度范围很成功，但是在 T ~ 0 和T ~ TC 时
Pb F
Al F
eV
eV
Pb
Al
时，
Pb F
上移
Al ， Pb 的费米面与 Al 的能隙顶相平，此
10
处 Al 的状态密度 N ( ) 很大，而且是空能级。故 Pb 中大量的正电子穿过势垒进入 Al 的单电子能级，形成正常电子隧道
电流，Ｉ急剧增加。
当 Pb Al eV Pb Al 时，Al 的能(1.333) 1.772
得到（1）式可写成
5
U
(kBT )52